Statistica descrittiva Campioni vettoriali

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Celia Rosa
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1 Statstca Descrttva Capo vettoral Statstca descrttva Capo vettoral Itroduzoe el caso cu s osserv ua varable statstca ultdesoale, s assoca al sgolo esto dell espereza u vettore d rsultat e o pù u seplce scalare. I questo caso l capoe è costtuto da ua sere d osservazo, cascua delle qual è detfcata co u vettore. el seguto s trodurrao cocett d statstca descrttva relatv ad u capoe d tpo vettorale. Per seplctà della dscussoe sarao presetat solo cas bdesoal ovvero alla sgola osservazoe del processo aleatoro assoco ua coppa d varabl stocastche (x,) Statstca descrttva Capo vettoral

2 Statstca descrttva Capo vettoral Itroduzoe I preseza d u capoe bdesoale d osservazo (x,) ( x, ), ( x, ),..., ( x, ) è possble rappresetare la varable statstca bdesoale (evetualete raggruppata class) ua tabella a doppa etrata: dfferet lvell per la x (x, =,, ) dfferet lvell per la (, =,, ) S può qud valutare l uero d volte che s osserva la coppa (x, ) frequeza assoluta Frequeza assoluta P = P x P x P x P Q Q Q Q Q = Frequeza assoluta argale della varable statstca Frequeza co cu s osserva la dpedeteete dal valore che assue la x Frequeza assoluta argale della varable statstca x Frequeza co cu s osserva la x dpedeteete dal valore che assue la Statstca descrttva Capo vettoral

3 Frequeza relatva La tabella della frequeza relatva (e le relatve propretà) eergoo aera aturale dalla frequeza relatva: uero totale d f = espereze Desoe del capoe Da cu: f = Frequeza p argale d x Frequeza q argale d p f = q f = La soatora è rspetto all dce La soatora è rspetto all dce = p = q Frequeze Codzoate È possble ache defre ua frequeza relatva codzoata: p = f q Frequeza codzoata d x assegato = q = f p Frequeza codzoata d assegato x = x Statstca descrttva Capo vettoral 3

4 Idc capoar Idc poszoal Moet dopp d orde (h,k) hk h = x k f h, k = 0,,,... Cas partcolar h =, k =0 0 = x = x f = x f = x p h = 0, k = 0 = = f = f = q Idc capoar Moet cetral Iaera aaloga è possble defre oet dopp cetral: M hk h k = ( x x) ( ) f h, k = 0,,,... Cas partcolar: h =, k = 0 (Varaza rspetto alla copoete x) ( x x) f = ( x x) f = ( x x) p s M = = 0 x = h = 0, k = (Varaza rspetto alla copoete ) ( ) f = ( ) f = ( ) q s = 0 M = Statstca descrttva Capo vettoral 4

5 Idc capoar Moet cetral h =, k = (covaraza d x e ) = ( x x)( ) f sx M = Può ache essere scrtta co la seguete forula: s x = x f x Idc capoar Moet Da otare che le forule scrtte pra soo valde el caso d dat raggruppat per class (le soatore s rferscoo al uero d class ed, rspettvaete per la e la x) el caso d dat o raggruppat è possble scrvere le forule: x = x, = s = ( x x), s = ( ) x s = ( )( ) x x x.b. La soatora s rfersce alla desoe del capoe Statstca descrttva Capo vettoral 5

6 Idpedeza stocastca Codzoe ecessara e suffcete affché le copoet x e del capoe vettorale s dcao dpedet è che: f = p q, Se tale propretà o è verfcata le copoet x ed soo dpedet Dpedeza stocastca Perfetta dpedeza tra x ed Se ad og lvello d x corrspode uo ed u solo lvello d co frequeza o ulla 3 4 x x x x Per og rga e coloa s ha ua sola f 0. Ioltre f = p = q Statstca descrttva Capo vettoral 6

7 Dpedeza stocastca Perfetta dpedeza ulaterale d x da Ad og corrspode ua sola x, a o vceversa (possble solo se <) 3 4 x x x I og coloa s ha ua sola f = q Dpedeza stocastca Perfetta dpedeza ulaterale d da x Ad og x corrspode ua sola, a o vceversa (possble solo se <) 3 x x x x I og rga s ha ua sola f = p Statstca descrttva Capo vettoral 7

8 Msure d coessoe tra copoet d u capoe e cas precedet soo state trodotte le evetualtà d: Idpedeza delle due copoet Perfetta dpedeza tra le due copoet S tede el seguto quatfcare la coessoe tra le due copoet quado o c s trova e cas estre precedeteete dscuss Msure d coessoe tra copoet d u capoe Cotgeza Msura la dstaza d quato la frequeza relatva osservata f s dscosta dalla stuazoe d dpedeza: c = f p q È ua sura relatva e gode delle seguet propretà: c = 0 c = 0 Statstca descrttva Capo vettoral 8

9 Msure d coessoe tra copoet d u capoe Altre propretà della cotgeza c = c + = c c = c + = c c c p ( p ) q ( q ) c L uguaglaza s ha per la perfetta dpedeza Msure d coessoe tra copoet d u capoe Secotgeza eda: c 0 = È uo scalare c0 = 0 c Le copoet x ed soo dpedet È sepre: c 0 Statstca descrttva Capo vettoral 9

10 Msure d coessoe tra copoet d u capoe Idc ulateral d Boferro Idce d dpedeza d x da : Idce d dpedeza d da x Idc blateral d Boferro Pro dce: Secodo dce: c0 β = x p c0 β = q β = 0 β β x β x β xβ = β + β Msure d coessoe tra copoet d u capoe Defzoe: S defsce correlazoe delle due varabl x e l uero r = x s s x xs S può faclete verfcare che la correlazoe è u uero puro (ovvero o ha utà d sura) ed è tale che r x Statstca descrttva Capo vettoral 0

11 Msure d coessoe tra copoet d u capoe Esepo d correlazo r x = 0.98 r x = x x Msure d coessoe tra copoet d u capoe Eserczo: seguet dat soo putegg che 0 studet hao coseguto egl esa d Aals I e Aals II (puteggo asso = 00). Calcolare le gradezze statstche assocate (ede, varaze, covaraza e correlazoe) È possble trarre delle cocluso? Aals I Aals II Aals I Aals II Statstca descrttva Capo vettoral

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