D e f i n i z i o n e d i S t a t i s t i c a

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1 D e f z o e d S t a t s t c a Complesso d crter e metod quattatv per l osservazoe e l aals de feome Feome collettv Defzoe d popolazoe statstca o collettvo statstco Iseme d pù utà omogeee rspetto ad uo o pù aspett. Esempo d popolazoe statstca: l seme delle mprese dustral esstet ad ua certa data Itala.

2 Collettvo statstco L seme che s studa Feomeo collettvo L aspetto che teressa studare del collettvo Le utà che costtuscoo u collettvo soo deomate utà statstche Le utà statstche soo classfcate, base ad u crtero qualtatvo o a valor d u carattere quattatvo, categore geercamete deomate modaltà: Modaltà qualtatve quattatve Es. modaltà qualtatve Le mprese dustral soo classfcate secodo l carattere stato gurdco :mprese dvdual, socetà ome coll. Il carattere Stato gurdco assume modaltà qualtatve Es. modaltà quattatve Le mprese dustral soo classfcate secodo l carattere umero d addett mprese co: <,-0,. addett Il carattere umero d addett assume modaltà quattatve

3 Frequeza assoluta umero delle utà d ua popolazoe statstca che retrao ella stessa categora Frequeze relatve rapporto delle frequeze assolute al loro totale l seme delle coppe modaltà frequeza è deomato: sere statstca o mutable statstca serazoe statstca o varable statstca se le modaltà soo qualtatve quattatve 3

4 Mutable statstca Tav. Dstrbuzoe degl occupat per settore d attvtà ecoomca Itala 978 Settore d attvtà ecoomca Occupat (mglaa Occupat % Agrcoltura ,33 Idustra ,86 Altre attvtà ,8 Totale ,00 Fote: ISTAT- Bolletto mesle d statstca,979 Rappresetazo grafche d ua mutable statstca Fg. dstrbuzoe degl occupat per settore d attvtà fg. Dstrbuzoe degl occupat per settore d attvtà Agrcoltura Altre attvtà Idustra Agrcoltura Idustra Altre attvtà Agrcoltura Idustra Altre attvtà 4

5 Varable statstca dscreta Tav. Dstrbuzoe delle famgle talae secodo l umero d compoet-cesmeto 97 Famgle (mglaa Frequeze % Compoet.06, , , , 5.893, , ,9 8 69,06 >8 67,04 Totale Fote:ISTAT,Cesmeto della popolazoe 97 Rappresetazoe grafca d ua varable dscreta Fg.3 dstrbuzoe delle famgle secodo l umero de compoet famgle compoet 5

6 Varable statstca cotua Tav.3a Dstrbuzoe delle azede agrcole talae secodo class d superfce totale,975. Superfce complessva (mglaa d ettar Class d superfce Azede (mglaa Seza terreo - Fo ad Oltre Totale Fote:Auaro statstco talao,978. Frequeze assolute Tav.3b modaltà della varable X 3... s s s Totale N 6

7 Tav.3c Dstrbuzoe d u campoe d opera per class d reddto, Itala, 996 Class d reddto(mglaa d euro Opera Totale Rappresetazoe grafca d ua varable cotua Fg. 4 y Dstrbuzoe de reddter per class d reddto reddto (mglaa d euro 7

8 Sere storca Tav.5 Popolazoe resdete Itala alla data de cesmet A Popolazoe (mglaa Numer dc Base 9500 Numer dc Base moble Rapport cremetal (mglaa Saggo d cremeto relatvo auo ,54 06,54 30,8 0, ,93 06,94 35,3 0, ,03 04,47 4,0 0,00437 Fote: ISTAT, Cesmet della popolazoe Rappresetazoe grafca d ua sere storca Fg.5 Dstrbuzoe della popolazoe talaa per a d caledaro (mglaa popolazoe

9 Sere terrtorale Tav.6 Dstrbuzoe del umero de at vv per provca Scla, 998 Provce Nat vv Trapa Palermo Messa Agrgeto 5.3 Caltassetta Ea.96 Cataa.543 Ragusa 3.33 Sracusa 4.30 Totale Scla Fote: ISTAT Auaro d statstche demografche,999 Rappresetazoe grafca d ua sere terrtorale at vv Fg.6 Dstrbuzoe de at vv per provce sclae Trapa Palermo Messa Agrgeto Caltassetta Ea Cataa Ragusa Sracusa 9

10 Scale d msura Fas ella formazoe del cocetto d msurazoe:. classfcazoe scala omale cosste el fssare per gl elemet d u dato seme due o pù crter, tal che cascu elemeto e soddsf uo soltato e el rure ella stessa classe gl elemet che soddsfao lo stesso crtero. Le deomazo delle class s terpretao come grad d ua scala l cu orde d successoe è arbtraro Esempo: classfcazoe de soggett secodo l settore d attvtà ecoomca.. ordameto o metrco scala ordale cosste ello specfcare de crter che cosetao d dsporre gl elemet d u seme u orde quas serale coè tale che, rapporto ad ua data caratterstca, pù elemet possao occupare u dato posto ella sere. Crter: relazoe d cocdeza(ab relazoe d precedeza (A<B L orde cu s succedoo grad d questa scala è defto Esempo: classfcazoe delle mprese secodo lo stato gurdco 3. ordameto metrco scala metrca cosste, quado possble, ell assegare ad og elemeto dell seme dato u solo umero reale m(, tale che se tra due elemet ed y vale la relazoe d cocdeza allora m(m(ye se vale la relazoe d precedeza allora m(<m(y scala d tervall scala metrca scala d rapport utà d msura arbtrara orge arbtrara utà d msura arbtrara orge o arbtrara 0

11 Tav.7 Dstrbuzoe delle famgle talae secodo l umero d compoet-cesmeto 97 Compoet Famgle (mglaa Compoet Famgle co u umero d compoet (fo a % d famgle co u umero d compoet (fo a.06 (fo a.06, (fo a , (fo a , (fo a , (fo a , (fo a , (fo a , (fo a ,96 >8 67 (fo a umero massmo Totale 5.98 Fote:ISTAT,Cesmeto della popolazoe Tav.8 Dstrbuzoe delle famgle talae secodo l umero d compoet-cesmeto 97 Compoet Famgle (mglaa Compoet Famgle co u umero d compoet (fo a % d famgle co u umero d compoet (fo a.06 (almeo (almeo , (almeo (almeo , (almeo , (almeo , (almeo , (almeo ,4 Totale 5.98 Fote:ISTAT,Cesmeto della popolazoe 97

12 y 00 y

13 Tav.9 Dstrbuzoe cumulatva delle azede per class d superfce agrara Class d superfce Azede (mglaa Valor cumulat % Fo ad , , , , , , , , ,3 Oltre 00 9 Totale ,0 Dstrbuzoe cumulatva delle azede secodo class d superfc agrare Sere >00 3

14 Rapport d composzoe Rapport fra term omogee Numer dc Rapport cremetal Rapport d destà Rapport fra term eterogee Rapport d dervazoe Rapport d durata 4

15 Rapport d composzoe Soo rapport d ua parte al tutto. Es. rapport della 3 coloa della tav. famgle co compoet / famgle total soo rapport d composzoe Numer dc semplc Pogoo a cofroto le testà o le frequeze d uo stesso feomeo temp o luogh dvers Soo sttut fra term d ua stessa sere storca o terrtorale. Il terme co l quale vegoo cofrotat tutt gl altr s chama base. La base può essere fssa o varable Es. gl dc della 3 coloa della tav.5 soo dc a base fssa gl dc della 4 coloa della tav.5 soo dc a base moble Rapport cremetal S ottegoo dvdedo la dffereza fra le testà del feomeo alla fe e all zo d u dato tervallo per la lughezza dello stesso tervallo Es. gl dc della 5 coloa della tav.5 Dal rapporto cremetale s rcava l saggo d cremeto relatvo dvdedo l rapporto cremetale per l testà meda del feomeo Es. gl dc della 6 coloa della tav.5 5

16 Rapport d dervazoe Soo sttut fra due feome fra qual v è u legame d causaltà S ottegoo eseguedo l rapporto fra l testà o la frequeza d u feomeo co l testà o rspettvamete la frequeza d u altro feomeo che e è l presupposto ecessaro. Es.l feomeo ascte ha come presupposto l essteza d ua popolazoe qud l rapporto Nascte / popolazoe(meda è u rapporto d dervazoe Rapport d destà S sttuscoo quado s vuole elmare da u feomeo l flueza d u altro. Es. l rapporto: Popolazoe / superfce mq. dà la destà meda d abtat per Kmq coè la popolazoe per u mq d superfce. Rapport d durata Soo otteut rapportado la cossteza meda del feomeo u dato tervallo temporale per u valore termedo fra quell de movmet etrata ed uscta. Es. Cossteza auale meda de depost bacar mlard. Prelev aual mlard versamet aual mlard Cossteza meda/( prelevversamet/ 0.000/4000,5a l rapporto [(Prelev versamet]/ / cossteza 4.000/0.0000,4 è u Rapporto d rpetzoe 6

17 VALORI MEDI Defzoe d meda del Cauchy: E ua quattà compresa fra la pù grade e la pù pccola fra le quattà date Defzoe del Chs Date gradezze,, per,, e, cosderata ua loro fuzoe matematca ff(,,,, s chama meda, rspetto alla fuzoe f quel umero X che, sosttuto a cascua delle gradezze date, lasca varato l valore della fuzoe f: f(,,, f(x, X,,X 7

18 Meda artmetca Dat valor osservat dstt:,,,,, se la fuzoe f è la somma delle gradezze, la codzoe d varaza del Chs s rscrve: X X... X... X X X ( meda artmetca semplce Data la dstrbuzoe d frequeza: Varable Frequeza y y y Totale y y N La meda artmetca è y y... y... y y y... y... y N ( meda artmetca poderata y co N y y... y... y 8

19 Propretà meda artmetca propretà meda artmetca: ( y 0 propretà meda artmetca: ( y mmo Dalla prma propretà derva che : ( m y N m dove m è u orge arbtrara N. B. Se la varable è cotua, la meda è calcolata utlzzado l valore cetrale delle class. 9

20 Meda geometrca se la fuzoe f è l prodotto delle gradezze dstte,,,,,, la codzoe d varaza del Chs s rscrve: *...* *...* X * X *...* X *...* X * X X ( / * *...* *...* (meda geometrca semplce Su ua dstrbuzoe d frequeza la meda geometrca s calcola: X y y y y / N * *...* *...* ( (meda geometrca poderata N y co N y y... y... y 0

21 Propretà meda geometrca propretà meda geometrca: log X N y log l logartmo della meda geometrca è eguale alla meda artmetca de logartm de valor dat. propretà meda geometrca: posto: ; X u v * u *...* u * v *...* v u ( v u v * u * v,,, *...* u *...* v la meda geometrca d pù rapport è uguale al rapporto fra la meda geometrca de umerator e la meda geometrca de deomator Se: u u... u X v * v la meda geometrca de recproc d valor è *...* v eguale al recproco della meda geometrca de valor dat

22 Meda armoca se la fuzoe f è la somma de recproc delle gradezze dstte,,,,,, la codzoe d varaza del Chs s rscrve: X X X X X X... (meda armoca semplce y N y y y N X... (meda armoca poderata propretà meda armoca: 0 ( y X la somma algebrca degl scart relatv de valor osservat dalla loro meda armoca, moltplcat per rspettv pes, è ulla

23 Meda potezata se la fuzoe f è la somma delle poteze r-esme delle gradezze dstte,,,,,, la codzoe d varaza del Chs s rscrve: r r r r r r r r X X... X... X X r X ( r r (meda potezata d orde r semplce r r X ( y N (meda potezata d orde r poderata N:B per r la meda potezata rappreseta ua meda artmetca r ua meda quadratca r - ua meda armoca r 0 tede ad ua meda geometrca 3

24 Mede d poszoe Soo delle costat che o dpedoo strettamete dalle gradezze date medaa moda quartl Defzoe d medaa: data ua successoe d valor dspost orde o decrescete d gradezza, è quel valore preceduto e seguto da uo stesso umero d valor. Se l umero delle gradezze è dspar, la medaa è quel valore che occupa l posto cetrale della successoe ; se è par, essedo due valor cetral, la medaa è qualuque valore compreso fra d ess ( geere s cosdera la semsomma de due valor cetral. Propretà della medaa: m m mo m medaa La somma de valor assolut degl scart dalla medaa è u mmo 4

25 Quartl Data ua successoe d valor o decrescet s defsce prmo quartle quel valore al d sotto del quale stao u quarto de valor osservat e al dsopra del quale stao tre quart de valor osservat. s defsce terzo quartle quel valore medo al d sotto del quale stao tre quart de valor osservat e al dsopra del quale stao u quarto de valor osservat. Il secodo quartle cocde co la medaa Quatl Data ua successoe d valor o decrescet s defsce -esmo quatle (,,, q- quel valore medo al d sotto del quale sta ua frazoe /q de cas osservat e al d sopra del quale sta ua frazoe par a (- /q de cas osservat. Es. se q0 l quatle prede l ome d decle e se s parla del prmo decle che rappreseta quel valor medo al d sotto del quale sta /0 de valor osservat e al d sopra del quale stao 9/0 de valor osservat. Moda Co rfermeto ad ua dstrbuzoe d frequeza s defsce moda quel valor medo cu corrspode la massma frequeza 5

26 Calcolo della medaa d ua dstrbuzoe per class d valor (co frequeze assolute M e N G (co frequeze relatve y G G G 0 y 0 N y... y M e F f F F F f 0 f 0 y f / N... f Esempo (frequeze assolute: Dstrbuzoe d alcue famgle talae secodo class d reddto Class d reddto (mglaa - Famgle Famgle co class d reddto (fo a G Frequeze relatve f Frequeze relatve cumulate F ,833 0, ,6667 0, ,5 Totale 600 Posto classe medaa N 600 Posto valor medao 300 Classe medaa Valore medao ,

27 (co frequeze assolute Calcolo del.mo quatle d ua dstrbuzoe per class d valor Q / m N G m y (co frequeze relatve Q / m m F f Esempo: Calcolo del e 3 quartle (co frequeze relatve m umero d part ugual cu è dvsa la dstrbuzoe orde del quatle 4 Posto quartle 0, 5 Classe quartle Q , ,67 / 4 09, Posto 3 quartle 0, 75 Classe 3 quartle Q , ,67 3 / 4 84,58 7

28 Varabltà e Mutabltà feome o caratter quattatv feome o caratter qualtatv Defzoe: Atttude de caratter ad assumere modaltà dfferet Aspett dspersoe per cause accdetal gl dc msurao d quato meda le quattà rlevate dfferscoo da ua gradezza meda dseguaglaza per cause accdetal e sstematche gl dc msurao d quato meda le quattà rlevate dfferscoo fra d loro Propretà: Gl dc d varabltà devoo: a assumere valor o egatv; b essere ull quado tutt term della dstrbuzoe soo egual fra loro; c crescere all aumetare della dsuguaglaza fra term. 8

29 Idc d varabltà assoluta Su ua serazoe Campo d varazoe (valor ordat orde o decrescete Dat valor osservat dstt:,,,,, l campo d varazoe è: Su ua dstrbuzoe d frequeza Data la dstrbuzoe d frequeza: Varable Frequeza y y y s Totale y y s N W ( - ( l campo d varazoe è: W (s - ( Dffereza terquartlca D Q 3/4 - Q /4 9

30 30 Idc d dspersoe Idc d dsuguaglaza (Scarto semplce medo (Dffereza semplce meda y y S ( N N y y (Scarto quadratco medo ( Dffereza quadratca meda (o devazoe stadard ( y y σ ( ( N N y y (Varaza (Scostameto medo dalla medaa y y ( σ Me y y Me S

31 La varaza s può calcolare come dffereza fra la meda artmetca de quadrat degl scart da u orge arbtrara m ed l quadrato della meda artmetca degl stess scart σ [ ( m y ( m y] N N se m 0 σ [ y y] N N la varaza s calcola come dffereza fra l quadrato della meda quadratca ed l quadrato della meda artmetca 3

32 Dat raggruppat Grupp modaltà I modaltà mede m m m 3 m m varaze σ σ σ 3 σ σ Calcolo della meda: / m / Calcolo della varaza: σ ( / σ σ ( m σ σ σ m 3

33 Esempo: Grupp 3 Total Mo Da 7 0 L 5 7 Tà mede 3,5 5,5 6,44 varaze,5 0,67,5,5 4 3 m / 58/9 6,44 σ σ ( m,5 9 98,7 9,8 0,97,5 varaza etro grupp varaza tra grupp 33

34 Dat raggruppat Grupp modaltà 3 Total frequeze N mede m m m 3 m m varaze σ σ σ 3 σ σ Calcolo della meda: / m. / Calcolo della varaza:. σ ( / σ σ. ( m... 34

35 Esempo: Grupp modaltà 3 Total Total Mede 4, 5,63 4,9 5,9 Varaze,5,79,36 Calcolo meda: / 44 / 47 5,9 m. /. 44 / 47 5,9 Calcolo varaza: σ ( / 9,8 / 47,94 σ σ.. ( m.. 76, ,5 47,63 0,3,94 35

36 Calcolo della dffereza semplce meda Su ua serazoe: 3... Schema per l calcolo della dffereza semplce meda Su ua dstrbuzoe d frequeza: Varable Frequeza y y y s Totale y y s N Schema per l calcolo della dffereza semplce meda X - y y - y y - y y - y y - y y - y y - y y - y y - y y 36

37 Schema per l calcolo della dffereza semplce meda a somma de mued dagoale.. s somma de sottraed vertcale..,,,,,, somma de mued dagoale somma de mued vertcale a a..a... somma de sottraed vertcale somma de sottraed orzzotale s s..s (-..(- ( a s ( ( s 37

38 Formule alteratve per l calcolo della dffereza semplce meda Data la serazoe: 3... dspoedo le quattà orde o decrescete: ( ( ( ( ( a s a s ( 4 ( ( s (3 la ( s trasforma : Data la dstrbuzoe: 3... y y y 3... y N ( N ( A S y Formula d Czuber-G A y S y N y 38

39 Esempo calcolo della dffereza semplce meda Schema per l calcolo del umeratore della dffereza semplce meda Total total ( 6 (4*3,6 crtero ( -- ( total 3 ( ( (4*3 *3,6 Crtero ( a s a - s total 3 ( ( a s (4*3 *3,6 39

40 Crtero (3 meda 7,5 I s 5 7,5 5,5 7 4,5,5 8 3,75 0, total 6,5 s 4 ( ( s 4 (4*3 *6,5,6 Data la seguete dstrbuzoe d frequeza y Total0 s applca la formula d Czuber-G N ( N ( A S y y y A S A - S (A - S *y Total * 65,44 0(9 40

41 Varabltà relatva Idc assolut rapportat al valore medo Idc assolut rapportat al massmo Coeffcete d varazoe σ 00 Se la dstrbuzoe massmate è del tpo: ma σ σ ma ma ( N ( N S ( N / N ma y 0 N- N Idc d varabltà relatva rapportat al massmo: (N- / ma / σ / σ ma σ / ( N σ / σ ma σ / ( N S / Sma S / ( N / N 0 N 4

42 Cocetrazoe Defzoe: La cocetrazoe è u partcolare aspetto della varabltà de feome o caratter trasferbl Data la serazoe: 3..., dspoedo le quattà orde o decrescete:... e cosderado gl ultm r valor (r<, s ha cocetrazoe se la somma degl ultm r valor costtusce ua frazoe della somma degl valor maggore della frazoe r/ : r r > r ovvero, rcordado che s ;,,,- s s r r > ; s r,,,- oppure, poedo (-r s s < Posto: s p q s q < p cocetrazoe q p equdstrbuzoe 4

43 Esempo: Calcolo delle q e delle p e de rapport d cocetrazoe /Σ ι y /Σy ι q p p - q p -p q q (p -p ( q q 5 0,08 0,0 0,080,0 0, 0,0 0,08 0,06 7 0, 0,0 0,00,40 0,0 0,0 0,8 0, ,7 0,0 0,370,60 0,3 0,0 0,57 0, ,30 0,0 0,670,80 0,3 0,0,04 0, ,33 0,0 0 0,0,67 0,333 total60 0,68 0,76 Curva d cocetrazoe q 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 p curva d cocetrazoe retta d equdstrbuzoe A R A Rapporto d cocetrazoe R 0 ( p p ( q q Rapporto d cocetrazoe R - 0,760,74 43

44 ( p q somma delle aree de rettagol d base / ed altezza (p -q (area d cocetrazoe N p ( somma delle aree de rettagol d base / ed altezza p (area del tragolo ( p q p R0,68/0,34 Rapporto d cocetrazoe del G ( per dat o raggruppat e suffcetemete umeros Calcolo del rapporto d cocetrazoe per dat raggruppat p -p q q (p -p ( Class y y s q p q q 0-0,5 3,5,5 3,0 0,008 0,063 0,063 0,008 0,0005 -,5 3 4,5 6,0 6,0 0,030 0,5 0,063 0,038 0,004-3,5 0 5,0 3,0 6,0 0,56 0,333 0,08 0,86 0, ,0 48,0 79,0 8,0 0,397 0,583 0,50 0,553 0, ,0 0 0,0 99,0 48,0,000,000 0,47,397 0, ,0 0,768 R-0,768 0,38 44

45 Mutabltà Defzoe: E l atttude de feome o caratter qualtatv (msurat su scala omale o ordale ad assumere dfferet modaltà. La mutabltà è ulla se l carattere s preseta sempre co la stessa modaltà La mutabltà è massma se le frequeze co le qual s osservao le dverse modaltà del carattere soo egual. H Idce d etropa m f log f Scatursce dalla teora dell formazoe Utlzza come msura della quattà d formazoe log(/f dove f è la frequeza relatva dell -esma modaltà (,,,m Rcordado che: per f log (/f 0 lm - f log (f lm[ logf / (-/f] lm[( / f /(/ f ] lm f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 se m- delle m frequeze tedoo a zero e d cosegueza ua frequeza tede a uo, H tede a zero se le frequeze delle m modaltà soo egual ossa f /m, H assume l valore massmo, H ma logm Idce relatvo d etropa m f Idce d mutabltà del G 0 H H ma log m m f log f 0 G m f m f ( f m f m dce assoluto f ( f G dce relatvo 0 G ma m m 45

46 46 Momet Defzoe: s defsce mometo d orge m e d grado r d ua dstrbuzoe la meda artmetca poderata delle poteze r-esme degl scart da m de valor co pes espress dalle y r r m y m N, ( µ se l orge è la meda artmetca l mometo s scrve: r r y N ( µ Formule d trasformazoe per passare da u orge m ad u altra orge m Rcordado che: r r r b a r b a 0 ( ( e posto: r r r r m m m r m m m m ( ( ( ] ( [( ( 0 m r r r m m m r ( (, 0, µ µ

47 Per m ( m m ( m ( m µ m, r r µ ( r µ m, r µ m, 0 Relazo fra momet d orge m e d orge la meda artmetca µ µ m µ, m, µ 3 3 µ m,3 3µ m,µ m, µ m, µ 4 4 µ m,4 4µ m,3µ m, 6µ m,µ m, 3µ m, 47

48 Correzo d Sheppard S apportao a momet quado: la dstrbuzoe è per class l ampezza h delle class è costate quado le frequeze delle class estreme soo pccole µ m, µ m, h µ m,3 µ m,3 µ m, 4 h µ µ m,4 µ m m, 4,h h

49 Fuzo d destà d frequeza (o d probabltà I ua varable cotua valor della fuzoe f( o esprmoo frequeze o probabltà ma hao l sgfcato d altezze d rettagol avet bas ftamete pccole e le cu aree rappresetao frequeze o probabltà. I tal caso la fuzoe f( è chamata fuzoe d destà d frequeza ( o d probabltà La frequeza ( probabltà de valor all tero d ua classe, d ampezza ftesma d, è par al prodotto della destà f( per l ampezza d ed è dcata co l smbolo: df( f(d dfferezale della fuzoe d rpartzoe F( F( f ( t dt a<<b a F ( a 0 F ( b df( f ( F( d dervata della fuzoe d rpartzoe F( 49

50 Adattameto Defzoe: s dce adattameto d ua fuzoe matematca ad ua dstrbuzoe d frequeza la costruzoe, base a valor osservat, d u modello matematco capace d rappresetare la dstrbuzoe osservata maera soddsfacete prescdedo dagl aspett o sstematc Iterpolazoe : Fssata la forma della fuzoe y f(, caratterzzata da parametr, s poe la codzoe che essa assuma esattamete valor osservat corrspodeza d u certo umero d valor dstt della varable Nell adattameto la fuzoe adattata: o deve ecessaramete assumere valor esattamete egual alle frequeze osservate; l umero de parametr è ferore al umero delle coppe che s ottegoo assocado a valor osservat le corrspodet frequeze. Fas dell adattameto: a scelta della forma della fuzoe f(; b determazoe de valor de parametr della fuzoe scelta; c verfca della botà dell adattameto eseguto. Scelta della forma della fuzoe Crter grafc Crter umerc 50

51 Determazoe de valor de parametr Metodo de mm quadrat: cosste el redere mma la somma de quadrat delle dffereze fra valor della fuzoe adattata e le frequeze osservate Metodo de momet: cosste el determare tat momet della dstrbuzoe teorca, d grado progressvamete crescete, quat soo parametr cogt da stmare e d porre la codzoe che loro valor sao egual a quell de corrspodet momet calcolat su dat osservat Stma d r parametr co l metodo de mm quadrat ε [ y f ( ; θ, θ... θ ] mmo r f ( ; θ, θ... θ r fuzoe leare rspetto a parametr 5

52 Stma d r parametr co l metodo de momet θ, θ, θ3..., θ r parametr µ m, mometo teorco µ m, mometo osservato µ m, µ m, µ m, µ m, µ m,r µ m,r Verfca della botà dell adattameto Le frequeze osservate y vegoo poste a cofroto co le frequeze teorche f( otteute. La dstrbuzoe teorca adattata costtusce u adeguata rappresetazoe de dat osservat se: a gl scart fra frequeze osservate e teorche soo pccol, valore assoluto, rspetto alle frequeze; b seg degl scart s alterao seza u apparete orde sstematco Per msurare la botà dell adattameto è utlzzato l dce χ χ [ y f ( ] f ( 5

53 Calcolo delle probabltà Probabltà seso oggettvo Defzoe matematca: la probabltà d u eveto è l rapporto fra l umero de cas favorevol ad u eveto ed l umero de cas possbl, cosderat tutt egualmete possbl Defzoe frequetsta: la probabltà d u eveto è l lmte della frequeza dell eveto al crescere del umero delle prove Probabltà seso soggettvo Defzoe: E l grado d fduca che u dvduo rpoe el verfcars d u eveto Prcpo delle probabltà total: Dat evet E, E,, E, tra d loro compatbl, la probabltà che s verfch uo qualsas d quest evet ( probabltà della loro uoe è data dalla somma delle probabltà de sgol evet P(E E E P(E P(E P(E Prcpo delle probabltà composte: La probabltà che evet compatbl ed dpedet E, E,, E, s verfcho tutt seme ( probabltà della loro tersezoe è data dal prodotto delle probabltà de sgol evet P(E E E P(E *P(E * *P(E 53

54 54 Teorema d Bayes Dato u eveto A e u eveto B tra loro compatbl e dpedet, la probabltà che s verfcho etramb gl evet è data da: P(A P(B/AP(B P(A/B per cu ( / ( ( / ( B P A B P A P B A P S suppoga che l eveto B vega posto relazoe co evet A, A, A,, A, tra d loro compatbl e tal che uo d ess deve ecessaramete verfcars, coè: P(A P(A P(A P(A L eveto B,se s verfca, dovrà verfcars co uo degl evet A e, poché P(A B P(A P(B/A,,.., e gl evet (A B soo compatbl, la probabltà che B s verfch è data da: / ( ( ( A B P A P B P da cu s rcava: A B P A P A B P A P B A P / ( ( / ( ( / (

55 Esempo: - I sstr del settore auto d ua compaga d asscurazoe soo classfcat, base alla loro gravtà, (a lev, (b grav, (c mortal metre l tpo d auto che l ha causat, (A utltare, (B mede e (C superor. I base all espereza della compaga, le probabltà d u cdete mortale per u utltara, meda, superore soo rspettvamete egual a 0,36, 0,08, 0,40. E oto ache che l 50% degl asscurat ha u utltara, l 5% ua meda, l 5% ua superore. Avedo osservato u cdete mortale, qual è la probabltà che esso sa stato causato da u utltara? Tpo d cdete Cldrata maccha Icdete mortale M Utltara U Icdete leve L Cldrata meda Me Icdete grave G Cldrata superore S P(M/U 0,36 P(U 0,50 P(M/Me 0,08 P(Me 0,5 P(M/S 0,40 P(S 0,5 P(M P(U P(M/U P(Me P(M/Me P(SP(M/S P(M 0,50*0,36 0,5*0,08 0,5*0,40 0,8 P( U P( M / U 0,50*0,36 P ( U / M 0,64 P( M 0,8 P( Me P( M / Me 0,5* 0,08 P ( Me / M 0,005 P( M 0,8 P( S P( M / S 0,5* 0,40 P ( S / M 0,355 P( M 0,8 P(U/M P(Me/M P(S/M 55

56 56 Dstrbuzoe bomale q p P, 0 p q-p Probabltà che prove dpedet l eveto E, avete probabltà costate p, s verfch volte Dstrbuzoe bomale: ( 0 q p p q P, 0 q p P 0,0 0, q p P, q p P 0, q p P Valore medo p Varaza pq Formula rcorrete P q p P,,

57 Dstrbuzoe bomale P, 0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,500 0,000 0,500 0,000 0,0500 0, p0,5 7 q0,85 Dstrbuzoe bomale 0,3 0,5 0, P, 0,5 p0,5 q0,5 7 0, 0, Dstrbuzoe bomale 0,5 0, P, 0,5 0, p0,5 q 9, , Dstrbuzoe bomale P, 0,6 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, pq0,

58 Esempo adattameto bomale postva (metodo de momet ( P, P. (osservato *P, P ( teorco χ 0 0, ,3533 0,377 0, ,3700 0,3700 0, ,3963 0, ,0 0,440 0,95 0,054 0, ,0645 0,935 0,5750 0,059 0, ,003 0.,04 0, ,00 0, ,0004 0,000 0, ,00 0, ,000 6,064E ,0000,5069E-06 Total,0000,009 0,85496,0000 0, σ p pq,009 p 0,8543 pq σ q 0,8543,009 0,857 p q p 0,857 0,473,009 0,473 6,80 7 La dstrbuzoe teorca adattata s ottee sosttuedo ella ( q valor stmat per cu: p 0 p q (0,857 0, ,473 0,

59 Formula d De Movre La probabltà che prove l eveto s verfch volte s può esprmere fuzoe dello scarto ε - p P, p ε p ε qε! p q ( p ε!( q ε! p ε qε!( p ( q ( p ε!( q ε! che per ε 0 dveta: P p q! p q ( p!( q!, p p!( p ( q ( p!( q! q Se l umero delle prove è molto grade, fattoral possoo essere svluppat medate la formula approssmata d De Movre Strlg! e Π P, p Πpq e se la dffereza q-p è pccola P, p ε ε /(pq e Πpq fuzoe cotua dello scarto ε ota come curva ormale delle probabltà o curva d Gauss o curva degl error accdetal 59

60 60 Curva ormale 0 0,005 0,0 0,05 0,0 0,05 0,03 0,035 0,04 0, Curve ormal 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0, varaza 0 varaza 5

61 Curva ormale fuzoe dello scarto rdotto z: z p pq P, p ε e σ Π z / f ( z e Π z / curva ormale rdotta o stardardzzata smmetrca rspetto all asse delle ordate campaulare co due put d flesso f(z f(-z z - z massmo per z 0 f (0 Π z / e Π La varable cotua z, defta el campo de umer real, co fuzoe d destà d probabltà f(z, è ua varable ormale rdotta che s dca co l smbolo N(0, perché la sua dstrbuzoe d probabltà ha valor medo 0 e varaza 6

62 Esempo formula De Movre: U ura cotee 0 palle d cu rosse, 3 bache e 5 ere. S effettuo 40 estrazo d ua palla rmettedo a og estrazoe la palla ell ura. Calcolare la probabltà che esca volte palla rossa. La probabltà che esca palla rossa è p/0. p 8 ; pq, 53 ; 3 pq 7, 59 ; ε < 3 pq La probabltà esatta che 40 lac esca p volte palla rossa è P 40,8 ( ( 0, La probabltà esatta che 40 lac esca volte palla rossa è 40 8 P 38 40, ( ( 0, Applcado la formula de Movre: La probabltà approssmata che 40 lac esca p volte palla rossa è P 40,8 Π6,4 0,58 La probabltà approssmata che 40 lac esca volte palla rossa è P 40, e Π6,4 [( 6 /(*6,4 ] 0,0094 6

63 Probabltà tegral P ( z f ( z dz >0 Esemp probabltà tegrale: S vuole calcolare la probabltà che 40 lac la palla rossa esca fo a due volte Probabltà esatte secodo la dstrbuzoe bomale e secodo l approssmazoe della curva ormale X P. ε (-p z ε / pq f(z f ( z / pq 0 0, ,6 0,007 0,000 0, ,77 0,0087 0,0034 0, ,37 0,039 0,0095 Probabltà tegrale 0, ,039 Probabltà tegrale secodo la bomale: 0,00796 Probabltà tegrale secodo l approssmazoe della ormale: 0,039 S vuole calcolare la probabltà che 40 lac la palla rossa esca pù d due volte Probabltà tegrale secodo la bomale: - 0, ,9904 Probabltà tegrale secodo l approssmazoe della ormale: - 0,039 0,986 3 S vuole calcolare la probabltà che 40 lac la palla rossa esca da due a cque volte Probabltà esatte secodo la dstrbuzoe bomale e secodo l approssmazoe della curva ormale X P. ε (-p z ε / pq f(z f ( z / pq 0, ,37 0,039 0, , ,98 0,0566 0,04 4 0, ,58 0,43 0, , ,9 0,975 0,078 Probabltà tegrale 0,5987 0,5508 Probabltà tegrale secodo la bomale: 0,5987 Probabltà tegrale secodo l approssmazoe della ormale: 0,

64 Curva ormale Prob(z < z Curva ormale -z z Prob (- < z < Curva ormale Prob(z > z 64

65 Asmmetra e urtos Ua dstrbuzoe d frequeza è smmetrca quado esste u valore m tale che, se s cosderao due valor equdstat da m, quest hao la stessa frequeza, ossa f(mf(m- dove f( è la fuzoe d frequeza o d destà d frequeza della dstrbuzoe secodo che questa sa dscreta o cotua I ua dstrbuzoe umodale smmetrca, meda artmetca, moda e medaa cocdoo e tutt momet d orge la meda artmetca e d grado dspar soo ull Per ua dstrbuzoe umodale: Idc d asmmetra Idce del Pearso M o σ Nelle dstrbuzo per class: 3( M e σ Idce d asmmetra fodato su momet: µ β µ 3 3 µ / β 3 σ µ µ valore 0 el caso d smmetra 65

66 Idce d urtos β µ µ 4 Nelle dstrbuzo ormal µ 4 3σ 4 e β 3 β <3 platurtche β 3 mesourtche β >3 leptourtche Adattameto curva ormale Codzo : dstrbuzoe d frequeza (probabltà cotua β 0 β 3 determazoe de parametr co metodo de momet 66

67 Esemp adattameto curva ormale Class d ore d asseza mesl valor cetral Opera Freq. Rel. Estr. sup. Z P(Z<z Frequeze relatve teorche 0-0, ,0375 -, ,07 0,07 -, ,0565 -, ,0 0,0-3, , ,5747 0,3 0, ,5 5-0, ,8 0, , ,5 0-0, ,34 0,7 0-5, , , ,64 0, ,5 5, ,93 0,9 oltre , ,07 Totale ,00 Meda0,6 Varaza 44, β 0,35 β,76 Class d ore d asseza mesl valor cetral Opera Frequeze relatve teorche Freq. Rel. Estr. sup. z P(Z<z 0-5, ,05 5 -, ,0 0, , , , ,07 0,06 0-5, ,5 5-0, ,3 0, , ,5 0 0, ,5 0,8 0-5, ,5 5 0, ,79 0, , ,05 30, ,94 0, , ,05 35, ,99 0,05 Totale ,535 0,99 Meda7,38 Varaza 4,34 β 0,0 β,6 67

68 Quozete d Les Quado ua sere d prove dpedet rguardat u eveto E vee rpetuta N volte, s possoo dstguere tre cas: Schema d Beroull- la probabltà p dell eveto E s matee costate og prova d qualuque sere; Prove Sere p p p p p p p p p p p p N p p p p E( U σ b pq Schema d Posso- la probabltà dell eveto vara elle prove d cascua sere secodo ua legge che s rpete mmutata elle sere successve Prove Sere p p p p p p p p p p p p N p p p p E( U σ P pq - σ p 3 Schema d Les la probabltà dell eveto s matee costate elle prove d ua stessa sere ma vara da ua sere all altra Prove Sere p p p p p p p p p p p p p p p p p p N p p p p p p E( U σ L pq(-σ p N.B. p probabltà meda d successo dell eveto ua prova; σ p varaza delle probabltà el complesso delle *N prove X. d success ella -esma sere d prove N E( U E ( X p N 68

69 σ (scarto quadratco medo osservato rappreseta ua stma d E(U σ b ( pq calcolato su dat osservat rappreseta ua stma d E(U qualora dat fossero coform allo schema d Beroull Q σ σ b σ pq Q se dat soo coform allo schema d Beroull Q< se dat soo coform allo schema d Posso Q> se dat soo coform allo schema d Les Esempo quozete d Les success y sere d prove y ( y , , , , , , , , , , ,54 Total ,0 0 ( prove og sere 4, σ 6,56 Dat coform allo schema d Les p σ Q pq 0,4,64 pq,44 69

70 70 Adattameto bomale q σ σ σ σ σ p q p Posso espoezale d se dstrbuzoe bomale egatva se dstrbuzoe bomale se σ σ σ < > pq p σ

71 7 Dstrbuzoe bomale egatva q p q q p q p q q q q σ σ σ σ 0 0 ( ( ( ( ( q p p q p p q p q p q 0, q p µ q p µ q p P

72 Dstrbuzoe bomale egatva Dstrbuzoe bomale egatva 0, 0,6 0, 0,5 0,08 0,4 P 0,06 30 p0, P 0,3 30 p0,5 0,04 0, 0,0 0, Esempo adattameto bomale egatva Dstrbuzoe d alcue aree abtate secodo l umero d etracomutar X Y f( χ ,73 0,0 4 43,6 0, 3 6,3 0, ,45,77 4 8,03, ,49 0, ,07 0, ,40 0,04 8 3,,5 9 5,35,99 0,73 0,04,8 0,06 0 0,95 0,95 3 0,70 0,3 4 0,53 0, ,40 0,40 6,0 0,03 Total 6 6, parametr Momet µ,95 σ 7,75 0,65 p 0,05 µ /(σ µ p (σ µ/σ 7

73 73 Espoezale d Posso e P P P p fto p! lm ( (!...( ( ( 0,, θ θ θ θ θ e θ θ θ lm(( lm(...( ( ( lm! e P θ θ

74 Dstrbuzoe d Posso P 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, p0, meda Dstrbuzoe d Posso 0,5 0, P 0,5 0, p0, meda 3 0, Dstrbuzoe d Posso P 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 p0, meda

75 75 Formule rcorret Dstrbuzoe bomale P q p P,, Dstrbuzoe bomale egatva P p P q P 0 Espoezale d Posso P P e P 0 θ θ

76 Esempo adattameto Espoezale d Posso Dstrbuzoe d alcue aree abtate secodo l umero d etracomutar X Y f( χ 0 0,076,7 0,607 0,6 3,46 0, ,470 0,03 4 3,939 0,00 5 0,70 0, ,603 0, ,547 0, ,547 0, ,04 0,03 0 6,433 0,57 5 6,35 0, 0 0,877 0, ,693 0, ,85 0,0 5,040 0,00 6,00 0,00 Total 6 5,60 3,00 parametr µ θ Momet µ 7,88 σ 7,8 76