Introduzione. Che cosa è la statistica? La statistica è una disciplina che si occupa dell analisi quantitativa dei fenomeni collettivi.

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1 Itroduzoe L approcco co ua uova dscpla o sempre è ottmale. U modo per redere pù leare l appredmeto d ua qualsas matera, e, acor pù, della statstca, è rspodere a delle domade come le seguet. Che cosa è la statstca? La statstca è ua dscpla che s occupa dell aals quattatva de feome collettv. Che cosa soo feome collettv? Soo feome compost da u gra umero d utà elemetar, ma che sfuggoo all osservazoe dretta. Possoo essere studat rlevado su cascua utà gl aspett msurabl rteut mportat e aalzzado modo opportuo le msure otteute. Il metodo statstco permette d far emergere delle regolartà che o potrebbero essere otate altrmet. L seme degl studet d u corso uverstaro. Qual soo le caratterstche degl studet? U campoe d elettor estratto per stmare la proporzoe d favorevol al capo d govero. L seme de potezal pazet sofferet d pertesoe. Il farmaco A è mglore del farmaco B per regolarzzare la pressoe?

2 C soo tre cocett legat al feomeo collettvo: l cocetto d utà, l cocetto d carattere e l cocetto d processo d rlevazoe. Che cos è u utà statstca? E l ettà elemetare del feomeo collettvo. Spesso defta come utà d osservazoe. L seme delle utà vee defto popolazoe. Che cos è u carattere? Il carattere rappreseta ua delle caratterstche del feomeo collettvo e le sue possbl mafestazo s chamao modaltà. Che cos è l processo d rlevazoe? E ecessaro trapredere u processo d rlevazoe durate l quale cascua utà vee osservata per vedere come le caratterstche questoe s mafestao. Esso cosste ell assocare a cascua utà del collettvo ua e ua sola modaltà del carattere. La modaltà d u carattere è uo de possbl mod co cu l carattere s può mafestare. Tp d carattere Caratter cotu (quattatv) Le modaltà possoo essere espresse da qualsas umero reale compreso u tervallo. (Altezza, peso.)

3 Caratter dscret ( quattatv) Le modaltà soo umer atural ( ter ). D solto dervao da u operazoe d coteggo. (Numero d fgl, voto ad u esame ) Caratter qualtatv Le modaltà o soo espresse da umer real. D solto soo degl attrbut.( Sesso, relgoe.) Possoo essere ordal (esempo l ttolo d studo:seza ttolo, lceza elemetare, lceza meda, dploma, laurea ), coè possoo essere ordate; possoo ache essere o ordal (esempo la professoe). Che cos è la frequeza assoluta? La frequeza assoluta è l umero d volte cu vee osservata ua determata modaltà. Le modaltà vegoo deotate co,...,,, le frequeze assolute co,...,, La somma d tutte le frequeze assolute è uguale al umero delle osservazo totale N N Che cos è la frequeza relatva? 3

4 La frequeza relatva è l rapporto tra la frequeza assoluta e l totale delle osservazo. La somma d tutte le frequeze relatve è uguale a. Vee deotata co, f f. f f,..., Soo stat aalzzate le forme co le qual dat statstc s possoo presetare: forma dstrbutva per utà (eumeratva) e per raggruppameto d modaltà (tabellare). U terzo modo d presetazoe delle rlevazo statstche è la forma grafca. Le formazo statstche vegoo rappresetate medate dseg e schem grafc (d atura dversa) fuzoe della dspobltà de dat e delle faltà dell dage. Il grafco d gra luga pù utlzzato è l stogramma. E u grafco adatto al cofroto d dat quattatv, rappresetat co superfc rettagolar d uguale base e d altezza varable. Vee utlzzato molto spesso quado s hao delle frequeze: u esempo potrebbe essere l umero d televsor possedut co le relatve frequeze. U altro grafco che spesso s ota e lbr d statstca è l dagramma a torta. La torta rappreseta l tero e le fette le dvso (percetual). U esempo (dal lbro del prof. Pccolo) potrebbe essere la suddvsoe de tp d dplom secodar. Molto spesso s effettua la dstzoe tra dagramma a barre e stogramma ache se alcu autor o evdezao tale dverstà. 4

5 Il dagramma a barre vee utlzzato specalmete per le varabl dscrete (esempo precedete de tv). L stogramma vee utlzzato per le varabl cotue (esempo della durata de bra muscal). Idc d poszoe La statstca descrttva è composta da var dc: d poszoe, d dspersoe o varabltà e d forma. Lo scopo prcpale degl dc d poszoe è quello d forre u valore umerco capace d rappresetare stetcamete tutt dat d u certo seme. Gl dc d poszoe pù utlzzat soo: la meda artmetca, la medaa, quartl e la moda. I questa lezoe esamamo l pù mportate degl dc d poszoe: la meda artmetca. La meda artmetca, o semplcemete meda, s calcola molto semplcemete e s dca co la lettera greca μ: Ovvero:... Esempo umerco: 5

6 calcolare la meda artmetca delle età de seguet studet: 8 ; ; 3 ; 6 ; 8 ; 5 ; 8 ; 5 ; 9 ; 6 La meda è μ =. Propretà della meda artmetca Le propretà della meda artmetca soo le seguet: È sempre compresa tra u valore mmo e u valore massmo (teraltà d Cauchy); La somma degl scart dalla meda è sempre uguale a zero 0 Se la varable X ha meda μ, allora la varable ax+b, otteuta medate ua combazoe leare, ha meda aμ+b. La meda artmetca è l uco valore che rede mma la somma degl scart al quadrato. La meda artmetca ha u grave dfetto: è fluezata da valor aomal, specalmete se la umerostà del collettvo è basso. La meda artmetca, el caso d dstrbuzoe per frequeze, s calcola: k 6

7 Altr dc d poszoe L dce d poszoe pù mportate e pù oto è la meda artmetca che è stata aalzzata ella secoda lezoe. Ora esamamo altr due dc d poszoe: la moda e la medaa. La moda (Mo) d ua dstrbuzoe d frequeza è la modaltà cu corrspode la massma frequeza, assoluta o relatva. La moda è l uco dce d poszoe che è valdo ache per le dstrbuzo qualtatve e può essere calcolato seza effettuare alcu tpo d calcolo (fao eccezoe dstrbuzo class). I ua dstrbuzoe può verfcars la preseza d due o pù mode: quest cas s dce che la dstrbuzoe è bmodale o multmodale. La moda preseta alcu dfett grav: l pù grave è che dffclmete la moda è la modaltà rappresetatva della dstrbuzoe. Esempo umerco: cosderamo ua dstrbuzoe d 30 famgle. Og modaltà rappreseta l umero de compoet della famgla stessa. ;;;;;;;;3;3;3;3;4;4;4,5;5;5;6;6;6;7;7;7;7;8;8;8;9;9. La moda è ma certamete o sembra la modaltà pù rappresetatva. I ua dstrbuzoe d frequeza l calcolo della moda è acora pù semplce: basta osservare l valore pù alto ella coloa delle frequeze e la modaltà corrspodete sarà la moda. 7

8 modaltà frequeze E evdete che la moda è 7 perché è la modaltà co la frequeza pù alta (8). Medaa U dce d poszoe pù rappresetatvo è scuramete la medaa. La medaa (Me) è la modaltà che dvde due part ( bpartsce ) la dstrbuzoe ordata de dat. Per varabl dscrete X, sgolarmete osservate e ordate, la medaa è Me se se è par è dspar Esempo umerco:,, 3, 5, 6, 8, 5, 9 = 8 8

9 La medaa è Il rsultato è 5, dove e Altro esempo:, 5, 6, 8, 8, 9, = 7 La medaa è 4 ovvero 8. Questo valore lasca tre elemet alla sua sstra e tre alla sua destra. ( l 50% della dstrbuzoe a sstra e l 50 % a destra). Se la dstrbuzoe è per frequeza è ecessaro calcolare le frequeze cumulate C. Esempo: modaltà frequeze cumulate Il umero totale d osservazo è : = 70 Il 70 valore (per essere precs bsogerebbe dre l valore tra l 70 e l 7 ) cade e prm 79 : qud la medaa è 6, coè la modaltà che corrspode alla frequeza cumulata che abbamo appea trovato. La frequeza cumulata è ua frequeza partcolare: se cosderamo u geerco carattere X, la Freq(X ) s dce frequeza cumulata ad. La frequeza cumulata può essere calcolata solo per caratter co modaltà almeo ordabl. 9

10 Idc d poszoe poco utlzzat Tra gl dc d poszoe (o cetral) meo utlzzat bsoga rcordare solo quartl. Ess dvdoo quattro part ugual la dstrbuzoe. Q è l prmo quartle : esso lasca l 5% della dstrbuzoe a sstra e l 75% a destra. Q è l secodo quartle che è uguale alla medaa. Q 3 è l terzo quartle : esso lasca l 75% a sstra e l 5% a destra. Dstrbuzo d dat class Fora soo stat svolt esercz co dstrbuzo per utà o d frequeza. Spesso elle dag statstche è ecessaro dstrbure dat per class (cò capta sempre se la varable X è cotua). Le formule che soo state scrtte (e spero mparate!) e che soo state applcate elle page precedet o permettoo d rsolvere esercz co dstrbuzo d dat class. C è la ecesstà, qud, d applcare uove formule, molto sml a quelle precedet, ma che soo valde solo per questo tpo d dstrbuzoe. La meda artmetca s calcola: h c 0

11 dove c è l valore cetrale d ua classe ( ; + ). Il valore è l lmte ferore della classe; + è l lmte superore. Esempo umerco: Sa data la dstrbuzoe d 50 dvdu classfcat secodo l umero de dsch possedut: Class c [0,5],5 (5,5] 4 0 (5,30] 36,5 (30,60] 7 45 (60,00] La meda artmetca sarà (crca) 3 :,5 0 4, , Attezoe alle paretes : quelle tode dcao che l valore è escluso dal calcolo, quelle quadre dcao che l valore è compreso. 3 Il terme crca è rfermeto alla o esattezza del calcolo perché soo state prese cosderazoe valor cetral della classe come valor rappresetatv. Il problema è sempre lo stesso: potrebbe o essere u valore realmete osservato.

12 Ache la moda s calcola modo leggermete dverso. È mportate determare la destà (d ): d La dffereza h, ampezza della classe. Nell eserczo cosderato: d,4 ; d,4 ; d3,4 ; d 4,4 ; d5, Qud la classe co destà maggore è la classe modale 4. Per coveeza la moda è l valore cetrale della classe: Mo = 80 Il calcolo della medaa s può effettuare co u approssmazoe d questo tpo: Me 0,5 F F F dove F - e F soo rspettvamete la frequeza cumulata relatva alla classe precedete a quella medaa e la frequeza cumulata relatva alla classe medaa. 4 È solo ua cocdeza che la destà maggore è assocata alla frequeza maggore.

13 e + soo lmt, ferore e superore, della classe medaa che s calcola el modo classco (POS[Me] = N/). Questa formula è valda, co opportue modfche 5, ache per l calcolo de quartl. Nell esempo cosderato la medaa è: 0,5 0,88 Me 3 0,576 0, , 08 Idc d varabltà (o d dspersoe). S è vsto come s possa fare uso de valor med allo scopo d codesare l seme de dat proveet dalle osservazo u uco valore che possa rappresetarl tutt. Tale valore è spesso dcato come cetro della dstrbuzoe. Occorre ora teere presete u cocetto essezale della statstca, e coè che u valore medo, comuque calcolato, o è suffcete a rappresetare l seme delle osservazo effettuate (o l seme de valor assut dalla varable statstca); è ecessaro qud affacare ad esso altr dc che sao grado d forre delle formazo sulla dspersoe, pratca sulla dstaza delle vare osservazo dal valore medo che rappreseta l cetro della dstrbuzoe. 5 Nella formula del I quartle c è 0,5, quella del terzo quartle 0,75. 3

14 Tato more è la dstaza (o dspersoe) delle osservazo dal cetro, tato maggore sarà la rappresetatvtà e l affdabltà del valore medo. Gl dc d varabltà assumoo valore zero solo se è ulla la varabltà, e tutt valor soo qud ugual fra loro; all aumetare della varabltà tal dc assumerao valor sempre maggor. Rassumedo, possamo affermare che u carattere salete de dat statstc è la varabltà. Per aalzzare ua dstrbuzoe, dopo aver calcolato uo o pù valor med s cerca d evdezare la dspersoe de dat, dspersoe che caratterzza la varabltà del feomeo. Può teressare cooscere sa d quato dat dfferscoo da u valore medo, sa d quato dat dfferscoo fra loro. V soo var dc che msurao la varabltà d u feomeo: l pù mportate è la varaza. La varaza è la meda degl scart al quadrato 6 : La varaza vara da u mmo d zero ( 0 ) se tutte le modaltà cocdoo, ad u massmo che può essere fto. Se la dstrbuzoe è d frequeza, ovvamete la formula è: Per le class la formula è: k 6 Da rcordare che -μ è lo scarto d ua geerca modaltà dalla meda e che la somma degl scart è uguale a zero (ua delle propretà della meda artmetca). 4

15 Alcue propretà soo: c cx e h c X. 7 c Per gl esercz usamo molto spesso le formule pù veloc 8 : k h c (per dstrbuzo class) Lo scarto quadratco medo σ è la radce quadrata della varaza: k (per frequeze) 7 Le propretà della varaza soo relatve alla dstrbuzoe cosderata: se le modaltà le moltplchamo tutte per ua costate c allora la varaza s modfca, se alle modaltà aggugamo (o sottraamo) u valore costate c allora la varaza o s modfca. 8 Per gugere a queste formule veloc c soo de passagg matematc che verrao svluppat durate la lezoe. Basta rcordare l quadrato d u bomo a b a ab b e che 5

16 Molto spesso vee utlzzato perché, a dffereza della varaza, vee espresso ella stessa utà d msura della meda artmetca e d tutte le modaltà. U altro dce d varabltà molto oto è l coeffcete d varazoe CV: CV Esso è utle per cofrotare la varabltà relatva d u feomeo crcostaze dverse. U dce d varabltà poco utlzzato è l campo d varazoe o Rage: Rage X MAX MIN Alcue volte vee proposto dagl studos lo scostameto semplce medo che vee calcolato: S Questo è u dce che s utlzza molto poco perché la varaza e lo scarto quadratco medo soo molto pù precs. Notazo partcolar Spesso su lbr d statstca s trovao queste otazo: 6

17 la meda d ua dstrbuzoe X M X la meda d ua dstrbuzo d valor al quadrato M X la varaza M X MX S legge la meda de quadrat meo la meda al quadrato Idc d varabltà che o soo rspetto ad u cetro Per completare l dscorso sugl dc d varabltà rmae da aalzzare la dffereza semplce meda e l rapporto d cocetrazoe. Quest due dc vegoo calcolat solo u cotesto d mutua varabltà che s ottee soprattutto per caratter trasferbl 9. U metodo molto elemetare per calcolare la mutua varabltà cosste ell esamare tutte le dffereze tra le modaltà a due a due facedoe ua stes tramte u opportua meda. Questo dce è oto come dffereza semplce meda e vee dcato co Δ (delta) : j j 9 Per carattere trasferble s tede l reddto, l cosumo d u bee, gl oggett. Caratter o trasferbl soo l età (purtroppo!), l altezza, l peso 7

18 Avedo escluso cofrot tra ua utà e se stessa, tutt possbl cofrot soo (-). Il rapporto d cocetrazoe è l altro dce per caratter trasferbl: scuramete pù precso perché è l rapporto tra la dffereza semplce meda e l doppo della meda artmetca: R Esempo umerco: s preda cosderazoe la seguete sere: La meda artmetca è ,66 4,66 R 0, Cò vuol dre che c è u 46% (crca) d cocetrazoe. 8

19 Idc d forma Nell applcazoe degl dc d poszoe e d varabltà soo state rscotrate delle asmmetre d alcue dstrbuzo. Per calcolare l testà d queste asmmetre s utlzzao due dc d forma: asmmetra e curtos. Esstoo almeo se dc d asmmetra, ma l pù utlzzato è scuramete: Me ( 0 ) U altro dce d asmmetra, poco utlzzato, è quello d Fsher: 3 U altro aspetto della forma d ua dstrbuzoe d frequeza rguarda l maggore o more apputmeto. Cò s può calcolare attraverso l dce d curtos d Pearso: 4 Esso vale 3 per dstrbuzo ormal, vale pù d 3 per dstrbuzo pù apputte e meo d 3 per quelle pù patte. Stadardzzazoe de putegg 0 Per alcue dstrbuzo s utlzza la moda al posto della medaa. 9

20 E molto utle se s vogloo cofrotare modaltà d dstrbuzo dverse, co mede e varaze dverse. La formula è semplce e sarà utlzzata moltssmo seguto. Dstrbuzo multple d frequeza Quado su og utà apparteete ad ua data popolazoe s rlevao pù caratter (qualtatv e/o quattatv) s parla d dstrbuzoe multpla o multvarata Teorcamete su og popolazoe è possble rlevare u certo umero d caratter (o varabl per l lguaggo terazoale ). Per o complcare ulterormete lo studo s cosderao solo due varabl, o etrambe quattatve o etrambe qualtatve o ua quattatva e ua qualtatva. Questa dstrbuzoe s chama dstrbuzoe d frequeza doppa. Vee rappresetata su ua tabella a doppa etrata. X \ Y y y y j y h Totale.. j h. k k k k. Totale...j.h Ct.Prof. Pccolo 0

21 Le frequeze assolute el rquadro soo coesse alla dstrbuzoe doppa, quelle corrspodet a total d rga rguardao esclusvamete alla varable X metre quelle corrspodet a total d coloa rguardao la varable Y. Valgoo le seguet uguaglaze: k h. j. j. j j k h La frequeza margale. esprme l umero d soggett che possedoo la modaltà (a prescdere da quello che avvee per l altra varable); così la frequeza margale.j esprme l umero d soggett che possedoo la modaltà y j. Se s devoo aalzzare due varabl qualtatve, geere, s utlzza l χ (ch quadrato) che è ua aals delle frequeze. L dce pù utlzzato per le varabl quattatve è vece l coeffcete d correlazoe d Bravas Pearso. Per le varabl mste s utlzza η (eta quadro). La formula del χ è : f teo f f teo oss La frequeza teorca s calcola moltplcado le frequeze margal e dvdedo per l totale. Secodo l programma aaltco questa formula o va studata, però potrebbe essere utle seguto.

22 χ è sempre postvo (può essere uguale a zero solo se tutte le frequeze soo ugual) e msura la coessoe tra due varabl statstche. Tedeza\ Favorevole Cotraro totale gudz Poltca \ dvorzo dvorzo Cetro 8 0 sstra Cetro - destra 9 0 totale 9 40 Le frequeze osservate soo Le frequeze teorche soo 0, , ,5 40 0,5 9,5 8 0,5 9 9,5 0,5 9,5 0,5 9,5 0 0,5 40 Se tede a zero c è dpedeza tra le varabl, se tede all fto c è ua alta coessoe tra le due varabl. Il coeffcete d correlazoe d Bravas - Pearso è ua msura stetca che tee coto delle relazo quattatve tra X e Y otteute medate la meda artmetca. y y y Cov Var X, Y X Var Y

23 Al umeratore c è la Covaraza che è ua msura della cotemporaea varazoe d X e Y rapporto alle rspettve mede. Cov X, Y y y y Ache per la covaraza esste ua formula veloce che può sostture sempre quella d defzoe: y y y Per alcu calcol vee rchesta la codevaza che è l umeratore della covaraza, così come la devaza è l umeratore della varaza. Iterpretazoe del rsultato d ρ Se ρ = 0 allora X e Y soo dpedet; se ρ = allora c è massma dpedeza postva tra X e Y; se ρ = - allora c è massma dpedeza egatva tra X e Y. 3

24 Alcu esercz d descrttva gà svolt ESERCIZIO - + Cum totale 53 Calcolare la meda artmetca, la moda, la medaa, l prmo e l terzo quartle. SVOLGIMENTO c La coloa de valor cetral

25 La coloa delle destà La classe modale è - 5 qud la moda è 3. La poszoe medaa è 53: = 6.5, qud la classe medaa è - 5 La medaa è : Me d La poszoe del I quartle è 53:4 = 3.5, qud la classe I quartle è Q La poszoe del III quartle è , qud la classe III quartle è Q ESERCIZIO Data la seguete dstrbuzoe, calcolare varaza, scarto quadratco medo e coeffcete d varazoe

26 SVOLGIMENTO La coloa delle modaltà al quadrato per utlzzare la formula veloce della varaza: Qud: E l coeffcete d varazoe: CV ESERCIZIO 0.37 I seguet valor s rferscoo a valor d u ttolo rlevat meslmete: Se l valore 3.8 fosse erroeamete trascrtto come 38, quale sarebbe l effetto sulle msure d poszoe calcolate co quest dat? SVOLGIMENTO L uco dce che verrebbe a modfcars è la meda artmetca perché è l solo a essere fluezato da valor aomal. Medaa e moda restao varate. 4 ESERCIZIO 6

27 Data la seguete dstrbuzoe d due varabl X e Y, calcolare la covaraza e l coeffcete d correlazoe leare (e commetare rsultat): y SVOLGIMENTO y y y Σ = Σ = Σ = Le coloe de quadrat delle modaltà d X e d Y e de prodott (per calcolare velocemete le varaze d X e d Y e la covaraza): X Y XY (85.6) La covaraza egatva dca ua relazoe versa tra X e Y. La covaraza msura la drezoe ma o l testà del legame tra due varabl. 7

28 XY Questo rsultato c dca che la relazoe (egatva) è par all 87% crca. Qud c è ua forte relazoe (versa) tra le due varabl. 8

29 CALCOLO DELLE PROBABILITA Nel lguaggo correte s setoo spesso fras del tpo: <<è probable che fra poco pova>>; <<co questo ttolo d studo v soo poche probabltà d trovare lavoro>>; <<è molto probable che el 00 s costruscao stazo etraterrestr>>; <<è probable che l cedo sa d orge dolosa>>. S utlzza frequetemete l terme probabltà quado c s rfersce a stuazo certe, a feome che possoo o o verfcars, ma el lguaggo comue l cocetto d probabltà é per lo pù geerco. Tale cocetto è assocato a quello d eveto aleatoro, tededo dstguere, questo modo, gl evet cert, che s verfcao scuramete, da tutt quegl evet l cu verfcars dpede esclusvamete dal caso, dett apputo evet aleator o casual. Ad esempo, u eveto certo è quello d estrarre ua palla rossa da u'ura che cotee esclusvamete palle rosse. Esstoo ache evet deft mpossbl, perché o s verfcherao ma. Ad esempo, estrarre ua palla rossa da u'ura che cotee solo palle verd è u eveto mpossble. Gl evet aleator soo, essezalmete, evet cert e possbl. Ad esempo, l estrazoe d ua palla rossa da u'ura che cotega palle rosse e bache è u eveto aleatoro; el laco d ua moeta l fatto che s preset la facca cotrassegata dalla testa è u eveto aleatoro, 9

30 come ache l estrazoe d u asso da u mazzo d carte. Nell ambto degl evet aleator, s possoo dstguere evet che hao maggor possbltà d verfcars rspetto ad altr. Il calcolo delle probabltà cerca d formulare delle valutazo umerche della possbltà d verfcars d tal evet dett aleator o casual. S rleva che, come o esste u'uca defzoe d probabltà così o esste u uco modo d valutare la probabltà d u eveto aleatoro. Defzoe classca : la probabltà d u eveto E è dato dal rapporto tra l umero de cas favorevol dvso l umero de cas possbl (egualmete probabl). Pr( E) m è l umero d cas favorevol e l umero d cas possbl. m Il vataggo d questa defzoe è sez altro l calcolo veloce; però lmt soo umeros. I pù evdet soo la equprobabltà e la umerostà che alcue volte tede all fto. Per questo motvo la defzoe pù utlzzata è quella frequetsta. Pr( E) lm fr( E) Negl a pù recet s è data ua alteratva defzoe d probabltà: quella soggettvsta. 30

31 La valutazoe umerca della probabltà è coessa alle valutazo persoal d u soggetto crca la verfcabltà d u esto certo. Cocett prmtv I cocett prmtv del calcolo delle probabltà soo prova, eveto e probabltà. Prova : è qualsas espermeto soggetto ad certezza. Eveto : è uo de possbl rsultat della prova. Probabltà : è u umero (compreso tra zero e uo) assocato ad u eveto. Algebra d Boole La formalzzazoe degl evet segue l algebra d Boole. La struttura degl evet, qud, è smle a quella degl sem. Percò: Uoe tra due evet A e B è quell eveto C che s verfca quado s verfca almeo uo tra A e B. Pr( C) Pr( A B) che s legge probabltà d A uto B o probabltà d A o B. Negazoe d u eveto A è quell eveto che s verfca quado o s verfca A e s dca co A (s legge o A oppure A egato ). Spazo campoe Ω è l seme d tutt rsultat d ua prova. Itersezoe d A e B è quell eveto C che s verfca solo se s verfcao cotemporaeamete A e B. 3

32 Pr( C) Pr( A B) che s legge probabltà d A tersecato co B o probabltà d A e B. Due evet s dcoo compatbl se o possoo verfcars cotemporaeamete ( A B ). 3 Due evet s dcoo compatbl se possoo verfcars ella stessa prova. Due evet s dcoo ecessar se la loro uoe è l eveto certo Ω. Postulat del Calcolo delle probabltà. Pr(E) 0. Pr(Ω) = 3. Pr( A B) Pr( A) Pr( B) se A e B soo compatbl. Alcue relazo fodametal: Pr( A ) Pr( A) Pr( A B) Pr( A) Pr( B) Pr( A B) Probabltà codzoata S defsce probabltà codzoata d B dato A : Pr( B A) Pr( A B) Pr( A) 3 S possoo rappresetare ache co dagramm d Ve 3

33 Se gl evet soo dpedet, allora : Pr( A B) Pr( A)Pr( B) Varable casuale Ua varable casuale ( v.c.) è ua regola che assoca ad og eveto u uco umero reale. Tramte la v.c. s crea ua corrspodeza tra l seme degl evet Ω e umer real. Spesso ua v.c. (X) o è altro che ua traduzoe umerca mmedata degl evet elemetar. X,, 3,..., k varable casuale p,...,, p, p3 p k k p Varable casuale dscreta Ua varable casuale dscreta è ua corrspodeza tra gl evet ed u seme dscreto ( fto o umerable ) d umer real. Il modo pù semplce per rappresetare grafcamete ua v.c. dscreta è quello d porre sull asse delle ascsse valor della v.c. e sull asse delle ordate le rspettve probabltà. Varable casuale cotua Ua v.c. è cotua se può assumere tutt valor compres u tervallo reale. 33

34 Le v.c. cotue rappresetao ua maggore complesstà aaltca perché, a dffereza d quelle dscrete, o è possble elecare tutt valor che la v.c. assume. Fuzoe d rpartzoe La fuzoe d rpartzoe costtusce l elemeto ufcate delle teore delle v.c. dscrete e cotue. F( ) Pr( X ) f ( w) dw se X èua v. c. cotua ( ) p se è dscreta Propretà della fuzoe d rpartzoe: È o decrescete; Iferormete tede a zero e superormete tede a ; 4 È cotua da destra. La fuzoe d probabltà vee dcata, vece, co f lm 4 F ) 0 F( ) ( lm 34

35 Valore medo (atteso) d ua varable casuale Il valore medo d ua v.c. cocettualmete è smle a quello studato ella statstca descrttva. L uca dffereza è che ella descrttva s parla d dstrbuzoe co modaltà e frequeze, el calcolo delle probabltà s parla d v.c. co elemet e probabltà. 5 k p se la v.c. è dscreta f d se la v.c. è cotua Mometo d ua varable casuale (rspetto all orge) I geerale s può parlare d mometo r-smo (erresmo) d ua varable casuale. Il valore medo o è altro che u mometo d orde. k r r p se la v.c. è dscreta r r f d se la v.c. è cotua Momet r-sm rspetto ad u cetro (valore medo) 5 Esercz sul calcolo del valor medo sarao svolt durate la lezoe. 35

36 probabltà r k r p se la v.c. è dscreta 6 I partcolare per r s ha la varaza della v.c. Eserczo: S cosder ua v.c. dscreta che assume valor 3 4 co probabltà rspettvamete d medo (atteso) e la varaza Calcolare l valore , Rappresetazoe grafca d ua v.c. uforme dscreta (prob. VAR( X ),6,6 3,6 4,6, 04 costate) 5 V.C. uforme (dado) 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, valor 6 Naturalmete el caso d v.c. cotua l calcolo della varaza è medate l tegrale. 36

37 X Var X I realtà s potrebbe calcolare ache l dce d asmmetra Asym(X) e l dce d curtos Kurt(X) ma calcol soo molto compless. Basta rcordare che l prmo è l mometo d orde tre della v.c. rspetto al cetro e l secodo è l mometo d orde 4 rspetto al cetro. I valor calcolat soo: Asym X 0 Kurt X, 8 Varable casuale Normale. (Gaussaa) L uca v.c. cotua che s aalzza el corso è la Normale. La v.c. Normale rappreseta l modello d dstrbuzoe pù mportate del Calcolo delle Probabltà. Essa approssma la dstrbuzoe emprca d moltssm feome real. La v.c. Normale ha la seguete fuzoe d probabltà (o destà) Co Ha le seguet propretà: f ( ) e Assume tutt valor real. È caratterzzata da due parametr, μ e σ, che cocdoo co la meda e la varaza d X, coè 37

38 E ( X ) Var ( X ) : brevemete s scrve X ~ N, ( s legge che la dstrbuzoe X è dstrbuta come ua ormale co meda μ e varaza σ. La fuzoe d destà ha forma campaulare, smmetrca rspetto al valor medo. L area sottesa alla campaa rappreseta la probabltà d X. L area totale è. 7 μ rappreseta ache la moda d X e la medaa d X, ovvero la dstrbuzoe è umodale: percò P ( X ) P( X ) 0,5. varazo del valore medo rappresetao traslazo (movmet orzzotal). varazo della varaza rappresetao varazo ella forma (alzameto o appattmeto). μ - σ μ μ + σ 7 f d equvale a dre che la somma d tutte le probabltà è uguale a. 38

39 Per calcolare la probabltà (matematcamete è u area) che X s verfch u dato tervallo s dovrebbe svolgere u tegrale. La tavola (elle ultme page del lbro) permette d trovare l valore dell area (e qud della probabltà) seza svolgere alcu tegrale. È ecessaro, però, stadardzzare valor da calcolare prma d utlzzare la Tavola. Z X Qud s ha u altra varable casuale, la Normale Stadardzzata 8 : P Z ~ N 0, E ( Z) 0 Var ( Z) Z 0 PZ 0 0, 5 8 Durate la lezoe verrà spegato come s legge la tavola co var esemp. Oguo avrà a dsposzoe la tavola. 39

40 Esempo d lettura delle tavole: s cosder ua meda par a 5 e ua varaza par a 9. s calcol la probabltà che X sa more d 7 prma d tutto è ecessaro stadardzzare 7 : 7 5 z 0,66 3 Sulle tavole : P ( Z 0,66) 0,74537 Og volta che s deve calcolare Z corrspodete sulla tavola. 9 Se vece s deve calcolare Z dffereza PZ P basta predere l valore P allora è ecessaro fare la Se la stadardzzazoe c dà u valore egatvo allora: Z PZ PZ PZ P Se vece bsoga calcolare la probabltà d Z compreso tra α e β: P Z PZ PZ Propretà rproduttva. Tra le propretà della v.c. Normale c è ache la propretà rproduttva : 9 Sulle tavole s hao solo le aree a sstra del valore cosderato (fuzoe d rpartzoe). 40

41 a X ~ N( a, a ) Appedce Matematca Dal valore stadardzzato al valore ormale Z Moltplcado per etramb membr: Z S ottee: Z Aggugedo ad etramb membr: Z S ottee: Z La formula versa della stadardzzazoe. Noto l valore stadardzzato Z (e parametr della Normale) s può rsalre al valore della dstrbuzoe o stadardzzata. Eserczo: Data ua v.c. Normale X ~ N(0, 36), trovare quel valore k tale che Pr( X > k) = 0,0. Svolgmeto: la Tavola permette d calcolare solo valor stadardzzat: qud s può calcolare z k, che è l valore stadardzzato d k, medate la Pr( Z > z k ) che è par a 0,0. Sulla Tavola s trova Pr( Z < z k )= 0,90 dove z k =,9 Per trovare k s applca la formula: 4

42 Z Qud = 6 *,9 + 0 = 7,74 Il valore k che s cercava è propro 7,74 Pr( X > 7,74 ) = 0,0 Teorema Lmte Cetrale Il teorema del Lmte Cetrale assersce che la somma d ua successoe d v.c. dpedet ed detcamete dstrbute, e co varaza fta, coverge dstrbuzoe alla v.c. Normale. Questo teorema è stato terpretato da var studos. Oguo d ess lo utlzzava per scop dvers (per la fsca, per la chmca ). La formula s può otteere attraverso semplc passagg d stadardzzazoe. Rcordado che le v.c. soo dpedet e detcamete dstrbute, s ha che è fta s ha che Var ( ). ; rcordado che la varaza La somma delle v.c. vee dcata co S e l valore medo e la varaza soo: S S Var Stadardzzado s ha: 4

43 Z S Var S S S X INFERENZA La terza parte del programma prevede lo studo dell fereza statstca. Nella statstca descrttva s affrota u problema dretto, coè d deduzoe, perché s passa dalla popolazoe alla raccolta d formazo su d essa. Nell fereza statstca s affrota l problema verso, coè d duzoe probablstca perché da dat osservat medate scelta campoara s guge ad affermazo che rguardao la popolazoe da cu ess soo stat prescelt. Nell fereza spesso s parla d popolazoe, d campoe, d umerostà del campoe. La popolazoe è l seme d tutt gl oggett (Uverso). Il campoe è ua parte della popolazoe che lo studoso deve sceglere attetamete base all obettvo che s è prefssato. È mportate ache la umerostà del campoe, dcata co. X X ~ S X X meda campoara varaza campoara 43

44 S varaza campoara corretta 0 Stma e stmatore. X X, X,..., è uo stmatore,..., X è ua stma, Lo stmatore è ua v.c. metre la stma è u umero reale. Le propretà dello stmatore sarao elecate e commetate u altro mometo. t è l valore reale della stma T è la v.c. stmatore. Esercz statstca ferezale (verfca delle potes) Propretà d uo stmatore Le propretà fodametal d uo stmatore soo quattro: la suffceza, la cossteza, la o dstorsoe e l effceza. Uo stmatore è suffcete se cotee o stetzza tutte le formazo 0 Nelle lezo successve s caprà l cocetto d corretta. Per l mometo è ecessaro sapere solo queste due semplc defzo. La parte teorca può essere studata ache u secodo mometo. 44

45 rlevat coteute u campoe a f della stma d u parametro. Uo stmatore vee defto cosstete se al crescere della umerostà campoara aumeta ache la probabltà che l valore della stma sa uguale al valore del parametro della popolazoe. Per u molto grade è quas certo che la stma cocda co l parametro. Uo stmatore s dce effcete se la sua varaza, a partà d altre codzo, rsulta more della varaza otteble co altr dvers stmator. Uo stmatore s dce o dstorto se l suo valore atteso cocde co l parametro. Questa ultma propretà è tra le pù mportat perché dca che lo stmatore possede ua dstrbuzoe che ha l parametro θ come barcetro; d altra parte l valor medo d ua v.c. è tato pù rappresetatvo quato pù la varaza è pccola. Percò la varaza può essere ua dcazoe della botà d uo stmatore solo per stmator o dstort. A tal proposto s defsce l errore quadratco medo (Mea Square Error) MSE d uo stmatore per l parametro θ l seguete valore medo: MSE T T 45

46 Questo valore, attraverso calcol matematc 3, s può scrvere ache: MSE T Var T b T Qud l MSE d uo stmatore è uguale alla varaza dello stmatore pù la dstorsoe (b) al quadrato. Il MSE d uo stmatore o dstorto cocde co la varaza dello stmatore. Uo stmatore s dce cosstete meda quadratca per θ se : lm MSE T lm T 0 Qud uo stmatore è cosstete meda quadratca se l suo MSE tede a zero al crescere della umerostà campoara 4. Uo stmatore è cosstete probabltà per θ se, per og ε > 0 fssato, s ha : lm PrT 3 Basta rcordare l quadrato d u bomo. 4 È la stessa defzoe data el foglo I : soo stat utlzzat solo term pù tecc. 46

47 La cossteza meda quadratca d T mplca la cossteza probabltà. Uo stmatore T per l parametro θ s dce astotcamete Normale se : T T lm Pr Var T t t Il Lemma d Neyma e Pearso 5 è u rsultato teorco mportate per la costruzoe della Regoe Crtca (RC) e utlzza la fuzoe d verosomglaza. Questo Lemma dvdua ua RC e o la RC. La RC vee determata modo che l rscho d commettere l errore del tpo, rteuto pù grave, sa par ad u lvello α prefssato. 5 Questo Lemma vee utlzzato pratcamete egl esercz sulla Verfca delle Ipotes 47

48 Struttura probablstca del test H 0 è vera H 0 è falsa E G G E S rfuta H 0 No s rfuta H 0 S rfuta H 0 No s rfuta H 0 G : s decde d o rfutare H 0 sulla base del campoe osservato ed effettvamete H 0 è vera : decsoe gusta; G : s decde d rfutare H 0 sulla base del campoe osservato ed effettvamete H 0 è falsa : decsoe gusta; E : s decde d rfutare H 0 sulla base del campoe osservato metre H 0 è vera: decsoe errata; (errore d tpo ) E : s decde d o rfutare H 0 sulla base del campoe osservato metre H 0 è falsa : decsoe errata. ( errore d tpo ) Pr E lvello d sgfcatvtà del test, ampezza della RC Pr E probabltà dell errore d tpo Pr G regoe d accettazoe del test Pr G la probabltà d rfutare correttamete H 0 o semplcemete poteza del test. Test sul valore medo (ota la varaza della popolazoe ) 48

49 test z meda del campoe cosderato meda della popolazoe varaza della popolazoe umerostà del campoe lvello d sgfcatvtà ( geere è 5%, % o 0%) z è l quatle (valore sulle tavole) el caso d u test udrezoale z è l quatle (valore sulle tavole) el caso d u test bdrezoale Test z bdrezoale RC RC - z + z 49

50 Se l valore del test (molto spesso chamato valore crtco) è ferore a - z o superore a cotraro o s rfuta H 0. z allora s rfuta H 0, caso Test z udrezoale (destra) RC + z Se l valore del test è superore a o s rfuta. z allora s rfuta H 0, altrmet Test sul valore medo (se o è ota la varaza della popolazoe ) test t s 50

51 dove s è la varaza 6 del campoe. Per la determazoe de quatl s cosulta la Tavola della t d Studet cosderado grad d lbertà g che soo par a -. Questo eserczo è smle a quello precedete: l uca dffereza cosste el determare quatl su tavole dverse. 7 Test sulla dffereza tra valor med (co le varaze ote) test z, m y m y m H H 0 : y y 0 cotro H : 0 test bdrezoale 0 : y 0 cotro H : y 0 (destra) H 0 : y y test udrezoale 0 cotro H : 0 test udrezoale(sstra) Ache per questo tpo d test è ecessaro determare, medate l uso delle tavole, l quatle: z per l tpo udrezoale e per l tpo bdrezoale. z 6 Varaza corretta. 7 I realtà s può utlzzare u uca tavola: la tavola della t d Studet. I corrspodeza della rga co grad d lbertà c soo quatl della varable z. 5

52 Nella bdrezoale : s rfuta H 0 se z, è maggore d m z o more d - z. Nella udrezoale a destra : s rfuta H 0 se z, è maggore d m z. Nella udrezoale a sstra: s rfuta H 0 se z, è more d - m z. Test sulla dffereza tra valor med (co varaze o ote) 8 test t, m y S m m S y m m m La tavola da utlzzare per determare l quatle è quella della t d Studet. I grad d lbertà g soo par a +m-. Se le umerostà campoare soo elevate la statstca test t può essere approssmata al test z e quatl vegoo rcercat sulla Tavola z 8 Le varaze della popolazoe o soo ote ma le suppoamo ugual tra loro. 5

53 test z, m S y m S y m Test sulla dpedeza (test o parametrco) H 0 : X e Y soo dpedet cotro H : X e Y o soo dpedet sulla base d ua tabella a doppa etrata otteuta dall osservazoe della varable doppa (X,Y) sulle utà statstche, occorre calcolare le frequeze assolute teorche assumedo l dpedeza... j ˆ j frequeze assolute teorche 9 k h j ˆ j (ch quadrato) ˆ j j Per determare la RC è ecessaro utlzzare le tavole del χ (g). I grad d lbertà g soo par (k-)(h-) dove k è l umero d rghe della tabella e h è l umero delle coloe della tabella. S rfuta H 0 se l valore calcolato sul campoe è maggore del valore crtco (quatle) determato sulla Tavola del χ. 9 Gà studate ella parte descrttva. 53

54 Modello d regressoe leare Uo de prcpal obettv dell aals statstca è lo studo dell assocazoe tra dverse varabl. La correlazoe msura la drezoe e la forza del legame leare tra due varabl quattatve. Ua retta d regressoe 30 rassume la relazoe tra due varabl ua drezoe specfca: quado ua delle varabl (esplcatva o dpedete) auta a spegare o prevedere l altra ( la varable rsposta o dpedete). Le potes classche della regressoe leare: ) Y 0 ) 0 3) Var ( ) 4) Cov, 0 per j, j,..., 5) la varable X è ota seza errore ed è osservata almeo per due valor dstt. La retta che s utlzza per gl esercz è la seguete: yˆ ˆ ˆ 0 30 La regressoe leare è u metodo d adattameto dat a ua retta. Se la retta ha u adameto ascedete, sgfca che ua varable esplcatva, come ad esempo l umero d addett alle vedte, ha u effetto postvo sulla varable dpedete, ad esempo le etrate. Se l'adameto è dscedete, allora l'effetto è egatvo. Pù accetuata è la pedeza della retta, maggore è l'effetto. 54

55 dove ˆ s y s è l coeffcete agolare della retta (coeffcete d regressoe) e ˆ y ˆ è l tercetta (l puto cu la retta tagla l asse 0 delle ordate) Le dffereze tra valor osservat e valor stmat soo dett resdu eˆ y yˆ ˆ e 0 Correlazoe Postva 55

56 Correlazoe Negatva Idffereza Nessua Relazoe tra X e Y Propretà della retta d regressoe: la retta è uca; la retta passa per l puto d coordate, y; 56

57 la retta è tale che le meda delle osservate è uguale alla meda delle stmate. Idce d determazoe R Msura la botà d accostameto (goodess of ft ) de put alla retta d regressoe. R r y R dev( reg) dev( tot ) y y 0 R Dev( y) devaza totale yˆ y Dev( yˆ) devaza della regressoe Dev( eˆ) ( y yˆ ) devaza resdua (o de resdu) Teorema d Gauss Markov Sotto le potes classche del modello d regressoe leare semplce, gl stmator LS per parametr soo lear, o dstort ed pù effcet ella classe degl stmator lear e o dstort. 57

58 ESERCIZI SVOLTI U ura cotee 70 palle d cu 6 ere, 4 galle e 0 rosse. Calcolare la probabltà che estraedo a caso ua palla dall ura questa sa: a) sa galla o era o rossa; b) sa verde; c) sa galla o rossa; d) o sa galla; e) sa era o rossa. SVOLGIMENTO 3 S defscao seguet evet: N: estrazoe d ua palla era; R: estrazoe d ua palla rossa; G: estrazoe d ua palla galla; V: estrazoe d ua palla verde; a) Pr( G N R) Pr( ) ; b) Pr( V ) Pr( ) 0; c) Pr( G R ) Pr(G ) Pr( R ) ; d) Pr( G ) Pr(G ) ; e) Pr ( R N ) Pr( R ) Pr( N ) ; 70 s ot che la domada e) è equvalete alla domada d), per cu due evet ( G ) e ( R N ) per questa prova cocdoo. Calcolare l valore medo e la varaza della v.c. che assume valor 0,,, 4, rspettvamete co probabltà,, 4, 6. 3 Questo eserczo è stato scarcato dal sto teret del Prof. Pccolo. Per maggor formazo 58

59 SVOLGIMENTO X X X Var ( X ) Il peso medo d u determato campoe d tartuf è d 5 gramm e la devazoe stadard (scarto quadratco medo) è d 5 gramm. Qual è la probabltà d trovare tartuf dal peso ferore d 30 gramm? Qual è la probabltà d trovare tartuf che pesao tra 60 e 70 gramm? SVOLGIMENTO La varable casuale s dstrbusce ormalmete ~ 5, Pr( X 30) Pr( Z ) Pr( Z.4) Pr( Z.4) 5 59

60 -.4 z Pr( Z.4) Pr( 60 X ) Pr( Z ) Pr(0.6 Z.6) 5 5 Pr z Z.6 PrZ La probabltà d colpre u bersaglo la prmo, al secodo ed al terzo colpo, è rspettvamete par a: 0.3, 0.6 e 0.8. S determ la probabltà d colpre l bersaglo uo ed uo solo de tre tetatv. SVOLGIMENTO Se colpre l bersaglo s defsce successo, allora s defscao seguet evet: S : successo al prmo tetatvo; S : successo al secodo tetatvo; S 3 : successo al terzo tetatvo; La probabltà rchesta (ossa colpre l bersaglo uo ed uo solo de tre tetatv) è ( S S S ) ( S S S ) ( S S S ) Pr( S S S ) Pr( S S S ) Pr( S S S ) Pr perché gl evet paretes toda soo tra loro compatbl. 60

61 Assumedo che colp sao dpedet, s ha oltre che: Pr( S S S3 ) Pr( S )Pr( S )Pr( S3 ), e smlmete per le altre due probabltà. Qud, la probabltà cercata rsulta: ( ) ( ) ( ) Da u campoe casuale d 4 opera del turo d goro s rcava che l tempo medo per compere ua certa operazoe è 54 mut co devazoe stadard d 6 mut metre per 8 opera del turo d otte rsulta che l tempo medo per effettuare la stessa operazoe è d 57 mut co devazoe stadard d 8 mut. S potzza la omoschedastctà (le varaze, o ote, delle due popolazo le suppoamo ugual). Al lvello d sgfcatvtà del 5% co u test blaterale, s verfch se esstoo dffereze statstcamete sgfcatve tra gl opera de due tur. SVOLGIMENTO H 0 : y cotro H : y 54 y 57 sˆ 6 sˆ 8 4 m y Le varaze della popolazoe o soo ote. Le umerostà de campo soo pccole. Qud s può utlzzare l test T,m. test t, m S y m S m y m m m test t 4, t.689 e grad d lbertà soo 4+8-=30 Il valore sulle tavole è: 6

62 t 30; Il test o è sgfcatvo; o s respge H 0. 3 ESERCIZIO 3 Calcolare grad d lbertà per ua verfca sull dpedeza d ua tabella 4 3. Calcolare t 8;0.05 e 8;0.0 t e commetare rsultat otteut. Calcolare t 0;0.05 e t 0;0.05 e commetare rsultat otteut. Calcolare l valore d 0;0.05 e d 5;0.05 SVOLGIMENTO I grad d lbertà d ua tabella 4 3 soo dat da g t 8;0.05 =.734 t 8;0.0 = Questo eserczo è formato da var put che o soo collegat tra loro. Potrebbero essere delle domade flash sa per gl alu del Prof. Pccolo e sa d quell della Prof. D Ela. 6

63 A partà d umerostà del campoe (e qud de grad d lbertà) s ha maggor possbltà d rfutare l potes ulla co u lvello d sgfcatvtà pù alto (e questo è ovvo). t 0;0.05 =.85 t 0;0.05 =.747 A partà d lvello d sgfcatvtà s ha maggor possbltà d rfutare l potes ulla co ua umerostà pù alta. 0;0.05 = ;0.05 = A partà d lvello d sgfcatvtà s ha maggor possbltà d rfutare l potes ulla co ua tabella pù rdotta. 63

64 FORMULARIO DESCRITTIVA meda artmetca (per utà) k meda artmetca (per frequeze) h c meda artmetca (per class) Me se se è par è dspar medaa (per utà) 0,5 F Me medaa (per class) F F d destà (serve per determare la moda ua dstrbuzoe class) varaza (per utà) k formula veloce Varaza (per utà) varaza (per frequeze) 64

65 k frequeze) h c formula veloce Varaza (per formula veloce Varaza (per class) scarto quadratco medo CV coeffcete d varazoe j j dffereza semplce meda R rapporto d cocetrazoe X, Y y y y Cov covaraza y y y formula veloce covaraza X, Y X Var Y y Cov y coeffcete d correlazoe Var k h j y leare Bravas-Pearso j ˆ j ch quadrato (dce d assocazoe tra due ˆ j varabl) 65

66 FORMULARIO CALCOLO DELLE PROBABILITA Pr(E) 0 Pr(Ω) = Pr( A B) Pr( A) Pr( B) se gl evet soo compatbl Pr( A B) Pr( A) Pr( B) Pr( A B) se gl evet soo compatbl Pr( A ) Pr( A) Pr( A B) Pr( B A) probabltà codzoata Pr( A) Pr( A B) Pr( A)Pr( B) solo se gl evet soo dpedet (è la codzoe dell dpedeza) 33 k p valore medo d ua varable casuale VAR X EX EX EX X Varaza d ua varable casuale Z formula per stadardzzare 33 La formula è utlzzata per gl esercz co le palle (terme molto utlzzato da Cro) o sml. 66

67 Z S Var S S S X Teorema del Lmte Cetrale 67

68 Pr E FORMULARIO STATISTICA INFERENZIALE lvello d sgfcatvtà del test, ampezza della RC Pr E probabltà dell errore d tpo Pr G regoe d accettazoe del test G Pr la probabltà d rfutare correttamete H 0 o semplcemete poteza del test. (deotato ache co γ) Test sul valore medo (ota la varaza della popolazoe ) test z Test sul valore medo (se o è ota la varaza della popolazoe ) test t s 68

69 Test sulla dffereza tra valor med (co le varaze ote) test z, m y m y m Test sulla dffereza tra valor med (co varaze o ote) test t, m y S m m S y m m m Grad d lbertà t d Studet (u campoe) g Grad d lbertà t d Studet (due campo) Grad d lbertà g m (test sull dpedeza) g k h k è l umero d rghe metre h è l umero d coloe. 69

70 FORMULARIO REGRESSIONE Y 0 Retta d regressoe (co errore) ˆ s y s coeffcete d regressoe ˆ y ˆ tercetta eˆ 0 ˆ y y resduo ˆ e 0 somma de resdu è par a zero R r y dce d determazoe dev( reg) R 0 R dev( tot ) y y Dev( y) devaza totale Dev ( yˆ) yˆ y devaza della regressoe Dev( eˆ) ( y yˆ ) devaza resdua (o de resdu) 70