I Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2011/12 Nome: 1 febbraio

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1 I Appello d Calcolo delle Probabltà Cogome: Laurea Treale Matematca / Nome: febbrao Emal: Quado o è espressamete dcato l cotraro, per la soluzoe degl esercz è possble usare tutt rsultat vst a lezoe (compres quell d cu o è stata forta la dmostrazoe. PARTE I (Esercz Eserczo. Il 5% degl studet che s presetao a u esame è molto preparato, l % ha ua preparazoe meda metre l % è poco preparato. La probabltà che uo studete rspoda correttamete a u determato questo della prova è par a 8 9 se lo studete è molto preparato, 5 9 se ha ua preparazoe meda e 9 se è poco preparato. Se uo studete rspode correttamete al questo, qual è la probabltà che sa poco preparato? Soluzoe. Itroducamo gl evet D := la rsposta al questo è corretta e A := lo studete è molto preparato, B := lo studete è medamete preparato, C := lo studete è poco preparato. Allora P(D A = 8 9, P(D B = 5 9, P(D C = 9, da cu P(D = P(D A P(A + P(D B P(B + P(D C P(C = = = Ife P(D C P(C 9 5 P(C D = = = P(D

2 Eserczo. Lvo e Alessadra fao l goco seguete. Esamao prm due umer estratt sulla ruota d Veeza (VE del Lotto (soo due umer dstt, scelt uformemete tra e 9: se etramb umer soo par, vce Lvo e l goco s coclude; se uo de umer è par e l altro è dspar, vce Alessadra e l goco s coclude. Se vece etramb umer soo dspar, Lvo e Alessadra aspettao la prossma estrazoe della ruota d VE e applcao le stesse regole per decdere se vce l uo o l altra (e l goco s coclude oppure se l goco prosegue co l estrazoe successva; e così va. Per og N defamo gl evet B := prm due umer dell -esma estrazoe della ruota d VE soo etramb par, C := prm due umer dell -esma estrazoe della ruota d VE soo etramb dspar, D := prm due umer dell -esma estrazoe della ruota d VE soo uo par e uo dspar. Sa T la varable aleatora (a valor N {+ } che dca la durata del goco, coè {T = } è l eveto l goco s coclude all -esma estrazoe della ruota d VE. Sa fe A := l goco s coclude co la vttora d Alessadra. (a S calcolo le probabltà β := P(B, γ := P(C, δ := P(D che o dpedoo da N. (b Per N s esprma l eveto {T = } fuzoe (d alcu degl evet {B k, C k, D k } k N (medate uo, tersezo, ecc.. S detfch qud la legge d T. Qual è la probabltà che l goco o fsca ma? (c S mostr che la probabltà che l goco s cocluda al turo co la vttora d Alessadra è par a γ δ. S deduca la probabltà che l goco s cocluda co la vttora d Alessadra. Soluzoe. (a α = = 89, β = = 89, γ = S ot che β + γ + δ =. (b {T = } = C... C C c e per l dpedeza P(T = = γ ( γ, coè T Ge( γ = Ge(β + δ. (c L eveto questoe è A {T = } = C... C D, da cu P(A {T = } = γ δ. Qud P(A = N P (A {T = } = δ γ = δ δ+β.

3 Eserczo. Sa Θ ua varable aleatora reale co dstrbuzoe uforme ell tervallo ( π, π e sa X := ta(θ. Per lo svolgmeto dell eserczo può essere utle rcordare che arcta(z+arcta( z = π, z R. (a S mostr che X è ua varable aleatora reale assolutamete cotua co destà f X (x := π + x. (b S calcol P(X > z per og z R e s mostr che per z + P(X > z π z. (c Sa ora {X } N ua successoe..d. d varabl aleatore co la stessa legge d X e s defsca M := max{x,..., X } per N. S dscuta la covergeza legge (e, facoltatvo, la covergeza q.c. della successoe M. Soluzoe. (a S ha f Θ (ϑ = F Θ (ϑ = π ( π, π (ϑ. Per og x R s ha F X (x = P(X x = P(ta(Θ x = P(Θ arcta(x = F Θ (arcta(x, da cu segue che F X è C ( effett C co F X (x = F Θ (arcta(x arcta (x = π. Qud X è assolutamete +x cotua co destà f X (x = π. +x (b Rcordado che arcta(t = t + o(t per t, s ottee P(X > z = π z + x dx = π [arcta(x] z = ( π π arcta(z = ( π arcta = ( z π z + o, per z +. z (c Per og t > fssato s ha ( M P t = F M (t = ( F X (t ( ( = P (X > t = ( πt + o [ ( = exp log ( ] [ ( πt + o = exp ( ] πt + o = exp [ πt ] + o (, qud lm P ( M t = F (t := exp[ πt ]. Dato che F è ua fuzoe d rpartzoe, segue che M coverge legge verso ua v.a. la cu fuzoe d rpartzoe è F. La successoe M o può covergere q.c.: caso cotraro, la v.a. (lm M sarebbe q.c. costate, per la legge - d Kolmogorov, ma così o è, perché la sua fuzoe d rpartzoe è F.

4 4 PARTE II (Esercz Eserczo 4. Sa (X, Y u vettore aleatoro bdmesoale, defto su uo spazo d probabltà (Ω, A, P, co destà f X,Y (x, y = dove α (, è ua costate fssata. α(α + ( + x + y +α [, (x [, (y, (a S mostr, possblmete seza fare cot, che le compoet X e Y hao la stessa legge. S mostr qud che la fuzoe d rpartzoe d X (e d Y è data da ( F X (t = ( + t α [, (t. (b Per qual valor d p [, s ha che X L p? (c Per c (, s calcol la fuzoe d rpartzoe della varable aleatora Z c := cx. S mostr qud che, per og s (, fssato, la legge d X rspetto alla probabltà codzoata P := P( Y > s cocde co la legge della varable aleatora Z c (rspetto alla probabltà orgale P, per u opportuo valore della costate c (,. [Sugg.: S calcol P(X > t, Y > s.] (d Le varabl aleatore X e Y soo dpedet? Soluzoe 4. (a La fuzoe f X,Y (x, y è smmetrca x, y, qud le destà margal d X e Y, otteute tegrado la fuzoe f X,Y rspetto a cascua varable, cocdoo. S ha oltre [ ] y= α f X (x = f X,Y (x, y dy = α ( + x + y +α [, (x = ( + x +α [, (x, R y= da cu co u tegrazoe s rcava la formula per F X. (b Per l puto precedete E( X p = Dato che l tegrado è astotco a α X L p se e solo se p < α. (c Usado l espressoe per F X s ha ( t F Zc (t = P(cX t = F X = c Ioltre per s, t P(X > t, Y > s = t dx da cu segue che per t, s s ( α x +α p x p dx. ( + x +α per x +, l tegrale è fto e duque ( + t/c α [, (t = ( cα (c + t α [, (t. dyf X,Y (x, y = P (X t = P(X t Y > s = P(X > t Y > s = t α dx ( + x + s +α = ( + s + t α, P(X > t, Y > s P(Y > s = ( + sα ( + s + t α, metre aturalmete P (X t = se t. Questo mostra che la fuzoe d rpartzoe d X rspetto alla probabltà P cocde co la fuzoe d rpartzoe d Z c sopra calcolata per c = + s. Dato che la fuzoe d rpartzoe detfca la legge, l puto è cocluso. (d Se fossero dpedet, la legge d X rspetto a P dovrebbe cocdere co la legge d X rspetto alla probabltà orgara P, ma così o è. Qud X e Y o soo dpedet.

5 5 Eserczo 5. Sa {X } N ua successoe d varabl aleatore real dpedet, defte su uo spazo d probabltà (Ω, A, P, co legg margal d Posso: X P o(λ, dove {λ } N è ua successoe postva fssata, per semplctà dcamo decrescete, tale che lm λ =. S mostr che X probabltà (e, facoltatvo, ache L p per og p [,. S da qud u esempo d successoe {λ } N per cu la covergeza X o abba luogo q.c.. Soluzoe 5. Per og ε > s ha perché λ per potes. Ioltre P( X > ε P(X = P(X = = e λ E( X p = k N e λ k p (λ k k! =: k N a (k. Per s ha a (k, per og k N fssato. Ioltre a (k k p (λ k k! per og N, perché λ è decrescete e postva. Dato che k N k p (λ k k! < (perché?, per covergeza domata s coclude che E( X p per og p (,. Ife, qualuque successoe tale che N λ =, per esempo λ =, è tale che ( e λ =, N P( X = N P(X = N perché e λ λ per λ. Dato che gl evet {{ X }} N soo dpedet, segue dal lemma d Borel-Catell che q.c. X per ft, duque X q.c..

6 6 Eserczo 6. S cosder la catea d Markov X = {X } N a valor ell seme E = {,,, 4, 5, 6}, corrspodete al seguete grafo: (a S scrva la matrce d traszoe della catea, s detfcho le class d rrducbltà e s classfcho gl stat (trastor, rcorret postv, rcorret ull. (b S determo le msure varat della catea. S determ qud lm p(,j = lm P (X = j = lm P(X = j X = per og j E. Soluzoe 6. (a La matrce d traszoe è data da p =. 4 4 Le class rrducbl soo R = {, }, R = {5, 6} (chuse, duque rcorret postve e T = {, 4} (o chusa, duque trastora. (b Le probabltà varat estremal soo cocetrate sulle class rcorret. La probabltà {π ( } E cocetrata su R soddsfa le relazo π ( = per =, 4, 5, 6 e π( + π( = π (, da cu π ( = 5, π( = 5 le relazo π ( π ( + π ( =,. Aalogamete a probabltà {π( } E cocetrata su R soddsfa = per =,,, 4 e π( π( 6 = π ( 5, π ( 5 + π ( 6 =, da cu π ( 5 = 7, π( 6 = 4 7. Tutte le probabltà varat soo date da π = απ ( +( απ ( al varare d α [, ].

7 7 Dato che {, } è ua classe chusa, per j =, 4, 5, 6 s ha p ( j = per og N e duque lm p (,j =. Dato che la catea d Markov rstretta a {, } è rrducbl, aperodca e rcorrete postva, co probabltà varate {π ( } E, per l teorema lmte vsto a lezoe s ha lm p(, = π( = 5, lm p(, = π( = 5.