DEFORMAZIONI PROSPETTICHE

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1 DEFORMAZIONI PROSPETTICHE PARTE I: trasformazo geometrche 1.1 Itroduzoe Abbamo aalzzato e cercato d correggere l problema delle dstorso geometrche a cu soo soggette le mmag otteute tramte macche fotografche o fotocamere dgtal quado l puto d rpresa della scea o rsulta frotale al soggetto rpreso. Se s uole, per esempo, fotografare u quadro appeso ad ua parete o la faccata d u edfco è opportuo che l pao della fotocamera su cu s forma l mmage sa esattamete parallelo alla tela e alla parete, altrmet s ottee ua foto cu l soggetto, che ella realtà ha forma rettagolare, rsulta restrgers erso l alto oppure aere la forma d u quadrlatero rregolare come llustrao le seguet foto. Fgura 1. 1 Foto affetta da deformazoe del trapezo 1

2 Fgura 1. Foto affetta da deformazoe prospettca I quest cas è utle poter modfcare l mmage modo da smulare u puto d rpresa rspetto al quale s può otteere la corretta geometra della scea. S uole operare tale correzoe medate ua opportua trasformazoe geometrca della mmage che o e alter le caratterstche radometrche. Pochè s è laorato co mmag btmap a 4 bt s soo prese esame trasformazo che operao su sgol pxel dell mmage. Affchè tal trasformazo sao accettabl è ecessaro che esse presero la cotutà delle lee, recproc rapport d poszoe e proporzoe degl oggett e o e altero le forme Aspett geometrc del processo d formazoe delle mmag Per correggere le dstorso geometrche a cu soo soggette le fotografe scattate da u puto d rpresa o ottmale è utle aalzzare la relazoe geometrca tra la scea osserata e quella della corrspodete mmage otteuta co u appareccho fotografco. Tale relazoe s basa sulla geometra proetta e sulla prospetta. S può schematzzare la maccha fotografca come u sstema costtuto da ua camera oscura e dotato d ua apertura ella quale è posta ua lete bcoessa. Questa focalzzado ragg lumos proeet dall estero fa formare sulla parete opposta della camera oscura l mmage degl oggett quadrat che ee po fssata da ua pellcola fotografca. 1 Coè o deoo modfcare la forma degl elemet della scea u modo che o retra ella logca della arazoe del puto d rpresa.

3 ,Y pao mmage x,x puto oggetto (X,Y,Z) z,z F (x,) cetro della lete puto mmage Fgura 1. 3 Modello del sstema d formazoe d u mmage. Il sstema d coordate x,,z costtusce l sstema d coordate fsso della maccha. Il pao x oe s forma l mmage cocde co l fodo della camera oscura e l puto F rappreseta l cetro della lete bcoessa d dstaza focale f. Il sstema d coordate xz costtusce l sstema d coordate fsso della maccha, l asse Z cocde co l asse ottco passate per l cetro del pao d formazoe dell mmage e l cetro F della lete. Le relazo tra gl oggett dello spazo reale e la loro mmage soo regolate dalle legg dell ottca geometrca, secodo cu s suppoe che ragg lumos s propagho lea retta. U geerco puto dello spazo P (puto oggetto) d coordate (X,Y,Z) ee proettato attraerso l puto F u puto P del pao dell mmage d coordate (x,). Dalle smltud de tragol s ottee che x fx f Z fy f Z (1.1) cu l puto proettato o dpede modo leare dal puto oggetto. Per semplfcare tal relazo s è preferto passare alle coordate omogeee. Sa l ettore coteete le coordate del puto oggetto 3

4 X Y Z Il ettore omogeeo corrspodete d é sx sy ' sz s doe s reale è la costate d scala. La matrce rappresetata della proetttà cetrata F è A (1.) f per cu s ha w ' A ' (1.3) co ormalzzado w s ottee sx sy w ' sz sz s f fx f Z fy w f Z fz f Z ettore cu le prme due compoet rsultao ugual alle relazo (1.1). La proezoe ersa che da u puto mmage P d coordate (x,) tora detro al puto oggetto corrspodete P è data da 4

5 co ' ' A -1 w (1.4) A (1.5) f sx s w ' sz s cu z é ua arable lbera. Calcolado qud la trasformazoe prospettca ersa s ottee coordate omogeee sx s ' sz sz s + f Le corrspodet coordate cartesae soo Oppure fx f z f (1.6) f z fz f z fx X f z f Y f z fz Z f z Rsoledo rspetto a z e sosttuedo s ottee (1.7) 5

6 x X ( f Z) f Y ( f Z) f (1.8) Da queste relazo s rlea mmedatamete che, pochè z è arbtraro, l fbrato del puto mmage (x,) tramte la proezoe è costtuto da tutt put della retta cogugete l puto mmage co l fuoco F che hao Z>f. Il processo d proezoe o è uoco e tutt put della retta PF egoo proettat el puto P. E qud ecessaro specfcare ua delle coordate d u puto oggetto, per esempo Z, per determare le altre due a partre da quelle del puto mmage (x,). Ioltre l oggetto osserato dee troars oamete aterormete alla maccha fotografca ossa Z dee essere tale che Z>f. Ua poszoe o ottmale del pao d formazoe dell mmage rspetto alla scea che s uole fotografare può dare orge ella foto a deformazo geometrche che alterao le forme degl oggett fotografat. 1.3 Modello matematco dscreto dell mmage S è laorato co mmag dgtal btmap a 4 bt adatte ad essere mapolate da u calcolatore. Da u puto d sta matematco esse possoo essere approssmate co ua matrce a alor ter del tpo: G(1,1) G(1,) G(1,3) G(1, K) G(,1) G(, ) G(,3) G(, K) G( j, k) G( J,1) G( J,) G( J,3) G( J, K) (1.9) Co 1 j J 1 k K J dca l umero d rghe d cu l mmage è composta, K è l umero d pxel per og rga. 6

7 Nelle mmag moocromatche l tero G(j,k) è u alore compreso tra 0 e 55 e rappreseta uo de 56 lell d grgo coè d testà lumosa { } G( j, k) I Ν : 0 55 (1.10) quelle a color ece a cascu elemeto G(,j) della matrce corrspode ua tera ordata d ter (r,g,b) G( j, k) ( r, g, b) oe r,g,b dcao rspettamete le testà d rosso, erde e blu la cu combazoe produce l colore e assumoo alor ter compres tra 0 e 55 corrspodet a 56 ders lell d testà delle tre sorget d colore. G( j, k) Ir I g Ib (1.11) co r g b { : 0 55} { : 0 55} { : 0 55} I Ν I Ν I Ν (1.1) 1.4 Trasformazo geometrche Sa G(j,k) co 1 j J e 1 k K l mmage d output geerata da ua operazoe geometrca sull mmage dscreta d put F(p,q) co 1 p P 1 q Q che oper sulla geometra della scea mateedoe alterate le caratterstche radometrche. I geerale F(p,q )e G(j,k) possoo aere dmeso derse. Quattatamete tale trasformazoe è defta co le formule G( x, ) F( p, q) x t ( p, q) 1 t ( p, q) (1.13) La prma formula dca l uguaglaza dell testà lumosa e put corrspodet delle due mmag, le ultme due dduao le trasformazo tra le coordate de put che s corrspodoo. 7

8 E molto mportate osserare che geerale la coppa (x,), otteuta applcado le trasformazo t 1 e t alla geerca coppa (p,q), o è ua coppa d ter corrspodete ad u elemeto della matrce G(j,k). Se mmagamo l mmage dscreta come ua grgla rettagolare cu od corrspodoo agl elemet della matrce che la approssma, le trasformazo t 1 e t deformao la grgla dell mmage d put ua grgla rregolare come quella mostrata a tratto cotuo ella fgura d destra. Fgura 1. 4 Il prcpo delle trasformazo geometrche. La fgura d destra è l mmage d put co grgla quadrata regolare, quella d sstra a tratto cotuo è l mmage trasformata co grgla rregolare, la grgla regolare tratteggata ddua put dell mmage d output d cu s dee cooscere l testà. La costruzoe dell mmage d output o s può otteere drettamete co od d quest ultma pochè gl elemet della matrce G corrspodoo a od della grgla tratteggata ed è qud ecessaro che sao deft alor dell testà lumosa quest put. Nella pratca per oare a questo problema s utlzzao le trasformazo geometrche erse d t 1 e t che dchamo co t 3 e t 4 x ' t ( j, k) 3 ' t ( j, k) 4 (1.14) Ad og coppa ordata (j,k) co 1 j J e 1 k K corrspodete ad u ertce della grgla tratteggata (o all elemeto G(j,k) della matrce) s assoca la coppa d coordate (x, ). I geerale ache quest ultma o corrspode ad u odo della grgla dell mmage d put ed è qud ecessaro assegargl u opportuo 3 alore attraerso u processo d terpolazoe. Col terme grgla rettagolare dchamo l seme compatto d R [1,J] [1,K] cu è edezato l sottoseme de put (x,) co x o tero. Chamamo odo o ertce della grgla og puto della grgla (x, ) co x e ter. 3 Nel captolo seguete s specfcherà meglo questo puto. 8

9 Fora s è solo specfcato che le trasformazo geometrche coolte operao su sgol pxel: u puto dell mmage d mput ee mappato u puto dell mmage d output. Affchè tal trasformazo sao accettabl è ache ecessaro, come s è acceato ell troduzoe, che esse presero la cotutà delle lee, recproc rapport d poszoe e proporzoe degl oggett e o e altero le forme 4. E oltre mportate osserare che geerale tal trasformazo soo defte basados su sstem d rfermeto d coordate cartesae che o cocdoo co l sstema d dc dell arra assocato all mmage dscreta ed è qud ecessaro d olta olta stablre le relazo che legao quest due rfermet. Nella fgura 1.5 è llustrato per esempo l caso cu l rfermeto cartesao ha l orge (0,0) poszoata ell agolo basso a sstra dell mmage, metre per l arra è l agolo alto a sstra d dc (1,1) che fuge da rfermeto. 1 j k 1 K j J x k Fgura 1. 5 Esempo d mmage cu l rfermeto cartesao (x k, j ) ha orge ell agolo basso a sstra, metre l rfermeto (1,1) dell arra è l agolo alto a sstra. Le relazo tra due sstem soo date da Pù geerale s scre 1 xk k 1 j J + j (1.15) 4 Coè o deoo modfcare la forma degl elemet della scea u modo che o retra ella logca della arazoe della prospetta 9

10 co u e bette. x j k u( j) ( k) (1.16) Le trasformazo geometrche elemetar delle mmag soo le traslazo, le rotazo, cambamet d scala e le proezo Traslazoe La traslazoe a corpo rgdo d u mmage mplca che og suo puto ega spostato d ua certa dstaza ua drezoe fssata. S può quatfcare la traslazoe co u ettore t tx t Se s dcao co ( u, ) le coordate cartesae dell mmage dscreta d put F(p,q) e co q p ( x, ) quelle dell mmage d output G(j,k) s ha k j xk uq tx + t j p (1.17) Le relazo tra gl dc degl arra delle due mmag dscrete s ottegoo compoedo la traslazoe co le relazo che legao tal dc co le corrspodet coordate cartesae. Suppoedo alde le equazo (1.4) s ha j ' p ( P J ) t k ' q + t x (1.18) Il smbolo d prmo dca che, a meo che t x e t o sao alor ter, j e k possoo o essere ter. E qud ecessaro approssmarl all tero pù co ache se questo può comportare la comparsa d spaz uot ell mmage d output. Per etare cò s prefersce operare co le trasformazo erse: per og dce (j,k) dell arra d output G(j,k) s determa l corrspodete dce ell mmage d put F(p,q) tramte 10

11 p ' j + ( P J ) + t q ' k t x (1.19) oe l smbolo d prmo dca acora che p e q o soo ecessaramete ter. E allora opportuo terpolare alor d F(p,q) modo da otteere ua stma ragoeole d F (p,q ) 5 da assegare po a G(j,k) come s edrà el prossmo captolo Trasformazo d scala La dmesoe assoluta d u mmage può essere cambata moltplcado cascua coordata per u fattore d scala. Applcado lo stesso fattore a tutte le coordate s ottee u mmage della stessa forma ma d dmeso dfferet, se ece egoo applcat dfferet fattor alle derse compoet essa arerà sa elle dmeso che ella forma. La relazoe ettorale è data da x k sx 0 uq j 0 s p doe sx e s, dette costat d scalatura, deoo essere real e poste. (1.0) Se soo etrambe maggor d uo s ha u gradmeto, se soo mor u rmpccolmeto. La relazoe tra gl dc degl arra delle mmag d output e put dell esempo cosderato per la traslazoe rsulta ora essere p ' j + J + P + s (1.1) q ' k + sx Ache questo caso o è detto che p e q sao ter ed è percò ecessaro rcorrere all terpolazoe per stmare l alore d F (p,q ) da assegare a G(j,k). 5 L applcazoe F (p,q ) è ua fuzoe defta su [0,P] [0,Q] R a alor I per le mmag moocromatche e I I I per quelle a color tale che F (p,q )F(p,q ) se p,q soo ter altrmet F (p,q ) è otteuto r g b terpolado F(p,q). 11

12 1.4.3 Rotazoe La rotazoe dell mmage rspetto all orge del sstema d ass cartesao è data da xk cosθ sθ uq (1.) j sθ cosθ p doe θ dca l agolo d rotazoe calcolato rspetto all asse orzzotale. S cosdera posta la rotazoe atorara. La rotazoe rspetto ad u geerco puto può essere otteuta traslado l orge del sstema el puto prescelto, applcado la rotazoe (1.) e rportado po co la traslazoe ersa l cetro del sstema ella poszoe zale Composzoe d trasformazo Le operazo d traslazoe, rotazoe e scalatura possoo essere composte tra loro. I quest cas è utle trodurre le coordate omogeee perchè cosetoo la cocateazoe d u umero qualsas d trasformazo elemetar u uca matrce d trasformazoe, operazoe che o è possble compere utlzzado le coordate cartesae perchè le traslazo rchedoo la somma d matrc. S cosder R 3 \{ 0} la relazoe d equaleza data da: ( x, x, x ),(,, ) R 3 \{ 0} due ettor soo equalet ( x, x, x ) (,, ) se e solo se λ R tale che x λ per 0,1, e l relato spazo quozete cu elemet soo dcat co {( x,, z )}. Co le coordate omogeee s detfca la poszoe del puto del pao P d coordate cartesae (x,) utlzzado uo qualuque de ettor rappresetat delle classe {( hx, h, h )} co h R. Le coordate cartesae soo legate a quelle omogeee dalla relazoe 1

13 hx x h h h (1.3) Per semplctà, geere, per rappresetare l puto propro (x,) s scegle l ettore (x,,1) come rappresetate della classe. Tutte le trasformazo fora ste coordate omogeee soo otteute co matrc 3 3 che hao l ataggo d cludere coeffcet d traslazo, rotazo e scalature. L equazoe della traslazoe (1.17) ee coertta el prodotto d matrc quella della rotazoe (1.) x 1 0 tx u 0 1 t x cosθ sθ 0 u sθ cosθ e quella della trasformazoe d scala (1.0) x sx 0 0 u 0 s (1.4) (1.5) (1.6) Per combare u seme d trasformazo omogeee ddual u uca equalete trasformazoe s dee predere l prodotto delle matrc ddual ell orde approprato. S dca la geerca trasformazoe omogeea co la matrce o sgolare a11 a1 a13 T a1 a a3 (1.7) a31 a3 a 33 Se s desdera applcare trasformazo T, 1 T,... T3, T basta cocateare le operazo ua matrce come segue doe e u soo ettor omogee. T... T Tu (1.8) 1 13

14 1.4.5 Trasformazo prospettche Lughezze, agol, parallelsm e forme spesso, quado egoo osserate o fotografate, appaoo dstorte. Per esempo ua rotaa è formata da due bar tra loro parallel che però appaoo ad u osseratore come due lee che s acao tra loro co l aumetare della dstaza fo a toccars all orzzote. All zo del captolo s è defta la proezoe prospettca che approssma l modo co cu u dsposto fotografco costrusce l mmage d u oggetto. Approfodamo questa sezoe gl aspett geometrc d tale proezoe. U buo modello fsco per lo studo della prospetta è l sstema formato da u oggetto b o trdmesoale (Ob) posto ello spazo trdmesoale, da u pao (π) dell mmage (I) cu questa s forma e da u fuoco (O) poszoato dal lato opposto ad Ob rspetto a π. L mmage d cascu puto x dell oggetto è l puto x* tersezoe tra l raggo cogugete x e l fuoco O, detto raggo proettate, e l pao π. S ottee così ua corrspodeza uo a uo tra put dell oggetto e put dell mmage. oggetto O fuoco mmage pao dell mmage Fgura 1. 6 U modello fsco per la soe prospetta d oggett trdmesoal 14

15 Il caso cu O sa tra Ob e π può essere rcodotto al ostro modello poché l mmage che s a a formare su π rsulta per smmetra roescata ma detca a quella che s otterrebbe su u pao π * parallelo e opposto, rspetto ad O, a π. 6 π Ob I * O h π h I Fgura 1. 7 L mmage che s a a formare su π rsulta per smmetra roescata ma detca a quella che s otterrebbe su u pao π * parallelo e opposto, rspetto ad O, a π. Questo laoro s è lmtato allo studo della prospetta d oggett che s possoo assmlare, co buoa approssmazoe, ad elemet pa. Le rago d questa lmtazoe ao rcercate el fatto che l ostro scopo è defre trasformazo dell mmage che permettao geerale d otteere, a partre dalla stessa, u mmage che smul u puto d rpresa derso rspetto a quello da cu s è scattata la foto. Quado però s fotografa ua scea trdmesoale tale smulazoe o è possble quato la trasformazoe geometrca che la opera o può essere defta ello stesso modo per tutt put della foto. U elemeto 3D è terpretable come composzoe d superfc D. L mmage che s ha da u puto d rpresa A d tal superfc dpede dalla loro poszoe rspetto ad A. Quado s camba puto d rpresa da A a B la uoa soe che s ha da B d cascua d esse dpede dalla loro uoa poszoe rspetto a B stesso. La trasformazoe geometrca che smula questo cambameto dee qud teere coto che la deformazoe che l mmage d cascua superfce dee subre è dersa da superfce a superfce. Nella fgura seguete per esempo le deformazo che le superfc 1, e 3 deoo subre per essere trasformate rspettamete ella superfce 1, e 3 soo derse tra loro. 6 Retra questo modello l sstema d formazoe dell mmage llustrato el paragrafo 1. 15

16 Fgura 1. 8 Il cubo elemeto trdmesoale ee decomposto superfc D Quado s uole smulare u puto d rpresa derso cascua d esse subsce ua deformazoe dersa per essere trasformata. Esempo la trasformazoe che mappa 1 1 presera le lee ertcal, metre quella che mappa 3 3 o. S dorebbe qud poter dduare ella foto cascua delle superfc che compogoo l elemeto 3D e defre per ogua d esse ua mappa d trasformazoe dersa; è mpossble otteere u algortmo, l cu costo computazoale sa accettable, che realzz tutto cò. Come llustra l esempo elle foto 1.9 e 1.10 l applcazoe a mmag d soggett 3D delle trasformazo defte per scee pae che soo è studate può geerare deformazo aomale degl oggett. Fgura 1. 9 Foto orgale 16

17 Fgura Correzoe della foto 1.9 co proezoe : la faccata del palazzo ee trasformata modo corretto, la torre, ece, essedo u elemeto trdmesoale subsce ua deformazoe aomala Ife s può osserare che ella rduzoe prospettca dallo spazo 3D dell oggetto a quello D dell mmage s perdoo formazo sulla scea: gl elemet della scea che soo ascost all obetto della maccha o compaoo ell mmage. I geerale però, quado s camba puto d rpresa, elemet che prma rsultaao ascost potrebbero dere sbl. Nella fgura sottostate s è edezato erde gl elemet o sbl dal puto A e che soo ece sbl dal puto B. Se s suppoe d scattare la foto dal puto A per defre ua trasformazoe dell mmage che e smul la rpresa dal puto B è qud ecessaro recuperare le formazo sugl elemet della scea sbl da B ma è mpossble poter rsalre solo attraerso l mmage otteuta da A alle formazo relate alla zoa ascosta rspetto ad A. 17

18 A B Fgura Dal puto d rpresa B s possoo edere sa la crcofereza pccola che l lato del petagoo erde che o soo sbl da A. Il modello per lo studo della prospetta d u oggetto pao permette d specfcare ache l pao π 0 coteete l oggetto (pao reale). I partcolare put apparteet all tersezoe tra π 0 e π (lea d terra lt) rsultao put fss della mappa tra Ob ed I. Pao dell mmage fuoco O mmage oggetto lea d terra pao reale Fgura 1. 1 Modello pao per la prospetta L aals della fgura d due rette d π 0, tra loro parallele e cdet la lea d terra, troduce l cocetto d puto d fuga o puto all orzzote defto come l puto dell mmage cu le due 18

19 rette parallele appaoo cotrars; el ostro modello è l lmte delle mmag de put dell oggetto dspost su due lee parallele che s allotaao sempre pù dal fuoco. 7 puto d fuga π O fuoco π o lt Fgura Il puto d fuga ell mmage d due rette parallele ortogoal alla lea d terra è l tersezoe delle loro mmag. L mmage d rette parallele alla lea d terra presera tale parallelsmo. Geometrcamete l puto all orzzote è determato cosderado pa π1 e π passat per O e coteet rspettamete le rette r1 e r, tra loro parallele. puto d fuga l π O π π o π1 r1 r Fgura Idduazoe del puto d fuga tersezoe tra l pao mmage e la retta l a sua olta tersezoe de pa π1, coteete r1 e O, e π coteete r e O. 7 Per la defzoe e la costruzoe del puto all fto s è fatto rfermeto a[13]. 19

20 π. Tal pa, pochè hao O comue, s tersecao ua lea l coteete O e parallela ad r1 e r e al pao π 0. Il puto d fuga è l tersezoe d l co l pao dell mmage. Ifatt l rappreseta la poszoe lmte de ragg proettat de put d r1 e r che s allotaao sempre pù dal fuoco. Cascu raggo proettate appartee a π1 e π, l loro lmte dee essere coteuto π1 Pù geerale per dduare l puto all orzzote è suffcete ua sola lea r. Il pao passate per O e r ed l pao per O, parallelo al pao dell oggetto, s tersecao l, che a sua olta terseca l pao delle mmag el puto all orzzote assocato ad r e a tutte le lee d π 0 ad essa parallele. Fora abbamo cosderato lee dell oggetto perpedcolar al pao dell mmage e π ortogoale a π 0 : gl stess rsultat possoo essere estes al caso cu le lee parallele o soo ortogoal a π, ma comuque lo tersecao, e a pa co agolo d cdeza o retto. Puto d fuga π O s* α s r1 r π o Fgura Cofgurazoe geerale per l puto d fuga: l pao reale e quello mmage o soo ortogoal e le rette r1 e r tra loro parallele o soo perpedcolar alla lea d terra L mmage d ua retta s d π 0 parallela alla lea d terra è ua retta s* d π ach essa parallela alla lea d terra. Se terpretamo la prospetta come ua corrspodeza betta tra put del pao dell oggetto e put del pao dell mmage, che assoca ad x d π 0 x* d π tersezoe tra quest e l raggo 0

21 sa proettate tra x e O, s poe l problema che tale applcazoe sa defta og puto d π 0 e che og puto d π mmage d u puto d π 0. Da qu la ecesstà d trodurre put all fto (dett ache put mpropr o deal) oggetto d aals della geometra proetta e d cosderare coordate omogeee. E mportate edezare che ua prospetta o ua composzoe d prospette hao la propretà d madare put learmete dpedet put learmete dpedet (mappa coè rette rette) e che la restrzoe della prospetta a ua qualuque retta del pao π 0 è acora ua prospetta. Da cò s può cocludere che tal trasformazo soo partcolar applcazo proette 8 cu l fuoco è l cetro della trasformazoe 9. Se s dca co l geerco puto del pao reale e co P ( x,, z ) P ( x,, z ) l suo corrspodete el pao mmage, la geerca proezoe è defta dalla relazoe P T P (1.9) co a11 a1 a13 T a1 a a3 (1.30) a31 a3 a 33 matrce o sgolare. 1.5 Correzoe della dstorsoe trapezodale Questa procedura corregge la dstorsoe trapezodale feomeo d deformazoe dell mmage che s erfca quado l pao dell mmage o è parallelo al pao dell oggetto ma forma co questo u agolo α rspetto all asse orzzotale dell mmage. L mmage rsulta così pù larga ella zoa ferore e pù stretta quella superore o ceersa (per ulteror approfodmet s rmada al paragrafo precedete sulla geometra proetta ). 8 Per la defzoe d proetttà s eda appedce A 9 Per la dmostrazoe che ua qualuque applcazoe betta tra due pa che goda delle propretà appea eucate sa ua proetttà s eda l teorema 1 appedce A 1

22 S è sto el paragrafo 1. che dal puto d sta proetto l modello della formazoe d u mmage co ua fotocamera può essere schematzzato co ua proezoe cetrale (fgura 1.3) cu gl oggett cambao forma e dmesoe fuzoe della loro dstaza dal cetro della proezoe corrspodete alla lete secodo le equazo (1.3) e (1.4). S suppoe d laorare co foto d scee che possoo essere approssmate come pae per cu è possble defre l pao che le cotee detto pao reale (pr). pr F pf α Fgura Il pao reale pr e quello dell mmage pf o soo parallel ma formao u agolo d cdeza α rspetto all asse orzzotale dell mmage

23 pm pf h L f F O -L h pr V α Fgura Il pao reale pr e quello dell mmage pf formao u agolo d tersezoe α, l pao della mappa pm è parallelo a pr. L agolo tra questo e l pao dell mmage (pf) è detto agolo d clazoe (α), se è zero l mmage che s ottee è ertcale, altrmet rsulta dstorta. S suppoe oltre d essere e cas cu la lea d terra lt, tersezoe tra pf e pr è perpedcolare all asse ertcale sa della scea che dell mmage per cu le lee parallele ad lt o appaoo alterate. Questo algortmo procede alla correzoe proetta della foto clata dal pao della foto ad u opportuo pao parallelo al pao reale detto pao della mappa (pm). L mmage otteuta dopo 3

24 la correzoe prospettca rsulta a sua olta ua proezoe prospettca rspetto ad F dell oggetto sul pao della mappa, pochè però quest ultmo è scelto parallelo al pao reale, l mmage corretta matee le proporzo dell oggetto reale. S cosdero sull mmage d put e su quella d output due sstem d coordate cartesae ortoormal, rspettamete Ox e O ' x, aet etramb orge el cetro della foto, asse delle ascsse orzzotale oretato da sstra a destra e asse delle ordate ertcale oretato dall alto erso l basso. (0,0) x Fgura Sstema d coordate cartesae assocate all mmage Pochè le dmeso delle mmag soo fte s ha che L x L x x L L L ' x L ' x x L ' L' (1.31) Co Lx e L dat e L ' x e L ' da determars. La proetttà da defre mappa u puto P dell mmage d put d coordate cartesae ( x, ) u puto P dell mmage d output d coordate ( x, ). Pochè s opera co proetttà è opportuo passare alle coordate omogeee: P è dduato dal ettore ( x,, z ) legato a ( x, ) da x x z z (1.3) 4

25 P da ( x,, z ) legato a ( x, ) da x x z z (1.33) Dato che put P soo propr per semplctà s è posto s ha così z 1 P ( x,,1) P ( x,, z ) La proezoe forma ettorale assume la forma P MP (1.34) co a, b, c R. Oppure solgedo l prodotto x a1 b1 c1 x a b c z a3 b3 c (1.35) x a x + b + c (1.36) a x + b + c (1.37) z a x + b + c (1.38) Per poter defre uocamete la mappa è ecessaro cooscere la focale co cu s è scattata la foto e poter dduare all tero d questa ua lea retta l che ella realtà s sa essere ertcale, questo modo, come s edrà pù aat s può rsalre all agolo d clazoe 5

26 V l Fgura La retta edezata rosso dee essere raddrzzata Fgura 1. 0 La lea rossa ella foto rappreseta u esempo d retta l che dee essere raddrzzata Sa f la dstaza focale e ( x 1, 1),( x, ) put che dduao l S ddua l puto d fuga 6 dcato co V d coordate (0, ) co 6 Per la defzoe d puto d fuga s rmada alla sezoe

27 1 x x x 1 tersezoe tra la retta l e l asse ertcale. Perchè l raddrzzameto essere applcato dee alere (1.39) possa > L (1.40) ossa la foto o dee rtrarre la lea d orzzote della scea. La proezoe presera la cetraltà della fgura rspetto all asse ertcale. Tutt put co ascssa x 0 soo mappat put co x 0 dpedetemete dalla loro ordata. Dall equazoe (1.36) sosttuedo s ottee se e solo se x a 0 + b + c c 1 0 (1.41) b 1 0 (1.4) Secodo la teora prospettca put co ordata appartegoo alla lea d orzzote e deoo essere mappat u puto mpropro (co z 0 ), dpedetemete dall ascssa. Dall equazoe (1.38) sosttuedo s ottee x se e solo se z a x b c c a 3 0 (1.43) b (1.44) 3 3 I base alla defzoe d puto d fuga fssato l puto P d coordate ( x, ) la retta t cogugete P co V dee essere proettata ua retta t parallela all asse. La scelta della partcolare parallela è legata alla scelta del partcolare pao pm parallelo al pao reale ed è qud arbtrara 7

28 t t V P Fgura 1. 1 La retta t dee essere proettata ella retta t parallela all asse L h F o -L h pm Fgura 1. Il pao pm è scelto modo tale che hh S è optato d sceglere l pao pm per cu og puto P del bordo ferore dell mmage d mput d ordata L è mappato puto P d pm aete dstaza h dal fuoco F par a quella che F ha co P (dcata co h) h h ' (1.45) Dalle smltud de tragol e della smmetra della fgura s può osserare che put d coordate ( x, L ) egoo così mappat put co ascssa x x. Questo equale a 8

29 sceglere d madare la retta t d fgura 1.1 ella retta t tersecate t propro el puto d ordata L apparteete al bordo ferore della foto. E molto mportate sottoleare l arbtraretà d questa scelta, ua possble alterata sarebbe stata per esempo optare per l pao pm che mateesse fsse le ascsse de put d ordata 0. I coclusoe s è scelta la proezoe tale che se x x. L allora Sosttuedo elle (1.36), (1.38) tal codzo s ottee era se e solo se x x a1 x + b 1L ( ) x z b3 L a 1 b3 ( L ) 1 (1.46) da cu x b 1 0 (1.47) ( L ) x ( ) (1.48) I bord orzzotal della foto d put deoo essere madat e bord orzzotal d quella d output modo tale che quest ultma rsult cetrata. Se L allora L ' e se L allora L ' dpedetemete dalle ascsse. Da sosttuedo s ottee x da cu a x + b + c z ( ) b3 L ' a x + b L + c b ( L ) a x b L + c L ' b ( L ) 3 3 (1.49) (1.50) a 0 (1.51) 9

30 Sommado la (1.49) e la (1.50) s ottee da cu b L + c bl + c + 0 b ( L ) b ( L ) 3 3 allora c b L (1.5) L b b 3 ( ) (1.53) s poga b bb3 e s semplfch L b ( ) (1.54) La deformazoe prospettca ha alterato ell mmage d put la proporzoe tra altezza e larghezza degl elemet della scea. La determazoe del coeffcete b è legata alla rcostruzoe ell mmage d output delle proporzo preset ella scea reale. Per rsalre al rapporto reale tra altezze e larghezze degl oggett s ossera che ell toro d cascu puto della foto d put, se s cosderao gradezze ftesme, s può supporre co buoa approssmazoe che esso o sa stato alterato dalla deformazoe. Qud, affchè ell mmage d output sao rcostrute le proporzo della scea reale, è ecessaro che la proezoe che s sta defedo preser l rapporto tra altezza e larghezza ftesme preset ell toro del puto dell mmage d put. Per redere meo pesat calcol s cosder l cetro dell mmage d put d coordate (0,0) e el suo toro s predao due cremet ftesm dx, d rspettamete lugo l asse delle ascsse e lugo l asse delle ordate. Se s dca co OP l segmeto d estrem (0,0) e ( dx,0) e co OQ quello d estrem (0,0) e (0, d ) la proezoe, per come è stata fora defta, dee madare OP u segmeto ftesmo 30

31 O P parallelo all asse delle ascsse dell mmage d output e OQ u segmeto ftesmo O Q apparteete all asse delle ordate della stessa; oe O,P,Q soo le mmag d O,P,Q. Sa dx la lughezza d O P e d quella d O Q, d che dall agolo d clazoe α, a partà d cremeto d aumeta, s cosdera qud l rapporto d cosα d per esprmere l rapporto tra le due lughezze a prescdere dall agolo. d dpede sa da d al crescere d α (1.55) Affchè la proezoe rcostrusca le proporzo real essa dee preserare la proporzoe tra gl cremet ertcale e orzzotale ossa dee essere tale da mateere arato l rapporto d : dx (1.56) coè dee alere e scambado gl estrem s ottee d : dx d cos α : dx (1.57) dx dx d cosα (1.58) d Dalle equazo (1.48) e (1.54) derado rspetto a x e s ottee dx L dx ( ) d b L d ( ) che ell toro d (0,0) cu abbamo cosderato gl cremet algoo d d dx dx e sosttuedo ella (1.58) s arra a (1.59) (1.60) (1.61) L ( ) b L (1.6) 3 31

32 ( ) b L L cosα (1.63) 3 Se s ossera ella fgura 1.17 l tragolo OFV è facle edere che cosα f + da cu s ottee (1.64) f + b + L (1.65) Per cocludere se s dca co h la proezoe che s è defta s ha co [ ] [ ] ( x, ) ( x, ) h : Lx, L x L, L Lx ', Lx ' L ', L ' x ( L ) x ( ) f + + L ( ) Restao da determare le dmeso dell mmage d output ossa le costat L (1.66) L ' x e L '. Pochè s è scelto d mateere fsse le ascsse de put del bordo ferore dell mmage d put s ha Sosttuedo ella (1.49) alor deft sopra s rcaa L x L ' (1.67) x L ' f + + L ( L ) L L (1.68) Ache questo caso come per le trasformazo elemetar è opportuo partre da put dell mmage dscreta d output G(j,k) e determare put corrspodet F(p,q ) ell mmage dscreta d put applcado la trasformazoe ersa della proezoe h composta co cambamet d coordate che trasformao gl dc (j,k) ( x, ) e ( x, ) (p,q ) e terpolado el caso cu p e q o sao ter. 3

33 Nelle foto seguet s possoo osserare rsultat otteut mplemetado le relazo troate. I tutt cas l mmage ee raddrzzata mateedo alterate le carratterstche della scea: o c soo dstorso o alterazo degl elemet essa coteut. S ossera però che parte dell mmage è stata taglata, questa perdta d formazo è dretta cosegueza del fatto che s è scelto l bordo ferore della foto d put come retta che matee arate le ascsse. S potrebbe rdurre tale perdta scegledo per esempo la lea passate per l cetro dell mmage. Fgura 1. 3 Immage 1.0 corretta co la trasformazoe del trapezo Fgura 1. 4 Immage otteuta correggedo la foto

34 1.6 Correzoe della dstorsoe rotazoe trapezo Questa procedura s teressa al caso cu s fotografa ua scea che può essere approssmata come paa co ua maccha fotografca ruotata lateralmete rspetto alla ertcale della scea e clata rspetto al pao della stessa. Se s cosdera l sstema d coordate fsso della maccha fotografca, trodotto el paragrafo 1., l pao reale pr questo caso rsulta ruotato attoro agl ass x (asse orzzotale) e z (asse ottco) d due agol o ull. x z Fgura 1. 5 Il pao reale pr rspetto al sstema d rfermeto fsso della maccha fotografca rsulta ruotato d u agolo α attoro all asse x e d u agolo β attoro all asse z. Se β0 s retra el caso della deformazoe del trapezo. L mmage che s ottee rsulta affetta dalla deformazoe del trapezo e gl elemet che ella scea reale erao ertcal appaoo clat rspetto all asse ertcale dell mmage. S dch co α l agolo d clazoe tra l pao reale e quello dell mmage (agolo d rotazoe attoro a x) e co β l agolo tra l asse ertcale della scea reale e quello della foto (agolo d rotazoe attoro a z). 34

35 β pf pr F z α x Fgura 1. 6 Il pao reale pr e quello dell mmage pf hao u agolo d clazoe α. I rosso soo tratteggat bord della foto. L asse è l asse ertcale della scea reale la sua mmage pf è l asse che forma co l asse ertcale della foto ( erde ) u agolo β derso da zero se la maccha fotografca ee ruotata lateralmete ( coè attoro all asse z). Fgura 1. 7 Esempo d foto soggetta a deformazoe del trapezo e rotazoe rspetto alla ertcale. Le rette blu rappresetao le lee l1 ed l selezoate ell mmage d put, l asse, erde, è l asse ertcale della foto, rosso soo dcate le lee parallele alla lea d terra. La retta, gallo, è l mmage dell asse ertcale ( ) della scea reale ortogoale alle lee rosse. L agolo tra e è l agolo d rotazoe laterale β, la loro tersezoe l cetro d tale rotazoe. 35

36 Il pao reale pr e quello dell mmage pf s tersecao lugo ua lea d terra che rsulta ortogoale all asse ertcale della scea reale e forma u agolo par a π+β co l asse ertcale della foto () per cu ell mmage le trasformate delle lee parallele alla lea d terra, che preserao l parallelsmo, costtuscoo u fasco d rette parallele che forma u agolo π+β co ed è perpedcolare alla retta mmage dell asse ertcale della scea reale. L agolo tra e è l agolo β e l loro puto d tersezoe è l cetro C della rotazoe laterale, geere dstto dal cetro della foto O d coordate (0,0). La correzoe prospettca che s dee applcare sull mmage d put dee essere tale da raddrzzare gl elemet clat, redere orzzotal le lee parallele alla lea d terra e correggere la deformazoe del trapezo. S è scelto d operare questa trasformazoe due pass: uo che porta alla defzoe d ua proezoe t che a a correggere la deformazoe trapezodale, l altro che raddrzza la scea applcado ua opportua rotazoe r a suo elemet. Se s dca co I l mmage d put e co O quella d output, la trasformazoe p che mappa I O può essere sta come la composzoe delle due trasformazo t e r O p( I) r( t( I)) Il problema s rduce qud alla defzoe d ua proezoe t del tpo defto ella sezoe 1.5 e d ua rotazoe r. Affchè esse sao defte modo uoco s dee essere grado d rsalre agl agol α e β. S cosdero sull mmage d put I e su quella d output O due sstem d coordate cartesae ortoormal, rspettamete Ox e O ' x, aet etramb orge el cetro della foto, asse delle ascsse orzzotale oretato da sstra a destra e asse delle ordate ertcale oretato dall alto erso l basso. 36

37 (0,0) x Fgura 1. 8 Sstema d coordate cartesae assocate all mmage Pochè le dmeso delle mmag soo fte s ha che Co Lx e L dat e L x L x x L L L ' x L ' x x L ' L ' L ' x e L ' da determars. La trasformazoe p da defre mappa u puto P dell mmage d put d coordate cartesae ( x, ) u puto P dell mmage d output d coordate ( x, ) P p( P ) r( t( P )) Per defre modo uoco le mappe t e r è ecessaro : o cooscere la focale co cu è stata scattata la foto, o poter dduare all tero d questa due rette che ella realtà s sa essere parallele tra loro e ertcal, ma che ell mmage appaoo clate ed cdet el puto d fuga V, o determare la poszoe del cetro C della rotazoe laterale. La focale f e le rette l1 e l o soo suffcet per defre modo uoco le trasformazo fatt, come s può osserare ell mmage sottostate, le rette l1 e l dduao l puto d fuga V, ma è ecessaro cooscere ache l cetro C della rotazoe laterale per determare l agolo β 37

38 l1 l V β1 C1 β C Fgura 1. 9 Le rette l1 e l dduao l puto d fuga cocdete co la loro tersezoe ma è ecessaro determare la poszoe del cetro d rotazoe laterale C ( puto d tersezoe tra e ) per determare β. Nell mmage è edezato come le stesse rette l1 e l possao corrspodere a rotazo lateral d cetro e agol ders (C1 C e β1 β). Noto C fatt s può dduare la retta passate per C e per l puto V e determare l agolo tra e che cocde co β. La proetttà p dee essere tale da mappare ell asse ertcale della foto d output ( x 0 ) e og retta per V ua retta parallela a x 0. Pochè s cosderao mmag d cu s coosce solo la focale e le rette l1 e l dat a ostra dsposzoe soo suffcet per dduare C all tero della foto d put, s è scelto percò d far procedere l utete per tetat facedogl forre u alore λ proporzoale alla dstaza tra O e C. Dat la focale f, put (x1,1),(x,) che dduao l1, (x3,3), (x4,4) che dduao l e λ s procede alla defzoe d t e r: S determa l puto d fuga V d coordate (u,) tersezoe tra l1 ed l co ( 1 3)( x x1)( x4 x3) x1( 1)( x4 x3) + x3( 4 3)( x x1) u (1.69) ( 4 3)( x x1) ( 1)( x4 x3) 38

39 ( x3 x1)( 4 3)( 1) 3( 1)( x4 x3) + 1( 4 3)( x x1) (1.70) ( 4 3)( x x1) ( 1)( x4 x3) S calcola la dstaza CV secodo la formula CV OV λ u Codzoe per poter applcare t è che λ (1 + ) + (1 + ) (1.71) u > L > L x La proezoe t che corregge la deformazoe trapezodale mappa le rette passat per l puto d fuga V rette parallele alla retta per C e V. La sua equazoe è del tpo (1.66) defta el paragrafo 1.5 per cu co co [ ] [ ] ( x, ) ( x ', ') t : Lx, L x L, L Lx ', Lx ' L ', L ' ( L ) x ' x ( ) f + ' + L ( ) L CV (1.7) S determao le dmeso dell mmage d output ossa le costat L ' x e L '. Per la (1.67) s ha e per la (1.68) L x L x ' L ' f + + L ( L ) L L 39

40 S defsce la rotazoe r che muta l fasco d rette parallele alla retta per C e V e coteete le trasformate tramte t d l1 ed l (dcate co t(l1)e t(l)) el fasco d rette parallele all asse ertcale della foto d output. Data l certezza della poszoe d C s prefersce cetrare tale rotazoe O. Per determare l agolo d rotazoe γ che trasform t(l1) e t(l) rette ertcal s calcolao gl agol che t(l1) e t(l) formao co la ertcale della foto, dcat rspettamete co β1 e β: la tagete d γ è uguale alla meda delle taget d β1 e β. Sao (t(x1),t(1)), (t(x),t()), (t(x3),t(3)) e (t(x4),t(4)) le mmag de put dat otteute applcado t, β1 e β soo dat da t( x) t( x1) tgβ1 (1.73) t( ) t( 1) da cu Post t( x4) t( x3) tgβ t( 4) t( 3) (1.74) tgβ1+ tgβ tgγ (1.75) cosγ 1 1+ tg γ sγ tgγ 1+ tg γ r è così defta [ ] [ ] r : Lx ', Lx ' L ', L ' Lx ', Lx ' L ', L ' ( x ', ') ( x, ) co x cos γ x ' s γ ' s γ x ' + cos γ ' (1.76) I coclusoe p ha equazoe p :[ Lx, Lx ] L, L [ Lx ', Lx '] L ', L ' ( x, ) ( x, ) co x r( t( x )) r( t( )) (1.77) 40

41 Ache questo caso, come per la trasformazoe del trapezo, è opportuo partre da put dell mmage dscreta d output G(j,k) e determare put corrspodet F(p,q ) ell mmage dscreta d put applcado la trasformazoe ersa della proezoe p, coè p t r 10, composta co cambamet d coordate che trasformao gl dc (j,k) ( x, ) e ( x, ) (p,q ) e terpolado el caso cu p e q o sao ter. D seguto soo rportat esemp d foto corrette applcado la trasformazoe (1.77) Fgura Correzoe della foto 1.7 Co λ 10.5% 10 Nella composzoe d mappe s assume che l orde co cu s applcao a da destra a sstra 41

42 Fgura Immage orgale Fgura 1. 3 Correzoe della foto 1.31 co λ7% S può osserare che elle foto corrette compaoo zoe ere, esse corrspodoo a put dell mmage d output che la trasformazoe rotazoe assoca a put che soo fuor dall mmage d put. 4

43 1.7 Correzoe d tpo proezoe Questa procedura ee applcata su mmag cu s possoo detfcare due put d fuga V1 e V. Suppoedo d laorare co foto d scee che possoo essere approssmate come pae per cu è possble defre l pao che le cotee detto pao reale pr; questo tpo d mmag s ottee quado l puto d rpresa è tale per cu pr rsulta ruotato attoro agl ass x,,z del sstema d coordate fsso della maccha fotografca d tre agol o ull. x z Fgura Il pao reale pr rspetto al sstema d rfermeto fsso della maccha fotografca rsulta ruotato d u agolo α attoro all asse x, d u agolo β attoro all asse e d u agolo γ attoro all asse z. Se βγ0 s retra el caso della deformazoe del trapezo, se β0 s è el caso della deformazoe rotazoe trapezo. Ache questo caso la formazoe dell mmage può essere schematzzata co ua proezoe cetrale co cetro ella lete della maccha: le rette ertcal e orzzotal della scea reale egoo mappate dalla proezoe rspettamete u fasco d rette passate per V1 e uo passate per V. La trasformazoe prospettca p che s defsce ella procedura dee essere tale da deformare l mmage modo che sembr otteuta da u puto d rpresa frotale alla scea, p è qud u applcazoe da pf a u pao pm parallelo al pao reale e trasforma tutte le rette per V1 rette ertcal e quelle passat per V rette orzzotal. Idcata co I l mmage d put e co O quella d output s ha O p( I ) (1.78) 43

44 Fgura Esempo d mmage a cu applcare la correzoe d tpo proezoe La proezoe p è stata decomposta el prodotto d due proezo h e g del tpo defto el paragrafo 1.5 : O g( h( I)) (1.79) h mappa le rette passat per l puto d fuga V1 rette ertcal, g trasforma le rette per V rette orzzotal mateedo arate quelle ertcal. V1 V V Fgura La correzoe proezoe può essere eseguta applcado due trasformazo tpo trapezo ua che mappa le rette passat per V1 rette ertcal, la secoda che mada le lee per V rette orzzotal mateedo arate quelle ertcal. 44

45 Per defre modo uoco h e g è ecessaro cooscere la focale co cu s è scattata la foto e poter dduare all tero d questa ua coppa d rette (l1 el) che ella realtà s sa essere parallele e ertcal e che ell mmage appaoo oblque e cdet quello che è l puto d fuga V1 e ua coppa d rette (l3 e l4) che ella realtà s sa essere parallele e orzzotal ma appaoo ella foto oblque e cdet el secodo puto d fuga V. S cosdero sull mmage d put e su quella d output due sstem d coordate cartesae ortoormal, rspettamete Ox e O ' x, aet etramb orge el cetro della foto, asse delle ascsse orzzotale, oretato da sstra a destra, e asse delle ordate ertcale, oretato dall alto erso l basso, come llustrato fgura Pochè le dmeso delle mmag soo fte s ha che Co Lx e L dat e L x L x x L L L" x L" x x L" L" L" x e L " da determars. La proetttà da defre mappa u puto ( x, ) u puto P dell mmage d output d coordate ( x, ). P dell mmage d put d coordate cartesae Data la focale f e put (x1,1), (x,) che dduao l1,(x3,3),(x4,4) che dao l, (x5,5),(x6,6) per l3 e (x7,7),(x8,8) per l4 S ddua l puto d fuga V1 tersezoe d l1 e l d coordate (u1,1) co ( 1 3)( x x1)( x4 x3) x1( 1)( x4 x3) + x3( 4 3)( x x1) u1 (1.80) ( 4 3)( x x1) ( 1)( x4 x3) ( x3 x1)( 4 3)( 1) 3( 1)( x4 x3) + 1( 4 3)( x x1) 1 (1.81) ( 4 3)( x x1) ( 1)( x4 x3) Perchè l raddrzzameto h possa essere applcato dee alere u1 > L 1 > L x S cosdera la traslazoe t1 che porta l asse ertcale x u1 x 0 d equazoe 45

46 x x u1 l puto d fuga V1 ha ora coordate (0,1) (1.8) S applca la proezoe h defta ella sezoe 1.5 d equazoe co e co 1. [ ] [ ] ( x, ) ( x ', ') h : Lx, L x L, L Lx ', Lx ' L ', L ' ( L ) x ' x ( ) f + ' + L ( ) Le dmeso dell mmage dopo l applcazoe d h ossa le costat da L x L x ' L (1.83) L ' x e L ' soo date secodo la (1.67) (s è scelto d mateere fsse le ascsse de put del bordo ferore dell mmage d put ) e da L ' f + + L ( L ) L L secodo la (1.68) S cosderao le mmag de put (x,) co 5,6,7,8 otteute applcado h e t1 coè (h(t1(x)),h(t1())) co 5,6,7,8. Per comodtà s poe per 5,6,7,8 x ' h( t1( x)) ' h( t1( )) Il puto d fuga V è l tersezoe tra l mmage d l3 e quella d l4. Le sue coordate soo (u,) co 46

47 ( 5' 7 ')( x6' x5')( x8' x7') x5'( 6' 5')( x8' x7 ') + x7 '( 8' 7 ')( x6' x5') u (1.84) ( 8' 7 ')( x6' x5') ( 6' 5')( x8' x7') ( x7 ' x5')( 8' 7')( 6' 5') 7 '( 6' 5')( x8' x7') + 5'( 8' 7 ')( x6' x5') (1.85) ( 8' 7')( x6' x5') ( 6' 5')( x8' x7') Perchè l raddrzzameto g possa essere applcato dee alere u > Lx ' > L ' S cosdera la traslazoe t che porta l asse ertcale ' ' 0 d equazoe x ' x ' ' ' l puto d fuga V ha ora coordate (u,0). (1.86) S defsce la proezoe g che mappa l fasco d rette passat per V el fasco delle rette orzzotal. L applcazoe g è otteuta dalla applcazoe defta ella sezoe 1.5 ertedo l ruolo delle ascsse e delle ordate, s ha cos co e co ' u. [ ] [ ] ( x', ') ( x, ) g : Lx ', Lx ' L ', L ' Lx ", Lx " L ", L " ( Lx ') x ' ' f + ( ') ' x ' + Lx ' ( x ' ') ( Lx ' ') ' ( x ' ') Le dmeso dell mmage d output otteuta applcado la g soo (1.87) L " L ' (1.88) pochè g tee fsse le ordate de put del lato ertcale destro dell mmage e 47

48 L " x f + ( ') L ' ' ( L ') ' + L ' ( L ' ') x x otteuta dalla (1.68) sosttuedo l ordata co l ascssa I coclusoe p ha equazoe [ ] [ ] ( x, ) ( x, ) x p : Lx, Lx L, L Lx ", Lx " L ", L " co x g( t( h( t1( x )))) g( t( h( t1( )))) x (1.89) (1.90) Ache questo caso, come per le trasformazo precedet, è opportuo partre da put dell mmage dscreta d output G(j,k) e determare put corrspodet F(p,q ) ell mmage dscreta d put applcado la trasformazoe ersa della proezoe composta co cambamet d coordate che trasformao gl dc (j,k) ( x, ) e ( x, ) (p,q ) e terpolado el caso cu p e q o sao ter. L mmage seguete è u esempo d foto corretta co questo algortmo.. Fgura Foto 1.34 corretta co proezoe 48

49 PARTE II : terpolazoe de lell d grgo.1 Itroduzoe Le tecche d terpolazoe soo d fodametale mportaza per la rcostruzoe delle mmag dgtalzzate e qud per la realzzazoe delle trasformazo geometrche descrtte ella prma parte. Queste, fatt, per essere operate ecesstao, oltre che d ua trasformazoe spazale, ache d ua terpolazoe de lell delle testà del colore. Idcata co t la proezoe che trasforma l mmage d put F ell mmage d output G l processo d rcostruzoe geere opera a rtroso partedo da put d G e applcado la trasformazoe ersa t -1 per determare l alore corrspodete F da assegargl G j k F t j k 1 (, ) ( (, )) Pochè d solto t -1 mappa la geerca coppa d dc (j,k) d G ua coppa d coordate t 1 ( j, k) ( p ', q ') che o è ua coppa d dc d F rsulta ecessaro assocare a questa u opportuo alore 1 F( p ', q ') F( t ( j, k)) otteuto terpolado lell delle testà del colore d F u toro d (p,q ). Il colore d cascu puto è defto attraerso ua tera d alor (r,g,b) puto dello spazo S R, G, B. S è scelto d terpolare lell delle testà de color fodametal rosso, erde e blu modo dpedete, s parla così d terpolazoe de lell d grgo rferedos alle testà d cascu colore. Naturalmete l alore approssmato otteuto per terpolazoe dee essere ach esso u puto d S R, G, B. Se questa codzoe o è erfcata lo s sosttusce co l puto d S R, G, B le cu coordate soo gl ter pù c alle testà calcolate. L arrotodameto dell testà d cascu colore causa u errore che ee dffuso scarcado l errore stesso su put dell mmage adacet al puto cosderato. I questo caso s è scelto d scarcare l errore sul pxel successo al puto cosderato. Al fe d dare ua formulazoe pù rgorosa del problema dell terpolazoe de lell d grgo e d aalzzare metod usat per rsolerlo s dao alcue ozo geeral sul problema dell terpolazoe. 49

50 . Iterpolazoe e mglore approssmazoe Il problema dell approssmazoe d fuzo, d mportaza fodametale ella matematca applcata, cosste ella sosttuzoe d ua fuzoe f co ua fuzoe scelta ell ambto d ua fssata classe d fuzo modo tale che l comportameto delle due soddsf specfcate codzo mposte dal problema, tutamete s dce che l loro adameto dee essere l pù smle possble. Ua tpca stuazoe cu s preseta u operazoe d questo tpo è la seguete: la fuzoe f da approssmare o è ota, ma d essa s cooscoo alcu alor su u seme d put e s ogloo aere dcazo sul suo adameto altr put. I base al tpo e alla quattà de dat e alle caratterstche del problema s può sceglere tra due dfferet approcc: l prmo cerca d costrure la fuzoe che pass per cert put assegat (terpolazoe), l secodo cerca d costrure ua che s scost d poco da dat (mglore approssmazoe). I geerale u problema terpolazoe è posto e seguet term: dat +1 put x dstt co 0,1,... s uole determare ua fuzoe ϕ, apparteete ad ua certa famgla d fuzo Φ, che ess soddsf m codzo d terpolazoe (col che la ϕ e le sue derate deoo soddsfare e put x ). Nel caso cu le codzo sao del tpo e la famgla d fuzo Φ sa defta da s cercao alor a0, a1,... a tal che ϕ ( x ) 0,1... Φ ϕ(,,,... ) 0 1 x a0 a1 a ϕ ( x, a, a,... a ) 0,1,... Se ϕ dpede learmete da parametr ossa ϕ( x, a, a,... a ) a ϕ ( x) + a ϕ ( x) a ϕ ( x) l problema è detto d terpolazoe leare Nel caso cu la famgla delle fuzo Φ sa uo spazo leare su R d dmesoe +1, che per comodtà dchamo co V, e se co V* s deota l corrspodete spazo duale, la 50

51 defzoe può essere così geeralzzata: assegat +1 fuzoal lear L0, L1,.. L V* e dato l seme d umer real { } 0,1.. s cerca l elemeto d V tale che L 0,1,... (.1) Se V P e L ( x ) oe { } 0,1.. x è u seme d +1 put dstt s parla d terpolazoe polomale. Scelta ua base d V { } ϕ0, ϕ1,... ϕ lo stesso problema può essere scrtto forma matrcale fatt og elemeto d V può essere scrtto come combazoe leare degl elemet della base 0 aϕ e la defzoe d che soddsfa le codzo (.1) equale alla determazoe de parametr a che soddsfao le da cu L a jϕ j 0,1,... (.) j 0 Ga p (.3) co a ettore de parametr, p ettore de alor e detta matrce d Gram. L0 ( ϕ0) L0 ( ϕ) G L ( ϕ0) L ( ϕ) (.4) Il problema della mglore approssmazoe può essere così eucato: sa V uo spazo leare dotato d ua orma e W u suo sottospazo geerato dagl elemet ϕ1, ϕ,... ϕ d V. Il sottospazo W ha come elemet le combazo lear 1 aϕ e ha dmesoe fta. Assegato u elemeto f d V s tratta d determare u elemeto w* d W, da cosderare mglore approssmazoe d f ella metrca d V, modo tale che la dstaza da f sa mma coè f w* f w w W 51

52 I altre parole s tratta d determare l mmo della fuzoe * 0, * 1,... * se [ ] d( a, a,... a ) f a ϕ a a a mmzza d s dce che w* è l elemeto d mglore approssmazoe d f. Cetrale ella rsoluzoe d questo tpo d problem è la scelta della orma d V e del tpo d fuzoe approssmate, coè del sottospazo W cu rcercare l w*, pù adatt. D solto s scegle la fuzoe approssmate tra polom per la loro effceza computazoale. Nel caso d V L ( a, b) co (a,b) R s parla d mglore approssmazoe el seso de mm quadrat e s rcerca l polomo p P che mmzza la orma del ettore resduo r d compoet f ( x ) p( x ) 1 m (.5) 0 r d ( f, p) ( f ( x ) p( x )) Se l problema è dscreto, ossa s laora su u seme fto S { x x x } (a,b) e per og fuzoe f defta su S s cosdera la semorma 1,,... m dell terallo f, S 1 m ( f ( x )) 1 la mglore approssmazoe s ottee cercado l polomo p P tale che f p* f p p P, S, S..1 Alcu rsultat sull usoleza de problem d terpolazoe R Sa V uo spazo leare d fuzo real d dmesoe fta +1 e V* l suo duale. Dat L0, L1,.. L apparteet a V* e l seme { } 0,1.. d real base alla defzoe date el paragrafo precedete rsolere l problema d terpolazoe V sgfca troare la fuzoe V tale che L per 0,1,... S dce che L0, L1,.. L soo usolet V se esste ua ed ua sola soluzoe al problema. L0, L1,.. L soo usolet se e solo se soo dpedet V* fatt ale 5

53 Lemma.1 Sa V spazo leare d dmesoe. Se,.. 1 soo dpedet V e L,.. 1 L soo dpedet V* allora L ( ) 0 (.6) j Vceersa se,.. 1 o L,.. 1 L soo dpedet e ale la (.6) allora ache l altro seme è dpedete. Dmostrazoe. S suppoga che L ( ) 0 allora ache L ( ) 0. Il sstema j a L ( ) + a L ( ) a L ( ) a L ( ) + a L ( ) a L ( ) arebbe ua soluzoe o baale a,... 1 a. Allora per 1,,... e pochè,.. 1 è ua base d V ( a L + a L a L )( ) ( a L + a L a L )( ) 0 per og V, per cu a1l1 + al al 0 e qud L,.. 1 L soo learmete dpedet cotro le potes. j Teorema. Sa V uo spazo leare d dmesoe e L,.. 1 L elemet d V*. Il problema d terpolazoe (.1) ammette ua e ua sola soluzoe per alor arbtrar 1,,... se e solo se gl L soo dpedet V*. Dmostrazoe. Per l lemma sopra se,.. 1 e L,.. 1 L soo dpedet L ( ) 0 e l sstema o L ( a + a a ) 1,, j 53

54 ha ua soluzoe a,... 1 a e l elemeto rsole l terpolazoe leare. a L ( ) + a L ( ) a L ( ) (.7) 1 1 a (.8) 1 Vceersa se l problema d terpolazoe ha soluzoe per og 1,,... la (.7) ha soluzoe per og 1,,... e qud L ( ) 0. Allora per l lemma gl L soo dpedet. Il determate L ( ) è detto determate d Gram geeralzzato. j j S cosdero ora cas cu l problema d terpolazoe è polomale, coè L ( x ) co rcercato tra polom. I ua dmesoe l usoleza è garatta dal seguete rsultato Teorema.3 S dch co P l seme de polom p(x) co x R a coeffcet real d grado ferore o uguale ad dat dall espressoe 1 R (.9) 0 p( x) a x a Dat +1 put d collocazoe ( x, ) co 0,1,,.. e x x j se j s può sempre determare P l polomo p tale che p( x ) 0,1,... (.10) La dmostrazoe dell essteza e uctà d tale polomo s ottee costruttamete troducedo codzoe k0,1,.. la cu rappresetazoe esplcta è P la base de polom terpolat d Lagrage che per og soddsfao la 1 se k L ( xk ) δ, k 0 se k (.11) 54

55 x x j L ( x) 0,1,... (.1) x x j 0, j j e rappresetado p così p è detto polomo d Lagrage. p( x) L (.13) 0 ( x) Questo teorema o può essere esteso al caso d terpolazo polomal pù arabl quato è stato dmostrato che og seme aperto d R co o è sempre possble, dat put arbtrar x R dstt, troare ua combazoe leare d 0 1 p,... p (base dello spazo de polom d orde more o uguale ad su R ) che assumoo assegat alor su quest put. Teorema.4 (d Haar) Sa S u seme R co che cotega u puto tero p e sao,... 1 f f (>1) fuzo defte su S e cotue u toro d p.questo seme d fuzo o può essere usolete su S. Dmostrazoe. Sa B ua bolla cetrata p suffcetemete pccola affchè le f 1,... f sao cotue. S scelgao put dstt B p1, p,... p e s assuma che f ( p ) 0. S fsso p,... 3 p e s muoao p 1 e p modo cotuo b maera che s scambo d poszoe tra loro. I questo modo s è trodotto uo scambo d coloe f ( p ) l cu sego d cosegueza camba. Pochè le fuzo soo cotue dee esserc qualche poszoe termeda d p 1 e p per cu l alore del determate s aulla. Da quato detto s può qud cocludere che geerale per l terpolazoe d fuzo pù arabl dare u umero d codzo par a parametr del polomo o garatsce la sua costrubltà. I quest cas è opportuo rsolere l problema troado l polomo d mglore approssmazoe. j j 55

56 .. Iterpolazoe polomale ua e due dmeso forma matrcale Molto utle è la rappresetazoe forma matrcale del problema d terpolazoe polomale ua dmesoe. Scelta come base per ( ) dee soddsfare 0 P x { 1,,,.. } x x x s ha che l geerco polomo a ( x j ) j (.14) co j0,1,.. e { x,... 0 x } +1 put dstt a cu corrspodoo alor {,... 0 } da cu Va p (.15) 0 a x co a ettore de parametr, p ettore degl j e 1 x0 x 0 V (.16) 1 x x detta matrce d Vadermode che per l teorema. ha determate derso da zero se e solo se put soo dstt. La stessa defzoe può essere estesa a problem due dmeso: s scelga come base d j P ( x, ) l seme { x }, le codzo d terpolazoe detao, j 0,.. co k0,1,..m e {(, )} k k z (.17) j k aj xk k, j 0 x put tra loro dstt. Idcato co a l ettore de parametr cogt lugo s e co p quello de alor assegat s ottee Ma p (.18) co 1 x1 1 M 1 xm m (.19) 56

57 I base a quato detto prma ache se put soo dstt e ms M potrebbe aere determate ullo e l problema o ha soluzoe. Se m>s l sstema è soradetermato e coee cercare l polomo d mglore approssmazoe che mmzz lo scarto quadratco medo Idcato co r l ettore resduo m k 0 ( p( xk, k ) zk ) (.0) r p - Ma (.1) scredo la codzoe ecessara d mmo (porre ulle le derate d r rspetto a j ) s ottee detto sstema delle equazo ormal da cu -1 T T cu la matrce M M M è detta pseudoersa d M. T T M Ma M p (.) -1 T T a M M M p (.3)..3 Iterpolazoe tegrale Come s è sto la scelta d put dstt è codzoe ecessara ma o suffcete per l usoleza dell terpolazoe polomale due dmeso. S può dmostrare che tale codzoe rsulta suffcete el caso dell terpolazoe tegrale ua e due dmeso. Per questo tpo d terpolazoe ua dmesoe s a a determare l polomo p(x) che soddsfa le codzo x + h p( x) dx z (.4) x h co 10,1,. Questa terpolazoe porta al medesmo rsultato dell terpolazoe polomale R. Teorema.5 I ua dmesoe l terpolazoe tegrale d u polomo d grado è equalete a quella polomale. 57

58 Dmostrazoe. S cosdero +1 put dstt x0. x1,..., x a cu soo assocat alor 0. 1,..., e s determ l polomo terpolate d orde ua arable p( x) a + a x a x 0 1 tale che p( x ) per 0,1,, base a quato affermato prma tale polomo esste ed è uco. S cosder po l polomo p (x ) d orde che soddsfa le seguet codzo x + h x h p '( x) dx co 0,1,. I coeffcet d p rsultao geerale ders da quell d p. S cosder ora l polomo q(x) otteuto calcolado l tegrale x + h a q( x) p '( s) ds x + h x h + 1 x h 0 ( ) ( ) che rsulta acora u polomo d orde quato term d grado +1 s semplfcao tra loro. I base alle codzo mposte su p e alla defzoe d q s ha q( x ) per 0,1,... e per l uctà del polomo terpolate s può cocludere che q(x)p(x) e qud s ha l equaleza delle due terpolazo. I due dmeso l terpolazoe tegrale a a determare l polomo d orde tale che p( x, ) a + a x a x + a + a x a x a x p( x, ) dxd zj (.5) Q j per,j0,1, oe co Q s dca l quadrato d lato l cetrato el puto ( x, ) a cu è j j assocato l alore z j. Dalla (.5) s ottee co h,k0,1,... l l x 1 h + 1 k + + j+ x l l xh k aj j + j + zhk (.6), Idcato co a l ettore de coeffcet d p(x,) e co z quello de alor z j la (.6) forma matrcale deta 58

59 Ma z (.7) Se put ( x, ) soo tra loro dstt la matrce M è o sgolare e l sstema ammette ua ed ua sola soluzoe h k 1 a M z (.8) ossa esste ed è uco l polomo soluzoe dell terpolazoe tegrale. S ota che questo tpo d terpolazoe o è arate rspetto ad ua rotazoe degl ass d rfermeto...4 Iterpolazoe bleare e bquadratca I questo laoro s soo cosderat metod d terpolazoe polomale due dmeso co polom del prmo e del secodo orde pochè rsultao essere meo costos da u puto d sta computazoale e o dao orge a feome d oscllazoe. Dal teorema.3 s rcaa che per defre uocamete l polomo terpolatore d orde ua dmesoe s ecessta d +1put d collocazoe dstt. Se 1 l terpolazoe è detta leare e seroo due put x 0 e x 1 dstt a cu assegare de alor. La base de polom terpolat d Lagrage è data da da cu x [ x, x ] s ha 0 1 L 0 x x1 x x 0 1 x x0 L1 x x 1 0 (.9) co x x0 dx x x p( x) (1 dx) + dx (.30) (.31) La costruzoe del polomo terpolate ua fuzoe f d pù arabl ee d solto effettuata sfruttado le proezo su sottospaz. Sa [ a, b] [ c, d] l domo rettagolare della fuzoe f da terpolare e sa a x < x <... < x b 0 1 c < <... < d 1 m 59

60 ua partzoe del domo. Il polomo terpolatore d Lagrage è dato da m L( x, ) f ( x, ) ϕ ( x) ψ ( ) (.3) 0 j 0 j j doe ϕ ( x), ψ ( ) soo polom d grado e m soddsfacet le codzo j ϕ ( x ) δ, k 0,1,... k k ψ ( ) δ j, k 0,1,... m j k k (.33) L( x, ) può essere geerato come rsultato dell applcazoe della trasformazoe P : g g( x, ) ϕ ( x) (.34) x 0 sull mmage P ( f ) della trasformazoe m P : d d( x, ) ψ ( ) (.35) j j j 0 sulla fuzoe f coè L P ( P ( f )) (.36) x P x e P soo proezo e per la scelta delle ϕ ( x), ψ ( ) soo commutate,qud arado j l orde co cu s terpola, prma per rghe e po per coloe o ceersa, s ottee sempre lo stesso rsultato fale. Se m1 l terpolazoe è detta bleare. I polom d Lagrage hao la forma ϕ ( x) 1 dx 0 ϕ ( x) dx co x x0 dx x x e co da cu ψ ( ) 1 d ψ ( ) d d ( (, )) ( ) (, ) ( ) (, ) x (.37) (.38) (.39) (.40) P f x ϕ x f x + ϕ x f x (.41) 60

61 e uedo le espresso P ( f ( x, )) ψ ( ) f ( x, ) + ψ ( ) f ( x, ) 0,1 (.4) [ ] [ ] L( x, ) ϕ ψ ( ) f ( x, ) + ψ ( ) f ( x, ) + ϕ ( x) ψ ( ) f ( x, ) + ψ ( ) f ( x, ) (.43) [ ] [ ] L( x, ) (1 dx) (1 d) f ( x, ) + df ( x, ) + dx (1 d) f ( x, ) + df ( x, ) (.44) L essteza e uctà del polomo è garatta dall essteza e uctà de polom terpolator lugo le rghe e le coloe. (0,0) (x,0) (1,1) (x,) (1,0) (x,1) (1,1) Fgura. 1 L terpolazoe bleare operata terpolado learmete per rghe e po per coloe Se m l terpolazoe è detta bquadratca. I questo caso seroo oe put d terpolazoe qud ua partzoe del domo [ a, b] [ c, d] data da a x < x < x b 0 1 c < < d 1 (.45) 61

62 (0,0) a (1,0) (,0) (0,1) b (1,1) (,1) (x,) (0,) c (1,) (,) Fgura. L terpolazoe bquadratca coolge oe put d terpolazoe per semplctà fgura soo dcat solo loro dc. S terpola prma lugo le rghe put a,b,c po quest lugo la coloa blu co parabole I polom terpolator d Lagrage hao equazo e ϕ ( x) 0 ϕ ( x) 1 ϕ ( x) ψ ( ) 0 ψ ( ) 1 ψ ( ) e l polomo terpolatore deta ( x x1 )( x x ) ( x0 x1 )( x0 x ) ( x x0 )( x x ) ( x1 x0 )( x1 x ) ( x x1 )( x x0 ) ( x x )( x x ) 1 0 ( 1 )( ) ( 0 1 )( 0 ) ( 0 )( ) ( 1 0 )( 1 ) ( 1 )( 0 ) ( )( ) 1 0 (.46) (.47) p( x, ) z ϕ ( x) ψ ( ) (.48), j 0 j j co z j alore assocato al puto ( x, j ). Ache questo caso l essteza e uctà del polomo è data dall essteza e uctà de polom lugo le rghe e le coloe e la commutattà delle 6

63 proezo garatsce che scambado l orde d terpolazoe per rghe e coloe l rsultato o camba..3 Iterpolazoe de lell d grgo Come s è gà acceato ell troduzoe, s è scelto d terpolare le testà d cascuo de color fodametal (rosso, erde, blu) modo dpedete rspetto alle testà degl altr due color. I questo modo c s è rdott a tre problem dpedet d terpolazoe de lell d testà lumosa (rspettamete del rosso,del erde e del blu). Per cascuo d ess dato u puto d coordate (p,q ) dell mmage d put s a a calcolare u alore approssmato dell testà d grgo otteuto terpolado le testà de put dell mmage apparteet ad u certo toro d (p,q ). Oamete, la scelta del umero e del tpo d put che egoo coolt dpede dal metodo d terpolazoe usato. Molto mportate è sottoleare che, pochè lell d grgo soo umer ter compres tra 0 e 55, ache l alore approssmato dee apparteere all seme { N : 0 55} I I metod che errao aalzzat o sempre garatscoo che questa codzoe sa soddsfatta ed è qud ecessaro mporre cotroll. Se l testà lumosa è maggore d 55 o more d 0 la s poe rspettamete uguale a 55 o 0, se è u alore reale tra 0 e 55 la s arrotoda all tero pù co.. L arrotodameto dell testà d cascu colore causa u errore che ee dffuso scarcado l errore stesso su put dell mmage adacet al puto cosderato. I questo caso s è scelto per semplctà d dsperdere l errore solo aat coè sul pxel successo al puto cosderato apparteete alla stessa rga. La scelta pù semplce d terpolazoe è chamata terpolazoe d orde zero e cosste ell assocare al puto (p,q ) l testà del puto dell mmage che ha dstaza eucldea more. Questo algortmo ha l ataggo d essere computazoalmete semplce ma rsultao edet effett d scalatura elle mmag cu l lello d grgo camba sgfcatamete da u pxel all altro e può portare ad u errore spazale dell orde d 63 pxel per utà. L approssmazoe può essere mglorata utlzzado l terpolazoe polomale. Per mateere cost computazoal accettabl ed etare feome d oscllazoe dell terpolate s soo usat polom terpolat del prmo e del secodo orde.

64 .3.1 Iterpolazoe bleare S cosder l mmage d put F(p,q) e l puto (p,q ) cu s uole calcolare l alore del polomo terpolate p(x,) che, base a quato detto precedetemete sull terpolazoe bleare, ha equazoe [ ] [ ] P( x, ) (1 dx) (1 d) f ( x, ) + df ( x, ) + dx (1 d) f ( x, ) + df ( x, ) (.49) Per defre modo uoco p deoo essere assegat quattro put dell mmage o alleat tre a tre s cosderao allora put d F(p,q) che costtuscoo quattro ertc del quadrato coteete (p,q ). Per comodtà s cosdera u rfermeto locale cetrato el cetro del quadrato C rspetto al quale ertc hao coordate { j }, 0.5,0.5 (, ) j pochè put dell mmage formao u retcolo d lato 1. Il quadrato è così determato : se p -[p ]<0.5 s cosdera come ertce d coordate (-0.5,0.5) l puto co ascssa [p ] altrmet co ascssa [p ]+1 e co ordata [q ] se q -[q ]<0.5 altrmet co ordata [q ]+1. Nell mmage seguete è llustrata la scelta de put terpolat e l puto (p,q ) che rspetto al uoo sstema d rfermeto ha coordate (x,) [ ] [ ] [ ] [ ] x p ' p ' 0.5 se p'- p' < 0.5 x p ' p ' 1 se p'- p' > 0.5 (.50) [ ] [ ] [ ] [ ] q ' q ' 0.5 se q'- q' < 0.5 q ' q ' 1 se q'- q' >0.5 (.51) 64

65 (-0.5,-0.5) a (0.5,-0.5) (0,0) (x,) (-0.5,0.5) b (0.5,0.5) Fgura. 3 Le tersezo delle lee rosse soo put d F(p,q), s terpolao prma per rga put tersezoe della lea blu d ascssa x co le lee rosse orzzotal dcat co a e b e po tal alor tra loro Idcata co dx e d le quattà dx x d (.5) la (.49) deta [ ] [ + ] P( x, ) (1 dx) (1 d) I( 0.5, 0.5) + di( 0.5,0.5) + + dx (1 d) I(0.5, 0.5) di(0.5, 0.5) (.53) L terpolazoe orzzotale e ertcale soo lear ma la loro composzoe rsulta ua superfce o leare che s adatta bee a quattro pxel c..3. Iterpolazoe bquadratca S cosder l mmage d put F(p,q) e l puto (p,q ) cu s uole calcolare l alore del polomo terpolate p(x,) che, base a quato detto precedetemete sull terpolazoe bquadratca, ha equazoe p( x, ) I ϕ ( x) ψ ( ), j 0 j j doe polom terpolat d Lagrage ϕ, ψ soo deft elle (.46) e (.47) e I, è l testà lumosa el puto ( x, ). j j j 65

66 Affchè p sa defto uocamete come specfcato prma s deoo assegare oe put ell toro d (p,q ), s scegle la grgla 3 3 de oe put pù c e per comodtà l s dca co {( x, j )}, 1,0,1 j. S cosdera u sstema d coordate local cetrato ( x0, 0) per cu put da terpolare detao { j }, 1,0,1 sosttuedo s ottee (, ) j e (p,q ) ha coordate (x,) date da [ ] [ ] x p ' p ' 0.5 q ' q ' (.54) p( x, ) I ϕ ( x) ψ ( ) (.55) j j, j 1 co per zx, e ζ ϕ, ψ. z( z 1) ζ 1( z) ζ ( z) ( z + 1)( z + 1) 0 z( z + 1) ζ 1( z) (.56).3.3 Iterpolazoe tegrale S cosder l mmage d put F(p,q) e l puto (p,q ) cu s uole calcolare l alore che l terpolazoe tegrale gl assoca. I base a quato detto precedetemete pochè samo el caso bdmesoale l terpolazoe tegrale a a determare l polomo d equazoe p( x, ) a + a x + a x + a + a x + a x + a + a x + a x tale che per,j-1,0,1, oe co p( x, ) dxd zj (.57) Qj Q j s dcao oe quadrat d lato 1 cetrat e oe put d F(p,q) pù c a (p,q ). Pochè s fa rfermeto ad u sstema d coordate cetrato el puto d F(p,q) l cu quadrato cotee (p,q ), put pres esame hao coordate (,j) co,j-1,0,1. 66

67 Fgura. 4 I blu è segato l quadrato Q ( p ', q ') d lato 1 cetrato el puto (p,q ), rosa quadrat Q j co,j-1,0,1 cetrat e 9 put d F(p,q) pù c a (p,q ). Il alore z j rappreseta l testà del grgo del puto (,j). Dalla (.5) s ottee co,j-1,0, k j+ h+ + + x 0.5 j 0.5 ahk zj (.58) h, k 0 h + 1 k + 1 Idcato co a l ettore de coeffcet d p(x,) e co z quello de alor z j la (.58) forma matrcale deta Ma z (.59) Pochè od soo tra loro dstt la matrce M è o sgolare e ertble, l sstema ammette ua ed ua sola soluzoe 1 a M z (.60) co -1 M matrce cu elemet soo dcat fgura.5. 67

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