Def. Si dice variabile aleatoria discreta X una variabile che può assumere valori X1, X

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1 Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard VARIABILI ALEATORIE DISCRETE E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Def. S dce varable aleatora dscreta X ua varable che può assumere valor X, X,... X corrspodet ad evet aleator E, E,... E o mpossbl, che s escludoo a vceda e tal che scuramete uo d ess s verfch. Og valore X che la varable può assumere è correlato alla probabltà corrspodete E, coè la probabltà che la varable X assuma l valore X. p dell eveto Def. Data ua varable aleatora dscreta X, co valor X, X,... X, la successoe delle probabltà p, p,... p ad ess assocate s chama dstrbuzoe d probabltà della varable X. Esempo U ura cotee 6 palle verd e 4 galle. S estraggoo 3 palle seza remmssoe. S cosdera l eveto uscta d ua palla verde. Esso può avvere da 0 a 3 volte. Il umero d volte cu esce ua palla verde è la varable aleatora X. Esso è ua varable casuale teorca perché ad esso possamo assocare u valore d probabltà calcolato teorcamete. S può costrure ua tabella che rappreseta la dstrbuzoe d probabltà della varable X. X 0 3 P(X) /30 3/0 / /6 (verfcare per eserczo la correttezza delle probabltà calcolate) S ot che, poché gl evet s escludoo a vceda e uo d ess s deve scuramete verfcare, la somma delle probabltà è. (codzoe d ormalzzazoe) Def. S dce fuzoe d rpartzoe d ua varable aleatora X la fuzoe F(X) che forsce la probabltà che X o assuma valore superore ad u valore prefssato X. Pertato l suo valore s ottee sommado le probabltà relatve a valor mor o ugual a X. X X X X3 X P(X) P P P3 P F(X) P P+P P+P+P3 P+P+ P Rtorado all esempo precedete: X 0 3 P(X) /30 3/0 / /6 F(X) /30 /3 5/6 I valor d F(X) rappresetao la probabltà che la palla verde esca al massmo 0 volte, al massmo volta, al massmo volte, al massmo 3 volte.

2 GIOCHI ALEATORI Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard Ua delle prme questo cosderate da matematc agl albor della ascta della teora della probabltà fu la possbltà d calcolare la probabltà d vcta e qud la coveeza o meo per ua persoa d partecpare ad u goco d azzardo, cosderata la somma vestta e l evetuale guadago. Tale coveeza è espressa dalla gradezza detta speraza matematca. Def. S chama speraza matematca M(X) della varable X la somma de prodott della varable X per le rspettve probabltà: M ( X ) = X p + X p X p Se M(X) = 0 s dce che l goco è equo; se M(X) > 0 l goco è favorevole (per l gocatore), se M(X) < 0 l goco è sfavorevole. ESEMPIO I u goco s laca u dado. Se esce l umero, l gocatore vce 7 euro, se esce u umero par 4 euro, caso cotraro deve pagare euro. Moltplcado valor delle vcte (postv) e delle perdte (egatv) per le rspettve probabltà s ottee u valore che rappreseta la vcta che l gocatore avrebbe potuto sperare d realzzare medamete. X P(X) /6 / /3 M(X) = 7/6 + -/3 = 5/ =,5 I questo caso l goco è favorevole al gocatore. Se voglamo calcolare quato deve essere l ammotare della posta pagata dal gocatore caso d perdta, affché l goco sa equo, poamo: M(X) = 7/6 + P /3 = 0. S trova P = 9,5. La tabella el caso d goco equo dveta pertato: X 7 4-9,5 P(X) /6 / /3 Se s orgazza l goco dversamete, s può chedere ua posta da pagare al gocatore per poter partecpare al goco gestto da u baco, prma che l goco z. Poché l gocatore vce 7 euro se esce e la posta relatva al goco equo è 9,5, l gocatore casserà ua vcta lorda d 6,5 euro caso esca l umero ; poché vce 4 euro se esce u umero par, la vcta lorda questo caso sarà 3,5. (6,5-9,5 = 7, vcta etta; 3,5 9,5 = 4, vcta etta) La posta P che l gocatore deve pagare affché l goco sa equo è la somma de prodott delle vcte lorde per le rspettve probabltà d vcta: P = 6,5 + 3, 5 = 9,5 La tabella è: X 6,5 3,5 0 6 La posta P che l gocatore deve pagare, affchè l goco sa equo, è la speraza matematca della varable vcta lorda. P(X) /6 / /3

3 Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard VALORI CARATTERIZZANTI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA Def. S chama speraza matematca o valor medo M(X) della varable X la somma de prodott della varable X per le rspettve probabltà: M ( X ) = X p + X p X p S ot che l espressoe equvale a: X p + X p X p ( ) = M X p + p +... p coè alla meda poderata de valor d X, essedo la somma delle probabltà uguale a. La speraza matematca d ua varable aleatora costate è la costate stessa. Se S è ua varable aleatora dscreta e a è ua costate, allora: M (ax) = a M(X). (La probabltà d X cocde co la probabltà d ax) La speraza matematca della somma S = X + Y d due varabl aleatore è par alla somma delle speraze matematche. M (X + Y) = M(X) + M(Y) La speraza matematca del prodotto P = XY d due varabl aleatore dpedet è par al prodotto delle due speraze matematche. M (XY) = M(X) M(Y) Può accadere che due dstrbuzo abbao lo stesso valor medo, ma sgol valor X abbao dstaze pù o meo grad dal valore medo, coè la dstrbuzoe preset ua maggore o more dspersoe rspetto al valor medo. S troduce qud ua uova gradezza correlata a tal dffereze. Def. S dce devazoe o scarto o varable aleatora cetrata la varable dffereza : X Mx. Le probabltà p (X) = p (X Mx) essedo Mx costate. S ot che: M (X Mx) = M(X) M (Mx) = Mx Mx = 0. La speraza matematca d ua varable aleatora cetrata è ulla. Sostture ad ua varable X la devazoe X - Mx equvale qud a ua traslazoe d sstema d rfermeto che port l valor medo ell orge degl ass. 3

4 Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard Def. S chama varaza della varable aleatora X la speraza matematca del quadrato della devazoe X Mx. ( ) = ( ) V X M X M x oppure ( ) ( ) V X = X M p x S hao le seguet propretà della varaza. Sao X, Y varabl aleatore e k ua costate, allora: V ( kx ) = k V ( X ) V ( X + k ) = V ( X ) V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ), se le varabl X, Y soo dpedet. Def. S defsce scarto quadratco medo o devazoe stadard della varable aleatora X, la radce quadrata della varaza. ( X ) = M ( X M ) = ( X M ) p ( ) = = ( ) ( ) V X M X Mx x x Il valor medo e la varaza hao u mportate sgfcato fsco: se assocamo a put d ascssa X, X,... X le masse p, p,... p, allora s può dmostrare che M rappreseta l cetro d gravtà del sstema, V l mometo d erza. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA CLASSICHE Dstrbuzoe bomale o d Beroull Tale dstrbuzoe rguarda l problema delle prove rpetute. S rpete volte ua certa prova elle stesse codzo; og prova è dpedete dalle altre. Se p è la probabltà costate dell eveto A successo, q = p è la probabltà dell eveto B successo. Al terme delle prove, l eveto A potrà aver avuto luogo da 0 ad volte e l eveto B avrà qud avuto luogo da a 0 volte. La legge d dstrbuzoe è forta dal teorema d Beroull delle prove rpetute. La probabltà che su prove rpetute l eveto A s verfch x ( x ) volte è data dalla fuzoe d probabltà: = = x ( ) ( ) x x f x P x p q 4

5 Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard Rportamo seza dmostrazoe l seguete Se X è ua varable aleatora beroullaa, d orde e parametro p: - l suo valor medo è: M(X) = p - la sua varaza è: V(X) = pq - lo scarto quadratco medo è: = pq = p ( p) Dstrbuzoe multomale S ha ua geeralzzazoe della dstrbuzoe bomale quado og prova dà luogo a pù d due alteratve, coducedo ad evet A, A,... A dpedet co probabltà assocate p, p,... p, costat da prova a prova, e tal che la loro somma sa. Per determare la probabltà che gl evet A, A,... A s preseto X, X,... X volte su prove, s fa rcorso al La probabltà dell eveto composto dato dal verfcars d X evet A, X evet A ecc. è data dalla legge N! = X! X!... X! X X X p p p... p N N N (Ex. U ura cotee 0 palle d cu 3 rosse, bache, 5 verd. Calcolare la probabltà che estraedo successvamete 5 palle, co remmssoe, e escao rosse, baca e verd) Dstrbuzoe geometrca Cosderata ua prova rpetuta molte volte elle stesse codzo, l umero d prove ecessare affchè s verfch per la prma volta l eveto A successo è ua varable aleatora X detta tempo d attesa dell eveto A e la sua dstrbuzoe s dce dstrbuzoe geometrca. S ot che: l eveto A s verfca alla prma prova co probabltà p; l eveto A s verfca alla secoda prova co probabltà pq; l eveto A s verfca alla terza prova co probabltà pq Qud la probabltà che l eveto A s verfch alla x-esma prova sarà: ( ) = pq x p x E facle otare che l rapporto geometrca. ( + ) p ( x) p x = q, per questo motvo la dstrbuzoe vee detta Essedo q< s avrà che le probabltà soo sempre decrescet: p( x ) p ( x) terme, dvegoo trascurabl. + < e, dopo u certo 5

6 Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard Eucamo teorem: p x = p q = codzoe d ormalzzazoe x - ( ) = p q p = = p p - La speraza matematca della varable X geometrca è M ( X ) - La varaza della varable X geometrca è : ( ) V Data ua varable d legge geometrca X d parametro p, la varable aleatora X codzoata dall eveto X >k, è ua varable aleatora d parametro p. Cò sgfca che la varable tempo d attesa del prmo successo, ache se codzoata dal o avverars dell eveto per k volte, matee la stessa probabltà. La varable X d legge geometrca è seza memora. E qud erroeo l ragoameto d cert gocator del lotto che scommettoo su umer che hao accumulato u rtardo. La probabltà d uscta alla prossma estrazoe è sempre la stessa. X Dstrbuzoe pergeometrca S cosder questa volta ua sere d prove che sao effettuate cotemporaeamete o modo successvo e dpedete (ad esempo l estrazoe d palle da u ura seza remmssoe). Se s hao N elemet d cu K co la caratterstca d poter verfcare l eveto A (ad esempo, se A = estrazoe d ua palla baca, K = umero delle palle bache), allora s può verfcare faclmete che la probabltà d otteere x success (estrazoe d x palle bache) su prove rpetute, pesata come rapporto tra cas favorevol e cas possbl, è data dalla legge: ( ) p x K N K x x = N Tale fuzoe rappreseta la dstrbuzoe d probabltà pergeometrca d ua varable casuale dscreta. S può dmostrare che per le varabl co dstrbuzoe pergeometrca valgoo le seguet: M ( X ) ( ) V X ( X ) = p dove N = pq N N = pq N K p =, q = - p N 6

7 Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard Dstrbuzoe d Posso Sa X ua varable aleatora dscreta che può assumere valor 0,,,3 e sa λ ua costate assegata. S dce dstrbuzoe d Posso d parametro λ la dstrbuzoe regolata dalla legge d probabltà: ( ) p x = λ x e λ x! Tale dstrbuzoe s mafesta molt feome atural, come umero d chamate telefoche ad u cetralo, error d stampa u lbro, partcelle emesse da ua sostaza radoattva, ecc. Per ua varable aleatora d Posso s ha che: M ( x) = λ V ( x) = = λ = λ Relazoe tra le dstrbuzo d Beroull e d Posso La dstrbuzoe d Posso può esser vsta come ua buoa approssmazoe della dstrbuzoe bomale per pccol valor d x, purchè p sa molto pccolo (evet rar) e p lm + p x q x λ = e x x! λ λ =. Per valor elevat d s può sostture la dstrbuzoe bomale co quella d Posso se p<0,. (Ad esempo se >50 ed p<5) d Beaymé-Cebcev Suppoamo d cooscere spermetalmete valor assut da ua varable X seza cooscere la dstrbuzoe d probabltà. Voglamo determare qual è la probabltà che valor X dfferscao valore assoluto dal valor medo almeo d u certo ε > 0. A tale questoe rspode l teorema seguete. Data ua varable casuale X co scarto quadratco medo, la probabltà che valor assut da X dfferscao valore assoluto dal suo valore medo M d almeo ε > 0 (co ε > ) è data da: P ( X M > ε ) ε 7

8 Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard Dmostrazoe Sappamo che ( ) ( ) x. = V X = X M p Se trascuramo tutt gl scart mor valore assoluto d ε, che suppoamo sao prm m, avremo: e fe ( ) X M p x = m+ ε p = m+, qud = m+ ε p, dove la sommatora rappreseta la probabltà cercata: P ( X M > ε ) c.v.d. ε S può allora calcolare la probabltà dell eveto cotraro, coè che valor assut da X dfferscao modulo dal valor medo per u fattore more d ε. P ( X M < ε ) > ε Utlzzado tale relazoe s può determare u tervallo d valor che ua varable X può assumere co ua data probabltà. Il teorema d Beaymé-Cebcev permette d superare la legge emprca del caso co ua formulazoe astratta ota come Legge de grad umer o teorema d Beroull. Se u eveto ha probabltà costate p d verfcars ad og prova, la probabltà che l valore della frequeza relatva dffersca valore assoluto dalla probabltà per meo d u arbtraro ε > 0, pccolo a pacere, tede ad, coè alla certezza, quado l umero delle prove tede all fto. Dmostrazoe (caso d ua dstrbuzoe bomale) Se è l umero d prove, la varable X/ rappreseta la frequeza del verfcars dell eveto assocato alla varable X. X M = M ( X ) = p = p X V = pq = pq Applcado l teorema d Cebcev P X pq p < ε > ε pq lm = 0 ε Poché more d u ε fssato tede ad, coè alla certezza., la probabltà che la dffereza tra la frequeza e la probabltà teorca p dell eveto sa 8