CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto

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1 CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metod Statstc per le decso d mpresa (Note ddattche) Bruo Chadotto 5. Campo casual e dstrbuzo campoare - Campo casual Nel Cap. 3 d queste ote s è avuto modo d dstguere la statstca descrttva dalla statstca duttva (fereza statstca) sottoleado che s opera el prmo ambto quado s dspoe d tutte le mafestazo del feomeo d teresse, tal crcostaze la statstca (descrttva) s rsolve u seme d metod che cosetoo ua compattazoe adeguata delle formazo dspobl per redere possble o, quatomeo, facltare la compresoe degl aspett del feomeo che pù teressao (a f coosctv o decsoal). Se per qualche motvo (perché mpossble o perché o coveete) o s dspoe d tutte le mafestazo del feomeo ma soltato d u sottoseme d queste, coè s dspoe d u campoe d mafestazo del feomeo d teresse, la statstca (duttva) s caratterzza come l seme delle teore e de metod che cosetoo d pervere, utlzzado dat campoar, a delle cocluso che sao l pù vco possble a quelle cu s sarebbe perveut dspoedo d tutte le mafestazo del feomeo. Se co P s dca l seme d tutte le possbl mafestazo del feomeo d teresse e co C p u suo sottoseme (C p P), operado su C p s vogloo trarre cocluso valde per P, s vuole, coè, ferre da C p a P. Se è vero che u campoe C p è u qualuque sottoseme d P, s deve sottoleare che la statstca (duttva) tratta modo quas esclusvo de campo casual (campo probablstc), coè, de sottosem C p d P cu s pervee attraverso l applcazoe d u qualche meccasmo d selezoe avete atura probablstca. No costtusce, qud, parte tegrate della statstca (duttva) l aals de campo o probablstc; retrao quest ultma categora cosddett campo ragoat e quell per qual o è oto l meccasmo geeratore. E campoameto ragoato quello che dvdua le utà campoare, coè le utà statstche portatrc delle formazo (mafestazo del feomeo d teresse),

2 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa attraverso l applcazoe d procedure basate sull mpego ragoato dell formazoe dspoble al mometo cu s procede all dvduazoe delle utà che adrao a costture l campoe. I proposto s deve, comuque, sottoleare che le formazo dspobl costtuscoo spesso la base d schem d campoameto probablstco pù o meo compless (campoameto stratfcato, campoameto a grappolo, campoameto a pù stad, campoameto stratfcato a pù stad, ecc.), ma tal crcostaze le formazo dspobl vegoo utlzzate solo per cremetare l effceza del campoe, coè l effceza del processo d duzoe dal campoe alla popolazoe, e o per dvduare le sgole utà che adrao a costture l campoe. I questa sede tratteremo esclusvamete del campoameto casuale semplce; coè, de campo cu s pervee procededo all estrazoe (co o seza rpetzoe) d (dmesoe del campoe) elemet che hao la stessa probabltà d essere clus el campoe. Nell ambto del campoameto semplce s potzzerà sempre (almeo a lvello teorco) l essteza d u modello probablstco capace d rappresetare adeguatamete l feomeo che teressa aalzzare. I altre parole, s assumerà che la popolazoe P sa rappresetata da ua varable casuale semplce o multpla co ua propra fuzoe d dstrbuzoe o completamete ota. Ovvamete, se la fuzoe d dstrbuzoe fosse completamete ota s torerebbe al caso d dspobltà completa d tutte le possbl mafestazo del feomeo d teresse. Se s fa rfermeto al caso uvarato (ed è quello che cosdereremo queste ote) la stuazoe d rfermeto è quella d ua varable casuale X co fuzoe d dstrbuzoe F( ;,,..., ) F( ; ) k, dove (,,..., k ) θ è l seme (vettore) de parametr caratterstc del modello deft ello spazo parametrco Θ k ( θ ) Θ k ; coè, de parametr che caratterzzao lo specfco modello, rappresetatvo della specfca stuazoe reale, ell ambto della famgla d dstrbuzo espressa dalla fuzoe F (, ). Se, come avvee usualmete, s cosdera la fuzoe d massa (caso dscreto) o d destà (caso cotuo) d probabltà della varable casuale X, s drà che s sta trattado della varable casuale semplce X co fuzoe d massa o d destà d

3 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa probabltà f ( ;,,..., ) f ( ; ) k. S è detto che esste u problema d duzoe statstca quado la fuzoe d dstrbuzoe F (, ) o è completamete ota; ovvamete, tale affermazoe vale ache e cofrot della fuzoe f (, ). I proposto s possoo dstguere almeo due stuazo d macaza d coosceza: la prma stuazoe è quella caratterzzata da ua coosceza parzale della fuzoe f ( ;,,..., ) f ( ; ) k el seso che s coosce la forma aaltca della fuzoe ma o s coosce l valore d tutt o d alcu parametr caratterstc della fuzoe stessa, questa crcostaza s parla d fereza statstca parametrca. La secoda stuazoe è quella d goraza completa: o s coosce e l valore de parametr e la forma aaltca della fuzoe d massa o d destà d probabltà; questa crcostaza s parla d fereza statstca o parametrca. Da sottoleare che la dzoe fereza statstca o parametrca o è certamete la pù approprata quato terpretable come se, questo ambto, le procedure d statstca duttva o rguardassero parametr. Ovvamete, questa terpretazoe è del tutto scorretta, co la dzoe o paramatrca s vuole, molto semplcemete, caratterzzare le stuazo ferezal elle qual o s coosce forma aaltca e valore de parametr caratterstc, elemet quest etramb covolt elle procedure ferezal: La dzoe corretta per caratterzzare tal stuazo è quella d fereza statstca lbera da dstrbuzoe (dstrbuto free). E gà stato sottoleato che queste ote s parlerà. modo quas esclusvo, d campoameto probablstco semplce, realtà l lmte è acora pù rgdo; fatt, la trattazoe sarà lmtata al campoameto semplce co rpetzoe (campoameto beroullao), questo cotesto le varabl casual assocate a cascua utà campoara rsultao dpedet e detcamete dstrbute (..d.). Al rguardo s deve, comuque, segalare che elle stuazo real l campoameto che s realzza è quello esaustvo (seza rpetzoe), ma è ache vero che ella geeraltà de cas le dffereze tra due schem d campoameto dveta operatvamete rrlevate avedo a che fare co popolazo d dmesoe molto elevate, dmesoe che dveta fta el caso d varabl casual cotue. Tale motvazoe gustfca la trattazoe del campoameto beroullao molto pù semplce dal puto d vsta aaltco. 3

4 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa Defzoe Se X, X,...,X costtuscoo u seme d varabl casual dpedet e detcamete dstrbute (..d.), la loro fuzoe d massa o d destà d probabltà coguta soddsfa l'uguaglaza f (,,..., ;,,..., ) f ( ; ) ( ; ) f ( ; )... f ( ; )... f ( ; ) f ( ; ) f allora s dce che l seme d varabl casual..d. X, X,...,X costtusce u campoe casuale semplce d osservazo dpedet relatvo alla varable casuale X che ha fuzoe d massa o d destà d probabltà equvalete a quella (comue) d cascua compoete X del campoe. Il puto campoaro ( X, X,..., X ) ad dmeso C ( X C). X è defto ello spazo o uverso de campo k Nella formula sopra rportata co ( ; ) f, per,,..,, s è dcata la fuzoe d massa, o d destà d probabltà, dell'-esmo elemeto costtuete l campoe. Avedo supposto l'dpedeza tra le osservazo campoare, s avrà, come sottoleato, l'uguaglaza (equvaleza) tra la dstrbuzoe della varable casuale X relatva alla popolazoe e la varable X (tale deve essere tesa a pror, coè prma dell'effettva estrazoe del campoe) relatva all'-esmo elemeto campoaro (per,...,). Dalla defzoe rsulta che se, ad esempo, s volesse estrarre u campoe d elemet da ua popolazoe dstrbuta ormalmete, co meda µ e varaza σ, la fuzoe d destà d probabltà del campoe casuale sarebbe f(,,..., ) f(,,..., ; µ,σ ) f( ; µ,σ ) e e / ( ) ( ) Se l'estrazoe del campoe d elemet rguardasse ua popolazoe possoaa caratterzzata dal parametro λ, la fuzoe d massa del campoe casuale 4

5 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa sarebbe f(,,..., ) f(,,..., ; λ ) f ( ;«) X «e! «Alle due fuzo f(,,..., ; λ ) e f(,,..., ; µ,σ ) sopra rportate e, geerale, ad og fuzoe d massa o d destà d probabltà campoara f (,,...,,..., ; ) f ( ; ) dove θ rappreseta uo o pù parametr caratterstc della dstrbuzoe d rfermeto, può essere assocata ua secoda terpretazoe che troduce ella trattazoe u cocetto d estrema rlevaza: la fuzoe d verosmglaza. S tratta d ua fuzoe del tutto equvalete, term formal, alla fuzoe d massa o d destà d probabltà campoara sopra trodotta, ma che da questa s dversfca sostazalmete. Ifatt, la fuzoe f (,,...,,..., ; ) f ( ; ) vee detta d verosmglaza se la s terpreta come fuzoe del parametro (o de parametr) θ per u campoe prefssato e o come fuzoe degl elemet campoar. Per evdezare questa partcolare terpretazoe s può rappresetare algebrcamete la fuzoe d verosmglaza co l espressoe () L( / X ) f ( /,,..., ) L dove ( X,X ) X,...,X rappreseta la varable casuale ad dmeso (vettore casuale) assocata alle rlevazo campoare, metre (,,..., ) rappreseta l puto campoaro, coè ua specfca determazoe del vettore casuale X, defto ello spazo o uverso de campo a dmeso C.. Pertato, ella prma terpretazoe, la fuzoe f (,,...,,..., ; ) f ( ; ) fa rfermeto all uverso de campo, s tratta, come gà sottoleato, d u rfermeto a pror, coè prma dell effettva estrazoe del campoe. I questo 5

6 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa cotesto, le varabl che teressao soo, apputo, X,X,,X, assocate a cascu puto campoaro. Nella secoda terpretazoe, la varable d rfermeto è l parametro, o l vettore de parametr, cogto θ quato s assume l avveuta estrazoe campoara delle utà statstche d osservazoe e le varabl assocate a cascua utà (puto campoaro) hao assuto ua specfca determazoe, soo coè delle costat ote, metre assume la atura d varable θ (parametro o vettore de parametr) essedo tale ettà u cogta del problema. Esempo S cosder ua popolazoe beroullaa (varable casuale d beroull X che può assumere due valor 0, asseza del carattere, ed, preseza del carattere) co parametro caratterstco θ p e s suppoga che da tale popolazoe s vogla procedere all estrazoe d 6, ed 36 utà campoare rmettedo og volta l utà estratta ella popolazoe (campoameto beroullao). I tal stuazo la fuzoe d massa d probabltà è quella sotto rportata f(,,, ;p) f ( ; p ) dove basterà sostture ad valor 6, e 36. p ( p ) Se s procede alla rlevazoe campoara e tre cas sopra cosderat e le sequeze osservate soo, rspettvamete: - (,0,,,,) per 6 (5); - (,,0,,,,,,,,0,) per (0); - (0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,,,,0,0,,,,,,0,,0,,) per 36 (30). Le fuzo d verosmglaza soo : L(p) p 5 (-p) per 0 p L(p) p 0 (-p) per 0 p L(p) p 30 (-p) 6 per 0 p la cu rappresetazoe grafca è 6

7 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa L(p) 0,08 0,07 0,06 0,05 6, 5 0,04 0,03 0,0 0, , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 L(p) 0,005 0,0045 0,004 0,0035 0,003 0,005 0,00 0,005 0,00 0,0005 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 L(p) 0, , , , , , , , , , , , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Fg. Fuzoe d verosmglaza relatva a prove seza rpetzoe effettuate su ua popolazoe cu cascua utà è caratterzzata dalla preseza o asseza d uo specfco carattere 7

8 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa Osservado la fgura s rleva modo molto evdete la tedeza alla ormaltà della fuzoe d verosmglaza al crescere della dmesoe campoara. Per avere ua pù mmedata compresoe sa de metod statstc che verrao trattat sa delle loro propretà, occorre sempre teere presete la dstzoe fra varable casuale e le determazo (valor osservat) della varable casuale stessa: prma d effettuare l'estrazoe campoara gl elemet costtuet l campoe X, X,...,X, soo varabl casual; fatt, l'elemeto geerco X (,..,) ha, come gà sottoleato, ua struttura del tutto aaloga a quella della varable casuale X, ha coè la stessa fuzoe d dstrbuzoe. Dopo aver osservato rsultat campoar, le quattà,,..,, costtuscoo partcolar determazo della varable casuale X. Poché gl elemet costtuet u campoe soo delle varabl casual, è varable casuale ache og fuzoe T(X,X,,X ) o costate degl stess. Tale fuzoe, che o dpede da parametr cogt, θ,..., θ,vee usualmete detta θ statstca (dall glese statstc). Sarà, qud, possble dervare la fuzoe d massa o d destà d probabltà d tale varable fuzoe della dstrbuzoe d massa o d destà d probabltà delle varabl casual assocate a sgol elemet campoar. k Defzoe S dce dstrbuzoe campoara, og dstrbuzoe teorca d probabltà che evdeza la relazoe esstete tra possbl valor che possoo essere assut (ell'uverso de campo) da ua qualsas fuzoe T(X,X,,X ) (ad es. u dce stetco) applcata agl elemet campoar (casual) e la dstrbuzoe d massa o d destà d probabltà assocata agl elemet costtuet l campoe stesso. S cosder la fuzoe, defta sugl elemet X, X,...,X, d u campoe casuale semplce co rpetzoe relatvo ad ua certa varable X che ha mometo s-esmo (s,,3, ) par a µ s e varaza par a σ : X s T(X s,x,...,x ) s X ; s,,... che vee usualmete detto mometo campoaro, o mometo emprco, d orde s rspetto all'orge. Evdetemete tale mometo, varerà al varare del campoe e 8

9 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa descrverà ua varable casuale, la cu fuzoe d massa o d destà d probabltà dpederà dalla fuzoe d massa o d destà d probabltà delle varabl casual X,X,,X, coè, dalla fuzoe d massa o d destà d probabltà della varable casuale X. E' facle verfcare che l valore medo d varable X, fatt X s è par al mometo s-esmo della e qud, per s s avrà s s s ( X s ) E X E( X ) E( X ) s E ( X ) E X E( X ) E( X ) E E(X) µ µ coè l valor medo della meda campoara è uguale alla meda della popolazoe. La varaza della meda campoara è data da Var ( X ) Var X Var( X ) σ coè, la varaza della meda campoara è par alla varaza della popolazoe dvsa per la dmesoe del campoe. Nel caso d campoameto semplce esaustvo (seza rpetzoe) s ha: Var ( X) Var X Var( X ) + Cov( X, X ) j ( ) ( -) ( ) ~ + + dove Cov( X, ) per og,j. Se assumamo N, ( X) Var ~ X j ( ) ( -) X + ~ 0 da cu espressoe porta a ( ) ( -) ~ Var dveta: ~ - che sosttuto ella precedete N N- N Var X, dove vee N N- N usualmete detto fattore d correzoe e forsce, come s avrà modo d charre successvamete, ua msura della maggore effceza del campoameto esaustvo rspetto al campoameto co rpetzoe. Defedo la varaza campoara (corretta) attraverso la fuzoe j 9

10 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa S T(X, X,..., X ) ( X X ) s può verfcare, ell'potes d campoameto beroullao (campoe casuale semplce co rpetzoe), che E (S ) è uguale a σ, coè l valor medo della varaza campoara è par alla varaza della popolazoe. Metre la varaza della varaza campoara corretta S è espressa da: Var 3 4 ( S ) 4 dove µ 4 rappreseta l mometo quarto rspetto alla meda della popolazoe ( µ 4 E{(X - µ) 4 } ) dalla quale vee estratto l campoe. Per campo estratt da popolazo ormal vale l seguete teorema. Teorema Se X,..,X costtuscoo u campoe casuale d elemet relatv ad ua popolazoe ormale, d meda µ e varaza σ, allora la varable casuale campoara: ) X X è dstrbuta ormalmete co meda µ e varaza σ /; ) Y ( X ) è dstrbuta come u χ co g grad d lbertà; () S ) V ( X X ) è dstrbuta come u χ co g ( - ) grad d lbertà. Nella Fg. è rportato l adameto della fuzoe d destà della varable casuale χ per dvers valor assut dal parametro caratterstco (g, 5, 0, 50 grad d lbertà); s può osservare la tedeza della dstrbuzoe alla ormaltà al crescere de grad d lbertà. 0

11 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa L(p) g L(p) g 5 0,006,8 0,005,6,4 0,004, 0,003 0,8 0,00 0,6 0,4 0,00 0, L(p) g 0 L(p) g 50 0,000004,5E-4 0, E-4 0, ,000005,5E-4 0, , E-4 0, E-4 0, Fg. Fuzoe d destà d probabltà della varable casuale χ per g, 5, 0, 50.

12 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa Essedo le varabl casual X e V statstcamete dpedet, e derva che la varable casuale campoara W Z V/() X ( ) S X S/ dove Z X ha ua dstrbuzoe del tpo t d Studet co ( - ) grad d lbertà essedo basata sul rapporto tra ua varable casuale ormale stadardzzata e la radce quadrata d ua varable del tpo χ dvsa per propr grad d lbertà. Sul cocetto d grad d lbertà s avrà modo d torare seguto, qu basta sottoleare che grad d lbertà relatv alla varable casuale campoara Y soo perché soo le varabl casual dpedet (X - µ), (X - µ), (X - µ) che etrao el suo computo. Metre grad d lbertà relatv alla varable casuale campoara V soo ( ) quato, pur essedo gl elemet, le varabl casual scarto ( X X ), ( X X ),...( X X ) che etrao el suo computo, soltato ( ) soo tra loro dpedet, fatt, le varabl scarto soo (per costruzoe) soggette al vcolo ( X X ) 0 Ne cas cu l'evdeza emprca o rago teorche escludoo la ormaltà della popolazoe cu s rfersce l campoe (casuale) d dat a dsposzoe, e o s hao altre formazo sulla popolazoe stessa, s può fare rcorso al teorema del lmte cetrale che dvdua la ormale come dstrbuzoe approssmata della varable casuale meda campoara. S rporta d uovo l'eucato del teorema ella sua forma pù semplce adeguadolo al cotesto del campoameto Teorema (del lmte cetrale) - Se X, X,...,X costtuscoo u campoe casuale

13 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa semplce d elemet relatv ad ua qualuque popolazo d meda µ e varaza (fta) σ, allora la varable casuale meda campoara X X per suffcetemete elevato ha ua dstrbuzoe approssmatvamete ormale, co meda µ e varaza σ /. Va sottoleato, oltre, che la tedeza alla ormaltà della varable casuale X, s realzza ache quado le osservazo campoare s rferscoo ad popolazo dstte, purchè esse abbao meda e varaza fta. S avrà pertato che (rcordado quato detto a proposto d combazo d varabl casual ormal dpedet) la dstrbuzoe campoara d ua qualsas combazoe leare d mede calcolate su u gruppo d campo dpedet tede alla ormaltà al crescere della umerostà d cascuo de campo cosderat. Bechè l teorema del lmte cetrale rguard grad campo, elle applcazo emprche pù frequet, l'approssmazoe ormale rsulta soddsfacete ache per campo d modeste dmeso. Se le osservazo campoare s rferscoo a popolazo dstte, s avrà ua buoa approssmazoe per pccol campo ( 30) solo quado le dstrbuzo d tal popolazo o s dscostao troppo dalla dstrbuzoe ormale e le loro varaze o soo molto dverse. Torado al problema dell approssmazoe della dstrbuzoe della meda campoara per campo rfert ad ua stessa popolazoe o ormale, s deve osservare che la botà dell approssmazoe dpede, oltre che dalla dmesoe campoara ache dalla atura e dalla forma della dstrbuzoe orgara dalla quale l campoe è stato estratto. Nella Fg. 3 è rportata la dstrbuzoe della meda campoara stadardzzata per campo d dverse dmeso estratta da popolazo cotue defte da modell: a) X: b) X: 3 3, f() >, f() e 3 3

14 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa f( ) 3 f( ) e Fg. 3 -Dstrbuzoe della meda campoara per campo d dverse dmeso estratt da due dverse popolazo cotue. 4

15 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa Come s può faclmete desumere osservado le fgure, a partà d dmesoe campoara, l approssmazoe mglore è quella relatva alla dstrbuzoe uforme (dstrbuzoe smmetrca); geerale, s osserva che l approssmazoe della dstrbuzome ormale è tato pù buoa quato pù la dstrbuzoe è smmetrca. Nelle page precedet soo state calcolate meda e varaza delle varabl casual, meda campoara X e varaza campoara (corretta) S, assocate a campo estratt da ua qualuque popolazoe. D queste due varabl, d loro trasformazo e del rapporto tra loro partcolar trasformazo, è stata dervata ache la dstrbuzoe campoara el caso d campoameto da popolazo ormal. S è, oltre, data dcazoe della dstrbuzoe astotca (coè della dstrbuzoe cu s pervee facedo tedere ad fto la dmesoe del campoe) della meda campoara. S procederà ora alle stesse elaborazo rfermeto a proporzo, a dffereze tra mede campoare e tra proporzo campoare e al rapporto tra varaze campoare co rfermeto, partcolare, a campo estratt da popolazo ormal. S suppoga d estrarre u campoe casuale semplce d dmesoe da ua popolazoe d tpo dcotomco, coè da ua popolazoe caratterzzata dalla preseza o meo d u determato carattere; s suppoga oltre che la proporzoe delle utà che possede l carattere d teresse sa par a p, metre - p q è la proporzoe delle utà che o possede l carattere questoe. La popolazoe dalla quale vee estratto l campoe d dat può essere, base a quato detto, rappresetata da ua varable casuale beroullaa caratterzzata dal parametro X : 0 0, θ p del tpo P(X 0 ) q, P(X ) p l cu valor medo e varaza soo rspettvamete µ p e σ p q. Ora, se s cosdera l puto campoaro (X, X,...,X ) s vede come, ell uverso de campo, cascua compoete X (,,..., ) sa ua varable casuale del tutto smle alla varable casuale X che rappreseta la popolazoe. 5

16 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa S avrà pertato che la varable casuale campoara P T(X, X,...,X che dca la proporzoe delle utà che el campoe presetao quel determato carattere, avrà ua dstrbuzoe d tpo bomale (varable casuale bomale relatva), co valor medo E(P) µ p e varaza σ p pq/. Questa coclusoe cosete d terpretare la varable casuale bomale relatva, otteuta attraverso ua combazoe leare d varabl casual d beroull dpedet, come dstrbuzoe campoara d proporzo o percetual. ) Ovvamete, se s defsce come varable casuale campoara X T X coè l totale d success elle estrazo campoare dpedet effettuate, tale varable è esattamete ua varable casuale bomale co parametr caratterstc e p, co meda µ p e varaza casuale bomale come somma d caratterzzate da uo stesso parametro p. X σ p q; l che cosete d terpretare la varable varabl casual d beroull dpedet Nelle Fgg. 4 e 5 è rportata la dstrbuzoe bomale (opportuamete stadardzzata) per dvers valor d e d p e la relatva approssmazoe co la dstrbuzoe ormale. Come s può faclmete desumere osservado le fgure, a partà d dmesoe campoara l approssmazoe è tato pù buoa quato pù p è prossmo al valore 0,5 (dstrbuzoe smmetrca); ovvamete l approssmazoe mglora al crescere della dmesoe campoara. 6

17 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa Fg. 4 - Istogramm della dstrbuzoe bomale per p 0, e dvers valor d e relatva approssmazoe co la varable casuale ormale stadardzzata. 7

18 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa Fg. 5 - Istogramm della dstrbuzoe bomale per p 0,5 e dvers valor d e relatva approssmazoe co la varable casuale ormale stadardzzata 8

19 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa - Campoameto da due popolazo dpedet S suppoga ora d estrarre co rpetzoe due campo casual dpedet, d dmesoe m ed, da due popolazo dstte rappresetate dalle varabl casual X e Y, l cu valore medo e varaza soo rspettvamete µ, σ, µ, σ. Sugl elemet campoar (X, X,...,X m ) e (Y, Y,...,Y ) s calcolo le quattro fuzo S X ; Y m m m X m ( X X ) Y ; S ( Y Y ) s calcolo, coè, le due mede campoare e le due varaze campoare corrette, e s defscoo le uove ettà (dffereza tra mede campoare e dffereza tra varaze campoare corrette) V X Y S S S Le due varabl, ell uverso de campo, hao mede e varaze espresse dalle uguaglaze seguet E(V ) Var(V ) σ E( S Var( S µ µ ) σ σ + σ ) Var( S σ m σ + ) + Var( S Ioltre, se due campo soo estratt da popolazo ormal dpedet vale l seguete teorema Teorema Se X, X,..., X m costtusce u campoe casuale estratto da ua ) popolazoe ormale d meda µ e varaza, Y, Y,..., Y u campoe casuale estratto da ua popolazoe ormale d meda µ e varaza, allora la varable casuale campoara: 9

20 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa 0 ) m Y X m Y X U è dstrbuta ormalmete co meda µ - µ e varaza m + ; + m X Y V è dstrbuta come ua varable casuale χ co m+ grad d lbertà; + + m Y Y X X )S ( )S (m W è dstrbuta come ua varable casuale χ co m+- grad d lbertà; S S ) /( )S ( ) m /( )S m ( F σ σ σ σ è dstrbuta come ua varable casuale F d Fsher-Sedecor co m- ed - grad d lbertà. Le cosderazo svolte a proposto delle dstrbuzo campoare degl dc stetc meda e varaza, possoo essere aturalmete estese ad altr dc caratterstc qual medaa, quartl, scostameto quadratco medo, coeffcete d varazoe, ecc. A proposto della varaza calcolata sulle dstrbuzo campoare d dc stetc va detto che la sua radce quadrata postva (scostameto quadratco medo o devazoe stadard) vee usualmete deomata errore stadard o errore d campoameto, voledo co cò sottoleare la sua partcolare caratterstca d msura della botà d ua stma term d varabltà. Su questo puto s avrà comuque modo d soffermars a lugo successvamete. Esempo (dstrbuzo campoare per campo estratt da popolazo dscrete) S cosdero cque palle detche a meo de cotrasseg umerc (, 3, 5, 7, 9) che su d esse soo rportat. La dstrbuzoe d frequeza relatva alla varable questoe può essere rappresetata el modo seguete

21 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa Modaltà Frequeze assolute Frequeze relatve f / (probabltà: p ) /5 3 /5 5 /5 7 /5 9 /5 Tab. Popolazoe dscreta uforme S suppoga d aver estratto 00 campo casual, d dmesoe, dalla popolazoe rportata ella Tab. e che l'operazoe d campoameto (effettuata reseredo og volta l'utà estratta ella popolazoe) abba dato luogo alle seguet 00 coppe d rsultat N. Campoe N. Campoe N. Campoe N. Campoe N. Campoe (3,3) (5,3) 4 (3,7) 6 (5,) 8 (,9) (5,3) (9,3) 4 (,7) 6 (3,5) 8 (3,7) 3 (,) 3 (5,9) 43 (5,7) 63 (3,) 83 (9,3) 4 (7,3) 4 (7,3) 44 (7,7) 64 (7,7) 84 (9,) 5 (,5) 5 (5,5) 45 (,9) 65 (,) 85 (5,9) 6 (3,5) 6 (9,9) 46 (3,3) 66 (9,7) 86 (5,3) 7 (5,5) 7 (9,5) 47 (3,7) 67 (,3) 87 (,9) 8 (5,7) 8 (9,7) 48 (3,) 68 (9,5) 88 (9,5) 9 (9,3) 9 (7,3) 49 (,) 69 (3,5) 89 (,9) 0 (3,3) 30 (3,7) 50 (,7) 70 (9,7) 90 (5,5) (5,7) 3 (3,) 5 (,5) 7 (9,7) 9 (9,3) (7,3) 3 (5,5) 5 (9,) 7 (,3) 9 (,) 3 (3,7) 33 (9,) 53 (7,7) 73 (,5) 93 (3,3) 4 (3,3) 34 (5,9) 54 (7,3) 74 (7,) 94 (,3) 5 (,7) 35 (5,9) 55 (5,9) 75 (3,5) 95 (5,) 6 (5,9) 36 (9,) 56 (3,5) 76 (5,5) 96 (,5) 7 (9,) 37 (3,) 57 (9,7) 77 (3,5) 97 (,5) 8 (3,9) 38 (7,) 58 (5,7) 78 (9,5) 98 (7,) 9 (7,3) 39 (7,7) 59 (5,) 79 (7,) 99 (7,) 0 (7,5) 40 (7,9) 60 (,3) 80 (9,5) 00 (3,5) Tab. Prospetto de rsultat relatv a 00 campo d dmesoe, estratt casualmete dalla popolazoe rportata ella tabella se s troduce la fuzoe X + X X M T( X,X )

22 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa dove (X, X ) rappreseta la coppa degl elemet costtuet l campoe, s potrà dervare la dstrbuzoe campoara spermetale (relatva a 00 campo estratt) della meda artmetca; tabella s avrà Meda campoara M Frequeza assoluta Frequeza relatva f /00 4 0,04 8 0, , , , , , ,06 9 0,0 Tab. 3 Dstrbuzoe campoara spermetale della meda artmetca relatva a rsultat rportat ella tab. dove evdetemete la frequeza assoluta sta ad dcare l umero de campo (su 00 estratt) d due elemet per l quale s è realzzata quella partcolare modaltà (meda artmetca de due elemet campoar). La dstrbuzoe campoara spermetale della varable rportata ella Tab. 3 costtusce ua approssmazoe della dstrbuzoe campoara (teorca) d X. Se s procedesse all'estrazoe d ua secoda sere d 00 campo, d dmesoe, s otterrebbe verosmlmete ua dversa dstrbuzoe campoara spermetale d X, tale da costture ache essa u'approssmazoe della dstrbuzoe campoara teorca d X. Cosderado le due sere d espermet ad u tempo (coè 00 campo d dmesoe ) s dovrebbe otteere ua dstrbuzoe campoara spermetale d X pù vca alla dstrbuzoe teorca d quato o sao le due dstrbuzo cosderate separatamete. Per determare la dstrbuzoe campoara teorca della varable casuale X s può segure la va sotto dcata. a) - S cosderao tutte le possbl coppe d valor (X, X ) estrabl (co rpetzoe) dalla popolazoe rportata ella Tab., che soo

23 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa (,) (3,) (5,) (7,) (9,) (,3) (3,3) (5,3) (7,3) (9,3) (,5) (3,5) (5,5) (7,5) (9,5) (,7) (3,7) (5,7) (7,7) (9,7) (,9) (3,9) (5,9) (7,9) (9,9) e su queste vegoo calcolat valor med artmetc; b) - S determa la probabltà relatva a cascua coppa (X, X ). Essedo l campoe estratto co rpetzoe da ua popolazoe uforme s avrà per, j,, 3, 4, 5, [( X ) ( X )] P( X ) P( X ) P c) - S sommao le probabltà relatve alle coppe d valor che dao luogo alla stessa meda. Il rsultato delle operazo dcate a put a), b), c), possoo essere rassut ella tabella seguete Modaltà Probabltà f( )p 0,04 0,08 0, 0,6 0,0 0,6 0, 0,08 0,04 Tab. 4 - Dstrbuzoe campoara (teorca) della meda artmetca per campo d dmesoe estratt dalla popolazoe uforme rportata ella Tab. Il cofroto tra dat relatv alla dstrbuzoe campoara teorca e quell relatv alla dstrbuzoe campoara emprca è rportato ella fgura seguete 3

24 B. Chadotto Versoe 000 Cap. 5 Metod statstc per le decso d mpresa Fg. 6 - Dstrbuzoe campoara spermetale (come da Tab. 3) e teorca (come da Tab. 4) per la meda calcolata su campo d dmesoe estratt dalla popolazoe uforme X:, 3, 5, 7, 9 Utlzzado dat rportat ella Tab. 4 s dervao le uguaglaze Var. ( X ) 5 E ( X ) 4 che verfcao emprcamete la propretà che ha l valor medo (valore atteso) della varable casuale meda campoara X d essere uguale al valor medo (meda artmetca) della varable casuale relatva all'tera popolazoe e della varaza che rsulta essere par alla varaza della popolazoe dvsa per la umerostà del campoe. 4