CAP. 5 TEST DELLE IPOTESI STATISTICHE

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1 ORSO DI LAUREA IN STATISTIA (Note ddattche) Bruo hadotto AP. 5 TEST DELLE IPOTESI STATISTIE 5. Itroduzoe I questo captolo s affrota l problema della verfca d potes statstche lmtado sostazalmete la trattazoe alla cosddetta teora classca del test delle potes parametrche e facedo, soprattutto, rfermeto a campo estratt da popolazo ormal; comuque, la portata geerale de prcp eucat e la logca delle argometazo svolte rmagoo mmutate ache se s fa rfermeto a campo estratt da popolazo o ormal. Argometazo dverse devoo essere svolte sa e rguard della mpostazoe baesaa della teora del test delle potes sa e rguard della teora de test o parametrc; aspett quest che o vegoo qu trattat. E' stato sottoleato precedeza che la teora dell'fereza statstca rguarda prcpalmete due specfc argomet: la stma ed l test delle potes. I etramb cas s tratta d valutare aspett cogt, coceret ua determata popolazoe, sulla scorta delle rsultaze campoare. Il problema della stma e quello del test delle potes, ache se sml, vao comuque teut dstt quato covolgoo problematche dverse. Ifatt, come gà detto, el prmo caso l'evdeza campoara, evetualmete tegrata da coosceze a pror, vee utlzzata per stmare u'ettà cogta relatva ad ua certa popolazoe; el secodo caso, l'evdeza campoara, evetualmete tegrata da coosceze a pror, vee utlzzata per verfcare statstcamete la valdtà d ua certa assuzoe (potes) cocerete ua specfca ettà cogta. La rlevaza del problema della verfca d potes statstche è faclmete tuble se s pesa che dall'operazoe d verfca scatursce, ella geeraltà de cas, l'accettazoe o l rfuto dell'potes formulata. A coferma d u tale fatto, vao cosderat soprattutto problem d decsoe e qual all'accettazoe o al rfuto d

2 B. hadotto Versoe 6 ua certa potes è collegata la scelta d ua partcolare lea d comportameto. Defzoe (Ipotes statstca). U'potes statstca è u'affermazoe che specfca parzalmete o completamete la legge d dstrbuzoe della probabltà d ua varable casuale. L'affermazoe può rferrs sa alla forma fuzoale della legge d dstrbuzoe che a parametr caratterstc o a sol parametr caratterstc quado s assuma ota la forma aaltca della dstrbuzoe stessa. Se l'potes, usualmete dcata co l smbolo e detta potes ulla o potes zero (potes d lavoro), specfca completamete la legge d dstrbuzoe della varable casuale, s dce semplce, el caso opposto l potes vee detta composta o composta. Ioltre, se l'potes rguarda parametr caratterstc d ua partcolare dstrbuzoe d cu s coosce la forma aaltca s parla d potes parametrca; s dce vece o parametrca (o pù correttamete dstrbuto free), l'potes statstca che o presuppoe ota tale forma. Ovvamete l'potes o parametrca, come geeralmete accade, può rguardare sa la forma aaltca della dstrbuzoe sa parametr che la caratterzzao. Ad esempo se s potzza che l'altezza degl tala adult d sesso maschle s dstrbusce modo (approssmatvamete) ormale co meda par a,7 metr e scostameto quadratco medo par a,8 metr. S sta trattado d ua potes statstca semplce (specfca completamete la legge d dstrbuzoe del feomeo) o parametrca (l'potes rguarda ache la forma della dstrbuzoe). Se vece s dà per acqusto l fatto che l'altezza degl tala adult d sesso maschle s dstrbusce modo (approssmatvamete) ormale, l'potes statstca potrà rguardare sol parametr caratterstc meda µ e varaza (o lo scostameto quadratco medo ). L'potes sarà semplce, se specfca u precso valore umerco per due parametr, ad esempo: l'altezza meda è par a,7 metr; sarà vece composta se specfca u seme d valor, ad esempo: l'altezza meda degl tala adult d sesso maschle è compresa ell'tervallo,68,7 metr. Defzoe (Test d potes). U test d potes (statstca) è ua regola attraverso la

3 B. hadotto Versoe 6 quale s decde se accettare o meo l'potes formulata sulla base delle rsultaze campoare. Tal dat s rferscoo aturalmete alla varable casuale sulla cu legge d dstrbuzoe è stata formulata l'potes. Se s dca co l'uverso de campo o spazo de campo, coè l'seme d tutt possbl rsultat campoar, u test delle potes cosste el bpartre l'seme due sottosem dsgut e modo tale che s decde d rfutare l'potes se l puto campoaro cade, d accettare l'potes se l puto campoaro cade. Lo spazo d rfuto d u'potes vee usualmete detto regoe crtca, metre s dce regoe d accettazoe lo spazo. Spazo o uverso de campo Regoe o spazo d rfuto d ( Regoe crtca ) Regoe o spazo d. accettazoe dell potes Fg. - Bpartzoe dell'uverso de campo S è parlato d u test statstco e o del test statstco, quato s tusce faclmete come la bpartzoe dell'uverso de campo, e coè la defzoe della regoe crtca, possa essere effettuata secodo crter o regole dfferet che o coducoo ecessaramete agl stess rsultat. Due dfferet test, e coè due mod dvers d bpartzoe dell'uverso de campo, possoo essere post a cofroto 3

4 B. hadotto Versoe 6 attraverso u'aals del processo logco seguto ella loro formulazoe, o pù semplcemete, sempre che sa possble, cofrotado le probabltà che s hao d commettere degl error adottado l'ua o l'altra procedura per sottoporre a test ua stessa potes. Nell'accettare o rfutare, sulla scorta dell'evdeza campoara, ua determata potes ulla, s può agre correttamete, e coè accettare u'potes vera o rfutare u'potes falsa, oppure s possoo commettere error avet dversa atura: a) rfutare u'potes quado essa è vera. S parla questo caso d errore d I spece o d I tpo; b) accettare u'potes quado essa è falsa. S parla questo caso d errore d II spece o d II tpo. Il processo decsoale sopra llustrato può essere schematcamete rassuto ella tavola che segue. Azo S accetta Stato d atura è vera Decsoe corretta è falsa S commette u errore d II tpo S rfuta S commette u errore d I tpo Decsoe corretta Tab. - Tavola d decsoe La probabltà d commettere u errore d prmo tpo, e coè la probabltà d rfutare ua potes quado essa è vera, è dcata usualmete co α. α P ( X ) / dove α vee detto lvello d sgfcatvtà del test e ( X, X,..., ) X X rappreseta l puto campoaro. La probabltà d commettere u errore d II tpo, e coè la probabltà d accettare u'potes quado essa è falsa, è dcata co β ( Η ) β ( ) P ( X ) / 4

5 B. hadotto Versoe 6 Dove, che rappreseta la egazoe dell potes o, vee detta potes alteratva e, ell ambto della teora classca o frequetsta del test delle potes, completa l cotesto decsoale el seso che, ella specfca stuazoe sotto esame, o è vera l potes ulla o è vera l potes alteratva ; β ( Η ) dca, pertato, la probabltà dell errore d II tpo che dpede, ovvamete, dalla specfcazoe dell potes alteratva. La quattà γ ( ) ß ( ) e coè la probabltà d rfutare u'potes quado essa è falsa vee detta forza o poteza del test relatvamete all'potes alteratva. Al varare d la γ ( ) assumerà l carattere d fuzoe, e vee detta fuzoe forza del test. Da rlevare che term forza e poteza vegoo usat come som e traducoo l terme glese power. Quato sopra affermato s rferva al caso d'potes semplce. Nel caso d potes ulla composta, s può defre l lvello d sgfcatvtà come α SupP ( X / ) osì posto l problema, s vede charamete come la mglore soluzoe sa rappresetata da u test capace d mmzzare smultaeamete le probabltà d commettere gl error d I e d II tpo. Purtroppo, o è geeralmete possble persegure u tale obbettvo, e coè, o è sempre possble dvduare u test capace d mmzzare cotemporaeamete le probabltà d commettere due tp d errore quado la dmesoe del campoe sa stata fssata. S dovrà qud operare modo dverso; fatt, la procedura che s segue geeralmete è quella d fssare la msura della probabltà d commettere u errore d prmo tpo (s stablsce coè l lvello d sgfcatvtà α) e ell'dvduare po l test che mmzza la probabltà d commettere u errore d II tpo. S potrebbe, pù semplcemete, dre che fssato l lvello d sgfcatvtà α, s cerca l test pù potete (test MP dall glese Most Powerful), coè, quello che ha l valore d γ ( ) pù elevato. 5

6 B. hadotto Versoe 6 5. Ipotes semplc S è dstto precedeza le potes sulla forma fuzoale della legge d dstrbuzoe della varable casuale oggetto d'aals dalle potes su parametr caratterstc d tale legge (supposta ota). Le potes statstche soo state ulterormete dstte semplc e composte a secoda che le potes stesse specfcho completamete o parzalmete la legge d dstrbuzoe del feomeo. Nel caso cu l'potes ulla e l'potes alteratva sao etrambe semplc, lo spazo parametrco Θ, a ua o pù dmeso, d defzoe de parametr rsulta formato da due sol put Θ ( :, ) Le potes soo : : S è gà detto come la costruzoe d u test s rduce effett alla bpartzoe dello spazo de campo due sottospaz e. S vede qud charamete come l mglor test per sottoporre a verfca u'potes sa quello che dvdua la mglore regoe crtca ; l'altra, la regoe d accettazoe, rsulterà determata d cosegueza. Dove, per mglor regoe crtca s tede, apputo, quella che, a partà d lvello d sgfcatvtà, preseta la probabltà d commettere u errore d II tpo pù bassa. I term formal s può dre che la mglore regoe crtca (l mglor test) d gradezza α ( a lvello α d sgfcatvtà) per sottoporre al test l'potes semplce : cotro l'potes alteratva : è quella che soddsfa le due relazo P ( X / ) α P ( X / ) P ( X / ) dove: X rappreseta l puto campoaro, e (, 3,...) rappreseta og possble regoe crtca alteratva a tale che P ( X / ) α. U famoso teorema attesta che esste, ed è sempre possble dvduare, la mglore regoe crtca el caso cu s vogla sottoporre a test u'potes statstca semplce cotro u'potes alteratva ach'essa semplce. 6

7 B. hadotto Versoe 6 Teorema (Nema-Pearso): Sa X ua varable casuale co fuzoe d massa o d destà d probabltà f ( ; ) e sa,,..., u campoe casuale d osservazo su X. Allora la fuzoe d verosmglaza del campoe sarà espressa da ( ; ) L ( ;,,, ) f ( ; ) L dove f( ; ) rappreseta la fuzoe d destà (d massa) d probabltà dell'-esmo elemeto campoaro. Sao e due valor dstt d, K ua costate reale postva e s vogla sottoporre a test l'potes : cotro l'potes alteratva :. Se (regoe crtca) è u sottospazo dello spazo de campo tale che L L ( ; ) K ( ; ) e d cosegueza (regoe d accettazoe) cossterà ell'seme d put campoar tal che L L ( ; ) < K ( ; ) dove K vee scelto modo che la probabltà d commettere u errore d I spece sa par a α [ ( X / ) α ] P, allora la regoe crtca preseta la pù bassa probabltà d'errore d II spece, tra le rego crtche che hao lvello d sgfcatvtà par ad α. Dmostrazoe Sao relazo e due rego d rfuto dell potes ulla per le qual valgoo le P s vuol dmostrare che se ( X / ) P( X ) α P / rsulta defto dalle dsuguaglaze sopra rportate allora: ( X / ) P( X ) / 7

8 B. hadotto Versoe 6 8 s vuole dmostrare, coè, che l test defto dalla regoe è pù potete d quello defto da ua qualuque altre regoe crtca che abba lo stesso lvello d sgfcatvtà α.. S cosder la dffereza tra le probabltà d o commettere u errore d II tpo (poteza) relatve alle due rego crtche: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), K, K, K, K, K, K, K, K,, pertato,,,, : ha teorema s per le due dsuguaglaze rportate ell'eucato del ma,,,,,, per cu qud,, / / + < α α K L L L L L L L L L L L K L L K L L L L L L L P P P P P P L L X P X P o Bsoga teer presete che, dal puto d vsta operatvo, quado s procede ella formulazoe d u test, lo spazo de campo d rfermeto o è lo spazo d varabltà della -upla ( ) X X X,,, X che costtusce l campoe casuale, ma lo spazo d varabltà d ua fuzoe T ( ) d tal valor che assume, pertato, la atura d varable casuale test; ad esempo, se µ, la fuzoe d compattazoe è data dà ( ) X X X X T X,,, s cosdera, coè, la meda campoara X e lo spazo de campo relatvo a tale

9 B. hadotto Versoe 6 varable sarà l'tero asse reale e la sua suddvsoe potrà essere del tpo rportato ella fgura che segue: Fg. - Regoe crtca e regoe d accettazoe dell'potes Tre cosderazo vao fatte merto al teorema d Nema-Pearso: l teorema resta valdo qualuque sa l umero de parametr (purché fto) caratterstc della legge d dstrbuzoe delle probabltà della varable casuale X; l teorema o rchede esplctamete l'dpedeza stocastca delle osservazo costtuet l campoe; el teorema soo fssate le codzo ecessare affché u test sa l pù potete ma vegoo ache dcate le regole per la dervazoe della regoe crtca. Esempo Sa f (, ) π e ( ) la fuzoe d destà d probabltà d ua varable casuale X defta sull'tero asse reale esteso (X: - + ). S può osservare che s sta trattado ua varable casuale ormale d meda µ e varaza. Relatvamete alle seguet potes (etrambe semplc) : 9

10 B. hadotto Versoe 6 : < s assuma la dspobltà d u campoe casuale (,,..., ). I queste codzo s può pervere alla dvduazoe della mglore regoe crtca, coè alla dvduazoe del test pù potete, facedo rcorso al teorema d Nema-Pearso. Le fuzo d verosmglaza sotto le potes e soo ( ) ) ( e (π) ) ; ( f ; L ( ) ) ( e (π) ) ; ( f ; L La mglore regoe crtca, coè quella che mmzza la probabltà ( ) β dell'errore d II tpo ua volta fssata la probabltà α dell'errore d I tpo, resta dvduata dalla dsuguaglaza ( ) ( ) K e ) ; f( ) ; f( ; L ; L ) ( ) ( dove K è ua costate da determare fuzoe d α. Prededo l logartmo degl ultm due term della dsuguaglaza s ottee K log ) ( ) ( moltplcado per due term della dsuguaglaza s ha K log ) ( ) ( essedo ) ( + + ) ( + + dove

11 B. hadotto Versoe 6 la relazoe d dsuguaglaza può essere scrtta ( ) + ( ) log K ed ache, dvdedo per la quattà egatva ( ) dsuguaglaza (s rcord l'potes < ): ( ) log K- ( ) che verte l sego d K Poché X ha, sotto l'potes ulla :, dstrbuzoe ormale co meda µ e varaza /, sarà facle determare l valore d K che soddsfa la relazoe log K- ( ( ) X P / ( ) ) α I pratca l'operazoe s semplfca teedo presete che l membro d destra della dsuguaglaza è ua fuzoe costate d K, basterà allora dvduare l valore K che soddsfa la relazoe od ache l che equvale alla relazoe ( X K / ) α P X K P / / / ( Z c) α P dove Z è ua varable casuale ormale stadardzzata e α K è l puto / c crtco che ha alla sua sstra (regoe crtca) l'α% de valor della dstrbuzoe. 5.3 Ipotes composte Il teorema d Nema-Pearso cosete d dervare la mglore regoe crtca

12 B. hadotto Versoe 6 soltato e cas cu sa l'potes ulla che quella alteratva soo semplc. Quado o, o etrambe le potes soo composte o esste u aalogo teorema. E' stata comuque suggerta, sempre dagl stess autor, ua procedura geerale per la dvduazoe della regoe crtca che dà usualmete buo rsultat: l test del rapporto d verosmglaza. S dmostra fatt che e cas cu esste la mglore regoe crtca essa vee dvduata dal test del rapporto d verosmglaza. S dmostra oltre che se esste u test uformemete pù potete (test UMP dall glese Uforml Most Powerful), coè u test che relatvamete ad ua data potes ulla semplce e per u prefssato lvello d probabltà dell'errore d I tpo mmzza la probabltà dell'errore d II tpo, qualuque sa la specfcazoe della potes alteratva composta, esso è u test del rapporto d verosmglaza. Il test del rapporto d verosmglaza può essere defto e seguet term: Defzoe 3 (Test del rapporto d verosmglaza). S suppoga che,,., costtusca u campoe casuale d ua varable X la cu dstrbuzoe d probabltà sa caratterzzata dal parametro cogto, e s vogla sottoporre a test ua potes ulla cotro u'potes alteratva (ua o etrambe composte). S dch co L ( Θˆ ) l valore massmo della fuzoe d verosmglaza del campoe rspetto al parametro l cu campo d varabltà è crcoscrtto dall'potes, e s dch co L ( Θˆ ) l valore massmo della fuzoe d verosmglaza rspetto a, l cu campo d varabltà rguarda og valore specfcato dall'potes o. Allora la regoe crtca del test (geeralzzato) del rapporto d verosmglaza è formata da tutt put campoar che soddsfao la relazoe ( Θˆ ) ( Θˆ ) ( / Θ ) ( / Θ) L ma L < K L ma L R dove K è scelto modo che la probabltà d commettere u errore d I spece sa uguale ad α. Da rlevare che l rapporto sopra dcato o potrà ma superare l'utà; la costate K sarà qud sempre ferore a e potrà essere determata sulla base della dstrbuzoe probablstca del rapporto stesso corrspodeza del lvello α d

13 B. hadotto Versoe 6 sgfcatvtà prefssato. La dstrbuzoe d R o è sempre faclmete dervable, og caso s dmostra che, per abbastaza grade, e se soo soddsfatte certe codzo geeral d regolartà, la varable casuale W - log R, ha ua legge d dstrbuzoe approssmata del tpo χ co ν grad d lbertà, dove ν rappreseta l umero d vcol d uguaglaza putual su parametr specfcat dall potes ulla. Nelle page successve verrao dscusse alcue procedure per sottoporre a test potes su parametr della dstrbuzoe ormale. Tutt test cosderat soo test del rapporto d verosmglaza. S ot che l'applcazoe d tale test al problema della verfca d potes semplc cotro alteratve semplc dà luogo a rsultat detc a quell che s otterrebbero utlzzado l teorema d Nema-Pearso Test sulla meda Per poter verfcare delle potes statstche s deve avere a dsposzoe u campoe d osservazo che coseta d poter cocludere sulla ragoevolezza dell'potes (ulla) formulata; se cò accade s accetta l'potes stessa (rteedola ragoevole), altrmet s procede al suo rfuto favore dell'potes alteratva. S ammetta d poter dsporre d u campoe d osservazo,,., su ua popolazoe ormale d meda µ e varaza cogte, e d voler rsolvere seguet problem d test d'potes: a) : µ µ : µ µ > µ b) : µ µ : µ > µ c) : µ µ : µ < µ d) : µ µ : µ µ S fss ora u certo lvello d sgfcatvtà α, coè la msura della probabltà d'errore d I spece che s è dspost a sopportare. L'potes rguarda la meda d ua dstrbuzoe ormale, s scegle qud come fuzoe degl elemet del campoe (varable casuale test) la meda campoara: 3

14 B. hadotto Versoe 6 X T X ( X, X,..., X ) Lo spazo d varabltà della varable casuale campoara X è l'tero asse reale. La procedura d test cossterà qud ella suddvsoe dell'asse reale due rego modo tale che la probabltà d'errore d I spece sa par a α, coè modo che ( X / ) α P dove rappreseta aturalmete la regoe crtca. S è vsto precedeza che la varable campoara casuale X-µ T S / ha ua legge d dstrbuzoe del tpo t d Studet co - grad d lbertà. Avrà qud la dstrbuzoe t, co - grad d lbertà ache la varable casuale T X-µ S / aso a) : µ µ : µ µ > µ L'asse reale vee dvso due tervall. Il prmo degl tervall specfca la zoa d accettazoe, l secodo la zoa crtca. Il valore umerco d c, detto valore crtco del test, s ottee dalla relazoe P ( T > c / µ µ ) α caso b) : µ µ : µ > µ I questo caso l'potes alteratva è composta, la procedura d test uformemete pù potete (coè quella che mmzza la probabltà d'errore d II spece cotro og specfcazoe delle potes alteratve ) è esattamete detca a quella dcata el caso precedete. caso c) : µ µ : µ < µ L'potes alteratva ache questo caso è composta ma co sego d dsuguaglaza, relatvamete all'potes alteratva, vertto rspetto al caso precedete. S dovrà sempre suddvdere l'asse reale e due tervall - c, c + ma questo caso la regoe crtca è data dall'tervallo - c. 4

15 B. hadotto Versoe 6 Il valore crtco s ottee dalla relazoe P ( T < c / µ µ ) α Da sottoleare che elle due stuazo sopra descrtte s applca l test del rapporto d verosmglaza che dvdua la mglore regoe crtca, dvdua coè, l test uformemete pù potete; a sostego d ua tale affermazoe è suffcete potzzare ua applcazoe reterata del teorema d Nema-Pearso corrspodeza a cascua specfca dell potes alteratva: la regoe crtca dvduata è sempre la stessa, ed è quella che mmzza la probabltà dell errore d II tpo, ovvamete, tale probabltà varerà al varare della specfca dell potes alteratva. caso d) : µ µ : µ µ Metre e due cas precedet s parla d potes alteratve composte udrezoal, quì s parla d potes alteratva bdrezoale. I questo cotesto l'asse reale vee suddvso tre part - c, c c, c +, l'tervallo c c costturà la zoa d accettazoe, metre due tervall - c e c + costtuscoo seme la zoa d rfuto. Poché la dstrbuzoe t è smmetrca, s scelgoo valor d c, c equdstat dallo, coè c - c c. Il valore crtco c s otterrà allora dalla relazoe P ( T < -c / µ µ ) P ( T > c / µ µ ) α/ Evdetemete la procedura dcata o forsce u test uformemete pù potete; fatt, se l vero valore d µ fosse superore a µ, l test pù potete sarebbe quello dcato el caso a); se vece l vero valore d µ fosse ferore a µ l test pù potete sarebbe quello dcato el caso c). No avedo maggor formazo sulle alteratve, relatvamete all'potes : µ µ, s prefersce attrbure alle due possbltà µ > µ e µ < µ uguale peso. Da rlevare che l test così otteuto rsulta quello uformemete pù potete ella classe rstretta de cosddett test corrett o o dstort (test UMPU dall glese Uforml Most Powerful Ubased). Defzoe 4 (orrettezza d u test). U test s dce corretto o o dstorto se soddsfa l vcolo γ (Η ) α, coè, se la probabltà d o commettere u errore d II tpo è sempre maggore od uguale alla probabltà d 5

16 B. hadotto Versoe 6 commettere u errore d I tpo). Ne quattro cas sopra esamat s rfuta l'potes se la specfca determazoe della varable casuale T cade ella zoa crtca (zoa d rfuto), s accetta altrmet. Esempo S suppoga d voler rsolvere l seguete problema d test d'potes : µ 3 : µ < 3 al lvello d sgfcatvtà α,, dspoedo delle formazo meda campoara 6 e della varaza campoara corretta s 36 relatve ad u campoe d 5 elemet estratt da ua popolazoe ormale. No essedo ota la varaza della popolazoe, la regoe crtca o regoe d rfuto dell'potes ulla : µ 3 s dvdua facedo rfermeto alla varable casuale t d Studet t X µ S dove S S /. Teedo presete l'potes alteratva : µ < 3 la regoe crtca resta qud dvduata dal puto crtco c - t α - t, -,49 che rappreseta la specfca determazoe della varable casuale t d Studet che ha alla sua sstra l'% de cas. Poché l valore campoaro è t 6 3 / 5 3,33 <,49 rfutamo l'potes ulla : µ 3, al lvello d sgfcatvtà dell'%. Esempo 3 Dat seguet otto valor campoar 3, 9, 6, 33, 4, 8, 3 e 5 estratt da ua popolazoe ormale s vuole sottoporre a test l'potes che la meda sa par a 35 cotro l'potes alteratva che o lo sa, al lvello d sgfcatvtà α,. Il problema d test d'potes da rsolvere è 6

17 B. hadotto Versoe 6 :µ 35 :µ 35 Essedo la varaza della popolazoe ua cogta del problema s dovrà procedere ad ua sua stma utlzzado dat campoar S ( ) essedo 8 8 3,5 s 7 8 ( 3,5), s s La determazoe della varable casuale test che questo caso, essedo cogta la varaza, è la t d Studet, è par a t µ s 4,7 -µ 3,5-35 -,85 s / 4,7 / 8 Essedo α, valor crtc della varable t, co (8-) 7 grad d lbertà; che defscoo la regoe crtca soo - t - 3,499 e c α/ c α/ t 3,499. Il valore campoaro -,85 è coteuto ell'tervallo -3,499 3,499, pertato s accetta l'potes ulla µ 35 attrbuedo la dffereza rscotrata rspetto al valore campoaro 3,5 a fattor d carattere accdetale. Esempo 4 Per gustfcare la loro rchesta d aumeto d stpedo, gl mpegat d ua dtta d vedta per corrspodeza affermao d ruscre ad evadere, medamete u orde d acqusto og 3 mut. Il drettore geerale della dtta ha effettuato ua verfca casuale su temp d evasoe d 4 ord regstrado u tempo medo d evasoe d 4 mut e ua varabltà, msurata term d varaza corretta, d mut. osa s può cocludere rguardo alle rcheste degl mpegat se s fssa ua probabltà d errore d I tpo (lvello d sgfcatvtà) del 5%? S deve sostazalmete verfcare se la meda rlevata el campoe dffersce, al 7

18 B. hadotto Versoe 6 lvello d sgfcatvtà del 5%, da quella dcharata dagl mpegat. Il problema d verfca d'potes è formalzzato e term seguet :µ 3 : µ > 3 La varable casuale test d rfermeto t X µ S X-µ S / ha, ell'uverso de campo, dstrbuzoe del tpo t d Studet co - grad d lbertà. ovee sottoleare che, questo specfco esempo, essedo la dmesoe campoara elevata ( 4) s può fare rfermeto alla dstrbuzoe ormale quale approssmazoe della dstrbuzoe t d studet che forsce u valore crtco (test udrezoale ), per α,5, par a,65. La regola d decsoe è quella d rfutare l'potes se l valore assuto (valore emprco) dalla v.c. test ello specfco campoe è,65, d accettare se l valore emprco è <,65. Poché 4 e s s / / 4 s ha µ 4-3 >,65 s / 4 s rfuta l'potes cocludedo che tempo medo rchesto per evadere u orde è superore a 3 mut dcharat dagl mpegat. Esempo 5 S suppoga d dsporre d u campoe d elemet rspetto al quale sao stat otteut valor 5, ( ) 99 e d dover rsolvere l seguete problema d test d'potes : µ 47 : µ 47 potzzado la ormaltà della dstrbuzoe della varable d teresse. No essedo ota la varaza della popolazoe e relatvamete rdotta la dmesoe del campoe o s può fare rcorso all'approssmazoe ormale, la 8

19 B. hadotto Versoe 6 varable casuale test da utlzzare è, pertato, la varable casuale t d Studet. dove T X-µ S / qud S ( ) ( ) S 99 S, 9 9 La determazoe assuta dalla varable casuale t d studet sotto l'potes ulla o : µ 47 rsulta essere t µ 5 47,864 S,488 Per ( ) 9 grad d lbertà ed α, valor crtc che delmtao la regoe d accettazoe soo - 3,5 e. 3,5. Essedo,864 < 3,5 s tα/ tα / accetta l'potes ulla o : µ 47. Se s scegle l lvello d sgfcatvtà α,5, valor crtc soo -t α/ e t α/ ; essedo,864 >,6 l 'potes ulla o : µ 47 dovrà essere rfutata. Esempo 6 S suppoga d aver sommstrato ad u gruppo d cave ua partcolare deta dalla ascta fo all'età d 3 mes e d aver rscotrato seguet cremet d peso: 55, 6, 54, 57, 65, 64, 6, 63, 58, 67, 63 e 6 gramm. Sapedo che le cave del tpo cosderato, quado o soo sottoposte a dete specal, mostrao u cremeto medo d peso (e prm tre mes d vta) par a 65 gramm, c s domada se le rsultaze campoare sao tal da poter attrbure alla deta la dffereza rscotrata ell'cremeto medo d peso; s vuole sapere coè se la dffereza d 6,75-65 debba essere attrbuta alla deta o se o debba vece essere attrbuta a fattor avet carattere puramete accdetale. Ua possble rsposta al questo s può otteere applcado la procedura d test sopra llustrata; la procedura può essere rassuta 9

20 B. hadotto Versoe 6 come segue:. s fssa l lvello d sgfcatvtà, ad esempo α,5;. s specfcao le due potes : µ 65 : µ 65 L'potes alteratva è d tpo bdrezoale quato s può rteere, almeo per l mometo, che u qualsas cremeto medo d peso maggore o more d 65 gramm possa essere attrbuto all'effetto della deta; 3. s dvdua la varable casuale al test X- 65 T S / che, per quato detto, è del tpo t d Studet co - grad d lbertà. Tale varable descrve l'adameto de rsultat campoar (stetzzat ella formula sopra scrtta) sotto l'potes ulla ; coè a codzoe che la deta o abba effetto e che qud le dffereze tra X e 65 sao da attrbure esclusvamete a fattor accdetal; 4. s determa l valore crtco c che soddsfa la relazoe P ( -c T c),95 Dalle tavole della dstrbuzoe t d Studet, corrspodeza d grad d lbertà, rsulta c,; 5. s poe a cofroto l valore t (la specfca determazoe della varable casuale T) calcolato su dat campoar 6,75-65 t 6,38 / co l valore crtco determato al puto precedete. Essedo t -3,63 < -, -c s rfuta l'potes ulla : µ 65, al lvello d sgfcatvtà α,5, s rfuta coè l'potes che la dffereza d 6,75-65 sa da attrbure al caso. Qualora s rtega, a pror, che la deta debba provocare u cremeto medo d peso ferore a 65 gramm, la procedura d test da adottare sarà quella d tpo udrezoale. I tal caso s dovrà porre

21 B. hadotto Versoe 6 : µ 65 : µ < 65 s determa po, fuzoe della varable test X- 65 T S / l valore crtco c che soddsfa la relazoe P (T -c),5 Dalle tavole della dstrbuzoe t d Studet rsulta c,8. Essedo t -3,63 < -,8 -c s rfuta l'potes : µ 65. Le due procedure d test adottate, bdrezoale e udrezoale, portao etrambe alla stessa coclusoe: rfuto dell'potes ulla. A tale proposto va però sottoleato che se la t campoara avesse assuto u valore compreso ell'tervallo -, -,8 l'applcazoe della procedura d test bdrezoale, a lvello α,5 d sgfcatvtà, avrebbe comportato u'accettazoe dell'potes ulla metre, allo stesso lvello d sgfcatvtà, l'applcazoe della procedura d test udrezoale avrebbe comportato u suo rfuto. I test sopra llustrat soo, per l potes alteratva udrezoale e per l potes bdrezoale, rspettvamete, l test uformemete pù potete ed l test uformemete pù potete ella classe de test corrett Lvello d sgfcatvtà e p-value Dalle cosderazo svolte, rsulta evdete l ruolo fodametale gocato dal lvello d sgfcatvtà del test. State l'arbtraretà ella fssazoe del lvello α, coè della probabltà massma d errore d I spece che s è dspost a sopportare, spesso l rcercatore prefersce dscutere d lvello d sgfcatvtà soltato a posteror. Nel caso specfco dell'esempo cosderato, s sarebbe detto che l rsultato campoaro t - 3,63 è sgfcatvo, el caso d test bdrezoale, al lvello dello,8%; voledo esprmere co tale affermazoe l fatto che l'area sottesa alla curva descrtta dalla fuzoe d destà d probabltà della dstrbuzoe t d Studet corrspodete alla regoe crtca, defta dagl tervall - -3,63, 3,63 + è par a,8. Tale

22 B. hadotto Versoe 6 valore vee usualmete detto P-value. Defzoe 5 (P-value). I corrspodeza d ua partcolare determazoe t assuta da ua qualuque varable casuale test T ( ) s dce P-value la probabltà de valor che superao, valore assoluto e ella drezoe estrema, l valore osservato. Questa defzoe vee usualmete accettata quado T ( ) è ua stma d usata per sottoporre a test l potes ulla : cotro u potes alteratva udrezoale: : > ed valor estrem da cosderare s collocao ella coda d destra della dstrbuzoe; : < ed valor estrem da cosderare s collocao ella coda sstra della dstrbuzoe. Molto pù problematca è la stuazoe el caso d potes bdrezoale :, questo caso valor estrem da cosderare soo sa quell della coda d destra sa quell della coda d sstra, a ragoe d cò, alcu autor sostegoo che tal crcostaze l valore del P-value debba essere raddoppato; ell esempo sopra cosderato, se l potes alteratva fosse stata : µ 65, l P-value sarebbe stato par a,6,8 +,8. Nel caso cu la varable casuale test abba dstrbuzoe dscreta s poe l problema d cludere o meo el P-value la probabltà corrspodete al valore osservato. Usualmete tale probabltà vee clusa per tero, così da otteere u test coservatvo, coè co u lvello d sgfcatvtà effettvo o superore a quello omale. S rchama l attezoe sul fatto che l rcorso al P-value è crtcato da molt autor a ragoe, sa dell aspetto sopra cosderato dell attrbuzoe d u valore umerco a P-value, essedo l valore stesso terpretable come evdeza emprca cotro l potes ulla ( P,8 è scuramete u evdeza emprca cotro l potes ulla : µ 65 pù forte d quato o lo sa P,6 ), sa perché può accadere che ad uo stesso valore d P possoo corrspodere realtà molto dverse. Se s presuppoe, ad esempo, d voler rsolvere l problema d test : µ 65 cotro l potes alteratva : µ > 65 avedo a dsposzoe u campoe d dmesoe estratto da ua popolazoe ormale co varaza ota, sotto

23 B. hadotto Versoe 6 l potes ulla la varable casuale test Z X 65 s dstrbusce come ua ormale / stardardzzata. I tale stuazoe, per 4, 66 la determazoe della varable casuale test è z, cu corrspode u P-value par a,8, allo stesso valore d P s pervee per 4 e 65,. Ovvamete, le due stuazo soo decsamete dverse ache se la msura dell evdeza emprca cotro : µ 65 è la stessa; ma questo è u problema che che rguarda tutta l mpostazoe classca della teora del test dell potes e che trova ua sua soddsfacete soluzoe solo ell ambto dell mpostazoe baesaa dell fereza statstca. I problem d test delle potes fo ad ora cosderat facevao rfermeto ad ua varable casuale ormale co varaza cogta. Qualora la varaza fosse ota, per rsolvere quattro problem d test dcat, s dovrebbe operare modo aalogo facedo però rfermeto alla dstrbuzoe ormale azché alla dstrbuzoe t d Studet. Esempo 7 Ua fabbrca d lampade afferma che propr prodott hao ua durata meda d. ore, come acqurete s vuole verfcare l'affermazoe. Sottopoedo a prova u campoe casuale d lampade s rscotra ua durata meda d 97 ore. Poché è ota la varabltà (msurata dalla varaza) ella durata che rsulta essere.6, cosa s può cocludere rguardo all'affermazoe ad u lvello d sgfcatvtà del 5%? Il problema d verfca l'potes da rsolvere è : µ. : µ. Essedo ota la varaza ed potzzado la ormaltà della dstrbuzoe d orge, la varable casuale test d rfermeto è X-µ Z / che, ell'uverso de campo ha dstrbuzoe ormale stadardzzata. I valor crtc per ua probabltà d errore d I tpo, prefssata al lvello α,5, soo -,96 e,96 zα/ zα / 3

24 B. hadotto Versoe 6 che dvduao le zoe d accettazoe d ell'tervallo -,96,96 metre la regoe d rfuto è rappresetata da semtervall - -,96 e,96 +. Poché la determazoe della varable casuale test (valore emprco), par a ,75, rcade ell'tervallo - -,96 (regoe crtca) s rfuta 8 / l'potes cocludedo che la durata meda delle lampade è ferore a. ore. Esempo 8 U'mpresa afferma che le battere prodotte hao ua durata meda d ore e che la loro varabltà, msurata attraverso lo scostameto quadratco medo, è par a 3 ore. Nove battere vegoo sottoposte a prova e s accerta ua durata meda d ore. Ipotzzado per la popolazoe ua varabltà par a quella dcharata dalla casa produttrce e la ormaltà della dstrbuzoe, s vuol verfcare la valdtà dell'affermazoe fatta dall'mpresa. Poché la durata delle battere s dstrbusce modo (approssmatvamete) ormale e la varaza è ota ( 9), la meda campoara X s dstrburà, ell'uverso de campo ormalmete co varaza 9 9 La formulazoe delle due potes (ulla e alteratva) è : µ µ : µ µ pertato, fssato l lvello d sgfcatvtà α,5, la regoe d accettazoe dell'potes ulla rsulta dvduata dall'tervallo -z α/ z α/, coè dall'tervallo -,96,96. Essedo -µ - z / par ad u valore ferore al valore,96 che delmta la regoe d accettazoe, l'potes ulla : µ vee rfutata, cocludedo che la durata meda delle battere questoe è ferore alle ore. Se la varaza della popolazoe o fosse ota ed l valore 9 corrspodesse alla stma campoara corretta d tale ettà cogta, la varable casuale test d - 4

25 B. hadotto Versoe 6 rfermeto sarebbe la t d studet co 8 ( 9-) grad d lbertà. I questo caso, al lvello α,5 d sgfcatvtà put crtc rsulterebbero par a -,36 e,36, ed essedo l valore campoaro assuto dalla varable casuale t ( -) coteuto ell'tervallo -,36,36 s dovrebbe accettare l'potes ulla attrbuedo alla dffereza rscotrata (tra valore potzzato e valore regstrato per l campoe) atura accdetale. Da sottoleare che ella stuazoe prospettata la macaza d formazo (varaza della popolazoe cogta) la stessa evdeza campoara porta a cocludere maera opposta: rfuto d el caso d varaza ota, accettazoe d el caso d varaza cogta; la maggore varabltà de rsultat campoar fa perdere d sgfcatvtà statstca all evdeza emprca Poteza d u test S esamerà ora modo dettaglato l problema d test d potes relatve alla meda d ua popolazoe ormale d varaza ota. Questo caso, pure se meo teressate del precedete da u puto d vsta operatvo quato la varaza è geeralmete ua quattà cogta, cosete, da u lato d meglo precsare cocett gà espost merto alla procedura d test da utlzzare, dall'altro u maggore approfodmeto degl aspett coess alla determazoe della probabltà d commettere u errore d II tpo o ache alla probabltà d o commettere u errore d II tpo (poteza d u test). S ammetta duque d poter dsporre d u campoe d osservazo X relatve ad ua popolazoe ormale d meda cogta µ e varaza,x,..., X ota, e d voler sottoporre a test le seguet potes: a) : µ µ : µ µ > µ b) : µ µ : µ > µ c) : µ µ : µ < µ d) : µ µ : µ µ 5

26 B. hadotto Versoe 6 Se l'potes ulla è vera, la meda campoara X X s dstrbusce, ell'uverso de campo, ormalmete co meda µ e varaza /. Per l'dvduazoe della mglore regoe crtca (quado esste) s può procedere alla stadardzzazoe della varable casuale X X-µ Z / e rferrs alle tavole della dstrbuzoe ormale stadardzzata utlzzado ua procedura del tutto aaloga a quella llustrata a proposto della dstrbuzoe t d Studet. Ad esempo per α,5, valor crtc d rfermeto per le quattro possbl potes alteratve cosderate soo: a) c,64, s rfuta l'potes ulla se Z >,64; b) c,64, s rfuta l'potes ulla se Z >,64; c) c -,64, s rfuta l'potes ulla se Z < -,64; d) c -,96 e c,96, s rfuta l'potes se Z < -,96 oppure Z >,96. Ne quattro cas sopra cosderat, soo stat dvduat valor crtc facedo rfermeto alla dstrbuzoe ormale stadardzzata. Rsulta subto evdete come sa possble rferrs drettamete alla varable casuale X azché alla sua stadardzzata. Ifatt dall'uguaglaza X-µ ( Z,64) P,64 P ( X µ +,64 / ),5 P / rsulta mmedatamete l valore crtco del test per l prmo (e secodo) caso cosderato, rfermeto alla varable casuale test X azché Z. Nella Fg. 3 s evdezao grafcamete, per tutt e quattro cas d potes alteratva cosderat, la regoe crtca e quella d accettazoe rfermeto alla varable casuale test X ed al lvello d sgfcatvtà α,5: 6

27 B. hadotto Versoe 6 Fg. 3 - Dstrbuzoe campoara e regoe crtca relatve a quattro dverse specfcazo dell'potes alteratva rspetto all'potes ulla : µ µ 7

28 B. hadotto Versoe 6 Nel prmo grafco della Fg. 3 (quello relatvo al caso a) dove etrambe le potes formulate soo semplc) è stata evdezata grafcamete oltre alla regoe d rfuto dell'potes ache l'area corrspodete alla probabltà α,5 dell'errore d I tpo e l'area corrspodete alla probabltà β ( ) d commettere u errore d II tpo. La poteza o forza del test γ ( Η ) ß ( ), coè la probabltà d o commettere u errore d II tpo, rsulta grafcamete espressa dall'area sottesa alla curva d destra relatva all'tervallo c + Dalla Fg. 3 e da quato detto a proposto degl tervall d cofdeza s desume che la poteza d u test resta fluezata:. - dal lvello d sgfcatvtà α prescelto;. - dalla specfcazoe dell'potes alteratva;. - dalla umerostà del campoe. L'mmedata cosderazoe da fare merto alla relazoe che lega la forza d u test al lvello d sgfcatvtà è che u test è tato pù potete quato pù è elevata la probabltà dell'errore d I tpo. Ifatt, se s osserva la Fg. 4 s vede charamete come l'cremeto del lvello α (probabltà dell'errore d I tpo), comportado u allargameto dell'tervallo d rfuto (regoe crtca), determ ua rduzoe della probabltà dell'errore d II tpo e d cosegueza u aumeto della poteza del test. 8

29 B. hadotto Versoe 6 Fg. 4 - Relazoe tra poteza d u test e lvello d sgfcatvtà S cosder ora l caso cu s vogla sottoporre a test l'potes ulla : µ µ, cotro l'potes alteratva: a) : µ µ > µ b) c) > : µ µ µ > : µ µ µ al lvello α d sgfcatvtà. I tre problem d test soo llustrat grafcamete ella Fg. 5. Osservado le curve traccate s vede charamete come la poteza del test cresca all'aumetare dello scarto tra l valore d µ specfcato dall'potes ulla ed l valore d µ specfcato ell'potes alteratva. Nella Fg. 6 s rporta l grafco della fuzoe forza del test relazoe a tutte le possbl specfcazo delle potes alteratve composte udrezoal : µ < µ e : µ > µ e l'potes alteratva composta bdrezoale : µ µ 9

30 B. hadotto Versoe 6 Fg. 5 - Relazoe tra poteza del test e specfcazoe dell'potes alteratva 3

31 B. hadotto Versoe 6 Fg. 6 - Grafco della fuzoe forza del test relatvo all'potes ulla : µ µ cotro tre dverse specfcazo dell'potes alteratva composta L'espressoe aaltca che cosete d determare l valore umerco assuto dal puto crtco relatvo alla varable casuale test X, quado s vuole sottoporre a test u'potes ulla del tpo : µ µ cotro u'potes alteratva del tpo : µ > µ è data dall'uguaglaza c µ + z α / dove z α è la determazoe umerca della varable casuale ormale stadardzzata che soddsfa la relazoe P ( Z > z α ) α. Evdetemete la relazoe sopra scrtta s rfersce ad u campoe d osservazo d dmesoe estratto da ua popolazoe ormale d varaza ota. Osservado la relazoe s rleva come l'ettà c (valore crtco) sa ua fuzoe decrescete d. ò sta a sgfcare che ad u aumeto della dmesoe campoara corrspode ua dmuzoe el valore umerco d c, l che comporta u amplameto dell'tervallo che delmta la regoe crtca co u coseguete aumeto della forza del test. A ttolo esemplfcatvo s rporta l grafco della fuzoe forza del test 3

32 B. hadotto Versoe 6 rfermeto a due dverse dmeso campoare ed m ( > m) Fg. 7 - Grafco della fuzoe forza del test relatvo a due dverse dmeso campoare U'ultma cosderazoe da fare merto alla poteza o forza d u test statstco rguarda la varaza campoara della varable casuale test. c Dalla formula sopra scrtta rsulta che l valore crtco c è legato fuzoalmete ed seso postvo a c, cò sta a sgfcare che a pù bass valor d c, corrspodoo pù bass valor d c e qud pù ampe rego crtche. Sarà pertato possble, operado su c otteere u cremeto ella poteza d u test seza dover ecessaramete procedere ad u aumeto della dmesoe campoara o della probabltà dell'errore d I tpo. Questa affermazoe ha aturalmete sgfcato soltato e cas cu sa effettvamete possble operare su c, ad esempo, attraverso u opportua pafcazoe della rlevazoe campoara o del dsego degl espermet. Il caso pù semplce e pù sgfcatvo è quello relatvo alle modaltà d estrazoe delle utà campoare e s cosdera la meda campoara X quale varable casuale test; fatt, come gà sottoleato, se s procede all estrazoe da ua popolazoe fta rmettedo og volta l utà estratta ella popolazoe (campoameto co rpetzoe) s ha, se vece s effettua l estrazoe modo esaustvo N (estrazoe seza rpetzoe) s ha, dove N è la dmesoe della N popolazoe e è la dmesoe del campoe. 3

33 B. hadotto Versoe 6 Relatvamete alla varaza c della varable casuale test, s deve sottoleare che ella geeraltà de cas tale varaza dpede dalla varabltà del feomeo oggetto d studo, coè, dalla varaza della popolazoe che è u ettà usualmete cogta (parametro d dsturbo). S dovrà, pertato, procedere ad ua stma d tale ettà l che porta alla determazoe d ua stma ˆ c d c ; la radce postva d tale quattà ˆ c vee usualmete detto errore stadard. Esempo 9 S cosder la varable casuale cotua X defta el semasse reale postvo esteso (X : + ) co fuzoe d destà d probabltà f ( ; ) e e s suppoga d voler rsolvere l seguete problema d test d'potes : : > Suppoedo, oltre, la dspobltà d u campoe d due elemet ( ) e defedo la regoe crtca attraverso la dsuguaglaza X + X 9,5 s può dervare l'espressoe aaltca della fuzoe forza del test γ ( ) determadoe l valore per : 4. ome pù volte sottoleato, la fuzoe forza del test rappreseta la probabltà d o commettere u errore d II tpo, coè la probabltà d rfutare l'potes quado l'potes stessa è falsa. γ ( ) P ( X / ) - P( X / ) Se s esplcta l'potes alteratva el modo seguete : > 4 e s tee coto della regola d decsoe prescelta (accettare l'potes quado X + X < 9,5), e del fatto che le due varabl casual campoare X e X soo dpedet, s avrà: 33

34 B. hadotto Versoe 6 P ( X + X < 9, 5/ ) 9, 5 9, 5 f ( ; ) d d f ( ; )d d 9, 5 9, 5 e + d d e qud γ( Per 4 s ha ) + 9, 5 9, 5 + β( ) e dd 9, 5 e 9, 5 9, ,5 4 γ(4) e 4,3 S è pù volte affermato che la varable casuale X-µ T S / ha ua legge d dstrbuzoe t d Studet quado la popolazoe che geera l campoe è d tpo ormale. No sempre però, ella rcerca applcata, rsulta soddsfatta la codzoe d ormaltà; c s deve allora chedere che cosa succede alla legge d dstrbuzoe della varable T, defta dalla formula quado ua tale codzoe o sussste. L'osservazoe da fare è che la varable T s dmostra partcolarmete sesble alle varazo ella legge d dstrbuzoe della popolazoe che geera l campoe. Le cosderazo sopra svolte mpogoo ua certa cautela ell utlzzazoe della dstrbuzoe t d Studet, el seso che s può fare rcorso ad ua tale dstrbuzoe solo quado s è suffcetemete covt della ormaltà, o approssmatva ormaltà, della popolazoe che geera l campoe. Tale affermazoe vale aturalmete e cas cu la dmesoe del campoe o supera le 3 utà, oltre tale dmesoe, come gà sottoleato, la dstrbuzoe t d Studet e la dstrbuzoe ormale pratcamete cocdoo, basterà allora rferrs alla dstrbuzoe ormale purchè questa costtusca ua buoa approssmazoe della dstrbuzoe della meda campoara. Per quato cocere cas cu s abba a che fare co campo d dmesoe superore a 3, s rmada a quato sommaramete detto a proposto degl tervall d 34

35 B. hadotto Versoe 6 cofdeza per campo estratt da popolazo d cu o è ota la legge d dstrbuzoe. Ifatt, s rleva mmedatamete come le procedure proposte per sottoporre a test delle potes statstche, e quelle utlzzate per la determazoe degl tervall d cofdeza, preseto put d cotatto tal da cosetre u passaggo mmedato dall'tervallo d cofdeza alla regoe d accettazoe. A sostego d quato sopra affermato s può, ad esempo, cosderare l problema d test, sulla meda µ d ua popolazoe ormale co varaza ota par a, defto dalle potes : µ µ : µ µ La regoe d accettazoe dell'potes : µ µ al lvello α,5 d sgfcatvtà, rsulta essere che può ache essere scrtta X - µ, 96 /,96 X,96 / µ X +,96 / e tale espressoe rappreseta l'aalogo dell'tervallo d cofdeza (al lvello del 95%) per la meda d ua popolazoe ormale X,96 / µ X +,96 / come gà vsto precedeza. L'mplcazoe è duque che u tervallo per la meda, al lvello d cofdeza del 95%, costtusce l'tervallo che clude tutte quelle potes, sulla meda stessa, che verrebbero accettate ua procedura d test bdrezoale, qualora fosse stato fssato u lvello d sgfcatvtà par a,5. La somglaza tra le procedure d test e quelle d determazoe degl tervall d cofdeza, o deve aturalmete durre a cofodere problem d test co quell d stma; ess soo logcamete e sostazalmete dvers Test sulla varaza Nel caso cu s vogla sottoporre a test u'potes sulla varaza d ua popolazoe ormale, dspoedo d u campoe d elemet e per u certo α, s deve operare modo aalogo a quato fatto relatvamete alla meda. La varable casuale campoara 35

36 B. hadotto Versoe 6 d rfermeto (varable casuale test) dveta W ( - ) che ha ua legge d dstrbuzoe del tpo χ co - grad d lbertà ed è defta ell'tervallo +. S aso a) b) : : > (od ache : > ) Il valore crtco c s ottee dalla relazoe P ( W > c / ) α aso c) : : < Il valore crtco c s ottee dalla relazoe P ( W < c / ) α aso d) : : I valor crtc c e c (s ot che la dstrbuzoe χ ottegoo dalle relazo P ( W > c / ) α/ o è smmetrca) s P ( W < c / ) -α/ Esempo Sulla scorta d ua luga espereza è stato calcolato lo scostameto quadratco medo sulla varable descrtta dal tempo d aestesa relatvamete a soggett d sesso maschle sottopost ad uo specfco trattameto; tale scostameto è rsultato par a,5 ore. Lo stesso trattameto vee applcato ad u campoe d soggett d sesso femmle, rscotrado uo scostameto quadratco medo, el tempo d aestesa, par a,3 ore. Sapedo che vet soggett femml sottopost a trattameto presetao, e cofrot dell'aestetco, le stesse codzo de soggett maschl, s vuole spegare 36

37 B. hadotto Versoe 6 l'cremeto rscotrato ella varabltà. I altr term, c s chede se l'cremeto rscotrato sa da attrbure al sesso oppure a fattor avet atura accdetale. Il problema può essere formalzzato specfcado l'potes ulla e l'potes alteratva e term che seguoo : f m,5 : >, 5 f dove f sta ad dcare lo scostameto quadratco medo relatvo alla popolazoe d sesso femmle, m lo scostameto quadratco medo relatvo alla popolazoe d sesso maschle. Sotto l'potes ulla, e coè a codzoe che l'potes ulla sa vera, la varable casuale test dove S 9 S w 9 m m (X X) rappreseta la varaza calcolata sul campoe d vet soggett femml, avrà ua dstrbuzoe del tpo χ co 9 grad d lbertà. Relatvamete allo specfco campoe s ha,3 w,5 Se s fssa u lvello d sgfcatvtà ell'orde del 5%, s può determare, sulla scorta delle tavole della dstrbuzoe χ, l valore crtco c per l quale rsulta soddsfatta la relazoe P (W c),95 Poché rsulta essere c 3,, la zoa d accettazoe sarà data dall'tervallo 3,, metre la regoe crtca rsulterà espressa dall'tervallo 3, +. State tale stuazoe s rfuta l'potes ulla; s rfuta, coè, l'potes che la dffereza rscotrata ella varabltà sa da attrbure al caso. Se l lvello d sgfcatvtà vee fssato ell'orde dell'%, s deduce u valore crtco c 36,. I tal caso, e coè al lvello d sgfcatvtà dell'%, l valore 37

38 B. hadotto Versoe 6 campoaro rcadrebbe ella zoa d accettazoe della potes ulla; verrebbe pertato attrbuta al caso la dffereza rscotrata. Esempo Ua fabbrca d battere d automobl dchara che l propro prodotto preseta ua varabltà ella durata (msurata dalla varaza) par a,8 (,8). U campoe casuale d 6 battere vee sottoposto a prova evdezado ua varaza corretta par a. S vuole verfcare, al lvello d sgfcatvtà del 5% (α,5) se la varaza ella durata del prodotto è superore a,8. La formulazoe delle potes per l problema esame è :,8 metre la v.c. test d rfermeto è W : >,8 ( ) S ~ χ che, ell'uverso de campo, ha ua dstrbuzoe del tpo χ co - grad d lbertà. Per α,5 e ( ) 5 grad d lbertà l valore crtco rsulta essere χ, 5 4,996, pertato la regola d decsoe sarà (test udrezoale): s accetta se l χ emprco è 4,996, s rfuta se l χ emprco è > 4,996. Essedo χ ( ) S 5 8,7 4,996 s accetta l'potes., Test sulle frequeze Voledo utlzzare la teora del test delle potes per rsolvere u problema d verfca d'potes sulle frequeze relatve (probabltà) d u partcolare eveto, s può procedere come llustrato elle page precedet; s fssa coè u lvello α d sgfcatvtà (probabltà dell'errore d I tpo) e s dvdua po la regoe crtca (d rfuto dell'potes ulla formulata) che massmzza la poteza del test (probabltà d o commettere u errore d II tpo). Se la dmesoe del campoe è suffcetemete elevata per sottoporre a test 38

39 B. hadotto Versoe 6 u'potes su ua probabltà s può fare rcorso alla dstrbuzoe ormale essedo questa ua approssmazoe abbastaza buoa della dstrbuzoe bomale per suffcetemete elevato e p > 5, q > 5, dove rappreseta la dmesoe campoara, p la probabltà dell'eveto che teressa e q -p la probabltà cotrara. I partcolare se X rappreseta l umero d success prove beroullae (prove dpedet), la proporzoe campoara ha ua dstrbuzoe approssmatvamete ormale co meda p e varaza pˆ X p q. Se s vuole qud sottoporre a test ua specfca potes, al lvello d sgfcatvtà α, del tpo : p p cotro l'potes alteratva : p > p s può fare rcorso alla varable casuale ormale stadardzzata Z p p-p ˆ q ~ N / (,) dove q -p. S rfuterà l'potes se p-p ˆ p q / > Z α coè se pˆ > p q + Z α dove Z α è l valore (puto crtco) della dstrbuzoe ormale p stadardzzata che ha alla sua destra l'α % de cas. S ot che l'potes ulla p p o specfca solo la meda p della dstrbuzoe beroullaa ma ache la varaza p q. Esempo S suppoga d voler sottoporre a test l'potes > 3 cotro l'potes alteratva 3 dspoedo d u campoe d osservazo dpedet che evdeza 5 ua frequeza relatva pˆ,75. Poché sotto l'potes ulla, la proporzoe campoara ˆp ha ua dstrbuzoe approssmatvamete ormale co 39

40 B. hadotto Versoe 6 meda p /3 e varaza p q / /9, se s scegle l lvello d sgfcatvtà α,5, l puto crtco che delmta la regoe crtca sarà z α,645. Pertato l'potes ulla : p /3 dovrà essere rfutata quado oè quado p - /3 / 3,645 pˆ +, ,7 Essedo Pˆ,75 >,7, l'potes ulla : p 3 vee rfutata al lvello d sgfcatvtà del 5%. ome llustrato elle page precedet essedo l'potes alteratva composta o sarà possble determare la poteza del test e l valore α,5 l valore massmo della probabltà dell'errore d I tpo. Se s specfcasse l'potes alteratva term d u precso valore umerco rsulterebbe possble, come charto precedeza, calcolare la poteza del test. Nella tabella che segue, per α, e α,5, soo rportat valor assut dalla fuzoe forza del test corrspodeza d alcue partcolar specfche dell'potes alteratva. 4

41 B. hadotto Versoe 6 α 5% α % P p q /,7 p p q / poteza,744 p p q / poteza,6,346 3,57, 4,7,,65,337,8,7,798,3,67,33,557,59,38,,69,37,969,66,66,48,7,3,364,358,69,4,73,34 -,64,64,455,35,75,36 -,65,8 -,86,574,77,97 -,66,948 -,865,86,79,88 -,37,99 -,587,944,8,77-3,88,999 -,373,99,83,66-4,7, -3,, Tab. 3 - Poteza del test relatvo all'potes dell'esempo. Ovvamete ache rfermeto alle proporzo (probabltà) s possoo presetare cas d test d'potes del tpo : p p cotro l'alteratva bdrezoale : p p od ache : p p p cotro l'alteratva : ( p < p ) ( p > p ). Esempo 3 S suppoga d avere a che fare co ua dstrbuzoe beroullaa e d voler sottoporre a test l'potes ulla : p,5 al lvello d sgfcatvtà α,5 S ammetta, oltre, d poter dsporre d u campoe d osservazo dpedet e d volere calcolare la poteza del test rfermeto a cascua delle seguet specfche dell'potes alteratva a) : p,55 b) : p,6 4