Il modello di Black e Scholes come limite del modello binomiale multiperiodale

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1 Capiolo Il modello di Blac e Scholes come limie del modello biomiale muliperiodale. Il Modello Biomiale Muliperiodale Ricordiamo brevemee il Modello Biomiale Muliperiodale o Cox-Ross-Rubisei.. Ipoesi e oazioi Il asso di ieresse è cosae e vale r, mere il prezzo dell azioe è dao da S 0 s 0 > 0, S + + ρ + S Z + S o i alre parole S 0 s 0 > 0, S + ρ S 0 Z S 0... S + ρ + ρ + ρ S 0 Z Z Z S 0 dove le variabili aleaorie ρ i possoo assumere solo il valori a e b, co la codizioe a < r < b, o equivaleemee le variabili aleaorie Z i + ρ i possoo assumere solo i valori u + b, d + a, co la codizioe d < + r < u. Si defiisca ξ i {ρib} {Ziu} ovvero la variabile aleaoria che vale se il prezzo dell azioe sale e zero alrimei, i modo che Z i u ξi d ξi. Il fao che Z i u ξ i d ξ i si verifica per ispezioe: Z i u ξ i u ξ i d ξ i u d u Z i d ξ i 0 u ξ i d ξ i u 0 d 0 d

2 versioe da 30-maggio-005 Sia H ω la v.a. che coa il umero delle vole i cui il prezzo sale ra il passo e il passo, ossia i modo che H ω {ρib} i {Ziu} i S N S 0 u H d H u H S 0 d d S 0 + b H N + a H S 0 + b + a i ξ i H + a per ogi 0,,..., N e per ogi pay-off ermiale f N che deve essere F N -misurabile il prezzo di esercizio può essere descrio dalla formula [ [ fn Cf N, P C N f N, P B 0 Ẽ B Ẽ N f N + r N.. dove Ẽ è il valore aeso rispeo alla probabilià P rispeo alla quale gli evei {Z i u} soo idipedei e ui co probabilià p + r d + r + a u d + b + a r a b a. Allora, per l opzioe call europea co prezzo di esercizio K e empo di esercizio N, [ SN K + C call K, P C call,n K, PẼ B N. e quidi, eedo coo che H N ha disribuzioe biomiale BiN, p rispeo a P C call K, P S 0 x 0<h N N + b p h p N h h + r K + r N N N S 0 h hh 0 K + r N x 0<h N + b + r p N hh 0 h N h + a + r N h p h p N h.3 h N h + a p + r N h p h p N h..4 dove o equivaleemee x 0 l K S 0 + a N l + b + a h 0 mi{j ɛ N : S 0 + a N j + b j K > 0} Si ricorda che siamo raado obbligazioi derivae di ipo europeo, che possoo essere eserciae solo al empo fiale N, o empo si esercizio, al corario di quelle di ipo americao, che ivece possoo essere eserciae i u qualuque isae ra l iizio del corao e il empo di esercizio.

3 versioe da 30-maggio Approssimazioe del Modello Biomiale Muliperiodale.. Il modello approssimao, a empo coiuo Cosideriamo ora il caso i cui gli scambi avvegoo sempre più vicii el empo ovvero ai empi /. Cosideriamo il empo coiuo, ma, per fissao, i processi che ci ieressao soo cosai egli iervalli ra u empo / e l alro. Iolre i parameri del modello, ossia r, u e d, dipederao da, i modo da specificare e da eere coo del fao che si raa di iervalli di ampiezza /. Coiuiamo ad idicare co B ed S il prezzo del iolo o rischioso coo i baca e del iolo rischioso l azioe rispeivamee, ache se, per meere i evideza la dipedeza dal paramero sarebbe più opporuo deoarli co B [ Suppoiamo B S e S [. B B B 0 + r.5 S u S s 0 d H d.6 dove il primo sego di uguagliaza sia i.5 che i.6, garaisce il fao che i due processi B soo cosai sugli iervalli di ampiezza /, mere ell ulima uguagliaza i.5 si sceglie ed S e dove ifie ell ulima uguagliaza 3 i.6 si sceglie r r,.7 u e σ/ d e σ/,.8 per ua cosae σ > 0. Ifie ache il valore del empo di esercizio dipede da i modo che N N,.9 dove N è il umero di iervalli di ampiezza / coeui i [0,, ovvero N. Il risulao pricipale di quesa sezioe è riassuo el seguee eorema, che corrispode ad oeere la formula di Blac e Scholes come limie. eorema.. Poso C call K, P il prezzo della call europea el modello biomiale dao da.5 e.6, co i parameri defiii come i.7 e.8, prezzo di esercizio K e empo di esercizio N, si oiee che lim C call K, P s 0 Φ ζ + σ Ke r Φ ζ,.0 dove Φ è la fuzioe di riparizioe della legge N 0,, Φx x e z / dz + e ζ dipede da K,, r e σ el seguee modo: ζ σ log K s 0 r σ. x e z / dz Φ x, x 3 Si oi che di uovo, per o appesaire la oazioe, o abbiamo uilizzao la oazioe H [, che sarebbe saa più precisa.

4 4 versioe da 30-maggio-005 Osservazioe.. eedo coo che r loge r loge r, co semplici passaggi si oiee ζ σ log s 0 e r K + σ, ζ + σ σ log s 0 e r K da cui, poiché, come già ricordao Φx Φ x, il limie i.0 si riscrive come s 0 Φ σ log s 0 e r K s 0 [Φ σ log s 0 e r K + σ + σ σ, Ke r Φ σ log s 0 e r K σ. K s 0 Φ e r σ log s 0 e r K σ. La forma., mee i evideza come il prezzo si scriva come il prezzo iiziale s 0 della opzioe, moliplicao per u faore che dipede solo dal rapporo 4 K s 0, fra prezzo di esercizio K e prezzo forward della opzioe e r sessa, cioè s 0 e r, il valore di s 0 aualizzao al empo. Prima di uo commeiamo la scela del riscalameo, ossia la scela dei due processi.5 e.6. Ovviamee la scela di r i.7 corrispode alla ecessià che il asso di ieresse sia proporzioale all ampiezza degli iervalli [, + [, +, ossia si abbia B [ B B B0 + r e che rimaga cosae i uo l iervallo [, +, ovvero che B o i alre parole che, se, aalogamee a N, B B 0 + r per [, + [, + N.3 è il umero di iervalli di ampiezza / che si rovao ell iervallo [0,, allora B B 0 + r N o meglio B B B 0 + r..4 Iolre è ragioevole pesare che i cambiamei del prezzo si discosio di poco i u iervallo di empo così piccolo, ed i effei si suppoe che S Z S + ρ S dove i valori ammissibili per Z soo solo u e σ/ e d e σ/, ed i effei le successioi u e d covergoo erambe ad, ovvero, più precisamee, u d, Si oi iolre che, eedo coo che e x + x + x + ox, 4 Ricordiamo che l opzioe si dice alla pari o a he moey se K s 0 e r, ou of he moey se K < s 0 e r, e i he moey se ivece K > s 0 e r.

5 versioe da 30-maggio la defiizioe.8 corrispode a u + σ/ + σ / + o/ d σ/ + σ / + o/,.5 e quidi la codizioe di compleezza e di asseza di arbiraggio, ossia diviee d < + r < u a < r < b σ/ + σ / + o/ < r/ < σ/ + σ / + o/,.6 che è chiaramee soddisfaa per sufficieemee grade. I alri ermii si suppoe che dove e che b σ + S u + b d + a. S σ + o a σ + σ + o, per [, + [, + ovvero, se come prima, N è il umero di iervalli di ampiezza / che si rovao ell iervallo [0,, allora, eedo presee che u eσ/ d e σ/ eσ/, si può ache scrivere S [ S S S 0 u d S0 u d H d HN d N S 0 e σ H e σ S 0 e σ H..7 Passiamo ora alla dimosrazioe del eorema., ossia della formula di Blac e Scholes... Dimosrazioe della formula di Blac e Scholes Grazie al fao che almeo per sufficieemee grade il modello di mercao cosiderao è compleo e privo di opporuià di arbiraggio, sappiamo che la misura marigala equivalee P esise ed è uica, e che, rispeo alla misura marigala equivalee P, gli evei {Z i u} soo idipedei e co probabilià o meglio p + r d u d p r a b a σ + r σ + o σ + σ σ + o r σ + σ + o σ + σ + o σ + σ + o, σ + r σ + o σ + o + r σ + o σ + θ,

6 6 versioe da 30-maggio-005 dove θ r σ /σ + o coverge a r σ /σ per che ede all ifiio.* Equivaleemee le variabili aleaorie ξ i soo idipedei e di valore aeso Ẽ [ξ i p + r σ + o σ. Di cosegueza il prezzo di u derivao co maurià empo di esercizio e co pay-off ermiale coige claim fs dovrà ecessariamee avere come prezzo i paricolare per l opzioe call C call K, P Ẽ [ C fs f, P Ẽ B [ S K + B [ SN Ẽ K + + r N.8.9 Abbiamo quidi u espressioe del prezzo, ma il problema a queso puo diviee complesso dal puo di visa umerico, almeo per grade: il deomiaore o compora problemi i quao si può approssimare co e r, mere lo sesso o si può dire del umeraore. Per risolvere queso problema ci viee i aiuo il eorema Cerale del Limie. Si oi ifai che, qualuque sia > 0 log S u log S 0 + H N log d + N log d N log S 0 + i u ξ i log d + N log d, e che H N, rispeo alla misura marigala equivalee P, è la somma di variabili aleaorie idipedei ue co la sessa disribuzioe, che per > 0 il umero N coverge all ifiio. Grazie al eorema Cerale del Limie si ha che quidi H N ha ua disribuzioe approssimaivamee gaussiaa, di valore aeso Ẽ [H N N p e variaza Ṽ ar H N N p p. Per lo sesso moivo 5, sempre rispeo alla misura marigala equivalee P, ache il logarimo di S approssimaa da ua variabile aleaoria gaussiaa di valore aeso e variaza Ricordado che si ha [ Ẽ log S Ṽ ar log u d u log S 0 + N p log S eσ/ u log d + N log d u N p p log. d e σ/ eσ/, d e σ/, d σ log d σ, 5 Si ricordi che se Z ha disribuzioe Nα, β, ovvero disribuzioe gaussiaa di valore aeso α e variaza β, allora ache W a + bz ha disribuzioe gaussiaa, ma di valore aeso E[W E[a + bz a + bα, e variaza V arw V ara + bz V arbz b V arz b β. è

7 versioe da 30-maggio si oiee che il valore aeso del logarimo di S, vale [ Ẽ log S log S log S 0 + σ + log S 0 + Aalogamee la variaza vale Ṽ ar log S log S 0 + r σ σ u N p p log + r σ σ + θ 4 4σ σ + o σ + σ r σ σ r σ + o σ r σ log S 0 + r σ. d + o θ + 4σ σ + o σ σ r σ σ 4 4 θ Di cosegueza, se W è ua variabile aleaoria gaussiaa di valore aeso 0 e variaza σ + o 4σ logs disr log S 0 + r σ + σ W..0 Osservazioe.. Va oao che il precedee risulao si porebbe oeere ache direamee, dimosrado che la fuzioe caraerisica della variabile aleaoria log S coverge alla fuzioe caraerisica di logs 0 + r σ + σ W, ossia che [ lim Ẽ exp{i u log S I modo acora più semplice si oi che dalla.7, si oiee S } e iulogs0 er σ + σ u. S 0 e σ H. Ovviamee coverge ad, e per oeere la covergeza baserebbe dimosrare direamee che la fuzioe caraerisica della variabile aleaoria H coverge alla fuzioe caraerisica di r σ + σ W, ossia che [ lim Ẽ exp{i u log S } e iur σ + σ u. La dimosrazioe sarebbe sosazialmee la sessa di quella del eorema cerale del limie, i quao possiamo scrivere H ξ j H [ ξ [ j j j

8 8 versioe da 30-maggio-005 come somma di variabili aleaorie idipedei ed ideicamee disribuie. L uica differeza risiede el fao che le variabili aleaorie ξ j ξ [ j, hao disribuzioe che dipede da : esaamee ξ [ j assumoo i valori + e co probabilià p e p, rispeivamee 6. Il calcolo del limie della fuzioe caraerisica i queso caso richiede quidi u miimo di aezioe i più. Va ifie oao che, el caso i cui ivece si avesse più semplicemee il caso di variabili aleaorie X j : ξ j, idipedei e che assumoo i valori + e co probabilià / e quidi a valore aeso ullo, il eorema cerale del limie ci darebbe direamee che H ξ j coverge i disribuzioe ad ua variabile aleaoria gaussiaa sadard e quidi j H ξ j coverge ad ua variabile aleaoria gaussiaa di valore aeso ullo e variaza. Aleraivamee, el caso i cui ivece la probabilià che ξ j + fosse acora p / si porebbe sorarre ed aggiugere il valore aeso di ξ j, ossia p ella somma, oeedo ξ j ξj p + p. j j La prima somma coverge allora ad ua variabile aleaoria gaussiaa a valore medio ullo, mere si porebbe dimosrare che la secoda somma coverge a r σ. Quesa osservazioe è alla base dell idea che permee di cosruire il moo browiao sadard. Ad esso e dedicaa la sezioe successiva. Prima di proseguire ella dimosrazioe del eorema., dobbiamo ricordare che il simbolo X disr X sigifica che la successioe di variabili aleaorie X coverge i disribuzioe o i legge alla variabile aleaoria X. No è ecessario che le variabili aleaorie X ed X vivao sullo sesso spazio di probabilià, ma si può supporre che, per ogi, la variabile aleaoria X sia defiia ello spazio di probabilià Ω, F, P e X sia defiia ello spazio di probabilià Ω, F, P. La covergeza i disribuzioe sigifica la covergeza di F x : P X x a F x : PX x per ogi x ale che F x F x, e che ciò è equivalee al fao che 7 per ogi fuzioe coiua e limiaa f j lim E [fx E[fX. I alre parole che si può approssimare E [fx co E[fX. Dopo queso richiamo possiamo orare alla osra dimosrazioe. A queso puo il prezzo di ua opzioe europea si può calcolare come ed i paricolare per l opzioe call [ C fs f, P Ẽ B C call K, P Ẽ [ S K + + r N [ E [ E e r fs 0e r j σ +σ W. e r S 0e r σ +σ W K +,. 6 Si osservi che x se x + e che x 0 se x 0. 7 Di solio ei corsi di base di probabilià si usa l equivaleza co la covergeza per fx exp i x cosx + i six, e che corrispode alla scela di fx cosx o fx six.

9 versioe da 30-maggio dove l uica variabile aleaoria è W, i quao S 0 s 0 è il valore iiziale del prezzo dell azioe. Abbiamo quidi viso come il prezzo di ua opzioe call europea si possa oeere dalla formula C call Cs 0, K,, r, σ E [e r s 0 e r σ +σ W K + dove si è messo i evideza la dipedeza dai parameri del modello: S 0 prezzo iiziale della azioe, K prezzo di esercizio i di srie dell opzioe, empo di maurià o di srie dell opzioe, r asso omiale di ieresse composo i modo coiuo, ed ifie il paramero σ, che è deo volailià. È imporae soolieare che, al corario di ui gli alri parameri, che soo oi e direamee osservabili, il valore della volailià o è direamee osservabile, ma deve essere simao. U problema ieressae riguarda proprio la sima saisica della volailià. Si osservi che fio ad ora abbiamo addiriura rovao ua formula che permee di calcolare i modo approssimao ui i ipi di opzioi plai vailla di ipo europeo, co la codizioe che la fuzioe f sia coiua 8 Per ermiare la dimosrazioe rimae solamee da calcolare espliciamee il valore limie del prezzo della call europea. A queso proposio oiamo che, per ogi, la legge della variabile aleaoria S rispeo a P è approssimaivamee la sessa 9 della variabile aleaoria s 0 exp{r σ / + σ Z}, dove Z è ua variabile aleaoria gaussiaa sadard N0,. Quidi, per s 0 x, si raa di calcolare La speraza maemaica a desra vale C 0 x e r E [ S K + [ e r σ + r E xe +σ Z K. e r + L iegrado si aulla per z ζ, dove e quidi ζ σ σ + r xe +σ z K e z / dz. + C 0 x e r ζ log K x r σ, σ r xe +σ z K e z / dz. Ricordado che per la fuzioe di disribuzioe di ua gaussiaa sadard si ha Φx Φ x, si oiee allora C 0 x x + ζ e r σ r e +σ z e z / dz K e r x + e z σ dz Ke r Φ ζ ζ x + ζ σ e z / dz Ke r Φ ζ xφ ζ + σ Ke r Φ ζ, + e z / dz 8 I realà la codizioe che f sia ua fuzioe coiua è superflua. 9 L uguagliaza i legge si vede dall espressioe approssimaa del logarimo del prezzo.0, e eedo coo del fao che la legge della variabile aleaoria W è N0, e che ache la variabile aleaoria Z ha legge N0,, se Z ha legge N0,. È imporae soolieare che ovviamee ciò vale solo come variabili aleaorie e o vale come processi ossia il processo W 0 o coicide affao co il processo Z 0 : ifai le raieorie ipiche del processo W 0 o soo molo regolari e prevedibili, e soo quidi molo diverse dalle raieorie di Z 0, che ivece soo molo regolari e prevedibili. ζ

10 0 versioe da 30-maggio-005 la così dea formula di Blac-Scholes.0. Mediae la formula di Blac-Scholes, possiamo quidi ricavare il prezzo equo di u opzioe call europea. La formula di Blac-Scholes ha il pregio di essere semplice e di dipedere da re parameri: r, µ e σ. L uico paramero difficile da simare è la volailià σ 0. Va iolre oao che poiché a empo discreo vale l ierpreazioe di c N, f c N 0, f, aalogamee si oiee che, se erassimo el mercao al empo, e se il prezzo della azioe soosae al empo fosse oo ed uguale ad S, allora il prezzo della opzioe, che idichiamo co C, sarebbe calcolao approssimaivamee co la formula.0 i cui, però, al poso di s 0 adrebbe messo S e al poso di adrebbe messo : C S [Φ σ log x e r K + σ K Φ x e r σ log x e r K σ. xs Grazie alla formula di parià si veda ad esempio il libro di S. Ross [3, si ricava immediaamee ache il prezzo equo di ua pu europea P è dao da P C S + Ke r, sempre se si vuole comprare l opzioe al empo ed il prezzo della azioe vale S. Per uleriori approfodimei sai cosiglia di cosulare il libro di P. Baldi [, o quello di D. Lambero e B. Lapeyre [, oppure di J.M. Seele [4. 0 La volailià è u paramero che gioca u ruolo imporae elle applicazioi. Per queso moivo, egli ulimi ai, è sao molo sudiao, i saisica, il problema di simare il coefficiee di diffusioe, a parire dall osservazioe di ua raieoria.

11 versioe da 30-maggio Il moo Browiao.3. Approssimazioe del moo browiao per fissao Nella derivazioe precedee del prezzo abbiamo icorao il processo del logarimo dei prezzi, che a pare il coribuo dovuo al prezzo iiziale, si esprime come N i u ξ i log d e che si può uleriormee riscrivere come + N log d σ N σ N ξ i σ ξ i. i i i ξ i N σ Si defiisca di modo che W : [ ξi Ẽ [ξ i.3 i log S log S0 + σw + σ Ẽ [ξ i.4 Co calcoli aaloghi a quelli della sezioe precedee, si può vedere che il valore aeso Ẽ [ξ i p + r σ + o r σ. σ σ i Ovviamee il processo W, vale zero all isae iiziale, ovvero ed iolre W 0 0, Ẽ [ W 0. Per > 0, co gli sessi calcoli della sezioe precedee, si può vedere che il processo W ede all ifiio alla legge gaussiaa di valore aeso ullo e variaza che ede a. i coverge per che Osservazioe.3. * Se si vuole oeere ua dimosrazioe più precisa della covergeza i disribuzioe di W a W, si può ripeere lo sesso ipo di dimosrazioe che si usa per il eorema Cerale del Limie: eedo coo del fao che, defiie le variabili aleaorie si può riscrivere.3 come X j : ξ j ed X j : [ Xj Ẽ [X j, W [ Xj Ẽ [X j j j [ Xj Ẽ [X j j X j

12 versioe da 30-maggio-005 e quidi, dao che e che le variabili aleaorie exp{i u W } exp{i u j X j } X j, j soo idipedei, si oiee che Ẽ [ exp{i u W } Ẽ [ exp{i u j X j }..5 Le variabili aleaorie X j hao media ulla e variaza Ṽ ar [ X j Ṽ ar [ ξ j p p 4 dove θ r σ /σ + o, di modo che Ṽ ar [ X j + θ θ + o. Per oeere la covergeza i disribuzioe o rimae che uilizzare ale fao per oeere l espressioe approssimaa della fuzioe caraerisica di X j, sosiuire ale espressioe i.5, e procedere esaamee come ella dimosrazioe del eorema cerale del limie. *.3. Idipedeza ed omogeeià degli icremei Acora, se si cosiderao i empi 0 <, allora l icremeo W quao W W W è fuzioe deermiisica delle variabili aleaorie ξ j, per j ale che e la sessa fuzioe deermia ello sesso modo W i i/ 0,, e di cosegueza la disribuzioe dell icremeo W ha la sessa legge di W, i j j/,, a parire dalle variabili aleaorie ξ i, per i ale che W coverge ad ua disribuzioe gaussiaa di valore aeso 0 e variaza, * come si vede facilmee.* Se ivece si cosiderao i empi 0 < <... < m < m allora gli icremei W W 0, W W,... W m W m * Ifai, uilizzado le sesse oazioi dell Osservazioe.3, si ha come si vede subio osservado W X j j W W j X j + j + j + X j X j, W Quesa scomposizioe, isieme al fao che W 0 0 permee ache di vedere che W + W W. W W 0 e W W 0 W soo idipedei. L idipedeza di quesi icremei permee di affermare che, olre alla covergeza i disribuzioe di W ad ua variabile aleaoria gaussiaa di valore medio ullo e variaza e la covergeza di W W ad ua variabile aleaoria gaussiaa di valore medio ullo e variaza, si ha ache la covergeza cogiua di W, W W ad ua variabile aleaoria bidimesioale gaussiaa di valori medi ulli, idipedei e di variaza rispeivamee e. Queso fao implica ache la covergeza della disribuzioe cogiua di W, W. Quesa osservazioe si esede facilmee al caso i cui si cosiderio le variabili aleaorie W, W, W m, co 0 < <... < m < m. *

13 versioe da 30-maggio soo fuzioi deermiisiche delle variabili aleaorie {ξ j : j 0, }, {ξ j : j, }... {ξ jm : j m m, m } che soo idipedei, e di cosegueza ache gli icremei di W soo idipedei. Come uleriore cosegueza quesa proprieà si maiee al edere di all ifiio..3.3 Defiizioe del moo browiao e del modello di Blac e Scholes Le osservazioi precedei porao auralmee alla seguee defiizioe del processo di Wieer sadard o moo browiao. Defiizioe. moo browiao. Si chiama moo browiao u processo W per R + u processo ale che W 0 0, se 0 < <... < m < m allora gli icremei soo idipedei, 3 se 0 < ed s > 0 allora gli icremei W W 0, W W,... W m W m W W e W +s W +s N0,, ovvero hao la sessa disribuzioe gaussiaa di valore aeso 0 e variaza. I alre parole si dice ache che gli icremei soo omogeei. Di solio olre alle re precedei proprieà si aggiuge ache la proprieà che le raieorie soo coiue, ossia che per ogi ω la fuzioe W ω è ua fuzioe coiua. Iolre quao abbiamo viso ella sezioe precedee permee di dare ua defiizioe di u processo S, che, alla luce di.4, si può ierpreare come il limie, rispeo alle misure marigala equivalei, dei processi S exp { log S } S0 exp σw + σ Ẽ [ξ i, i da cui si defiisce S S 0 exp {σw + σ r } σ S 0 exp { σw + r σ σ }, i u opporuo spazio di probabilià Ω, F, P, rispeo al quale il processo aualizzao dei prezzi, ossia risula ua marigala. * S S S B B 0 e r S 0 exp { σw + B σ }, 0 Osservazioe.4 Il modello di Blac e Scholes. I realà il modello di Blac e Scholes viee di solio preseao el seguee modo. Si assume che el mercao ci siao due ioli, uo o rischioso B : B 0 e r, ed uo rischioso S S 0 exp { µ + σ W σ },

14 4 versioe da 30-maggio-005 dove il processo socasico W è u moo browiao sadard i uo spazio di probabilià Ω, F, P. Si dimosra che esise ua misura P, equivalee a P, e soo la quale il processo aualizzao si scrive come S S S B B 0 e r S 0 exp { σw B σ },.6 0 e dove il processo W è u moo browiao ello spazio di probabilià Ω, F, P. No dimosriamo queso fao, ma osserviamo solo che, essedo il processo W deve ecessariamee soddisfare S S S B B 0 e r S 0 exp { µ r + σ W B σ },.7 0 σw µ r + σ W, ovvero il processo W deve essere ecessariamee defiio come W : W µ r σ e quidi la misura di probabilià P deve essere ecessariamee defiia come la misura che rede il processo W µ r σ u moo browiao. *,

15 Bibliografia [ Baldi, P. Equazioe differeziali socasiche e applicazioi. Quaderi dell Uioe Maemaica Ialiaa, 8. Bologa: Piagora Edirice. VIII, 309 p. secoda edizioe, 000. [ Lambero, D., ad Lapeyre, B. Iroducio o sochasic calculus applied o fiace. Chapma & Hall, Lodo, 996. raslaed from he 99 Frech origial by Nicolas Rabeau ad Fraçois Maio. [3 Ross, S. M. A iroducio o mahemaical fiace. Cambridge Uiversiy Press, Cambridge, 999. Opios ad oher opics. [4 Seele, J. M. Sochasic calculus ad fiacial applicaios, vol. 45 of Applicaios of Mahemaics New Yor. Spriger-Verlag, New Yor, 00. 5