CENNI DI STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA DISTRIBUZIONI MARGINALI RETTA DI REGRESSIONE. Angela Donatiello 1

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1 CENNI DI STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA DISTRIBUZIONI MARGINALI RETTA DI REGRESSIONE Agela Doatello 1

2 Fo ad ora c samo occupat d statstca uvarata, ossa d aals d dat proveet dalla rlevazoe d u sgolo carattere su ua data popolazoe. L dage statstca può però esteders alla rlevazoe d pù caratter cotemporaeamete, ad esempo, peso, età, cttà d ascta, sesso, etc d ua data popolazoe d dvdu, tal caso s parlerà d statstca multvarata. I partcolare, la statstca bvarata s occupa dell aals de dat che s ottegoo quado vegoo rlevat cogutamete due caratter dvers. L obettvo prcpale della statstca bvarata è quello d mettere luce le relazo che tercorroo fra due caratter rlevat sullo stesso collettvo d utà statstche. Aalzzeremo come: rappresetare due caratter cogutamete costrure tabelle a doppa etrata studare alcu possbl legam esstet fra due caratter Agela Doatello

3 Dstrbuzo cogute e margal Suppoamo d aver osservato due caratter X e Y su cascua delle utà statstche che compogoo la popolazoe. Il rsultato potrà essere prma stetzzato ua tabella de dat grezz Utà statstche Modaltà d X rlevata Modaltà d Y rlevata 1 x 1 y 1 x y x y Esempo. Su ua popolazoe formata da 5 persoe soo stat rlevat due caratter: età (X) e cttà d ascta (Y) Nome Età ( a) Cttà d ascta Gova 30 Mlao Adrea 35 Toro Mara 3 Mlao Fracesca 30 Mlao Amela 3 Roma Agela Doatello 3

4 Tal dat possoo però essere orgazzat modo da rederl pù leggbl e poter trarre delle formazo da dat stess. E utle a tal proposto costrure ua tabella a doppa etrata cu verrao rportate le frequeze cogute co cu s presetao le coppe d modaltà osservate su caratter studat. Carattere X presetato co le modaltà x 1,, x k Carattere Y presetato co le modaltà y 1,, y h S costrusca ua matrce co k + 1 rghe e h + 1 coloe e s rporto: ella prma coloa le modaltà x 1,, x k del carattere X; ella prma rga le modaltà y 1,, y h del carattere Y ella casella d croco tra le modaltà ( esma rga e esma coloa) la frequeza assoluta co cu s presetao cogutamete le modaltà (x, y ), dcata co l smbolo f (x, y ) Y y 1 y y h X x 1 x f(x,y ) x k Agela Doatello 4

5 Nell esempo cosderato Y Mlao Toro Roma X Tale tabella va completata co l agguta d u ultma rga e d u ultma coloa dove s rportao le somme delle frequeze preset su cascua rga ( o coloa). Questa rga e questa coloa rappresetao le dstrbuzo margal de due caratter, ovvero le frequeze regstrate el caso cu og carattere fosse stato rlevato sgolarmete. Tal frequeze f(x 1 ),, f(x k ) e f(y 1 ),, f(y h ) vegoo dette frequeze margal d X e Y. Y y 1 y y h Totale X x 1 f(x 1 ) x f(x,y ) x k f(x k ) Totale f(y 1 ) f(y h ) Dstrbuzoe margale d Y Dstrbuzoe margale d X umero complessvo d utà del collettvo Agela Doatello 5

6 Soo vece dette frequeze margal relatve rapport tra le frequeze margal e l umero complessvo d utà del collettvo. Dstrbuzo codzoate Se s fssa ua sgola modaltà x (oppure y ), ossa s fssa l attezoe su ua sgola rga (oppure su ua sgola coloa), cò sgfca restrgere l aals ad ua sottopopolazoe che preseta la modaltà x (o y ). Cascua d queste rghe (coloe) è pertato ua dstrbuzoe codzoata. Y Mlao Toro Roma X Dstrbuzoe codzoata d Y rspetto a x 1 X Dstrbuzoe codzoata X y 1 Dstrbuzoe codzoata relatva 30 / / Totale 3 1 Agela Doatello 6

7 Idpedeza statstca Def. Il carattere X s drà dpedete dal carattere Y se le dstrbuzo codzoate relatve d X rspetto alla modaltà d Y è uguale alla dstrbuzoe margale relatva d X. Cosa vuol dre? Se la dstrbuzoe codzoata relatva d X rspetto a Y è uguale a quella margale relatva, sgfca che l codzoameto del carattere X alle modaltà del carattere Y è rrlevate. Se caratter o soo dpedet s dce che esste tra ess ua coessoe. I geerale s prova che: Teorema. Due caratter X e Y, d cu soo state osservate le modaltà x 1,, x k e y 1,, y h su ua popolazoe costtuta da utà, s dcoo dpedet se e solo se ( x ) f ( y ) f = 1,...,k f ( x, y ) = = 1,...,h Og frequeza coguta è uguale al prodotto delle frequeze margal, dvso. Agela Doatello 7

8 L'dpedeza statstca è u cocetto smmetrco: se X è statstcamete dpedete da Y ache Y è statstcamete dpedete da X e vceversa e su tale cocetto s basa la dmostrazoe del teorema suddetto. ( x ) f ( y ) f soo dette frequeze teorche d dpedeza Per verfcare l dpedeza de caratter s affaca alla tabella a doppa etrata delle frequeze assolute cogute osservate ua tabella delle frequeze teorche d dpedeza. Affché c sa dpedeza le due tabelle devoo cocdere. Esempo. Y y 1 y Totale X x x x Totale Tabella osservata Y y 1 y Totale X x = 15 = x = 9 = x = 6 = Totale Tabella teorca d dpedeza Agela Doatello 8

9 Le due tabelle soo dverse, pertato o c è dpedeza, ma c è coessoe. Per valutare l grado d coessoe s costrusce la tabella delle cotgeze facedo la dffereza fra la tabella orgale e quella d dpedeza. Cotgeza: c(x, y ) = f (x, y f ) ( x ) f ( y ) = f (x, y ) f * (x msura d quato s dscosta la tabella osservata da quella teorca Osservazoe: la somma delle cotgeze è sempre ulla (può essere utle ell applcazoe pratca) Idce ch quadro o d Pearso: χ = k h = 1 = 1 stetzza u uco dce tutte le cotgeze c f (x * (x, y, y ) ), y ) S dmostra che: χ = k h = 1 = 1 f f (x (x, y )f (y ) ) 1 χ ormalzzato = χ m{k 1;h 1} Agela Doatello 9

10 Correlazoe e regressoe Nel caso d ua popolazoe d dvdu adult, suppoamo d voler cercare ua evetuale relazoe tra pressoe arterosa ed età. Numeramo gl dvdu della popolazoe da 1 ad e assocamo all' - esmo dvduo la coppa ordata d umer (x; y), dove x deota la sua età (msurata per es. a) e y deota la sua pressoe arterosa (msurata per es. mm d Hg). I u sstema d coordate cartesae del pao, og coppa (x; y) dvdua u puto P, e l complesso degl put forma ua spece d ube". A secoda delle coppe d gradezze prese esame, questa ube può presetare delle regolartà pù o meo apparscet. Agela Doatello 10

11 Se la ube è del tpo vsualzzato (a), s tusce che al crescere de valor d x ache corrspodet valor d y tedoo a crescere (s parla allora d ua cocordaza o d ua correlazoe postva); se vece la ube è del tpo vsualzzato (b), s tusce che al crescere de valor d x corrspodet valor d y tedoo a dmure (s parla allora d ua dscordaza o d ua correlazoe egatva); se la ube è del tpo vsualzzato (c), s tusce che al crescere de valor d x valor d y s mategoo sostazalmete costat (s parla allora d dffereza della y rspetto ad x). Ife, se la ube del tpo vsualzzato (d), s deve cocludere che dat a dsposzoe o evdezao alcua correlazoe tra le due gradezze cosderate. U dce utle per valutare la correlazoe è la covaraza. Covaraza: Sao X e Y due varabl statstche rlevate cogutamete su u collettvo d utà. Sao x 1,, x valor osservat d X e e y 1,, y valor osservat d Y. Sao x e y le mede delle due varabl statstche. S chama covaraza d X e Y, e s dca co l smbolo σ, l umero defto come xy σ xy = = 1 (x x)(y y) Agela Doatello 11

12 Iterpretamo geometrcamete la covaraza: II I II I III IV III IV Il puto d tersezoe delle parallele agl ass è cò che può essere defto barcetro della uvola d dat, quato è l puto d coordate ( x, y). U dato geerco avrà coordate el pao ( x, y). Gl scart ( x x) e ( y y) avrao sego che s dstrburà su 4 quadrat dvduat dalle rette parallele agl ass. Agela Doatello 1

13 Se la maggor parte de prodott degl scart ( x x)(y y) soo postv, allora put s collocherao maggormete el I e III quadrate, la uvola è percò del tpo (a) e la covaraza è postva Se la maggor parte de prodott degl scart ( x x)(y y) soo egatv, allora put s collocherao maggormete el II e IV quadrate, la uvola sarà pertato del tpo (b) e la covaraza è egatva Se put o soo correlat, quato sparpaglat (d) allora la covaraza è ulla Formula abbrevata per l calcolo della covaraza σ xy = = 1 x y x y Agela Doatello 13

14 Per stablre se la correlazoe è forte o debole s poe la covaraza a rapporto co l suo valore massmo. Teorema. La covaraza d due varabl X e Y può assumere valor apparteet all tervallo σ σ σ σ σ dove σ x e σ y soo le devazo stadard d X e Y. Rcordamo: devazoe stadard d X Coeffcete d correlazoe leare x y S chama coeffcete d correlazoe leare d due varabl X e Y l umero defto come: σxy r = σ σ x y 1 r 1 Stesso sego della covaraza, qud r > 0 dca relazoe leare crescete, r < 0 dca relazoe leare decrescete, r quas ullo dca che o c è ua relazoe leare r = ± 1 allora c è ua perfetta relazoe leare xy x y Agela Doatello 14

15 Calcolo del coeffcete d correlazoe I 4 supermercat soo stat valutat le superfc d esposzoe (X) e l fatturato settmaale (Y) X (m ) O, 0,5 0,8 1 Y (mglaa d euro) Determamo l coeffcete d correlazoe X Y XY X^ Y^ 0, , , , , , som X som Y som XY som X^ som Y^, , Agela Doatello 15

16 Calcolamo tutt gl elemet utl: x x = y = 0,65 y = = 130 x Varaza della X σ x = x = 0, Devazoe stadard X σ x = σ x y Varaza della Y σ y = y = 950 Devazoe stadard Y σ y = σ y x y Covaraza σxy = x y = 16, 5 σxy Coeffcete d correlazoe r = = 0, σ σ x r è prossmo ad 1, pertato c è ua forte correlazoe leare postva y Agela Doatello 16

17 Retta d regressoe Quado s presume che tra due varabl x, y possa sussstere ua relazoe d dpedeza della y dalla x schematzzable term matematc medate ua fuzoe leare, s usa traccare la cosddetta retta d regressoe, coè la retta che meglo approssma la ube de dat. Occorre però precsare acora cosa s debba tedere per mglore approssmazoe. 1) Data ua retta geerca s, s cogugao put P (x, y ) della ube d dat co put Q (x,y ) avet stessa ascssa ma post sulla retta ) S calcolo le lughezze de segmet P Q. P Q = y y' 3)S elevo al quadrato e se e calcol la somma ( y y' ) Essta ua poszoe della retta che rede mma tale somma d quadrat, essa è detta apputo retta de mm quadrat o retta d regressoe = 1 Agela Doatello 17

18 y = a + bx Co I maera pù semplce s ha che: date due varabl X e Y d valor med x e y, la retta d regressoe che esprme Y fuzoe della X è la retta che passa per l puto d coordate (x, y) e che ha per coeffcete agolare m l coeffcete d regressoe, otteuto come rapprorto tra la covaraza e la varaza della X y y = m(x x) σ xy m = σ x Agela Doatello 18

19 y = 176,87x + 19,46 Agela Doatello 19