CAP. 5 MODELLO STATISTICO LINEARE

Transcript

1 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 Modello statstco leare CAP 5 MODELLO STATISTICO LINEARE Itroduzoe S suppoga ce la mafestazoe d uo specfco feomeo, ad esempo la domada d u certo bee d cosumo da parte delle famgle, sa dcata co e ce sa possble osservare mafestazo del feomeo stesso,,,,, S potzz, oltre, ce altr fattor, ad esempo reddto dspoble, prezzo del bee, prezzo d be sosttutv, ecc, fluscao sulle determazo Se co,,,,, m s dcao tal fattor, è potzzable tra la varable e le varabl ua relazoe del tpo f,,,,, m ce, per cascua utà statstca d osservazoe (ad es la famgla), dveta f,,,, per =,, S suppoga ora ce le m varabl possao essere dstte tre grupp: le prme k varabl,,, rappresetao feome osservabl e soo molto fluet sul k feomeo, le successve varabl (,,, ), sempre molto fluet su m k k k, o soo osservabl, metre le resdue varabl,,, k soo poco k fluet su Per quato sopra detto e troducedo l potes d addtvtà degl effett, s può rscrvere la relazoe precedete el modo seguete f,,,,,,, v k k k k dove v rassume u uca varable l effetto combato de fattor poco fluet Essedo, comuque, o osservabl le varabl ( k,k,,k ) s è costrett ad trodurre u ulterore approssmazoe e, sempre ell potes d addtvtà degl effett, la relazoe zale dveta f,,, w v k dove la varable w rappreseta l effetto d fattor fluet ma o osservabl Ovvamete, l approssmazoe ora trodotta potrebbe rsultare o del tutto accettable e compromettere, qud, la capactà rappresetatva del modello Se s troduce u ulterore approssmazoe: la leartà (dove la leartà va tesa el seso sotto precsato) degl effett de fattor fluet ed osservabl s a z w v k k dove z rappreseta l effetto o leare su delle varabl m,,, k 75

2 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare La relazoe (modello aaltco rappresetatvo del legame tra l carattere, varable dpedete o varable edogea, ed fattor,,,, varabl k dpedet o varabl esplcatve o varabl esogee) può essere rscrtta ella forma u dove k k u z w v rappreseta la cosddetta compoete accdetale e k k rappreseta la compoete sstematca del modello S sottolea ce la leartà è rferta a coeffcet varabl,,, k, coè, la geerca varable,,, e o alle k può rappresetare, sa la mafestazoe osservata d u feomeo ce s rtee fluete su, sa qualuque trasformazoe ota d tale mafestazoe ad esempo, 3, /, log, o ace l effetto combato d pù varabl (terazoe),, k, ecc, 3 5 Il modello statstco leare sopra defto assume dverse caratterzzazo relazoe alla atura delle varabl serte el modello stesso Se tutte le varabl, sa la varable dpedete ce le varabl esplcatve ( =,,, k), soo quattatve, espresse coè co scala d tervallo o d rapporto, l modello vee detto d regressoe leare Nel caso cu la varable dpedete a atura quattatva metre le varabl esplcatve ao atura qualtatva, soo coè varabl categorce (mutabl statstce), s parla d modello d aals della varaza (ANOVA quale acromo d ANalss Of VArace) Quado alcue varabl esplcatve ao atura qualtatva ed altre atura quattatva e la varable dpedete è quattatva, l modello vee detto d aals della covaraza (ANCOVA quale acromo d ANalss of COVArace) Nel caso cu, è la varable dpedete ad avere atura qualtatva metre le varabl dpedet soo quattatve s parla d modell Logt, Probt e Tobt relazoe alla trasformazoe cu vee assoggettata la varable dpedete ce per la sua atura poltomca vee usualmete espressa dal smbolo ce dca la probabltà ce a l -esma osservazoe ( =,, ) d rcadere ella -esma categora ( =,, m) della varable rsposta, coè, P( Y ) per ( =,, m) De modell rcamat, questa sede s procederà alla descrzoe suffcetemete dettaglata del solo modello d regressoe leare (semplce e multpla) e del modello d aals della varaza (sa ella formulazoe classca, collegato al pao o dsego degl espermet, sa ella sua espressoe term d modello d regressoe) segalado, però, ce se el modello d regressoe multpla s potzza per la Nelle stuazo d rcerca elle qual dat raccolt soo rfert a varabl categorce, e ce usualmete vegoo rappresetat tabelle d cotgeza (tabelle ce rportao le frequeze delle osservazo ce rcadoo elle vare combazo delle categore relatve alle dverse varabl), se ua delle varabl vee trattata come varable dpedete (varable rsposta), l rfermeto soo sempre modell logt, probt o tobt, se vece tutte le varabl vegoo trattate alla stessa stregua ( modo smmetrco) modell d rfermeto vegoo dett Log-lear D partcolare teresse, soprattutto per le loro mplcazo operatve, soo modell propost letteratura per trattare dat categorc d tpo ordale Il testo classco d rfermeto è McCullag e Nelder (97, 989 d ed), per ua buoa troduzoe all argometo s può utlmete cosultare Dobso () 76

3 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare compoete accdetale l apparteeza alla famgla espoezale var modell elecat possoo essere trattat maera utara rappresetado partcolar specfcazo d u uca categora ce è quella de modell statstc lear geeralzzat (Nelder e Wedderbur, 97) 5 - Modello d regressoe leare semplce Se s dspoe d osservazo per cascua osservazoe varrà la relazoe: u per,,, u Per k =, e poedo leare semplce (ua sola varable esplcatva) k k, s ottee l espressoe del modello d regressoe u dove, ce per le osservazo dspobl, dveta u u per,,, S rcorda ce può rappresetare, sa la mafestazoe dretta (osservazoe) del feomeo rappresetato co l smbolo algebrco, sa ua qualuque trasformazoe ota d tale mafestazoe o combazoe ota delle varabl esplcatve Se s dspoe d coppe d osservazo, sulle due varabl d teresse e s procede alla loro rappresetazoe el pao cartesao, Fg 5 e Fg 5, ce evdezao, rspettvamete, l caso d ua sola osservazoe ( =,,,) corrspodeza d cascua modaltà ( u (cfr Fg ), e l caso d pù osservazo,,,s;,,, ) corrspodeza d cascua modaltà (cfr Fg 5) Fg, 5 Dstrbuzoe potetca d coppe d osservazo (ua sola osservazoe corrspodeza d cascua modaltà osservata della ) 77

4 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Spezzata d regressoe codzoate Costruta sulle mede delle dstrbuzo 3 s- s Fg 5 - Dstrbuzoe potetca d coppe d osservazo (pù osservazo d corrspodeza d cascua modaltà osservata della ) I etrambe le stuazo prospettate è potzzable ua relazoe d tpo leare tra le due varabl; fatt, s può osservare come le due rette sovrapposte alle uvole d put (cfr Fgg: 53 e 54) rappreseto modo abbastaza soddsfacete l adameto de put stess per =,,, Fg, 53 Dstrbuzoe potetca d coppe d osservazo e retta terpolate (ua sola osservazoe corrspodeza d cascua modaltà osservata della ) 78

5 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Spezzata d regressoe codzoate Retta d regressoe Costruta sulle mede delle dstrbuzo 3 s- s Fg 54 - Dstrbuzoe potetca d coppe d osservazo e retta terpolate (pù osservazo d corrspodeza d cascua modaltà osservata della ) D rette sovrappobl a put e esstoo u umero fto, s tratta, allora, d dvduare quella rteuta mglore sulla scorta d u prefssato crtero d ottmaltà, Il problema dal puto d vsta statstco è, duque, quello d procedere alla stma ottmale de due parametr cogt (coeffcet ce defscoo la retta) (tercetta) e (coeffcete d regressoe) o, pù geerale, utlzzare le coppe d formazo campoare, per fare fereza sul modello leare ce s rtee possa rappresetare maera soddsfacete l legame ce sussste tra le due varabl d teresse e ce ua sorta d popolazoe teorca (super-popolazoe) dovrebbe, prescdedo dalla compoete accdetale, rsultare d tpo determstco Se la relazoe fosse perfetta corrspodeza d cascu valore s dovrebbe osservare u uco valore uguale ad, realtà, come gà sottoleato, ua tale evetualtà s rscotra molto raramete ella pratca operatva: la compoete sstematca del modello spega soltato ua parte della varable dpedete; ad esempo, se s pesa ce la domada d u certo bee dpeda dal reddto dspoble è abbastaza ovvo potzzare ce o tutt soggett possesso d uo stesso ammotare d reddto domado la stessa quattà del bee, la relazoe tra reddto (varable ) e quattà del bee domadato (varable ) è, pertato del tpo u e o Nel modello trodotto le quattà ote soo duque ed metre le quattà o ote soo, e, qud, e u S tratterà allora d utlzzare le formazo campoare dspobl per procedere ad ua stma (putuale o d 79

6 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare tervallo) delle ettà cogte e, evetualmete, alla verfca d potes statstce sulle ettà stesse Le stme e d e cosetoo d otteere valor stmat sa d ( ) ce d u ( u ) 5 Ipotes d specfcazoe (caso A) Sul modello d regressoe leare semplce vegoo usualmete trodotte delle potes ce specfcao le codzo d base ce s rtee, quatomeo va d prma approssmazoe, sao soddsfatte e ce per la loro atura caratterzzao modo partcolare l modello stesso ce vee detto modello classco d regressoe leare semplce Le potes d specfcazoe rguardao la varable (esplcatva o dpedete) e, soprattutto la compoete accdetale u : le ( =,,,) soo quattà costat rpetut campo, soo, coè, o varabl matematce o determazo d varabl casual, quest ultmo caso l aals vee effettuata codzoatamete a valor,,, ; le varabl casual u ao valore atteso (meda) ullo E u per =,,, ; 3 le varabl casual u ao varaza costate (omoscedastctà) E u per =,,,; Var u 4 le varabl casual u soo correlate (correlazoe) Cov u,u E u,u per =,,, Le cosegueze sulle varabl (ace esse varabl casual quato trasformazo lear d varabl casual) delle potes trodotte soo: a E E / b V ar Var σ C ov c per =,,,; / per =,,,;, per =,,, Sulla scorta delle potes d specfcazoe trodotte, s può procedere alla stma putuale de due coeffcet cogt e Se co e co s dcao le due stme otteute, e rsulta d cosegueza ce la stma d è, come gà sottoleato, data da ŷ per =,,, S ot ce per semplctà d otazoe è stato utlzzato l carattere muscolo per dcare sa le varabl casual ce le loro determazo, dal cotesto rsulta cara la atura assuta dal carattere La stessa soluzoe è stata adottata ace per altr caratter 8

7 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 8 metre la stma d u e data da ŷ û ce vee detto resduo d regressoe o errore d regressoe Ioltre, a ragoe dell potes u E, s a 5 Stma de mm quadrat S è gà avuto modo d acceare precedeza al metodo d stma de mm quadrat sottoleado, partcolare, l largo mpego del metodo stesso ell ambto de modell statstc lear, l modello classco d regressoe leare costtusce la specfcazoe pù semplce d tale classe d modell Se s poe, Q l metodo d stma de mm quadrat s sostaza ella rcerca de valor e ce mmzzao la somma de quadrat degl scart sopra defta Per dvduare tale mmo basterà determare l puto d stazoaretà (ce è scuramete u puto d mmo avedo a ce fare co ua fuzoe quadratca l cu puto d massmo è fto) della fuzoe, Q ce s ottee rsolvedo l sstema:, Q, Q ce dveta, Q, Q coè Rsolvedo l sstema delle due equazo elle due cogte e s ottee

8 B Cadotto Versoe 7 dove e Cap 5 - Modello statstco leare Codev Dev, σ σ E possble a questo puto rproporre le Fgg 53 e 54 dove le rette terpolat o soo pù rette geerce ma quelle (cfr Fgg 55 e 56) ce dervao dall applcazoe del metodo de mm quadrat (rette de mm quadrat) Nella Fg 56 è stata serta ace l potes d ormaltà de valor assut dalla varable corrspodeza d cascu valore assuto dalla varable ; ma su quest ultmo aspetto s avrà modo d torare successvamete b / Fg, 55 Dstrbuzoe potetca d coppe d osservazo e retta de mm quadrat (ua sola osservazoe corrspodeza d cascua modaltà osservata della ) k Fg 56 - Dstrbuzoe potetca d coppe d osservazo e retta de mm quadrat (pù osservazo d corrspodeza d cascua modaltà osservata della ) 8

9 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 83 Le varaze degl stmator soo: σ σ Var σ σ Var Var fatt, valedo le relazo d uguaglaza: dove a a dove b b

10 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 84 dove r r r r c c e rcordado ce la varaza d ua combazoe leare d varabl casual dpedet è par alla combazoe delle varaze delle sgole varabl casual co coeffcet elevat al quadrato s a: a σ Var a a V ar da cu: σ σ σ a a Var Var var var Var Var b b σ σ

11 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Var Var c c var σ r r ma σ r r r r r r r r ed ace r r r r r r qud Var σ r r Seguedo la stessa procedura, rsulta facle ace la dervazoe della covaraza tra le due varabl casual stma e Cov, σ σ Per quato sopra detto s ottee ŷ Se s procede al calcolo della varaza dello stmatore espressoe s a: basados su questa 85

12 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 86 σ σ σ σ, Cov Var Var Var σ Var ce cocde co l espressoe gà otteuta S sottolea ce le stme de mm quadrat godoo delle propretà specfcate dal teorema ce segue Teorema (Gauss-Markov): Le stme de mm quadrat d e soo d mma varaza ell ambto delle stme lear e corrette (BLUE dall glese Best Lear Ubased Estmator) Dmostrazoe S procederà alla dmostrazoe per, cosderazo aaloge possoo essere svolte e cofrot d Lo stmatore è leare e corretto; fatt: b (leartà) oltre E E E (correttezza)

13 B Cadotto Versoe 7 coè Cap 5 - Modello statstco leare S cosder ora u geerco stmatore leare e corretto d, ad esempo, dove, per l vcolo d correttezza deve rsultare E E E e Teedo coto d quato sopra scrtto, s dmostra ce Var Var Var Var b b b dove b b b b b b b b b Var b Var per l vcolo della correttezza qud e = Var b Var Var dove, l sego d uguaglaza vale solo quado b 87

14 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 88 Come s può osservare le varaze degl stmator, e ŷ dpedoo dalla varaza (parametro d dsturbo), usualmete cogta, della compoete accdetale Ua stma corretta d tale parametro è data da û ŷ dove, come gà sottoleato, ŷ û rappresetao resdu d regressoe (cfr Fg 57), metre la stma della varaza della compoete accdetale vee usualmete detta varaza resdua e msura la parte (stmata) della varabltà della (varable dpedete) o spegata dalla varable esplcatva (varable dpedete) Da quato detto rsultao le seguet stme delle varaze degl stmator Var Var σ σ σ ar V u Fg 57 - Dstrbuzoe potetca d coppe d osservazo, retta de mm quadrat e resdu d regressoe u û û k

15 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 53 Ipotes d specfcazoe (caso B: ormaltà della compoete accdetale) Se alle quattro potes d specfcazoe trodotte precedeza s agguge l ulterore potes d ormaltà della dstrbuzoe della compoete accdetale u, N per =,,, e derva, come cosegueza dretta, la ormaltà della dstrbuzoe delle N, σ oltre, rcordado ce el caso d varabl casual ormal la correlazoe ulla mplca l dpedeza, le varabl casual rsultao statstcamete dpedet, da cu: v N, σ N, σ ŷ N,σ u σ v = σ Le cosegueze espresse a put,, e v soo d mmedata verfca, fatt: ) le varabl u soo dstrbute ormalmete quato trasformazo d varabl casual ormal; ) le varabl, e soo dstrbute ormalmete quato espresse da combazo lear d varabl casual ormal dpedet Meo mmedata è la cosegueza espressa al puto v I grad d lbertà dervao dal fatto ce rspetto agl grad d lbertà orgar (le osservazo campoare), due grad d lbertà s perdoo ella operazoe d stma; fatt, vegoo mpost due vcol per otteere le stme d e Pertato, metre le costtuscoo varabl casual dpedet, le varabl casual ŷ, devoo soddsfare due vcol trodott per otteere le stme e Ioltre, ell uverso de campo, le due varabl casual stma e ao dstrbuzoe dpedete dalla varable casuale û χ co W ce a, come gà sottoleato, ua dstrbuzoe d tpo σ grad d lbertà L potes d ormaltà gà trodotta ella Fg 56, trova ua pù esplcta rappresetazoe ella Fg 58 89

16 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare f ( u ) Fg 58 Ipotes d dstrbuzoe ormale della compoete accdetale el modello d regressoe leare semplce 54 Stma d massma verosmglaza L troduzoe dell potes d ormaltà cosete l calcolo della verosmglaza del campoe e d procedere, pertato, all uso del metodo della massma verosmglaza per otteere la stma de parametr cogt, e La verosmglaza del campoe è data da dove L,, σ /,,, ;,,, L,,σ /, L,, σ / σ σ e π e πσ,,, e,,, Le stme d massma verosmglaza de parametr cogt s ottegoo faclmete dervado ed uguaglado a zero le dervate del logartmo della verosmglaza Rsulta facle verfcare ce le stme d massma verosmglaza e cocdoo co le stme de mm quadrat e, metre la stma d massma 9

17 B Cadotto Versoe 7 verosmglaza della varaza ~ ~ Cap 5 - Modello statstco leare è data da û ~ ; ovvamete, u ~ û e S segala ce per dervare le stme d massma verosmglaza e s può ace evtare l rcorso alla dervazoe della verosmglaza (o della logverosmglaza); fatt, al rguardo basta osservare ce l massmo della verosmglaza rspetto a e s ottee quado è mma la quattà rportata ad espoete dell espressoe e, coè l mmo d ce è l espressoe d base del metodo de mm quadrat Relatvamete alle stme d massma verosmglaza otteute s deve sottoleare ce gl stmator e pur cocdedo umercamete co gl stmator e da quest s dversfcao quato (Teorema d Rao) soo d mma varaza ell ambto degl stmator corrett (BUE dall glese Best Ubased Estmator), oltre, la stma ~ della varaza o è corretta, coè, E ~ 55 Stma d tervallo Per quato sopra rcamato, s può procedere faclmete alla dervazoe delle stme d tervallo per parametr cogt, e e per le quattà e Ifatt, facedo rfermeto alla stuazoe pù usuale, ce è quella della o coosceza del valore assuto dal parametro d dsturbo (varaza della compoete accdetale), per prefssato s ottegoo gl tervall sotto rportat P t t - / / P t t - / / P / / S segala ce l ultmo tervallo è stato dervato dstrbuedo smmetrcamete l valore d elle due code della dstrbuzoe e ce l tervallo per s ottee attraverso passagg sotto rportat (ragoameto aalogo vale per l tervallo relatvo a ) Pocé 9

18 B Cadotto Versoe 7 s avrà Cap 5 - Modello statstco leare N,σ Z = σ N, ce o è elemeto pvotale essedo cogta la varaza varaza della compoete accdetale; fatt σ σ ma, se s tee presete ce σ W χ - σ e ce Z e W soo varabl casual dpedet, s a T W / t σ ( ) σ σ dove è presete la ce rappreseta la varable casuale t d Studet co (-) grad d lbertà (elemeto pvotale) ce cosete la dervazoe dell tervallo sopra rportato applcado l procedmeto d dervazoe degl tervall d cofdeza llustrato el Cap 3 L tervallo d stma relatvo alle varabl assume partcolare rlevaza; fatt, u tale tervallo può teressare sa valor corrspodet a valor osservat d, coè,,,, sa valor o osservat d tale varable Ad esempo, s potrebbe aver teresse a determare u tervallo d stma per u valore o osservato stma per tervallo d tervallo d prevsoe e la quattà prevsoe p e/o per p ce corrspodoo ad p ma assumble dalla varable Quado s procede alla p, l tervallo stesso assume la partcolare cootazoe d Ipotzzado la o coosceza della varaza l tervallo per u geerco valore p u vee detto errore d p p σ della compoete accdetale,, corrspodet a valor osservat della varable esplcatva, può essere determato facedo rfermeto alla varable casuale t d Studet (elemeto pvotale) T ŷ ŷ ŷ ŷ 9

19 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 93 ed ace per p e p corrspodet a valor o osservat d p p p p p σ σ T p p Gl tervall, per u prefssato lvello d cofdeza - e per valor osservat e o osservat d, soo: α - σ t ŷ σ t ŷ P ŷ α/ ŷ α/ coè α σ σ α α t ŷ t ŷ P / / e -α σ t σ t P p p α/ p p α/ p coè α σ t σ t P p α/ p p p α/ p Capta spesso, e cò avvee soprattutto quado s vogloo effettuare prevso, d essere teressat alla determazoe d tervall d stma o per l valore teorco (coè l valore ce dovrebbe assumere la varable dpedete asseza d effett accdetal e ce è uguale, per le potes d specfcazoe trodotte, al valore medo E E u ma per l valore effettvo u (valore osservato od osservable ce clude, qud, ace l effetto della compoete accdetale) Per persegure u tale obettvo s deve osservare ce, come gà sottoleato, le stme putual d u geerco valore ŷ e ŷ, corrspodete ad ua determazoe ( = = p o qualuque altro dce), cocdoo, coè ŷ ŷ, le loro varaze soo però dverse; fatt, se s cosdera l errore d prevsoe ŷ û s a: u E û E

20 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Var u E u E u - -, E u Var Var Cov Var u pertato l tervallo d stma per coè P ŷ t α/ σ L tervallo per P è dato da σ ŷ ŷ tα/ tα/ σ -α ŷ ŷ ŷ t rsulta pù ampo d α/ σ quello relatvo ad α ; fatt: alla varabltà dovuta alla stma d e s agguge la varabltà dotta dalla compoete accdetale u ; oltre, l ampezza degl tervall così determat dpedoo fortemete dallo scarto e rsultao tato pù amp quato pù l valore d fermeto della s allotaa dal suo valore medo L evdezazoe grafca d tale stuazoe è rportata ella Fg 59 94

21 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Itervallo d cofdeza per ŷ Itervallo d cofdeza per Fg 59 Itervall d cofdeza per valor med e per valor dvdual 56 Test delle potes Per quato detto elle page precedet e el Cap 4, è ora possble rsolvere faclmete qualuque problema d test delle potes rguardo alle ettà cogte preset el modello d regressoe leare semplce Ifatt, sotto la codzoe d ormaltà della dstrbuzoe della compoete accdetale, basterà fare rfermeto alle varabl casual (varabl casual test) T,T,T, T e W sopra defte " ŷ ŷ Se, ad esempo, s volesse rsolvere l problema d test delle potes H : H la regoe d rfuto dell potes ulla (essu effetto della varable esplcatva sulla varable dpedete ) rsulterebbe defta da sem-tervall (, t / ) e ( t /, +) Se l problema d test fosse H : : H : coè, d effetto ullo cotro effetto egatvo (e questo potrebbe essere u caso d teresse quado, ad esempo, rappreseta l prezzo d u certo bee ed la domada del bee stesso: al crescere del prezzo la domada del bee dovrebbe dmure) La regoe crtca del test (rfuto dell potes ulla) è costtuta dal semtervallo (, t ) 95

22 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Le procedure d test sopra rcamate dervao dall applcazoe del test del rapporto d verosmglaza ce, come gà sottoleato, forsce (quado esste, e cas cosderat retrao questa categora) l test uformemete pù potete, el caso d potes alteratva udrezoale, l test uformemete pù potete ella classe de test o dstort, el caso d potes alteratva bdrezoale 57 Trasformazo d modell o lear È stato precsato ce la leartà del modello d regressoe semplce è rferta a coeffcet e o alla varable; fatt, ad esempo, l modello perfettamete equvalete al modello è del tutto ovva, fatt, se s poe semplce z è 3 sopra cosderato L equvaleza 3 z, s ottee l modello d regressoe leare Le cosderazo svolte valgoo qud per tutt modell lear e parametr cogt ce l caratterzzao E, tuttava, possble molt cas d teresse applcare le stesse procedure a modell o lear e parametr, è cò accade tutte le volte cu rsulta possble rcodurs alla stuazoe d leartà operado opportue trasformazo del modello o leare Ovvamete, quado s operao delle trasformazo sa le potes d specfcazo sa le cocluso cu s pervee vao rferte al modello trasformato e o al modello orgaro Alcu esemp sgfcatv soo quell sotto rportat u ) e log log log u, la trasformata logartmca forsce l modello doppo logartmco u ) e e log u e e log log u u e e log log u u le cu trasformate logartmce forscoo modell semlogartmc 5 - Coeffcete d correlazoe leare Il coeffcete d correlazoe leare è stato trodotto come dce relatvo d cocordaza (rapporto tra l dce assoluto d cocordaza covaraza ed l valore massmo ce può assumere e ce è dato dal prodotto tra gl scostamet quadratc med ), coè Codev Dev, Dev 96

23 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Tale coeffcete è ace uguale alla meda geometrca de due coeffcet d σ Codev, σ Codev, regressoe b/ e b / Ifatt, σ Dev σ Dev rfermeto al modello massma verosmglaza) d è par a u modello leare del tpo u la stma de mm quadrat (e della / Dev σ Codev, σ b, se s potzza v e s troducoo le usual potes d specfcazoe, la stma de mm quadrat (e della massma verosmglaza) d è par a, / Dev Codev b dal ce rsulta quato affermato: Codev, b/ b / Dev Dev Ua terza, forse la pù teressate, terpretazoe del coeffcete d correlazoe leare d Bravas-Pearso derva dalle osservazo ce seguoo Dato l modello u per =,,, ce soddsfa alle potes d specfcazoe trodotte, la devaza totale della varable osservata è data da Dev ( T) Dev ( ) Dev r Dev R dove Dev r vee detta devaza resdua e msura la parte della devaza totale della varable ce o rsulta spegata dalla supposta relazoe co la varable ; Dev R = ŷ vee detta devaza d regressoe e msura quata parte della devaza d è spegata dalla relazoe leare co la varable Il rapporto tra devaza d regressoe e devaza totale Dev R Dev r R Dev T Dev T usualmete detto dce d determazoe, assume valor compres ell tervallo (, ): assume valore quado tutt valor ŷ ŷ ce s trovao sulla retta d regressoe soo ugual tra loro e, qud, ugual a (meda della varable ), assume valore quado tutt gl scart ŷ soo ugual a zero, coè, quado tutt put osservat s trovao sulla retta d regressoe (adattameto totale del modello) 97

24 B Cadotto Versoe 7 Teedo presete ce s avrà Cap 5 - Modello statstco leare σ σ σ 4 σ σ Dev R R Dev σ / σ σ R ρ Dev T σ σ σ coè: l dce d determazoe è uguale al quadrato del coeffcete d correlazoe leare, l ce cosete d terpretare tale quadrato come msura della proporzoe della varabltà totale della varable ce rsulta spegata dalla supposta relazoe leare co la varable Se corrspodeza d cascua modaltà ( =,,,s) della varable, s dspoesse d pù osservazo ( =,,, ), s potrebbe procedere alla seguete scomposzoe della devaza totale della varable dove: s s Dev ( T) Dev ( ) s s s s s s e le tre dverse devaze otteute dalla scomposzoe (s rcorda ce dopp prodott soo tutt ull) soo d facle terpretazoe: u caso come prmo elemeto d rfermeto s cosderao valor ce s trovao sulla retta d regressoe (cfr Fg 5), el secodo caso l prmo elemeto d rfermeto soo valor (mede d gruppo) ce s trovao sulla spezzata d regressoe 98

25 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare u ŷ Fg 5 Scomposzoe della devaza totale della varable Se s vuole sottoporre a test l potes d u effetto sgfcatvo della varable sulla varable, s può procedere come sopra dcato, coè formulado l potes: H : H : od ace facedo rcorso ad u test d botà d adattameto del modello S è gà osservato ce σ W χ σ se s cosdera ora la varable ce a legge d dstrbuzoe Dev V varable W ; ce a legge d dstrbuzoe (rapporto tra due varabl F R co u grado d lbertà ed è dpedete dalla co (-) grad d lbertà, la varable dpedet dvse per rspettv grad d lbertà) : / V W / H a, sotto l potes : (quado l potes è vera) legge d dstrbuzoe del tpo F d Fser-Sedecor co e (-) grad d lbertà 99

26 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Da rlevare ce sotto l potes H : cotro l potes H : vale l uguaglaza T F,, l ce porta a cocludere ce el caso d regressoe leare semplce la procedura per sottoporre a test l potes d adattameto del modello e l potes (bdrezoale) sul coeffcete agolare della retta d regressoe soo del tutto equvalet I proposto vale la pea, fe, segalare ce tale procedura equvale ace a quella relatva al test dretto sul coeffcete d correlazoe ; fatt, sotto l potes H :ρ cotro l potes alteratva H :ρ, la varable casuale test d rfermeto è Dev Dev R T : / T Dev Dev T 53 - Modello d regressoe leare multpla Se s dspoe d k-uple (,,, k ) d osservazo e per cascua osservazoe s potzza la relazoe: u per,,, 3 3 dove s è posto per,,,, s ottee l espressoe del modello d regressoe leare multpla (k- varabl esplcatve) Utlzzado la otazoe matrcale le relazo possoo essere rappresetate forma compatta dove: k X u u, k, k,,,,, X kk,, 3 k u 3 k u ; X ; ; k, u, u u 3 k k, k, 3 k 53 Ipotes d specfcazoe (caso A) Come el caso del modello d regressoe leare semplce vegoo trodotte delle potes ce specfcao le codzo d base ce s rtee, quatomeo va d prma k 3

27 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare approssmazoe, sao soddsfatte e ce per la loro atura caratterzzao modo partcolare l modello stesso ce vee detto modello classco d regressoe leare multpla Le potes d specfcazoe rguardao le varable esplcatve (dpedet, esogee) e, soprattutto, la compoete accdetale u : la matrce delle varabl esplcatve X è d rago massmo,k k, r X k ed è costtuta da quattà costat rpetut campo, s tratta, coè, o d varabl matematce o d determazo d varabl casual, quest ultmo caso l aals vee effettuata codzoatamete a valor osservat; 3 l vettore casuale u a valore atteso (meda) ullo, E u,, 4 la matrce d dspersoe (matrce d varaze e covaraze) del vettore casuale u,,,, Var u Σ E u u I dove I rappreseta la matrce dettà, questa potes specfca ce le varabl casual u soo correlate ed omoscedastce Le cosegueze sul vettore casuale omette per semplctà la dmesoe delle matrc): E E / X X a b u delle potes trodotte soo (da ora po s, Var Var X I / Sulla scorta delle potes d specfcazoe trodotte, s può procedere alla stma putuale del vettore de coeffcet d regressoe cogt 53 Stma de mm quadrat S è gà avuto modo d acceare precedeza al metodo d stma de mm quadrat sottoleado, partcolare, l largo mpego del metodo stesso ell ambto de modell statstc lear, l modello classco d regressoe leare costtusce la specfcazoe pù semplce d tale classe d modell Se s poe - Q - X - X = - X - X + XX = = - X + XX l metodo d stma de mm quadrat s sostaza ella rcerca de valor del vettore de k parametr ce mmzza la somma de quadrat degl scart (forma quadratca) sopra defta Per dvduare tale mmo basterà determare l puto d stazoaretà (ce è scuramete u puto d mmo avedo a ce fare co ua fuzoe quadratca l u, 3

28 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare cu puto d massmo è fto) della fuzoe Q ce s ottee rsolvedo l sstema: dove Q - X + XX X XX - XX X = XX X Dalle stme de mm quadrat s dervao le stme d e = = X XX - P = X XX - X = P e resdu d regressoe soo deft dalla relazoe - u = - = - X = - X XX X = dove X - = I - X XX X = M = M u - M = I - X XX X Le matrc dempotet e smmetrce P ed M sopra defte vegoo dette matrc fodametal de mm quadrat S verfcao faclmete le relazo qud P = P ; M = M ; P X = X ; M X = ; P = X + u = P + M metre la somma de quadrat de resdu è data da Se co,,, - - = u u = M M = ; P + M = I s dca l vettore utaro, la meda delle osservazo relatve alla varable è defta da metre l vettore degl scart è dato da s = - e la somma de quadrat degl scart da s s = s s = - - = ( ) - ( ) - - u u u = u u + s s = u + s 3

29 B Cadotto Versoe 7 dove Cap 5 - Modello statstco leare u =, quato ella matrce X è presete l terme costate, e s = - Le formule sopra rportate rpropogoo, relatvamete al modello d regressoe leare multpla, quato gà vsto trattado della regressoe semplce merto alla scssoe della devaza totale della varable, fatt: Dev (T)= Dev () s u u + s s = u + s Dev r Dev R dove, come gà sottoleato, Dev r è la devaza resdua ce msura la parte della devaza totale della varable ce o rsulta spegata dalla supposta relazoe co le varabl, 3 k metre Dev R =,, è la devaza d regressoe ce msura quata parte della devaza d è spegata dalla relazoe, leare e parametr,,, k, co le varabl, 3,, k Il coeffcete d determazoe, ce msura la percetuale d devaza totale della varable spegata dalla regressoe, è defto da R u Dev R Dev r u s = - Dev T Dev T s s s ovvamete, R Teorema d Gauss-Markov Gl stmator de mm quadrat de coeffcet d regressoe = X X - X soo mglor stmator ell ambto degl stmator lear e corrett, soo, coè, BLU(E) La leartà è del tutto evdete, la dmostrazoe della correttezza è mmedata, - fatt, rcordado ce e E X X X X = I, I = u =, s a E = E X E E X X = X X X X + u = X X X X + X X X u = Per dmostrare l effceza per u vettore d stmator s deve procedere alla defzoe della matrce dell errore quadratco medo Per = X X - X s a 33

30 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare EQM = Var = = E - - = E - - = (X X) X - (X X) X - = E - - = (X X) X X + u - (X X) X X + u - = = E (X X) X uu X(X X) = (X X) X E uu X(X X) = = (X X) X σ I X(X X) = σ (X X) U vettore d stmator s dce effcete almeo quato u dverso stmatore se la matrce A EQM EQM è semdefta postva (s rcorda ce ua matrce A s dce semdefta postva se A per tutt gl R ) S cosder ora u qualuque altro stmatore leare e corretto d = C dove C è ua matrce (,k) d coeffcet ce, a ragoe del vcolo d correttezza, deve soddsfare la relazoe E = E C = E C X + u = coè C X = I Teedo presete ce - - = + - = + C - X X X = + C - X X X s a coè EQM Var σ E = = C C = - - = = σ (X X) + σ C - X X X C - X X X - - EQM = EQM + σ C - X X X C - X X X dove la matrce - - C - X X X C - X X X = - = C C - X X = C C - C X X X - X X X C + X X X X X X = 34

31 B Cadotto Versoe 7 è semdefta postva, pertato ace Cap 5 - Modello statstco leare A EQM - EQM = σ C C - X X è ua matrce semdefta postva I partcolare, per og coeffcete d regressoe l errore quadratco medo (ce cocde co la varaza) d u qualuque stmatore leare e corretto - d sempre maggore o uguale all errore quadratco medo dello stmatore de mm quadrat ; fatt: dove realzza solo quado - C = X X X Oltre a coeffcet d regressoe della compoete accdetale osserv ce 3 e è per =,,,k, e l uguaglaza s è usualmete cogta ace la varaza Per dervare uo stmatore corretto della varaza s u u = u Mu = Muu = M I = E E tr E tr σ σ - k - - tr M = tr M = I - X XX X = tr I - tr X XX X = - k pertato, ua stma corretta d è data da uu u Eσ = σ - k - k = dove (-k) rappresetao grad d lbertà assocat alla somma de resdu u ce dervao dalle osservazo orgare (ce per potes soo correlate) e da k vcol cu devoo soddsfare ce rsultao dalle k equazo ormal ce cosetoo d otteere le stme de coeffcet d regressoe = 3 S rcorda ce la tracca d ua matrce quadrata d orde è defta da tr seguet relazo: la tracca d uo scalare è lo scalare stesso; tr A B tr A tr B ; tr tr tr A = = a ; oltre valgoo le A B C C A B = = C B A per prodott coformabl 35

32 B Cadotto Versoe 7 Sosttuedo a la sua stma Cap 5 - Modello statstco leare ell espressoe - (X X), s ottee la stma della matrce d varaze e covaraze (matrce d dspersoe) del vettore degl stmator - Σ (X X) 533 Ipotes d specfcazoe (caso B: ormaltà della compoete accdetale) Se alle tre potes d specfcazoe trodotte precedeza s agguge l ulterore potes d ormaltà del vettore casuale u N, I e derva, come cosegueza dretta, la ormaltà della dstrbuzoe del vettore N X, I oltre, rcordado ce el caso d varabl casual ormal la correlazoe ulla mplca l dpedeza, le varabl casual rsultao statstcamete dpedet 534 Stma d massma verosmglaza La fuzoe d verosmglaza del vettore casuale è espressa dalla relazoe / L, f ep / ep - X - X l cu logartmo è: log L, log log - X - X Le stme d massma verosmglaza del vettore e d - e u u u u u = X X X soo date da: Come s può rlevare, le stme d massma versmglaza de coeffcet d regressoe cocdoo co le stme de mm quadrat, metre la stma della varaza è dversa e o è corretta S dmostra (teorema d Rao) ce gl stmator d massma verosmglaza soo BU(E), soo, coè, mglor stmator ( pù effcet) ell ambto degl stmator corrett Da quato sopra rportato dervao le seguet propretà: 36

33 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare N, N ( X, ) N ( X, ) - k dove = - σ X X, correlate, fatt: u u u u = σ - û k = I + X X ; oltre, e E - - Eu - I - X X X X uu X X X - - X X X X X X e qud, a ragoe dell potes d ormaltà, dpedet 535 Stma d tervallo e test delle potes - k uu soo È ora possble procedere alla stma d tervallo e alla verfca d potes statstce sa rguardo a coeffcet d regressoe ce alla varaza della compoete accdetale; oltre, s può procedere alla stma per tervallo delle varabl e - - Se s poe e ce seguoo V = X X W = I - X X, rsulta facle verfcare le relazo N, v N, v N, w dove v e w rappresetao valor ce occupao la - esma poszoe, rspettvamete, W = I - X X - - elle matrc V = X X e, ce rpropoe la stessa stuazoe gà esamata quado s è trattato del modello d regressoe leare semplce, l uca dffereza rguarda la varable casuale χ -k ce rsulta ora caratterzzata da ( k) grad d lbertà, essedo k parametr,,, stmat rspetto a parametr k, cosderat precedeza I partcolare s a: 37

34 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare v N, / v s / / s v k t Ua coveete geeralzzazoe d quato sopra rcamato è rappresetata dalla possbltà d sottoporre a verfca statstca potes su specfce combazo lerar de coeffcet d regressoe: H : R = r dove R è ua matrce d dmesoe (q,k) d rago q k, r u vettore d dmesoe q, co R e r ot Da quato sopra rportato derva ce - N σ R R, R X X R e, sotto l potes ulla H : R = r, s a - - R - r R X X R R - r χq pertato, per rsolvere l problema d test d potes H : R = r H : R r basta far rfermeto alla varable casuale test (usualmete detta statstca d Wald) - R - r R X X R R - r / q F k s / / k - - R - r R X X R R - r sq F q, k ce, come dcato, s dstrbusce come ua vc F d Fser-Sedecor co q e ( k) grad d lbertà 38

35 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Se ell ultma espressoe s poe q =, r = e R è u vettore d dmesoe (,k) co valore par ad el -esmo elemeto e per tutt gl altr elemet, rcordado ce F t,k k s ottegoo gl stess rsultat gà cosderat relatvamete a sgol coeffcet d regressoe U potes statstca d partcolare teresse è H : 3 k cotro l potes alteratva ce almeo u coeffcete sa dverso da Questa potes s specfca poedo q = k e: R = ; k Ik rk k,k Il test così specfcato dveta oltre: - - R - r R X X R R - r F F k, k sq s / k Dev R / k R k F u / k Dev r / k R k F k, k L ultma relazoe scrtta sta ad dcare sa l fatto ce l potes H 3 k : può essere espressa sa term d aals della varaza (cfr Tab 5), sa la relazoe tra l valore umerco assuto dall dce d determazoe test: tato pù prossmo ad è l valore assuto da la vc test R e la sgfcatvtà del R tato pù sgfcatva rsulterà 39

36 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Fote d varabltà Somma de quadrat (Devaze) Grad d lbertà Devaze mede Regressoe s s s k- s k / Resdua u u u -k u / k Totale s s s - F s F u / / k k Tab 5 Aals della varaza per l modello d regressoe Relatvamete all dce d determazoe R s deve osservare ce l valore umerco assuto dell dce stesso dpede strettamete dal umero d varabl esplcatve cluse el modello, al lmte, se l umero d tal varabl è par ad ( ), R ; fatt, questo caso l sstema d equazo ormal è costtuto da tate equazo quate soo le cogte (k = ) e l perpao d regressoe s adatterà perfettamete a tutt put osservat (la varaza resdua è uguale a ) Per tale ragoe, quado s procede alla stma d u modello d regressoe multpla per msurare la botà d adattameto del modello a dat osservat s fa usualmete rfermeto al cosddetto R corretto (per teer coto de grad d lbertà) defto da: R R k Al crescere del umero d varabl esplcatve serte el modello, per motv puramete umerc, cresce ace l valore assuto dall dce R metre l valore assuto dall dce R può ace dmure, cresce solo se l coeffcete d regressoe della uova varable serta rsulta statstcamete sgfcatvo Soo stat esamat due cas estrem d potes: sul sgolo coeffcete d regressoe H : per,3,, k ; su tutt coeffcet d regressoe assocat alle varabl esplcatve H : 3 k ; ovvamete, s possoo sottoporre a test potes su grupp d coeffcet o su combazo lear d coeffcet specfcado modo adeguato la matrce R ed l vettore r Ad esempo se s vuol sottoporre a test l potes H : 3 4, s dovrà porre: 3

37 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare R ; 3 r 3,k Esempo 5 I u artcolo del soo state stmate, utlzzado dat aual della cotabltà azoale regstrat Itala ell tervallo temporale , sa per l totale Itala sa per le quattro grad rpartzo terrtoral, tre dverse geeralzzazo della fuzoe aggregata del cosumo C Y u proposta da Kees el 936: C Y C u Brow 3 C C Y u Y Y Y Dueseberr C Y C Y u Houtakker - Talor dove C rappreseta l cosumo auale correte, C - l cosumo relatvo al perodo (ao) precedete a quello ce s cosdera, Y l reddto correte, Y l massmo reddto ragguto passato e Y l cremeto d reddto realzzatos ell utà d tempo (ao) cosderata Il modello d Brow a evdezato l pù elevato grado d rappresetatvtà, la sua superortà rspetto agl altr due modell è emersa modo evdete sa quado s è fatto rfermeto a crter statstc covezoal (capactà d adattameto, sgfcatvtà de coeffcet e capactà prevsoale) sa quado s è fatto rfermeto alla plausbltà ecoomca de rsultat cosegut Le cocluso cu s è perveut el 974 potavao, e dovevao, costture soltato l prmo passo verso ua pù approfodta coosceza del feomeo cosumo prvato Itala Ifatt, la valdtà de rsultat otteut è codzoata al completo soddsfacmeto delle potes d specfcazoe poste a base del modello Il macato soddsfacmeto delle potes comporta cosegueze egatve pù o meo rlevat sulla botà delle stme a secoda dell potes o soddsfatta e del grado d allotaameto dall potes stessa Nel u secodo cotrbuto sul tema, le potes d specfcazoe poste a base del modello d Brow soo state sottoposte a verfca emprca procededo, successvamete, all applcazoe delle tecce statstce d stma proposte letteratura ce al mometo rsultavao pù approprate per la rsoluzoe de problem coess al macato soddsfacmeto delle potes d specfcazoe Scopo del secodo lavoro o è stato, qud, quello dell dvduazoe del modello mglore ma, pù semplcemete, quello della scelta della metodologa pù adeguata per la stma d u modello rvelatos, a seguto d altre aals, suffcetemete rappresetatvo della stuazoe esame L aals codotta o è stata lmtata alla sola verfca emprca delle potes d specfcazoe e alla coseguete dvduazoe delle metodologe d stma pù adeguate ma s è proceduto ace ad u aals delle propretà struttural del modello d Brow, aals tesa all dvduazoe del processo d formazoe e trasformazoe della compoete aleatora del 4 Cadotto (974) 5 Cadotto (979) 3

38 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare modello stesso ce è sostazalmete la compoete rspetto alla quale gra parte delle potes d specfcazoe vegoo formulate Aals questa ecessara per due rago fodametal, la prma, dubbamete la pù rlevate, è quella ce veste l complesso problema dell applcabltà de metod dell fereza statstca ella rcerca ecoomca, la secoda rguarda l adeguatezza (come verfcato a posteror) d molte procedure d test proposte letteratura per la verfca emprca delle potes d specfcazoe poste a base del modello d regressoe La coclusoe pù rlevate cu s è perveut el secodo lavoro è stata, per u verso, la coferma della valdtà del modello d Brow per la rappresetazoe del feomeo cosumo, per altro verso, la robustezza del metodo d stma de mm quadrat ordar ce a forto, ace preseza d potes d specfcazoe o completamete soddsfatte, rsultat mglor dal puto d vsta terpretatvo rspetto a quell fort da metod alteratv d stma ce teevao coto del macato soddsfacmeto delle potes stesse Nelle rge ce seguoo vee rpreso l tema utlzzado dat aggorat e, a ttolo esclusvamete esemplfcatvo, llustrata ua procedura statstca rteute adeguata per la specfcazoe d ua fuzoe del cosumo ce rsult adeguata per la rappresetazoe della base dat utlzzata; la procedura d stma utlzzata è quella d mm quadrat I dat pres cosderazoe soo rportat ella Tab 5 S tratta d = 68 coppe d osservazo trmestral sulle varabl reddto lordo dspoble e spesa delle famgle per cosum fal Itala el perodo Reddto lordo dspoble Spesa delle famgle per cosum fal Trmestre Q Q Q Q Q Q Q Q Tab 5 - Reddto lordo dspoble e spesa delle famgle per cosum fal Itala 999/5 - Dat destagoalzzat Osservado la Fg5 s desume faclmete la ragoevolezza dell potes della preseza d ua relazoe leare (modello d Kees) tra cosumo e reddto; fatt, la stma de mm quadrat del modello forsce de rsultat ce cofortao ampamete tale potes (cfr Tab 5) Il prmo modello c e s cosdera è quello orgalmete proposto da Kees A C Y u ( =,,,) presuppoedo soddsfatte tutte le potes d specfcazoe classce poste a base del modello d regressoe 6, rsultat della stma de mm quadrat ordar soo rportat ella Tab 5, metre ella Tab 53 soo rportat valor relatv all aals della varaza S rcorda ce questo caso specfco (regressoe semplce) l valore della F d Fser rportato ella Tab53 è uguale al quadrato del valore della t d Studet rportato ella Tab 5 6 I realtà le potes o rsultao completamete soddsfatte ma, per l carattere esemplfcatvo dell aals svolta e per la robustezza de metod mpegat, s è preferto utlzzare l metodo de mm quadrat ordar Per u approfodmeto sul tema s può fare rfermeto a Cadotto (979) 3

39 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 6 5 Spesa delle famgle per cosum fal Reddto lordo dspoble 6 5 Spesa delle famgle per cosum fal Reddto lordo dspoble Stma de mm Coeffcet quadrat (tercetta) = Varaza degl stmator t d Studet p value 34384,54-3,444,49 (reddto),59 4,4996, Tab 5 Replogo de rsultat dervat dalla stma del modello d Kees ( = 68) 33

40 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Fote d varabltà Regressoe Resdua Totale Somma de quadrat (Devaze) Grad d lbertà Devaze mede s , ,4 F 7, u , , s ,76 67 R =,963 F Tab 53 Aals della varaza relatva alla stma del modello d Kees ( = 68) Osservado dat rportat elle Tabb 5 e 53 l rcercatore potrebbe rteers pù ce soddsfatto de rsultat cosegut: l semplce modello proposto da Kees a rcevuto ampa coferma dalla verfca emprca effettuata I realtà, come sopra sottoleato, l modello d Brow, altrettato semplce, a evdezato (cfr Cadotto 974 e 979) capactà rappresetatva del feomeo cosumo pù soddsfacet sa per le argometazo teorce su cu è basato sa term d adattameto emprco alla realtà aalzzata Nelle Tabb 54 e 55 soo rportat rsulta della stma del modello d Brow seredo la varable relatva al cosumo co u rtardo temporale d u perodo (t=) Coeffcet (tercetta) Stma de mm quadrat = 447,6 Varaza degl stmator ,57 t d Studet p value,34,63 3 (reddto),97,4,98,4 (cosumo rtardato perodo),877,4 7,64, 3 Tab 54 Replogo de rsultat dervat dalla stma del modello d Brow ( = 67, t = ) 34

41 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Fote d varabltà Regressoe Resdua Totale Somma de quadrat (Devaze) Grad d lbertà Devaze mede s ,4 F 368,53 u , s R =,9969 F Tab 55 Aals della varaza relatva alla stma del modello d Brow ( = 67, t = ) Osservado dat rportat elle Tabb 54 e 55 s pervee alla coclusoe ce dalla verfca emprca effettuata l modello d Brow cotua ad evdezare, pure se applcato a dat trmestral e rferto ad ua arco temporale dverso, la sua elevatssma capactà d rappresetazoe della relazoe tra l cosumo (spesa) e l reddto delle famgle talae Ioltre, l sermeto della varable cosumo rtardato agguta al reddto mglora ulterormete la gà elevatssma capactà rappresetatva della fuzoe del cosumo proposta da Kees Rguardo a rsultat otteut s rcama l attezoe sulla relatva perdta d sgfcatvtà della varable reddto Pur trattados d ua perdta del tutto margale, fatt l p-value assocato a tale varable passa da, a,4, s potrebbe, comuque, ragoevolmete presumere ce tale perdta possa dpedere dall elevatssma colleartà tra l reddto regstrato el trmestre ed l cosumo regstrato el trmestre mmedatamete precedete Potrebbe rsultare ragoevole, allora, mettere relazoe l cosumo osservato u trmestre o pù co quello regstrato el trmestre precedete ma co l cosumo regstrato el corrspodete trmestre dell ao precedete potzzado, qud, u rtardo temporale par a 4 I rsultat della stma del modello d Brow questa uova versoe soo rportat elle Tabb 56 e 57 Coeffcet (tercetta) Stma de mm quadrat = 574,9 Varaza degl stmator 4798,5 t d Studet p value,,748 3 (reddto),48,799 7,7, (cosumo rtardato perodo),535,65,49, 3 Tab 56 Replogo de rsultat dervat dalla stma del modello d Brow ( = 64, t = 4) 35

42 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare Fote d varabltà Regressoe Resdua Somma de quadrat (Devaze) Grad d lbertà Devaze mede s , ,4 u , , F F 95,6 Totale s 88875, ,68 R =,9846 Tab 57 Aals della varaza relatva alla stma del modello d Brow ( = 64, t = 4) 54 - Modello d aals della varaza (ANOVA) Il terme aals della varaza è gà stato trodotto e paragraf precedet per dcare la scomposzoe della varabltà presete ella varable rsposta el modello d regressoe dstguedo la varabltà da attrbure a fattor fluet (varabltà spegata) dalla varabltà da attrbure a fattor accdetal (varabltà o spegata) Nel modello d regressoe multpla s è avuto modo d procedere ad ua ulterore scomposzoe della varabltà spegata fuzoe della dversa atura de fattor cosderat Storcamete però l aals della varaza vee trodotta facedo rfermeto a procedure d test d potes dove le varabl esplcatve soo d atura categorca, partcolare s fa rfermeto a stuazo spermetal dove fattor esplcatv soo espress scala omale (Fser, 95) La trattazoe estesa dell argometo retra el cotesto d quella parte della statstca usualmete deotata co l terme pao o dsego degl espermet Al rguardo s deve sottoleare ce sarebbe pù approprato parlare d aals della devaza e o d aals della varaza quato la scomposzoe degl effett vee operata sulla somma del quadrato degl scart tra valor osservat e la loro meda, coè sulla devaza, a prescdere dal umero delle osservazo ce etrao goco solo al mometo della verfca delle potes come grad d lbertà assocat alle dverse compoet della scomposzoe della cosdetta devaza totale I queste ote s farà rfermeto a sol dseg fattoral complet lmtado la trattazoe alle stuazo cu fattor spermetal soo al massmo 3 (oe-wa, twowa e tree-wa ANOVA) L espermeto fattorale completo è caratterzzato dalla preseza d pù osservazo spermetal corrspodeza d cascua modaltà, el caso cu s sta trattado d u solo fattore spermetale, se fattor spermetal soo o pù d s deve poter dsporre d pù osservazo corrspodeza d og possble combazoe delle modaltà de fattor spermetal cosderat 36

43 B Cadotto Versoe 7 Cap 5 - Modello statstco leare 54 Aals a u crtero d classfcazoe S cosder la stuazoe spermetale ca prevede l mpego d u solo fattore spermetale A caratterzzato da modaltà dstte A ( =,, ) e d poter dsporre d rsposte spermetal corrspodeza dell -esma modaltà A ; s potzz, coè, ua stuazoe spermetale ella quale soo prevst trattamet cascuo de qual è replcato ( =,,, ) volte Il modello base per procedere ad u aals della varaza è Y=μ+α +u = +u per =,,, dove = μ+α la compoete sstematca del modello e u la compoete accdetale, oltre, E u, Var u e E( u u ) per Da quato scrtto derva EY Se s dspoe, come potzzato, d rsposte corrspodeza della modaltà A l modello per le osservazo dspobl assume la forma Y u = u per,,, ; r,,, dove r r r, E ( u r u r ) per e E ( u r u s) per r s I sostaza la stuazoe prospettata s rfersce ad grupp dstt d soggett qual, all tero d cascu gruppo, possoo dfferre tra loro solo per l effetto d fattor d carattere accdetale metre soggett apparteet a grupp dvers possoo dfferre, sa per effetto d fattor d carattere accdetale sa per effetto d fattor struttural, le dffereze struttural soo evdezate dalla dverstà delle mede μ = μ+α A questo puto rsulta facle l terpretazoe de coeffcet α ce rappresetao lo scarto ( pù o meo) rspetto all tera popolazoe da attrbure all apparteeza allo specfco gruppo -esmo Se s dspoe d u campoe d osservazo dstrbute, come potzzato, egl grupp s può procedere alla rsoluzoe degl usual problem d fereza: stma delle mede cogte μ = μ+α e/o verfca d potes statstce sulle mede stesse L potes classca è quella d uguaglaza tra le mede H : cotro l potes alteratva ce sa presete ua qualce dffereza tra le stesse mede U modo perfettamete equvalete d defzoe dell potes ulla è 37