CAPITOLO 6 ANALISI DEL RITARDO IN UNA RETE DATI.

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1 CAITOLO 6 AALISI DEL RITARDO I UA RETE DATI.

2 6. AALISI DEL RITARDO I UA RETE DATI I queso caolo aalzzeremo, modo quaavo e qualavo, gl eleme d rardo rese ua ree er da. Fodamealmee cosdereremo re d o aced swched commuazoe d accheo, ma qualche ceo verrà fao ache er le re d o crcu swched commuazoe d crcuo. Ulzzado la eora aalca delle code o ulzzado u arocco d o gegersco, suderemo come s ossa rogeare ua ree, dmesoarla e valuare le resazo. I arcolare, uo degl obev è quello d comredere qual meod aalc o smulav covee ulzzare er fare u aals delle resazo d ua ree. I aramer resazoal ù mora, che sorcamee soo sa res esame elle re er da, soo: THROUGHUT [b/sec ]. sura l effceza del ssema, e raresea l volume del raffco che vee smalo dalla ree ell uà d emo: aalcamee esso s uò quafcare araverso l raoro ra l raffco offero ed l raffco smalo. Esse u alra erreazoe o d eresse resazosco d hroughu, eso come volume d raffco offero alla ree. er quao rguarda l effceza, essa è del % quado uo quello mmesso ella ree resce ad essere eramee smalo. Legao al hroughu, u alro aramero morae, è la ROBABILITÀ DI ERDITA, ovvero la are d raffco che, er qualche movo, o arrva a desazoe e, qud, vee erso dalla ree. RITARDO. E l emo che ercorre fra l momeo cu u messaggo vee cosegao alla ree, er essere recaao a desazoe, e l emo cu effevamee vee cosegao all uee. Se u dao uò arrvare ache doo dvers secod, vece, u segale audo o vdeo o uò suerare lm mos al rardo d cosega, quao l formazoe ella sua globalà s degraderebbe eccessvamee. L formazoe vdeo e audo rsee foremee ache del er, coè dalla varaza del rardo co cu ques messagg vegoo cosega a desazoe. Ques aramer coseoo d valuare l ulzzazoe delle rsorse ed u cero seso la qualà del servzo, erm d rardo medo, offero a cle. Essoo charamee de legam ra aramer ca. Ad esemo, se u formazoe sosa e buffer d ree er roo emo, quesa verrà auomacamee scaraa, rovocado l aumeo della robablà d erda, coè dmurà l hroughu. erao v sarao alcazo cu covee mmzzare la robablà d erda alcazo d o da, ad esemo l bacoma, alre codfca del segale vocale caa recedeza cu soo ecessar ccol rard d cosega, ed alre rasfermeo d da mulmedal fra due bache da cu s rchedoo sa basse robablà d erda che rdo rard d cosega. er valuare u ssema d elecomucazo rame aramer sora ca e er dmesoare la ree, al fe d avere deerma aramer resazoal, s devoo ulzzare ooru modell d rfermeo. Come s è gà deo, gl srume a dsoszoe soo due: s smula l comorameo della ree laboraoro, oure s crea u modello aalco che rarese l ssema che s vuole sudare; s madao degl u al modello e s osservao gl ouu, msurado valor de aramer caraersc.

3 6. Eleme d Rardo ua Ree Da Cosderamo la sube sooree mosraa Fg. 6.-; l rardo, che u geerco accheo subrà, sarà dovuo alla somma de rard accumula su og l araversao. Quesa somma è esressa erm sasc, oché, l umero d od che vegoo araversa dal accheo formavo, ua sgola comucazoe, dede dall algormo d sradameo ulzzao. erao s deve eere coo d due rocess sasc: l umero d od araversa dal accheo ed l rardo che su cascua raa l accheo sesso subsce. Ioes d lavoro che s assume è quella d suorre al rocess sreamee o correla: quesa è ua grade semlfcazoe che m cosee d o cosderare le robablà cogue. Fg. 6.-: Sooree d ua ree er da Il rardo assocao ad og l, è cosuo da quaro comoe:. ROCESSIG DELAY RITARDO DI ROCESSAETO: emo che rascorre ra quado l accheo è correamee rcevuo al odo d esa del l e quado esso vee assegao alla coda d rasmssoe d u l d usca. Se, ad esemo, cosderamo u accheo che arrva al odo A d Fg. 6.-, l quale lo drzza verso l odo B, l ROCESSIG DELAY è rareseao dal emo che rascorre ra l sae cu l accheo è rcevuo al odo A, e l sae cu l accheo è assegao alla coda d rasmssoe del l che collega A e B.. QUEUEIG DELAY RITARDO DI CODA: emo che rascorre ra l sae cu l accheo è assegao ad ua coda er la rasmssoe e l sae cu l accheo za ad essere rasmesso. Queso rardo è quello d aura maggormee sasca, erché dede da a faor che o s rescoo a revedere co recsoe. 3. TRASISSIO DELAY RITARDO DI TRASISSIOE: emo che rascorre ra l sae cu l rmo e l ulmo b del accheo soo sed. 4. ROAGATIO DELAY RITARDO DI ROAGAZIOE: emo che rascorre ra l sae cu l ulmo b è sedo dal odo d esa del l e l sae cu esso è rcevuo dal odo d coda del l. Queso emo dede dalle caraersche del mezzo rasmssvo, ed è roorzoale alla dsaza che seara l seder dal recever. Tale delay rsula essere molo ccolo salvo el caso delle rasmsso va saelle. Tcamee mezz d comucazoe, usualmee ulzza cavo coassale, hao ua velocà d roagazoe ar a 8 m/sec. Vso che og odo è u ssema coda-servee, l odo A d Fg. 6.- lo s uò schemazzare come mosrao Fg. 6.-: qud 3

4 . l ROCESSIG DELAY o è alro che la somma del emo d aesa ella u queue ù l emo d rocessameo al server S,. l QUEUEIG DELAY è l emo d aesa ella ouu queue, 3. mere l TRASISSIO DELAY o è alro che l emo d rocessameo o d servzo al server corrsodee alla ouu queue. odo B odo A Iu Queue S Ouu Queue odo F S 3 S Ouu Queue Fg Schemazzazoe delle code rese el geerco odo d ua sube. Osservamo che quao deo sora rascura la ossblà che u accheo debba essere rrasmesso a causa d u errore o er qualche alra causa; d alro cao, queso o deve reoccuarc, erché, ella maggor are de l, le rrasmsso soo così rare che ossoo essere rascurae. I seguo, el modellare l geerco odo, rascureremo ove è ossble l ROAGATIO DELAY, che dede dalle caraersche del mezzo e dalla dsaza de od coess dal l, ma è del uo dedee dal raffco resee ella ree, e l ROCESSIG DELAY, che, elle re a bada srea, cde oco sul rardo oale: esso fa raresea l emo d leura e d rocessameo del dao da are del odo d commuazoe; ques ulma assuzoe ha l effeo d far sarre la u queue ed l relavo servee dalla Fg Defamo, fe, quello che s defsce leeraura FATTORE a, ar al raoro fra l emo d roagazoe su u l ed l rardo d rasmssoe ecessaro er mmeere u messaggo sul l. Esso vee molo sesso ulzzao come aramero comlemeare er la valuazoe delle resazo delle re local LA: ù elevao è l faore a, ù basse soo le resazo d ua ree ETHERET. 6.. Rardo d Trasmssoe er Traffco ullexao Esamamo l RITARDO DI TRASISSIOE TRASISSIO DELAY del accheo, el caso cu la ecca d mullexg sa TD, FD o d Sascal ullexg. I og caso l l verrà vso come u b e, sul quale ossoo essere rasmess u cero umero d b al secodo. Queso valore dcao camee co C umero d b rasmess ell uà d emo el l, esresso bs b/sec, dede sa dalle caraersche del mezzo fsco d cu l l è cosuo, che dalle erfacce usae er la comucazoe. Caso : Sascal ullexg Se la mullazoe è sasca, acche che arrvao dalle vare sorge soo os u uca coda e vegoo serv co ua olca d o FIFO Frs u frs ouu. 4

5 Dea L bs la lughezza d u geerco accheo, e dea C bs la caacà del caale, oché la rsorsa rasmssva è allocaa eramee ad u sgolo accheo alla vola, l emo d servzo, eso come rasmssoe del accheo, è ar a : L d Eq. 6.- C Caso : Frequecy Dvso ullexg Suoamo d avere m sorge d raffco, le qual devoo essere mullae medae FD sul osro l. I al caso, dea W la bada assae del caale, ad og sream d raffco verrà assocao u caale avee bada crca ar a W/m. Dea C bs la caacà rasmssva del caale, all -esmo raffc sream sarà assocao u caale C/m bs. Da cu segue che l emo ecessaro a rasmeere u accheo lugo L bs è ar a: L d C m ml C Eq. 6.- Osservamo come queso emo sa m vole ù grade rseo a quello relavo allo sascal mullexg. Caso 3: Tme Dvso ullexg Suoamo d avere m sream d raffco. Se la dmesoe degl slo emoral è ccola rseo alla lughezza del accheo da rasmeere, lugo L bs, s ha lo sesso emo d rasmssoe, dao dalla Eq. 6.-; fa, ache queso caso, è come se og sream avesse assocao u caale d caacà C/m. Se vece slo e accheo hao la sessa dmesoe, vale la relazoe dell Eq. 6.-, ma bsoga aseare u emo ar a L m Eq C rma d oer rasmeere u alro accheo aareee allo sesso sream vso che s rasmee u accheo er vola degl m sream d raffco. Dalle relazo rcavae sora, s oa che lo sascal mullexg è quello che garasce l rasmsso delay ù ccolo. Cò è dovuo al fao che le rsorse allocae a raffc sream dagl schem d mullazoe TD ed FD, vegoo srecae el caso cu ua sorgee o ha ulla da sedre. C resa adesso da calcolare l QUEUEIG DELAY. Quesa gradezza, come deo, è ù dffcle da calcolare oché è u aramero sasco esremamee varable; er l suo sudo faremo uso della eora delle code. 5

6 6. Ssem a Coda Il rocesso assuo alla base della maggor are de ssem a coda è mosrao Fg De cle cusomers rchede u dao servzo, soo geera el emo da ua u source. Ques cle erado el queueg sysem formao ua coda. A cer sa, u membro della coda vee scelo come rossmo clee da servre, secodo ua cera olca oa come dscla della coda er esemo la dscla orebbe essere FIFO, LIFO, ecc.. Quado l servzo rcheso dal clee vee svolo dal server, l cusomer uò uscre dal ssema a coda. Cusomers Queue Server Fg. 6.-: Schema d u ssema a coda ossoo essere fae dverse assuzo su var eleme che cosuscoo l queueg sysem. I geerale er caraerzzare u ssema a coda deve essere secfcaa la sasca de em d er-arrvo, la sasca de em d servzo, oché la dscla usaa er gesre la coda. COSIDERAZIOI. Sa le re a commuazoe d accheo da che quelle a commuazoe d crcuo chamae elefoche s rcooscoo el modello sora schemazzao. I arcolare l odo d ua ree a commuazoe d accheo, che s basa sulla flosofa dello sore ad forwardg, revede u buffer fo cu s accodao acche er essere rasmess dal l, l quale raresea l servee del osro schema. Se l ssema revede slo d ua cera lughezza emorale, acche avrao lughezza fssa e l emo d servzo, ovvero l emo d rasmssoe, sarà cosae e ar alla lughezza L dell uà formava frao la caacà C del ssema. Se, vceversa, la lughezza dell uà formava o è cosae, L sarà la lughezza meda del accheo e L/C rareseerà l emo medo d rasmssoe, ovvero l emo d servzo del osro schema. Co le re a commuazoe d crcuo, araverso la fase d se-u, s servoo le rchese d chamaa, meedo a dsoszoe la rsorsa rasmssva er u erodo d emo ar alla duraa meda d ua coversazoe elefoca: ovvamee durae ale erodo le rsorse sarao dsobl ed eveual alre rchese d chamaa o orao essere serve. erao s uò mmagare che cle sao le rchese d chamaa, l servee sa l ru roco, ovvero l mezzo ed l emo d servzo sa ar alla duraa meda d ua coversazoe elefoca. ormalmee elle re a commuazoe d crcuo, l buffer è semre vuoo, vso che se c è la rsorsa, s are la comucazoe, vceversa s rgea la chamaa madado u oo d occuao dreamee dalla cerale. Queso è l movo del erché la ree elefoca è defo ssema a ura erda. Ivece u ssema a coda è deo a ura aesa se l buffer è fo caso o reale, mere è ad aesa e erda se ha u buffer fo come accade ad og mullexer reale che, o aea s reme, causa la erda de cle che arrvao. er sudare, qud, ssem a coda, o è suffcee cooscere la dmesoe del buffer, l umero d serve, la sraega d servzo de buffer e la dsrbuzoe d robablà degl arrv, ma 6

7 occorre ache cooscere la dsrbuzoe d robablà de em d servzo, la quale è legaa come deo rma alla dsrbuzoe sasca delle lughezze de acche che rareseao l flusso de cle. ella maggor are de cas, come gà deo, se s coosce, la dsrbuzoe de em d servzo ovvero la lughezza meda de acche e la dsrbuzoe de em d erarrvo de cle, s ossoo rcavare gradezze mora qual a l umero medo de cle che esse el ssema, b l umero medo de cle aesa, c l umero medo de cle el servee, d l umero medo de cle comlessvo fra buffer e servee ed e l rardo medo subo dal clee el ssema, ella sua oalà o cascua are del ssema sesso sgolo buffer o servee. Cooscere la dsrbuzoe sasca d u rocesso, sgfca cooscere la fuzoe desà d robablà df, o mome d dverso orde. I mome del rmo orde, coè valor med, vegoo dca co la seguee smbologa molo dffusa leeraura: frequeza meda d erarrvo [cle/sec] / emo medo d erarrvo frequeza meda del servzo [cle/sec] / emo medo del servzo / faore d ulzzazoe [admesoao]. Se redamo come rfermeo l odo A d Fg. 6.-, cusomers soo raresea da acche che arrvao e vegoo assega ad u l er la rasmssoe, mere l server è rareseao dalla rasmsso facly. La coda corrsode vece al buffer assocao al l uscee dal odo, rame cu l accheo deve essere sedo. Dae le dsrbuzo d robablà de em d erarrvo e de em d servzo, l osro obevo sarà quello d deermare le segue quaà: IL UERO EDIO DI CLIETI EL SISTEA IL RITARDO EDIO DEL GEERICO CLIETE dove er umero d cle el ssema s ede l umero d ue rese ella coda ù l umero de cle che sao usufruedo del servzo offero dal ssema. ere l rardo d u clee è cosuo dal emo d aesa coda ù l emo d servzo. UERO DI CLIETI EL SISTEA Sa robablà che all sae v sao cle el ssema, che el dscreo è rareseaa da ua fuzoe desà d robablà d o mulsva: Suose oe le formazo sasche ecessare er la deermazoe delle robablà, er og, e defo umero medo d cle al emo 7

8 s ha che dalla defzoe d valore medo: { } E Eq. 6.- Osservamo che sa che E{} dedoo dal emo e dalla dsrbuzoe delle robablà al emo, ossa {,,,...,,...}. Sarebbe eressae adare a sudare l ssema sa rasoro che a regme. Se s cosdera l ssema STAZIOARIO s uò suorre rrlevae l rasoro a f dello sudo del ssema, vso che l ssema ragguge ua codzoe d l equlbro coè l ssema o eslode; l ssema eslode se l umero degl ue che arrva è semre maggore del umero d ue che are, ovvero:, : Eq. 6.- lm lm dove e soo dede dalla dsrbuzoe delle robablà zale. orebbe ache rsulare oosae l ssema sa STAZIOARIO: cò accade er esemo el caso cu l rae co cu arrvao cle è suerore rseo a quello co cu l ssema resce a servrl. Se l ssema è ache ERGODICO, allora è ossble ulzzare ache de oe srume aalc, qual le caee d ARKOV. U ssema s defsce ERGODICO quado le mede emoral cocdoo co le mede d seme coè le mede emoral ossoo essere fae su ua qualsas delle fuzo membro, erché hao ue le sesse sasche. Dea ua fuzoe d camoameo del umero de cle el ssema, defamo meda emorale d ale fuzoe ell ervallo [,] la gradezza: Se l ssema è ERGODICO, segue che τ dτ Eq lm lm Eq RITARDO EDIO DEL GEERICO CLIETE. Suosa oa la dsrbuzoe d robablà d rardo d cascu clee, samo grado d calcolare l rardo medo d og clee. Sa T { } E T f r r dr T l rardo medo del -esmo clee. el caso d ssema STAZIOARIO, er, l rardo medo del geerco clee sarà ar a: { T } T lm T lm E Eq

9 Ache queso caso è ossble che rsul T Se olre l ssema rsula essere ERGODICO s ha che: dove T raresea l rardo dello -esmo clee. T lm T lm T Eq Rcaolado quao rovao s ora, abbamo che, dao u ssema STAZIOARIO ed ERGODICO, l umero medo d cle el ssema è dao dalla relazoe Eq. 6.-4, ed è dcao co, mere l rardo medo che l geerco clee sermeerà è dao dalla Eq. 6.-6, ed è dcao co T. el rossmo aragrafo, vedremo come al gradezze soo ra d loro legae. 6.. Alcazoe de Ssem a Coda elle Re I ssem a coda ossoo essere usa er modellare sa delle re a commuazoe d accheo che le re a commuazoe d crcuo. elle RETI A COUTAZIOE DI ACCHETTO, cle soo acche da rasmeere. Suoedo che acche abbao dmesoe varable co meda d L b e che l caale rasmssvo abba caacà d rasmssoe ar a C b/sec, l emo medo d rasmssoe d u accheo è dao da: L C Eq dove è l rae medo d servzo esresso acche/sec. Deo l rae medo d arrvo s defsce Faore d Ulzzazoe: e sosuedo ella Eq la Eq s ha: Eq L C Eq Il umeraore della Eq raresea l carco medo ella ree L [b/sec], mere l deomaore raresea la caacà d rasmssoe della ree [b/sec]. Duque l ARAETRO, admezoao, forsce, quaavamee, la msura d quao è carcao l ssema. Se >, l ssema o resce a smalre l carco oché l umero medo d arrv è suerore rseo al umero medo d areze. Come deo recedeza, ache le re a commuazoe d crcuo ossoo essere modellae co ssem a coda. I cle soo le chamae elefoche ave e l emo d servzo medo è cosuo dalla duraa meda d ua coversazoe. La sasca era goco solo durae la fase d se-u d ua uova coessoe cu le rsorse soo le ore d usca degl auocommuaor. Idcheremo duque co l RATE EDIO co cu arrvao le chamae e co / la DURATA EDIA. 9

10 6.. Teorema d Lle Il eorema d Lle sablsce che ra e T ercorre ua dedeza leare. Dea la cosae d roorzoalà rsula che quesa formula vee camee chamaa formula d Lle, quao Joh D. C. Lle fu l rmo a dare ua rova rgorosa; essa fa veva reua valda come regola del buo seso: dove Rae medo degl arrv dao dalla relazoe: T Eq. 6.- Valore aeso degl arrv [,] lm Eq. 6.- Suoamo che cle sao ges secodo ua olca d o Frs Come Fs Served FCFS la formula d Lle è valda ache se la coda o è gesa co la ecca FCFS; la dmosrazoe reseaa erò vale solo se la ecca d schedulg usaa è FCFS. Dmosramo l eorema d Lle. H. : s cosder u ssema STAZIOARIO ed ERGODICO; TS. : de E ssema è sazoaro umero medo d ue el ssema { } lm T emo medo seso dagl ue el ssema E{ T } lm essedo l rocesso sazoaro T è lo sesso er u gl ue α frequeza meda degl arrv rocesso è sazoaro lm dove α umero degl arrv ell ervallo [, ] β umero delle areze ell evello [, ] s rova che DIOSTRAZIOE T Suoso ssema vuoo er, dalla defzoe d α e β rsula charamee: β - α Eq. 6.- dove dca l umero d cle rese el ssema all sae. Idchamo co l sae cu l -esmo uee arrva al ssema, mere co T l emo seso el ssema dall -esmo uee. Dao u sae geerco, l area racchusa ra le due curve d Fg. 6.-, vrù della Eq. 6.-, è ar a: τ dτ a d alro cao, vso che le areze e gl arrv avvegoo uo alla vola, esamado la fgura 6.- rsula che β α τ dτ T Eq β

11 Dvdedo ambo membr della Eq er e mollcado e dvdedo l membro er α, s oee: T d α α τ τ α β β Eq Osservamo che l rmo membro della Eq o è alro che la meda emorale [, ] del umero d cle resee el ssema ved Eq Il erme α dove raresea la meda emorale del rae degl arrv ell ervallo [, ]. Ife oamo che rsula: T T T T T α α α β α β β α α α dove T raresea la meda emorale del emo che u clee sede el ssema ell ervallo [,]. Fg. 6.-: rareseazoe d α umero degl arrv e d β umero delle areze ell evello [, ] ua coda gesa co la ecca FCFS β α

12 I vrù delle osservazo fae, ossamo scrvere che oché l ssema è STAZIOARIO ed ERGOTICO: e qud è dmosraa la formula d Lle lm T Eq lm lm T T T È morae oare che T clude l emo seso el ssema da u cle arrva ra e β, ma ralasca l emo seso da cle acora el ssema all sae. Se s suoe che < l che mlca che u cle soo serv u emo fo, l effeo dovuo alla reseza de cle el ssema all sae dvee va va rascurable, ed al crescere d, T uò effevamee essere erreao come la meda emorale del emo d ssema. L moraza del eorema d Lle derva dalla sua geeralà. Esso uò essere alcao ad u qualsas ssema a coda che ragguga ua codzoe d equlbro sasco. Il ssema o deve ecessaramee essere ua sgola coda, ma uò essere geerale u comlesso ssema d arrval-dearure. La cosa morae, ell alcare l eorema d Lle, è quella d erreare el modo arorao, e T. redamo esame la coda del Queueg Sysem. Secodo ua aroraa smbologa, dea la frequeza d arrvo de cle, la lughezza meda della coda Q è daa, alcado l eorema d Lle, dalla relazoe Q W Eq dove W è l emo medo d aesa coda wag me. Aalogamee, alcado l eorema d Lle ella are d usca del ssema a coda, s ha che l umero medo d acche rasmssoe sul servee d u ssema a coda è dao dalla frequeza d arrvo de acche er l emo medo d rasmssoe X : X Eq Il aramero è ache chamao faore d ulzzazoe della lea, oché è defo come l umero medo d acche era el servee er l emo medo d rasmssoe, ovvero raresea l ervallo d emo el quale la lea è occuaa ella rasmssoe d u accheo. ALICAZIOE DEL TEOREA DI LITTLE Corollo d Flusso a Fesra Cosderamo u caale d rasmssoe cu s oera u corollo d flusso a fesra. Queso uò essere vso come u ssema cu c è semre lo sesso umero d cle; fa s suoe che la sorgee oure le sorge d messagg abba semre roo u accheo da vare e segal d acowledgemes soo rascurabl.

13 Dal eorema d Lle s rcava che: dove : umero d acche medo el ssema; frequeza d arrvo de acche; T rardo medo d rasmssoe de acche. T Osservamo, duque, che se l caale è cogesoao, T cresce e qud deve ecessaramee dmure. Iolre a arà d, se s aumea la fesra, aumea ache l emo medo rascorso da acche sul caale. Ssema Tme Sharg Il eorema d Lle cosee ache d valuare lm d hroughu u ssema me-sharg a ermal. Gl ue accedoo al ssema rame ermal, che, doo u erodo medo R d seg, vao la rchesa d esecuzoe al comuer, caraerzzao da u emo d rocessameo medo ar a. Tal rchese vegoo accodae e serve dal comuer l quale ha ua sgola CU secodo degl secfc algorm d schedulg. Se voglamo calcolare l massmo hroughu, dobbamo suorre che u ermal sao av, coè l umero d ob el ssema sa semre. Fg. 6.-3: Ssema Tme Sharg Alcado l eorema d Lle fra u A e C Fg s ha che: T Il emo medo T che u uee sede el ssema è dao da: Eq T R D 3

14 dove D è l rardo medo osservao dall sae cu l ob è acceao all sae cu l ob è comleao. Tale rardo vara a secodo se c soo o o alr ob coda. el caso ù foruao, D emo d rocessameo e l ob esame o deve aedere l comleameo d alr as, mere el caso ù sforuao s ha che D, vso che l ob deve aedere l comleameo del ob degl alr - ue. S deduce duque che: R T R. Rcavado T dall Eq. 6.-8, la relazoe sora scra dvea: R R R R da cu: R R Eq Iolre l hroughu è ache lmao dalla caacà d rocessameo del comuer, er cu s ha che: Combado l Eq e l Eq. 6.- s oee che: Eq. 6.- m, R R Dalla Eq. 6.- s oegoo lm er l emo d aesa medo T: Eq. 6.- m, R T R {, R } T R max Eq. 6.- Le equazo Eq. 6.- e Eq. 6.- soo rorae Fg S oa che all aumeare del umero d ermal, l hroughu ede al valore massmo /, ed l emo medo d aesa cresce maera roorzoale ad. Il umero d ermal dvea l collo d bogla del ssema, quado <R/ e la CU è dle seza ulla da fare er orzo ù o meo lughe d emo. Vceversa la CU dvea l collo d bogla del ssema quado >R/. 4

15 Fg. 6.-4: Curve che meoo relazoe umero d ermal co e T 6.3 omeclaura er ssem a coda La omeclaura che useremo oazoe d Kedall er defcare var d ssem a coda fa uso d 5 smbol. la rma leera dca la aura del ROCESSO DEGLI ARRIVI. I valor c soo: : EORYLESS roreà fodameale de rocess marova, dca che l rocesso degl arrv è u rocesso d osso dsrbuzoe d robablà esoezale. G: GEERAL, dca che l rocesso degl arrv è caraerzzao da ua dsrbuzoe d robablà geerale. I queso caso o s coosce l adameo della fuzoe dsrbuzoe d robablà degl arrv, ma s cooscoo solamee mome del e del orde, coè l valor medo e l valore quadraco medo. D: DETERIISTIC, dca che l rocesso degl arrv è caraerzzao da ua dsrbuzoe d robablà deermsca. la secoda leera dca la aura della dsrbuzoe d robablà de em d servzo. I valor ossbl, ache queso caso, soo, G, D e l sgfcao è uguale a quello segao recedeemee, co la dffereza che al smbol s rferscoo alla dsrbuzoe d robablà del ROCESSO DELLE ARTEZE. Il erzo smbolo dca l UERO DI SERVETI del ssema a coda. Il quaro smbolo dca l UERO ASSIO DI CLIETI EL SISTEA. I geere queso smbolo o è dcao quao er defaul è fo. Se è l valore dcao, allora l umero massmo d cle resee el ssema sarà, a secodo d due dverse erreazo esse, o o -. Il quo smbolo dca l UERO ASSIO DI SORGETI ATTIVE. Ache queso smbolo orebbe o essere resee vso che er defaul è fo. Og sorgee el osro caso sorgee d acche uò mmeere u solo accheo alla vola: olre l emssoe del accheo successvo orà avvere solo quado s è cer che l recedee sa sao rasfero. E l caso d ssem come la ree meroolaa DQDB o d auocommuaore elefoco. Lmado l umero d sorge ave, s uò morre u hroughu massmo al ssema. 5

16 U ssema a coda d o // è duque u ssema caraerzzao da u solo servee erzo smbolo, cu cle arrvao secodo u rocesso d osso co frequeza e cu la dsrbuzoe de em d servzo è esoezale co valore medo ar a / secod. ere l umero massmo d cle e l umero massmo d sorge ave è fo. I ssem caraerzza da u rocesso d arrvo e u rocesso delle areze d o ossoao soo ù semlc da sudare e, come vedremo successvamee, soo ache ù coservav. Ess fa edoo a sovradmesoare l ssema, asscurado le erformace rchese. I ssem // ossoo essere suda e rsol co la eora delle CATEE DI ARKOV. Calcolaa la robablà che el ssema v sao ue faclmee rcavable ua caea d arov, s resce a deermare l umero medo d ue el ssema. S ha fa che: Eq Sfruado l eorema d Lle è facle rcavare ache l emo medo T rascorso da u uee el ssema: T Eq I modo aalogo è ossble rcavare l umero medo Q d ue coda ed l emo medo W d aesa coda d u uee. 6.4 rocess d osso U rocesso d osso è u rocesso d eumerazoe, caraerzzao da ua dsrbuzoe esoezale, le cu varabl soo dede e decamee dsrbue..d.. assado ad ua defzoe ù rgorosa, u rocesso socasco {A } che assume valor er o egav, s dce d osso co frequeza se:. A è u rocesso d eumerazoe che raresea l umero oale d arrv dal emo al emo. Coè : A, e er s<, A-As raresea l umero d arrv ell ervallo [s,].. Il umero degl arrv che occorroo ervall d emo dsgu soo dede. 3. Il umero degl arrv cascu ervallo d lughezza τ è dsrbuo secodo osso co aramero τ., τ > : τ { A τ A } e,,,... τ Eq Qud, ella dsrbuzoe d osso, la robablà che ell ervallo [,τ] v sao arrv sarà daa dalla Eq er semlcà dcheremo quesa robablà co l smbolo, er cu: Rsulerà ovvamee che : τ e {},,,... τ Eq

17 S uò ache dmosrare che l VALORE EDIO è dao da: dove la cosae d roorzoalà E τ Eq DIOSTRAZIOE: τ τ τ τ τ τ e e e e τ E Eq Eq raresea l rae medo degl arrv d osso. E τ τ τ e τ DIOSTRAZIOE: τ τ τ e e τ e τ τ e τ τ La VARIAZA è daa da: σ E E τ Eq coè la varaza cocde co l valor medo. E DIOSTRAZIOE: τ τ la DEVIAZIOE STADARD ORALIZZATA è uguale a: σ E τ Eq Essa ede a zero er τ, coè er valor grad d τ τ>>/ la dsrbuzoe è coceraa aoro al valore medo; duque se s msura l umero d arrv u ervallo grade τ>>/, segue co buoa arossmazoe che: E τ τ La ROBABILITÀ CHE O VI SIA ESSU ARRIVO ell ervallo [,τ] è dalla Eq. 6.4-: e ede a al crescere d. τ e Eq

18 6.4. roreà de rocess d osso Aalzzamo adesso delle eressa roreà de rocess d osso. RORIETÀ Se l rocesso degl arrv è ossoao, lo sarà ache l rocesso de em d erarrvo em che ercorroo ra u arrvo e l successvo. Qud ache em d erarrvo soo dede ed esoezalmee dsrbu co aramero : coè deo l sae d emo dell -esmo arrvo, gl ervall τ, al varare d, soo dede co ua dsrbuzoe d robablà così faa: s { τ s} e, s Eq La corrsodee fuzoe desà d robablà è la dervaa: τ τ e Eq DIOSTRAZIOE: La dsrbuzoe d robablà cumulava de em d erarrvo s oee faclmee osservado la Fg τ Isae d arrvo Isae d orge arbraro Isae s Fg. 6.4-: asse emorale emo Essa fa equvale alla robablà che l umero d arrv ell ervallo [,s] sa ullo, da cu: {τ > s}rob{ umero degl arrv [,s] } s e - s Qud: {τ s} - e - s Eq La fuzoe desà d robablà Fg s oee dervado l equazoe 6.4-: τ τ e Eq τ e - / τ Fg. 6.4-: fuzoe desà d robablà. 8

19 Dalla Fg. 6.4-, er arrv d osso, s deduce che la robablà ra due eve successv decresce esoezalmee all aumeare d τ. Dmosramo che l valore medo e la varaza d τ valgoo rsevamee / e /. { τ } τ s [ s ] s s E s s ds s e ds se e ds e { τ } [ ] τ s s s s E s s ds s e ds s e se ds s e ds qud σ E { τ } E{ τ } RORIETÀ er og e δ, A δ A δ ο δ A δ A δ ο δ A δ A ο δ Eq Eq Eq co oδ: δ. δ lm δ RORIETÀ 3 Se gl arrv ervall dsgu soo dede e dsrbu secodo osso co aramer τ, τ,..., τ, l umero degl arrv ell uoe d al ervall è dsrbuo secodo osso co aramero τ τ...τ. RORIETÀ 4 Da rocess d osso dede A,A,..., A, la loro uoe è acora rocesso d osso co frequeza ar alla somma delle frequeze de rocess comoe:... Quesa roreà è molo ule ella raca: fa se u dao odo della ree arrvao ù fluss d acche, rovee da sorge dede, che emeoo da secodo u rocesso d osso, l flusso rsulae sarà dsrbuo acora secodo osso, co frequeza ar alla somma delle frequeze delle sorge. Bsoga comuque osservare che le oes d emssoe ossoaa ed dedee d acche soo sesso grossolae e loassme dalla realà; vedremo, fa, come ale dedeza o è ma verfcaa. RORIETÀ 5 Aalogamee a quao vso er l rocesso de em d erarrvo, ache la dsrbuzoe de em d servzo è esoezalmee dsrbua co aramero. Coè, deo s l emo d servzo dell -esmo uee, s ha che s { s s} e Dervado s oee la fuzoe desà d robablà Eq s s e Eq

20 co meda / e varaza /. Il aramero s dce frequeza d servzo ed è la frequeza cle serv er uà d emo alla quale l servee lavora quado è occuao. È ossble reere u dscors fo ad ora fa er l rocesso delle areze. I u ssema // s assume che: I TEI DI ITERARRIVO hao dsrbuzoe esoezale, soo ra loro dede ed decamee dsrbu. I TEI DI SERVIZIO hao dsrbuzoe esoezale, soo ra loro dede ed decamee dsrbu. I TEI DI SERVIZIO e DI ITERARRIVO soo fra loro dede. Ua morae roreà della dsrbuzoe esoezale è la EORYLESS. Alcado ale roreà al rocesso delle areze e al rocesso degl arrv s uò affermare che: Il emo resduo ecessaro er comleare u servzo corso el servee è dedee da quado l servzo è comcao. Il emo occorree er l rossmo arrvo è dedee da quado s è verfcao l ulmo arrvo. Quese due affermazo s raducoo erm d robablà: { s > r s > } { s > r} er r, { τ > r τ > } { τ > r} er r, Qud, gl sa d emo cu fuur cle d u ssema arrverao o comleerao l servzo soo dede da em d arrvo degl cle rese el ssema e da quao servzo hao gà rcevuo cle correemee soo servzo. Queso sgfca che l rocesso { } è ua caea d arov emo coua. 6.5 Caee d arov emo dscree Abbamo reaucao che l rocesso ue el ssema all sae uò essere sudao facedo uso delle caee d arov emo coue, dove la varable assume valor cou. È suffcee comuque er osr sco usare la eora ù semlce delle caee d arov emo dscree cu la varable è dscrea, ulzzado queso semlce arfco: resa ua Caea d arov emo-coua, s camoa l asse emorale assado da u domo couo ad u domo emo. I raca cosderamo gl sa d emo, δ, δ,, δ, dove δ è u umero osvo ccolo. Idchamo co umero d ue el ssema all sae δ δ oché è ua caea d arov emo coua e δ, s vede che: {,,,...} è ua caea d arov emo dscrea. Deo queso, damo ua defzoe ù rgorosa alle caee d arov emo dscree.

21 DEFIIZIOE DI CATEA DI ARKOV TEO DISCRETA Sa {X,,...} u rocesso socasco emo dscreo che assume valor er o egav. Gl sa cu l rocesso uò rovars soo,,,. X è ua caea d arov se esse ua robablà fssa, che l rocesso ass dallo sao, cu s rova, allo sao, dedee dalla sora che ha recedeemee orao l rocesso ello sao. Tale coceo è rassuo ell Eq. 6.5-: >, { X X, X,..., X } { X X },...,,, Eq I geerale s dovrebbe scrvere, er dcare che le robablà s rferscoo allo slo -esmo; escludedo quesa oazoe s sa acamee ammeedo che la caea d arov sa omogeea, coè,. Le, così defe, soo dee robablà d raszoe dallo allo sao dove uò ache essere lo sesso sao. Ovvamee, essedo robablà rsulerà che:,,,,... Eq S defsce marce delle robablà d raszoe d sao la seguee marce qu d seguo descra:... o Tale marce ha ua rga che sarà learmee dedee dalle alre; er cu o è ua marce a rago massmo. Iolre resea u auovalore uaro e auovalor comres el cercho d raggo uaro, coè: < co,3,, S defscoo ure le gradezze: lm { s } π che dcao qual è la robablà d rovars ello sao -esmo quado s osserva l ssema. Esse soo aaree a veor rga, che s rcavao dal seguee ssema: T T I Π π

22 Tcamee le caee d arov vegoo rareseae grafcamee Fg come u seme d sa valor che l rocesso uò assumere u da arch che rareseao le robablà d assaggo da uo sao all alro. Fg. 6.5-: raszo d sao ua Caea d arov emo-dscrea. ossoo essere defe ache le robablà d raszoe ad ass: { X X },,, m e qud, cosegueemee, la marce d raszoe ad ass. m Dae le robablà d raszoe ad ass vale l equazoe d Chama-Kolmogorov:,, m, m m Eq , dove soo gl eleme della marce [] oeua dalla marce [] elevaa alla -esma oeza. Dall Eq s evce che la robablà d raszoe a ù ass da a, s oee come rodoo delle robablà d raszoe dallo sao ad u qualuque sao ermedo e dallo sao allo sao. Qud: m m Cosegueemee s ha che [ ] Iroducamo adesso alcue defzo. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]... [ ] DEFIIZIOE: s dce che due sa e comucao ra loro se essoo due dc e al che: ' > > DEFIIZIOE: se u gl sa comucao fra loro, la caea d arov s dce rrducble Fg

23 Caea d arov rrducble a Caea d arov O rrducble b Fg. 6.5-: a Caea d arov rrducble; b Caea d arov O rrducble DEFIIZIOE: ua caea d arov s dce aerodca se er qualuque sao, o esse u umero ero d ale che co mullo d d. Vceversa ua caea d arov è dea erodca se esse uo sao cu è ossble rorare solo u umero d ass mullo d d. DEFIIZIOE: ua dsrbuzoe d robablà { } è ua dsrbuzoe sazoara er la caea d arov se, Eq er caee d arov rrducbl e aerodche s ha che: lm, Eq dove, deo emo medo d ermaeza, raresea la robablà, a regme, che l ssema s rov quello sao, coè la orzoe d emo cu l rocesso vsa meda lo sao. Duque / è l emo medo d rcorreza, ovvero l umero aeso d raszo ra due successve vse dello sao se, l emo medo d rcorreza è fo. S uò olre dmosrare che ua caea d arov rrducble e aerodca ossoo verfcars due ossblà: a er u gl sa. I queso caso la caea d arov o ha dsrbuzoe sazoara è l caso d u ssema // cu >. b > er u gl sa. I queso caso la dsrbuzoe d robablà è l uca dsrbuzoe sazoara della caea., La dsrbuzoe sazoara d ua caea d arov, se esse, uò essere calcolaa araverso le equazo d blacameo globale Eq. 6.5-; s ha fa che: o, o, 3

24 ollcado ambo membr er s ha: Sfruado l Eq s ha che o, o, o o, da cu s oee o, o, o Eq La Eq dca che codzo d equlbro, la robablà d ua raszoe areza da eguagla la robablà d ua raszoe arrvo a. Quesa è ua roreà geerale d ua dsrbuzoe sazoara. Geeralzzado l dscorso ad u seme d sa S s ha: S S S S Eq La Eq dca che la robablà che s abba ua raszoe areza da S è ar alla robablà che s abba ua raszoe verso S. 6.6 rocess d asca e ore I ROCESSI DI ASCITA E ORTE brh-deah soo caee d arov cu due sa successv dfferscoo solo d ua uà. Coè ques rocess soo caraerzza dalla roreà che se c s rova uo sao, le uche ossblà soo quelle o d rmaere ello sesso sao o d sosars uo sao che dffersce d ua uà da quello d areza. Tal rocess soo deal er caraerzzare l evoluzoe d ua coda. I essa fa gl ue arrvao uo alla vola e s accodao er rcevere l servzo. Codzoe ecessara e suffcee affché la caea sa rrducble è che:, > e, > er og Fg. 6.6-: rocesso d asca e more Cosderado l seme d sa S{,,,..., }, le equazo d blacameo arzal Eq dao:,,,,... Eq

25 ovvero, la robablà d ua raszoe dallo sao allo sao è ar alla robablà d ua raszoe dallo sao allo sao. Geeralzzado l Eq s oegoo le equazo d blacameo deaglae:, Eq Quese equazo ermeoo d calcolare faclmee la dsrbuzoe sazoara { }. Osservamo che o semre valgoo le equazo d blacameo deaglae er ua daa caea d arov rrducble e aerodca. U modo er verfcare la loro valdà è ozzare la valdà e eare d rsolvere l ssema che e vee fuor er oeere le robablà co la codzoe al cooro che: Essoo due ossblà: a L assuzoe o è vera, ed l ssema d equazo è cossee. b Vceversa la dsrbuzoe d robablà { }rovaa è l uca dsrbuzoe sazoara del ssema scuramee essa soddsfa ache le equazo d blacameo global. Alcue caee d arov rrducbl e aerodche hao la roreà che la loro dsrbuzoe { }soddsfa u seme d equazo d blacameo arzal che rareseao u ermedo ra quelle d blacameo globale e quelle d blacameo deaglae. sao, s cosder ua arzoe S, S,, S d sa comlemear: allora le Eq S, m,,..., m S m Eq vegoo dee equazo d blacameo arzal. S uò dmosrare che se la { }rsolve u seme d equazo d blacameo arzal, allora rsolve ache le equazo d blacameo global, e qud è l uca dsrbuzoe sazoara della caea d arov rrducble e aerodca. È morae dvduare l guso seme d equazo arzal soddsfae dalla dsrbuzoe sazoara er calcolare ques ulma el modo ù semlce ossble. 6.7 Ssem // I ssem // soo, come reaucao, ssem a coda ù semlc da sudare. Ess soo caraerzza dal rocesso { } umero d cle el ssema all sae cu em d erarrvo e d servzo soo dsrbu esoezalmee. Abbamo vso, el aragrafo recedee, come ale rocesso couo uò essere sudao rame ua caea d arov emo dscrea δ. Qud {,,,...} raresea ua caea d arov emo dscrea cu og ervallo camoao s ha al ù u eveo, coè samo d froe a u rocesso d asca e more. Dee le robablà d raszoe defe elle Eq. 6.5-, sfruado le roreà de rocess d osso Eq , e s ha che: δ ο δ Eq

26 δ δ ο δ Eq δ ο δ Eq ,, δ ο δ Eq δ,,, ο Eq er verfcare quese equazo, osservamo che, la robablà che v sao arrv e areze da uo sao, u ervallo I [δ, δ], è ar a e -δ e -δ quao rocess degl arrv e delle areze soo dede e ossoa. Svluado quesa robablà sere s ha auo la Eq Aalogamee, suoedo che l ssema s rov ello sao, la robablà d resare ello sao equvale a dre che ell ervallo δ v sao arrv, er cu ale robablà è daa da e -δ che svluaa sere da roro la Eq I maera aaloga s ossoo rcavare le alre equazo. ella Fg è rareseao forma grafca l ssema // co le relave robablà d raszoe d sao, cu gl arch rareseao le raszo da uo sao all alro alcu es gl arch soo echea co rae medo,, qud le raszo rcorsve o ossoo essere echeae co --. -δ -δ-δ -δ-δ -δ-δ -δ-δ δ δ δ δ δ δ δ δ Fg. 6.7-: Grafo d u ssema // 6.7. Equazo d blacameo er ssem // Cosderamo le robablà sazoare: { } lm { } lm Eq Dalla Eq equazoe d blacameo deaglaa s ha che:,, Facedo uso delle Eq. 6.7-, Eq. 6.7-, Eq , Eq e Eq s ha che: δ ο δ δ ο δ δ δ oché o dede da δ, dvdedo ambo membr della relazoe recedee er δ ed eseguedo l lme er δ s oee che,,... Eq

27 7 dove / è l FATTORE DI UTILIZZAZIOE. Alcado la Eq co e - uoso che co e s ha:,,... Sosuedo ale rsulao ella Eq s ha: Ierado l ragoameo s oee che:...,, o Eq Le robablà soo ovvamee ue osve e la loro somma er che va da a fo deve rsulare ar a. S ha duque: Sosuedo a l valore oeuo ella Eq , s ha: Se l faore d ulzzazoe è more d, coè l rae d servzo è maggore del rae d arrvo, la sere recedee è ua sere geomerca, la cu somma è /-; qud Sosuedo ale rsulao ella Eq oeamo che:...,, Eq L Eq raresea duque la robablà d avere cle el ssema fuzoe d. er l Eq dvee: da cu s vede come raresea l comlemeo ad della robablà che el ssema o c sa essu clee, ovvero la robablà che l servee sa occuao. Queso è accordo co l sgfcao fsco assegao al aramero esame. Ua vola cooscue le è semlce calcolare l umero medo d cle el ssema; fa, dalla defzoe s ha: d d d d d d da cu segue che

28 / / Eq L Eq è grafcaa Fg S oa che all aumeare del faore d ulzzazoe, ache l umero d cle medo aumea e er, l umero d cle ede a fo. Il dagramma è, fa, valdo solo er <; mere er l ssema dvee sable. Fg. 6.7-: Faore d Ulzzazoe fuzoe del umero medo de cle el ssema el coeso d u ssema d rasmssoe a commuazoe d accheo, abbamo vso che /L/C, dove L è la lughezza meda de acche e C è la caacà rasmssva del caale. Qud la codzoe d sablà s ragguge quado L L C C [acch./sec.], L [b/acch.], C [b/sec.] A queso uo ossamo calcolare l rardo medo d u clee el ssema; alcado l eorema d Lle e ulzzado l Eq. 6.7-, s ha che: T che scra fuzoe d dvea T Eq Il emo medo d aesa coda er u clee è dao dal emo medo d aesa el ssema meo l emo medo d servzo, coè: W / / Eq Da ques ulma Eq., ulzzado l eorema d Lle, è ossble calcolare l umero medo d cle coda er u ssema //: 8

29 q W Eq Cofroo fra ullexg Sasco e Deermsco I ssem // ossoo modellare u mullexer co buffer fo e co em d servzo e d arrvo esoezal. er quesa ragoe cosderamo FLUSSI DI TRAFFICO ossoa, sascamee dec e dede co frequeza d erarrvo ar a /m acche al secodo. Le lughezze de acche soo dede ed esoezalmee dsrbue; l emo medo d rasmssoe è /. el caso d ULTILEXIG STATISTICO, fluss d raffco soo ru u uco flusso ossoao co frequeza d erarrvo ar a queso graze all dedeza de fluss d gresso, er cu l rardo medo è dao dalla Eq ed è ar a: T el caso d ULTILEXIG DETERIISTICO FD o TD, l caale fsco è suddvso caal logc, oguo de qual s comora come u ssema // co frequeza d erarrvo /m e frequeza meda d servzo ar a /m la caacà rasmssva del caale è rara equamee ra gl m rchede. Il rardo medo sermeao da acche sarà duque dall Eq. 6.7-: / m / m / m m T / m / m / m / m Osservamo duque che el caso d ULTILEXIG DETERIISTICO l emo medo d aesa è m vole maggore d quello oeuo co u ULTILEXIG STATISTICO. Ques rsula valgoo solamee se l raffco d gresso è d o ossoao. el caso cu, l raffco d gresso è regolare, el seso che ua sorgee o uò rodurre uleror acche fché l recedee o è sao vao, co ua ecca d mullexg d o DETERIISTICO og sorgee ha u caale dedcao l emo medo d aesa coda è ullo. Se vee usaa la ecca d ULTILEXIG STATISTICO, l rardo medo er accheo dmusce, ma l emo medo d aesa coda dvee osvo. 6.8 Ssem /// Ques ssem soo u caso arcolare del ssema //, e cosuscoo l modello ù doeo a rareseare la realà, suosa vera l oes d avere em d erarrvo e d servzo esoezalmee dsrbu e dede fra loro. Charamee ssem /// couao ad essere de rocess asca e more, cu s assa da sao a sao araverso delle raszo che o revedoo sal. Ess soo comos da sa dallo sao allo sao e servoo a modellare de ssem cu s ha u buffer fo el quale memorzzare le rchese d servzo. Dao che s ha a dsoszoe u servee, l umero massmo d ue coda sarà - a dffereza del ssema // cu l buffer aveva dmesoe fa. L EVOLUZIOE TEORALE d u ssema /// è del uo aaloga a quella d u ssema //, co l eccezoe che se u clee arrva quado v soo gà cle el ssema, vee scarao erché l buffer è comleamee eo. 9

30 3 Le equazo d blacameo ovvero la robablà d raszoe dallo sao allo sao, è uguale alla robablà d rasare dallo sao allo sao orao acora al rsulao dell Eq , co la varazoe del rage d, che queso caso va da a. o...,,, La codzoe d ormalzzazoe è: alcado l equazoe d blacameo s ha che oedo x--che equvale a x x x x x Sosuedo ell equazoe d blacameo s ha che: Eq Calcolado l Eq er, s oee la robablà d blocco Fg. 6.8-, ovvero la robablà d avere l buffer è eo ed og accheo eraa scarao. Quesa equvale alla robablà che l ssema s rov allo sao. B Eq Iveredo ale relazoe, sarebbe ossble deermare qual è l che cosee d garare ua robablà d blocco da o mosa; uco lme sa el fao che l Eq o è faclmee verble. Solo soo oorue oes ved ù ava ale relazoe s semlfca e qud s uò faclmee verre. Esse ua sole dffereza ra la defzoe d robablà d blocco e d robablà d erda: DEFIIZIOE: la robablà d blocco è, come deo, la robablà che l ssema abba le rsorse comleamee megae; DEFIIZIOE: la robablà d erda è vece daa dalla robablà d blocco er la robablà che quesa codzo arrv u uovo u ozzado ale eve dede, veedo duque scarcao e qud erso.

31 I u ssema ///, la codzoe < o è ù ecessara er l equlbro. S uò olre dmosrare che la Eq vale ache er. B / Rego of cogeso Fg. 6.8-: robablà d blocco Dalla Fg s oa che quado l carco aumea aumea e duque / aumea d cosegueza, aumea ache la robablà che la coda s rema comleamee, e er, la robablà che el ssema v sao cle robablà d blocco ede a, ovvero la coda ede ad essere ereemee ea. Queso sgfca che, al coraro d u ssema //, l ssema /// o resea, er sua aura, codzo d sablà: az la sua sablà è ale da bloccars el momeo cu o è ù grado d gesre uov u a causa della saurazoe delle sue rsorse. La regoe co > è dea regoe d cogesoe ella quale s ha maggore robablà che la coda sa ea. Alcado l eorema d Hoal è facle rcavare che er, la B dell Eq ede a /. L Eq uò essere usaa er rogeare la dmesoe della coda del mullexer base alla robablà d erda volua. Se < e >>, l Eq dvea: B, << Eq Quesa sgfca che er B basse, la robablà che ua coda fa sa ello sao uò essere calcolaa come la robablà che ua coda fa sa ello sesso sao. ESEIO dell Eq : cosderamo u coceraore su lea a 4 b/s che rceve raffco d acche co lughezza meda ar a L b e esà acch/sec. Il aramero è ar all verso del emo medo d rasmssoe, che è L/C/4.5 sec, er cu. Il faore d ulzzazoe che s oee è ar a /.5. La seguee abella Fg mosra samo el caso < la lughezza del buffer er due valor d robablà d erda: robablà d erda Fg. 6.8-: lughezza del buffer er due valor d robablà d erda. 3

32 Dovedo smulare l comorameo d u mullexer d ua ree er rasmsso da, cu le robablà d erda e d blocco soo, rsevamee, dell orde d -9 e d -, è ecessaro aseare almeo 9 eve er rovare, a lvello sasco, u valore sgfcavo d robablà d erda o d blocco. a realzzare ua smulazoe d queso o comora em lughssm, co u gl covee assoca. er ovvare a queso roblema, seza rucare allo srumeo smulavo, s smula l ssema er da ragoevol -4, -5 e se s rova che l modello aalco defo coua a fuzoare, s uò esedere la valdà ache er valor ù srge -9. Da u uo d vsa aalco è comuque ù facle esare al mullex co buffer fo; ma come s uò valuare l rocesso d erda se o s cosdera ua smulazoe cu l buffer è fo? La soluzoe a ale roblemaca s rsolve co la ecca Survver fuco, che cosse el cofodere sede smulava l feomeo della erda co l feomeo del suerameo d ua cera sogla all ero del buffer. 6.9 Relazoe ra carco e hroughu ssem sgle server er u ssema SIGLE-SERVER l THROUGHUT γ, ovvero l volume d raffco ell uà d emo, s uò calcolare come raffco smalo. Osservamo che l hroughu sarebbe uguale al rae medo d servzo se la coda o fosse ma vuoa, er cu s ha che: γ Eq dove l erme - raresea la robablà che l servee sa occuao. el caso deale d ssema //, - e qud, essedo l buffer fo, uo che arrva gresso rma o o verrà smalo, coè l hroughu è ar al volume d raffco che vee ad ssere sul buffer: γ / / Ifa e SISTEI CO BUFFER IFIITO, u cle, che erao el ssema, rma o o verrao serv, duque l hroughu è uguale alla frequeza degl arrv. Come s vede dalla recedee relazoe, l hroughu ormalzzao γ/ è l faore d ulzzazoe <. el caso reale d SISTEI CO BUFFER FIITO ///, s rova che l hroughu ormalzzao è ar a: γ oamo che er, γ/ è uguale alla forma deermaa /; alcado l Hoal s ha: γ lm lm lm lm lm 3

33 Queso sgfca che su cle solo verrao serv. I Fg è rareseao l hroughu ormalzzao er ssem ///. ormalzed Throughu γ / / ormalzed load, Fg. 6.9-: Throughu ormalzzao er ssem /// er ssem real a coda fa, s uò fare u alro ragoameo er calcolare l hroughu γ: vso che l buffer è fo, s deve ecessaramee eere coo del corbuo d che verrà realmee smalo, ù la are d raffco erso. Qud se cosderamo l carco eo arrvo B dove B è la robablà d blocco, er l rco d coservazoe uo quello che era el ssema a coda, rma o o esce, s avrà che: γ Eq B Qud l THROUGHUT uò essere calcolao due mod: o usca dal ssema a coda o gresso dal ssema sesso. 6. Ssem Sae Deede I queso aragrafo vedremo d aalzzare ssem a coda cu l rae d arrvo e/o d servzo dedoo dallo sao del ssema sesso: racamee al ssem server soo ù d uo. Qud l geerco sao sarà caraerzzao da ua coa, che raresea rsevamee l rae co cu arrvao cle ed l rae co cu vegoo serv quado l ssema s rova ello sao. I geerale u ssema d queso o uò essere schemazzao come u rocesso d asca e more essedo em d erarrvo e d servzo co dsrbuzoe esoezale cu og sao è caraerzzao da u dfferee valore d o/e Fg δ - δ- δ - δ- δ - δ- δ - δ- δ δ δ δ δ δ δ δ δ Fg. 6.-: Ssema a coda Sae Deede 33

34 Aalogamee er ssem //, dea la robablà d sao regme sazoaro, ossamo scrvere la seguee equazoe d blacameo: δ ο δ δ ο δ Eq. 6.- Da cu, dvdedo ambo membr er δ, e facedo edere δ s ha: δ ο δ δ δ δ ο δ Eq. 6.- Dall Eq. 6.-, er,, oeamo che:... Geeralzzado le relazo ora oeue s ha che er er dove è da deermars araverso ua oorua codzoe d ormalzzazoe. A arre dalla relazoe Eq. 6.-3, s ossoo rcavare sa che T. Eq Ssem // I SISTEI //, smlmee a ssem //, soo caraerzza da u rocesso degl arrv ossoao, ua dsrbuzoe de em d servzo esoezale ed dedee da em d erarrvo e u buffer fo. L uca dffereza rsede el fao che ssem // hao serve grado d rocessare le rchese de cle, qud samo d froe ad u co rocesso sae-dede. Se suoamo che gl serve sao dec coè og servee mega lo sesso emo a servre og clee, la caea d arov che modella u ssema sffao è u rocesso d asca e more mosrao Fg δ -δ-δ -δ-δ -δ--δ -δ-δ -δ-δ δ δ δ δ - δ δ -δ δ δ Fg. 6.-: odello arovao d u ssema // Osservamo che, queso caso, cò che dede dallo sao è l rae co cu vegoo serv cle. 34

35 35 Coè la coda è assoluamee dedee dallo sao del ssema, qud è lo sesso er og sao vedremo, vece, che essoo ssem de a descorageme cu decresce al crescere d, mere acche che arrvao o sao qual è la codzoe del ssema a meo che essa u roocollo che v messagg d corollo er rdurre la b-rae. Queso comora che l rae d servzo s cremea ad og raszoe d sao vso l cremeo della caacà d servzo. Quado s arrva alla codzoe d remmeo degl serve, l rae d servzo sarà semre ar a. I raca, rferedoc alla Fg. 6.-, ossamo scrvere che: > Eq Sosuedo le Eq ell Eq s oee: > Essedo vso che dobbamo rferrc alle oezalà massme del ssema massma caacà del servzo, coereza a quao vso er ssem // s ha: > Eq er rcavare moamo la codzoe d ormalzzazoe: cu oerado l cambameo d varable -- ella sommaora segue che. da cu s rcava che: Eq. 6.-6

36 36 Vedamo ora d calcolare la robablà che u clee rov u serve occua, e vega qud cosreo ad aedere coda. { } Accodameo La relazoe: { } Accodameo Q Eq è oa leeraura co l ome d Formula C d Erlag. Cosderado l momeo cu s comca ad accodare ovvero quado arrvao l -esmo accheo, l -esmo accheo, ec.,, l umero medo d cle coda è ar a ulzzado l Eq. 6.-5: d d d d d d Q e qud vrù della formula C d Erlag Eq ossamo acora scrvere: Q Q Eq edae l eorema d Lle ossamo ora rcavare l emo medo d aesa coda: Q Q W Eq Ua vola calcolao l emo medo d aesa coda, è mmedao rcavare l emo medo d aesa ell ero ssema. Ifa rcordado che l emo medo d servzo è / s ha: Q W T Eq. 6.- ma essedo, s ha defva che

37 37 T Q Q Q Ife, usado uovamee l eorema d Lle, dall Eq. 6.- è mmedao rcavare l umero medo d cle el ssema: Q Q Q T Eq Ssem // Esaseramo l coceo d ssem a ù serve, cosderado u UERO IFIITO DI SERVETI. er cu, a dffereza de ssem d o //, rsula: ℵ ℵ Eq. 6.- Sosuedo quese relazo ella relazoe Eq. 6.-3, rcavaa er u geerco ssema sae deede, s oee: ℵ Eq Imoedo la codzoe d ormalzzazoe s ha: ex / / da cu: ex Eq Sosuedo la Eq ella Eq s oee: ℵ ex Eq La relazoe Eq c dce che, codzo sazoare, l umero d cle el ssema ha ua dsrbuzoe d osso co aramero /, er cu l umero medo d cle el ssema è ere, come oeva essere uo, T

38 Ifa, oché l umero d serve è fo u fo ao o uò essere esao, scché l umero è fo oeza ma o ao Arsoele, og clee aede el ssema solo l emo ecessaro ad essere servo. uò essere dmosrao che ache el caso cu em d servzo o soo dsrbu esoezalmee, se l umero d serve è fo, allora, la dsrbuzoe del umero d cle el ssema è ossoaa Ssem /// I ssem /// vegoo de SISTEI A ERDITA, quao la dmesoe della coda d aesa è. Qud u gl ue che rovao l ssema occuao vegoo ers. Queso modello è d grade moraza ella elefoa. La caea d arov che modella u ssema d queso o è mosraa Fg δ -δ-δ -δ-δ -δ--δ -δ δ δ δ - δ δ -δ δ Fg. 6.-3: odello arovao d u ssema /// Co rfermeo alla Fg ossamo scrvere:, ℵ, ℵ I vrù delle Eq la relazoe Eq dvee: Eq ℵ, Imoedo la codzoe d ormalzzazoe, al fe d rcavare, s ha: da cu s rcava: / / / Eq La robablà che u clee, arrvado, rov u server occua, e qud vada va, s oee er, coè: { Blocco} / Quesa equazoe è oa leeraura co l ome d Formula B d Erlag. Eq

39 Cofroo ra Ssem // e // Lo scoo d quesa sezoe è quello d valuare le dffereze, erm quaav, ra u ssema // sae-dede co, caraerzzao dall avere u emo medo d servzo ar a / relavo ad og servee, ed u ssema // avee u emo medo d servzo ar a /, coè u rae d servzo doo. er u SISTEA //, vrù della Eq. 6.-5, ossamo scrvere: > Svluado u ao d erm, oeamo: Qud er u ssema // coè er s ha che {} ℵ Imoedo la codzoe d ormalzzazoe, s ha: K K Da cu s deduce che e qud {} ℵ Calcolamo ora l umero medo d cle el ssema: d d d d