Criteri di scelta degli investimenti. Materiale didattico per il corso di matematica finanziaria II modulo

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1 Crter d scelta degl estmet Materale ddattco per l corso d matematca azara II modulo

2 Itroduzoe La presete trattazoe s poe come obetto d aalzzare due prcpal crter d scelta degl estmet e de azamet per alutare la coeeza tra due o pù operazo azare. S tratterà d operazo progettate poché l loro lusso d cassa o è osserato ma solo presto. S è supposto che relat mport sao ot co certezza e, allo stesso modo, sao ote co certezza le scadeze temporal d pagameto. C s lmterà a cosderare operazo azare dscrete ossa tal che momet d dearo aegao cascuo u determato state. Il prmo crtero aalzzato sarà l alore Attuale Netto (AN che esprme la somma algebrca delle etrate e delle uscte attualzzate attraerso l utlzzo d u tasso d attualzzazoe d rermeto. Tale crtero s basa sul prcpo secodo l quale u zata merta d essere presa cosderazoe solo se beec che e possoo derare soo superor alle rsorse utlzzate. Il secodo crtero è l Tasso Itero d edmeto (TI o I che, algebrcamete, è l tasso per l quale l AN rsulta ullo. Il TI è quel tasso che segala dereza al progetto azaro e separa gl terall d tass che ao rteere l operazoe coeete, da terall per qual l operazoe è sataggosa. Sarao trattat alcu mportat metod matematc per la rsoluzoe approssmata d equazo e, oltre, s è aalzzata la loro applcazoe per l calcolo eetto del TI.

3 Ie s è descrtta ua utle applcazoe del TI ella alutazoe delle oerte d edta co pagamet ratezzat: l TAN o tasso auo omale e l TAEG coè l tasso auo eetto globale. Captolo Le operazo azare Le operazo azare spesso egoo dstte estmet e azamet, etramb descrtt da u lusso d captal d sego derso: gl esbors da somme egate e gl cass da somme poste. La loro dstzoe potrebbe essere rerta alle altà dell operazoe dato che da u estmeto c s aspetta u guadago metre u azameto rchede u costo; pratca, s procede alla dstzoe separado, per og operazoe, la successoe degl esbors da quella degl cass e procededo al coroto tra alor d u opportuo dce temporale assocato a cascua d esse. Dal ostro puto d sta, le operazo azare egoo cosderate a preeta, quado soo allo stado d operazo progettate. Corrspodetemete, l loro lusso d cassa o è osserato, ma solo presto. Supporremo tuttaa che relat mport sao ot co certezza, e allo stesso modo, supporremo ote co certezza le scadeze temporal d pagameto. C lmteremo, e, a cosderare operazo azare dscrete, ossa tal che momet d dearo aegao cascuo u be determato state; o cosdereremo, altre parole, operazo cu sao cotemplat luss cotu d captale etrata o uscta. 3

4 La alutazoe degl estmet è quella atttà che ee eettuata per ercare l'mpatto che u determato progetto d estmeto ha sulla struttura adottate (azeda, ramo d azeda, ete, progetto, prato, ecc., doe per progetto d'estmeto s tede u seme d atttà produtte o azare cu l'azeda o l prato cttado mpega dspobltà lqude (costo dell'estmeto co l'obetto d cosegure, cotropartta, u lusso d beec utur complessamete superor a cost sosteut. Il problema che ee arotato dalla alutazoe degl estmet è, ella sostaza, u problema d scelta: og azeda o prato dee, att, predere delle decso d'estmeto, drette ad allocare a sol progett che "creao alore" le lmtate rsorse dspobl (attor produtt. Per poter rsolere a sstema tale problema d scelta ra possbl alterate è ecessaro poter dscrmare le derse possbltà base ad u utà d msura che dee essere grado d edezare sa la aldtà dell zata, sa correlat eett ecoomco azar: è comuemete accettato che l'utà d msura cu are rermeto questo caso sa l alore ecoomco dell zata. Il costo d u estmeto è dato da luss azar uscta o mor luss etrata coess alla sua attuazoe; aalogamete, "beec" ad esso assocat soo costtut da luss azar etrata oero a mor luss uscta (doe rtor e cost utur soo elemet d carattere presoale. I tal modo u'operazoe d'estmeto può essere rappresetata da ua successoe (stmata d uture etrate ed uscte moetare deomata "lusso d cassa". Altro attore determate ella alutazoe degl estmet è l tempo: la rleaza del attore tempo dpede da u eetto d carattere azaro che lo lega al alore del dearo e secodo cu, a partà d altre 4

5 codzo, ad u allugameto de temp d retro delle rsorse estte u progetto corrspode ua cotrazoe de beec d orde azaro (l trascorrere del tempo troduce, peraltro, u ulterore lello d'certezza el processo d alutazoe quato, all'amplars degl terall d rermeto, le preso sulle arabl da cu dpedoo rsultat dell'operazoe tedoo progressamete a perdere d sgcattà. Ulterore elemeto essezale del processo d alutazoe è l tasso d teresse scelto a rermeto: l tasso d'teresse al quale s attualzzao luss azar ( etrata ed uscta è deomato costo opportutà del captale perché rappreseta u'alterata alla quale s ruca per trapredere l partcolare progetto d'estmeto aalzzato. U progetto azaro è caratterzzato da ua sequeza d mport e dalle opportue scadeze: {( P t ; ( P ; t ;...; ( ; } ; P t errà deto: - INESTIMENTO : se tutte le uscte precedoo temporalmete tutte le etrate. - FINANZIAMENTO : se tutte le etrate precedoo temporalmete tutte le uscte. U operazoe è po detta semplce se è costtuta da ua sola etrata seguta da sole uscte, o ceersa da ua sola uscta seguta da sole etrate (rspettamete el caso s tratt d u azameto o d u estmeto. S pes, per are qualche esempo, all operazoe cosstete el cocedere u prestto ed cassare po le aualtà preste dal 5

6 corrspodete pao d rmborso; o a quella - smmetrca d cotrarre u prestto e procedere po al suo ammortameto. Dato l lusso d cassa preedblmete assocato ad u progetto d mpresa ecoomca, la dereza tra etrate ed uscte dà, elemetarmete, l guadago che se e rcaerà. I quato quelle etrate e quelle uscte soo però destate a maestars temp ders, è del tutto aturale per o mmagare d rportarle azaramete ad uo stesso state. La uzoe che esprme l alore attuale t,ella arable ed regme d teresse composto, della somma degl mport P k P P... P, prede l ome d DISCOUNTED CASH FLOW (DCF, coè lusso d cassa scotato. L espressoe aaltca della DCF è: Coè: ( ( t k Pk k k P P... P k ( t t ( ( ( t Attraerso tale uzoe cercheremo d capre se è possble sceglere tra due ders progett azar. P t k 6

7 Captolo alore Attuale Netto e Tasso Itero d edmeto. AN La somma algebrca delle etrate e delle uscte attualzzate attraerso l utlzzo d u tasso d attualzzazoe d rermeto, rappreseta l alore Attuale Netto del progetto d estmeto ( glese Net Preset alue ache oto sotto l acromo EA coè sultato Ecoomco Atteso. AN ( rappreseta l DCF alutato ( Il rcorso al calcolo del AN s eettua geere quado sa da sceglere tra pù progett alterata: el caso d estmet, l crtero presuppoe, oamete, che la preereza ada data a quello che preseta u AN maggore ( seso algebrco: determate crcostaze, att, l crtero può portare a selezoare l operazoe che dà luogo alla perdta more; oamete aremo la stuazoe opposta (e scegleremo l AN more el caso d azamet. Ma ache relazoe ad u progetto sgolarmete cosderato l AN può serre a dare ua spece d gudzo assoluto sulla sua accettabltà: u AN egato corrspode ad u operazoe per la quale le uscte soo destate a superare le etrate. 7

8 Esempo. I regme d teresse composto, al tasso 9.5% auo, è pù coeete pagare ogg 5, oppure 5 tra 6 mes e 5 tra ao? Per corotare le due alterate deo calcolarm l AN della secoda opzoe (5 tra 6 mes e 5 tra ao: Poedo ( che è l attore d attualzzazoe, AN.5 ( 9.5% 5* 5*. 33 D cosegueza è pù coeete pagare ogg 5 perché sosterremo u costo pù basso. Esempo. Abbamo due possbl estmet: ( I ersare ogg e rceere alla e del prmo e secodo ao e alla e del terzo ao. ( I ersare ogg e rceere 5 alla e del prmo e secodo ao e alla e del terzo ao. Stablre quale de due progett è pù coeete utlzzado l crtero del AN co u tasso d attualzzazoe %. Calcolamo le uzo DCF de due estmet:

9 ( ( 3 ( ( 5 5 ( 3 ( Poedo % aremo: AN ( ( 3. (. (. AN 5 5 ( ( 3. (. ( Qud, poché AN ( < AN ( Segue che l secodo estmeto rsulterebbe pù ataggoso.. Crtche al crtero del AN I dett del crtero del AN soo tato umeros quato edet. La crtca maggore che ee atta, è la soggetttà ella scelta del tasso. Iatt, l tasso d teresse da mpegare el calcolo de alor attual o è alcu modo trseco al progetto da gudcare, ma è a totale dscrezoe dell operatore che cerca d determare l AN. Operator ders possoo duque perere, ella alutazoe degl stess progett, a cocluso derse. 9

10 C è, però, d pù. Dre che l alore attuale del captale S k dspoble al tempo t k è S k tk (, uol dre che s rtee d poter estre, da ogg o al tempo t k, questa somma al tasso, geerado così apputo l motate S k. Cò mplca duque l potes che, per tutta la durata del progetto ed dpedetemete dall orde d gradezza delle somme questoe, la realtà orrà la possbltà d estre captal al tasso : potes, edetemete del tutto rrealstca. Ioltre l tasso è da teders come costo opportutà del dearo per l decsore. ar tetat soo stat att per cercare s redere oggetto l calcolo d. Ad esempo l utlzzo d ua meda poderata de tass che rappreseterebbero cost del captale, d deret proeeze, estto el progetto. Tale tasso medo è detto usualmete WACC (Weghted Aerage Cost o Captal..3 TI La ozoe d AN (o EA d u operazoe, sore e lo abbamo segalato del grae detto d o essere trseca all operazoe, e qud oggettamete deta. S ottee ece ua caratterstca trseca ed oggetta d u operazoe se elemetarmete parlado s cerca d rspodere o alla domada quato essa cosetrà d guadagare ma a quella che tasso d teresse s rcaa da captal esttt? Cosderado la ostra uzoe DCF P k k t ( k, aremo che : se esste u alore d maggore d - per l quale tale uzoe rsulta ulla, e questo alore è uco, allora esso ee detto TASSO

11 INTENO DI ENDIMENTO (T.I.. ( glese I coè Iteral ate o etur. Il TI è quel tasso che segala dereza al progetto azaro e separa gl terall d tass che ao rteere l operazoe coeete, da terall per qual l operazoe è sataggosa. Come utlzzare l TI d due operazo azare? Fodametalmete la regola decsoale è la seguete: - el caso d INESTIMENTI è preerble quello che ha u TI maggore; - el caso d FINANZIAMENTI è preerble quello che ha u TI more. Esste ache ua ersoe assoluta del crtero, base al quale u operazoe d estmeto (o d azameto a eseguta se l suo TI è maggore (o more d u tasso d rermeto pressato, al quale s rtee d poter altrmet estre le propre dspobltà (o al quale s rtee d poters altrmet azare..4 Crtche al crtero del TI Così ormulato l crtero appare rspodere peo a requst che c eraamo propost d soddsare: è teramete oggetto, poché, base ad esso, operator ders, ella stessa stuazoe, gugoo d ecesstà alle stesse cocluso (cò che ece o accadea co l crtero del AN. Né rchede, da parte d ch ogla applcarlo, alcua capactà specale d presoe sull adameto uturo del mercato e de tass: esso s oda, att, esclusamete sulle caratterstche trseche de progett da corotare.

12 Il tutto è talmete semplce, che l crtero stesso, pur se l suo ambto d applcazoe rsulta rdotto al solo coroto tra operazo dotate d TI, ha auto u successo olgorate. Ad u esame pù approodto, le rago d tale successo appaoo decsamete cosstet. Abbamo osserato che l AN d u operazoe calcolato al tasso rappreseta l alore attuale, a quel tasso, del maggor guadago che l operazoe permette d cosegure, rspetto all mpego de medesm captal al tasso ; e otato crtcamete che l odameto d questo dscorso è che per tutta la durata dell operazoe captal sao daero estbl a quel tasso: potes, questa, la cu accettabltà rede poco credble l tutto. Peraltro, ha seso dcharare che solgere u operazoe aete TI,equale ad mpegare gl stess captal a questo tasso quato se aulla l DCF, cò uol dre che esso rede l motate delle etrate uguale a quello delle uscte: duque, se o alla e dell operazoe captal s possoo estre al tasso, compere l operazoe o estre al d uor d essa dà gl stess rsultat. Come s ede, la logca sottesa alla ozoe d TI è la stessa che da seso a quella del AN, e e codde duque l detto d odo: che è quello d potzzare l essteza d u tasso uco costate per ua durata ache oteole. Comuque o c lmteremo all aspetto matematco ache perché, realtà, o esstoo tat altr dcator che permettoo d alutare maera scetca u progetto azaro.

13 solere la uzoe k P k t ( k ed dduare questo modo l TI, sgca rsolere u equazoe algebrca s grado eleato. Occorre, qud, are prma alcue cosderazo matematche: - aroteremo prma alcu teorem per dmostrare l essteza eetta d ua soluzoe; - successamete studeremo alcu metod ( pù utlzzat terat che permettoo, bree tempo, d determare ua buoa approssmazoe della soluzoe; - e applcheremo tal metod (medate alcu esemp alla ostra uzoe DCF per troare l TI. Captolo 3 soluzoe approssmata d equazo 3. Separazoe delle radc I metod che llustreremo questo captolo s possoo applcare quado sa oto u terallo [ a; b] cu è coteuta ua ed ua sola radce dell equazoe da rsolere. Occorre percò, prma d passare alla rsoluzoe era e propra dell equazoe, compere quell operazoe che prede l ome d separazoe delle radc. Sa ( (A 3

14 U equazoe, e sao c,... le radc della (A, che oglamo determare; sa coè:, c ( c ; ( c ;... Separare le radc dell equazoe (A sgca dduare, per cascua radce, c, u terallo, [ ] a ; che la cotega e che o cotega b alcu altra radce. Il modo pù ecace per separare le radc d u equazoe è quello d rcorrere ad ua opportua terpretazoe graca. Talolta può rsultare ecessaro compere u bree studo d uzoe. 3. Teorem d essteza e uctà Al e, però, d redere pù precse le cosderazo tute che rsultao dall terpretazoe graca d u equazoe, soo utl seguet teorem. 3.. Teorema d essteza della radce. Se ( è cotua ell terallo chuso [ b] ( a * ( b <, ossa se la uzoe ( dell terallo, alor d sego opposto, allora l equazoe ( ha almeo ua radce tera a tale terallo. a; e se rsulta assume, egl estrem Esempo. Cosderamo l equazoe e Che è ella orma (A oe s poga S ha ( e 4

15 ( * e < ( * e e > Poché oltre la uzoe è cotua, possamo cocludere che ell terallo ( ; è coteuta almeo ua radce dell equazoe esame. Esempo. Cosderamo ora l equazoe Che è ella orma (A oe s poga l ( l ( è deta e cotua per >. No possamo applcare l teorema d essteza all terallo [ ;], perché el prmo estremo, come abbamo osserato, la uzoe o è deta. Per superare questa dcoltà, comcamo co l osserare che el secodo estremo d tale terallo la uzoe assume u alore egato: ( l < Cerchamo percò d sostture l prmo estremo co u puto cu ( rsult deta e posta. S ha, ad esempo, per e : ( e ( e l e 4 4 e e > Duque, ell terallo equazoe. e ; s troa almeo ua radce della ostra Notamo che l teorema d essteza della radce asscura l essteza d ua soluzoe dell equazoe l ache ell terallo ( ;: ( ( l l.3466 < ( l.36 > 5

16 3.. Prmo teorema d uctà della radce Sa ( ua uzoe deta e cotua ell terallo chuso [ b] a; e derable e suo put ter. Sa oltre ( a * ( b < e sa ( ( a ; b. Allora esste u uca soluzoe dell equazoe ( ell terallo aperto ( ; b a. Esempo. Cosderamo acora l equazoe e Posto ( e, rsulta ( e e ( e, e qud: ( > ( e > > ( < ( e < < Nell terallo ( ;, cu gà sappamo che dee esstere almeo ua radce, ( è sempre posta. Percò ell terallo ( ; esste u uca soluzoe dell equazoe data. Esempo. Cosderamo uoamete l equazoe l Come gà detto, esste almeo ua radce d tale equazoe, sa ell terallo e ; sa ell terallo ( ;. Poedo ( l, s ha: 6

17 ( Come s può otare dal graco che esprme l prodotto de seg della ostra uzoe ( : e - - Fg Prodotto de seg ( > > < < ( < < < > < < Notamo che ell terallo e ; la derata ( s aulla, e essedo < < applcable a (. Percò l prmo teorema d uctà o è tale terallo. Nell terallo ( ;, ece, ( è sempre posta, e qud, essedo soddsatte tutte le potes, l prmo teorema d uctà c asscura che tale terallo esste u uca soluzoe dell equazoe data Secodo teorema d uctà della radce Sa ( ua uzoe deta e cotua ell terallo chuso [ b] a; e derable due olte e put ter d tale terallo. Sa oltre ( a * ( b <, e ( egata. sa, ( a ; b, sempre posta o sempre 7

18 Allora esste u uca soluzoe dell equazoe ( ell terallo aperto ( ; b a. Esempo Cosderamo d uoo l equazoe l Aeamo osserato, che ell terallo e ; esste almeo ua radce, ma, o potedos applcare tale terallo l prmo teorema d uctà della radce, o era possble aermare co certezza l uctà d tale soluzoe. Osseramo ora che, poedo ( l, è: ( ( Qud rsulta, per qualuque applcare all terallo e ;, ( >. Possamo qud l secodo teorema d uctà della radce, e aermare che tale terallo la ostra equazoe ammette ua ed ua sola soluzoe. 3.3 Dmostrazoe dell essteza del TI La maggor parte delle uzo DCF,che rappresetao u estmeto, hao la seguete orma: Doe: - C ( rappreseta l esborso zale e qud, oamete, è ua somma egata; DCF C C C K C (

19 - ; C ; C ( C K rappresetao gl trot che derao dall estmeto che soo costtut da somme poste; - e Poamo ( è l attore d attualzzazoe. ( DCF C C C K C ( Prededo l terallo ( ;, aremo che egl estrem d tale terallo, la ( assume alor dscord sego: ( C < C C C K C ( > Aremo qud che, per l teorema d essteza della radce, ell terallo ( ; è coteuta almeo ua radce della uzoe ( Ioltre s ha ( C C 3 C 3 K C > ( C 6 C 3 K ( C >. Qud, per teorem d uctà della radce prma aalzzat, ( ammette u'uca soluzoe ell terallo ( ;. D cosegueza sapedo che la cosderato, possamo rcaarc l TI che sarà: Quado aremo che Quado aremo che TI esste ed è uca ell terallo qud qud Coè l TI esste de è uco. I quest cas, coè: el caso d u estmeto co u uco costo zale ( C < e success trot post > C k ; k 9

20 e el caso d u azameto co ua sola etrata zale e successe uscte < C k k (per cu ( > ; ( < e ( < ; ( < ; è cosoldata tedeza a cosderare ecace e sgcato l crtero del TI: egl altr cas, ache maggor estmator del TI, rtegoo che esso rsult totalmete ecete. 3.4 Metodo d Bsezoe S ogla rsolere l equazoe e Sappamo gà, dagl esemp precedet, che ell terallo ( ; è coteuta ua e ua sola radce d tale equazoe. Percò dcado co la soluzoe da determars, sarà: < < Qud ( ; è u terallo d determazoe per, e alor e e soo approssmazo, rspettamete per detto e per eccesso. Per mglorare tal approssmazo cosderamo l puto medo, m. 5, dell terallo ( ;. S ha, posto ( e : ( < ( < ( e > y e

21 y Fg Metodo d Bsezoe È qud edete che la soluzoe cade ell terallo (.5;, poché egl estrem d questo, la ( assume alor dscord. Percò l terallo (.5; è u uoo terallo d determazoe per la soluzoe della ostra uzoe:.5 < < e alor.5 e soo approssmazo d, edetemete mglor delle precedet. Per mglorarle ulterormete, possamo cosderare acora l puto medo dell terallo (.5; :.5.75 Calcolado ( tale puto e egl estrem dell terallo s ha: ( < ( > ( e > Poché egl estrem dell terallo.5;.75 ( ( sego opposto, la soluzoe è coteuta tale terallo: assume alor d

22 .5 < <.75 Possamo cotuare l procedmeto descrtto o a raggugere ua precsoe pressata: desderado u rsultato esatto o alla terza cra decmale, s arà, dopo quattordc terazo del metodo descrtto: < <.5 < <.5 < <.75 M M M M M M M M M.5669 < < < <.5673 Possamo percò assumere l alore.567 come approssmazoe, esatta o alla terza cra decmale, della soluzoe dell equazoe e. 3.5 Metodo delle Secat o delle corde Sa ( ua uzoe deta e cotua ell terallo chuso [ b] a;, e s suppoga che egl estrem d tale terallo la uzoe assuma alor, (a e (b, dscord sego. Ie s suppoga che ell terallo aperto ( a ; b la derata secoda ( essta e sa sempre posta o sempre egata. Com è oto, tal potes, l equazoe ( Ammette ua ed ua sola soluzoe ell terallo ( a ; b. allo scopo d determare u approssmazoe, traccamo l graco d y ( ell terallo che stamo cosderado e cogugamoe put estrem, ( a; ( a A e ( b; ( b B, co u segmeto.

23 3 b A a 3 B y L ascssa del puto d tersezoe d tale segmeto co l asse delle ascsse può essere cosderata come ua prma approssmazoe della soluzoe della ostra equazoe. Per calcolare, scramo l equazoe della retta passate per put A e B : ( ( ( a b a y a b a L ascssa del puto d tersezoe d tale retta co l asse delle s ottee sosttuedo y questa equazoe: ( ( ( ( ( ( a a b a b a a b a a b a E qud s ha ( ( ( a a b a b a Fg Metodo delle Secat

24 Suppoamo ora, per ssare le dee, che sa ( > rsult ( a < e ( b >. ( ; b a, e che I tal potes s potrebbe dmostrare (e del resto o è dcle osserado la gura che rsulta: a < < E che la radce dell equazoe è coteuta ell terallo ( ;b. Possamo pertato applcare uoamete l procedmeto descrtto all terallo ( ;b, per aere ua secoda approssmazoe. S ottee: E rsulta: b ( ( b ( a < < b < b co ( ; b Cotuado questo modo s costrusce ua successoe { } così deta: a b ( ( b ( ( Per le cosderazo prma solte, s arà: a < < < K < b La successoe { } è lmtata e duque coerge a u lmte c ; s ha qud: lm c Passado al lmte etramb membr della (, s ha: b lm lm ( ( b ( 4

25 b c c c ( c ( c c ( b ( c Percò l lmte della successoe { } è la soluzoe della ( Possamo cosderare cascuo de alor d, aetta da u errore par a.. come u approssmazoe Per dezoe d lmte, tale errore può sempre essere reso more d ua qualsas quattà posta pressata, a codzoe d predere abbastaza grade. È mportate rleare che le ostre cosderazo soo state solte el caso cu è ( > ( a ; b, ( a < e ( b >. La ( è alda ache el caso cu sa ( < ( b <. I altr cas, ece, la ( adrà così modcata:, ( a > e b a ( ( a ( ( S può rcorrere a questa regola memoca: l metodo parte dall estremo cu la uzoe ha sego opposto a quello della derata secoda: coè se rsulta ( * ( a <, s poe a e s applca la (, se ece ( * ( a > s poe b e s applca la (. I og caso s ottee ua successoe { }, coergete alla soluzoe della (. Se tale successoe è crescete, rsulta costtuta da approssmazo per detto della soluzoe ; se ece è decrescete, alor soo approssmazo per eccesso d. 5

26 Esempo Cosderamo uoamete l equazoe l Come s è detto ammette ua radce ell terallo e ; e ua ell terallo ( ;. oglamo determare u approssmazoe d quest ultma. Comcamo poedo ( l sulta ( ( l l < ( 4 l l.365 > Ioltre s ha ( e ( S ha ( > per qualuque alore d apparteete al domo della uzoe ( >. Possamo percò costrure ua successoe d approssmazo della soluzoe della uzoe, applcado l metodo delle secat. Poché rsulta ( * ( a ( * ( <, l metodo parte da a e aremo, dalla (: Otteamo ( ( ( 6

27 ( ( ( ( Essedo ( , s ha po.537 (.537 ( ( ( Proseguedo questo modo, s ha: ( ( ( ( Come s ede, le prme quattro cre dopo la rgola s soo stablzzate. È percò ragoeole assumere l alore come approssmazoe, esatta o alla quarta cra decmale, della soluzoe dell equazoe l, ell terallo ( ;. 3.6 Metodo delle taget o d Newto Il metodo delle taget, o d Newto, è cocettualmete smle al metodo delle secat prma trattato. Ache questo caso s costrusce ua successoe d approssmazo della soluzoe dell equazoe ( da rsolere. Per determare cascua d tal approssmazo s sosttusce al graco d y ( ua retta, d cu s cerca po l tersezoe co l asse delle ; ma,metre el caso del metodo delle secat, tale retta era ua secate della cura d equazoe y (, el metodo d Newto essa è ua tagete alla cura. 7

28 S debba rsolere l equazoe ( Suppoamo che sao ercate tutte le potes gà atte ell esporre l metodo delle secat: (, (a e (b ( > ( b y sa deta e cotua u terallo [ a; b] sao dscord e ( essta e sa ( a; b sempre posta o sempre egata. Sotto tal potes, per l secodo teorema d uctà della radce, l equazoe ha u'uca soluzoe ( a; b. Per ssare le dee, s suppoga che sa ( a <, ( b > e che sa a;. B (b;(b B (;( a B (;( 3 b Fg Metodo d Newto Dopo aer dsegato la cura d equazoe y (, possamo determare ua prma approssmazoe della soluzoe, traccado la tagete alla cura el suo puto B ( b; ( b e cercadoe l tersezoe co l asse delle. L ascssa,, d questo puto s può calcolare scredo l equazoe della tagete e poedo essa y. l equazoe d tale tagete è: y y B m( y ( b ( b( b B

29 Poedo y ell ultma equazoe, s ottee : sulta, oamete: ( b ( b( b a < < b b ( b ( b oledo mglorare questa approssmazoe, possamo rpetere l ragoameto esposto, applcadolo al puto B ; ( azché al puto B. s ottee ua uoa approssmazoe : E rsulta: a < < ( ( ( Cotuado questo modo s costrusce ua successoe { } così deta: E s arà b ( ( a K < < < b < La successoe { } è lmtata e duque coerge a u lmte c ; s ha qud: lm c Passado al lmte etramb membr della (3, s ha: (3 b ( c lm lm ( c c ( c ( b ( ( c 9

30 Qud l lmte della successoe { } è la soluzoe,, della ( Possamo cosderare cascuo de alor, aetta da u errore par a. come approssmazoe d. Per dezoe d lmte, tale errore può sempre essere reso more d ua qualsas quattà posta pressata, a codzoe d predere abbastaza grade. È mportate rleare che le ostre cosderazo soo state solte el caso cu è ( > ( a ; b, ( a < e ( b >. La (3 è alda ache el caso cu sa ( < ( b <., ( a > e I altr cas, l metodo delle taget adrà applcato prededo a. I pratca s procede così: se rsulta ( * ( a <, s poe b, se ece è ( * ( a > s prede a.i altre parole l metodo parte dall estremo cu la uzoe ha lo stesso sego della derata secoda. S ottee og caso ua successoe { }, coergete alla soluzoe della (. Se tale successoe è crescete, rsulta costtuta da approssmazo per detto della soluzoe ; se ece è decrescete, alor soo approssmazo per eccesso d. Esempo Applchamo l metodo d Newto per rtroare la soluzoe dell equazoe l Nell terallo ( ;, gà calcolata ell esempo precedete col metodo delle secat. Posto ( l 3

31 sulta ( e ( Essedo ( > per qualuque alore d ( ; ( l < è ( * ( < alore. Calcolamo : e e qud assegamo a l ( ( Poché è e (. 365 e ( 3. 5, rsulta: Calcolamo : Sosttuedo (.666 ( (.666 ( Proseguedo allo stesso modo, s ha Come s ede, le prme cque cre dopo la rgola s soo stablzzate. È percò ragoeole assumere l alore come approssmazoe, esatta o alla quta cra decmale, della soluzoe dell equazoe l, ell terallo ( ;. Corotado quest rsultat co quell otteut co l metodo delle secat, s può otare ua coergeza pù rapda. 3

32 Captolo 4 Applcazo per l calcolo del TI Termamo l aals del TI attraerso l seguete esempo. Abbamo due possbl estmet: ( I ersare ogg ed otteere 7 alla e d cascuo de prossm a; ( I ersare ogg ed otteere alla e de prossm 7 a e alla e dell ottao ao. Stablre quale de due progett è pù coeete utlzzado l crtero del TI. Solgmeto: - la uzoe DCF del prmo estmeto ( I è: ( Essedo, le somme poste, tutte dello stesso mporto (7 la uzoe rsulta abbastaza semplce. Proamo a calcolarc drettamete l TI, seza doerc calcolare prma e po, d cosegueza, TI Essedo. K 3

33 Possamo screre la uzoe DCF come: Coè ( ( ( 7 7 ( Per troare l TI poamo DCF : Aremo: 7 7 ( ( ( 7( 7 Coè: ( 7 ( ( oledo screre u equazoe geerale per troare l TI per gl estmet d questo tpo (uco esborso zale ; successe rate costat d mporto, s arà: ( ( ( (4 Suppoamo d olerc calcolare l TI utlzzado l metodo d Newto; come sappamo dobbamo prma troare la derata prma ( della ostra uzoe. 33

34 34 Esprmamo la (4 ella orma: ( A questo puto è semplce troare la derata che sarà: ( ( ( ( ( ( ( ( ( (5 Sosttuedo alor del ostro esempo, aremo: ( ( [ ] ( 7 7 Per poter applcare l metodo d Newto dobbamo troare u terallo e cu estrem la uzoe assuma alor dscord sego. Osseramo che ella derata prma (, l terme ( è posto (essedo l tasso >; l sego dpederà dal secodo terme ( ; percò la derata prma s aulla : ( ( m

35 Che rsulta essere puto d mmo. Nel ostro caso Sosttuedo ( m aremo: m m m (.9 ( (.375 m m < Notamo po che la ostra uzoe el puto a, coè: è esattamete uguale 7 > Poedo TI, ora sappamo che: Nel ostro caso: < < (.9 < <.7 Poché, come abbamo gà sto, ( >, aremo che ( * ( a.9 < : per cu poamo b 7 che prederemo. come prma approssmazoe (per eccesso e applchamo l metodo d Newto: b. 7 ( ( 35

36 ( ( Abbamo troato la soluzoe che è TI.% I alterata aremmo potuto troare u approssmazoe della soluzoe applcado l metodo d bsezoe. Partedo dall terallo sto : m ; coè (.9;.7 abbamo (come gà ( m.375 < > Predamo l puto medo d questo terallo.9.7 m E otamo che: ( m.94 < D cosegueza abbamo u terallo mglore (.9945;.7 che cotee la soluzoe. 36

37 Possamo cotuare l procedmeto: m ( m.94 > Il ostro uoo terallo sarà: (.9945; m 3. 7 ( m > Il ostro uoo terallo sarà: (.9945; m ( m.36 4 < Il ostro uoo terallo sarà: (.; m ( m > Il ostro uoo terallo sarà: (.; m ( m.6 6 < Il ostro uoo terallo sarà: (.4;.6 37

38 m ( m < Il ostro uoo terallo sarà: (.5; m. ( m.6 > Il ostro uoo terallo sarà: (.5; m ( m.76 9 < Il ostro uoo terallo sarà: (.;... m. 99 ( m.3 < Il ostro uoo terallo sarà: (.99;..9. m. 6 ( m.437 > Il ostro uoo terallo sarà: (.99;.6 3

39 .9.6 m. 6 ( m.753 < Il ostro uoo terallo sarà: (.6; m Ache se co u umero maggore d terazo, samo arrat alla stessa approssmazoe, esatta o alla quarta cra decmale, della soluzoe che è TI.%. - la uzoe DCF del secodo estmeto ( I è: 3 4 ( Uguaglamo a per troare l TI e ddamo etramb membr dell equazoe per : ( La derata prma sarà: ( Sapedo che ell terallo ( ; esste u'uca soluzoe d e che ( <, ( > e ( >, aremo che ( * ( a < : per cu 39

40 poamo b che prederemo come prma approssmazoe (per eccesso e applchamo l metodo d Newto: b ( ( ( ( U approssmazoe, esatta o alla sesta cra decmale, della soluzoe è La soluzoe 9.3% TI corrspodete è TI I alterata aremmo potuto troare u approssmazoe della soluzoe applcado l metodo delle secat. 4

41 Sempre per le stesse cosderazo atte per l precedete metodo utlzzato ( ( * ( a <, poamo: a b ( ( b ( aremo: ( ( ( ( 5. 4 doe b ( ( ( ( ( ( (

42 ( ( ( ( ( Co u umero maggore d terazo, rspetto al metodo d Newto, samo arrat ad u approssmazoe, esatta o alla quarta cra decmale, della soluzoe che è.376. La soluzoe TI corrspodete è TI 9.3% 4

43 Captolo 5 TAN & TAEG Ua utle applcazoe del TI s ha ella alutazoe delle oerte d edta co pagamet ratezzat: l calcolo del TI questo caso prede l ome d TAN (Tasso Auo Nomale o d TAEG (Tasso Auo Eetto Globale a secoda d qual pagamet egoo cosderat Il TAN rappreseta l TI dell operazoe calcolato sul prezzo d lsto seza cosderare eetual spese aggute preste dal cotratto; qud è la soluzoe dell equazoe: S k t ( k k Doe S è l prezzo d lsto (coè l captale azato metre k soo gl mport delle rate pagate alle epoche t k. Il TAEG ece rappreseta l TI dell operazoe teedo coto ache delle spese aggute preste dal cotratto (ad esempo le spese d struttora; qud è la soluzoe dell equazoe: S C k t ( k k Doe C soo le spese aggute. 43

44 Esempo Cosderamo u mutuo d della durata d a. Le rate soo tutte d mporto par a 547. e potzzamo che al mutuato sao addebtate: - 3 spese su perza - spese per struttora bacara - Og rata graata d d spese d casso - Og rata graata d ulteror per spese are Calcolare TAN e TAEG. - TAN La ostra DCF è: Poamo che: ( 547., 547. e ( ( 547. ; allora secodo la (4 aremo ( ( Iece, secodo la (5, aremo che: ( ( ( Possamo pertato applcare l metodo d Newto per troare l TAN. 44

45 Come gà studato, utlzzeremo come prma approssmazoe (per 547. : eccesso b. 547 b. 547 ( ( ( ( Possamo rteere che la soluzoe è TAN 5% - TAEG Il DCF, teedo coto delle spese aggute preste dal cotratto, deterà: 45

46 Coè ( ( 3 ( 547. ( Poamo 96 che: ( , 577. e ( 96 ( 577. ; allora secodo la (4 aremo ( ( Poedo TAEG, sappamo, dagl stud precedet, che: Coè, el ostro esempo: < < ( < < Proamo ad applcare l metodo delle secat per troare l TAEG. Come gà studato, utlzzeremo come prma approssmazoe (per detto a : ( 46

47 a b ( b ( ( doe b aremo: ( ( ( M M M M M Possamo rteere che la soluzoe è TAEG 6.5% 47

48 Cocluso IL AN è l crtero pù utlzzato ella alutazoe d progett azar. Come abbamo osserato, però, o è esete da dett: l pù edete è la soggetttà ella scelta del tasso, per cu operator ders possoo perere, ella alutazoe degl stess progett, a cocluso derse. Ioltre l AN s basa sull potes che, per tutta la durata del progetto sarà possble estre captal al tasso e cò è, oamete, assa mprobable.. U tetato per cercare d redere oggetto l calcolo d è l utlzzo d ua meda poderata de tass che rappreseterebbero cost del captale, d deret proeeze, estto el progetto. Tale tasso medo è detto usualmete WACC (Weghted Aerage Cost o Captal. I prma aals, l crtero del TI appare rspodere peo a requst rchest: è teramete oggetto, poché, base ad esso, operator ders, ella stessa stuazoe, gugoo d ecesstà alle stesse cocluso (cò che ece o accadea co l crtero del AN e s oda esclusamete sulle caratterstche trseche de progett da corotare. Ad u esame pù approodto emergoo ache dett d tale crtero. Ha seso dcharare che solgere u operazoe aete TI, equale ad mpegare gl stess captal a questo tasso quato se aulla l DCF, cò uol dre che esso rede l motate delle etrate uguale a quello delle uscte: duque, se o alla e dell operazoe captal s possoo estre al tasso, compere l operazoe o estre al d uor d essa dà gl stess rsultat. Come s ede, la logca sottesa alla ozoe d TI è la stessa che da seso a quella del AN, e e codde duque l detto d odo: che è 4

49 quello d potzzare l essteza d u tasso uco costate per ua durata ache oteole. Per quato rguarda metod per la rsoluzoe approssmata d equazo, assoluto, l metodo che coerge pù rapdamete erso la soluzoe è certamete l metodo d Newto. D cosegueza per l tpo d equazo cosderato, è l metodo pù ecace. I alcu cas però è preerble utlzzare l metodo delle secat poché o comporta l utlzzo della derata prma della uzoe e può rsultare, per questo moto, maggormete precso. 49

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