Appunti: elementi di Statistica

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1 Uverstà d Ude, Facoltà d Sceze della Forazoe Corso d Laurea Sceze e Tecologe Multedal Corso d Mateatca e Statstca (Gorgo T. Bag) Apput: eleet d Statstca. INTENSITÀ, FREQUENZA ASSOLUTA E RELATIVA.. L aals statstca d u feoeo Iagao, ua rcerca atropologca, d dover rspodere alla doada seguete: qual è, edaete, l altezza delle doe europee? Per rspodere bsoga ad esepo precsare che sgfca edaete : l altezza alla quale la doada è rferta o è quella d u be deterato dvduo, a dpede da ua vasta olttude d cas. A tale proposto, appare poco pratco forars, sgolarete, sull altezza d tutte le doe europee: s tratterebbe d esaare dece d lo d persoe! U etodo d dage coveete s basa sulla raccolta d forazo che spesso dchereo co l tere dat: quate doe vvoo Europa, coe soo dstrbute e paes europe... Dopo aver raccolto le forazo ecessare, sareo chaat ad ua loro elaborazoe: cerchereo, forse, d stare l altezza eda delle doe fraces, spagole... Da questa elaborazoe, dovreo fe gugere ad u rsultato: la rsposta alla doada forulata. Proble coe quello ora proposto e etod per affrotare e rsolvere tal proble fao parte della statstca. Chaereo statstca descrttva l settore della statstca che s occupa della raccolta e dell terpretazoe de dat... Itestà e frequeza assoluta I dat statstc soo espress da uer (real, ter,...). Izereo la presetazoe della statstca descrttva propoedo l terpretazoe d tal dat uerc, ovvero defedo ed llustrado alcu geer fodaetal d dat. Rferaoc acora alla stuazoe descrtta el paragrafo precedete: u pro

2 rlevaeto d dat potrebbe rguardare l altezza d alcu soggett (che dovrao essere scelt seguedo crter precs: d questo c occupereo el seguto). Avreo così a dsposzoe, coe dato zale, u see d sure, uer (real o razoal) cascuo de qual espre l rapporto dell altezza del soggetto prescelto rspetto ad ua gradezza capoe, l utà d sura (l etro). Dat coe quest soo dcat dal tere testà. Defzoe. S dce testà I R d og accadeto osservato la sura d esso rspetto ad ua fssata utà. Ma l descrtto odo d procedere o è l uco possble per zare ua rcerca statstca: ad esepo, potreo dvduare u capoe d soggett e cotare quat hao altezza aggore d,70. Il dato zale, questo caso, o è costtuto da ua sura (o da u see d sure), besì da u uero aturale, che espre quate volte s è verfcata ua stuazoe. Per classfcare dat coe quest ulto, troducao l cocetto d frequeza assoluta. Defzoe. S dce frequeza assoluta f N d u accadeto l uero d volte che esso s verfca. I dat ecessar per u dage statstca possoo essere d etrab tp ora presetat; az, ua stessa dage potrà essere codotta attraverso u rlevaeto d testà o d frequeza. Esepo. S vogla aalzzare la rchesta del ercato d autoobl ella azoe X ello scorso ao. Suddvsa l area da esaare quattro rego, possao occuparc della spesa coplessva che, cascua regoe, è stata dedcata all acqusto d auto, ell ao. Otteao la tabella seguete: Rego esaate Spesa per l acqusto d auto ell ao ( lo d euro) Regoe X-A 35 Regoe X-B 87 Regoe X-C 73 Regoe X-D 73

3 Cascuo de dat rportat è u testà: espre fatt la sura d ua gradezza (la spesa coplessva aua per l acqusto d auto) rspetto ad ua deterata utà d sura (l loe d euro). Esepo. S vogla aalzzare la rchesta del ercato d autoobl ella azoe X durate lo scorso ao. Suddvsa l area da esaare quattro rego, coe ell esepo precedete, possao occuparc del uero d auto vedute, cascua regoe, ell ao. Otteao la tabella seguete: Rego esaate Nuero auto vedute ell ao Regoe X-A 309 Regoe X-B 5477 Regoe X-C 40 Regoe X-D 973 Cascuo de dat sopra rportat è ua frequeza: espre fatt quate volte s è verfcato u be precso accadeto (l acqusto d u auto). La frequeza assoluta è u dato statstco portate. Talvolta, però, la sua terpretazoe può o essere edata: ad esepo, se la rottura d u appareccho, dcao d tpo A, s preseta volte, etre la rottura d u appareccho d tpo B s preseta volte, co >, sao autorzzat a dre che l appareccho d tpo A è pù affdable d quello d tpo B? Pra d rspodere, l lettore esa l esepo seguete. Esepo 3. Desderao studare l affdabltà d tre apparecch, che dchao co tp A, B, C. Tpo d appareccho Apparecch esaat Guast rlevat Appareccho tpo A 54 7 Appareccho tpo B 96 9 Appareccho tpo C 3 6 Se c ltasso a cosderare le frequeze assolute de guast, sopra rportate, sareo portat a cocludere che l appareccho pù affdable è quello d tpo C (che fa rscotrare l o uero d guast), seguto da quello d tpo A ed fe da quello d tpo C. Ma l lettore s sarà reso coto che l esae delle frequeze assolute è, questo caso, suffcete, addrttura fuorvate: dat 3

4 raccolt, fatt, o soo oogee, ovvero o soo rfert a capo d apparecch egualete ueros! Dobbao allora teer coto che l appareccho d tpo C preseta u uero o d guast (6), a rfert a sol 3 cas esaat. L appareccho d tpo A, pur facedo rscotrare u aggor uero d guast (7), è stato esaato 54 cas. E l appareccho d tpo B (co 9 guast), addrttura per 96 cas, l trplo de cas rfert all appareccho d tpo C... Pra d proucars sull affdabltà de tre apparecch, qud, è opportuo elaborare dat raccolt pù a fodo..3. Frequeza relatva Defzoe 3. S dce frequeza relatva p Q d u deterato accadeto l rapporto tra la frequeza assoluta d tale accadeto ed l totale de cas osservat. Essedo l uero d accadet (ovvero la frequeza assoluta) o aggore del uero totale d cas osservat, la frequeza relatva p è sepre tale che: 0 p Esepo 4. Ad u covego d stud partecpao 89 rcercator d cque azo; ecco la loro dstrbuzoe, co le frequeze assolute e relatve: Nazo Nuero rcercator Frequeze (frequeze assolute) relatve Belgo 0,35 Fraca 0,47 Itala 4 0,57 Geraa 3 0,349 Svzzera 0 0, Og frequeza relatva è stata otteuta dvdedo la corrspodete frequeza assoluta per 89 (uero totale de partecpat); ad esepo: (Belgo) (frequeza assoluta) : 89 (totale partecpat) 0, (frequeza relatva) 0,35 (valore approssato, co tre decal) 4

5 Osservazoe. Esaado l precedete esepo, sottoleao u portate caratterstca: la soa d tutte le frequeze relatve è. Esepo 5. Co rfereto all esepo precedete, è possble aggugere la rga rferta al totale de partecpat, soa delle rghe rferte a partecpat suddvs per azoe: Totale 89,000 Esepo 6. Co rfereto all esepo 3, aalzzao l affdabltà d tre apparecch, che dchao co tp A, B, C. Esaao sgolarete tre apparecch, e calcolao per cascuo d ess la frequeza relatva de guast. Appareccho d tpo A (esaat 54 cas) Frequeza assoluta Frequeza relatva Guast rlevat 7 0,30 Fuzoaeto corretto 47 0,870 Totale 54,000 Appareccho d tpo B (esaat 96 cas) Frequeza assoluta Frequeza relatva Guast rlevat 9 0,094 Fuzoaeto corretto 87 0,906 Totale 96,000 Appareccho d tpo C (esaat 3 cas) Frequeza assoluta Frequeza relatva Guast rlevat 6 0,88 Fuzoaeto corretto Totale 3,000 5

6 Quato ora otteuto rbalta le cocluso frettolosaete desute dall esae della sola frequeza assoluta de guast (l lettore è vtato a rvedere l esepo 3). Ifatt, cofrotado le frequeze relatve d guasto, otao che la a d esse (0,094) è quella calcolata per l appareccho d tpo B, l quale deve duque essere cosderato d assa affdabltà; ad esso segue l appareccho d tpo A (frequeza relatva d guasto: 0,30) ed fe l appareccho d tpo C (frequeza relatva d guasto: 0,88), che s rvela pertato l eo affdable de tre cosderat.. VARIABILI STATISTICHE.. Che cos è ua varable statstca? Le cosderazo trodotte, e partcolare cocett d frequeza assoluta e d frequeza relatva, cosetoo d trodurre la varable statstca. Rflettao sul procedeto presetato ella sezoe per defre la frequeza assoluta e la frequeza relatva: abbao cosderato zalete u see A, costtuto dagl eleet teressat dalla ostra aals (ad esepo: l see degl allev d u certo Isttuto); abbao qud raggruppato quest eleet secodo u crtero prestablto, dvduado così ua partzoe d A class (ad esepo: l sottosee degl allev d sesso aschle ed l sottosee degl allev d sesso fele); fe, abbao cotato gl eleet d cascu sottosee, otteedo le frequeze assolute. Per passare alle rspettve frequeze relatve, è suffcete dvdere le frequeze assolute per l uero degl eleet d A. Possao rassuere quato ora otato ella defzoe seguete. Defzoe 4. Ua varable statstca s defsce, u see A, assegado esso ua relazoe d equvaleza R A A e cosderado l see quozete A/R; ad og X A/R può essere assocata la cardaltà d X (ovvero l uero d eleet d A apparteet a X), detta frequeza assoluta f(x) del feoeo (o della stuazoe) X. Alteratvaete, ad og X A/R può essere assocata la cardaltà d X dvsa per la cardaltà d A (ovvero l uero d eleet d A apparteet a X dvso per l uero degl eleet d A), detta frequeza relatva p(x) del feoeo (o della stuazoe) X. 6

7 Esepo 7. Cosderao l see A de atural pr or d 50, la cu rappresetazoe tabulare è: A {; 3; 5; 7; ; 3; 7; 9; 3; 9; 3; 37; 4; 43; 47} Idchao co A la cardaltà d A; rsulta: A 5. Il ostro scopo è d aalzzare la dstrbuzoe de uer atural pr or d 50 elle dece tra 0 e 0, tra e 0, tra e 30, tra 3 e 40 e tra 4 e 50, e d rcavare le corrspodet frequeze assolute e relatve. Per fare cò, dobbao, aztutto, suddvdere gl eleet d A 5 sottose, costtut da uer atural pr copres tra 0 e 0, tra e 0, tra e 30, tra 3 e 40 e tra 4 e 50. Operazoe pratcaete o dffcle, a che cerchereo d foralzzare sulla base d quato dcato ella defzoe 4. Itroducao (aleo tutvaete) la fuzoe parte tera: a [a] l asso tero o aggore d a Ad esepo, rsulta: [0,] 0 [,] [,3]... Possao ora assegare A la seguete relazoe d equvaleza: R {(x; y) A A: [x/0] [y/0]} Scrvere [x/0] sgfca cosderare la (sola) cfra delle dece d x; duque: x x/0 0, [x/0] 0 x x/0, [x/0] x 3 x/0,3 [x/0] Pertato la codzoe [x/0] [y/0] sgfca: la cfra delle dece d x è uguale alla cfra delle dece d y La relazoe R è d equvaleza (lascao la verfca al lettore) e base ad essa possao rcavare l see quozete A/R, ovvero le class d equvaleza cu vee suddvso A, cascua delle qual è costtuta dagl eleet d A che hao la stessa cfra delle dece: {; 3; 5; 7} {x A: la cfra delle dece d x è 0} 7

8 (breveete) X 0 {; 3; 7; 9} {x A: la cfra delle dece d x è } (breveete) X {3; 9} {x A: la cfra delle dece d x è } (breveete) X {3; 37} {x A: la cfra delle dece d x è 3} (breveete) X 3 {4; 43; 47} {x A: la cfra delle dece d x è 4} (breveete) X 4 Per rcavare le frequeze assolute, è suffcete cotare gl eleet d cascua classe d equvaleza: f(x 0 ) X 0 4 f(x ) X 4 f(x ) X f(x 3 ) X 3 f(x 4 ) X 4 3 S osserv che rsulta: f ( X ) A Le frequeze relatve s trovao dvdedo le frequeze assolute per A 5: p(x 0 ) f(x 0 )/ A X 0 / A 4/5 0,67 p(x ) f(x )/ A X / A 4/5 0,67 p(x ) f(x )/ A X / A /5 0,33 p(x 3 ) f(x 3 )/ A X 3 / A /5 0,33 p(x 4 ) f(x 4 )/ A X 4 / A 3/5 0,00 S osserv che rsulta (co era peraltro prevedble): p( X ), La rappresetazoe grafca Utle e portate, olte applcazo, è la rappresetazoe grafca d ua varable statstca. Cò cosete ua edata valutazoe delle caratterstche del feoeo, alla quale può far seguto u pù dettaglato eleco delle forazo elaborate (ad esepo, ter d frequeze assolute e relatve). Ua rappresetazoe grafca olto usata è quella edate dagra a coloe ed stogra. D essa forao alcu esep. 8

9 Esepo 8. La varable statstca llustrata ell esepo precedete può essere rappresetata edate u dagraa a coloe cu og coloa è rappresetata la frequeza assoluta (lascao al lettore la rappresetazoe). Esepo 9. La rappresetazoe grafca edate l dagraa a coloe può essere utlete odfcata alcu cas. Occupaoc d ua varable statstca descrtta da dat seguet: atural pr or d 0: {; 3; 5; 7; ; 3; 7; 9} totale: 8 atural pr tra 0 e 30: {3; 9} totale: atural pr tra 30 e 50: {3; 37; 4; 43; 47} totale: 5 Se rappresetao grafcaete la stuazoe aalogaete a quato fatto ell esepo precedete, otteao u dagraa costtuto da tre coloe. U tale dagraa rappreseta correttaete la varable statstca sopra assegata? Appareteete sì, a la dverstà degl tervall cu è stato suddvso l capo d dage (da 0 a 50) può geerare u alteso: sulla base del dagraa, fatt, sebra che la dstrbuzoe de uer pr tra 0 e 50 sa caratterzzata da ua etta rregolartà, ua sorta d brusca duzoe d frequeza ella zoa cetrale, pressoe che o corrspode a realtà. Esepo 0. Per ovvare all coveete presetato ell esepo precedete s rcorre ad u partcolare dagraa a coloe, detto stograa. I esso, le bas de rettagol forat le coloe o soo costat (coe ell ordaro dagraa a coloe), a soo scelte proporzoal alle apezze degl tervall d volta volta cosderat (el ostro caso: 0; 0; 0). Frequeteete utlzzate soo rappresetazo co dagra crcolar (dett dagra a torta) o el pao cartesao. Esepo. Cosderao la varable statstca rferta alla scelta dell drzzo d laurea d 045 studet scrtt alla facoltà d gegera, dstrbuta secodo dat seguet: 56 studet d gegera cvle (frequeza relatva: 0,45) 0 studet d gegera eccaca (frequeza relatva: 0,5) 54 studet d gegera chca (frequeza relatva: 0,05) 385 studet d gegera elettroca (frequeza relatva: 0,368) 9

10 68 studet d gegera aeroautca (frequeza relatva: 0,065) 6 studet d gegera gestoale (frequeza relatva: 0,55) (Totale frequeze relatve:,000) Il lettore realzz l dagraa crcolare che vsualzza tale varable statstca. Esepo. La dstrbuzoe degl alu scrtt alla pra classe d u Isttuto scolastco el perodo è rassuta e dat della tabella seguete: 985 scrtt 30 alu 99 scrtt 55 alu 986 scrtt 48 alu 99 scrtt alu 987 scrtt 50 alu 993 scrtt 04 alu 988 scrtt 86 alu 994 scrtt 3 alu 989 scrtt 55 alu 995 scrtt 43 alu 990 scrtt 47 alu 996 scrtt 6 alu Ua rappresetazoe dell adaeto delle scrzo può essere realzzata u pao cartesao. I put rappresetat og sgolo dato sarao ut co seget al fe d vsualzzare odo cotuo l adaeto. A tale proposto sottoleao che dat rlevat soo dscret, stablt ao per ao; l odo pù rgoroso d rappresetare de dat coe quest u dagraa cartesao, qud, dovrebbe essere co de sgol put, o co ua lea cotua. 3. MODA E MEDIANA 3.. Moda Cosderao ua varable statstca costtuta da feoe X e da ua corrspodete dstrbuzoe d frequeze assolute f(x ) o relatve p(x ). Spesso è teressate teere partcolare cosderazoe l feoeo X co la assa frequeza (s pes ad ua cosultazoe elettorale: l vctore è l caddato che ragguge la assa frequeza ella dstrbuzoe de vot!); altre occaso, può essere opportuo rferrs al feoeo che, pur o essedo quello d assa frequeza, s colloca poszoe cetrale rspetto agl altr. I questa sezoe trodurreo alcue portat ozo per ua varable statstca che c cosetrao d foralzzare quato sopra acceato. 0

11 Defzoe 5. Data ua varable statstca, costtuta da alcu feoe X e da ua corrspodete dstrbuzoe d frequeze assolute f(x ) o relatve p(x ), s dce oda l feoeo X M al quale corrspode la assa frequeza (assoluta o relatva). Esepo 3. Cosderao uovaete la varable statstca presetata e vsualzzata ell esepo, rferta alla scelta dell drzzo d laurea d 045 studet scrtt alla facoltà d gegera, dstrbuta secodo dat seguet: 56 studet d gegera cvle (frequeza relatva: 0,45) 0 studet d gegera eccaca (frequeza relatva: 0,5) 54 studet d gegera chca (frequeza relatva: 0,05) 385 studet d gegera elettroca (frequeza relatva: 0,368) 68 studet d gegera aeroautca (frequeza relatva: 0,065) 6 studet d gegera gestoale (frequeza relatva: 0,55) La oda è dvduata dalla assa frequeza (assoluta o relatva); essa corrspode alla scelta dell drzzo d gegera elettroca; fatt: 385 studet d gegera elettroca (frequeza relatva: 0,368) e le frequeze (385, assoluta, 0,368, relatva) soo le asse ella dstrbuzoe cosderata. Esepo 4. Talvolta la oda o è uca; la dstrbuzoe d valor:,,,,, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6 ha le due ode e 5 (etrabe caratterzzate dalla frequeza assoluta 4). I alcue crcostaze, oltre, l cocetto d oda rsulta o applcable, ovvero o sgfcatvo; ad esepo, se le frequeze (assolute) d ua dstrbuzoe soo tutte, coe accade ella dstrbuzoe d uer:, 3, 7, 9, 0, 34, 77, 78, 90 o è possble dvduare ua oda (al pù, tutt valor sarebbero da cosderare ode, co frequeza ).

12 3.. Medaa Il cocetto d edaa, collegato alla poszoe cetrale d u valore u see d valor ordat, è trodotto dalla defzoe seguete. Defzoe 6. Data ua dstrbuzoe d valor uerc, dspost orde (o crescete o o decrescete), s dce edaa l valore X c che s trova el posto cetrale, se è dspar, oppure la sesoa de due valor cetral, se è par. Esepo 5. Applchao la defzoe d edaa a due dstrbuzo, rspettvaete caratterzzate da u uero dspar ed u uero par d dat. La dstrbuzoe d (9) valor:,, 5, 7, 8, 9,, 45, 098 ha edaa X c 8. La dstrbuzoe d (0) valor: 7,, 0, 3, 4, 6, 9,, 9, 00 ha edaa X c 5 (sesoa d 4 e 6). Osservazoe. I cocett d oda e d edaa, ora trodott, soo rfert a partcolar caratterstche della dstrbuzoe d valor cosderata (la assa frequeza, o la poszoe cetrale). Cò o sgfca che ess possao essere cosderat, assoluto, valor pù sgfcatv della dstrbuzoe, quell che eglo la rappresetao o la stetzzao: ella sezoe seguete, presetereo u procedeto alteratvo, e olto portate, per rcavare u uco valore da ua dstrbuzoe d pù valor uerc. Esepo 6. Al tere dell ao scolastco, cascua atera, da u see d vot (valutazo uerche espresse da uer ter o frazoar copres tra e 0) è ecessaro estrarre u (uco) voto fale. Coe possao procedere? È opportuo applcare cocett d oda e d edaa? Cosderao seguet vot, rportat da uo studete fsca: ½ 6½ 7 8

13 Provao a calcolare l voto fale fsca applcado cocett trodott: la oda è 5, quato la frequeza assoluta del valore 5 è la assa (copare 3 volte); la edaa è 5½, quato l valore 5½ s trova poszoe cetrale, ell eleco ordato de vot. I etrab cas ora potzzat, l ostro studete s setrebbe gustaete altrattato: 5 è u voto troppo basso, perché oostate tre 5 zal, ella secoda parte del perodo cosderato c è stato u buo recupero! Ache 5½ sebra poco, oostate sa l rsultato cetrale... Radao duque l calcolo del voto fale alla sezoe seguete, dopo che avreo trodotto l cocetto d eda artetca. 4. MEDIE ARITMETICHE 4.. Meda artetca seplce Poco fa, per eseplfcare ua tpca stuazoe da affrotare co etod della statstca, è stato proposto l seguete questo: qual è, edaete, l altezza delle doe europee? La doada è cetrata su d u tere portate, edaete, e rchede ua valutazoe coplessva rguardate u uero olto alto d soggett. Sarebbe certaete sesato elecare le altezze d tutte le doe europee! Né appare produttva l applcazoe delle ozo d oda e d edaa, trodotte ella precedete sezoe. Pertato, è ecessaro trodurre u uovo procedeto per rassuere u (uco) uero le forazo dervate da ueros rlevaet dello stesso tpo. U etodo assa utle olt cas sl a quello sopra acceato è trodotto dalla defzoe seguete. Defzoe 7. Assegat uer a, a, a 3,..., a, s dce eda artetca seplce d tal uer l uero M otteuto addzoado tutt uer assegat e dvdedo la soa per : 3

14 M a a + a + a + a Esepo 7. Rpredao dat dell esepo 6: ua dretta applcazoe della eda artetca seplce be ota agl studet è l calcolo della eda de vot cosegut, durate l ao scolastco, ua deterata atera. Ad esepo, og studete sa che se suo vot fsca soo: ½ 6½ 7 8 la sua eda fsca (la eda artetca seplce de uer ora ctat) è: M , 5 + 6, voto che stetzza rsultat raggut dallo studete el perodo cosderato assa eglo d quato otteuto applcado la oda o la edaa (s rveda, a tale proposto, l esepo precedete). Esepo 8. La eda artetca seplce s applca geoetra aaltca: le coordate cartesae (x M ; y M ) del puto edo del segeto avete per estre P (x ; y ) e P (x ; y ) soo: x M x + x y M y + y Pertato: l ascssa e l ordata del puto edo d u segeto soo le ede artetche rspettvaete delle ascsse e delle ordate degl estre d tale segeto. le coordate cartesae (x G ; y G ) del barcetro del tragolo avete per vertc P (x ; y ), P (x ; y ) e P 3 (x 3 ; y 3 ) soo: x G x + x + x 3 3 y G y + y + y 3 3 Pertato: l ascssa e l ordata del barcetro d u tragolo soo le ede artetche rspettvaete delle ascsse e delle ordate de vertc d tale tragolo. 4

15 4.. Meda artetca poderata La eda artetca seplce è uo strueto spesso utlzzato elle applcazo pratche, olt cap. I alcu cas, però, l pego della eda artetca seplce per rassuere u uco uero le forazo dervat da ua pluraltà d dat può rsultare poco sgfcatvo, se o fuorvate. Esepo 9. I u agazzo soo depostate 000 tache d olo: alcue d esse (500) hao la capactà d 5 ltr l ua; alcue d esse (350) soo da 0 ltr l ua, le raet (50) soo da 5 ltr l ua. Qual è la capactà eda delle tache depostate el agazzo? I questo caso, l applcazoe della eda artetca seplce porterebbe al rsultato (errato) d 0 ltr: Ifatt, operado co la eda artetca seplce s attrbusce a tre dat (5 ltr, 0 ltr, 5 ltr) la stessa portaza, ovvero la stessa flueza sul rsultato fale. Cò o è corretto; ad esepo, be 500 tache hao la capactà d 5 ltr, etre solo 50 d 5 ltr: quest due dat, duque, o possoo essere cosderat allo stesso odo! I stuazo coe quella descrtta ell esepo, l pego della eda artetca seplce può essere sosttuto da quello della eda artetca poderata. Defzoe 8. Assegata ua varable statstca costtuta da uer a, a,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza assoluta f, f,..., f, s dce eda artetca poderata d tal uer l uero M otteuto addzoado tutt uer assegat, cascuo oltplcato per la propra frequeza assoluta, e dvdedo la soa per la soa delle frequeze assolute: M af f + f + f f 3 a f a f a f a f f + f + f f 3 I coeffcet f, f, f 3,..., f, s dcoo pes. Osservazoe. La defzoe d eda artetca poderata è strettaete collegata alla defzoe d eda artetca seplce. Ifatt, ella stuazoe 5

16 prevsta dalla defzoe 8, è: f +f +f f, uero totale de cas cosderat; rcavado la eda artetca seplce d tutt quest cas, otteao: M ( a + a a ) + ( a + a a ) ( a + a a ) f added f added a f a f a f a f f + f + f f 3 f added che cocde co l espressoe della eda artetca poderata. Esepo 0. La capactà eda delle tache depostate el agazzo, secodo dat dell esepo precedete, può essere calcolata edate la eda artetca poderata: M , La capactà eda è duque d 8,5 ltr La proposzoe seguete trodurrà ua defzoe alteratva d eda artetca poderata. Proposzoe. Data ua varable statstca costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza relatva p, p, p 3,..., p, la eda artetca poderata M d tal uer s ottee addzoado tutt uer assegat, cascuo oltplcato per la propra frequeza relatva: M ap a p +a p +a 3 p a p Dostrazoe. Dalla defzoe d eda artetca poderata: M a f a f a f a f f + f + f f 3 rcordado che f +f +f f (uero totale de cas cosderat) e che, f per og dce : p, segue drettaete la tes: 6

17 M a f + a f + a f + a f a p +a p +a 3 p a p Esepo. Sepre co rfereto all esepo 9, valor ( ltr): c 5 c 0 c 3 5 copaoo co frequeze assolute: f 500 f 350 f 3 50 e co frequeze relatve (essedo 000): p 0,500 p 0,350 p 3 0,50 Applcado la proposzoe precedete, possao calcolare la eda artetca poderata ella fora: M 5 0, , ,50 8, Scart Defzoe 9. Assegat uer a, a, a 3,..., a, sa α u valore copreso tra l o ed l asso d tal uer; valor: s a α, s a α, s 3 a 3 α,..., s a α s dcoo scart de rspettv uer a, a, a 3,..., a cosderat da α. Spesso cosderereo gl scart d alcu valor rspetto alla loro eda artetca M (seplce o poderata), coe ell esepo seguete. Esepo. Rferaoc acora ua volta all esepo 9; gl scart d: c 5 c 0 c 3 5 dalla eda (poderata) M 8,5 soo rspettvaete: 7

18 s 3,5 s,75 s 3 6,75 Proposzoe. Se M è la eda artetca seplce d uer a, a, a 3,..., a, allora la soa degl scart da M d a, a, a 3,..., a è 0: ( a M) ( a M) + ( a M) ( a M) 0 Dostrazoe. I base alla defzoe d eda artetca seplce: ( a M) ( a M) + ( a M) ( a M) a +a +a a M a +a +a a a + a + a + a Aalogaete può essere dostrato l rsultato seguete. Proposzoe 3. Se M è la eda artetca poderata d a, a, a 3,..., a co pes rspettv f, f, f 3,..., f, allora: ( a M) f ( a M) f + ( a M) f ( a M) f 0 Se a valor a, a, a 3,..., a soo assocate le frequeze relatve p, p, p 3,..., p, aalogaete: ( a M) p ( a M) p + ( a M) p ( a M) p 0 Esepo 3. Co rfereto all esepo 9, a valor ( ltr): c 5 c 0 c 3 5 soo assocate le frequeze assolute: f 500 f 350 f 3 50 La eda artetca poderata è: M 8,5. Calcolao ora: 8

19 3 ( c M) f (5 8,5) 500+(0 8,5) 350+(5 8,5) 50 0 coe prevsto dalla proposzoe precedete. C ltao ad eucare le proposzo seguet. Proposzoe 4. Se M è la eda artetca seplce d uer a, a, a 3,..., a, allora la soa de quadrat degl scart da α R d a, a, a 3,..., a : ( a α) ( a α) + ( a α) ( a α) è a quado α M. Proposzoe 5. Se M è la eda artetca poderata d a, a,..., a, allora: ( a α) f ( a α) f+ ( a α) f ( a α) f è a quado α M. Se a valor a, a,..., a soo assocate le frequeze relatve p, p,..., p, aalogaete: ( a α) p ( a α) p+ ( a α) p ( a α) p è a quado α M. Le dostrazo delle proposzo ora eucate possoo essere otteute geeralzzado quato llustrato ell esepo seguete. Esepo 4. Rpredao cosderazoe dat dell esepo 9: a valor: c 5 c 0 c 3 5 ( ltr) soo assocate le frequeze assolute: f 500 f 350 f 3 50 La eda artetca poderata è: M 8,5. Calcolao ora: 9

20 3 ( c M) f (5 8,5)² 500+(0 8,5)² 350+(5 8,5)² ,5 Tetao ora d otteere u valore ferore dell espressoe precedete, sosttuedo a M l valore M+δ, co δ 0: 3 ( c M δ) f (5 8,5 δ)² 500+(0 8,5 δ)² 350+(5 8,5 δ)² ,5+000δ² Questo valore o è ferore al precedete ( accordo co quato afferato ella proposzoe 5): per og scelta d δ 0, fatt, abbao agguto al valore precedete la quattà (postva) 000δ². 5. MEDIE GEOMETRICHE 5.. Meda geoetrca seplce La eda artetca (seplce e poderata) o è l uco cocetto edate l quale s descrvoo u (uco) uero le forazo dervate da pù rlevaet dello stesso tpo. U cocetto per olt vers aalogo alla eda studata ella sezoe precedete è trodotto dalla defzoe seguete. Defzoe 0. Assegat uer a, a, a 3,..., a, s dce eda geoetrca seplce d tal uer l uero M g otteuto oltplcado tutt uer assegat ed estraedo la radce -esa del prodotto otteuto: M g a a a a3... a Esepo 5. La eda geoetrca seplce de uer, 4, 64 è: M g

21 5.. Meda geoetrca poderata Aalogaete a quato fatto el caso delle ede artetche, troducao la eda geoetrca poderata. Defzoe. Assegata ua varable statstca costtuta da uer a, a,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza assoluta f, f,..., f, s dce eda geoetrca poderata d tal uer l uero M g otteuto oltplcado tutt uer assegat, cascuo elevato alla propra frequeza assoluta, ed estraedo la radce (f +f +...+f )-esa del prodotto otteuto: M g f + f + f + + f f a f f f f f f f f a a a... a I coeffcet f, f, f 3,..., f, s dcoo pes. Esepo 6. La eda geoetrca poderata de uer, 3, 5 co pes rspettv 4, 4, è: M g ,85 C ltao ad eucare la proposzoe seguete. Proposzoe 6. Assegata ua varable statstca costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza relatva p, p, p 3,..., p, la eda geoetrca poderata M g d tal uer s ottee oltplcado tutt uer assegat, cascuo elevato alla propra frequeza relatva: M g p a p p p3 a a a... a 3 p Esepo 7. La eda geoetrca poderata de uer, 3, 5 co pes rspettv 0,4, 0,4, 0, è: 04, 04, 0. M g 3 5,85

22 rsultato che cocde co quello otteuto ell esepo precedete (l lettore s rederà coto che la stuazoe esaata è la stessa). 6. MEDIE ARMONICHE 6.. Meda aroca seplce Defzoe. Assegat uer a, a, a 3,..., a, s dce eda aroca seplce M h d tal uer l recproco della eda artetca de recproc degl uer dat: M h a a a a3 a Esepo 8. La eda aroca seplce de uer 3 e 7 è: M h , (Il lettore è vtato a otare che 5 è la eda artetca seplce d 3 e 7, coe prevsto dalla precedete defzoe). 6.. Meda aroca poderata Aalogaete a quato fatto el caso delle ede artetche e geoetrche, troducao la eda aroca poderata. Defzoe 3. Assegata ua varable statstca costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza assoluta f, f, f 3,..., f, s dce eda aroca poderata d tal uer l uero M h : M h f f f f f + f + f f f f f f f a a a a a 3

23 I coeffcet f, f, f 3,..., f, s dcoo pes. Esepo 9. La eda aroca poderata de uer, 3, co pes rspettv,, è: 4 5 M h ,357 C ltao ad eucare la proposzoe seguete. Proposzoe 7. Assegata ua varable statstca costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza relatva p, p, p 3,..., p, la eda aroca poderata M h d tal uer s ottee: M h p p p p3 p a a a a a 3 co pes r- Esepo 30. La eda aroca poderata de uer, 3, 4 spettv 0,4, 0,4, 0, è: M h 0,357 0, , , rsultato che cocde co quello otteuto ell esepo precedete. 7. SCARTO SEMPLICE MEDIO VARIANZA E SCARTO QUADRATICO MEDIO 7.. Scarto seplce edo Abbao poco fa trodotto l cocetto d scarto. Rpredereo ora tale ozoe, propoedo alcue portat defzo. La pra d esse rguarda u- 3

24 er a, a, a 3,..., a, e la loro eda artetca seplce M; predereo cosderazoe le quattà: a M, a M, a 3 M,..., a M coè valor assolut degl scart dalla eda M. Defzoe 4. Assegat uer a, a,..., a, sa M la loro eda artetca seplce. S dce scarto seplce edo della eda artetca s M de valor cosderat la eda artetca seplce de valor assolut degl scart da M: s M a M a M a M a M a M Esepo 3. Soo assegat 5 valor (rpres dall esepo 6): ,5 6,5 7 8 La loro eda artetca seplce (esepo 7) è: M 6. Lo scarto seplce edo della eda artetca de valor sopra rportat è: s M , , , 5 + 0, Lo scarto seplce edo della eda artetca può rferrs alla eda artetca poderata se valor goco costtuscoo ua varable statstca. Defzoe 5. Assegata ua varable statstca costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza assoluta f, f, f 3,..., f, sa M la loro eda artetca poderata. S dce scarto seplce edo della eda artetca s M de valor cosderat la eda artetca poderata de valor assolut degl scart da M: s M a M f f + f + f f a Mf + a Mf + a3 Mf a Mf f + f + f f 3 4

25 Esepo 3. Rpredao dat dell esepo 9; u agazzo soo depostate 000 tache d olo: alcue d esse (500) hao la capactà d 5 ltr l ua; alcue (350) soo da 0 ltr l ua, le raet (50) soo da 5 ltr l ua. La eda artetca poderata delle capactà (esepo 0) è: M 8,5 ( ltr). Lo scarto seplce edo della eda artetca de valor rportat è: 5 8, , , 5 50 s M 000 3, , , ,5 000 Osservazoe. C ltao ad acceare che se ua varable statstca è costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspode ua frequeza relatva p, p, p 3,..., p, essedo M la loro eda artetca poderata, allora lo scarto seplce edo della eda artetca de valor cosderat è: s M a M p a Mp + a Mp + a Mp a Mp 3 3 (aalogaete a quato afferato ella proposzoe ). 7.. Varaza Defzoe 6. Assegat uer a, a, a 3,..., a, sa M la loro eda artetca seplce. S dce varaza σ² de valor cosderat la eda artetca seplce de quadrat degl scart da M: σ² ( a M ) ( ) ( ) ( ) a M a M a M ( a M ) Esepo 33. Cosderao uovaete 5 valor (rpres dall esepo 6): ,5 6,

26 La loro eda artetca seplce (esepo 7) è: M 6. La varaza è: σ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,5 6 6,5 6 ( 7 6 ) ( 8 6 ) , + 05, + +,4 7 Ache la varaza può essere rferta alla eda artetca poderata, el caso cu valor a dsposzoe costtuscao ua varable statstca. Defzoe 7. Assegata ua varable statstca costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza assoluta f, f, f 3,..., f, sa M la loro eda artetca poderata. S dce varaza σ² de valor cosderat la eda artetca poderata de quadrat degl scart da M: σ² ( a M ) f + f + f f ( ) ( ) ( ) a M f + a M f + a M f ( a ) 3 3 M f + f + f 3 f f Esepo 34. Rpredao dat dell esepo 9, che rcordao acora ua volta: u agazzo soo depostate 000 tache d olo: alcue d esse (500) hao la capactà d 5 ltr l ua; alcue (350) soo da 0 ltr l ua, le raet (50) soo da 5 ltr l ua. Sappao che la eda artetca poderata delle capactà (calcolata ell esepo 0) è ( ltr): M 8,5 La varaza de valor sopra rportat è: σ² ( ) ( ) 5 8, , ( 5 8,5 ) , , , , Osservazoe. C ltao ad acceare che se ua varable statstca è costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspode ua fre- f 6

27 queza relatva p, p, p 3,..., p, essedo M la loro eda artetca poderata, allora la varaza de valor cosderat è: σ² ( a M ) p a M p + a M p + a M p a M ( ) ( ) ( 3 ) 3 ( ) (aalogaete a quato afferato ella proposzoe e ell osservazoe al tere del paragrafo precedete). p 7.3. Scarto quadratco edo Defzoe 8. Assegat uer a, a, a 3,..., a, sa M la loro eda artetca seplce. S dce scarto quadratco edo σ de valor cosderat la radce quadrata della eda artetca seplce de quadrat degl scart da M: σ ( a M ) ( a M ) + ( a M ) + ( a M ) + + ( a M ) 3... Osservazoe. Cofrotado le defzo d scarto quadratco edo e d varaza, possao cocludere che lo scarto quadratco è la radce quadrata (artetca) della varaza. Esepo 35. Cosderao uovaete 5 valor (rpres dall esepo 6): ,5 6,5 7 8 La loro eda artetca seplce (esepo 7) è: M 6. Lo scarto quadratco edo de valor sopra rportat è: ( 5 6) + ( 5 6) + ( 5 6) + ( 5,5 6) + ( 6,5 6) + ( 7 6) + ( 8 6) σ , 5 + 0, 5 + +, 4...,0 7 7

28 Ache lo scarto quadratco edo può essere rferto alla eda artetca poderata, el caso cu valor costtuscao ua varable statstca. Defzoe 9. Assegata ua varable statstca costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspoda ua frequeza assoluta f, f, f 3,..., f, sa M la loro eda artetca poderata. S dce scarto quadratco edo σ de valor cosderat la radce quadrata della eda artetca poderata de quadrat degl scart da M: σ ( a M ) f f f3 f ( a M ) f + ( a M ) f + ( a M ) f ( a M ) f + f + f 3 3 f Esepo 36. Rferaoc sepre a dat dell esepo 9 che rcordao per coodtà: u agazzo soo depostate 000 tache d olo: alcue d esse (500) hao la capactà d 5 ltr l ua; alcue (350) soo da 0 ltr l ua, le raet (50) soo da 5 ltr l ua. La eda artetca poderata delle capactà (esepo 0) è ( ltr): M 8,5. Lo scarto quadratco edo è: ( 5 8,5) ( 0 8,5) ( 5 8,5) 50 σ 000 3, , , , 875 3, Osservazoe. C ltao fe ad acceare che se ua varable statstca è costtuta da uer a, a, a 3,..., a, a cascuo de qual corrspode ua frequeza relatva p, p, p 3,..., p, essedo M la loro eda artetca poderata, allora lo scarto quadratco edo de valor cosderat è: σ ( a M ) p a M p + a M p + a M p a M ( ) ( ) ( 3 ) 3 ( ) f 3 f p 8

29 8. CONCENTRAZIONE 8.. Il cocetto d cocetrazoe Il cocetto d cocetrazoe è rferto specfcaete a be (ettà ateral, ecooche...) d uo stesso tpo che possoo essere soate tra d loro e che possoo essere cosderate d propretà d u soggetto. Ad esepo, è possble parlare d cocetrazoe d captal, d reddt, d ezz d produzoe Idchao co a, a, a 3,..., a le quattà d u bee rspettvaete apparteet agl dvdu I, I, I 3,..., I. Sa A a +a +a a l totale de be a cu vee fatto rfereto. Co l tere cocetrazoe c rferao alle caratterstche co cu tale bee è dstrbuto tra gl dvdu esaat. Se be soo dstrbut uforeete (se og dvduo possede ua stessa quattà del bee totale) dcao che la cocetrazoe è ulla. Se u solo dvduo possede teraete tutto l bee, dcao che la cocetrazoe è assa. Esepo 37. Cosderao le azede A, B, C, D, che operao ella stessa regoe u deterato settore. Il fatturato auo d tal azede è: Azeda A: 0 ( lo d euro) Azeda B: 5 ( lo d euro) Azeda C: 35 ( lo d euro) Azeda D: 65 ( lo d euro) Coplessvaete, l fatturato d quel settore quella regoe è 5 ( lo d euro). Esso s dvde elle quattro azede secodo le percetual: Azeda A: 8 % Azeda B: % Azeda C: 8 % Azeda D: 5 % Totale 00 % I dat ora rportat possoo essere rappresetat addzoado (cuulado) ordataete le percetual delle quattro azede (cascua d esse, duque, rappreseta l 5 % del uero delle azede operat). S ottegoo allora le seguet percetual cuulate: 9

30 Percetuale azede Percetuale fatturato 5 % 8 % 50 % 0 % (8 % + %) 75 % 48 % (8 % + % + 8 %) 00 % 00 % (8 % + % + 8 % + 5 %) 8.. Ceo sulla rappresetazoe d Lorez Geeralzzado quato presetato ell esepo, dchao co a, a, a 3,..., a le quattà d u bee apparteet agl dvdu I, I, I 3,..., I ; sa A a +a +a a l totale de be a cu vee fatto rfereto. Sao p, p, p 3,..., p le percetual cuulate calcolate rferte a possessor e b, b, b 3,..., b le percetual cuulate rferte alle quattà d bee posseduto. Rportado u rfereto cartesao tal percetual cuulate, possao deterare ua curva, detta curva d Lorez. S ot che caso d cocetrazoe ulla (ovvero el caso cu a cascuo degl possessor spett esattaete / del bee totale A dspoble), la curva d Lorez s rduce ad u segeto d retta, deoata retta d cocetrazoe ulla (o retta d equdstrbuzoe). Nel caso vece cu tutto l bee dspoble sa possesso d u solo soggetto, la curva d Lorez s rduce all uoe de due seget ortogoal (spezzata d cocetrazoe assa). L area della parte d pao copresa tra la curva d Lorez e la retta d cocetrazoe ulla è detta area d cocetrazoe. Il rapporto tra l area d cocetrazoe e l area della parte d pao copresa tra la retta d cocetrazoe ulla e la spezzata d cocetrazoe assa è detto rapporto d cocetrazoe. Può varare tra 0 (cocetrazoe ulla) e (cocetrazoe assa). Esepo 39. Nel caso esaato ell esepo precedete l lettore è vtato a costrure la rappresetazoe grafca. S calcola per l area d cocetrazoe: ( 0,08 + 0,0) 0,5 + ( 0,0 + 0,48) 0,5 + ( 0,48 + ) 0,08 0,5 + 0,5 0,85 0, 85 Rapporto d cocetrazoe: 0,37 05, 30

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