Esercizi sulle serie numeriche e sulle serie di potenze

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1 Eserc sulle sere umerche e sulle sere d potee ) Determare la covergea semplce e assoluta della seguete sere co C : se ta l Iamo co la covergea assoluta. Dobbamo studare la seguete se ta l Essa (utlado l crtero del rapporto) è equvalete alla sere: se l l Applcado l crtero del rapporto, è facle vedere che essa è covergete per e dvergete per >. Torado alla covergea semplce, poché la sere è assolutamete covergete per, v sarà ache semplcemete covergete. Ivece per >, poché l terme geerale o è ftesmo, la sere o coverge semplcemete. ) Determare l carattere della sere: cos Applcado l crtero del rapporto, la sere data è equvalete alla sere cos e questa, sempre per lo stesso crtero, alla sere che coverge.

2 3) Studare la seguete sere umerca: ta l La sere coverge. Ifatt, applcado l crtero del cofroto, trovamo che la sere data è equvalete alla sere: l Questa, per l crtero d codesaoe (d Cauchy) ha lo stesso carattere della sere l l che coverge. 4) Studare la seguete sere umerca: ( ) cos [ l( ) l] Rscrvamo la sere el seguete modo: ( ) cos l Per l crtero d Leb la sere sarebbe covergete se l terme cos l tedesse a ero decrescedo. Poché è facle vedere che la successoe coverge a 0, c resta da verfcare la stretta decrescea. Per comodtà, predamo ; allora basterà vedere se cos( )l( ) è crescete u toro destro d 0.

3 5) Studare la seguete sere d potee al varare d C : Studamo prma l assoluta covergea. Dobbamo studare la sere: Applcado l del cofroto, essa dveta: che coverge per < e dverge per. Per quato rguarda la covergea semplce, la sere coverge per gl stess valor per cu s ha la covergea assoluta, metre per restat valor o coverge, o essedo l terme geerale ftesmo. Nella fgura seguete soo vsualat valor per cu la sere coverge assolutamete e semplcemete. Im() NON CONVERGE Re() (--) CONVERGE 3

4 6) Studare l carattere della seguete sere umerca: arcse ta 3 ( ) e La sere coverge. Ifatt per l crtero del cofroto essa è equvalete alla sere: 3 7) Studare la covergea semplce ed assoluta della seguete sere d potee: ( ) se Per quato rguarda l assoluta covergea, dobbamo studare l carattere della sere: se Applcado l crtero del cofroto, trovamo che essa è equvalete alla sere che coverge per, ossa per, e dverge per tutt gl altr valor d. Ife la sere è semplcemete covergete per gl stess valor per cu coverge assolutamete, metre o coverge altrove. La fgura seguete mostra l cercho d covergea della sere. 4

5 / 8) Studare l carattere della sere co α R : α arctg Cofrotamo l terme arctg co u geerco terme β. Dobbamo trovare l valore d β opportuo per avere che essta fto e oullo l lmte: arctg lm β Questo, per l teorema d passaggo dal lmte d successo al lmte d fuo, è uguale al seguete: arctg lm dove abbamo posto: β. Applcado l teorema d de l Hosptal, abbamo: arctg lm lm β β β β lm β che esste fto per β β 3. Allora la sere data è equvalete alla sere α 3 3 α che coverge per α <. 5

6 9) Determare l carattere della seguete sere per > 0: l Cofrotamo astotcamete co la sere: ( ) Allora dobbamo calcolare l seguete lmte: l lm lm l ( ) lm l lm l l e Poché l lmte è fto ed è 0, s può affermare che le due sere hao lo stesso carattere. Ma la sere ( ) per dverge (perché maggorate della sere armoca, che dverge), metre per 0 < < coverge (perché morate della sere geometrca coverge). Qud, per cocludere, la sere data coverge per 0 < < e dverge per. ( ), che 6

7 0) Determare l carattere della seguete sere per > 0: l( ) Applchamo l corollaro del crtero del rapporto; s tratta allora d valutare l seguete: l( ) l( ) lm lm l l ( ) ( ) ( ) Per > l lmte è <, e qud la sere coverge; per 0 < < l lmte è >, e qud la sere dverge. Per ulla può drs utlado questo crtero. Però per la sere dveta: ( ) l la quale è maggorate della sere armoca che dverge, e qud dverge ach essa. Rassumedo, la sere data è covergete per e dvergete per 0 < <. ) Studare la covergea semplce ed assoluta della seguete sere d potee: (3) l! Iamo a studare la covergea assoluta. Abbamo: 9 l! Moramo la sere questo modo: l 9 l 9 Co l crtero d codesaoe d Cauchy s può dmostrare che la sere dverge per 9, metre coverge per 9 < (lo vedamo se maggoramo la sere orgale, sosttuedo al deomatore l! l co ). Per quato rguarda la covergea semplce, la sere coverge per gl stess per cu coverge assolutamete, metre altrove o coverge, o essedo ftesmo l terme geerale. 7