TEORIA DEI PROCESSI STOCASTICI

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1 Aoo Mao, wwwsascaoo TEORIA DEI PROCESSI STOCASTICI Geeralà de rocess socasc L ulzzo de rocess socasc derva dall esgeza d descrvere u feomeo aleaoro evoluzoe el emo S defsce rocesso socasco ua famgla d varabl casual dczzae da u aramero T e lo s deoa co { ; T} Se T cocde co l seme de umer aural, allora s ha l caso d ua successoe d varabl casual Il rocesso socasco è deo a aramero dscreo se T è dscreo, mere è deo a aramero couo qualora T sa couo Poché la sgola varable casuale x del rocesso è fuzoe dello sazo degl eve Ω, er meere rsalo queso aseo sesso s è sol dcare u rocesso socasco co la oazoe { ) : T} x x (ω Fssao T, x (ω ) è ua varable casuale, mere fssao u eveo ω Ω, allora x (ω ) è ua fuzoe reale della varable e vee chamaa raeora o realzzazoe del rocesso socasco Og varable casuale assume valor u seme E deo sazo degl sa U rocesso è deo dscreo o couo a secoda che valor assu dalle varabl casual x (ω ) sao dscre o cou U rocesso s dce che è oo se s cooscoo ue le dsrbuzo cogue d quae e qual s vogloo varabl della famgla Seguedo l mosazoe assomaca d Kolmogorov, u rocesso { ; T} è oo se x

2 e è deve Aoo Mao, wwwsascaoo s coosce ℵ,,, T F ( x x,, x ) Pr{ x, x,, x },,,, ; La famgla d fuzo F ( x x, x ) chamaa legge emorale del rocesso,,,,, Le fuzo aaree a ale famgla devoo soddsfare le segue roreà: devoo essere fuzo smmerche delle varabl (, x ); ℵ,,, lm x + F ; T ( x, x, ) R, x ( x x,, x) F ( x, x, x ),,,,,,,, verfcars che S dce dsrbuzoe o fuzoe d rarzoe del rmo orde del rocesso socasco casuale, er fssao, ossa:, la fuzoe d rarzoe della sgola varable { x} F( x, ) Pr Da due sa emoral e e le varabl casual,, la loro dsrbuzoe cogua s dce dsrbuzoe del secodo orde del rocesso e s dca: { x } F( x x, x,, ) Pr, La fuzoe d desà, se esse, sarà: f ( x, x,, ) F( x, x, x x La fuzoe caraersca assocaa al rocesso, ) sarà: ( ux + + u x ) ϕ x x ( u,,,, u ) E[ e ] S defsce momeo se esse, la fuzoe: r r r ( ) E{ } m, r, r,,

3 Aoo Mao, wwwsascaoo Qud, la fuzoe valor medo, dcaa co m(), è defa da ( ) E[ ]; mere la fuzoe ( ) m rocesso socasco e recsamee: K è la fuzoe d auocovaraza del, ( ) cov ( ),, K U rocesso socasco s defsce ad creme o correla se, + er og, è ua successoe d varabl o correlae; s dce ad creme orogoal se orogoal, coè er cu E [ ] è ua successoe d varabl aleaore + +, mere è deomao ad creme dede se ale successoe è ua successoe d varabl casual dede Parcolare aezoe merao rocess gaussa, ossa rocess cu le dsrbuzo cogue soo d o ormale, er cu ha: f ;,, T, s ( x,, x ) Γ ( ) ex Γq ( x m( )( xq m( q ),, π U rocesso socasco è deo sazoaro seso sreo se la fuzoe d dsrbuzoe F ( x x, x ) varae rseo ad uo sosameo,, è,,, sull asse del emo T, ovvero: { x,, x } Pr{ x, x } + τ, + τ Pr U rocesso socasco è sazoaro seso debole se rm due mome della dsrbuzoe o dedoo dagl dc emoral; ovvero la meda E [ ] e la varaza [ ] ( ) q Var soo cosa al varare d T e se E è fuzoe della dffereza d dc valore assoluo e o de sgol dc, T 3

4 Aoo Mao, wwwsascaoo U rocesso socasco Y h è ad creme sazoar se l rocesso + è sazoaro er og h S dce che è asocamee sazoaro se lm F( x,, x ; + h, + h) ed è dedee da h h U rocesso socasco [, ], co m() e var() σ uguale er og e co cov k, ossa ua successoe d varabl casual +k dede e decamee dsrbue (d) è chamao rocesso whe ose e s dca ~ W(, σ ) Dao u rocesso a aramero dscreo, cosderado la successoe delle mede emoral M T T T, s dce ergodca se la sua varaza ede a zero al dvergere della dmesoe emo I u rocesso ergodco la successoe delle mede emoral arossma bee l suo valore aeso E ( M T ) Il seguee eorema forsce ua codzoe ecessara e suffcee affché le mede emoral d u rocesso socasco sao ergodche Teorema: Sa u rocesso er l quale cov(, s) K(, s) sa lmaa, coè esse ua cosae K ale che K(,) K, er,, ; sa C( ) cov(, M ) K( s, ) ; affché valga che lm Var ( M T ) è T s ecessaro e suffcee che lm C( ) Ossa M T soo ergodche se e solo se, quado la gradezza camoara cresce, v è ma mao more covaraza fra la meda del camoe l ulma osservazoe coeua rdodae M e, modo che l formazoe camoara o sa roo coessa a quella d M e qud sa 4

5 Aoo Mao, wwwsascaoo Il eorema ergodco d Slusky dmosra che le mede emoral d u rocesso sazoaro seso debole soo ergodche se e solo se la fuzoe R(v), ar a E ( + ), coverge a zero el seso d Cesàro er v, ossa lm R( v) v v Cosderado u rocesso a aramero couo { ; T}, s defsce valor medo M x d T T L ergodcà del valor medo è la versoe el emo della legge de grad umer I geerale, cosderado l rocesso socasco e ua fuzoe momeo E( ν ( ), allora s dce che l rocesso è ergodco rseo ale aramero se lo smaore emorale νˆ ( ) coverge meda quadraca a ( ( ) E ν Process socasc ù comu Se W è u rocesso whe ose a meda ulla e varaza σ, ossa (, ) W ~ W σ ed l rocesso è defo come α W, co α e α <, allora l rocesso è deo leare Se u rocesso è leare, allora è sazoaro seso debole ell ambo de rocess socasc lear rerao rocess ARMA, molo ulzza er l aals delle sere sorche d o leare U rocesso ARMA d orde (,q) è l rocesso dell equazoe: soluzoe 5

6 Aoo Mao, wwwsascaoo + λ q a Z dove l rocesso { Z ; ℵ} è u rocesso whe ose Cas arcolar d u rocesso ARMA(,q) soo rocess a mede mobl d orde q, dca co MA(q), cu: q a Z e rocess auoregressv d orde, dca co AR(), ossa: a + Z Defedo u modello ARMA(,q) sulle dffereze d-esme del rocesso s oee u rocesso ARIMA d orde,d,q, dcao co ARIMA(,d,q), dove dca le comoe auoregressve, d l orde d dfferezazoe e q l orde delle comoe d o MA U rocesso socasco è dedee se la dsrbuzoe cogua è uguale al rodoo delle dsrbuzo margal, ossa: { x,, x} Pr{ x } Pr U rocesso a emo dscreo è deo d rovameo se le varabl casual,, soo dede, decamee dsrbue e a valor o egav I alre arole, u rocesso socasco d rovameo s ree robablscamee, ovvero è ossble defcare ua sequeza d u de d rgeerazoe, a arre da qual l rocesso s comora, erm robablsc, semre ello sesso modo Il emo fra due u d rgeerazoe è deo cclo d rgeerazoe U rocesso socasco a emo dscreo { ; ℵ} è deo d Markov se la robablà d sao al emo + dede solao dallo sao al emo auale,, e o dalla sora recedee, ovvero se s ha: 6

7 Aoo Mao, wwwsascaoo {,,, } Pr{ } Pr + o + U rocesso a emo couo { ; T} è deo d Markov se er og sequeza d valor x s ha: {,, } Pr{ } Pr Dal vcolo sulle dsrbuzo che defsce rocess markova, s deduce che er u rocesso markovao a emo dscreo l emo d ermaeza uo sao segue ua dsrbuzoe geomerca, mere u rocesso markovao a emo couo è ua varable casuale co dsrbuzoe esoezale egava Cò s verfca oché u rocesso markovao è u rocesso rvo d memora e le uche dsrbuzo che godoo d ale roreà soo auo le dsrbuzo geomerca ed esoezale U rocesso molo eressae è quello chamao radom walk ossa asseggaa aleaora, che raresea l movmeo d ua arcella ello sazo, defcadoe la sua oszoe al emo Tale oszoe dede dalla oszoe recedee e da ua varable casuale dedee; formalmee è defo come somma d ua sequeza d varabl { Y } dede e decamee dsrbue, er cu Y Il rocesso è dscreo o couo a secoda che sao dscree o coue le varabl { Y } Dall aals d ua asseggaa aleaora dmeso scaursce l oo rocesso d Weer W(), caraerzzao dal fao d avere ua dsrbuzoe margale d o gaussao co meda ulla e varaza α Cosderado due sa emoral s ha R, ) α m(, ) Il rocesso ( d Weer, deo ache moo Browao, è u arcolare rocesso Markovao couo, la cu desà soddsfa l equazoe del calore I 7

8 Aoo Mao, wwwsascaoo geerale u moo Browao è u rocesso { W ( ); }, avee le segue caraersche: - W(); - ha creme dede e sazoar; - er og >, W ( ) ~ (, α ) ; el caso α s arla d Moo Browao Sadard U rocesso socasco molo oo leeraura è quello d coeggo S defsce rocesso d coeggo ua famgla d varabl casual { ( ); } a valor er o egav, oguo de qual coa l umero d success o arrv ell ervallo emorale (,] Per cu () è u rocesso che gode delle segue roreà: - ( ) ; - () è a valor er; - se s< allora ( s) ( ) ; - er s<, ()-(s) è uguale al umero d eve verfcas ell ervallo (s,) U rocesso socasco d coeggo ossede creme dede, se l umero d eve che s verfcao ervall d emo dsgu soo dede; mere ossede creme sazoar se la dsrbuzoe del umero d eve che s verfcao u ervallo d emo dede solao dalla lughezza dell ervallo, er cu l umero d eve ell ervallo ( + s, + s), coè [ ( + s) ( + s) ], ha la sessa dsrbuzoe del umero d eve (, ), coè [ ( ) ( )] Al rocesso d coeggo () s uò assocare ua successoe d varabl casual osve a valor real { T ; ℵ} che sa sreamee crescee, ossa < T < < T <, che dca l emo d aesa er l -esmo arrvo < T 8

9 Aoo Mao, wwwsascaoo Precsamee se (), ossa ell ervallo (,) s soo verfca arrv, allora T T+, coè l emo d aesa er l eesmo arrvo è more o uguale a, mere l emo d aesa er l (+)-esmo arrvo è maggore o uguale a + La successoe { T ; ℵ} è dea rocesso d uo su R e T è l -esmo uo aleaoro del rocesso d uo Il rcale rocesso d uo è l rocesso d Posso; l rocesso { T ; ℵ} s dce rocesso d Posso omogeeo d esà λ > se e solo se l rocesso d coeggo assocao { ( ); } verfca le segue codzo: -, s, [ ( s) ( ) ] + è ua varable casuale d Posso d meda ( λ s), coè Pr{ ( + s) ( ) k} e - () ha creme dede; - () ( λs) k λ s ; Dalle recede codzo s oa che u rocesso d Posso ha creme sazoar e che E( ) ) Var[ ( ) ] λ k! ( Se () è u rocesso d Posso d esà λ, la dsrbuzoe d T s oee osservado che { } { ( ) } e s rcava qud la dsrbuzoe Erlagaa: f ( ) T T ( λ) λe λ ( )! Per s ha la dsrbuzoe esoezale egava Il rocesso d Posso o omogeeo, vece, è u rocesso socasco el + quale λ è ua fuzoe o egava defa su R ale che λ ( s) ds <, er ; ed () è ale che: - ) ( ) ( è ua varable casuale d o Posso co valor medo λ ( s) ds ; o 9

10 Aoo Mao, wwwsascaoo - () è u rocesso ad creme dede Tale rocesso è d esà λ (), er cu s ha: Pr λ( s) ds k! { k} e ( ) k λ ( s) ds S arla, vece, d rocesso d uo geerale se dalle codzo recede s ogle l vcolo degl creme dede Ua geeralzzazoe cosse el suorre che la robablà che u eveo s verfch ad u dao sae d emo deda dal umero d eve che s soo gà verfca, come el caso delle asce ua oolazoe, oché s esa che dedao dal umero d geor Assumedo (), e che la oolazoe zale sa soggea a sol arrv, l ssema delle equazo che defsce l rocesso è: ' '( ) λ ( ) λ ( ) ( ) + λ ( ) er +,+, co le codzo zal ( ) e ( ) se > U rocesso che soddsfa al equazo è deo d ura asca Se λ λ l rocesso s dce d Yule-Furry e vale: λ ( e ) λ ( ) e Codzoe ecessara e suffcee affché l uca soluzoe del ssema d equazo d u rocesso d ura asca sa ua dsrbuzoe d robablà rora, ossa che ( ), è che la sere dverga Se λ ale sere coverge allora rsula ( ) <, er cu co robablà ( ) la oolazoe uò suerare u ervallo fo d emo

11 Aoo Mao, wwwsascaoo qualuque lvello fo, ossa l rocesso dverge e s regsra l feomeo dell eslosoe Se vece s assume che ella oolazoe s verfcho sa areze che arrv, coè gress e usce (asce e mor) l ssema che defsce ale rocesso, deo d asce e mor, s oee cosderado ache u esà d usce o mor, er cu: ' ( ) λ ( ) + µ ( ) ' ( ) ( λ + µ ) ( ) + λ ( ) + µ co ( ) e ( ) se + + ( ) 3 I rocess d Markov ell ambo de rocess socasc arcolare aezoe merao ua classe d rocess che rede l ome d rocess markova Cosderado l caso d rocess socasc a aramero dscreo, co T cocdee co l seme de umer aural, er cu facedo eslco rfermeo ad ua successoe d varabl casual { ; ℵ} dczzae dal aramero, u rocesso d Markov fo è caraerzzao da ua arcolare relazoe d dedeza: recsamee, qualuque sa l ero, qualuque sao valor x x, x,, x ell seme delle loro ossbl, deermazo { x, x,, x }, la dsrbuzoe d + codzoaamee alla sua sora recedee, ossa all seme (,,, ) è uguale alla robablà d + codzoaamee alla sgola varable, ossa vale la seguee relazoe: { x x, x,, x } { x x } + Pr + Pr

12 Aoo Mao, wwwsascaoo La dsrbuzoe d al emo è dea dsrbuzoe zale del rocesso; dcado co a ( ) Pr { x }, co,,,, la dsrbuzoe zale sarà dcaa co l veore a, che è comoso da: ( a ( ), a ( ), a ( ) a, Le vare robablà codzoae Pr { x x } +, ossa la geerca robablà che ha l ssema d assare dallo sao al emo allo sao al emo (+), soo dee robablà d raszoe del ssema ed geerale dedoo dagl dc (,,); se ale robablà o dede dal emo allora l rocesso è deo omogeeo, eso come omogeeo el emo e s arla d caee markovae omogeee I queso caso s dcao al robablà co l aramero, dove recsamee vale: { x x } Pr + Poché s sao cosderado rocess f, co sa, allora le robablà { } vegoo raccole ua marce quadraa P d dmeso ( ), dea marce socasca d raszoe: I aramer { } vcol: P, essedo delle robablà, devoo soddsfare segue - er og coa (,); - er og I vrù della relazoe che defsce u rocesso d Markov, s deduce che basa cooscere la dsrbuzoe zale del ssema e la marce socasca d raszoe, er cooscere la dsrbuzoe dell ero rocesso

13 Aoo Mao, wwwsascaoo socasco Vedamo, qud, come rcavare da quese formazo le vare dsrbuzo del rocesso Poso a ( k) Pr { x k }, co k,,,, al robablà soo rcavabl dalla relazoe: ( k) a ( ) k + a ( ) k + + a ( ) k a base al eorema d dsegrazoe della robablà d u eveo, er cu cosderado a l veore delle robablà d, ossa a ( a ( ),, a ( ) esso uò essere esresso ella seguee oazoe marcale: a a P, aalogamee s uò deermare la dsrbuzoe d robablà della varable al emo 3 a 3 : a 3 a P 3 k cu sgol erme del veore soo deerma da: a ( k) a ( ) Allo sesso modo s ossoo deermare le alre dsrbuzo d robablà d a var sa emoral È erò eressae sudare l comorameo delle robablà d raszoe var ass Precsamee, se s dca co () la robablà d raszoe due col ossa () { x x } Pr +, s uò verfcare che ale valore è dao: ( ) k Successvamee è ossble calcolare la robablà d raszoe re col ossa: ( 3) k k () k e dcado co ν u umero ero ferore ad, la robablà d raszoe d orde : k k k () k k 3

14 Aoo Mao, wwwsascaoo ( ) ( ν ) ( ν ) k k k Quese equazo soo dee relazo d Chama - Kolmogoroff Se s raccolgoo le robablà d raszoe del geerco orde ua () marce, dcaa co P, le relazo recede ossoo essere scre ella seguee forma marcale: a a 3 a a a a P P P ( ) ( a P) P a Le dsrbuzo cogue a coe, ossa Pr { x, x } P () h k, er og coa k>h, soo rcavabl vrù d semlc legg d calcolo delle robablà, er cu vale: Pr ( k h) { x, x } a ( ) h k Le dsrbuzo cogue d re o ù varabl soo rcavabl cosderado, eravamee, la legge delle robablà comose er eve qualsas e o dede, ella quale s fa u fore uso delle robablà codzoae h 3 Classfcazoe e ordameo degl sa ella sezoe recedee s è oao come lo sudo d caea markovaa sa rcodoo allo sudo della marce d raszoe P ed alle sue oeze, che esrmoo le robablà d raszoe d orde Se l seme degl sa ossbl è dcao co S, cosderado due geerc sa e, s dce che lo sao comuca co lo sao se esse u 4

15 Aoo Mao, wwwsascaoo ( ) ero ale che >, ossa se è ossble che l ssema ass dallo sao allo sao, u umero qualsas d col Se comuca co s scrverà Γ, dove l smbolo Γ dca la relazoe d comucavà Per () covezoe s oe, modo che og sao comuch co se sesso, er cu vale Γ L eveo cero uò essere arzoao quaro eve: - ( Γ ) ( Γ) - ( Γ ) ( Γ) - ( Γ ) ( Γ) - ( ) ( Γ) Γ Dove l eveo ( A ) raresea la egazoe dell eveo (A) Cosderado l rmo eveo, base al quale comuca co e comuca co, s defsce co T ale relazoe d b-comucavà fra due sa, ossa: ( Γ) ( Γ) T Godedo delle roreà rflessva, smmerca e rasva, la relazoe T è ua relazoe d equvaleza, er cu è ossble classfcare var sa del ssema class d equvaleza; u gl sa equvale allo sao aarerrao alla sessa classe d equvaleza, che deoamo co [] I geerale l seme degl sa S sarà decomoso vare class [ ], [ ],,[ k ]; cosderado due dvers class d equvaleza [ a ] e [ b ], uò accadere che uo sao della rma classe ossa comucare co uo sao della secoda classe, al caso u gl sa della rma classe comucherao co gl eleme della secoda classe, ma ovvamee o è ossble l vceversa, erché alrme gl sa delle due class aarerrebbero ad u' uca classe d equvaleza Se s verfca ua ale suazoe, allora s drà che [ b ] è ua classe ferore alla [ a ], al modo, 5

16 Aoo Mao, wwwsascaoo erao, s sablsce u ordameo arzale ra le class d equvaleza; ua classe è dea massma se o è ferore a essu alra, mere è dea mma se essua classe è ferore a quesa Quao scro sora, corrsode ad affermare che ua classe d equvaleza è massma se essuo de suo sa uò essere ragguo da sa d alre class, mere è mma se essuo de suo sa uò raggugere sa d alre class Cosderado caee fe, ossa co u umero d sa fo, quese avrao semre ua classe mma ed ua massma; le class mme vegoo dee ergodche, se ale classe s rduce ad u solo sao allora queso è deo sao assorbee Le class o ergodche soo dee d assaggo e lo sesso ome vee arbuo agl sa che le comogoo Idvduae le class d equvaleza è coveee rordare gl sa, modo che sa aaree a class d orde ferore vegao oszoa rma rseo a sa delle alre class; quesa maera s oee ua forma arcolare della marce socasca d raszoe, dea caoca La forma caoca della marce socasca d raszoe è del o: P R P R3 R4 R5 P R R R P R R P R 4 5 P 5 Gl eleme aaree al ragolo suerore della marce soo u ull e dcao sa o comuca Le sub-marc quadrae dcae co l smbolo P soo le marc d raszoe corrsode alle class d equvaleza [], le sub-marc R ossoo avere valor u ull, se la classe [] è ergodca, oure o Se la marce R è ua marce co u valor ull, allora ache la marce R ha u valor ull 6

17 Aoo Mao, wwwsascaoo Le oeze -esme della marce P esressa forma caoca, soo marc ave la sessa sruura 3 Problem d assorbmeo () Lo sudo del comorameo della marce P al varare d, cosee d care l comorameo asoco del rocesso Da u uo d vsa uvo, s casce che u ssema fo s frà ad u cero uo ua classe ergodca, er cu da quel momeo o l ssema salerà da uo sao all alro d ale classe, seza ù gugere uo sao d alre class, s dce al caso che l ssema vee assorbo, e rsula eressae sudare la robablà ed em med d aesa del ssema class ergodche I og caea fa, qud, la robablà che l ssema ragguga u umero fo d col ua classe ergodca è ar ad, ossa è cero Idcado co g k[ ] la robablà che l ssema sa assorbo rma o o () ella classe [] a arre da u qualsas sao d assaggo k e co g k[ ] la robablà che l assorbmeo avvega esaamee all -esmo colo, s ha che: g ) [ ] g k[ ] ( k dove l uguaglaza s ha qualora essa ua sola classe ergodca e quesa sa roro []; dcado co τ l seme degl sa d assaggo, valgoo olre le segue uguaglaze: g g () k [ ] ( + ) k l [ ] [ ] k [ ] τ kl g ( ) 7

18 Aoo Mao, wwwsascaoo Combado le due recede equazo, maera erava, s ervee ad u ssema d equazo lear, la cu soluzoe forsce le robablà d assorbmeo ella classe [], recsamee, cosderado u qualsas sao d assaggo k: g k [ ] k [ ] τ g Trovaa la robablà d assorbmeo ella classe []del ssema, aredo da u geerco sao d assaggo k, è eressae calcolare l emo medo d aesa affché ale feomeo s verfch A al fe, s dch co T k la varable casuale che esrme l emo d aesa er l assorbmeo del ssema ua classe ergodca a arre dallo sao d assaggo k; cosderado ua coa geerca (,k) d sa d assaggo, s ha che l umero medo delle vole cu l ssema, uscedo da k, assa allo sao, u qualsas umero d ass, dcao co l smbolo m ( ) k k + l [ ] < kl m k è: geeralzzado ale umero medo all seme degl sa d assaggo τ, s rova che, uscedo da k, l emo medo d ermaeza ell seme τ, ossa E ( T k ), è ar a τ m k 33 Caee ergodche ella sezoe recedee s è osservao che, o aea l ssema guge ua classe ergodca, v rmarrà defvamee, er cu o orà ù ervere sa aaree ad alre class d equvaleza Cosderado ua classe ergodca, la sub-marce d raszoe relava a ale classe, 8

19 Aoo Mao, wwwsascaoo dcaa er covezoe co P, è d o socasco, er cu lo sudo d ua classe ergodca d sa, corrsode allo sudo d ua caea ergodca Ua caea ergodca è dea regolare se esse u umero ero ale che () er valor d maggor d esso, ossa er, u gl eleme relav alla oeza -esma della sua marce d raszoe P rsulo osv, ossa se s verfca che og sao della classe è raggugble a arre da u gl alr sa, u umero fo d col e, a arre da u valore abbasaza grade, cò s verfch og sae cu s cosdera l ssema Se s cosdera ua caea regolare, u rsulao molo morae è foro dal eorema d Markov, secodo l quale la oeza - () esma della marce d raszoe, ossa P, coverge, er che dverge, ad ua marce socasca U che ha u gl eleme sreamee osv e le rghe ue ugual; erm formal, vale: lm ( ) u >,,, La robablà asoca d aareeza al geerco srao è esressa dal valore u e cò evdeza come l ssema ammea ua dsrbuzoe asoca u dedee dalla dsrbuzoe zale, co u ( u u,, ) che soddsfa l equazoe: u u P La deermazoe umerca del veore u delle robablà d aareeza asoche è oeua rsolvedo l ssema d equazo seguee: u u u,,, U morae roreà d cu gode la dsrbuzoe lme u è che essa è sazoara ed è l uca dsrbuzoe sazoara del rocesso I relazoe, u 9

20 Aoo Mao, wwwsascaoo ad ua caea markovaa, s dce che ua dsrbuzoe d robablà v è sazoara, se soddsfa la relazoe: v () v P Ua caea regolare, olre, è u rocesso socasco sazoaro seso fore, oché la dsrbuzoe cogua d qualsas umero d varabl del rocesso o vara effeuado ua raslazoe rseo al emo, coè qualuque sa l ero h e la raslazoe emorale, la dsrbuzoe cogua d (,,, ) e quella d ( ) +, +,, + h è la medesma Le robablà asoche u hao u ulerore roreà; fa l valore raresea l emo medo d roro ello sao u Cosderado l rocesso S ( ) che dca l umero relavo d vole cu l rocesso { } s rova ello sao, cosderadolo fuzoe d, qualuque sa la dsrbuzoe zale a ale rocesso coverge robablà verso u, alr erm l valor medo della erceuale d emo cu l ssema s rova ello sao è asocamee uguale a u : ale rsulao è oo leeraura come eorema ergodco Iolre, se var lm [ S ( ) ] c, co c cosae reale dversa da zero, qualuque sa la dsrbuzoe zale del rocesso, la successoe S h ( ) u c coverge dsrbuzoe ad ua ormale sadardzzaa: ale roreà è deomaa eorema cerale del lme er le caee markovae regolar 34 Caee ergodche cclche

21 Aoo Mao, wwwsascaoo Cosderado ua caea markovaa, la robablà () esrme la robablà che l ssema uscee dallo sao v ror esaamee doo col S ozz che ale robablà sa osva solao er valor mull d u cero ero d', ossa: ( ) se o è mullo d d', ( ) se è mullo d d' Cò s verfca ovvamee er d ' ; se cò s dovesse verfcare solo er ale valore d alr valor d d', allora lo sao è deo aerodco, vceversa se essoo d' er cu ale roreà è soddsfaa allora lo sao è deo erodco ed l umero ero massmo fra quell che soddsfao la recedee roreà, dcao co d è deo erodo dello sao I ua classe d equvaleza è sao dmosrao che u gl sa hao lo sesso erodo oure soo u aerodc, er cu ua classe d equvaleza che coee gl sa e, s avrà che d d d e s drà che d è l erodo della classe e che la classe è cclca d erodo d Se u gl sa della classe soo aerodc, ossa d, allora la classe è dea aerodca Prededo cosderazoe class ergodche cclche d erodo d, è sao dmosrao che la classe uò essere decomosa d sooclass dse, dcae co, C Cd, che godoo della seguee roreà: C,, - se l ssema è uo sao d C h, co h,,,d, allora asserà u solo colo uo sao d C h+ ; - se l ssema s rova ella sooclasse C d, el colo successvo asserà ella sooclasse C I ua caea cclca, le oeze successve d ua marce d raszoe o ossoo researe ma u gl eleme osv, ma c sarao alcu

22 Aoo Mao, wwwsascaoo valor ull; se s cosdera u dce l ale che l < d, allora s uò dmosrare che: lm u ( d + l) > se C h alrme el caso arcolare cu l, s oee che: lm u ( d ) > se e, C h alrme C Quao mosrao mlca che la successoe delle oeze della marce d raszoe P, ossa { P () } h+, d ua caea cclca o coverge Se s cosdera la successoe delle mede armeche, ossa () ( ) ( P P + + P ) +, quesa rsula covergee e la sua marce lme ha ue le comoe osve e ue le rghe ugual Se coverge la successoe delle mede armeche, s dce che la successoe coverge alla Cesaro Voledo sudare l comorameo asoco d ua geerca caea ( ) markovaa, ossa voledoe sudare la dsrbuzoe a a P er che dverge, s uò affermare che qualora la caea sa regolare o coee ua sola classe ergodca e quesa è aerodca, allora esse ua dsrbuzoe lme u dedee dalle codzo zal del ssema Tale veore ha ue le comoe osve el rmo caso, mere soo osve solao le comoe relave a sa ergodc el secodo caso I asseza d class ergodche cclche esse la dsrbuzoe lme, ma qualora sao rese ù class ergodche essa dede dalla dsrbuzoe zale ed arcolare rsula: lm g ( ) [ ] dove lo sao è d assaggo, mere lo sao è ergodco e co g [ ] che raresea la robablà che l ssema uscedo dallo sao vega u

23 Aoo Mao, wwwsascaoo assorbo ella classe [] I ale suazoe occorre cosderare le robablà che l ssema sa zalmee allo sao, ossa a ( ) Se la caea è cclca oure coee ua sola classe ergodca cclca, s ha ua dsrbuzoe lme dedee dalla dsrbuzoe zale qualora s cosdera u lme alla Cesaro, ossa la covergeza della successoe delle mede armeche Il roro ad uo sao ua caea markovaa è u eveo rcorree, che è cero se è ergodco, mere uò o esserlo se è vece uo sao d assaggo Il roro ello sao è u eveo rcorree ache se zalmee l ssema s rova uo sao dverso e è raggugble da, s arla al rguardo d eveo rcorree rardao È eressae oare come lo sudo delle roreà d u rocesso markovao sa coducble araverso l aals degl auovalor { λ } della marce socasca d raszoe P I geerale rsula che ess soo, modulo, mor o ugual all uà, qualora essa u uco auovalore ar all uà allora s uò osservare che esse ua dsrbuzoe lme, che o dede dalle codzo zal del ssema, co comoe che ossoo essere ue osve Se esse solo u auovalore che modulo è ar all uà, allora la caea ammee ua sola classe ergodca, se vece essoo r auovalor che modulo soo ar ad uo, allora la caea resea r class ergodche regolar 35 Caee markovae co u fa umerable d sa Suoamo, adesso, che l seme S degl sa d ua caea markovaa o sa fo, ma che rese ua cardalà del umerable Come er le 3

24 Aoo Mao, wwwsascaoo caee fe, è ossble cosderare le relazo d comucavà e bcomucavà fra gl sa del ssema e qud raggruare gl sa class d equvaleza Mere elle caee fe è semre resee ua classe mma ed ua massma, queso caso cò o è deo che s verfch Ad esemo, orebbe verfcars che ue le class sao d assaggo e qud sao d assaggo u gl sa; s agguga che ua classe mma, ammesso che essa, l roro uo sao uò o essere u eveo cero e ure qualora sa cero, o è deo che l suo emo medo sa fo Per al rago, el caso d caee co u fà umerable d sa, è coveee oerare ua classfcazoe degl sess basaa sul caraere della rcorreza o del roro S drao, qud, ersse quegl sa er qual l roro è cero e, a secoda che l suo emo medo sa fo o meo, vegoo de ergodc o ull Gl sa er qual, vece, l roro o è cero vegoo def rasor e al sa vegoo abbadoa dal ssema co robablà ar ad uo, aaloga agl sa d assaggo delle caee fe Cosderado ua caea cosuee u uca classe d equvaleza, dea rrducble, s oa che u suo sa aarerrao ad uo ed uo solo de re sora def 36 Iroduzoe alle caee markovae fe a aramero couo U rocesso { ; T} el quale le varabl casual della famgla soo dscree, ma co l seme T couo, è deo rocesso markovao dscreo a aramero couo se er og umero ero, 4

25 Aoo Mao, wwwsascaoo < < < < + T e er og deermazoe,, x x x x,, delle varabl casual del rocesso vale la seguee relazoe: { x x, x,, x } Pr{ x x } + + Poedo ( ) Pr{ x x } Pr + +,, se ale robablà olre gl dc (,) dede esclusvamee dalla dffereza emorale ( + ), l rocesso quesoe vee deo omogeeo S ozz che ale rocesso sa dscreo e fo, er cu essoo solo u umero fo d sa, s arla duque d caea markovaa La dsrbuzoe zale del ssema è a ( ) ( a ( ),, a ( ), cu l geerco erme ha l seguee sgfcao: ( ) Pr{ }; la marce d raszoe al emo, dea fuzoe d x a raszoe, è: ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dove l geerco erme vale ( ) { x x } segue vcol: ( ) ( ) Pr e dove valgoo,, Le relazo d Chama Kolmogorov soo adesso: co ( ) δ se se ( + s) ( ) ( s) k Il veore a ( ) che coee le robablà d aareeza agl sa al emo è qud deermao da: k k 5

26 Aoo Mao, wwwsascaoo a ( ) a( ) P( ) Come el caso d caee dscree, se esse u valore ale che er og e er og coa (,) rsul ( ) >, allora la marce P(), er che dverge, coverge verso ua marce avee ue le rghe ugual, s verfca coè che: ( ) u lm > La dsrbuzoe asoca { u }, ache queso caso, o dede dalla dsrbuzoe zale del rocesso ed è ua dsrbuzoe sazoara 6