Esercizi di Statistica per gli studenti di Scienze Politiche, Università di Firenze

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1 Esercz d Statstca per gl studet d Sceze Poltche, Uverstà d Freze Esercz svolt da ua selezoe d compt degl Esam scrtt d Statstca del 999 e del 000 VERSIONE PROVVISORIA APRILE 00 A cura d L. Matroe F.Meall L.Mecar A.Petrucc

2 Eserczo. A. ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA S cosder la seguete dstrbuzoe delle dustre tessl secodo l fatturato auo mlo: Fatturato [300,800] ]800,500] ]500,3000] ]3000,5000] Azede a) Determare la dstrbuzoe d frequeze relatve. Le frequeze relatve s ottegoo dvdedo cascua frequeza assoluta per l totale delle frequeze =00: Class d modaltà Frequeze assolute ( ) Frequeze relatve Ampezza tervallo (a ) Destà d frequeza (d ) Valor cetral d classe (c ) ( /) [300,800] 50 50/00=0, /500 =0,0 550 ]800,500] 80 80/00=0, /700=0, 50 ]500,3000] 40 40/00=0, /500=0,03 50 ]3000,5000] 30 30/00=0, /000=0, Totale 00 b) Qual è la percetuale d dustre co fatturato auo superore a 800 mlo e o superore a 3 mlard? Il umero d dustre co tal caratterstche rsulta dalla somma delle frequeze assolute delle class ]800,500] e ]500,3000]. La percetuale rchesta è qud (0/00)*00= 60%. c) Calcolare l fatturato modale. È la classe co la destà d frequeza pù elevata, che rsulta essere la classe ]800, 500]. d) Calcolare l fatturato medo Essedo le modaltà raggruppate class è ecessaro fare qualche potes sulla dstrbuzoe dell età all tero d cascua classe. S può potzzare, ad esempo, che le frequeze sao cocetrate sul valore cetrale, c =(x +x - )/, d og classe, oppure che l età meda og classe sa par al valore cetrale. Etrambe queste potes coducoo al calcolo della età meda come: µ x = k = k = c = (550* *80 +50* *30)/00 = 39500/00 = 647,5.

3 Eserczo. I tetatv d sucdo el 995 secodo l età soo descrtt dalla seguete dstrbuzoe d frequeza: Età N tetatv [4,8[ 33 [8,5[ 499 [5,45[ 55 [45,65[ 770 [65,75] 409 S sa oltre che la somma delle età d coloro che hao tetato l sucdo è 433 a. a) Calcolare l età meda Il totale de soggett che hao tetato l sucdo è =Σ =336. Ioltre, poché è ota la somma delle età d coloro che hao tetato l sucdo, ovvero 336 = x =433, la meda artmetca rsulta par a: µ x =433/336= 4,46. (No è ecessara alcua potes semplfcatrce per l calcolo come vece è stato ecessaro ell eserczo ). b) Calcolare la percetuale d more che ha tetato l sucdo Essedo more coloro che hao età ella classe [4,8[, tale percetuale rsulta par a (33/336)*00 =3,99%. c) Calcolare la percetuale d coloro che hao tetato l sucdo d età o ferore a 8 a e more d 65 a Il umero d persoe che soddsfa la codzoe rchesta è dato dalla somma delle frequeze assolute delle tre class d età [8,5[, [5,45[ e [45,65[. Duque la percetuale è par a (( )/336)*00=83,7%. d) Calcolare la classe modale Essedo le class d ampezza dversa, è ecessaro dvduare la classe a cu corrspode la destà d frequeza pù elevata: Class d età Frequeze assolute ( ) Ampezza dell tervallo (a ) Destà d frequeza [4, 8[ ,5 [8, 5[ ,9 [5, 45[ ,75 [45, 65[ ,50 [65, 75] ,90 Totale 336 La classe modale è duque la classe [5, 45[. a

4 Eserczo 3. Sa data la varable X = reddto mesle mlo, rlevata su u collettvo d famgle come segue: Reddto N d famgle a) Trovare la moda del reddto La moda è la modaltà che s preseta pù frequetemete (ovvero che preseta frequeza assoluta pù elevata); l reddto modale è duque par a 3 mlo. b) Trovare lo scarto quadratco medo del reddto Lo scarto quadratco medo, o devazoe stadard, è la meda quadratca degl scart dalla meda µ: N σ = ( x µ ) N. = I questo esempo rsulta µ=(* + *0 + 3*5 + 4*4) /0=(+5+6)/0=3/0=3, e qud σ = [(-3,) * + (3-3,) *5 + (4-3,) *4]/0= (4,84 + 0,04*5 + 0,64*4)/0= =(4,84+0,+,56)/0=7,6/0=0,76 da cu σ=0,877. Dato che rsulta σ = N N = ( x ) µ, lo stesso rsultato può essere otteuto come radce quadrata della dffereza tra la meda quadratca al quadrato e la meda artmetca al quadrato, fatt: σ =(+4*0+9*5+6*4)/0 -(3,) =(+45+64)/0-0,4=0/0-0,4=-0,4=0,76. c) Trovare lo scarto quadratco medo del reddto ell potes che ad og famgla vega dato u aumeto d stpedo d 500 mla lre Lo scarto quadratco medo, così come la varaza, è varate per traslazoe, ovvero se vee agguta ua costate a cascua determazoe del carattere lo scarto quadratco medo o camba: σ(x+a)=σ(x)= S rcord, pù geerale, che σ (ax+b) = a σ X e σ(ax+b) = a σ(x). d) Trovare l rapporto d cocetrazoe per l reddto Il rapporto d cocetrazoe otteuto co la formula d G, R = 3 = ( p q), può essere utlzzato p solo se dat vegoo rorgazzat forma d successoe (che questo caso rsulta ). =

5 No voledo, o o potedo, orgazzare l formazoe questo modo è possble utlzzare la formula del rapporto d cocetrazoe otteuta dvdedo la dffereza meda semplce ( ) per l valore che tale dce d varabltà assume el caso d massma cocetrazoe (µ): R= /µ. La dffereza semplce meda è otteble utlzzado la seguete formula per dstrbuzo d frequeza (x, ) =.k : k k x x j j = j= = ( ) Per calcolare x -x j possamo fare rfermeto al seguete prospetto d calcolo: Per calcolare * j utlzzamo u prospetto d calcolo aalogo: Duque rsulta: =[(*5)+(3*4)+(*0)+ (*5)+(3*4)+(*0)]/(0*9)= [(*5)+(3*4)+(*0)]/(0*9)=84/90=0,933 µ=3, R= /µ=0,933/6,4=0,46 4

6 Eserczo 4. Nell a.a , gl scrtt all Uverstà Itala per Facoltà rsultao: Facoltà Studet corso ( mglaa) Scetfche 46 Medche 00 Igegera 93 Ecoomche-Gurdche-Socal 50 Letterare 39 a) Dsegare l dagramma d Lorez del umero d studet. Il dagramma d Lorez è u grafco che permette d evdezare la cocetrazoe d u carattere trasferble. Per costrure l grafco è ecessaro ordare le modaltà del carattere umero d studet corso seso o decrescete. S procede po calcolado la cumulata dell testà assoluta (c ), la cumulata dell testà relatva (q ) e la cumulata d frequeza relatva (p ), come rsulta ella seguete tabella: x Itestà cumulate c Cumulate testà relatve ,083 0, , 0, ,36 0, ,56 0, q p 0,8 q 0,6 0,4 0,36 0,56 0, 0 0, 0, , 0,4 0,6 0,8 p b) Calcolare l rapporto d cocetrazoe. Il rapporto d cocetrazoe può essere calcolato utlzzado la formula d G: R = ( p q ) = = p 5

7 Dalla precedete tabella rsulta: E duque R= 0,787/= 0,3935 Cumulate testà relatve q p p - q 0,083 0, 0,7 0, 0,4 0,9 0,36 0,6 0,4 0,56 0,8 0,4 = 0,787 Eserczo 5. Il captale ( mlard) d ua Socetà è suddvso tra soc el seguete modo: Soco Captale 3 0,5 0 5 a) Calcolare la varabltà del captale medate la dffereza meda semplce. x x j j= La dffereza semplce meda è = ( ) (È l approcco pù elemetare per msurare la mutua varabltà e cosste ell esamare tutte le dffereze tra le modaltà a due a due, facedoe ua stes tramte u opportua meda. S cosdera l valore assoluto delle dffereze per evtare che og cofroto d aull co l cofroto opposto. I possbl cofrot tra le utà statstche soo (-) escludedo cofrot tra ua utà e se stessa. È ua meda artmetca delle dffereze prese valore assoluto.) Tabella delle dffereze valore assoluto 3 0, , , ,5,5 0,5 0 9,5 4, , ,5 5 0 =(+,5+7++0, ,5+4,5+5)/(5*)=46/0=4,6 b) Rappresetare la cocetrazoe del captale medate la spezzata d Lorez. S tratta d ua rappresetazoe grafca della cocetrazoe per caratter trasferbl 6

8 S ordao le modaltà del carattere captale seso o decrescete, po s calcola la cumulata dell testà assoluta e la cumulata dell testà relatva (s veda puto a) dell eserczo precedete). x Itestà cumulate c Cumulate testà relatve 0,5 0,5 0,056 0,,5 0,0769 0,4 3 4,5 0,307 0,6 5 9,5 0,0487 0,8 0 9,5 q p S costrusce qud l dagramma d Lorez d ascssa p e ordata q : 0,8 q 0,6 0,4 0, 0 0,48 0,3 0 0,056 0, , 0,4 0,6 0,8 p c) Determare l rapporto d cocetrazoe. R = ( p q ) = = ma ache R= /µ p Qud R= 4,6/(*3,9)= 4,6/7,8=0,5897 7

9 Eserczo 6. Su u collettvo formato da 0 masch e 80 femme è stata rlevata l età a otteedo la seguete dstrbuzoe percetuale per sesso: Età % Masch % Femme Totale a) Trovare l umero d utà statstche el collettvo d età more d 0 a Soo l 0% del totale de 0 masch, coè masch + l 0% delle 80 femme, coè 6 femme = 8 utà b) Trovare la percetuale d utà statstche el collettvo d età maggore o uguale a 50 a Soo 60 masch + 4 femme per u totale d 84 su 00 = 4% c) Trovare l umero d masch d età maggore o uguale a 30 a Soo l 80% d 0= 96 masch d) Trovare le class modal d età per masch e le femme È ecessaro dvduare la classe d modaltà cu corrspode la massma destà d frequeza. Frequeze assolute Masch Frequeze assolute Femme Numero d modaltà della classe a Destà d frequeza a Destà d frequeza ,6 0, ,, ,8, ,5 0,6 TOT 0 80 Per masch la classe modale è a, per le femme 0-9 a. a 8

10 Eserczo 7. U collettvo d 00 studet d cu 30 soo lavorator è stato rlevato l voto ad u certo esame otteedo la seguete dstrbuzoe percetuale del voto per codzoe dello studete: Voto % Studet o lavorator % Studet lavorator Totale L ESERCIZIO È SIMILE AL PRECEDENTE, QUINDI VENGONO FORNITI SOLO I RISULTATI a) Trovare l umero d utà statstche el collettvo co voto more d 3 3 utà b) Trovare la percetuale d utà statstche el collettvo co voto maggore o uguale a 9 45,5% c) Trovare l umero d studet lavorator co voto maggore o uguale a 6 d) Trovare le class modal del voto per gl studet e gl studet lavorator La classe modale per gl studet è quella d voto 9-30, per gl studet lavorator vece è quella

11 Eserczo 8. Le abtazo d ua cttà vegoo dstte quelle abtate da propretar e quelle abtate da affttuar. La dstrbuzoe d frequeza relatva delle abtazo per umero d va delle due classfcazo vegoo rportate ella tabella che segue; s sa oltre che l umero d abtazo abtate da propretar è 4000 e quello delle abtazo afftto è Numero d va Totale Abtate da propretar 0,05 0,0 0,5 0,6 0,3 0,3 Abtate da affttuar 0,7 0, 0, 0,8 0,3 0,09 a) Calcolare l umero totale d abtazo co u umero d va o ferore a 5 S sa che le abtazo d propretar soo 4000, metre quelle afftto 6000 Quelle co u umero d va 5 soo l 3%+l 3% d 4000 (propretar), coè l 54%, coè 60,e l 3% + l 9% d 6000 (affttuar), coè l %, = 3480 b) Calcolare l umero medo d va per l complesso delle abtazo S può fare due mod ) Svluppado la seguete tabella delle frequeze assolute N va Tot Propretar Affttuar Tot S dspoe della dstrbuzoe d frequeza delle k modaltà dstte e delle corrspodet frequeze assolute, allora la formula della meda artmetca da applcare è µ x = k = k = x µ x = (0* + 660* + 90*3 + 70* * *6)/0000= = ( )/0000= 3,636 ) Oppure s può calcolare la meda co le frequeze relatve (metodo questo caso pù veloce perché l testo dell eserczo forsce propro le frequeze relatve) µ = Σx f = (*0,05)+(*0,0)+(3*0,5)+(4*0,6)+(5*0,3)+(6*0,3)=4,35 p a ( p) µ = Σx f = (*0,7)+(*0)+(3*0,)+(4*0,8)+(5*0,3)+(6*0,09)=3,6 (a) 4000µ p µ a µ = = ( )/6550=3,

12 c) Rappresetare grafcamete le abtazo per umero d va abtate da affttuar N abtazo N va Eserczo 9. Data la seguete dstrbuzoe doppa d frequeza rferta alla quattà d colesterolo mllgramm per 00 mllltr d sague ed al sesso u collettvo d pazet: Colesterolo Mascho Femma [0,60] 40 0 ]60,80] 0 ]80,00] 0 0 ]00,40] 0 0 ]40,300] 45 0 a) Rappresetare grafcamete la dstrbuzoe del colesterolo Il carattere quattà d colesterolo è d tpo quattatvo cotuo, suddvso class, pertato la rappresetazoe grafca opportua è l stogramma. Per fare cò bsoga calcolare l ampezza e la destà delle class. Colesterolo [x, x + ] Frequeze assolute Ampezza dell tervallo a Destà d frequeza a Valor cetral c =(x +x + )/ [0, 60] 60 40,5 40 ]60, 80] 0, 70 ]80, 00] 30 0,5 90 ]00, 40] ,75 0 ]40, 300] ,9 70 La rappresetazoe per stogramm avvee costruedo tat rettagol quate soo le class, le cu bas hao lughezza uguale all ampezza d classe, co gl estrem egl estrem d classe, e le cu altezze soo par alla destà d classe: la base ascssa è la classe d modaltà, l altezza ordata è la destà d frequeza della classe -esma

13 b) Calcolare la meda del colesterolo per cascuo de due sess I dat soo raggruppat class (varabl cotue), allora s sosttusce alla classe d modaltà ]x - ; x ] l corrspodete valore cetrale c =(x +x - )/ co =.k qud s può determare solo ua meda approssmata ell potes che tutte le utà statstche della classe assumao ua testà par al valore cetrale d classe. D cosegueza per determare la meda artmetca approddmata d utlzza l espressoe: µ x = k = k = c µ M = (40* *0 +90*0 + 0*0 +70*45)/5 = ( )/5 = 5450/5 = 03,6 µ F = (40*0 + 70* +90*0 + 0*0 +70*0)/7= ( )/7= 3840/7 = 9, c) Calcolare la classe modale del colesterolo per masch La classe (o le class modal) soo quelle co destà d frequeza pù elevate Colesterolo Frequeze assolute (masch) Ampezza d classe a Destà d frequeza a [0, 60] ]60, 80] 0 0 0,5 ]80, 00] 0 0 ]00, 40] ,5 ]40, 300] ,75 C soo due class modal: [0, 60] e ]80, 00], come s evdeza ache ell stogramma.

14 Eserczo 0. I u collettvo d studet è stato rlevato l voto rportato all esame d Statstca e quello rportato all esame d Stora Cotemporaea: Studete Voto a Statstca (X) Voto a Stora Cotemporaea (Y) a) Costrure la dstrbuzoe doppa d frequeze (X,Y) S tratta d ua tabella a doppa etrata, che regstra quate volte (coè la frequeza assoluta) ua coppa d modaltà (x, y j ) s preseta cotemporaeamete per le utà statstche È ua dstrbuzoe bvarata Voto a statstca (X) Voto a stora cotemporaea (Y) Tot d rga Tot d coloa I total per rga e per coloa soo le frequeze corrspodet alle varabl X e Y e soo defte frequeze assolute margal (coè dstrbuzo d frequeza margal uvarate d X ey) b) Calcolare l voto medao dell esame d Statstca Per prma cosa occorre ordare vot rportat 8, 8, 0, 0,, 3, 3, 7, 8, 30 Il umero d utà statstche è d N=0 qud par; allora s devoo cosderare vot rportat dalle utà statstche che occupao le poszo N/=5 e (N/)+=6 e fare la meda Me = (+3)/ =,5 c) Stablre se v è dpedeza meda d X da Y V è dpedeza meda d X da Y, se al varare d Y le mede codzoate d X rmagoo costat (tuttava s ot che l dpedeza meda d Y da X o mplca l dpedeza meda d X da Y, ovvero l dpedeza meda o è ua relazoe smmetrca) Per calcolarlo occorroo: ) Meda artmetca x =µ x = (8*+ 0* ++3* )/0 =,9 ) Le mede codzoate: coè meda della varable X codzoata al valore y j assuto dalla varable Y, soo gl x e dato che y j =8, 7, 8, 30 µ X Y=8 = (8+7)/ =,5 3

15 µ X Y=7 = (8+3*)/ 3=,33 µ X Y=8 = (0*++30)/ 4= 3 µ X Y=30 = (8)/= 8 Le mede codzoate o soo costat qud s può dre che o c è dpedeza meda Eserczo. I u collettvo d gova s è osservato l atteggameto verso l fumo per class d età otteedo la seguete dstrbuzoe d frequeze: Class d età [6, 8] ]8, ] ], 5] ]5, 30] Fuma No fuma a) Calcolare la classe modale per l età d ch fuma e d ch o fuma. Frequeze assolute Fumator Frequeze assolute No fumator Ampezza della classe a Destà d frequeza Fumator a Destà d frequeza No fumator a TOT [6, 8] 7 6 3,5 8 3 ]8, ] ,5 6 ], 5] ]5, 30] TOT Per ch fuma la classe modale è ], 5] e per ch o fuma ]6, 8] b) Calcolare l rapporto d correlazoe dell età dall atteggameto verso l fumo. η X y= Dev (B)/Dev(X) = h j= k = ( x x) j. j ( x x) I calcol occorret per la scomposzoe della devaza soo seguet ) meda artmetca dell età S parte da questa tabella Valor cetral tot d classe d età ,

16 7,5 40 µ età = (7*3+ 0*6 +3,5*30 + 7,5*40)/9 =,835 ) le mede dell età codzoate per fumator e o fumator) µ fumator = (7*7+ 0*8 +3,5* + 7,5*30)/66 = 4,045 µ o fumator = (7*6+ 0*8 +3,5*9 + 7,5*0)/53 =,037 3) devaza tra grupp Dev (B) = [(4, -,8) *66]+ [(, -,8) *53]= 8,5 4) devaza totale Dev (X) = [(7 -,8) *3] + [(0 -,8) *6] + [(3,5 -,8) *30] + [(7,5 -,8) *40] = 875,87 η X y= Dev (B)/Dev(X) = 8,5/875,8 = 0,506 allora η= 0,388 Eserczo. I u collettvo d 40 volotar s è osservato la frequeza d attvtà d volotarato per class d età otteedo la seguete dstrbuzoe d frequeze relatve percetual: Class d età [4, 0] ]0, 35] ]35, 55] ]55, 60] Almeo ua volta la settmaa Ua o pù volte al mese a) Quat soo volotar co età superore a 0 a e o superore a 55 a. Soo l ( )%=65% del totale d 40, coè 73 b) Quat soo volotar che prestao la loro attvtà almeo ua volta la settmaa e che hao u età superore a 55 a e o superore a 60 a. Soo l 5% de 40 totale, coè c) Determare l rapporto d correlazoe dell età dalla regolartà del servzo d volotarato. η X y= Dev (B)/Dev(X) = h j= k = ( x x) j. j ( x x). Σx 00 Teuto coto che µ x = = Σx = Σx p dove p è la percetuale d utà statstche N N corrspodet alla modaltà x,, calcol occorret per la scomposzoe della devaza soo seguet, partedo da questa tabella Valor cetral d classe d età Frequeza % 7,0 0 7, ,0 30 5

17 57,5 5 Tot µ età = (7*0+ 7,5*35 +45* ,5*5)/00 = (340+96, ,5)/00 = 355/00=35,5 Occorre po determare le mede codzoate per due tp d volotar: µ volta a settmaa = (7*0+ 7,5*5 +45*0 + 57,5*5)/40 = (70+4, ,5)/40 =30/40=33 µ volta o + al mese = (7*0+ 7,5*0 +45*0 + 57,5*0)/60 = ( )/60 =95/60=36,58 Dev (B) = [(33-35,5) *40]+ [(36,58-35,5) 60] = (4,65*40)+(,0449*60) = 84,9+,694 = 307,594 Dev (X) = [(7-35,5) *0] + [(7,5-35,5) *35] + [(45-35,5) *30] + [(57,5-35,5) *5] = (39,45*0) + (58,55*35) + (97,05*30) +(499,55*5) = 6588,45+048,8+90, ,83 = 9040,3 η X y= Dev (B)/Dev(X) = 307,59/9040,3 = 0,065 η X y = 0,7 Eserczo 3. Su u collettvo d dvdu soo stat rlevat caratter X Peso( kg) e Y Altezza ( cm) otteamo la seguete dstrbuzoe d frequeza coguta: a) Rcostrure la successoe dell altezza b) Calcolare la meda e la medaa dell altezza Y X Essedo N=5 la medaa è la modaltà che occupa l terzo posto ella successoe ordata: Me=65 Per calcolare la meda è ecessaro otteere per cascua modaltà d Y la frequeza margale Y

18 Duque: µ= (65* )/5=840/5=68 7

19 c) Calcolare l peso medo per gl dvdu che hao u altezza d 65 cm µ X Y=65 =(60*+80)/3=66,66 d) Calcolare l coeffcete d correlazoe leare tra peso e altezza Il coeffcete d correlazoe leare è: σ XY Cov( X, Y ) ρ = = σ Xσ Y Var( X ) Var( Y ) Per l suo calcolo è ecessaro qud calcolare la varaza d X (peso): 3 σ X = ( x µ x ). = La meda artmetca del peso rsulta: µ X =(60* + 70* +80*)/5=( )/5=350/5=70 da cu: σ x= /5[(60-70) * + (70-70) * + (80-70) *]=/5(00+00)=80 La varaza d Y (altezza) è: 3 σ Y = ( y µ y ) = σ Y=/5 [(65-68) *3 + (70-68) * + (75-68) *]= /5(7+4+49)=80/5=6 La covaraza rsulta dalla formula: Cov (X, Y)= 3 = 3 j ( x µ )( y x j µ ) y j Qud Cov (X, Y)= [(60-70)(65-68)* + (80-70)(65-68)* + (70-70)(70-68)* + (80-70)(75-68)*] /5= ( )/5=00/5=0 Il coeffcete d correlazoe leare rsulta σ XY Cov( X, Y ) ρ = = =0/ 80 * 6 =0/ 80 =0,56 σ σ Var( X ) Var( Y ) X Y 8

20 B. ESERCIZI DI PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI Premessa Al fe d poter effettuare ua estrazoe casuale d ua utà statstca del collettvo s può pesare d assocare a cascua d essa ua palla, d dametro costate e d u dato materale determate codzo fsco-chmche, sulla quale aotare geere e stato occupazoale. Le 400 palle così costrute vegoo serte ua scatola e mescolate accuratamete. La prova cosste ell estrarre ua sola palla dalla scatola. I queste codzo cascua palla ha la stessa probabltà d essere estratta. S è così costruto uo spazo d evet (le 400 palle) ecessar (ua palla verrà estratta), compatbl (ua sola palla verrà estratta) ed equprobabl (cascua palla ha la stessa probabltà d essere estratta): cascua palla ha probabltà /400. Il problema d calcolare la probabltà d estrarre ua palla co ua partcolare aotazoe, per esempo femma, s rsolve cosderado tale aotazoe (femma) come u eveto composto dalla dsguzoe d u umero k (le 50 palle co femma) d evet compatbl ed equprobabl e qud la sua probabltà sarà data dalla somma delle probabltà d quest k evet k equprobabl coé 400 (la probabltà d femma sarà 50 /400), ovvero dal rapporto fra l umero d cas favorevol (le 50 palle co femma) e l umero d cas possbl (le 400 palle). Dalle cosderazo esposte s può cocludere che la frequeza relatva d ua modaltà d u carattere può essere vsta come la probabltà d u eveto: quello dvduato dalla modaltà fssata. 9

21 B. Calcolo delle probabltà Eserczo. I ua popolazoe d 400 laureat Sceze Poltche la dstrbuzoe secodo l sesso e lo stato lavoratvo a due a dalla laurea è la seguete: S estrae a caso u laureato. Occupato Dsoccupato Mascho Femma a) Quale è la probabltà che sa dsoccupato? O D M F Evet: A={essere dsoccupato} B={essere mascho} Dalla premessa rsulta Pr(A)=50/400=0,375 b) Quale è la probabltà che sa dsoccupato e mascho? Pr(A B)= 50/400=0,5 c) Quale è la probabltà che sa dsoccupato dato che è stato estratto u mascho? Pr( A B) 50 / 400 Pr(ds mascho)=pr(a B)= = =50/50=0,5 Pr( B) 50/ 400 0

22 Eserczo. U collettvo d 00 studet è stato classfcato secodo l voto rportato ad u esame e se è o meo l prmo esame come segue: Prmo esame Voto s o = = S estrae a caso dal collettvo uo studete. Sa A l eveto «voto = 4» e B l eveto «è l prmo esame». a) Calcolare Pr(A) SI esame NO Pr(A)= 55/00=0,75 b) Calcolare Pr(B) Pr(B)= 85/00=0,45 c) Calcolare Pr(A B) Pr (A B)= Pr(A)+Pr(B) - Pr(A B)=55/00+85/00 40/00=00/00=0,5 d) Calcolare Pr(B A) Pr( A B) 40 / 00 Pr(B A)= )= = Pr( A) 55/ 00 = 40/55=0,77

23 Eserczo 3. U collettvo d 00 doe è stato classfcato secodo lo stato cvle e l età come segue: Stato cvle Età Nuble Cougata fo a p d S estrae dal collettvo casualmete ua doa. Sa A l eveto «avere ua età fo a 5» e B l eveto «essere cougata». a) Calcolare Pr(A) N C Fo d Evet: A={avere u età fo a 5 a} B={essere cougata} Pr(A)= 55/00=0,75 b) Calcolare Pr(B) Pr(B)= 5/00=0,575 c) Calcolare Pr(A B) Pr (A B)= Pr(A)+Pr(B) - Pr(A B)= 55/00+5/00-5/00=55/00=0,775 d) Calcolare Pr(B A) Pr( A B) 5/ 00 Pr(B A)= )= = Pr( A) 55/ 00 5/55=0,73 e) Calcolare Pr(A B) Pr(A B)= 5/00= 0,075 (vale ache Pr(A B)=Pr(A) Pr(B A)= 0,75* 0,73=0,075) f) A e B soo evet dpedet? Due evet s dcoo stocastcamete dpedet se Pr(A B)=Pr(A) o Pr(B A)=Pr(B) o Pr(A B)=Pr(A)Pr(B) Essedo Pr(A B)=5/5=0,30 Pr(A) e Pr(B A)=5/55=0,7 Pr(B) due evet soo dpedet

24 Eserczo 4. U collettvo d 00 gova è stato classfcato secodo lo stato cvle e la codzoe lavoratva come segue: Stato cvle Codzoe lavoratva Celbe Cougato lavora o lavora 70 0 S estrae dal collettvo casualmete ua uomo. Sa A l eveto «o lavora» e B l eveto «essere celbe». a) Calcolare Pr(A) Celbe Cougato L NL Pr(A)= 0/00=0,55 b) Calcolare Pr(A B) Pr(A B)= 60/00= 0,3 e fatt ache Pr(A B)=Pr(A) Pr(B A)=0,55*0,55=0,3 Perché Pr(B A)=60/0=0,55 c) A e B soo evet dpedet? Due evet s dcoo stocastcamete dpedet se Pr(A B)=Pr(A) o Pr(B A)=Pr(B) o Pr(A B)=Pr(A)Pr(B) Dato che rsulta P(A B)=60/80=0,75 P(A)=0,55 e P(B A)=60/0=0,55 P(B)=80/00=0,4 dpedet due evet soo d) Calcolare Pr(A B) Pr (A B)= Pr(A)+Pr(B) - Pr(A B)= 0/ /00 60/00=0/00=0,6 3

25 Eserczo 5. Delle auto prodotte da ua certa casa automoblstca s sa che su 00 preseta dfett d carrozzera e che 4 su 80 presetao dfett meccac, oltre fra le auto co dfett d carrozzera la probabltà d trovare ua co dfett meccac è par a Calcolare la probabltà d produrre u auto co dfett d u tpo o dell altro. Evet: A={dfett d carrozzera} B={dfett meccac} Sappamo che: Pr(A)= /00=0,0 Pr(B)= 4/80=0,0 Pr(B A)=0,00 Da cu rsulta: Dato che Pr(A B)= Pr(A) Pr(B A)=0,0*0,00=0,0000 e duque Pr (A B)= Pr (A)+Pr(B)- Pr(A B)=0,0+0,0-0,0000=0,039 Eserczo 6. I u collettvo d 600 studet dell Uverstà d Freze cosderamo seguet evet: A = {ha superato l esame d Ecooma} B = {frequeta l corso d Statstca}. Sapedo che 400 studet hao superato l esame d Ecooma, 300 studet frequetao e che 00 soo gl studet che hao superato l esame d Ecooma e frequetao l corso d Statstca a) Calcolare Pr(A) Pr(A) = 400/600 = 0,66 b) Calcolare Pr(A B) Pr(A B) = 00/600 = 0,33 c) Calcolare Pr(A Β) Pr (A B) = Pr (A)+Pr(B)- Pr(A B)= 400/ /600-00/600=500/600=0,83 dato che apputo Pr(B) = 300/600 4

26 Eserczo 7. Per u pazete co cert stom s cosdero seguet evet: A := { ha l flueza } B := { ha la polmote } C := { ha la febbre a 40} sapedo che: A B = φ A B = I P(A) = 0.7 P(C A)=0.3 P(C B)=0.8 a) Qual è la probabltà che l pazete abba la polmote? Essedo I l eveto certo rsulta che: Pr(B)=-Pr(A)=0,3 b) Qual è la probabltà che abba l flueza se ha la febbre a 40? Pr(A C)= Pr(A C)/P(C) Allora, dal teorema delle probabltà total, Pr(C) = Pr(C A)Pr(A) + Pr(C B)Pr(B) = 0,3*0,7+0,8*0,3=0,+0,4=0,45 e Pr(A C)=Pr(C A)Pr(A)=0, Qud Pr(A C)=0,/0,45=0,47 (teorema d Bayes) Eserczo 8. Uo studete al prmo ao d uverstà vuole cooscere le sue possbltà d laurears etro 4 a. Gl vegoo forte le seguet formazo: ) l 5% degl scrtt s laurea etro 4 a; ) su 0 laureat etro 4 a 6 hao rportato l massmo de vot all esame d dploma d scuola meda superore; 3) su 00 laureat co temp superor a 4 a 0 hao rportato l massmo de vot all esame d dploma d scuola meda superore. Sapedo che lo studete questoe ha rportato l massmo de vot all esame d dploma d scuola meda superore, qual è al probabltà che s laure etro 4 a? Evet: A={laurea etro 4 a} B={voto massmo} Sappamo che Pr(A)= 5/00=0,5 Pr(B A)=0,6 Pr(B A )=0, Devo qud rcavare Pr(A B)=Pr(A B)/Pr(B) Pr(A B)=Pr(A)Pr(B A)=0,5*0,6=0,09. Pr(B)=Pr(B A )+Pr(A B)= Pr(B A)Pr(A)+ Pr(B A )Pr( A ) (teorema delle Probabltà total) da cu rsulta: 0,09+0,*(-0,5)= 0,09+0,085=0,75 Duque Pr(A B)= Pr(A B)/Pr(B)=0,09/0,75=0,54 5

27 Eserczo 9. U govae deve decdere se scrvers all Uverstà per cosegure ua laurea o metters sul mercato del lavoro. Egl sa che tra gova lavorator l 30% ha la laurea metre tra dsoccupat l 0% è laureato. Ioltre, data la stuazoe ecoomca, la probabltà d trovare lavoro è 0.8. Cosglereste al govae d scrvers all Uverstà per cosegure ua laurea? Evet: A={lavora} B={ha la laurea} Sappamo che: Pr(B A)=0,3 Pr(B A )=0, Pr(A)=0,8 Pr ( A )=0,5 Devo cofrotare Pr(A B) co la Pr(A B ) E qud rcavare Pr(A B)=Pr(A B)/Pr(B) Pr(A B)=Pr(A)Pr(B A)=0,8*0,3=0,4 Pr(B)=Pr(B A )+Pr(A B)= Pr(B A)Pr(A)+ Pr(B A )Pr( A ) (teorema delle Probabltà total) da cu rsulta: 0,3*0,8+0,*0,5)= 0,4+0,05=0,9 allora Pr(A B)= Pr(A B)/Pr(B)=0,4/0,9=0,83 l 83% de laureat è occupato, che rsulta superore alla % d occupat tra o laureat e qud covee laurears Ifatt Pr(A B )= Pr(A B )/Pr(B )=[Pr(A)-Pr(A B)]/[-Pr(B)]=(0,8-0,4)/(-0,9)=0,56/0,7=0,78 6

28 Eserczo 0. I u uffco le pratche relatve ad ua certa procedura ammstratva vegoo affdate casualmete a tre mpegat che dcheremo co A,B,C. La probabltà che ua pratca vega completata etro ua settmaa per cascu mpegato è dcata ella tabella che segue: Impegato A B C Probabltà Avedo rcevuto ua pratca espletata etro ua settmaa qual è, secodo vo, l mpegato al quale era stata affdata? Sappamo che Pr( settmaa A)=0,4 Pr( settmaa B)=0,8 Pr( settmaa C)=0,3 Pr(A)=Pr(B)=Pr(C)=/3=0,33 Bsoga cofrotare Pr(A settmaa) co Pr(B settmaa) co Pr(C settmaa) Dal teorema d Bayes Pr(A set)=pr(a)pr( set A)/[ Pr(A)Pr( set A)+Pr(B)Pr( set B)+ Pr(C)Pr( set C)]= 0,33*0,4/(0,33+0,4+0,33*0,8+0,33*0,3)=0,3/(0,3+0,64+0,099)=0,3/0,495=0,66 Pr(B set)= Pr(B)Pr( set B)/[ Pr(A)Pr( set A)+Pr(B)Pr( set B)+ Pr(C)Pr( set C)]= 0,64/0,495=0,533 Pr(C set)= Pr(C)Pr( set C)/[ Pr(A)Pr( set A)+Pr(B)Pr( set B)+ Pr(C)Pr( set C)]= 0,099/0,495=0, B rsulta l mpegato pù probable 7

29 Eserczo. S cosder u mazzo d 40 carte costtuto da 0 carte per cascu seme ( ) e per cascu seme le carte soo umerate da a 0. S estraggao da tale mazzo due carte seza retroduzoe. a) Calcolare la probabltà che etrambe sao Evet: C ={esce ua carta d cuor alla prma estrazoe} C ={ esce ua carta d cuor alla secoda estrazoe} Pr(etrambe cuor)=pr(c C ) Ω={(C C ) (C C ) ) (C C ) ) (C C )} Pr(C C )=Pr(C )Pr(C C )=(0/40)*(9/39)=0,5*0,3=0,0575 b) Calcolare la probabltà che la secoda sa (P ( ) dato che la prma è u ( ) Pr(P )=(9/39)*(/4)+(0/39)*(3/4)=9/56+30/56=39/56=/4=0,5 oppure s può cosderare Pr(P )= Pr(P )/ Pr( )=(/40)/(4/40)=/4 dato che Pr ( )=4/40 e Pr(P )=/40 c) Calcolare la probabltà che la secoda sa Pr(Q )=Pr((Q Q ) (Q Q ))= =Pr((Q Q ) + (Q Q ))= Pr(Q )Pr(Q Q ) + Pr(Q )Pr(Q Q ) =(0/40*9/39)+(30/40*0/39)=0,0575+(0,75*0,56)=0,9 Eserczo. Vegoo estratte, seza retroduzoe, tre carte da u mazzo d 5 coteete 3 carte d cascu seme (for, quadr, pcche, cuor), per cascu seme le carte soo cotrassegate da umer da a 0, da fate, rega, re, asso. a) Trovare la probabltà che abbao tutte lo stesso cotrassego (Pr 3 carte stesso cotrassego)=3 (0,076*0,058*0,04)=0,003 dato che fatt ad esempo Pr (3 ass)=pr(a A A 3 )=4/5 * 3/5 */50 = 0,076*0,058*0,04 b) Trovare la probabltà che essua sa asso Pr(essua sa asso)=pr( A A A 3 )= Pr( A ) Pr( A A ) Pr( A 3 A, A ) = =(-Pr(A ))* (- Pr( A A ))* (-Pr( A 3 A, A )) = (-4/5)*(- 3/5) *(-/50)=0,94*0,94*0,96=0,835 8

30 B.. Varabl casual dscrete Eserczo. V propogoo d gocare al seguete goco: s lacao due moete, se s verfcao due teste s vce euro, se s verfcao due croc s vce 0.5 euro, tutt gl altr cas o s vce ulla. Per partecpare al goco s paga 0.5 euro. Covee gocare a questo goco? (calcolare la vcta meda) Lo spazo Ω de possbl rsultat è costtuto da: E ={TT, CC, CT, TC } A cascuo de rsultat è attrbuble ua probabltà par ad ¼. La varable casuale della quale dobbamo calcolare l valore atteso assume valore se s verfca {TT} (co probabltà ¼), valore 0,5 se s verfca {CC} (co probabltà ¼), e valore 0 se s verfca {CT} {TC} (co probabltà /4). La vcta meda è qud *0,5 + 0,5*0,5=0,375 euro No covee gocare al goco dato che la vcta meda è ferore al costo d partecpazoe al goco. Eserczo. U ura cotee palle bache e ere co probabltà rspettvamete uguale 0.3 e 0.7. La prova cosste ell estrarre rpetutamete ua palla dall ura rmettedo la palla ell ura dopo og estrazoe. a) Calcolare la probabltà d otteere la prma palla baca alla decma estrazoe. Evet: PN={esce ua palla era} PB={ esce ua palla baca} Pr(PB)=0,3 Pr(PN)=0,7 Pr (B alla decma estrazoe) = Pr(PN)+Pr(PN)+Pr(PN)+Pr(PN)+Pr(PN)+Pr(PN)+Pr(PN)+Pr(PN)+Pr(PN)+Pr(PB)= (0,7) 9 *0,3 b) Calcolare la probabltà d otteere la prma palla baca fra la settma e la oa estrazoe. L eveto la prma PB fra la 7 e la 9 estrazoe è l uoe de seguet evet compatbl: E ={NNNNNNB}, Pr(E )=(0,7) 6 *0,3 E ={NNNNNNNB}, Pr(E )=(0,7) 7 *0,3 E 3 ={NNNNNNNNB}, Pr(E 3 )=(0,7) 8 *0,3 9

31 Allora Pr(E E E 3 )=(0,7) 6 *0,3+(0,7) 7 *0,3+(0,7) 8 *0,3=[((0,7) 6 *0,3][(+0,7+(0,7) ]. 30

32 Eserczo 3. U ura cotee 7 palle galle e 3 rosse. a) Calcolare la probabltà che, estraedo dall ura due palle seza retroduzoe, alla secoda estrazoe s verfch palla galla 7 galle e 3 rosse, estrazo seza rpetzoe Pr(G )=Pr((R G ) (G G ))= Pr((R G ) + (G G ))=7/0*6/9 + 3/0*7/9=0,7 b) Calcolare la probabltà che, estraedo dall ura due palle seza retroduzoe, s verfch palla rossa alla prma estrazoe e galla alla secoda Pr (R G )?= Pr(R )Pr(G R )=3/0*7/9=/90=0,3 Eserczo 4. La proporzoe d studet d ua certa Facoltà che hao superato u determato esame è 0.4 e s potzza d estrarre u campoe casuale d 50 studet della stessa Facoltà. Stablre la probabltà d otteere ua proporzoe campoara d studet che hao superato quell esame par a 0.4. Dobbamo calcolare la probabltà d otteere 50, 04 success 50 prove d Beroull dpedet, cascua co probabltà d successo θ par a 0,4. Utlzzamo la fuzoe d probabltà d ua varable casuale bomale: Pr(X=x)= x x x θ ( θ) per x=0,,,..., I questo caso θ=0,4 =50 X/=0,4 qud x=0,4*50=0 Pr(X=0)= ! = 04 06, (, ),, = 0!(50 0)!,,

33 B.. Varabl casual cotue Eserczo. Il tempo d percorreza d u tratto autostradale è descrtto da ua varable casuale co la seguete dstrbuzoe d probabltà: Tempo (mut) Probabltà [5,0] 0.5 ]0,3] 0.5 ]3,7] 0.40 ]7,3] 0.0 a) Calcolare la probabltà d percorrere l tratto autostradale o pù d 3 mut Sappamo che Pr(A)=0,5 Pr(B)=0,5 Pr(C)=0,40 Pr(D)=0,0 P(A B)= Pr(A) + Pr (B)=0,5+0,5=0,40 dato che A B=ø perché gl evet soo compatbl (l tratto d autostrada o è percorso u tempo o ell altro, o s possoo verfcare cotemporaeamete evet). b) Calcolare la probabltà d percorrere l tratto autostradale u tempo T tale che 0<T<7 Pr(B C)=0,5+0,40=0,65 Eserczo. La quattà P gramm d fara erogat og cofezoe da ua maccha s dstrbusce ormalmete co meda 500 g. e scarto quadratco medo 0 g. a) Calcolare la probabltà che vegao erogat meo d 485 g. Sappamo che P N(500, 00) qud σ=0 Pr(P 485)= Pr P µ 485 µ 485 µ = Prz = Prz = Pr(z -,5)= σ σ σ 0 Φ(-,5)=-Φ(,5)= -0,933=0,067 coè l 6,7% d probabltà che vegao erogat meo d 485 gramm b) Calcolare la probabltà che la quattà erogata sa compresa fra 490 g. e 5 g. 490 µ 5 µ 5 µ 490 µ Pr(490<P 5) = Pr < z = Φ Φ = σ σ σ σ 3

34 Φ Φ = Φ(,)-Φ(-)= Φ(,)-(-Φ())=0,885-+0,84= 0, La probabltà è del 7,7% c) Stablre quel peso P 0 per l quale la probabltà che la maccha erogh ua quattà d fara maggore d P 0 è par a 0.4 Sappamo che Pr(P>P 0 )=0,4. Dobbamo determare P 0. S può partre dalla trasformazoe Pr(P>P 0 )=- Pr(P P 0 )=0,4 - Pr P µ P 0 µ = 0,4 σ σ - Pr(z z 0 )= - Φ( z 0 )=0,4 Φ( z 0 )=- 0,4=0,86 Dalle tavole rcavo z 0 =,08. P0 µ P0 500 Essedo z0 =, e qud 08, =, duque P 0 =500+0,8=50,8 σ 0 La probabltà che la maccha erogh ua quattà d fara maggore d 50,8 gramm è par a 0,4. 33

35 Eserczo 3. I laureat d ua certa facoltà hao ua votazoe meda d 00 co uo scarto quadratco medo d 4. Suppoamo che la dstrbuzoe de vot sa ormale: a) Calcolare la percetuale d laureat che ha otteuto u voto compreso tra 96 e 04 Sappamo che L N(00, 6). 96 µ 04 µ 04 µ 96 µ Pr(96<L 04) = Pr < z = Φ Φ = σ σ σ σ Φ Φ = Φ()-Φ(-)= Φ()-(-Φ())= Φ() - = *0,84 -=0, Il 68,% ha otteuto u voto compreso tra 96 e 04. b) Calcolare la percetuale d laureat che ha otteuto u voto maggore d 08 Pr(L>08)= - Pr(L 08)= - Pr L µ 08 µ 08 µ =- Prz = Prz σ σ σ 4 -Pr(z ) = - Φ()= - 0,9775=0,075 Solo crca l,3% de laureat ha otteuto u voto maggore d 08 = c) Calcolare la dffereza terquartle Calcolo della dffereza terquartle D=Q 3 -Q Pr(L Q 3 ) = 0,75 Pr L µ Q 3 µ = 0,75 σ σ Pr(z z 0 ) = 0,75 Φ( z 0 )= 0,75 qud dalle tavole z 0 = 0,68 (Q 3-00)/4=0,68 qud Q 3 =00+0,68*4=00 +,7=0,7 Q è smmetrco rspetto a Q 3 rspetto alla meda µ=00. Qud Q = 00 -,7 = 97,8 D= 0,7-97,8=5,44 34

36 C. ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA Eserczo. C. Stma per tervall Per aalzzare la ruscta scolastca degl adolescet s estrae u campoe casuale semplce co retroduzoe d 600 studet della prma classe superore. I tale campoe l umero d ragazz boccat è par a 0. Calcolare l tervallo d cofdeza al 90% per la percetuale de boccat ell tera popolazoe. Idchamo co X la v.c. che rappreseta l esto della prma classe superore: 0 promosso X= boccato Co P(X=)=p e P(X=0)=-p. Se B è l umero d studet boccat prove Beroullae, la v.c. B/, che è la proporzoe d boccat, segue ua dstrbuzoe bomale relatva co parametro p: B/~ B(,p). Dato che la umerostà del campoe è par a 600, la varable B/ può essere B p( p) approssmata co ua dstrbuzoe ormale ~ N p;. A questo puto possamo qud rcodurc al caso della stma d u tervallo d cofdeza per la meda d ua ormale co varaza cogta. Il corrspodete tervallo d cofdeza astotco per l parametro P (percetuale d boccat per l tera popolazoe) è dato da: IC α (P): Pˆ σˆ σˆ zα P Pˆ + zα co pˆ = Σx e σˆ = pˆ( pˆ ) Ove = Φ α z α è l quatle (- α/) della v.c. Normale stadardzzata Qud la stma dell tervallo d cofdeza è data da pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) IC α (P): pˆ z pˆ α θ + zα Dalle tavole della ormale stadardzzata Se α=0, allora α/=0,05 z=,65 Teedo coto d pˆ =00/600=0,36, l tervallo cercato è qud 0,36±,65*( 0, 3 / 600 )= 0,36±0,79/4,49= 0,36±0,03= 0,38 p 0,39 35

37 Eserczo. I ua cttà c soo persoe d età compresa fra 8 e 5 a; s estrae da questa popolazoe u campoe casuale semplce d 500 soggett, 94 d quest rsultao scrtt all Uverstà. Determare u tervallo d cofdeza al 95% per la proporzoe d persoe co età compresa fra 8 e 5 a che soo scrtte all Uverstà. LA SOLUZIONE È ANALOGA AL PRECEDENTE ESERCIZIO Idchamo co X la v.c. che rappreseta la proporzoe d scrtt e o scrtt all uverstà: 0 o scrtto X= scrtto Co P(X=)=p e P(X=0)=-p. Se B l umero d soggett scrtt all uverstà, la v.c. B/, che è la proporzoe d scrtt, segue ua dstrbuzoe bomale relatva co parametro p: B/~ B(,p). Dato che l campoe è par a 500 soggett, la umerostà è tale che B/ può essere approssmata co ua dstrbuzoe ormale B p( p) ~ N p;. A questo puto possamo qud rcodurc al caso della stma d u tervallo d cofdeza per la meda d ua ormale co varaza cogta. L tervallo cercato è qud 0,388±,96*( 0, 37 )/ 500 = 0,388±,96*0,0= 0,36±0,043 0,345 p 0,43 36

38 Eserczo 3. Per studare l effetto della marjuaa sulle capactà tellettual d soggett (seza espereze precedet) de rcercator hao verfcato su u campoe d soggett cambamet e putegg ad opportu test dopo aver fumato della marjuaa. I rsultat soo presetat ella seguete tabella: Soggetto Dffereza puteggo S determ l tervallo d cofdeza per la meda della dffereza de putegg al 99%. S tratta d u problema d stma d u tervallo d cofdeza per la meda d ua popolazoe co varaza cogta. I questo caso, poché la umerostà campoara è pccola, o s può vocare l teorema del lmte cetrale, d cosegueza per rsolvere l problema bsoga potzzare che la dffereza de putegg s dstrbusce ormalmete e l corrspodete tervallo per l valore medo θ è dato da: IC α (θ): Ove α X S tα θ X + t t è l quatle d orde -α/ della v.c. t d Studet co g=- grad d lbertà Dal campoe osservato s determao valor x e α S s (valor campoar rspettvamete d X e S ), qud l tervallo d cofdeza stmato sarà dato da IC α (θ): s s x tα θ x + tα Dal campoe abbamo: =9 x =( )/9=-4,4 s = s co s = ( x x) = varaza campoara corretta= /8 [(5+4,4) + (-7+4,4) + (-7+4,4) + (-3+4,4) + (-7+4,4) + (-9+4,4) + (-6+4,4) + (+4,4) + (3+4,4) ] = 88,36+58,76+6,76+,96+6,76+,6+,56+9,6+54,76= 370,4/8=46,8 Qud s =6,803 L tervallo cercato è t α 6,8 6,8 6,8 4,4 t α θ 4,4 + t α, coè 4,4± Dato che t 0,005 =3,355 (α=0,0 allora α/=0,005 co -=8 grad d lbertà) l tervallo stmato per θ sarà θ 3, 37

39 C. Verfca delle potes S tratta d test su parametr d ua popolazoe ormale. I tutt gl esercz propost s potzza che la/le popolazoe/ covolta dalla quale s effettua l campoameto sa ormale. Eserczo. Ua maccha per l rempmeto delle buste d patate ha uo scarto quadratco medo 6 gramm e ua meda cogta. La maccha è stata costruta per rempmeto medo delle buste d patate d 00 gramm. Per verfcare la coformtà d rempmeto s estrae u campoe d 00 buste otteedo u coteuto medo d 99 gramm. Effettuare u test delle potes per stablre se l rempmeto medo d 00 gramm è accettable al lvello d sgfcatvtà Il test da effettuare rguarda la meda d ua ormale X ~ N(µ, σ ) d cu è ota la varaza (σ =6 ) e s deve sottoporre a test l potes H 0 : µ=00 (come da dcharazoe del produttore della maccha) cotro H : µ 00. Il test è qud bdrezoale, la statstca test può essere la meda campoara e questo caso la regoe crtca sarà: σ X µ 0 + zα R co ( α ) : oppure co z N(0,) e Φ z α =- α/ σ X µ 0 zα Dato che l lvello d sgfcatvtà è α=0,05 Φ ( z ) =- α/=- (0,05/)=0,975 α / z α/ è quel valore della ormale stadardzzata determato dalle tavole teuto coto della codzoe precedete z 0,05 =,96 e teuto coto oltre che =00 s ha 6 X 00 +,96 0 R co ( α ) : oppure 6 X 00,96 0 e qud la regoe crtca è X 0,76 R co (0,05) : oppure X 98,8 D cosegueza la regoe d o rfuto :{ 98,8 X 0,76} R co ( 0,05) 38. Il campoe estratto c forsce ua stma della meda campoara x =99 che o appartee alla regoe crtca ma alla regoe d o rfuto, qud, sulla base delle formazo campoare, al lvello d sgfcatvtà

40 del 5%, o può essere rfutata l potes ulla e qud la coformtà del rempmeto delle buste d patate della maccha alla dcharazoe del produttore. Eserczo. Su u campoe d gova fra 0 e 5 a è stato rlevato X:= umero d lbr lett u ao otteedo seguet rsultat campoar X S può cofutare l potes d u edtore che l umero medo d lbr lett è al lvello d sgfcatvtà 0,05? S deve effettuare u sul valore medo d ua popolazoe la cu varaza è cogta. Se potzzamo che X è dstrbuta ormalmete co ua meda µ e ua varaza σ, bsogerà effettuare u test delle potes H 0 : µ= cotro H : µ Il test è bdrezoale e d cosegueza la regoe crtca è: S X µ 0 + t α, g R oppure co( α ) : S X µ 0 t α, g co t(α/, g) quatle d orde -α/ della v.c. t d Studet co g=- grad d lbertà. Dalla rlevazoe campoara (=7) possoo essere calcolate la meda e la varaza campoara: x =(4+5*++6++4)/7=3,857 s = s co s = ( x x) =(/6)[*(4-3,857) +*(5-3,857) +(-3,857) +(6-3,857) +(- = 3,857) =8,853/6=3,4 s = 3, 4 =,77 I questo caso α=0,05 e g=-=6 grad d lbertà e dalla tavola della t otteamo t 0,05 =,447 D cosegueza la regoe d rfuto è:,77 X +,447 = 3,64,65 R co (0,05) :,77 X,447 = 0,36,65 x =3,857 appartee alla regoe d rfuto, d cosegueza deve essere rfutata l potes ulla che l umero medo d lbr letto sa. 39

41 Eserczo 3. I u campoe d pazet trattat co ua terapa per l abbassameto del colesterolo s soo osservat seguet valor d colesterolo mllgramm per 00 mllltr d sague: Sapedo che ua popolazoe d persoe sae la quattà d colesterolo meda è par a 30 cosa fareste per stablre se la terapa adottata ha avuto effetto? SOLUZIONE UGUALE AL PRECEDENTE ESERCIZIO Le potes da sottoporre a test soo H 0 : µ=30 cotro H : µ>30. Assumedo α=0,05, la regoe crtca è data da:, R co( 0,05) : X 30 +,8 = 36, 67 x = 40 è detro la regoe crtca, qud va rfutata l potes ulla e cofutata l potes che la terapa adottata abba affetto (al lvello d sgfcatvtà scelto). 40

42 Eserczo 4. Per u dage sul lavoro femmle soo state rlevate le ore lavorate goralmete d u campoe d 60 lavoratrc resdet Toscaa e d u campoe d 45 lavoratrc resdet Lombarda. I rsultat soo seguet: Regoe Meda Varaza Numerostà campoara Campoara campoara Toscaa Lombarda Verfcare se le osservazo campoare possoo suffragare l potes che Toscaa c sa ua tedeza maggore all uso del part-tme (α=0.05). S tratta d u test d cofroto tra mede, coè d u test sulla dffereza de valor med co varaza o ota, ma che potzzamo uguale. S sottopoe a verfca l potes H 0 : µ Toscaa =µ Lombarda coè µ T - µ L = 0 cotro l potes H : µ Toscaa < µ Lombarda coè µ T - µ L < 0 Le varaze delle popolazo soo cogte, ma vegoo potzzate ugual e qud la regoe crtca: RC(α): T,m - t (α,g) La statstca test è T,m = S X Y m ) + S ( m ) co ~ S p= [(-) ~ S + (m-) ~ S m]/+m- T t d studet co g=+m- grad d lbertà m( + m ) X = + m ~ S x ( y + m Y m + m Poché la umerostà campoara è elevata valor umerc de quatl della T e della Z dfferscoo d poco, s può usare la tavola della Z, ormale stadardzzata. E la regoe crtca questo caso è RC(α): T,m - t α Dal campoe osservato s hao le seguet formazo: x T =5,5; x L =6,5; s T=4; s L=9; T =60; L =45 Qud la statstca test T= 5,5-6,5/ 9 / / 60 =-/0,56=-,93 Co α=0,05 allora Φ z α =- α=-0,05=0,95 e d cosegueza, dalle tavole della z, t α =,65 La regoe crtca sarà qud T<-,65, e l valore T=,93<-,65 qud è compreso ella regoe d rfuto. L potes ulla va rfutata e qud s può suffragare l potes che Toscaa c sa ua maggore tedeza al part-tme. 4

43 Eserczo 5. S suppoga d voler comparare la durata meda delle lampade prodotte da due fabbrche e d dsporre delle seguet formazo campoare Numerostà Durata meda (ore) S Fabbrca A Fabbrca B 80 0 Sottoporre a test l potes d uguaglaza fra le mede al lvello d sgfcatvtà 0.0 L ESERCIZIO È SIMILE AL PRECEDENTE. La regoe crtca è RC(α): T,m t α/ E qud, questo caso, co α=00, s ottee Φ t α/ =- α/=-0,0/=-0,005=0,995 dalle tavole della Z t α/ =,58 e la regoe crtca otteuta è RC(0,0o): T,m,58 Calcolado la statstca-test T s ottee T= 07-/ 0 / ,44 / 80 =-5/4,66=- 0,607 Z sta detro la regoe d o rfuto e qud o s può rfutare l potes ulla: coè al lvello d sgfcatvtà dell % o s può rfutare l potes che la durata meda della lampade prodotte sa uguale. 4

44 Eserczo 6. S è msurata la durata ore delle ple prodotte da due dverse dustre su due campo casual estratt dalla produzoe d ple delle due marche, rsultat campoar soo rportat ella tabella che segue: Marca A Marca B Stablre attraverso u test d ampezza 0.05 se v è dffereza fra la durata delle ple delle due marche. S tratta d u test d cofroto tra mede: test sulla dffereza de valor med co varaza o ota. Le due varaze vegoo potzzate ugual L potes da cofrotare è H 0 : µ A -µ B =0 cotro H : µ A -µ B 0 La regoe crtca RC(α): T t m la statstca test è T,m =, α X Ym S ( ) + S ( m ) co ~ S p= [(-) S + (m-)s m]/+m- T t d studet co g=+m- grad d lbertà x y m( + m ) + m = S ~ X + m Y m + m Dal campoe osservato s ha: A =5 e B =6 x A =( )/5=05 x B =( )/6=5,6 S A = ( x x ) =(/4)[(59-05) +(4-05) +(53-05) +(9-05) +(60- = 05) =( )/4=878/4=95,5 S B = ( x xm ) =(/5)[(094-5,6) +(37-5,6) +(6-5,6) +(09- m = 5,6) +(3-5,6) +(084-5,6) = (447,75+476,98+0,3+536,38+6,46+970,95)/5=4594,83/5=98,7 I questo caso d può calcolare qud S ~ p= [(-) S + (m-)s m]/n+m- = [(5-)*95,5+(6-)*98,7]/(5+6-) = ( ,5)/9=3375,5/9=486,6 ~ ~ SP = SP = 486, 6=38,55 D cosegueza la statstca-test T è par a T=(05-5,6)/(38,55* 0, 366 )=89,84/3,34=3,849 Co α=0,05 e g= +m-=5+6-=9 grad d lbertà, t α/ = t 0,005 = 3,5 E qud la regoe d rfuto è RC(0,05): T a, b 3, 5 La statstca-test T=3,849 è detro la regoe crtca e qud s deve rfutare l potes ulla e cofutare l potes che tra le due ple o v sa dffereza (a favore dell potes alteratva che tra la durata delle ple prodotte dalle due dverse marche sa dversa, al lvello d sgfcatvtà del 5%) 43

45 C3. Modello d regressoe semplce Eserczo. Per ua certa compaga aerea relatvamete ad ua certa tratta s soo osservat, per alcu vol scelt casualmete, prezz pratcat Euro ed l umero d passegger: passegger Prezzo Trovare l equazoe della retta d regressoe del prezzo dal umero d passegger. Il modello d regressoe leare semplce è Y =β 0 +β x +ε Bsoga stmare due parametr β 0 e β. Gl stmator de parametr co l metodo de mm quadrat soo dat da: Sxy β = Sx β0 = y βx Dal campoe osservato, se X è l umero d passegger e Y l prezzo: x = ( )/6=630/6=05 y = ( )/6=757/6=6,6 Σ( x x)( y y) s xy = = [(00-05)(9-6,6)+(30-05)(47-6,6)+(0-05)(30-6,6)+(90-05)(0-6,6)+(80-05)(09-6,6)+(0-05)(40-6,6)]/6=54,7 s Σ( x x x = ) = [(00-05) +(30-05) +(0-05) 05) ]/6=9,67 E deftva le stme de parametr soo date da: ˆ sxy β = =54,7/9,67=0,87 sx ˆ β0 = y ˆ β x =6,6-0,87*05=34,8 La retta d regressoe stmata è qud y=34,8 + 0,87x )+(90-05) +(80-05) +(0-44

46 Eserczo. I sette studet d u corso d specalzzazoe hao rportato le seguet votazo due prove successve d uo stesso corso. Studete Voto alla prova (X) 4,,,7 6,0 8,5 4, 9,0 Voto alla prova (Y),,5,7,5 3,0, 3, a) Stmare la retta d regressoe d Y da X dato che s xy =,464 Come l eserczo precedete La retta d regressoe stmata è qud y=,08 + 0,3x b) Costrure lo scatter delle osservazo e rappresetare su d esso la retta stmata. I u dagramma cartesao s possoo dvduare tutt put. Per dsegare la retta stmata bastao comuque due sol put: tercetta (0;,08) e puto d coordate mede (5,;,3). 4 3 Y X c) Determare l voto prevsto alla secoda prova se alla prma s è rportato 3,5 Se alla prma prova s è rportato l voto 3,5, alla secoda prova sarà rportato l seguete voto: Y(x=3,5)=,08+0,3*3,5=,885 45

47 Eserczo 3. Vee codotto uo studo su d u gruppo d studet e s rleva che medamete ess cosumao u mese 4 brre co ua devazoe stadard d 8 e 4 pzze co ua devazoe stadard d 4. S osserva ua certa assocazoe postva fra l cosumo d brra (Y) ed l cosumo d pzze (X). La retta d regressoe stmata ha la seguete equazoe: Y = + β X a) Il valore della pedeza β è adato perduto, sapreste rcostrurlo? Se y =4 e s y =8; x = 4 e s x =4 e la retta d regressoe è y= + β x Teuto coto che la retta de mm quadrat passa per l puto ( x, y) s potrà rcavare y = + ˆ βx e qud 4=+β 4 da cu 4β = e β =0,5 b) Calcolare l dce d determazoe leare. L dce d determazoe leare R può essere espresso fuzoe delle varaze campoare e del β stmato: R =(β ) * (s x/s y)=(0,5) *6/64=0,5+0,5=0,06. Eserczo 4. Su u campoe d 50 studet soo stat otteut seguet putegg ad u test termedo e uo fale: Puteggo medo Devazoe stadard Test termedo 70 0 Test fale 55 0 S sa oltre che l coeffcete d correlazoe leare fra due putegg è 0,8. a) Trovare l equazoe della retta d regressoe per prevedere l puteggo u test fale sulla base d quello otteuto al test termedo. Gl elemet cooscut soo: x = 70 e s x =0; y =55 e s y =0; =50; r xy =0,8 Il modello d regressoe leare semplce è Y =β 0 +β x +ε Bsoga stmare due parametr β 0 e β. Tal parametr possoo essere rcavat rsolvedo l seguete sstema Sxy β = Sx β0 = y βx s Lo stmatore β s può ache esprmere come β =r xy s ˆ β0 = y ˆ β x =55-,6*70=55-=-57 La retta d regressoe è y=-57+,6x y x e qud la sua stma è β =0,8*(0/0)=,6 46

48 b) Costrure u tervallo d cofdeza al 95% per l coeffcete agolare della retta d regressoe. Itervallo d cofdeza al 95% per l coeffcete agolare della retta d regressoe β t es B ) β β + t es( ) ( B α α ; ; S dove es( B ) = es ( B ) = S x e teuto coto che s =(/-) s y[- (r xy ) ]=(50/48)*400 [-(0,8) ]=,046*400*0,36=49,99 s ottee la stma d es ( B ˆ ) = 49, 99 / 50 *0=,4/70,7=0,73 Essedo t 0,05 co -=48 grad d lbertà uguale a,009 l tervallo cercato dvee,6,009* 0,73 β,6 +,009* 0,73 coè,53 β, 947 Eserczo 5. Su u campoe d famgle è stato rlevato X:=«umero d compoet la famgla» e Y:=«reddto famlare mesle( mlo)»: X Y a) Stmare coeffcet del modello d regressoe Il modello d regressoe leare semplce è Y =β 0 +β x +ε Bsoga stmare due parametr β 0 e β. Tal parametr possoo essere rcavat rsolvedo l seguete sstema Sxy β = Sx β0 = y βx Dal campoe osservato: x = ( )/7=9/7=,7 y = (4+5+4,5++6+,5+4)/7=7/7=3,86 Σ( x x)( y y) s xy = = (-,7)(4-3,86)+(-,7)(5-3,86)+(3-,7)(4,5-3,86)+ +(3-,7)(-3,86)+(5-,7)(6-3,86)+(-,7)(,5-3,86)+(3-,7)(4-,386) = 5,4/7 =0,7448 s Σ( x x x = ) = (-,7) +(-,7) +(3-,7) +(3-,7) +(5-,7) +(-,7) +(3-,7) =,94+0,504+0,084+0,084+5,44+0,504+0,084=9,47/7=,347 ˆ sxy β = =0,7448/,347=0,55 sx ˆ β0 = y ˆ β x =3,86-0,55*,7=,37 La retta d regressoe è y=0,55 +,37x 47

49 b) Detto β l coeffcete agolare del modello stablre se, al lvello d sgfcatvtà 0,05, s pù rfutare l potes che esso sa uguale a 0. Dobbamo sottoporre a test l potes H 0 : β =0 cotro H : β 0 B La statstca test sotto l potes H 0 è data da T= t (-) es( B ) ˆ β t es( B ) β ˆ β + t es( B α α ; ; ) S co es( B ) = es ( B ) = S x e co s =(/-) [s y - ( ˆβ ) s x]= (7/5)[,94-0,55 *,347]=,4*(,94-0,407)=,50 dalle formazo campoare s ha T t = α,57 ; Rco : oppure T t =,57 α ; e s Σ( y y) y= = (4-3,86) +(5-3,86) +(4,5-3,86) +(-3,86) +(6-3,86) +(,5-3,86) +(4-3,86) ==5,357/7=,94 e qud ˆ,50 es ( B ) == =,58/3,07=0,55 7 *,347 l valore della statstca test è T c = 0,55 =0,766 0,55 che o cade ella regoe crtca quato,57 T c, 57 e d cosegueza o s può rfutare l potes H 0. 48

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