IL CALCOLO DELLA DOMANDA DI TRASPORTO (Capitolo 4)

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1 Facoltà d Igegera - Uverstà d Bologa Ao Accademco: 00/ TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI Docete: Maro Lup IL CALCOLO DELLA DOMANDA DI TRASPORTO (Captolo 4)

2 Modello descrttvo per l calcolo della domada d trasporto aereo fra due cttà ( PP ) l F l d β + β l + β3 Facco l seguete espermeto: - Itroduco el membro d destra valor delle varabl esplcatve osservate u certo ao, le dco co: l P, P,l F, - Itroduco el membro d sstra l valore l d della domada verfcatos quell ao Scarto aleatoro l d [ β + β l P P + β3 lf e dovuto agl attrbut trascurat e semplfcazo trodotte el modello M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa

3 l 3 d β + P P + Fˆ β l β l + e y x x x + e c β c + β c + β3 c3 c I geerale ho T equazo: y βx y βx yc βxc yt βx T β x β x K K K K β x K K ck β x + TK + e + M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 3 e e + c e T

4 I forma compatta scrvo: y Xβ + e X( T K) : y( T ) : matrce delle varabl esplcatve od dpedet, gl elemet d X soo quattà determstche. è l vettore aleatoro de dat campoar. β( K ) : è l vettore de coeffcet (parametr) del modello (soo quattà determstche). e( T ) : è l vettore aleatoro degl error. I fase d calbrazoe del modello l vettore y e la matrce soo quattà ote. Le quattà o ote soo: β : vettore de coeffcet da stmare (quattà determstche). e : vettore d varabl aleatore o osservabl. X M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 4

5 Ipotes base del modello d regressoe leare potes ( yc ) β xc + βxc β K xck y Xβ + E( e c ) 0 E c potes e var( e c 3 potes ) var( yc ) σ I base a questa potes l modello s dce omoscedastco Le varabl y c, come le varabl e c, soo dpedet ( y, y ) 0 c, ' cov ( e, e ') 0 c, c' cov ' c c c 4 potes La matrce X (TxK) è composta da varabl determstche ed ha peo rago coloa. c M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 5 c

6 Queste soo le potes fodametal del modello d regressoe leare omoscedastco: 5 potes (questa potes o è ecessara sede d calbrazoe, lo sarà vece ella fase d corroborazoe). e c Per la varable aleatora, "errore", s fa l potes che sa dstrbuta secodo ua varable aleatora ormale. Ifatt e c è l'effetto rsultate della somma d umeros fattor o specfcat el modello, pertato, basados sul teorema del lmte cetrale s potzza che sa dstrbuta secodo ua ormale. (Teorema del Lmte Cetrale: la somma d varabl aleatore, fra loro dpedet, al crescere d, tede ad ua varable aleatora ormale), Se le varabl aleatore soo dstrbute modo ormale ache le soo varabl aleatore ormal. y c e c 6

7 Caso d u uca varable dpedete e d u uca varable dpedete (c permette d llustrare l modello) y c β + βxc + ec Itercetta y e c y (ordata c all orge) y β β + β x c β Ho T equazo: y β + βx + e y β + βx + e yc β + βxc + ec yt β + βxt + e T x x c T T y Xβ + T La prma coloa della matrce X è costtuta da tutt. x e Coeffcete agolare 7

8 Idco co b la stma del vettore β. Determo quel vettore b tale che sa mma la sommatora del quadrato degl scart fra quello che dà l modello ed l dato spermetale (cosdero l quadrato per evtare che gl scart postv e egatv s compeso): M M T [ ] y ( b x + b x b x ( y Xb)( ' y Xb) ( T ) ( T ) K K ) b ( X' X) X' y b è l estmatore de mm quadrat (ordaro). ( Ordary Least Squared Estmator, OLSE). 8

9 b K ( ) X ' X X' y k T T K K T T K K b è u vettore aleatoro perché è fuzoe d y che è u vettore aleatoro Propretà dell estmatore de mm quadrat y Xβ + e E E [( ) ] [( ) ( ) ] ( b) E X' X X' y E X' X X' Xβ + X' X X' e [ β + ( X X) X e] β + [( X X) X e] ' ' E ' ' β + ( X' X) X' E[ e] β E è u operatore leare 0 ( potes del modello) E[ b ] β L estmatore de mm quadrat è u estmatore corretto 9

10 θˆ è u estmatore corretto d θ θˆ è u estmatore dstorto d θ M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 0

11 b è u vettore aleatoro, vece d parlare d varaza come el caso d uo scalare parlo d matrce d covaraza (detta ache matrce d varaza-covaraza). Nel caso d u vettore geerco z: [ ] V z [ ] σ V b var( z) cov( zz )... cov( zz K ) cov( zz) var( z)... cov( zzk ) cov( zk z) cov( zk z)... var( zk ) Nel caso del vettore b: ' X X T T K K K K Matrce d covaraza dell estmatore de mm quadrat b (dmostrazoe sulle dspese)

12 Rassumamo le propretà dell estmatore de mm quadrat b b ( X' X) X' y E u estmatore leare: ossa otteuto co ua trasformazoe leare del vettore aleatoro y ( b Ay dove A ( X' X) X' ) E[ b ] β V [ b] σ ( ) X'X E u estmatore corretto: la meda cocde co l vettore de parametr da stmare. β La matrce d covaraza ha questa espressoe - Teorema d Gauss-Markov L estmatore de mm quadrat b è l mglore estmatore leare corretto d β. M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa

13 - Classe degl estmator lear, ossa del tpo: β ˆ Ay (Nel caso dell estmatore de mm quadrat ordaro b : A ( X' X) X' ) - Classe degl estmator corrett: [ ] Eβ ˆ β Nell ambto della classe degl estmator lear corrett b è l mglore el seso che: Og altro estmatore b ˆ leare corretto ha ua var( ) var( β ) varaza maggore, al pù uguale, a quella dell estmatore de mm quadrat, ma ma more. M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 3

14 θˆ è u estmatore pù effcete d θˆ ( θˆ e θˆ soo etramb estmator corrett d θ ) M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 4

15 Il teorema d Gauss- Markov (rsultato teorco rgorosamete dmostrato) seme alla ragoevolezza dell approcco, mmzzo l quadrato degl scart fra modello e dat spermetal, oltre al collaudato utlzzo, spegao l dffuso utlzzo dell estmatore de mm quadrat. σ s stma attraverso l estmatore: ˆ σ dove eˆ + eˆ + + eˆ... T K eˆ y Xb T eˆ 'eˆ T K è l vettore de resdu σˆ è u estmatore corretto d σ quato (s dmostra che): E [ ] eˆ + eˆ eˆ T ˆ σ E σ T K 5

16 Le fas d messa a puto d u modello d domada soo tre: - Specfcazoe - Calbrazoe - Corroborazoe Fase d corroborazoe el caso d u modello d regressoe leare y Xβ + e Ua volta stmato l vettore de parametr del modello co l vettore de mm quadrat : b β Calcolo l coeffcete d determazoe: R M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 6

17 T ( y y) Msura della varazoe d y (dat y spermetal) ( y è la meda degl y ) T y ˆ Xb estmatore d y Xβ T ( yˆ yˆ) Msura della varazoe d ŷ yˆ ( yˆ è la meda degl ŷ ) T (valor fort dal modello ) M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 7

18 R R y varazoe spegata dal modello varazoe totale T T ( yˆ y) ( y y) Coeffcete d determazoe y ê y ŷ x x M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 8

19 0 R Se R 0 Se R Il modello o fuzoa perché la varazoe spegata dal modello è bassa rspetto alla varazoe totale. Il modello (da questo puto d vsta) va bee perché la varazoe spegata dal modello è crca uguale alla varazoe totale. y y y eˆ y yˆ y ˆ y yˆ y R << x x 9

20 y y R x x M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 0

21 Esempo- Domada d trasporto aereo fra due cttà [ β + β ( ) ] l PP + T e l d 3 l + β Dopo calbrazoe cosderado 35 coppe d cttà (dat campoar, o sere storca) l d 4, ,95 l ( PP ) 0,767 lt R 0,774 Nel modello (macromodello) che avevamo vsto a proposto del traffco d vecol pesat autostrada: l d 3,6 +,99 l IPI 0, 76T vp t R 0,97 t t M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa

22 Il coeffcete d determazoe R è u dce d corroborazoe globale del modello. Serve però ache u dce putuale: che c dca se cascua varable dpedete (attrbuto) spega ( e quale msura) la varable dpedete (domada). b ( β, σ ( X' X) ) ( ) y b X' X X' è u vettore ormale multvarato (5 potes del modello d regressoe leare). b ( X' X) N ( β,σ ) Elemeto della matrce σ ( X ' X) Ossa la geerca compoete -esma, b, d b è ua varable ormale

23 ˆ σ b β σ X X ( ' ) eˆ Se pogo al posto d + eˆ + + eˆ... T K N(0,) T σ σ eˆ 'eˆ T K o lo coosco, ma lo posso stmare la sua stma: ottego ua varable t d Studet co T-K grad d lbertà: b σˆ β ( X' X) b β ( s è la stma della devazoe stadard d b ) s è ua varable t d Studet co T-K grad d lbertà (ua varable t d Studet, co DF grad d lbertà, è ua varable aleatora, a meda ulla, che assomgla tato pù ad ua ormale stadard quato pù è alto l umero d grad d lbertà)

24 Test d potes su parametr del modello β β 0 0 IPOTESI NULLA (la varable esplcatva -esma o pesa ello spegare la varable dpedete) IPOTESI ALTERNATIVA (la varable esplcatva - esma pesa ello spegare la varable dpedete) Per esempo el caso ˆ y b x + b x b K Secoda coloa della matrce x K Es. x l PIL l PIL... l PIL T M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 4

25 b β s È la statstca del test (come è stato detto è ua t d Studet co T-K grad d lbertà) Se l potes ulla è vera (ossa x o è statstcamete sgfcatva ello spegare la y) b s è ua t d Studet co T-K grad d lbertà. (Se per esempo el modello ho 0 equazo e tre parametr da stmare T-K0-37 grad d lbertà) M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 5

26 Fsso ua dmesoe del test. Per esempo α 0,05, oppure α 0, 0 t ˆ T K b s Calcolo l valore della t d Studet co T-K grad d lbertà corrspodeza de me dat. Cosdero la t d Studet co T-K grad d lbertà (è smle ad ua ormale stadard) Area uguale a 0,05 α / tt K Area uguale a 0,05 α / 0,05 (Se α 0,05 e T-K7 t t,) T K L evdeza campoara m fa respgere l potes ulla: la varable è statstcamete sgfcatva per spegare y. x 7 ˆ tt K 6

27 Area uguale a 0,05 α / tt K Area uguale a 0,05 tt K Se β 0 l eveto è possble, ma mprobable Se vece s verfca questo caso accetto l potes ulla d o sgfcatvtà statstca della varable x ˆ Area uguale a 0,05 α / tt K Area uguale a 0,05 ˆ tt K 7

28 Area uguale a 0,05 α / tt K Area uguale a 0,05 t ˆ T K L aalsta spera che s verfch questo caso: l potes ulla vee respta co forza; la varable è statstcamete sgfcatva ello spegare la varable dpedete ( la domada). I questo caso vuol dre che è stata scelta bee la varable esplcatva (dpedete) -esma. Il test t d Studet su parametr del modello m permette d selezoare le varabl esplcatve ad ua ad ua. Ivece co l coeffcete R le promuovo, o le bocco, blocco (l coeffcete d determazoe è ua msura sulla botà globale del modello). 8

29 Traffco autostradale talao 983/000 (vecol pesat) l d 3,6 +,99 l IPI 0, 76T vp t t t R 0,97 ˆl IPI T t t 3,4 t t ˆ5 3, 88 t 0, 5, 3 5 Itala A: Traffco aereo tero ˆ 05 l d t 7, +,89 l SE t 0,67 lt t R 0,96 d passegger mbarcat u ao/popolazoe t SEt Tt prodotto tero lordo pro capte ell ao (espresso lre 99) rapporto fra gl cass total e pass-km realzzat (espresso cets/pass-km co valore 99) ˆl SE t t 0,55 ˆl T t t, 33 t 0, 9, ˆ 05 9

30 Metod utlzzat per la calbrazoe d u modello d domada Modell descrttv Estmatore de mm quadrat Modell comportametal Estmatore d massma verosmglaza V ( X ) K β x Vettore degl attrbut dell -esma alteratva per l -esmo utete (K compoet) M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 30

31 Calbrare l modello Determare l vettore de parametr cogt β (stmare parametr cogt) Metodo della massma verosmglaza Itervsto N utet Per og utete ho u vettore d attrbut (che coosco facedo le tervste) X I Og utete scegle u uca alteratva Itroduco la varable y 0 se l utete o scegl se l utete scegl M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 3

32 Ammettamo che: I aereo treo auto Ammettamo che l utete scegl l alteratva aereo, sarà: y y 0 0 aereo treo y auto La probabltà d scelta dell alteratva aereo (alteratva effettvamete scelta dall utete) secodo l modello la posso scrvere così: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 y aereo y treo ( ) yauto p p p p p p aereo treo auto aereo treo auto p I ( ) y Forma compatta 3

33 N ( p ) I y Nel caso d u modello logt L p Probabltà coguta d osservare le scelte campoare p e I ' β X e ' β X dpede dal vettore β da stmare ( ) ( β, β β p ),... K N I y Fuzoe d verosmglaza (lkelhood). Esprme la probabltà coguta d osservare le scelte campoare E ua fuzoe che ha come varabl dpedet le compoet del vettore. β Il metodo della massma verosmglaza cosste ell assumere come stma d β quel vettore de parametr βˆ che massmzza la fuzoe d verosmglaza. 33

34 Per semplfcare calcol, vece d massmzzare la fuzoe d verosmglaza ( lkelhood ) massmzzo l suo logartmo (fuzoe deomata log-lkelhood ). L ( β, β,... β ) l L( β, β β ) K,... Essedo la fuzoe logartmo ua fuzoe strettamete crescete due put d massmo (della fuzoe d lkelhood e loglkelhood ) cocdoo. L N ( β) I y l p K Ho ua sommatora, vece d avere ua produttora come ella fuzoe d lkelhood. M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 34

35 L estmatore d massma verosmglaza gode d buoe propretà astotche: ossa valgoo rgorosamete quado l ampezza campoara N, pratca (per u gegere) basta che N sa grade. - L estmatore d massma verosmglaza è u estmatore cosstete : all aumetare dell ampezza campoara, N, s dstrbusce co varaza sempre pù bassa toro al parametro da stmare. - L estmatore d massma verosmglaza è u estmatore effcete (mma varaza). - L estmatore d massma verosmglaza è dstrbuto modo ormale. M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 35

36 Nel caso dell estmatore de mm quadrat resco ad esplctare l estmatore: b ( X' X) X' y. Nel caso dell estmatore d massma verosmglaza o resco ad arrvare ad ua formula esplcta dell estmatore Devo rsolvere l problema l seguete problema d massmo ( l problema della stma d massma verosmglaza s rduce a rsolvere u problema d massmo, o vcolato, d ua fuzoe a pù varabl): βˆ arg max L ( β) arg max N I y l p La fuzoe è strettamete cocava (oltre o ho vcol su parametr ). β Esstoo de procedmet teratv per rsolvere l suddetto problema d massmo. 36

37 Corroborazoe d u modello d utltà aleatora Calcolo la statstca ρ (è aaloga a R del modello d regressoe leare) ( β) L ˆ ρ L 0 ρ ( 0) ρ 0 L ( βˆ ) L( 0) I parametr soo tutt ull p e ' β X e ' β X alteratve I Il modello o forsce essua ulterore formazoe rspetto ad ua potes d equprobabltà delle alteratve. M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 37

38 aereo I treo auto Se vece: p aereo 3 ˆ ( ) ρ Lβ 0 p treo ( ) y l p l p 0 Lβ N I N 3 p auto 3 : alteratva effettvamete scelta dall utete N y 0 l p per le alteratve o scelte dall utete 0 p Il modello prevede (per og utete) ua probabltà d scelta par ad per l alteratva effettvamete scelta dall utete: modello perfetto. Quato pù ρ tato pù l modello fuzoa. 38

39 - Test t d Studet su parametr del modello Verfca putuale su parametr d u modello Voglo verfcare la sgfcatvtà dell attrbuto ello spegare le scelte effettuate dagl utet. Facco u test d potes sul parametro β (aalogo a quello utlzzato ella fase d corroborazoe d u modello d regressoe leare) X β β 0 0 IPOTESI NULLA (la varable esplcatva -esma o pesa ello spegare le scelte degl utet) IPOTESI ALTERNATIVA (la varable esplcatva - esma pesa ello spegare le scelte degl utet) M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 39

40 ˆ (, N β σ β β ˆ ) La matrce d covaraza Ω dell estmatore d massma verosmglaza s stma co: Ωˆ [ ] H(βˆ ) La stma è valda term astotc ( pratca per N, ampezza campoara, grade ) ˆ β ˆ σ ˆ β 0 E ua t d Studet co N-K grad d lbertà ( pratca, dato l alto umero d grad d lbertà, è ua varable aleatora ormale stadard). M. Lup, "Tecca ed Ecooma de Trasport" - A.A. 00/ - Uverstà d Bologa 40

41 Dmesoe del test 0,05 Area uguale a 0,05 α / t T K,96 Area uguale a 0,05 Rfuto l potes ulla ˆ β ˆ σ ˆ β Area uguale a 0,05 α / t T K,96 Area uguale a 0,05 Accetto l potes ulla ˆ β ˆ σ ˆ β 4

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