0 per x / ( 1, ). i) (4 p) Trovare per quali valori di α la funzione f è una densità di probabilità (non si chiede di calcolare C α ).

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1 Corsi di Probabilià, Saisica e Processi socasici per Ig dell Auomazioe, Iformaica e If Ges Azieda /5/ Esercizio U sisema di preallarme su u velivolo segala ua A allarme oppure ua N o allarme ogi dieci secodi, a secoda di cere misurazioi rilevae da sesori Ache i sao di perfeo fuioameo, per ragioi casuali, ogi ao viee segalaa ua A Cosideriamo idipedei i valori che escoo ogi dieci secodi i 3 p Suppoiamo che A esca co probabilà 5 Suppoiamo che u sisema di elaborazioe preda i valori relaivi ad u miuo e segali vero pre-allarme se almeo 3 su 6 soo A Co che probabilià queso avviee? Formalizzare la soluzioe ramie variabili aleaorie e relaivi eoremi, o solo col calcolo combiaorico ii 3 p Suppoiamo ivece che il sisema di elaborazioe, elaborado i 6 valori di u geerico miuo, segali vero pre-allarme solo se almeo re cosecuivi soo pari ad A il sisema viee azzerao ogi miuo, per cui se soo A gli ulimi due, queso o basa e si ricomicia da capo il miuo successivo Co che probabilià queso avviee? A priori, era possibile sabilire se fosse più sicuro queso o l alro meodo, rispeo ai falsi allarmi? iii 3 p Cosideriamo 6 miui di osservazioe Che probabilià c è che compaia ua A più di vole? Esercizio Si cosideri la fuzioe { x + α e f x C α x per x, per x /, i p Trovare per quali valori di α la fuzioe f è ua desià di probabilià o si chiede di calcolare C α Calcolare C α per α ii p Dea X ua va co ale desià, poso Y X+, calcolare la desià di Y esprimedo il risulao fiale complessivo iii 3 p Sabilire per quali valori di α la va Y ha media fiia iv 3 p Se X ed X soo copie idipedei di X, calcolare P mi X, X < quado α Esercizio 3 Cosideriamo la caea di Marov su E {,, 3,, 5, 6} associaa alla seguee marice di rasizioe P / / / / /8 /8 5/8 / / / / / / / / i 3 p Disegare il grafo, classificare gli sai, rovare le classi irriducibili, descrivere a priori la sruura geerale di ue le misure ivariai ii 3 p Calcolare ue le probabilià ivariai della caea Se possibile, maeere i risulai i forma di umeri razioali esai frazioi di ieri per maggior racciabilià dei calcoli iii p Idicaa co p la probabilià di rovarsi ello sao j al empo dopo essere parii dallo sao i al empo, calcolare il limie a cui coverge p, per i valori di i, j per cui si riesce

2 x x ++x, S i x i x i x i i x i x, Ĉov i x i x y i y, r x, i x i x y i y!,!!!! +! P A B P A B P B P B A P B P A P A B P B P B A i x iy i xy Ĉov S xìx S Y i x i xy i y i x i x i y i y, P A B P A B P B A, B idipedei: P A B P A P B, P A B P A, P A BP B P A X discrea, valori a j, P X a j p j, allora E [X] j a jp j, E [g X] j g a j p j, E [ X ] j a j p j P X A i:a i A P X a i i:a i A p i X N, P X i p i, P X i p i X coiua, desià f x, allora E [X] xf x dx, E [g X] g x f x dx, i paricolare E [ X ] x f x dx P X A A f x dx V ar [X] σ X : E [X µ X ] dove µ X E [X] V ar [X] E [ X ] µ X Cov X, Y E [X µ X Y µ Y ], Cov X, Y E [XY ] µ X µ Y ρ X, Y CovX,Y σ X σ Y ρ X, Y E [ax + by + c] ae [X]+bE [Y ]+c V ar [X + Y ] V ar [X]+V ar [Y ]+Cov X, Y V ar [ax] a V ar [X] Sadardizzazioe di X: X µ X σ X X, Y idipedei: P X A, Y B P X A P Y B Implica E [XY ] E [X] E [Y ], Cov X, Y, ρ X, Y, V ar [X + Y ] V ar [X] + V ar [Y ] F x P X x F f x dx F f F q α α ϕ E [ e X], ϕ E [X], ϕ E [ X ] ; ϕ ax E [ e ax] ϕ X a X, Y idipedei implica ϕ X+Y ϕ X ϕ Y X B, p : P X p p, E [X] p, V ar [X] p p, σ p p, ϕ q + pe dove q p X,, X B, p idipedei implica S X + + X B, p X ipergeomerica di parameri N, M e : P X N M co,,, N+M X P λ: P X e λ λ!, E [X] λ, V ar [X] λ, σ λ, ϕ e λe Se p λ allora lim p p e λ λ! X N µ, σ : f x exp x µ E [X] µ, V ar [X] σ, ϕ e µ e σ X, Y gaussiae πσ σ idipedei, a, b, c R implica ax + by + c gaussiaa X N µ, σ si può scrivere come X σz + µ, co Z N, F µ,σ x Φ x µ σ Φ x Φ x qα q α Soglie µ ± σq α X Exp λ: f x λe λx per x, zero per x < E [X] λ, V ar [X], σ λ λ, ϕ F x e λx per x, zero per x < TLC: Poso S X + + X, si ha P A P Z A, co Z N, Correzioe di coiuià: P S Φ X X ++X µ X ± σq x µ σ N µ, σ ; µ X ± S > q α x µ S χ α, T p i p i i p i S µ σ +,5 µ σ, co N E [ S ] σ S σ χ > α P Z > i x µ S X i p i p i > χ α, λ λ per < λ [, P µ X µ σq, µ + σq ] S > σ y A + Bx, B Ĉov S X r S Y S X, y A + Bx

3 Soluzioi Esercizio i Siao X,, X 6 va di Beroulli idipedei che valgoo se esce A, alrimei, relaive alle 6 decie di secodi di u geerico miuo Vale P X i 5 Poso S X + + X 6, S misura il umero di A i u miuo ed è ua B 6, 5 Dobbiamo calcolare 6 6 P S ii Le siuazioi di vero pre-allarme soo: A, A, A,,,, N, A, A, A,,, N, N, A, A, A,, N, N, N, A, A, A, e essu alra La prima accade co probabilià 5 3, la secoda co probabilià , la erza co probabilià , la quara co probabilià Soo disgiue, quidi la probabilià richiesa è iii Abbiamo ora le va X,, X 36 e S 36 come sopra e dobbiamo calcolare P S 36 > P X + + X > P Z > Φ Si può ache migliorare u po il risulao co la correzioe di coiuià Esercizio i α > da spiegare, simile a vari alri esercizi f x dx C x + e x dx yx+ C ye y+ dy C e ye y dy C e si ricordi che la media di ua Exp λ è λ quidi C e ii F Y P Y P X + uguale a zero per, mere, per >, P X + P X + + P P X + P X F X + F X X + da cui f Y f X + f X Ora, se >, >, quidi f X e + α e e α e Ivece, <, quidi f X Si poeva già, quado abbiamo disio X +, osservare che X + a causa delle proprieà di X, per cui il ermie P X + era uguale a zero Riassumedo, f Y per, per > f Y e α e e α e

4 iii Usado il cambio di variabile s, ds d, per α >, cioè α > iv Sol: E [Y ] e α e d e s α e s ds < s α e s ds P mi X, X < P mi X, X P X e X P X P X F X Iolre, F X e x + e x dx ye y dy [ e y y ] + e y dy e + e 59 P mi X, X < Esercizio 3 i Lo sao è rasiorio, gli alri ricorrei; {, 5} e {3,, 6} soo irriducibili Le disribuzioi ivariai hao la forma α π,,,, π 5, + α,, π 3, π,, π 6 co α [, ] e π, π 5 ivariae uica della soocaea {, 5}, π 3, π, π 6 ivariae uica della soocaea {3,, 6}, ii La classe {, 5} ha u uica disribuzioe ivariae, uiforme per simmeria: π, π 5, L alra, relaiva alla classe {3,, 6}, va calcolaa col bilacio di flusso o alro modo Vale ovvero π 3 p 3 + p 36 π p 3 + π 6 p 63 π p 3 + p 6 π 3 p 3 + π 6 p 6 π 3 + π + π 6 π 3 7/8 π / + π 6 / π 3/ π 3 /8 + π 6 / π 3 + π + π 6 da cui ad esempio π 3 π /7 + π 6 /7 π /7 + π 6 /7 + π + π 6 π 3/ π /7 + π 6 /7 + π 6 / π 3/ /7 π 6 /7 + / π /7 + + π 6 /7 + π 6 [ /7 + /7 + / 3/ /7 π π 6 [ /7 + 3/ /7 π 6 ] + /7 + ] 3/ /7 / / /7 /7 + / /7 + / /7 + 3/ /7 /7 +

5 π 3 π /7 + π 6 / Verifichiamo per sicurezza: Tue le disribuzioi della caea complessiva hao la forma α,,,,, + α,,, 7,, co α [, ] iii Per i e j {, 5} vale mere per j {3,, 6} vale p + p + p 5j p 3j quidi è suffi ciee capire p j Ifie, per l irriducibilià, basa capire p valori umerici di π, cerchiamo di capire p per i Iolre, per j ali probabilià soo ulle, quidi ci resrigiamo ache a per i, j {, 5} e poi separaamee per i, j {3,, 6} A pare i per i, j {, 5} Qui si raa della marice di rasizioe / / P / / che è regolare e quidi essedo lo spazio degli sai fiio vale la covergeza all equilibrio, ovvero p ede alla misura ivariae i j E però facile verificare che P P, quidi p /, quidi ede a / ache seza l uso di eoremi Perao, per ora, p j p per j, 5 per i, j, 5 I ragioamei per la classe {3,, 6} soo aaloghi; qui va usao il eorema di covergeza all equilibrio e la codizioe di regolarià, e vao usai i valori specifici della misura ivariae: p j p j p j 7 per j 3 per j per j 6 p π j per i, j 3,, 6