Metodi matematici per l'ingegneria.

Transcript

1 Meodi maemaici per l'igegeria. Lezioi del prof. Marco Codegoe appui di Capuzzo Alessadro v.3

2 Noe dell'auore: Sicuramee o sosiuiscoo u libro di eso, probabilmee o soo u lavoro sesazioale, seza dubbio soo moli gli errori, di vario geere; ma quesi appui, presi guardado le videolezioi di Marco Codegoe (professore di aalisi maemaica presso il Poliecico di Torio) soo il fruo di seimae di lavoro e a me persoalmee soo sai molo uili. Ho deciso quidi di rederli dispoibili i ree per chiuque pesasse di ricavare u qualche vaaggio, poichè peso che la codivisioe sia il bee che salverà il modo e perchè ciò avvega, bisoga uscire dalla logica del guadago a ui i cosi, covicedosi che coribuire disieressaamee alla ricchezza culurale del proprio paese o è empo perso, é macao guadago, ma il bee più grade che si possa fare a sé sessi,... e ai propri figli. Capuzzo Alessadro... buo lavoro.

3 Idice geerale Numeri complessi... Forma caresiaa... Complesso coiugao...3 Forma rigoomerica...4 Formula di Eulero...6 Esempi...6 Proprieà del modulo e dell'argomeo...9 Sei e cosei complessi... Sei e cosei iperbolici...3 Logarimo complesso...4 Espoeziale complesso...5 Fuzioi a valori complessi...7 Fuzioi reali di variabile reale...7 Fuzioi complesse di variabile reale...8 Fuzioi periodiche...9 Aalisi armoica... Armoiche elemeari... Eergia di u'armoica elemeare...4 Poliomi di Fourier...5 Eergia di u poliomio di Fourier...9 Poliomio di Fourier di x()...3 Serie di Fourier...35 Fuzioi coiue a rai...35 Norma e prodoo scalare...36 Traslazioi...37 Riscalameo (dilaazioe, omoeia)...37 Covergeza puuale e covergeza uiforme...38 Fuzioi di variabile complessa...43 Fuzioi reali di variabile complessa...43 Fuzioi complesse di variabile complessa...44 Iegrali di liea i campo complesso...47 Fuzioi aaliiche...49 Formule iegrali di Cauchy...53 Formula iegrale di Cauchy...56 Formula iegrale di Cauchy...57 Esiseza delle derivae di ogi ordie di f(z)...57 Sviluppi i serie...59 Sviluppi i serie di Taylor...59 Giusificazioe della formula di Eulero...6 Sviluppi i serie di Laure...63 Sigolarià...67 Sigolarià isolae...68 Poli di ordie...69 Poli di ordie qualuque...7 Sigolarià esseziali...75 Puo all'ifiio di C...77 Sigolarià o uiformi...8 Sigolarià o isolae...8

4 Tabelle riassuive...8 Osservazioi fiali...83 Residui...85 Calcolo praico dei residui i poli del ordie...88 Calcolo praico dei residui i poli di ordie N>=...9 Iegrali impropri col meodo dei residui...9 Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse reale)...95 Lemma di Jorda (per cammii paralleli all'asse immagiario)...96 Decomposizioe i frai semplici... Poli semplici... Poli mulipli...6 Poli complessi coiugai...9 Disribuzioi...5 Fuzioali...5 Limii (el seso delle disribuzioi)...5 Derivae disribuzioali... Modelli (igresso - uscia)...5 Prodoo di covoluzioe...5 Proprieà del prodoo di covoluzioe...3 Trasformaa di Fourier...3 Trasformaa della pora...3 Trasformaa della campaa razioale...3 Trasformaa della dela di Dirac...33 Trasformaa della cosae...34 Airasformaa di Fourier...35 Proprieà della rasformaa di Fourier...36 Alre rasformae...45 Trasformaa del gradio uiario...46 Equazioi el domiio delle disribuzioi...47 Esempi di rasformae di Fourier...5 Esercizi iroduivi alle disribuzioi limiae e a crescia lea...56 Disribuzioi limiae...59 Disribuzioi a crescia lea...6 Treo di impulsi...6 Trasformaa di Fourier di disribuzioi periodiche...65 Esempi di rasformae di Fourier di segali periodici...68 Trasformaa di Laplace...75 Trasformaa di Laplace bilaera...75 Proprieà della rasformaa di Laplace...8 Esercizi su rasformae fodameali...84 Trasformaa di Laplace uilaera...9 Airasformaa di Laplace...9 Esercizi di airasformazioe...93 Trasformaa di Laplace per segali periodici per >=...97 Cosiderazioi praiche... Teorema del valor fiale... Teorema del valore iiziale... Uso della rasformaa di Laplace ei modelli differeziali... Applicazioe ad u modello cocreo...3 Separazioe dei ermii di rasiorio e di regime...6

5 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Numeri complessi I umeri complessi si possoo preseare i re forme: Forma caresiaa Forma rigoomerica Forma espoeziale Forma caresiaa Il umero complesso i forma caresiaa si scrive el seguee modo: zx jy co j si iede l'uià immagiaria, ovvero è quel umero complesso che verifica la seguee uguagliaza: j Nei corsi di maemaica ormalmee l'uià immagiaria è simboleggiaa dalla leera i, mere ei corsi di applicazioe all'eleroica si uilizza la leera j, perché la i è riservaa alla corree. Noi ci uiformiamo a ques'ulima idicazioe i quao il osro corso ha ua fore icliazioe alle applicazioi eleroiche. Il vaaggio della forma caresiaa è che si possoo leggere immediaamee la pare reale e la pare immagiaria del umero complesso: Re zx Im z y La forma caresiaa presea ivece qualche difficolà quado se e voglioo cercare il modulo e l'argomeo. Rappreseado i u piao caresiao il umero complesso, si uilizza l'asse delle ascisse per la pare reale e l'asse delle ordiae per la pare immagiaria e la loro composizioe idividua u puo el piao che lo rappresea. y zx jy x Il modulo di u umero complesso rappresea quella che è la disaza del puo del piao xy dall'origie, duque: z x y. Ivece l'argomeo di u umero complesso è l'agolo formao dalla semirea che pare dall'asse delle x e ruoa fio ad icorare il umero z E' chiaro che se facciamo ua roazioe i seso aiorario idichiamo l'agolo posiivamee, se la facciamo i seso orario, lo idichiamo egaivamee. Come facciamo ad idividuare il valore di? Se guardiamo i figura abbiamo il riagolo Forma caresiaa - Pag.

6 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi reagolo Oxz. I queso riagolo è l'agolo adiacee al caeo Ox ed opposo al caeo xz, quidi si ha, grazie alla rigoomeria: g y arcg y x x Bisoga però fare ua cera aezioe el calcolo di, perché la fuzioe agee o è iveribile i uo il suo domiio: è ua fuzioe periodica di periodo ed essedo la fuzioe arcoagee l'iversa della fuzioe agee esclusivamee ell'iervallo,, la formula così com'è vale solo se l'agolo è compreso i ale iervallo, ovvero: quado la pare reale del umero complesso è posiiva, la formula per ricavarlo è quella scria sopra. Se ivece l'agolo si rova fuori da queso iervallo, ovvero: quado la pare reale del umero complesso è egaiva, bisoga aggiugere o ogliere (vedi figura : la freccia idica lo sposameo ecessario per rierare el domiio dell'arcoagee paredo co fuori del domiio dell'arcoagee, queso sposameo vale ). Cocludedo: se xre z arg zarcg y x se xre z arg zarcg y x - Pag.

7 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Complesso coiugao Il simbolo z * rappresea il complesso coiugao di z e si oiee cambiado il sego della pare immagiaria : se zx jy, z * x jy y zx jy x z * x jy Dal puo di visa geomerico ricavare il complesso coiugao corrispode a fare ua simmeria rispeo all'asse reale. La forma caresiaa permee di fare agevolmee somme e sorazioi, ma divea u po' più problemaica ue le vole che dobbiamo fare prodoi o poeze. Ifai si vede subio che ella forma caresiaa il umero complesso corrispode ad u biomio, co ue le cosegueze del caso: u prodoo pora a 4 ermii, ua poeza acora peggio. Vediamo u esempio: z434 j duque: Re z43 Im z4 E' sempre molo imporae valuare subio modulo ed argomeo: z (osserviamo che il modulo è sempre posiivo) Ciò vuol dire che la disaza dall'origie di z è 8. E' molo imporae da compredere: è come dire che il osro umero complesso sa su di ua circofereza di cero l'origie e raggio 8 (vedi figura). Calcoliamo adesso l'argomeo: dobbiamo subio fare ua riflessioe sul sego della pare reale. Nel osro caso è egaiva per cui dobbiamo aggiugere arg zarcg 43 3 arcg Complesso coiugao - Pag. 3

8 Il umero complesso si scrive ella forma: z cos j se Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Forma rigoomerica Quado il umero complesso è espresso i forma rigoomerica leggiamo subio il valore del modulo ( ) e dell'argomeo ( ). E' ivece ecessario qualche calcolo per le pari reale ed immagiaria: Re zcos Im z se Il complesso coiugao di z si oiee cambiado il sego alla pare immagiaria oppure cambiado il sego all'argomeo: z * cos j se cos j se La validià del secodo membro è facilmee verificabile i quao il coseo è ua fuzioe pari, duque coscos ed il seo è ua fuzioe dispari, duque sese. La forma rigoomerica evidezia il fao che il complesso coiugao si oiee semplicemee cambiado sego all'agolo (ifai i queso modo si oiee la simmeria del umero complesso rispeo all'asse delle x). Vediamo u esempio. z5 cos 4 3 j se 4 3 Per rappreseare queso umero el piao caresiao osserviamo che il umero sarà su di ua 4 circofereza di raggio 5 ed il suo modulo formerà u agolo di co l'asse delle x. 3 Calcoliamo le pari reale ed immagiaria Re5cos Im z5si Il umero complesso può essere così espresso i forma caresiaa: z 5 53 ed il coiugao è z * cos 4 3 j se 4 3 = Forma rigoomerica - Pag. 4

9 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Vogliamo fare adesso delle cosiderazioi che ci iroducao alla forma espoeziale. La seguee uguagliaza è sicuramee ovvia: zz z z Geomericamee queso vuol dire che ogi umero complesso può essere scrio come il prodoo di u umero reale z per u umero complesso che sa sulla circofereza uiaria z z. Circofereza uiaria z z z Abbiamo fao quesa osservazioe perché per ora vogliamo occuparci esclusivamee di umeri complessi che hao modulo. Prediamo i seguei umeri complessi e scriviamoli i forma rigoomerica: z z cos j se z z cos j se e moliplichiamoli ra loro: z z cos cos se se j cos se se cos ricordado le formule di addizioe e sorazioe cos se z z cos cos se se j cos se se cos risula z z cos j se Queso è u risulao esremamee ieressae perché illusra che per fare il prodoo di due umeri complessi ci siamo ricodoi a fare ua somma ra gli argomei. Vi è u'aalogia co la forma espoeziale: e a e b e ab - il prodoo degli espoeziali si raduce i ua somma degli espoei; il prodoo dei umeri complessi si raduce i ua somma degli argomei. Queso ci pora a rifleere sulla possibilià che porebbe esserci ua forma di rappreseazioe dei umeri complessi come espoeziale. I effei è così, ma cero o può essere ua forma espoeziale di ipo reale, perché se si volesse rappreseare ad esempio il umero complesso j : jcos j se, è chiaro che ua forma espoeziale del ipo e sarebbe u umero Forma rigoomerica - Pag. 5

10 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi reale, duque o adrebbe bee. Bisogerà i qualche misura irodurre u oggeo uovo. La forma correa è la seguee i quao l'espoee o è u umero reale ma u umero immagiario: z e j z e j Quesa rappreseazioe raduce molo bee ache il prodoo, ifai voledo fare il prodoo di due umeri complessi dobbiamo fare la somma degli argomei: z z e j e j e j Bisogerebbe però essere sicuri che queso ipo di oazioe è i qualche misura coeree co ue le proprieà degli espoeziali. Più avai el corso, quado avremo gli srumei ecessari, dimosreremo che è così. Siamo duque giui alla e j cos j se Formula di Eulero Quesa è ua formula fodameale el osro cammio. Familiarizziamo u po' co essa effeuado ua divisioe ra due umeri complessi: z z cos j si = e j e j e j Uilizzado la formula di Eulero possiamo scrivere u umero complesso el seguee modo: ze j La forma espoeziale è ua forma i cui si leggoo agevolmee modulo e argomeo ed è esremamee praica per fare le operazioi di prodoo, di poeza, di radice -sima. Per esempio l'elevameo a poeza diviee il seguee: z e j e j e j Vediamo u esempio praico. Prediamo z3 33 j e facciamoe la poeza oava. Esempi Diciamo subio che se dovessimo eseguire queso calcolo i forma caresiaa, ci riroveremmo a dover fare il prodoo di u biomio co due addedi per sé sesso 8 vole, ed il calcolo diveerebbe ua cosa esremamee faicosa. Se ivece scriviamo il umero complesso i forma espoeziale queso divea molo semplice: z Esempi - Pag. 6

11 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi arg zarcg 3 per cui la poeza è 33 6 osserviamo che a, quidi o si aggiuge z 8 j 6 e e j 8 6 E' molo imporae verificare cosa succede graficamee, facedo ua rappreseazioe geomerica; fare l'oava poeza è sigificao elevare il modulo all'oava poeza; ed avere fao ua roazioe, moliplicado l'argomeo per 8. z 8 z Vediamo u alro esempio. Ci poiamo la quesioe di fare la radice -sima di z. Ricordado che fare la radice -sima sigifica fare u elevameo a poeza frazioaria, possiamo scrivere: z e j e j Si raa ache i queso caso di sfruare le proprieà dell'espoeziale, eedo però coo della periodicià di che rimae pur sempre u agolo della circofereza goiomerica, per cui risula: ze j e j e j k j Aggiugere u muliplo di a ci fa oeere lo sesso umero complesso. Dobbiamo quidi eere coo e sviluppare la radice come segue: z e j e j e j k j e j kj co k Osserviamo adesso che se se oi facciamo variare k o oeiamo ifiie radici disie, perché k pora allo sesso agolo a cui pora k, per cui sarà sufficiee far variare k ell'isieme k,,,..., Traduciamo i u esempio umerico. Calcolare 4 3 j Il primo problema che affroiamo è scrivere il umero ella forma espoeziale: arg zarcg possiamo scrivere: (i queso caso ao per cui si aggiuge ) Esempi - Pag. 7

12 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi 4 3 j4 e j e j 3 4 kj Rappreseiamo el piao complesso le radici quare di z. Osserviamo che hao ue lo 4 sesso modulo: 4. Quello che cambia è l'agolo perché dobbiamo variare il paramero k. Osserviamo che al variare di k si oegoo sempre gli sessi 4 pui, quidi per oeere radici disie si prede, come già deo, solo k,,,3 I pui soo i verici di u poligoo regolare che ha ai lai quao è l'idice della radice (i queso caso abbiamo u quadrao regolare iscrio ella circofereza di raggio. z z z z 3 Vediamo u alro esempio. 5 Scriviamo il umero i forma espoeziale (quado il umero è così semplice è più facile ricavarsi modulo e argomeo graficamee che far calcoli) Il modulo è, l'aomalia o argomeo è per cui 5 e 5 j e j 5 e j 5 5 kj La prima radice la oeiamo meedo k, il modulo è sempre. Aggiugedo mulipli di oeiamo gli alri 5 pui (che corrispodoo ai verici di u peagoo regolare iscrio ella circofereza uiaria). - Vediamo u alro esempio. Esempi - Pag. 8

13 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi 6 e 6 j e j 6 e j 6 6 kj I queso caso le alre radici si oegoo araverso ua roazioe di 6 - Queso ipo di esercizi è molo uile per cui si cosiglia lo sudee di eseguire per sé i seguei: E' chiaro che bisoga ricordarsi che e j, 3 j je j 4 j 5 j 6 j 3 j 4 j Proprieà del modulo e dell'argomeo 5 j z z z z Scriviamo i umeri complessi ella loro forma espoeziale z e j z e j z z e j e j e j Risula evidee duque l'ideià z z z z arg z z arg z arg z z z z z arg z z arg z arg z Le dimosrazioi soo ue immediae scrivedo il umero complesso soo forma espoeziale. Vediamo u esempio cocreo. Proprieà del modulo e dell'argomeo - Pag. 9

14 z j 3 j e j 4 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Suppoiamo di essere ieressai, come spesso capia, a vedere subio il modulo e l'argomeo di queso umero complesso. Queso calcolo diviee semplice se oi uilizziamo le proprieà che abbiamo appea mosrao: j z 3 j e j j arg zarg jarg 3 jarg e 4 arcg arcg Osservazioe z e j corrispode ad ua roazioe, i quao il modulo di z o cambia, mere l'argomeo viee moliplicao per. Per esempio zj pora ad ua roazioe di Queso evidezia ua caraerisica di j j j j j 3 j j 4... di z. j, proviamo a sviluppare le poeze: - -j j Si può vedere dal grafico che effeivamee ogi prodoo per j corrispode ad ua roazioe di, per cui calcolare le poeze di j divea effeivamee semplice (si divide l'idice della poeza per 4 e si prede il reso della divisioe...) Proprieà del modulo e dell'argomeo - Pag.

15 Cosideriamo e z e x j y e x e j y e ricordado la formula di Eulero e x e j y e x cos y j se y Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Sei e cosei complessi abbiamo così pouo scrivere e elevao ad u qualuque umero complesso. Possiamo subio osservare che e z e x arg e z y Abbiamo appea raao ua forma u pochio più complea della formula di Eulero: e z e x cos y j se y Facciamo le seguei cosiderazioi, abbiamo e j cos j se iiziamo subio col dire che grazie alla formula di Eulero possiamo dire che l'espoeziale complesso può essere viso come ua combiazioe lieare di cosei e sei. Cerchiamo il complesso coiugao e j cos j se e adesso sommiamo membro a membro le due uguagliaze, oeedo e j e j cos cos e j e j osserviamo che il coseo può essere viso come ua combiazioe lieare di espoeziali complessi, e queso è u fao molo imporae. Facciamo adesso la sorazioe membro a membro e j e j j si se e j e j j osserviamo che ache il seo può essere espresso come combiazioe lieare di espoeziali complessi. Meere come argomeo di seo e coseo u umero complesso è di difficile ierpreazioe (o sappiamo dire cosa sigifica), ma se oi sfruiamo le uguagliaze che ci siamo appea ricavai, è possibile farlo (perché u espoeziale complesso ha sigificao, come già viso precedeemee), duque possiamo procedere co le seguei defiizioi: cos z e j z e j z se z e j z e j z j Vediamo u esempio. Abbiamo defiizioe di coseo complesso defiizioe di seo complesso Sei e cosei complessi - Pag.

16 z j vogliamo calcolare il seo: Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi se j e j j j j e e j e e j e j j se adesso rifleiamo su quao vale e j, oiamo che ha modulo ed argomeo, duque è il umero reale -. Lo sesso vale per e j. L'equazioe divea: se j e e j mole vole il j a deomiaore disurba, quidi lo si pora a umeraore moliplicado e dividedo per j : se j e e j e j j e j Osserviamo che il seo di u umero complesso è u umero complesso. Vediamo u alro esempio. Calcolare si j log dobbiamo ache i queso caso ricorrere alla defiizioe di seo complesso: si j log e j l log e j j log j e j e log e j e log j j j j i queso caso abbiamo oeuo u umero reale (ricordiamo che il umero reale è u caso paricolare del umero complesso). Vogliamo soolieare co grade rilievo che il risulao è u umero reale >. Queso fao sembrerebbe i corapposizioe co le ormali regole del seo, ma o dimeichiamo che abbiamo fao il seo di u umero complesso: il modulo di u seo complesso può essere più grade di uo. Sei e cosei complessi - Pag.

17 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Sei e cosei iperbolici Iroduciamo adesso le fuzioi iperboliche, che co gli srumei che abbiamo irodoo, diveao di compresioe piuoso semplice. Defiizioe i ambio reale di seo e coseo iperbolico seh e e Defiizioe i ambio complesso di seo e coseo iperbolico seh z e z e z cosh e e cosh z e z e z Possiamo osservare che così come seo e coseo complesso soo ua combiazioe di espoeziali complessi, ache seo e coseo iperbolici complessi soo ua combiazioe di espoeziali complessi, ache se ovviamee diversa. Duque possiamo cocludere che l'espoeziale complesso comprede dero di sé ue quese fuzioi, ovvero, araverso opporue combiazioi di di espoeziale complesso si oegoo le fuzioi seo e coseo circolari, seo e coseo iperbolici, complessi. Essedoci duque queso legame co l'espoeziale complesso, possiamo dedurre che ci sarà ache u legame ra le fuzioi seo e coseo circolari e seo e coseo iperbolici. Calcoliamo il se j z se j z e j j z e j j z j ez e z j ez e z j e z j j ez j e z e z j j seh z Abbiamo rovao u legame molo sreo ra seo complesso di z e seo iperbolico complesso di z. Aalogamee si oegoo le alre relazioi. Il quadro geerale risulae è il seguee: se jz j seh z seh jz j sez cos jzcosh z cosh jzcos z Sei e cosei iperbolici - Pag. 3

18 Il logarimo complesso si scrive ella forma log z Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Logarimo complesso Si uilizza la sessa oazioe del logarimo di u umero reale; sarà il coeso a segalarci se si raa del logarimo di u umero reale o del logarimo di u umero complesso. Prediamo come defiizioe di logarimo quella che si oiee i modo aurale, facedo il logarimo del umero complesso scrio soo forma espoeziale: z e j per cui log zlog e j divea allora abbasaza aurale defiire il logarimo di u umero complesso i modo che siao rispeae le proprieà che avevao i logarimi dei umeri reali. E' possibile scomporre il logarimo di u prodoo i ua somma di logarimi: log e j loglog e j ricordado la periodicià dell'argomeo, dobbiamo scrivere: log e j loglog e j loglog e jk j log j k j Duque grazie ai coi che abbiamo fao possiamo dare la defiizioe di logarimo di u umero complesso log zlog j k j Osserviamo il grafico. Facedo il logarimo, oeiamo u umero complesso co pare reale uguale al logarimo di e pare immagiaria uguale a j k j Vediamo che è solo la pare immagiaria ad essere periodica di periodo k. Queso, si raduce el fao che esso sarà su di ua rea parallela all'asse delle ordiae (la x è cosae) ed apparirà, paredo da u'ordiaa uguale a (co k=) co u periodo di j. Il logarimo ci pora duque ad ifiii valori immagiari. log Vediamo u esempio. j log j3log e 3 k j log j k j 3 Logarimo complesso - Pag. 4

19 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Espoeziale complesso Araverso il logarimo complesso si può ache defiire l'espoeziale co base complessa: z e log z logz j k j e Ache per l'espoeziale quado la base è complessa oeiamo ifiii risulai. Termiiamo il capiolo riguardae i umeri complessi co alcue osservazioi. I campo complesso: vi soo radici di umeri egaivi vi soo logarimi di umeri egaivi seo e coseo possoo avere moduli maggiori di l'espoeziale complesso comprede sei e cosei Espoeziale complesso - Pag. 5

20 Appui di Capuzzo Alessadro - Numeri complessi Espoeziale complesso - Pag. 6

21 Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi a valori complessi Fuzioi a valori complessi Fuzioi reali di variabile reale Occupiamoci iizialmee di fuzioi reali di variabile reale, facedo però ierveire i umeri complessi. Cosideriamo xre e j Ree e j Ree cos j se e cos si vede che oeiamo ua fuzioe reale di variabile reale da u'espressioe che però è complessa. Qualcuo si chiederà perché o abbiamo subio preso l'espressioe fiale e cos. La risposa è che el osro corso capierà spesso di oeere fuzioi reali da fuzioi complesse, è quidi molo imporae capire come ua fuzioe reale possa essere rappreseaa da ua fuzioe complessa. Mosriamo il grafico della fuzioe cercado di e x cos x capire come u grafico di queso ipo possa essere immediaamee percepio seza passare araverso lo sudio di fuzioe. La fuzioe cos è oa. Ci soo dei pui i cui essa assume valore, - e. I ui gli alri pui ha valori che soo compresi ra - e. L'osservazioe è che se oi prediamo i pui i cui il coseo vale la fuzioe prodoo assumerà il valore della fuzioe espoeziale. Possiamo duque predere il grafico dell'espoeziale e segarci i pui i cui cos, che sarao ripeo i pui i cui la fuzioe prodoo varrà e. Lo sesso ragioameo si può fare per i pui i cui cos (prededo però i valori di e, viso che l'espoeziale viee moliplicao per -). Ifie ei pui i cui cos la fuzioe prodoo sarà sull'asse delle x. Per ui i valori ieri avremo dei valori compresi, sarà duque facile immagiare l'adameo della fuzioe. A iolo iformaivo diciamo che il grafico che abbiamo rovao è ua modulazioe i ampiezza di ua fuzioe periodica che ha u adameo siusoidale. Nel seguio useremo il ermie segale al poso del ermie fuzioe, perché più idicao elle applicazioi maemaiche. Vediamo u alro esempio di fuzioe reale di variabile reale che descriviamo araverso i umeri complessi: xim e j Imcos j seimcos j sese Duque abbiamo rappreseao la fuzioe se come espoeziale complesso. Fuzioi reali di variabile reale - Pag. 7

22 Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi a valori complessi Fuzioi complesse di variabile reale Vediamo adesso le fuzioi a valori complessi di variabile reale. Sia xe s co s j cosae complessa fissaa; pur essedo ua variabile reale, i valori che la fuzioe assume ad ogi soo dei umeri complessi, quidi si raa di ua fuzioe che dai reali va ai complessi ( ). xe s e j e e j e cos j se Rifleiamo su cosa soo pare reale e pare immagiaria di queso umero Re e s e cos osserviamo che a pare le cosai e, che modificao quelle che soo le scale del osro umero (riscalameo), quesa fuzioe ha u grafico qualiaivamee simile a quello che abbiamo viso prima; Im e s e si ed ache quesa appare come ua modulazioe i ampiezza di ua fuzioe siusoidale. Vediamo adesso quali soo modulo e argomeo della fuzioe complessa Modulo: xe s e e j e e j e e j è u espoeziale co all'espoee la sola pare immagiaria, duque il suo modulo è e è u espoeziale co all'espoee la sola pare reale, duque il suo modulo è l'espoeziale sesso e. Il modulo della osra fuzioe complessa è duque u espoeziale reale. Argomeo: arg xarge j arge e j duque l'argomeo ha u comporameo lieare (è ua rea passae per l'origie). Fuzioi complesse di variabile reale - Pag. 8

23 Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi periodiche Fuzioi periodiche Ua fuzioe periodica è ale se si verifica la seguee uguagliaza xxt Ifai aggiugere ua cosae reale alla osra variabile, sigifica raslare la osra fuzioe a siisra di T, dal momeo che la fuzioe raslaa è uguale alla fuzioe sessa e cosegue che la fuzioe è periodica di periodo T. Risula immediao osservare che se T è il periodo di ua fuzioe, risulao essere periodi della sessa fuzioe ache i suoi mulipli, ovvero: xxk T co k se x o è ua fuzioe cosae e T è il più piccolo umero reale posiivo, per il quale si ha xxt allora T è deo periodo fodameale o lughezza d'oda. Vediamo u esempio. Quello rappreseao i figura è u segale periodico di periodo T (raslado la fuzioe del periodo se e oiee ua uguale) x Richiamiamo adesso alcui alri oggei che soo imporai ella descrizioe di ua fuzioe periodica: T periodo T f frequeza T f T frequeza agolare T Nel caso dell'esempio avedo T si oegoo f T T TRUCCO: elle fuzioi siusoidali il valore della frequeza agolare corrispode al coefficiee della variabile. Fuzioi periodiche - Pag.9

24 Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi periodiche Vediamo cosa succede raddoppiado la frequeza. Osservado il grafico, vediamo che abbiamo oeuo ua fuzioe periodica co periodo fodameale che è esaamee uguale alla meà del precedee (però ache il vecchio periodo rimae periodo della fuzioe ache se o più fodameale). x Fuzioi periodiche - Pag.

25 Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi a valori complessi Fuzioi a valori complessi Fuzioi reali di variabile reale Occupiamoci iizialmee di fuzioi reali di variabile reale, facedo però ierveire i umeri complessi. Cosideriamo xre e j Ree e j Ree cos j se e cos si vede che oeiamo ua fuzioe reale di variabile reale da u'espressioe che però è complessa. Qualcuo si chiederà perché o abbiamo subio preso l'espressioe fiale e cos. La risposa è che el osro corso capierà spesso di oeere fuzioi reali da fuzioi complesse, è quidi molo imporae capire come ua fuzioe reale possa essere rappreseaa da ua fuzioe complessa. Mosriamo il grafico della fuzioe cercado di e x cos x capire come u grafico di queso ipo possa essere immediaamee percepio seza passare araverso lo sudio di fuzioe. La fuzioe cos è oa. Ci soo dei pui i cui essa assume valore, - e. I ui gli alri pui ha valori che soo compresi ra - e. L'osservazioe è che se oi prediamo i pui i cui il coseo vale la fuzioe prodoo assumerà il valore della fuzioe espoeziale. Possiamo duque predere il grafico dell'espoeziale e segarci i pui i cui cos, che sarao ripeo i pui i cui la fuzioe prodoo varrà e. Lo sesso ragioameo si può fare per i pui i cui cos (prededo però i valori di e, viso che l'espoeziale viee moliplicao per -). Ifie ei pui i cui cos la fuzioe prodoo sarà sull'asse delle x. Per ui i valori ieri avremo dei valori compresi, sarà duque facile immagiare l'adameo della fuzioe. A iolo iformaivo diciamo che il grafico che abbiamo rovao è ua modulazioe i ampiezza di ua fuzioe periodica che ha u adameo siusoidale. Nel seguio useremo il ermie segale al poso del ermie fuzioe, perché più idicao elle applicazioi maemaiche. Vediamo u alro esempio di fuzioe reale di variabile reale che descriviamo araverso i umeri complessi: xim e j Imcos j seimcos j sese Duque abbiamo rappreseao la fuzioe se come espoeziale complesso. Fuzioi reali di variabile reale - Pag. 7

26 Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi a valori complessi Fuzioi complesse di variabile reale Vediamo adesso le fuzioi a valori complessi di variabile reale. Sia xe s co s j cosae complessa fissaa; pur essedo ua variabile reale, i valori che la fuzioe assume ad ogi soo dei umeri complessi, quidi si raa di ua fuzioe che dai reali va ai complessi ( ). xe s e j e e j e cos j se Rifleiamo su cosa soo pare reale e pare immagiaria di queso umero Re e s e cos osserviamo che a pare le cosai e, che modificao quelle che soo le scale del osro umero (riscalameo), quesa fuzioe ha u grafico qualiaivamee simile a quello che abbiamo viso prima; Im e s e si ed ache quesa appare come ua modulazioe i ampiezza di ua fuzioe siusoidale. Vediamo adesso quali soo modulo e argomeo della fuzioe complessa Modulo: xe s e e j e e j e e j è u espoeziale co all'espoee la sola pare immagiaria, duque il suo modulo è e è u espoeziale co all'espoee la sola pare reale, duque il suo modulo è l'espoeziale sesso e. Il modulo della osra fuzioe complessa è duque u espoeziale reale. Argomeo: arg xarge j arge e j duque l'argomeo ha u comporameo lieare (è ua rea passae per l'origie). Fuzioi complesse di variabile reale - Pag. 8

27 I seguei poliomi Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier Poliomi di Fourier P k cos k k se k k P k P k e j k k k sek k soo sommaorie delle armoiche elemeari che abbiamo appea sudiao. Osserviamo che la frequeza di ciascu addedo è k vole la frequeza fodameale, quidi possiamo dire che la frequeza agolare di uo il poliomio è uguale a. I poliomi di Fourier hao duque T periodo fodameale T f frequeza fodameale T f T frequeza agolare fodameale T i k= e ui gli alri addedi hao periodo e frequeze che soo mulipli di quesi. Tue le cosiderazioi che abbiamo fao per le armoiche si possoo fare ache per i poliomi di Fourier, i paricolar modo vorremmo richiamare la seguee: * se k k co k allora abbiamo la piea equivaleza ra i poliomi elle re forme, i quao il poliomio ella forma complessa è di fao u poliomio reale, soo verificae perciò le uguagliaze k k k * Re k k j k k * Im k Esempio : oda riagolare Cosideriamo il seguee poliomio P k, ko k e j k k Poliomi di Fourier - Pag.5

28 osserviamo subio che k k k Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier la frequeza agolare del poliomio è, quidi T osserviamo ache che il ermie k vale - per k dispari e zero per k pari Prediamo adesso il poliomio per = P e j e j mole vole è comodo esprimere il poliomio i ermii di seo e coseo, abbiamo P e j e j j e j e 4 cos Aalogamee possiamo calcolare il poliomio per = 3 P 3 9 e j 6 e j e j 9 e j 6 meiamo i evideza alcui ermii P 3 4 cos 4 cos6 Vediamo i grafici. P P 3 P 5 Poliomi di Fourier - Pag.6

29 Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier P 7 Aumeado si acceua la viciaza del poliomio di Fourier al segale riagolare. Esempio : oda quadra. P k, ko j k k e j k la frequeza agolare è, quidi T Calcoliamo i poliomi P j e j j e j meedo i evideza j oeiamo P j e j e j j 4 j j se j se P 3 j 3 e j 3 j e j j e j j 3 e j 3 P se3 Vediamo i grafici. P Poliomi di Fourier - Pag.7

30 Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier P 3 P 5 P 7 Quesa vola abbiamo u'oda quadra. Ache i queso caso, all'aumeare di ci si avvicia sempre più al segale di base. Esempio 3 : oda a dee di sega. P k, ko k j e j k osserviamo che, T, f P j e j j e j se P j e j j e j j e j j e j se se Vediamo i grafici. P Poliomi di Fourier - Pag.8

31 Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier P 3 P 5 P 7 Eergia di u poliomio di Fourier Vediamo adesso cos'è l'eergia di u poliomio di Fourier P T o P d = T o k T o h j h e h k k T k e j d o k * e j k d = o T h k k k e j * j k e d = k k h * k e k jhk d quado h è diverso da k siamo sicuri che l'iegrale è zero, i quao l'espoeziale ha proprio periodo T. Rimae duque solo il caso i cui h=k che pora a P o T k k dt k k Queso risulao ci dice che l'eergia di u poliomio di Fourier è sreamee legaa ai suoi Eergia di u poliomio di Fourier - Pag.9

32 coefficiei. Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier Se ivece vogliamo esprimere l'eergia el caso i cui ci roviamo di froe a poliomi di Fourier ella forma reale è sufficiee ricordare la relazioe ra i coefficiei: essedo k k j k e ricordado che (la sommaoria comicia da ), si ha P T T k k k Poliomio di Fourier di x() Da ciò che abbiamo viso, possiamo dire che sembrerebbero esserci dei poliomi di Fourier i qualche misura associai a delle fuzioi. Vediamo i che modo queso può essere fao. La srada è quella di cercare u poliomio di Fourier i modo che la sua differeza co il segale x () abbia u'eergia miima: xp miima Vediamo co qualche calcolo come è fao il poliomio di Fourier che ha quesa caraerisica. Idichiamo co c k T T xe j k d il coefficiee del poliomio di Fourier cercao. Pariamo dalla defiizioe di eergia P T xp d = ricordiamo che il quadrao di ua quaià complessa è uguale a ale quaià moliplicaa per il proprio coiugao = T xp xp * d = ricordiamo iolre che il complesso coiugao di due addedi è uguale al complesso coiugao di ciascu addedo, poi sviluppiamo il prodoo = T xp x * P * d = T = x P x * P x P * d adesso dobbiamo espliciare P : P k e j k k e sosiuirlo ell'iegrale Poliomio di Fourier di x() - Pag.3

33 T = x T d P d eergia di x() Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier eergia di P T k x * e j k d k * T c k T c k k * T xe j k d ricordado duque le defiizioi di eergia di ua fuzioe e di u poliomio di Fourier, possiamo scrivere =x c T k k k k T c k * k * T c k = raccogliamo la T e dero la sommaoria aggiugiamo e ogliamo c k c k : =x c T k k c * k * k c k c k k k c k * k c * k k k c k = =x c T c k T k c k * k c * k = =x c T c k T k c k k k Rifleiamo adesso sul risulao oeuo. Siamo parii dalla differeza ra le eergie del segale e del poliomio, dicedo che la loro differeza doveva essere miima. Osserviamo che il primo addedo è l'eergia di x(), che è daa. c k è u coefficiee che si calcola ed ha valori be precisi a secoda della fuzioe x(). k è ivece u valore che possiamo cambiare, i quao fa pare proprio del poliomio di Fourier che vogliamo rovare. Duque i primi due addedi o cambiao al variare di k, perché soo legai ad x(), mere il erzo addedo cambia il suo valore ed essedo u modulo lo cambia ra umeri posiivi. Possiamo duque dire che la differeza è miima quado è miimo il erzo addedo, che è miimo quado è uguale a zero. Per cui deve essere k c k T T xe j k d Quesa espressioe è duque molo imporae perché ci forisce il coefficiee del poliomio di Fourier di x(). Diamo duque u ome a queso poliomio associao ad x() e ricapioliamo la sua espressioe: X c k e j k x Ricordiamo ache che siamo parii da ua fuzioe periodica x() di periodo T. Trovaa quesa espressioe per u segale complesso, il passaggio ai segali reali rispea gli sessi rappori che ci soo per i poliomi di Fourier già visi: X a a k cos kb k se k k Poliomio di Fourier di x() - Pag.3

34 Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier a k c k c * k T T xe jk d T T xe jk d T T xe jk e jk d a k c k c k * T T xcoskd, k allo sesso modo b k jc k c k * T T x sekd k Ricapiolado si hao le re forme Forma a xa a k cos kb k se k k a c T T xd a k c k c * k T T xcoskd, b k jc k c * k T T x sekd k k Forma b xa r k sekq k k r k a k b k q k arca a k b k se b k Forma c x c k e jk k c a T T xd c k a k j b k T T xe jk d k c k c k * k Osservazioe Nel calcolo dei coefficiei di u poliomio di Fourier di u segale x() ierviee il calcolo di u iegrale ra e T di ua fuzioe periodica y(). Fare queso iegrale è la sessa cosa che fare u iegrale ra e T, come si vede dal grafico Poliomio di Fourier di x() - Pag.3

35 Appui di Capuzzo Alessadro - Poliomi di Fourier T T Geomericamee è evidee che le due aree soo uguali. Co semplici passaggi è possibile dimosrarlo ache aaliicamee. Lo scopo di quesa osservazioe è che quado oi adiamo a cercarci i coefficiei del poliomio di Fourier, possiamo farlo ell'iervallo più comodo. Geeralmee l'applicazioe più usaa di quesa osservazioe è la seguee: T T yd T yd Osservazioe Abbiamo viso che xp x c T c k T k c k T c k x c k k k Quesa viee chiamaa disuguagliaza di Bessel e ci dice che l'eergia del poliomio di Fourier associao ad u segale x() è sicuramee miore o uguale all'eergia del segale sesso. Poliomio di Fourier di x() - Pag.33

36 Appui di Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier Serie di Fourier Fuzioi coiue a rai Ua fuzioe x() si dice coiua a rai i u iervallo I =[a,b] se è coiua i I ecceo che i u umero fiio di pui i a,b e iolre lim x ī lim x i + lim x a + lim x b - esise fiio esise fiio esise fiio esise fiio Diciamo per esempio che i segali cosiderai ei paragrafi precedei (oda riagolare, oda quadra, oda a dee di sega,...) soo delle fuzioi coiue a rai. Se esisoo i limii descrii sopra ifai, le fuzioi, ell'iervallo I, avrao u umero fiio di discoiuià (che soo discoiuià di specie ovvero di ipo salo, appuo perché esisoo fiii il limie desro e siisro, ache se diversi). Nei paragrafi precedei ci siamo occupai di vedere cos'è la differeza ra l'eergia di u segale periodico x() ed il rispeivo poliomio di Fourier. Abbiamo viso che essa è x c X x c T c k k a parire da queso presupposo vogliamo fare la seguee riflessioe: se pesassimo di predere degli sempre più gradi, cosa succederebbe dell' eergia della differeza? Bee, per che ede all'ifiio essa porebbe edere a zero. I queso caso (per ) si ha l'ideià di Parseval: x c T c k quesa ideià riguarda ua serie. k L'ideià di Parseval si verifica se la fuzioe x() è periodica e coiua a rai. Si usa ache scrivere la seguee uguagliaza x c k e j k el seso della eergia k Iediamo x() uguale alla serie del secodo membro el seso che la differeza ra x() e la sommaoria fiia ra - ed (che viee dea ridoa -sima) ede a zero quado ede a più ifiio. Norma e prodoo scalare No sembrerebbe molo evidee il legame co i veori, ma c'è. Vediamo i che seso. La radice Norma e prodoo scalare - Pag.35

37 Appui di Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier quadraa dell'eergia di u segale si chiama orma o orma quadraica. x c : orma quadraica L'uguagliaza visa prima x c k e j k k che era el seso della eergia, può duque essere defiia u' uguagliaza el seso delle orme (se ede a zero ua quaià, ede a zero ache la sua radice quadraa). Si può dire ache che la serie di Fourier, se x() è coiua a rai, coverge i orma quadraica a x(). Ipoizzado adesso che (come al solio) x() sia periodica di periodo T, defiiamo il suo prodoo scalare co u segale y() ach'esso periodico. x, y T xy * d prodoo scalare ra due fuzioi defiie i T NOTA : E' lecio meere il coiugao di y() i quao si iede y() come u segale reale che può beissimo essere espresso come fuzioe di variabile complessa; beieso che se maca la pare immagiaria, il coiugao di u umero reale o è alro che il umero reale sesso. Se oi facciamo il prodoo scalare di x() co sé sessa, oeiamo x, x T xx * d T x d x osserviamo duque che c'è u legame ra la orma quadraica ed il prodoo scalare: la orma quadraica di u segale è il prodoo scalare di queso segale per sé sesso. Possiamo duque sfruare quesi uovi srumei per ripredere alcue cosiderazioi fae i precedeza. Facciamo il prodoo scalare delle seguei armoiche elemeari e j k,e j h T e j k e j h d T e jkh d se hk l'iegrale vale se h k l'iegrale vale T (essedo la fuzioe periodica) duque se le due fuzioi soo uguali (h=k), il loro prodoo scalare è uguale al periodo, se soo diverse, è ullo. Ricordiamo che la defiizioe di prodoo scalare di due veori, dice che esso è ullo se quesi soo orogoali. Quidi, rispeo alla defiizioe che qui abbiamo dao di prodoo scalare, possiamo dire che due armoiche disie che siao diverse ra di loro, soo orogoali. Ricordado la formula che ci descrive il coefficiee di u poliomio di Fourier k c k T T xe j k d, la possiamo riscrivere el seguee modo, sfruado la defiizioe di prodoo scalare appea daa k c k T x,e j k si può duque ierpreare il coefficiee come la proiezioe della fuzioe x() sulla compoee e j k (ale è il prodoo scalare ra due veori). Si riesce i queso modo a cosruire ua ua serie di relazioi ra i poliomi di Fourier co le sesse regole che goverao i veori. Norma e prodoo scalare - Pag.36

38 Appui di Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier sia il segale periodico x x T c T k T xe j k d Traslazioi coiuo a rai e siao i suoi coefficiei e sia x c k e j k k e suppoiamo di raslarlo di : x x la sua serie di Fourier. oeiamo, risolvedo il semplice seguee iegrale (lascio al leore il compio di farlo) c T j k T xe k d c k e j k e quidi la serie di Fourier raslaa è x c k e j k e j k k sia il segale Riscalameo (dilaazioe, omoeia) x x T coiuo a rai e siao c k T T xe j k d i suoi coefficiei e sia x c k e j k k la sua serie di Fourier. e suppoiamo di riscalarlo di a, co a x xa si osserva subio che queso sigifica modificare la frequeza agolare. Si oiee, per quao riguarda i coefficiei di Fourier che c k c k e la serie risula essere x c k e j k a k cambia la frequeza agolare Riscalameo (dilaazioe, omoeia) - Pag.37

39 Appui di Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier Covergeza puuale e covergeza uiforme Aalizziamo adesso alcui problemi riguardai la covergeza delle serie i geerale. Le due quesioi di cui vogliamo parlare soo appuo la covergeza puuale e la covergeza uiforme. Covergeza puuale Prediamo delle fuzioi che dipedao da u idice (possiamo beissimo pesare ache a dei poliomi di Fourier, se va da più a meo ifiio possiamo pesare a delle serie di Fourier) y co oppure facciamo la ridoa k-sima S y k k e facciamo poi il limie di quesa ridoa per k che ede a più ifiio S y k k Suppoiamo adesso di avere l'iervallo I co I, di fissare u be preciso puo dell'iervallo dao e di fare la sommaoria calcolaa i S y k k Si osserva abbiamo oeuo ua serie umerica, perché y è u be preciso umero che dipede appuo da y, y e così via, calcolai i. Allora ha seso porsi la quesioe di vedere cosa succede el limie della successioe umerica che abbiamo oeuo lim S k Se queso limie esise fiio e vale S, viee deo somma della serie el seso puuale. lim k S S y k k Se il limie esise fiio per ogi o I, allora possiamo geeralizzare il coceo e parlare di covergeza puuale i u iervallo S y k k co I Cerchiamo adesso di porare queso discorso alle serie di Fourier. Abbiamo la serie x c k e j k k co T (uguagliaza sempre el seso della eergia) se ache i queso caso fissiamo u puo e adiamo a cosiderare il poliomio di Fourier calcolao el puo Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.38

40 X c k e j k k Appui di Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier possiamo dire che abbiamo ache i queso caso ua successioe umerica, e per che ede ad ifiio abbiamo X X se e solo se soo verificae le seguei codizioi: x è coiua a rai i,t x è regolarizzaa x ' è ach'essa coiua a rai i,t NOTA: Ua fuzioe è regolarizzaa se ei pui di discoiuià i si ha la seguee proprieà: co i,t e lim - risula x i x + i x ī e se agli esremi del suo iervallo si ha x x - i e lim x x + i + x + lim x e xt - lim x + T - e risula x xt x+ xt - A quese codizioi la serie coverge puualmee al segale x(). Se ciò avviee l'uguagliaza x c k e j k k è el seso puuale. Covergeza uiforme Prediamo ache i queso caso delle fuzioi che dipedao da u idice (possiamo beissimo pesare ache a dei poliomi di Fourier) y co oppure facciamo la ridoa k-sima S y k k e facciamo poi il limie di quesa ridoa per k che ede a ifiio S y k k vogliamo vedere i che modo quesa sommaoria si avvicia al limie. Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.39

41 Facciamo la seguee cosiderazioe Appui di Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier Se esise ua fuzioe S() per cui : e I si ha SS S si dice che S per coverge a S i modo uiforme i I. Duque la serie corrispodee coverge i modo uiforme (o uiformemee). Vediamo graficamee cosa vuol dire: per ui gli >, e ui i S I, le ridoe S, devoo S essere comprese ra S S S e S. Se queso si verifica si parla di covergeza uiforme. Prediamo adesso ua serie di Fourier X X T se u puo i è puo di discoiuià per X, allora la serie o può covergere uiformemee i u ioro di i. La covergeza uiforme è duque ua richiesa di covergeza più resriiva della richiesa di covergeza puuale. La direa cosegueza di queso fao sarà che egli iori dei pui di discoiuià, la serie di Fourier produrrà delle difficolà ella covergeza (queso è ieressae dal puo di visa applicaivo). Se ivece la fuzioe è coiua i u iervallo I e la sua derivaa prima esise ed è coiua a rai, allora abbiamo la covergeza uiforme. Osservazioe. Prediamo il coefficiee di ua serie di Fourier. T c k xe jk d T T T moliplichiamo ambo i membri per il periodo Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.4

42 Appui di Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier T Tc k T xe jk d se cosideriamo k k T possiamo scrivere T Tc k T xe j k d X k dove X k è il osro iegrale calcolao i k. Diamo dei valori a T, per esempio prededo T e k k oppure prededo T e k k, osserviamo che più è grade il periodo, più è piccola k. Variado k si oegoo ifiii valori discrei ao più vicii quao T è maggiore. Prediamo adesso ua fuzioe qualuque, o periodica ed iegrabile i u iervallo I, ad esempio ua fuzioe x ale che assume valore ell'iervallo, e fuori da queso iervallo. Osserviamo che se j X k e k d e j k j k si k si k k k T l'iegrale del coefficiee si riduce al seguee si k k cos k j si k j k j cos si k k k (il coseo si semplifica da sé) Come abbiamo deo per T molo grade si può pesare di oeere valori discrei sempre più ravviciai fio ad oeere quasi il grafico di ua fuzioe coiua. = Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.4

43 Appui di Capuzzo Alessadro - Serie di Fourier Possiamo duque, operado sulle serie di Fourier, pesare di operare ache su fuzioi o periodiche facedo edere il periodo ad ifiio (oeedo così fuzioi coiue ella variabile k ) ed iroducedo duque la rasformaa di Fourier, della quale ci occuperemo però più avai. Covergeza puuale e covergeza uiforme - Pag.4

44 Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa Fuzioi di variabile complessa Riprediamo adesso il cammio che avevamo irapreso parlado di fuzioi complesse, iroducedo le Fuzioi reali di variabile complessa Esempi di fuzioi di variabile complessa a valori reali soo f zz f zarg z f zre z f zim z Osserviamo che i realà ci possiamo collegare alle fuzioi di più variabili, perché la variabile complessa equivale a variabili reali. Si hao: f zz = x y f zarg z = arcg y x f zre z f zim z = x cos = y si Ragioare sulle fuzioi di variabili complesse ci pora perao el campo delle fuzioi di più variabili dove, ovviamee, le cose soo u po' più complesse che su di ua sola variabile. Facciamo dei richiami co u paio di esempi. Esempio. f z za co a Se vogliamo rappreseare quesa fuzioe dobbiamo meerci ello spazio ridimesioale. Il piao è il luogo dove si muove la variabile z e le quoe, ovvero la erza dimesioe, sarao i valori che la fuzioe assume al variare di z. Il grafico sarà duque quello a fiaco. Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag.45

45 Facciamo u alro esempio. f ze z e x j y e x e j y e x Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa La fuzioe di fao è u espoeziale reale, ifai è cosae i y. Fuzioi complesse di variabile complessa Facciamo subio alcui esempi f zz f zz * f ze z Essedo la fuzioe di variabile complessa, come abbiamo già deo o si può più parlare di fuzioe di ua variabile ma il osro discorso si raduce i fuzioi di due variabili. No si può più duque parlare di derivaa della fuzioe, ma bisoga parlare di derivae parziali, o derivae direzioali, o comuque bisoga ripredere la defiizioe di derivaa per dare ua defiizioe alla derivaa di variabile complessa. Vediamo i che modo possiamo ragioare sulle derivae. Parliamo di rapporo icremeale. Vediamo come si defiisce il rapporo icremeale per ua variabile complessa lim z f z z f z z dove co z abbiamo idicao u icremeo della variabile z, a parire da u puo z. Si capisce subio che o è sufficiee aver fissao la lughezza dell'icremeo, per deermiare la aura, i quao esso sesso può assumere ua qualsiasi direzioe el piao complesso; duque il limie dipederà dalla direzioe lugo la quale si prede l'icremeo. Cosideriamo, per dimosrare ale asserzioe, il rapporo icremeale delle fuzioi di esempio precedei Esempio. Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag.45

46 Prediamo la fuzioe f zz * Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa e facciamo il limie del rapporo icremeale lugo differei direzioi. Ricordiamo iaziuo che z x j y Iiziamo a fare il limie i ua direzioe parallela all'asse delle x (y ). Oeiamo lim z y f z x f z x Adesso applichiamo il rapporo icremeale alla fuzioe f zz * lim x f z x * z * x lim x z * xz * x Proviamo adesso a fare il limie i ua direzioe parallela all'asse delle y ( x ). Oeiamo lim z x f z j y f z j y Adesso applichiamo il rapporo icremeale alla osra fuzioe lim y f z j y * z * j y lim y z * j yz * j y Ci accorgiamo duque che il limie del rapporo icremeale dipede decisamee dalla direzioe lugo la quale viee calcolao. Osservazioe lim z y lim z x f z z f z f z x è la derivaa parziale faa rispeo a x. f z z f z f z j y È la derivaa parziale faa rispeo a y, co la cosae j. I calcoli si poevao ifai fare seza fare il limie del rapporo icremeale, ma semplicemee esprimedo la fuzioe complessa i forma caresiaa e derivado rispeo ad x ed y. Riprediamo la fuzioe f zz * x j y e facciamoe le derivae parziali (moliplicado la derivaa parziale della y per il coefficiee, pesado la fuzioe come ua fuzioe di due j variabili reali i cui iervegoo dei coefficiei immagiari (che soo cosai): x j y x x j y j y Esempio. Prediamo la fuzioe Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag.45

47 f ze z Appui di Capuzzo Alessadro - Fuzioi di variabile complessa Iiziamo a fare il limie i ua direzioe parallela all'asse delle x (y ). Oeiamo lim z y f z x f z x Adesso applichiamo il rapporo icremeale alla osra fuzioe lim x e z x e z x lim x e z e x e z x Osserviamo che abbiamo u limie di quelli fodameali (che fa ) moliplicao per la cosae e z. Muoviamoci adesso lugo la direzioe parallela all'asse delle y ( x ). Oeiamo lim z x cioè lim y f z j y f z j y e z j y e z j y e z e j y lim y j y a queso puo si porebbe rarre subio la sessa coclusioe raggiua calcolado il precedee limie (cioè che siamo di froe ad u limie fodameale), ma siccome i queso caso iervegoo coefficiei immagiari che o erao presei quado ei moduli precedei sudiavamo i limii, eseguiamo qualche uleriore passaggio facedo ierveire la formula di Eulero lim y e z e j y lim j y y abbiamo così due limii fodameali e z j lim y cos y se y lim y y y e z cos y j se y lim e j y y e z j e z z cos y j y j se y j y Ci si accorge che la derivaa parziale faa rispeo ad x dà lo sesso risulao della derivaa parziale faa rispeo a jy. Osservazioe fiale. Abbiamo viso che ci soo fuzioi complesse di variabile complessa per le quali, cambiado la direzioe di derivazioe, cambia il valore del limie del rapporo icremeale, mere sembrerebbe che ce e siao alre per le quali, ache cambiado la direzioe dell'icremeo, il valore del limie del rapporo icremeale o cambia. Iegrali di liea i campo complesso Vogliamo dare sigificao all'iegrale f zdz Fuzioi complesse di variabile complessa - Pag.45