STATISTICA DESCRITTIVA

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1 STATISTICA DESCRITTIVA aratoetta Rugger Dpartmeto d Sceze statstche e matematche S.Vaell Uverstà degl stud d Palermo

2 Prefazoe Questa dspesa è stata creata per gl studet della Facoltà d Ecooma d Palermo de cors d laurea : - AINISTRAZIONE ED ECONOIA DELLE IPRESE; - ECONOIA E VALUTAZIONE DELLE POLITICHE PUBBLICHE E TERRITORIALI; - ECONOIA E FINANZA; - STATISTICA E INFORATICA PER LA GESTIONE E L ANALISI DEI DATI. Gl esercz rportat soo stat svolt aula, co l auslo del foglo elettroco Ecel, durate le eserctazo.

3 INDICE Cos è la Statstca 5. Ce storc 5. Fot d dat 6.3 La Statstca come dscpla auslara 7.4 Feome rpetbl, parzalmete rpetbl, o rpetbl 8.5 Scale d msura e classfcazoe delle varabl statstche 9.6 Gl error e dat 3.7 I dat statstc 3.8 Popolazo e campo d dat 4 La stes de dat 5. Sere d dat e dstrbuzo d frequeze 5. Rappresetazo grafche 7.3 Esemp 8 3 Le mede 9 3. ede secodo l Chs ede d poszoe ede decsoal Propretà della meda artmetca 47 4 La varabltà 5 4. Gl dc d varabltà assoluta Gl dc d dspersoe Gl dc d varazoe Gl dc d dverstà Idc d varabltà relatva Coeffcet d dspersoe Coeffcet d varazoe Coeffcet d dverstà Esemp sugl dc d varabltà assoluta Esemp sugl dc d varazoe Esemp sugl dc d dspersoe Esemp sugl dc d dverstà Esemp sugl dc d varabltà relatva Propretà della varaza Idc d eterogeetà 7 3

4 5 Adattameto d ua dstrbuzoe teorca ad ua dstrbuzoe d frequeza emprca Ce d calcolo delle probabltà La dstrbuzoe bomale La dstrbuzoe d Posso La dstrbuzoe ormale o d Gauss Adattameto d ua dstrbuzoe teorca ad ua dstrbuzoe emprca 89 6 Idc d forma I momet emprc Asmmetra e curtos Il boplot Esemp 00 7 L'terdpedeza fra due varabl Tabelle doppe d frequeza Idpedeza dstrbuzoe Dpedeza perfetta Idc d assocazoe per tabelle Idc d cograduazoe Cocordaza tra graduatore Cograduazoe per tabelle doppe d frequeza Iterdpedeza fra varabl quattatve 7.6. Esemp d calcolo della covaraza e d ρ 5 8 Idpedeza meda 8 8. ede e varaze codzoate e margal 8 8. Rapporto d correlazoe Puto medo e puto medao Frequeze cumulate per ua tabella doppa 34 9 La regressoe La regressoe leare semplce La regressoe o leare La regressoe multpla 46 Esercz 50 4

5 Cos'è la Statstca. Ce storc Tracce d cò che potremmo defre statstche s rscotrao gà da temp della prestora; l uomo, fatt, da sempre ha setto l esgeza d quatfcare e regstrare avvemet mportat della propra vta, come l ammotare delle ascte, delle mort, del umero de cap d bestame possedut, de prodott agrcol raccolt e scambat, e così va. a la Statstca come dscpla vera e propra asce Ighlterra e Germaa toro al 600; essa s occupa dello studo de feome demografc, socal e de prcpal fatt rguardat la vta d uo Stato. Nello stesso perodo asce l Calcolo delle probabltà, braca della atematca, tuttava per lugo tempo resta cofato a goch d azzardo; solo successvamete l Calcolo delle probabltà, e pù geerale la atematca, dvetao uo strumeto fodametale per la metodologa statstca, partcolare per la Statstca ferezale. Co lo svluppo dell Iformatca la metodologa statstca ha fatto u eorme passo avat; ogg è possble trattare ua gra quattà d dat ed effettuare elaborazo prma mpossbl da esegure maualmete o comuque temp brev. Ogg tutt paes dustralzzat dspogoo d SERVIZI STATISTICI NAZIONALI, per cu o solo è aumetata la quattà dspoble de dat statstc, ma e è mglorata ache la qualtà. I Itala l ISTAT asce come Isttuto autoomo el 96; dal 989 è u Isttuto d Stato a gestoe autooma, dotato d persoaltà gurdca, ed è dvetato Isttuto azoale d Statstca, sotto la dpedeza del Cosglo de str. L Istat ha sede Roma ed ha l compto d raccoglere, elaborare e dffodere formazo 5

6 statstche rguardat tutt gl aspett (demografc, socal, ecoomc) della vta dello Stato. L ISTAT per legge o possede l moopolo della formazoe statstca; esstoo ache altr et, sa pubblc che prvat, che producoo statstche d rlevate teresse azoale, che o hao però valore uffcale. S pes, ad esempo, a var mster, a comu, alle rego, alle provce, oché alla Baca d Itala. Altr et soo la Camera d Commerco, la Cofdustra, l Cess, la RAI, l ENEL, l ENI, la Doa, la Demoskopea, e così va.. Fot d dat Le pubblcazo ISTAT hao carattere perodco; c soo pubblcazo aual, deceal, ma ache occasoal e saltuare. Ctamo fra le pù mportat l Auaro, l Compedo, l Bolletto mesle, gl Auar specalzzat, che costtuscoo u aals dettaglata de var captol compres ell Auaro, oltre alle pubblcazo dedcate a Cesmet. Rcordamo, fatt, che co perodctà deceale l ISTAT effettua l Cesmeto della popolazoe e delle abtazo, l Cesmeto dell agrcoltura e l Cesmeto dell dustra, commerco, servz e artgaato. Ogg c s può collegare a ua BANCA DATI, che cosete d dsporre d dat aggorat tempo reale su dvers feome. C soo alcu paes, come l Afrca, che o dspogoo d u servzo statstco azoale, per qual o è ma stato effettuato u cesmeto e per qual, duque, è mpossble valutare mutamet e le dmeso de feome demografc, ecoomc, satar, ecc Per quato rguarda le fot statstche terazoal, rcordamo le pubblcazo effettuate da alcu orgasm terazoal qual: 6

7 - l ONU (Statstcal yearbook, Demographc yearbook, earbook of atoal accouts Statstcs, othly bullett of Statstcs); - l UNESCO (Auaro dell Istruzoe); - la FAO (Producto yearbook, Trade yearbook, earbook of forest products); - l BIT-ILO (earbook of labour Statstcs); - l OS (World health Statstcs aual); - l OCSE; - l FI; e così va..3 La Statstca come dscpla auslara La Statstca asce come Sceza d Stato, e questo seso trovao ua cootazoe cesmet, ma col tempo assume u altro sgfcato: la Statstca e ua dscpla auslara alle altre dscple scetfche, d cu la dscpla prcpale è la fsca, e assume u ruolo fodametale el processo d acquszoe scetfco della coosceza. Vedamo d capre meglo quato affermato. Il etodo Spermetale, come è oto, fu trodotto da Galleo Galle toro al 600. Per molt secol l uomo, terrogados sul comportameto della atura e sul verfcars d determat feome, ha trovato rsposta el ragoameto flosofco e alcu teore, come quella arstotelca, servedos della sola logca. Il etodo Spermetale rvedca la ecesstà d u accurata spermetazoe e rcoosce la caductà d qualsas legge o modello, la cu mportaza è assolutamete relatva. Galle evdeza l valore del legame esstete fra: - l modo smbolco del razoale (TEORIA); 7

8 - l modo emprco del reale (ESPERIENZA). Secodo l metodo da lu fodato, la coosceza passata d u feomeo deve essere arrcchta e tegrata da uove formazo o espereze, che cosetoo d formulare uove potes, le qual possoo essere formalzzate medate modell o legg. I questa fase tervee la atematca, duque l Calcolo delle probabltà. Le potes vao cotuamete verfcate e aggorate, evetualmete sosttute, dopo aver osservato uov dat. I questa fase tervee la Statstca. Qualsas teora, duque, e d cosegueza qualsas sceza, ha carattere assolutamete temporaeo. I tale processo scetfco duttvo-deduttvo d acquszoe della coosceza, la Statstca rcopre l ruolo essezale d dscpla auslara. Essa tervee elle seguet fas: osservazoe de caratter che descrvoo u feomeo; raccolta delle formazo sotto forma d dat, loro orgazzazoe, elaborazoe e stes; verfca d coformtà de modell teorc alla realtà..4 Feome rpetbl, parzalmete rpetbl, o rpetbl La Statstca, dopo aver orgazzato dat, l predspoe per l aals e l elabora per stetzzare, el modo mglore, le formazo ess coteute. L obettvo è quello d otteere alcu dc approprat, che cosetao d avere ua vsoe globale del feomeo oggetto d studo. La fase dell elaborazoe de dat, e partcolare quello della stes, è u mometo molto mportate e dpede: dal partcolare tpo d feomeo studato; dalla atura del carattere osservato; dalla tpologa degl error che fluezao dat. 8

9 I feome atura possoo essere dstt : rpetbl parzalmete rpetbl o rpetbl I feome rpetbl soo que feome del reale per qual è possble rpetere pù volte e elle stesse codzo la msura d ua gradezza cogta. Cascua msura è affetta da error ε d atura accdetale: X+ε. Tal error soo elmabl, qualuque sa la cura de rlevator e la precsoe degl strumet d msura. E compto della Statstca trovare l modo mglore d combare le osservazo, al fe d otteere la mglore valutazoe del vero valore della gradezza cogta X. I feome parzalmete rpetbl soo que feome del reale legat all evoluzoe delle stago. E oto, ad esempo, che Scla a gugo matura l grao, a settembre l uva, a ovembre le olve. Per quest feome le metodologe statstche dspobl soo meo formatve rspetto a quelle relatve a feome rpetbl. I feome o rpetbl soo que feome del reale per qual tervee la varabltà bologca. Og uomo, ad esempo, preseta caratterstche dverse tal da redere mpossble la rpetbltà della prova. Per quest feome le metodologe statstche rsultao scarsamete formatve..5 Scale d msura e classfcazoe delle varabl statstche La qualtà e l sgfcato dell formazoe stetca rcavata, tramte l aals statstca, dalle sgole osservazo dpedoo fortemete dalla atura del feomeo, ma dpedoo ache dal tpo d carattere che lo descrve e dalla sua msurabltà. 9

10 I Statstca dstguamo dvers tp d CARATTERI o VARIABILI, relazoe a quattro dstte SCALE DI ISURA: NOINALE; ORDINALE; DI INTERVALLI; DI RAPPORTI. U carattere è esprmble su scala omale o cardale se fra le modaltà del carattere s può stablre solo ua relazoe d EQUIVALENZA. I tal caso, l carattere prede l ome d VARIABILE QUALITATIVA SCONNESSA O UTABILE. Esemp d varable qualtatva scoessa soo: - l sesso; - la azoaltà. Rlevat su soggett l sesso e/o la azoaltà, è possble dre solo se due dvers soggett hao uguale sesso/azoaltà oppure o. Questo tpo d dat ha, pertato, u coteuto formatvo molto basso. U carattere s dce msurable su scala ordale, e tal caso prede l ome d VARIABILE QUALITATIVA ORDINABILE O GRADUABILE, se fra le modaltà del carattere è possble stablre, oltre ad ua relazoe d equvaleza, ache ua relazoe d ORDINE. I poche parole, fra le modaltà è possble formulare ua graduatora: () () (3)... (). Il coteuto formatvo d tal varabl è pertato maggore rspetto a quello delle varabl cosderate precedeza. Esemp d varabl qualtatve ordabl soo: - l ttolo d studo; 0

11 - la qualfca professoale. I tal caso, d due soggett dvers, è possble dre se hao lo stesso ttolo d studo o la stessa qualfca professoale, ma è ache possble stablre ch ha l ttolo d studo o la qualfca mglore. I geere, quado s parla semplcemete d caratter, s tedoo le varabl qualtatve. Le VARIABILI QUANTITATIVE, o semplcemete le VARIABILI, a dffereza delle varabl qualtatve, soo espresse da valor umerc. Le varabl quattatve s dstguoo : - DISCRETE; - CONTINUE. Le varabl quattatve dscrete possoo ache dervare da eumerazoe o coteggo d oggett o soggett e assumoo valor ter postv. Esemp d varabl quattatve dscrete soo: - l umero d fgl d ua famgla; - l umero d va d u appartameto. Le varabl quattatve cotue soo espresse da msure (umer razoal o, pù geerale, real) e possoo assumere ft valor all tero d u tervallo. Esemp d varabl quattatve cotue soo: la statura, l reddto, l tempo. U carattere quattatvo cotuo s dce msurable su SCALA A INTERVALLI se fra valor del carattere è possble stablre ua relazoe d: - equvaleza; - orde; - uguaglaza ( + - j+ - j ).

12 Per valor d tal caratter soo lecte le operazo d addzoe e sottrazoe; la dffereza fra due put della scala è uguale alla dffereza fra altr due put della scala che hao la stessa dstaza. Ovvero u tervallo, preso dvers put della scala, deve rappresetare sempre la stessa quattà. U carattere quattatvo s dce msurable su SCALA DI RAPPORTI se tra valor del carattere è possble stablre ua relazoe d: - equvaleza; - orde; - uguaglaza; - rapporto ( + / j+ / j ). Le varabl quattatve cotue msurabl su scala d rapport hao, duque, u coteuto formatvo molto elevato. Per valor d tal caratter soo lecte, oltre alle operazo d addzoe e sottrazoe, ache le operazo d moltplcazoe e dvsoe; l rapporto fra due put della scala è uguale al rapporto fra altr due put della scala che hao la stessa dstaza. La temperatura ( grad Celsus, Fahrehet, Reamur), l peso, la statura soo varabl msurabl su scala d tervallo; soo msurabl su scale d rapporto se rlevate sempre elle stesse codzo fsche, per esempo ello stesso luogo. Lo zero della scala è, fatt, uo zero covezoale e o cocde co lo zero assoluto (zero fsco, reale). La temperatura grad Kelv, vece, è sempre msurable su scala d rapport, perché lo zero della scala cocde co lo zero assoluto, che è l puto cu le molecole d qualsas gas o s muovoo pù. Tal varabl, duque, o possoo assumere valor egatv. VARIABILI SEPLICI E ULTIPLE Raramete atura feome soo descrtt da u solo carattere.

13 Quado su uo stesso oggetto o soggetto s rlevao cotemporaeamete le modaltà o valor d k caratter samo preseza d ua VARIABILE ULTIPLA. Ua varable multpla è OOGENEA se le k varabl che la compogoo soo tutte rlevate co la stessa scala d msura, è ISTA tutt gl altr cas. I Statstca s mpegao metodologe dverse a secoda se dat soo omogee o mst..6 Gl error e dat Gl error modfcao la qualtà dell formazoe coteuta e dat. S suddvdoo : - grossola; - sstematc; - accdetal. Gl error GROSSOLANI soo dovut, ad esempo, ad u rlevatore maldestro o ad ua mmssoe errata de dat. Gl error SISTEATICI soo dovut a strumet poco precs o tarat male. Gl error ACCIDENTALI soo dovut, vece, ad fte cause perturbatrc, ftesme, spesso o ote. I u dage statstca sera gl error grossola e gl error sstematc o dovrebbero ma essere preset. La Statstca ha percò l compto arduo d elmare gl error accdetal o meglo d dvduare la mglore combazoe delle osservazo a f d rdure l flueza..7 I dat statstc I dat statstc possoo essere suddvs dat spazal, temporal, terrtoral. I dat spazal soo dpedet dal luogo e dal tempo, per cu o è mportate l orde co cu soo stat rlevat. Voledo, ad esempo, dagare sul carattere 3

14 statura degl studet che compogoo ua classe, è possble effettuare le rlevazo gor e ambet dvers. I dat temporal (sere storche) dpedoo fortemete dal tempo, per cu è mportate effettuare u osservazoe u determato state puttosto che u altro. S pes, ad esempo, se s vuole studare la legge d accrescmeto del peso d ua cuccolata durate l prmo ao d vta. I dat terrtoral dpedoo dal luogo cu soo stat osservat. S pes, ad esempo, se s vogloo effettuare stud sulla ataltà o sulla mortaltà d ua determata regoe geografca..8 Popolazo e campo d dat No sempre è possble dsporre d tutt dat ecessar per descrvere u feomeo, coè d tutta la POPOLAZIONE o UNIVERSO de dat. Per motv d tempo o d costo, o semplcemete per mpossbltà, l pù delle volte s rcorre ad u CAPIONE suffcetemete rappresetatvo della popolazoe. Dalle propretà stetche rlevate sul campoe s fersce po alle propretà cogte dell uverso de dat. A dscplare tale procedura è ua braca partcolare della Statstca, deomata Statstca ferezale. 4

15 La stes de dat. Sere d dat e dstrbuzo d frequeze Ua dstrbuzoe d frequeze cosete d avere ua rappresetazoe pù compatta e pù formatva rspetto alla sere d dat osservat e tato pù quato pù la sere è umerosa. I partcolare cosete d: - dsporre dell eleco d tutte le modaltà (valor) dstte/; - dvduare le modaltà (valor) pù frequet; - determare l tervallo d varazoe, se s dspoe d valor, della sere orgara; - potzzare partcolar modell teorc, att a descrvere l adameto delle frequeze. Le frequeze assolute dcao l umero d volte co cu cascua modaltà (valore) s preseta ella sere. Oltre alle frequeze assolute possoo essere calcolate le frequeze relatve f, date dal rapporto fra cascua frequeza assoluta e l totale delle osservazo ed esprmbl ache term percetual. Le frequeze relatve cosetoo d cofrotare due varabl rlevate su collettv d umerostà dversa. S pes ad esempo d voler cofrotare l peso d u gruppo d soggett d sesso maschle co l peso d u gruppo d soggett d sesso femmle. A partre da ua varable qualtatva ordable, per costrure ua dstrbuzoe d frequeze, è ecessaro aztutto dsporre le modaltà/valor orde crescete. Ha seso, tal caso, calcolare ache le frequeze cumulate, assolute N o relatve F, date dalla somma d cascua frequeza assoluta, o relatva, co le precedet. 5

16 I valor d ua varable quattatva dscreta, se umeros, possoo essere raggruppat class; tuttava, questo caso, le class o hao lo stesso sgfcato che hao per la descrzoe d u feomeo cotuo e ecessaramete l estremo superore d ua classe o cocde co l estremo ferore della classe successva. La descrzoe class per feome quattatv cotu ha apputo lo scopo d recuperare la atura cotua del carattere, che al mometo della rlevazoe vee a cadere, a causa degl arrotodamet. Se l carattere è d tpo cotuo, le dstrbuzo d frequeze per valor sgol possoo rsultare poco utl o addrttura utl per suggerre l evetuale modello teorco atto a descrvere l feomeo. S rede pertato ecessaro raggruppare valor osservat opportue class d ampezza costate o varable. Il crtero d raggruppameto class comporta sempre ua perdta d formazo rspetto alla sere orgara e tato pù quato pù soo ampe le class. La perdta d formazo flusce sulla correttezza delle costat stetche calcolate sulla dstrbuzoe d frequeze. Purtroppo, le procedure co cu le class possoo essere formate soo assolutamete arbtrare e possoo codurre a dstrbuzo d frequeze sesblmete dverse, sebbee determate sulla stessa sere d dat. S auspca, pertato, che vegao rspettate le seguet regole geeral: - gl estrem delle class sao arrotodat all'tero pù prossmo o abbao almeo l mor umero possble d cfre decmal; - le ampezze delle class sao costat e pccole (l ampezza determa l umero delle class e vceversa); 6

17 - l estremo ferore della prma classe e l estremo superore dell ultma dfferscao l meo possble, rspettvamete, dal valore pù pccolo e dal valore pù grade osservato; - essua classe abba frequeza ulla; - c sa u solo massmo o al pù due; - l adameto sa crescete e po decrescete o comuque mootoo; - scegledo tervall apert (chus) sa a destra che a sstra, s serscao, se è possble, cas ugual egual umero elle class cotgue.. Rappresetazo grafche Da ua tabella d frequeze possoo dedurre formazo solo gl espert del settore, o comuque ch ha u mmo d coosceze statstche, metre u grafco è mmedatamete terpretable da chuque. Cò perché la mete umaa percepsce e memorzza co maggore rapdtà fgure puttosto che cfre. U grafco, d altra parte, rappreseta ua fote d formazoe meo rcca, quato o cosete d evdezare pccole dffereze tra frequeze. Grafco e tabella, duque, vao utlzzat etramb, coè soo complemetar. Tuttava, ua rappresetazoe grafca deve essere autooma dalla tabella, ovvero deve coteere tutte le formazo ecessare per la sua terpretazoe: va rportata la fote da cu soo rcavat dat, vao specfcate le varabl rlevate e le modaltà o valor assut, vao dcate le utà d msura. Le dcazo devoo essere leggbl e l grafco o deve apparre cofuso se s rappresetao pù feome. E ecessaro, oltre, sceglere la rappresetazoe pù semplce, se v è la possbltà d ua gamma d alteratve. 7

18 .3 Esemp All'zo dell'ao accademco 00/03 è stato sottoposto l seguete questoaro agl studet del corso d Statstca Corso d laurea Ecooma e faza, Facoltà d Ecooma d Palermo: Corso d laurea Ecooma e Faza Dscpla: STATISTICA A.A. 00/03 QUESTIONARIO ) Cogome Nome ) Sesso F 3) Data d ascta 4) Comue d resdeza 5) Provca d resdeza 6) Altezza ( cm) 7) Peso ( Kg) 8) Scuola meda superore Lceo classco Lceo scetfco Isttuto tecco commercale Isttuto tecco per geometr Isttuto tecco dustrale Altro 9) Voto d maturtà /00 /60 0) atrcola S No A.A. d mmatrcolazoe / ) N. d esam sosteut ) Ha sosteuto l esame d atematca S voto No 3) Dffcoltà cotrate e cors d I semestre Scarse ede Elevate olto elevate 4) E soddsfatto per la scelta del Corso d stud? S No 5) N. d compoet del ucleo famlare 6) Ttolo d studo del capofamgla Nessu ttolo Lceza elemetare Lceza meda aturtà Laurea 8

19 Raccolt tutt questoar, è stato effettuato lo spoglo. I dat soo stat orgazzat sotto forma d matrce d dmesoe k, che per motv d spazo o rportamo, dove 40 è l umero delle matrcole frequetat l corso e k soo le varabl rlevate. I dat rguardat le varabl rlevate (sesso, provca d resdeza, altezza, peso, scuola d proveeza, ecc ) soo stat elaborat e stetzzat. D seguto rportamo alcue d queste varabl, ua per og tpologa. S cosder la varable "scuola superore d proveeza". Se s suppoe che le dverse scuole abbao par mportaza, tale varable può essere cosderata ua varable qualtatva scoessa, poché cosderat due soggett è possble dre solo se quest provegoo dallo stesso tpo d scuola o meo. Per rago d spazo, le osservazo rguardat 40 soggett soo rportate sotto forma d tabella, ma ella matrce de dat, rappreseterebbero ua sgola coloa. Ovvamete, è coveete attrbure u'etchetta, o meglo u codce, a cascua modaltà della varable, per veloczzare l'mmssoe de dat: Lceo classco LC Lceo scetfco LS Isttuto tecco commercale ITC Isttuto tecco per geometr ITG Isttuto tecco dustrale ITI Altro A 9

20 LC LS LS ITC ITC LS LS LC LS LS ITC LS ITC ITC ITC LC LC ITC ITC LS LC ITC ITG ITC A ITC ITC ITC ITC LC ITC ITC A LS LC ITC ITC LS A ITC ITC LC LS ITC LC ITC LS ITC ITC LS ITC LS A LS LS ITC ITC LS LS ITC LS LS A LS ITC LS ITC LS A LS ITC LS ITC LS LS ITC ITC LS LS ITC ITC LS ITC ITI LS ITC ITC LS LS ITC ITC ITC ITC LS LS ITC LS LS LS LC ITC LS LS LS LS ITC LS LS ITC LC LS ITC LS ITC A LC LS LS LS LS LS LS LS A LS A ITC ITC ITC LC ITC LS ITC A ITG ITC ITC LS ITC ITC La tabella sopra cotee la sere de dat che, come è evdete, o è per ulla formatva; costruamo, duque la dstrbuzoe d frequeza, ovvero cotamo quate volte cascua modaltà s rpete ella sere. D seguto, oltre alle frequeze assolute, s rportao ache le frequeze relatve f e le frequeze relatve percetual f *00: f f *00 A 0 0,07 7 ITC 58 0,4 4 ITG 0,0 ITI 0,0 LC 3 0,09 9 LS 56 0,40 40 totale Dalla tabella s evce mmedatamete qual soo le modaltà pù frequet. I partcolare, la maggor parte degl studet, rspettvamete l 4% e l 40%, provegoo dall'itc e dal LS. La modaltà cu è assocata la frequeza pù alta vee defta "moda". I questo caso la moda è "ITC". Le rappresetazo grafche tpche d ua varable qualtatva scoessa soo l grafco a coloe, l grafco a barre o a astr e, se l umero delle modaltà o è elevato, come questo caso, gl areogramm. 0

21 I u areogramma le frequeze soo rappresetate da superfc d fgure pae (quadrat, rettagol, cerch), poste l ua accato all'altra, oppure da part d ua stessa fgura. L'areogramma, rspetto al grafco a coloe e al grafco a barre, dà meo possbltà d apprezzare pccole dffereze fra le frequeze, perché l'occho umao è pù abtuato a cofrotare lughezze puttosto che aree. Il grafco a settor crcolar o grafco a torta è u areogramma. S costrusce u cercho d area uguale o proporzoale al totale delle frequeze e s rpartsce tat settor quate soo le modaltà. Cascu settore ha area uguale o proporzoale alla frequeza della modaltà cu è assocato, per cu l'agolo α d cascu settore s può rcavare dalla proporzoe: : α : α 360 f. Ogg, realtà, esstoo dvers software statstc che cosetoo d costrure tabelle e grafc tramte procedure molto semplc e automatche. I geere, l grafco a torta è accompagato da ua legeda, che assoca color o trattegg dvers a cascu settore. I alteratva, s possoo specfcare le modaltà su cascu settore: Grafco a torta A 7% A LS 40% ITG LC ITI % 9% % ITC 4% ITC ITG ITI LC LS Aalzzamo adesso la varable "ttolo d studo del capofamgla". Questa varable è ua varable qualtatva ordable poché, cosderat due soggett, è

22 possble dre o solo se hao u ttolo d studo dverso, ma ache ch possede u ttolo pù mportate. S rporta d seguto drettamete la dstrbuzoe d frequeza. Nel costrurla è ecessaro rcordare d ordare le modaltà. Le modaltà soo state codfcate el seguete modo: Nessu ttolo NT Lceza elemetare LE Lceza meda L aturtà Laurea L f f *00 N F F *00 NT 3 0,0 3 0,0 LE 3 0, , L 37 0, , , ,8 8 L 7 0,9 9 40,00 00 totale Dalla tabella s evce che la maggoraza de getor ha coseguto la maturtà (43%). Per questo tpo d varable ha u seso calcolare ache le frequeze cumulate, assolute N, relatve F o percetual F *00. La frequeza assoluta cumulata N 3 sta ad dcare, ad esempo, che 53 getor su 40 hao u ttolo d studo ferore o uguale alla L. La frequeza relatva cumulata F 4 sta ad dcare che l'8% de getor ha u ttolo d studo ferore o uguale alla maturtà, e così va. Le rappresetazo grafche tpche d ua varable qualtatva ordable soo ugual a quelle d ua varable qualtatva scoessa. Se l carattere è ordable, è preferble dsporre astr o le coloe secodo l'orde co cu s susseguoo le modaltà. Sceglamo l grafco a astr. I grafc a astr soo rappresetat da rettagol avet tutt la stessa altezza e bas ugual o proporzoal alle frequeze relatve alle sgole modaltà:

23 Grafco a astr modaltà L L LE NT frequeze assolute Può accadere che le dmeso del dsego o sao coteute el foglo. I tal caso, s può assumere u'utà d msura dversa oppure s possoo trocare rettagol, ovvero s può spostare l'orge d rfermeto; così facedo, però, c s può o redere coto delle effettve varazo elle frequeze. D'altra parte raddoppado o dmezzado l'utà d msura s possoo amplfcare o atteuare le oscllazo d u feomeo. L'arbtraretà ella scelta dell'utà d msura e lo spostameto dell'orge degl ass può forre mpresso totalmete dverse del feomeo rappresetato; s parla d mapolazoe delle formazo medate lo strumeto statstco. S pes, ad esempo, alle rappresetazo grafche rguardat l'adameto de mercat fazar. Quado le dmeso d u rettagolo ( questo caso d ua base, ma potrebbe rguardare l'altezza el caso d u grafco a coloe) s dscostao d molto rspetto alle dmeso degl altr, u buo metodo potrebbe essere quello d amputare l rettagolo e specfcare ella parte amputata la frequeza ad esso assocata. Cosderamo adesso ua varable quattatva dscreta, qual è ad esempo l "umero de compoet del ucleo famlare". 3

24 D seguto s rporta la sere de dat gà ordata e la dstrbuzoe delle frequeze assolute, relatve e relatve cumulate: f F f *00 F *00 0,0 0,0 0,0 0,0 3 0,6 0, ,54 0, ,6 0, ,03, tot Dalla tabella s evce che la famgla meda è costtuta per lo pù da 4 compoet (54%). La rappresetazoe grafca tpca d ua varable d coteggo è l dagramma cartesao o ache l grafco a coloe. Ne grafc a coloe, o a rettagol, og modaltà vee rappresetata sull'asse delle ascsse co segmet ugual ed equdstat. S costrusce po, su cascu segmeto, u rettagolo d altezza uguale o proporzoale alla frequeza assocata a quella determata modaltà. Il dagramma cartesao dffersce dal grafco a coloe quato azché rettagol cosdera segmet d retta d lughezza par o proporzoal alle sgole frequeze. 4

25 N. COPONENTI FAIGLIA S cosder adesso ua varable quattatva cotua, ad esempo la statura. I questa fase dell'elaborazoe o c'è dffereza fra varabl msurabl su scala d tervall o su scala d rapport. S rporta duque la sere delle stature: Costrure ua dstrbuzoe d frequeza per valor sgol o porterebbe per tale varable ad ua stes sgfcatva delle formazo; come s può otare, fatt, la tabella che segue è troppo luga per dare formazo mmedate sull'adameto delle msure; molt soo valor dvers e co frequeza par a o comuque co frequeza molto bassa: 5

26 totale 40 Occorre, pertato, costrure ua dstrbuzoe d frequeza per class. Sceglamo otto class d ampezza costate e par a 5 cm, chuse a destra. Spesso, è coveete lascare aperte la prma e l'ultma classe, modo tale da poter serre uove osservazo, rlevate temp successv: - 55,5 5 55,5-60,5 60,5-65,5 65,5-70, ,5-75,5 75,5-80,5 6 80,5-85,5 >85,5 3 totale 40 Le rappresetazo grafche tpche d ua varable quattatva cotua soo l'stogramma e l polgoo d frequeza. L'stogramma è costtuto da tat rettagol adacet quate soo le class e hao area A uguale o proporzoale alle frequeze : 6

27 A b h Cascu rettagolo ha duque base b par all'ampezza della classe e altezza h par alla destà d frequeza, ossa h b. Ovvamete, se le class hao tutte la stessa ampezza, le bas agscoo solo come fattore d scala qud, tal caso, rportare ordata frequeze o destà d frequeze è pratca la stessa cosa. Nell'esempo cosderato, per poter rappresetare l'stogramma, la prma e l'ultma classe s cosderao d ampezza par a quella delle altre: Istogramma <55,5 55,5-60,5 60,5-65,5 65,5-70,5 70,5-75,5 75,5-80,5 80,5-85,5 >85,5 dstrbuzoe delle stature I relazoe alla dversa ampezza delle class, c'è u cambameto ella rappresetazoe grafca; l'arbtraretà ella scelta delle class modfca, duque, la vsualzzazoe del feomeo esame. Il polgoo d frequeza vee geere sovrapposto all'stogramma. S tratta d ua spezzata che passa per put med delle bas superor de rettagol: 7

28 Polgoo d frequeza Statura cm Se le class soo tutte della stessa ampezza, l'area sottesa dal polgoo d frequeza è uguale all'area dell'stogramma. 8

29 3 Le mede La costruzoe d ua dstrbuzoe d frequeza cosete d dsporre d ua rappresetazoe pù compatta e formatva rspetto alla sere de dat osservat. Alle dstrbuzo d frequeza vao affacate le rappresetazo grafche che, sebbee o cosetao d evdezare evetual sfumature del feomeo oggetto d studo, tuttava e dao ua vsoe mmedata, terpretable o solo da u esperto d Statstca. S è detto che uo de compt fodametal della Statstca è quello d rassumere, alcue costat d stes, caratterstche partcolar del feomeo. Esstoo dverse categore d costat stetche, cascua descrve u aspetto d ua dstrbuzoe. I partcolare, valor med, se dat soo quattatv, e pogoo evdeza la dmesoe o testà, ossa l loro orde d gradezza. La scelta del tpo d meda da utlzzare dpede dalla tpologa de dat a dsposzoe e dagl scop che c s propoe ua rcerca. Le mede che dscedoo dalla defzoe d Chs soo gradezze che dervao o dpedoo da valor dat e che sosttute ad ess l stetzzao seza alterare la vsoe d seme del feomeo cosderato. Le mede d poszoe suddvdoo la sere osservata u umero prefssato d part ugual; tal mede trovao gustfcazoe ella defzoe d Cauchy: è valore medo d ua sere d dat qualsas valore compreso tra l pù pccolo e l pù grade d ess. Le mede decsoal dervao dalla mmzzazoe d ua fuzoe d perdta dell formazoe. I dat osservat, fatt, se rsultao dalla msura rpetuta d uo stesso oggetto o soggetto, soo affett evtablmete, da error accdetal. 9

30 3. ede secodo l Chs Le mede d Chs s applcao su dat rlevat su oggett/soggett dvers, omogee, ossa rlevat co la stessa utà d msura, e per potes o affett da error. Fssata ua fuzoe f, s chama meda quel valore costate che, sosttuto ad og sgolo valore, lasca alterata la seguete uguaglaza: f(,,.., ) f(,,.., ). Se l feomeo è addtvo, la fuzoe f è la fuzoe somma, e la meda che s rcava dall uguaglaza suddetta è la meda artmetca: Se l feomeo è moltplcatvo, ovvero se s evolve modo pù che proporzoale rspetto all utà d msura cosderata, la fuzoe f è la fuzoe prodotto e la meda che s rcava dalla precedete uguaglaza è la meda geometrca:. Se le soo fuzo d altre varabl: f(y ), per esempo y m, l uguaglaza dvee: f( m, m,.., m ) f(y m, y m,.., y m ) da cu, se f è la fuzoe somma, s rcava la meda potezata d orde m: m y m m m y m m y 30

31 m m m m y y / Per ua dstrbuzoe d frequeze è: m k m y /. Al varare d m, s rcavao le seguet mede: m- meda armoca m 0 meda geometrca m meda artmetca m meda quadratca m3 meda cubca tra le qual vale la relazoe - 0 3, avedos l uguaglaza solo el caso cu le y sao costat. Se f è la fuzoe prodotto, s ottee la meda geometrca: m m y m m y m m y y. Cosderadoe l logartmo s ha: y log log. La meda geometrca deve l suo ome al fatto che rappreseta l terme cetrale d ua progressoe geometrca, co u umero d term dspar. 3

32 Propretà della meda geometrca ) La m.g. d ua sere d valor moltplcat per ua costate è uguale alla costate per la m.g. de valor; ) La m.g. d ua sere d rapport d valor è uguale al rapporto tra le m.g. delle due sere d valor; 3) La m.g. del recproco d ua sere d valor è uguale al recproco della m.g. Esemp sulle mede potezate d orde m eda quadratca S abbao quattro pastre d oro quadrate d uguale spessore, ma d lat rspettvamete ugual a, 4, 0, 8 cm. S voglao fodere e forgare 4 pastre quadrate d lato uguale. Il lato medo sarà: , eda cubca S abbao 4 cubett d oro d dverso volume. S voglao fodere e forgare 4 cubett d uguale volume. Se lat de cubett msurao rspettvamete mm, 4, 0, 8, l lato medo sarà: / / 3 / eda geometrca Esempo U bee dal costo zale C subsce: - l ao u aumeto del 9%; - l ao u aumeto del 4% sul costo del ao; 7,34. 3

33 - l 3 ao u aumeto del % sul costo del ao; - l 4 ao u aumeto del 0% sul costo del 3 ao. Determare l aumeto percetuale medo. r 0,09 r 0,4 r 3 0, r 4 0,0 C C+Cr C(+r ) C C +C r C (+r ) C(+r ) (+r ) C 3 C +C r 3 C (+r 3 ) C(+r ) (+r ) (+r 3 ) C 4 C 3 +C 3 r 4 C 3 (+r 4 ) C(+r ) (+r ) (+r 3 ) (+r 4 ) C(+r ) (+r ) (+r 3 ) (+r 4 ) C(+r ) 4 4,09,4,,0 + r,3- r r 0,3 Duque l tasso d aumeto medo durate 4 a è dell,3%. Esempo Il umero d mcrorgasm ua certa coltura è aumetato da 000 a 9000 tre gor. Qual è stato l cremeto medo goralero? Il. de mcrorgasm dopo u goro sarà: r000(+r) Dopo gor: + r (+r)000(+r) Dopo 3 gor: 3 + r (+r)000(+r) 3 Poché l. de mcrorgasm alla fe de 3 gor è uguale a 9000, s ha: (+r) 3 da cu, rsolvedo rspetto ad r s ottee: 33

34 4,5(+r) 3 3 4,5 + r 3 4,5 r r0,6509 Il tasso d crescta medo è stato duque del 65,%. eda armoca Vee utlzzata quado s hao quattà tra cu esste ua relazoe versa (es. durata e cosum, veloctà e tempo, ecc ) Esempo I 4 prove d veloctà sul km lacato, u corrdore bccletta ha realzzato, rspettvamete, le veloctà d 6, 64, 65, 68 km all ora. I recproc d queste veloctà forscoo l tempo (vs/t), frazo d ora, mpegato cascua delle 4 prove, per percorrere u km: /6, /64, /65, /68. Determare quella veloctà meda che lasc varato l tempo totale croometrato elle 4 prove: 6 + da cu ,68 Esempo Nelle aals d mercato spesso è teressate cooscere l cosumo medo auo d u determato prodotto. Suppoamo s vogla dagare sul cosumo medo auo d lamette da barba; vee duque tervstato u campoe d cosumator: 34

35 persoe durata meda gor d ua lametta cosumo auo d lamette 0 365:036, :660, :30, : :46, totale 65 08,6 08,6 cosumo pro-capte: 4, 7 lamette 5 durata meda d og lametta: 365 8, 8 gor. 4,7 Pù semplcemete: 5 8, Esempo 3 U dvduo spede per l rscaldameto d 3 a cosecutv sempre la stessa cfra d 500 all ao, acqustado l combustble a: - 0,30 l ao; - 0,40 l ao; - 0,50 l 3 ao. Determare l costo medo d l d combustble per l tero perodo. Soo stat acqustat: l ao 5000 l d combustble; 0, l ao 3750 l d combustble; 0, l 3 ao 3000 l d combustble. 0,50 35

36 Il costo medo al l per l tero perodo è: COSTO TOTALE ,38. TOTALE LITRI Pù rapdamete, basta calcolare la meda armoca del costo al l: 3 0, ,30 0,40 0,50 3. ede d poszoe Le mede d poszoe trovao applcazoe el cotesto d ua sere d modaltà/valor ordat successoe o decrescete: (), (), (3),..., () Defamo QUANTILI que valor che rpartscoo la sere osservata (q+) part d uguale umerostà; ovvamete è q -. Al varare d q, s ottegoo seguet quatl: q medaa q terzl q3 quartl q5 sestl q9 decl q99 cetl. Nella stessa sere l quartle, così come l 3 sestle, cocderà co la medaa: e se è dspar se è par l pedce dca la poszoe che l valore occupa ella sere. Ad esempo, suppoamo d aver rlevato l peso kg d 3 uom: 36

37 Voledo calcolare la medaa, dobbamo aztutto ordare la sere: Poché l umero delle osservazo 3 è dspar, la medaa è: e + 8. Se o avessmo osservato l ultmo valore (3) 90, l umero delle osservazo sarebbe stato par. I tal caso, e 80,5. Se la varable esame è quattatva cotua, quatl possoo essere calcolat el seguete modo: q+ + q+ q+ + + q+ : se q + q + se q + q + dove,,, q. Suppoamo, ad esempo, d aver rlevato l peso kg d 8 doe. S rporta la sere gà ordata: edaa ,5 59,5 37

38 Terzl 3 3 0,33 0, Quartl ,5 0,5 0, , ,5 Sestl ,6 0,33 0,5 0,66 0, ,5 Vedamo adesso come calcolare quatl su ua dstrbuzoe d frequeze. Cosderamo la seguete dstrbuzoe: TITOLO DI STUDIO lceza elemetare, essu ttolo lceza meda qualfca professoale maturta' dottorato, laurea, dploma uverstaro 3679 TOTALE Popolazoe resdete Itala ell ao 999 secodo l ttolo d studo Fote: ISTAT, Auaro statstco talao

39 Per determare quatl occorre calcolare le frequeze cumulate: N h f F h h h f f *00 F * ,379 0,379 37,9 37, ,304 0,683 30,4 68, ,047 0,73 4,737 73, ,09 0,939 0,87 93, ,06 6, Poché N53934 è par, la medaa occuperà ua poszoe compresa tra N 6966 N e Tal poszo soo coteute ella secoda frequeza cumulata N , cu è assocata la modaltà "lceza meda". D'altra parte, guardado le frequeze relatve o percetual cumulate, s evce subto che l 50% delle osservazo è coteuto propro F. Cosderamo adesso la dstrbuzoe d frequeze del umero d carburator osservat su 3 automobl d marca dversa: f N F 7 0,9 7 0, ,33 7 0, , , , , , ,03 3 0, , , totale 3 90 Calcolamo la medaa e la meda artmetca: e N + N N 90 3,85 39

40 Notamo che la meda artmetca, essedo espressa da u umero decmale, o può rappresetare l umero d carburator d u automoble! Per varabl d coteggo, duque, la meda artmetca assume valore "dcatvo-formale", metre valor med d poszoe assumoo peezza d sgfcato. Cosderamo la dstrbuzoe del umero d prodott dfettos d u certo processo produttvo: f N F 0 3 0,06 3 0,06 9 0,8 0,4 3 0,6 5 0,50 3 0, 36 0, ,6 44 0, , ,96 6 0,04 50,00 totale 50,00 N Poché N50 è par, la medaa occuperà ua poszoe compresa tra 5 e N + 6. Osservamo però che la 5 osservazoe è compresa ella terza frequeza cumulata N 3 5, cu è assocato l valore, metre la 6 osservazoe è compresa ella quarta frequeza cumulata N 4 36, cu è assocato l valore 3. Per covezoe s cosdera, allora, la semsomma d tal valor: + 3 e Q,5. Voledo calcolare gl altr due quartl, Q e Q 3, basta osservare le frequeze relatve cumulate; quella che cotee l 5% delle osservazo è F 3, metre quella che cotee l 75% delle osservazo è F 5, duque Q e Q 3 4. Cosderamo la dstrbuzoe d u gruppo d famgle agrcole secodo l umero de fgl: 40

41 f N F 0 4 0, , ,0 3 0, , , ,76 4 0, ,5 8 0, , , , , ,09 4 0, , , , , , ,995 0, ,000 totale 437 Q 3 Q e N Q 3 6. Suppoamo adesso d voler calcolare quartl su ua dstrbuzoe d frequeze per class. S cosdero le temperature ( grad) mme goralere d 5 mes d luglo ua zoa delle alp oretal: - + f N F 6-7 0,00 0, ,00 0, , , ,09 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

42 N + Poché N775 è dspar, la medaa occuperà la poszoe 388. Tale poszoe è compresa ell'8 frequeza cumulata, cu è assocata la classe 3-4. La medaa, pertato, sarà u valore all'tero d tale classe. Per covezoe, s scegle l valore cetrale della classe e 3, 5 o, meglo, s utlzza l metodo dell'terpolazoe. A tale proposto, rcordamo che, l'equazoe d ua retta passate per due put A e B è: y y y y B A A B A A. Cosderato u puto P(, y) apparteete alla retta, d cu è ota l'ordata y, è semplce, qud, determare l'ascssa : y y ( B A ) A. y y A + B A Se potzzamo che A e B abbao coordate A(, N - ), B( +, N ), l puto P( e, N + ) è tero al segmeto A-B, per cu la medaa s determa faclmete: N + N N N e + e poché N -N - : e N + N ( ) + ( 4 3) + 3 3, 83. Ovvamete, se N + N, allora e +. Cosderamo u altro esempo, cu N è par: 4

43 - + N totale 600 N N N + 30 N N + + N N N e + I luogo d N + N + s può cosderare semplcemete N : e N N ( ) + ( 00 00) , 5. I modo aalogo s possoo determare gl altr quartl. 3.3 ede decsoal Quest valor med rvestoo u mportaza partcolare dal puto d vsta scetfco, perché presetao u valore formatvo molto elevato. Trovao collocazoe ell ambto d tutt que feome del reale rpetbl, per qual coè è possble rpetere pù volte, e elle stesse codzo, la msura d ua gradezza cogta X. Quest dat rsultao affett da error accdetal, dovut alla preseza d ft fattor d dsturbo, che o cosetoo d determare co esattezza la msura X della gradezza cu samo teressat. La Statstca è chamata a trovare l modo pù opportuo d combare le osservazo, al fe d otteere la mglore valutazoe del valore vestgato X. 43

44 Se assumamo che la relazoe fra l vero valore X e l errore casuale sa d tpo addtvo X+ε,,.., cò che teressa è mmzzare l errore : ε -X, per cu la mglore combazoe delle osservazo s ottee mmzzado la fuzoe d perdta globale dell formazoe coteuta e dat: Σ ε p Σ - p, p (0, ) è u parametro che dpede dalla atura probablstca dell errore ε. La metodologa statstca s foda buoa parte sull assuzoe che gl error seguao ua dstrbuzoe d probabltà ormale. I realtà, gl error seguoo ua dstrbuzoe d tpo smmetrco ed umodale, che vara, al varare d p, da forme cuspdate a forme pù appattte (famgla d curve ormal d orde p). I partcolare s dmostra che: - per p, ε ~ LAPLACE : medaa - per p, ε ~ NORALE : meda artmetca - per p, ε ~ UNIFORE : semsomma de valor estrem Questa meda, che dcheremo co p-, per sottoleare che dpede da p, rappreseta l vero valore della gradezza vestgata X, coè l valore che avremmo msurato se o c fosse stata la preseza dell errore. La meda p-, detta meda d orma p, s ottee, come s è detto, mmzzado la fuzoe d perdta globale, ossa rsolvedo l equazoe: -pσ - p- p- sego( - p- )0, 44

45 che ha soluzoe esplcta solo per p: ( ) mmo ( ) 0 0. Esemp d mede decsoal La seguete tabella rporta 50 msure spermetal rlevate u puto d u crcuto elettroco co u voltmetro dgtale; valor (msure della tesoe) soo espress volt: 5,45 5,0 5,46 5,4 5,34 5,48 5,46 5,43 5,45 5,56 5,3 5,38 5,39 5,40 5,39 5,3 5,8 5,4 5,3 5,38 5,43 5,59 5,3 5,48 5,3 5,43 5,46 5,9 5,4 5,35 5,45 5,39 5,36 5,6 5,8 5,4 5,38 5,5 5,46 5,38 5,3 5,60 5,69 5,4 5,9 5,3 5,8 5,40 5,50 5,30 5,4 5,50 5,40 5,36 5,50 5,58 5,44 5,3 5,45 5,4 5,33 5,37 5,3 5,37 5,54 5,55 5,6 5,6 5,33 5,49 5,8 5,5 5,33 5,34 5,44 5,33 5,57 5,34 5,38 5,4 5,43 5,66 5,54 5,34 5,4 5,9 5,55 5,53 5,46 5,54 5,58 5,48 5,40 5,33 5,34 5,33 5,5 5,55 5,3 5,35 5,36 5,48 5,53 5,50 5,47 5,6 5,9 5,48 5,5 5,57 5,5 5,37 5,8 5,40 5,43 5,40 5,30 5,53 5,4 5,5 5,46 5,48 5,37 5,57 5,58 5,57 5,53 5,3 5,64 5,59 5,34 5,48 5,44 5,43 5,56 5,47 5,45 5,3 5,40 5,6 5,39 5,5 5,3 5,54 5,8 5,40 5,5 5,38 5,39 5,4 S tratta d msure rpetute della stessa gradezza, affette da error accdetal, duque valor med pù doe a rappresetare tale gradezza soo le mede decsoal. S è scelto d raggruppare dat class d ampezza par a 0,005 V. Ache se dat assumoo valor compres tra 5,4 e 5,69, s è amplato l'tervallo d varazoe e scelto come estremo ferore 5,0 e come estremo superore 5,70. Le class soo chuse a destra: 45

46 + 5,0 5,5 5,5 5,0 5,0 5,5 5 5,5 5,30 3 5,30 5,35 5 5,35 5,40 6 5,40 5,45 5,45 5,50 0 5,50 5,55 8 5,55 5,60 5,60 5,65 4 5,65 5,70 totale 50 Dalla rappresetazoe grafca de dat, s possoo avere formazo, sebbee molto grossolae, sulla dstrbuzoe degl error. I dat, fatt, dfferscoo dagl error per ua costate: X+ε. Polgoo d frequeza ,3 5,8 5,3 5,8 5,33 5,38 5,43 5,48 5,53 5,58 5,63 5,68 sure della tesoe V Se s suppoe che dat provegao da ua dstrbuzoe ormale (p), la meda pù approprata è la meda artmetca: 46

47 77, 50 c c c 5,3 5,3 5,8 0,35 5,3 5 5,63 5,8 3 66,658 5,33 5 8,33 5, ,575 5,43 3,35 5,48 0 0,950 5,53 8 9,745 5,58 6,890 5,63 4 0,650 5,68 0, ,0 5,44 Se s suppoe che dat provegao da ua dstrbuzoe d Laplace (p); la meda pù approprata è la medaa: + N 5,0 5,5 5,5 5,0 3 5,0 5, ,5 5,30 3 5,30 5, ,35 5, ,40 5, ,45 5, ,50 5, ,55 5, ,60 5, ,65 5,70 50 totale 50 N N ( ) + ( 5,45 5,40) + 5,40 5, Propreta' della meda artmetca La meda artmetca ha ua capactà formatva otevole (a meo che o sa calcolata per varabl d tpo eumerazoe o coteggo; el qual caso assume 47

48 valore puramete dcatvo), sa se rcavata dalla defzoe d Chs, sa come meda decsoale. A prescdere dalla defzoe da cu derva, la meda artmetca gode d due mportat propretà: ) la somma degl scart de valor osservat dalla propra meda artmetca è sempre ulla: Σ( -)0 dmostrazoe: Σ( -) Σ -Σ -Σ 0 ) la somma de quadrat degl scart de valor dalla propra meda artmetca è u mmo rspetto alla somma de quadrat degl scart degl stess valor da qualsas altra meda: Σ( -) mmo dmostrazoe: Σ( -k) Σ[( -)+(-k)] Σ[( -) +(-k) +( -)(-k)] Σ( -) +(-k) +(-k)σ( -) Pochè: - (-k) 0, essedo (-k) u quadrato ed ua quattà postva; - (-k)σ( -)0, essedo Σ( -)0 per la propretà; allora Σ( -) Σ( -k), dove l uguaglaza s ha per k. esemp: () () (3) (4) (5) poché è l terme cetrale d ua sere artmetca co u umero d term dspar. Ifatt: 48

49 propretà Σ( -)(60-64)+ (6-64)+ (64-64)+ (66-64)+ (68-64) propretà Σ( -) k6<64 Σ( -k) (60-6) + (6-6) + (64-6) + (66-6) + +(68-6) <60 k66>64 Σ( -k) (60-66) + (6-66) + (64-66) + (66-66) + +(68-66) <60 I forma tabellare: - ( -) -6 ( -6) -66 ( -66) totale La meda artmetca gode d altre propretà. Sa X ua varable statstca co meda X. Sa ua trasformazoe leare d X: α+βx; dmostramo che: α + β X dmostrazoe ( α + β ) α + β y α + β X 49

50 Se β, α+x ed è: α + X Ovvero, se la varable X subsce ua traslazoe, la meda subsce la stessa trasformazoe della varable. Se α0, βx, ovvero X subsce solo u cambameto d scala ed è: β X Suppoamo, ad esempo, d aver rlevato la statura, m, su 5 soggett: X:,50,60,70,80,90 X,70 m Voledo dsporre della meda cm, trasformamo dat da m cm: : cm oppure possamo trasformare drettamete X : β 00,7070 cm. X S cosder adesso ua varable statstca X co meda X e ua varable statstca co meda. Sa ZX+. Dmostramo che: Z X + dmostrazoe ( + y ) Z + X + z y 50

51 4 La varabltà Come s è detto, og categora d dc stetc descrve partcolar aspett d ua dstrbuzoe. Gl dc d varabltà msurao l atttude che hao dat ad assumere valor dvers. I quato costat d stes, gl dc d varabltà s dstguoo relazoe: - agl scop che c s propoe; - al tpo d dat esame; - al lvello d formazoe che s vuole otteere. I partcolare, ell ambto degl dc d varabltà assoluta, dstguamo: - gl dc d dspersoe; - gl dc d varazoe; - gl dc d dversta. 4. Gl dc d varabltà assoluta Gl dc d varabltà assoluta soddsfao le seguet propretà: - rsultao ull se tutt valor soo ugual fra loro, coè se o c è varabltà fra dat; - assumoo valor postv se valor soo dvers fra loro e soo tato pù elevat quato pù è elevata la varabltà fra le ; - soo varat per traslazoe; - soo espress ella stessa utà d msura de dat. 4.. Gl dc d dspersoe Gl dc d dspersoe fao rfermeto a dat omogee, che dervao da msure rpetute d ua medesma gradezza cogta, rguardate uo stesso soggetto/oggetto o ache soggett dvers, ma rgorosamete selezoat dal puto d vsta geetco. 5

52 Tal msure s suppoe sao affette da error accdetal, che o cosetoo d cooscere co esattezza l vero valore della gradezza vestgata. Compto della Statstca è dvduare la mglore combazoe delle osservazo a f d rdurre l flueza degl error. La mglore combazoe delle osservazo, coè la combazoe che meglo rappreseta l vero valore, sotto l potes d addtvtà degl error, è la meda seso decsoale p. I tale cotesto, ha sgfcato dvduare u dce d dspersoe che dch d quato l valore rlevato s dscosta dal vero valore. Se o c fosse l flueza degl error accdetal, tutt dat rlevat sarebbero ugual fra loro e ugual a p, qud la dspersoe sarebbe ulla, perché ull sarebbero tutt gl scart ( - p ),,,.,. a cò, realtà, o s verfca e la varabltà sarà tato pù elevata quato pù grad soo gl scostamet de valor da p. Sotto quest presuppost, ua buoa msura della varabltà de dat è rappresetata dall dce d dspersoe: / p p σ p, p che rsulta varate se aggugamo a cascu valore ua costate α, coè se cambamo sstema d rfermeto. I ua dstrbuzoe d frequeze, le osservazo vao poderate, per cu: k / p p p k / p p p p f σ. 5

53 Il parametro p (0, ) dpede dalla partcolare struttura degl error che fluezao dat: - se p, duque ε ~ LAPLACE, s ha lo scostameto semplce medo dalla medaa σ che msura, meda, d quato valor osservat s dscostao dalla medaa ; - se p, coè se ε ~ GAUSS, s ha lo scarto quadratco medo ( ) σ, che msura, meda quadratca, d quato valor osservat s dscostao dalla meda artmetca. Il quadrato d σ è oto co l ome d VARIANZA, l cu calcolo s può effettuare co facltà, evtado gl scart; fatt è: ( ) ( + ), + ossa la varaza d ua sere d valor è uguale al quadrato della meda quadratca meo l quadrato della meda artmetca. - Quado p, coè quado ε ~ UNIFORE, s dmostra che σ p è l semtervallo d varazoe: ( ) ( ) σ. σ p è espresso ella stessa utà d msura de valor osservat. 53

54 4.. Gl dc d varazoe Gl dc d varazoe trovao applcazoe quado la varabltà d ua sere osservata o è dovuta all flueza d error accdetal, ma cascu valore dffersce dagl altr e dal valore medo per l effetto sstematco d ua legge d dpedeza g(.), che descrve l evolvers degl stess valor. I questo cotesto, le mede d rfermeto traggoo orge dalla defzoe del Chs. Tale defzoe è legata alla atura del feomeo, che può essere d tpo addtvo o moltplcatvo e all essteza d ua legge d dpedeza, che cosdera valor osservat fuzo d altre varabl y: g(y). La varabltà d ua sere d valor, questo caso, può acora essere msurata term d valore medo degl scart d cascu valore dalla meda d rfermeto, che rappreseta l barcetro della sere, ma og scarto o può, alcu modo, essere assmlato al cocetto d errore accdetale. La uova famgla d dc d varabltà è rappresetata dall espressoe: V m m / m che al varare d m, dove m,, 3,, forsce cosddett dc d varazoe. Per ua dstrbuzoe d frequeze, bsoga poderare le osservazo, per cu: V m k / m m k m f / m Gl dc d dverstà Se cosderamo ua varable quattatva d tpo dscreto, che derva da eumerazo o cotegg d uo stesso oggetto/soggetto, o ha seso logco calcolare le dffereze d cascu valore da ua meda decsoale o da ua 54