Teoria delle distribuzioni Parte quinta Limiti nel senso delle distribuzioni

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1 ezioi di Maemaica e disribuzioi pare 5 Teoria delle disribuzioi Pare quia imii el seso delle disribuzioi operazioe di limie i seso disribuzioale Passiamo a raare, araverso ua serie di esempi precedui da qualche risulao eorico, come sia possibile calcolare i limii di successioi di fuzioi el seso delle disribuzioi Nelle precedei pari si è impliciamee parlao di covergeza di cere successioi ad elemei (disribuzioi) dello spazio D (), ma seza dare ua precisa dimosrazioe Covergeza i D () Sia { u } ua successioi di disribuzioi i D (), co limie u (salvo al più i u isieme di pui a misura ulla), ossia lim u (salvo al più u isieme di pui a misura ulla) u Se u è disribuzioe i D (), la covergeza el seso delle disribuzioi è verificaa solo se è possibile sudiare lim < u,ϕ >< u,ϕ > ossia, solo cooscedo il comporameo al limie delle dualià < comporameo al limie di { u, j> si coosce il } a covergeza, duque, è i seso iegrale Se ci meiamo el caso paricolare i cui gli elemei di { u } soo fuzioi regolari, allora il limie della successioe di fuzioi regolari sarà acora ua geerica disribuzioe, che può ache o essere regolare: ciò accade per successioi di fuzioi che apparegoo a spazi o di Baach a codizioe per cui l elemeo limie u è acora ua disribuzioe i D () è che esisa ua fuzioe maggiorae g( iegrabile su ogi iervallo chiuso e limiao, ossia che U esempio è la covergeza della successioe { u ( g( } visa ella pare, che coverge a H(, dal momeo che H ( g(,, e g( è iegrabile su ogi iervallo chiuso e limiao H u

2 ezioi di Maemaica e disribuzioi pare 5 Cocerazioe Sia ua successioe di segali, ali che ( ) e che puualmee si abbia lim Idichiamo co k ds u ( Se k, allora se ale che ua l area della successioe si cocera i u ioro I( ) (che al limie collassa sul puo sesso), ossia è ds I ( ), allora la successioe coverge el seso delle disribuzioi a lim kδ ( Quesa proprieà di cocerazioe è verificaa perché, se prediamo il limie di <, j> oeiamo, co u cambio formale di variabile (si poga y e poi si iegri i, proprio j() Vediamo u paio di esempi: )Calcolare lim ( ) χ ( ) el seso delle disribuzioi [, ] Abbiamo ( ) χ e duque è u ( ) χ e quidi calcoliamo la e sappiamo che [, ] ( [,] + + s k ds ( s ) χ [,] ds ( s ) ds s lim kδ ( δ ( Co la scriura [ ]( ) χ si iede la fuzioe caraerisica dell iervallo [-,], ossia la [ ]( ) α, α χ α, α < α α

3 ezioi di Maemaica e disribuzioi pare 5 o verifichiamo co la dualià lim < u (, ϕ > lim d e poedo y abbiamo i differeziali d dy e quidi y y lim ) dy lim ) dy ) dy ) ( y ) χ[,] dy ) se e coclude che, come ci si aspeava lim <, ϕ > ) che sigifica che lim δ ( )Daa la successioe di fuzioi f ( χ [, ]( sudiare la sua covergeza egli spazi ( ), ( ), ( ), D'( ) Dobbiamo sudiare la covergeza di f (, ossia lim (, el seso dei vari spazi, ossia rispeo f alla orma dei primi re e el seso delle disribuzioi i D () Nella figura di soo vediamo l evolvere della successioe all aumeare di Aalogamee all esempio viso prima, abbiamo lim f ( Poiamo δ ( (lo si verifichi per esercizio) f ( χ χ ( ) [, ] [, ] ( [, ] χ[, ] ( ( ) χ (

4 ezioi di Maemaica e disribuzioi pare 5 I ( ) dobbiamo calcolare il limie di ( ) + covergeza i I ( d ( ) proprio a ) dobbiamo calcolare il limie di + f f ( d + arcsi( ) + + f ( f ( d che al limie diverge, quidi i coverge ad u limie fiio I d e duque al limie oeiamo + ( ( ) ) d la successioe o () dobbiamo calcolare il limie di f ( max f (, quidi poiamo f ' ( ossia χ [, ], che si ha per, e il massimo di f ( è si aulla al limie Duque i () si ha covergeza a I D () si ha, usado il solio cambio di variabile, +, che duque < f (, ϕ > y dy che al limie ede a perché y ) + ), idipedeemee da cosa faccia l iegrale della radice Duque il limie della successioe el seso delle disribuzioi è ) Calcolare lim arcg( Scriviamo direamee la dualià lim < arcg(, ϕ > lim arcg( d e dao che l arcoagee, per al limie, è limiaa, si può porare il limie soo sego d iegrale e si ha + d d + d [ < H (, > + < H (, > ] < sig(, > e duque al limie si ha arcg( sig(

5 ezioi di Maemaica e disribuzioi pare 5 imii di successioi periodiche e alri limii Sia ua successioe T-periodica a successioe coverge i D () al suo valore medio, ossia lim T T ds (si oi che l iegrazioe può essere effeuaa lugo u qualsiasi iervallo lugo esaamee T) Nel paricolare, se ha media ulla (è il caso dei segali rigoomerici, ad esempio), allora il limie è ullo e i al caso lim lim k k Z Vediamo alcui esempi: )Calcolare lim(cos( ) Dao che la successioe ha valor medio o ullo, coverge al valore cos ( ) d )Calcolare il lim cos( ) δ ( ) Il limie è dipedee uicamee dalla dela: lo si verifica scrivedo la dualià ra la successioe e ua geerica fuzioe es Ifai, al crescere di, essa si sposa sempre più verso l iifiià posiiva, fio ad uscire dal supporo della fuzioe es e quidi la dualià si aulla, e co essa il limie della successioe (vedere figura a lao) H ( H ( )Calcolare lim o vediamo come il limie di u rapporo icremeale: quado ede all ifiio, / ede a zero, e duque si ricoosce la derivaa della disribuzioe H(-, ossia δ ( 5