Serie e trasformate di Fourier brevi richiami

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1 UNIVERSIÀ DEGLI SUDI DI FIRENZE DIPARIMENO DI INGEGNERIA CIVILE e AMBIENALE Sezioe Geoecica Serie e rasformae di Fourier brevi richiami Do. Ig. Albero Pulii

2 eorema di Fourier U qualsiasi segale periodico x(), co periodo, soo alcue codizioi maemaiche (x limiaa e moooa a rai), può essere rappreseao dalla somma di fuzioi siusoidali pure di opporuaampiezzaedifrequezamulipladif/(seriedi Fourier). I paricolare, la serie di Fourier può essere espressa i re diverse forme, ra loro equivalei: Forma rigoomerica base (i sei e cosei); Forma rigoomerica i ampiezza e fase; Forma espoeziale complessa.

3 Serie di Fourier FORMA RIGONOMERICA BASE x ( ) a + ( a cosω + b siω ) o co a o 0 x( ) d a x( )cos( ω ) d b x( )si( ω ) 0 0 d ω π,,3... 3

4 Serie di Fourier FORMA RIGONOMERICA IN AMPIEZZA E FASE x ( ) c + [ c si( ω + ϕ )] o ampiezza fase iiziale fase co c o a 0 a b b c + ϕ a a 4

5 Serie di Fourier FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA x ( ) ( * iω ) c e + co c * i ω 0 x( ) e d Z :... 3,,,0,,,3... 5

6 Serie di Fourier FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA La scriura ella forma espoeziale complessa, molo compaa, è uile perché semplifica oevolmee i calcoli. Essa deriva dalla formula di Eulero, che correla la rappreseazioe espoeziale e rigoomerica dei umeri complessi: α e i cosα + i siα da cui cosα e iα + e iα siα i e iα e iα 6

7 FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA Serie di Fourier Sosiuedo ell espressioe rigoomerica base : ) ( i i e ib a e ib a a x ω ω poso: * a 0 c * ib a c * ib a c c c c ( ) + + * * * 0 ) ( i i e c e c c x ω ω si può scrivere: e, raccogliedo: + i e c x ω * ) ( i d e x c 0 * ) ( ω co (di uovo sosiuedo la formula di Eulero elle espressioi di a 0, a e b, e quidi di c 0, c e c )

8 Speri di Fourier Il coefficiee c * è u umero complesso, e, come ui i umeri complessi, è doao di u modulo e di u argomeo. Facedo riferimeo alla rappreseazioe grafica dei umeri complessi (i cui la pare reale è rappreseaa sull asse delle ascisse e quella immagiaria sull asse delle ordiae), il modulo di u umero za+ib, z, è la disaza della coppia (a,b) dall origie, l argomeo arg(z)θ è l agolo che la cogiugee il puo (a,b) co l origie fa co l asse delle ascisse posiive, misurao i seso aiorario. 8

9 Speri di Fourier c * (e quidi il suo modulo e il suo argomeo) può essere viso come ua fuzioe di ω : al variare di, e quidi di ω, esso assume valore diverso. Il grafico che descrive il valore di c * al variare di ω è deo spero di Fourier delle ampiezze, il grafico che descrive il valore di arg(c * ) al variare di ω è deo spero di Fourier delle fasi. Il primo dei due è quello che i geere ha il maggior ieresse dal puo di visa applicaivo, e ad esso si farà d ora i poi riferimeo quado si parlerà di spero. 9

10 Speri di Fourier Se la fuzioe x() è u armoica, la corrispodee serie di Fourier ha u solo ermie diverso da 0, ed allo sesso modo il suo spero è composo da u solo elemeo. Se la fuzioe x() è la somma di u umero fiio di armoiche, la corrispodee serie di Fourier ha u umero fiio di ermii diverso da 0, ed allo sesso modo il suo spero è composo da u umero fiio di elemei. 0

11 Speri di Fourier Se la fuzioe x() o è ua fuzioe rigoomerica, ma è periodica di periodo, la corrispodee serie di Fourier ha u umero ifiio di ermii diverso da 0, ed allo sesso modo il suo spero è composo da u umero ifiio di elemei. Si raa però di u ifiià umerabile, che dà luogo ad ua spezzaa. Spero di Fourier di u oda quadra

12 rasformaa di Fourier Se la fuzioe x() o è ua fuzioe rigoomerica, e o è eache periodica, ma è solao defiia su uo l asse reale (eveualmee co valore ullo al di fuori di u cero iervallo), si defiisce rasformaa di Fourier la fuzioe: + iω x( e d ) x( ω ) ) Quesa fuzioe ha forma aaloga a quella dei coefficiei c * *, ed ache lo sesso sigificao maemaico. I queso caso, però, il paramero di frequeza ω o assume ua ifiià umerabile di valori, ma u ifiià coiua. Di cosegueza, ache gli speri di Fourier delle ampiezze e delle fasi (rispeivamee x ) (ω) e arg( x ) ( ω) ) ) o soo più fuzioi discree, ma coiue, defiie su uo l asse reale. Si può passare, co procedimeo opposo, da l airasformaa di Fourier: x ) (ω) a x(), eseguedo x( ) + i ω e ω xˆ( ) dω

13 rasformaa di Fourier Spero di Fourier di u segale irregolare aperiodico 3

14 rasformaa di Fourier discrea U erremoo è u segale o periodico. Se e può duque defiire la rasformaa di Fourier. uavia, per la sua elaborazioe, il segale, che è coiuo, viee discreizzao, perché viee campioao i u umero fiio di pui (di isai emporali), k, ra loro disai. L operazioe di iegrale si rasforma così i u operazioe di sommaoria. N ) iωk x( ω ) x( k ) e rasformaa di k x( k ) ω N x( ω ) e iω k Fourier discrea Airasformaa di Fourier discrea ω ω π N Il fao che i pui di campioameo siao i umero fiio (N) fa sì che si possa aalizzare solao u iervallo limiao di frequeze. D alra pare, è sufficiee fare riferimeo al campo di ieresse (sia per quao riguarda la frequeza fodameale del erremoo sia per quao riguarda la frequeza propria degli edifici). Geeralmee, la frequeza massima cosideraa è f5 Hz, mere la miima è u valore comuque piccolo (ma ovviamee diverso da 0), ad esempio f0.05 Hz. 4

15 rasformaa Veloce di Fourier (FF) Eseguire la rasformaa di Fourier discrea applicado le formule precedei compora u coso compuazioale elevao. Per queso, si uilizza u algorimo diverso, deo rasformaa Veloce di Fourier (FF Fas Fourier rasform; Cooley & uckey, 965). Per applicarla è ecessario che i pui campioai siao i umero pari ad ua poeza di. Per queso moivo, occorre, dopo il ermie del segale, aggiugere, co passo aalogo a quello di campioameo, pui co ordiaa ulla, fio ad oeere ua quaià oale pari alla prima poeza di superiore al umero di pui campioai del segale. Queso rumore biaco serve ache per ridurre al miimo l approssimazioe idoa dalla discreizzazioe. 5

16 Frequeza di Nyquis Per quao riguarda il passo di campioameo, esso deve essere scelo co aezioe. Il eorema di Nyquis sabilisce ifai che ogi compoee i frequeza del segale che sia sigificaiva deve essere campioaa da almeo due pui per periodo. I caso corario, si può avere ua perdia e ua alerazioe delle iformazioi coeue el segale. I paricolare, se il passo di campioameo emporale o è sufficiee per ua descrizioe correa delle frequeze più elevae, quese subiscoo il cosiddeo feomeo di aliasig, ovvero vegoo scambiae co frequeze più basse. Di cosegueza, dea f c la massima frequeza sigificaiva coeua el segale, quesa deve essere legaa al passo di campioameo dalla disequazioe: La frequeza f N sempre risulare f. N f c f c è dea frequeza di Nyquis. Deve duque 6

17 Frequeza di Nyquis Campioameo isufficiee del segale origiario (a rao coiuo) e coseguee aliasig co u segale a frequeza iferiore (a raeggio) Campioameo adeguao del segale (3 pui per periodo) 7