2. Moto browniano: prime proprietà Il moto browniano Processi stocastici gaussiani

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1 6. MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ. Moo browiao: prime proprieà I queso capiolo sviluppiamo la raazioe maemaica del moo browiao. Queso processo prede il ome dal boaico scozzese Rober Brow, che el 87 descrisse il movimeo freeico dei graelli di pollie i sospesioe ell acqua. La eoria fisica del moo browiao fu sviluppaa all iizio del veesimo secolo idipedeemee da Alber Eisei e Maria Smoluchowsi, mere i pioieri della raazioe maemaica soo Louis Bachelier, Norber Wieer e Paul Lévy... Processi socasici gaussiai Icomiciamo co alcue defiizioi basilari. Idichiamo co I u arbirario isieme di idici (ipicamee u sooisieme di R). Defiizioe.. Ua famiglia di variabili aleaorie {X } I, defiie sullo sesso spazio di probabilià (Ω, F, P) a valori ello sesso spazio misurabile (E,E), è dea processo socasico (o semplicemee processo). Le leggi dei veori (X,...,X ) su E, al variare di N e,..., I, soo dee leggi fiio-dimesioali del processo. Nel caso i cui E = R (risp. E = R ), il processo socasico è deo reale (risp. veoriale). Si oi che u processo veoriale X = {X } I avaloriir d, co X =(X (),...,X (d) ), può essere sempre viso come u processo socasico reale a pao di ampliare l isieme degli idici, scrivedo cioè X = {X (i) } (i,) {,...,d} I. Per quesa ragioe, quado risula coveiee, è possibile limiare la raazioe ai processi reali, seza perdia di geeralià. Queso è quello che faremo sempre el caso dei processi gaussiai, che ora defiiamo. Defiizioe.. U processo socasico reale X = {X } I è deo gaussiao se, per ogi scela di,..., I, il veore aleaorio (X,...,X ) è ormale, cioè se qualuque combiazioe lieare fiia delle X è ua variabile aleaoria ormale. I processi gaussiai cosiuiscoo ua geeralizzazioe dei veori aleaori ormali. Si oi ifai che, quado I = {,..., } è u isieme fiio, u processo gaussiao X = {X } I =(X,...,X ) o è alro che u veore aleaorio ormale a valori i R. Come per i veori ormali, dao u processo gaussiao X = {X } I iroduciamo le fuzioi media µ() :=E(X ) e covariaza Γ(s, ) :=Cov(X s,x ), be defiie i quao X L per ogi I (perché?). Si oi che Γ è simmerica e semi-defiia posiiva, el seso seguee: per ogi scela di N,,..., I e di u R si ha i,j= Γ( i, j )u i u j ; ifai {Γ ij := Γ( i, j )} i,j è la marice di covariaza del veore (X,...,X ). È possibile mosrare (o lo faremo) che, assegae arbirariamee due fuzioi µ : I R e Γ : I I R, co Γ simmerica e semi-defiia posiiva, esise sempre u processo gaussiao {X } I che ha µ e Γ come fuzioi media e covariaza. Ua proprieà fodameale è che le leggi fiio-dimesioali di u processo gaussiao soo uivocamee deermiae dalle sue fuzioi media µ( ) e covariaza Γ(, ). Queso segue immediaamee dal fao che ogi veore della forma (X,...,X ) è per defiizioe ormale a valori i R e duque la sua fuzioe caraerisica, espressa dalla formula (.9), è ua fuzioe del veore (µ( ),...,µ( )) e della marice {Γ ij := Γ( i, j )} i,j. Ache la proprieà basilare per cui variabili cogiuamee ormali soo idipedei se e solo se soo scorrelae si esede ai processi gaussiai. Rimadiamo la formalizzazioe precisa di queso risulao alla Proposizioe., dopo che avremo discusso la ozioe di σ-algebra associaa a u processo... Il moo browiao Ricordiamo l Osservazioe.: fissao uo spazio di probabilià (Ω, F, P), scriveremo q.c. [... ] come abbreviazioe di esise A F, cop(a) =,alecheperogiω A [... ]. Defiiamo ora il moo browiao, deo ache processo di Wieer. Si raa dell esempio più imporae di processo socasico a empo coiuo. Defiizioe.3 (Moo browiao). Si dice moo browiao u processo socasico reale B = {B } [,) che soddisfa le seguei proprieà: (a) B =q.c.; (b) B ha icremei idipedei, cioè per ogi scela di e < <...< < le variabili aleaorie {B i B i } i soo idipedei; (c) B ha icremei gaussiai: più precisamee, per ogi scela di >s si ha B B s N (, s); (d) q.c. B ha raieorie coiue, cioè q.c. la fuzioe B è coiua. Nella defiizioe è soieso lo spazio di probabilià (Ω, F, P) su cui è defiio il moo browiao B, per cui si ha B = B (ω) co ω Ω. La dipedeza da ω verrà quasi sempre omessa, ma è imporae essere i grado di espliciarla quado è ecessario. Per esempio, la proprieà (d) si può riformulare el modo seguee: esise A F co P(A) =ale che per ogi ω A la fuzioe B (ω) è coiua. Olre a essere ua richiesa molo aurale dal puo di visa fisico, la coiuià delle raieorie è ua proprieà di basilare imporaza ache da u puo di visa maemaico (si veda ad esempio il sooparagrafo..). Talvola perleremo di moo browiao co isieme dei empi risreo a [,T], dove T (, ) è fissao, iededo auralmee co ciò u processo {B } [,T ] che soddisfa le codizioi della Defiizioe.3 per risreo a [,T]. Nella Figura. soo mosrae re raieorie illusraive del moo browiao. 5

2 .. IL MOTO BROWNIANO 7 8. MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ Figura.. Tre raieorie simulae del moo browiao, oeue mediae ierpolazioe lieare e riscalameo diffusivo di 4 passi di ua passeggiaa aleaoria co icremei gaussiai (si veda il paragrafo.7.). Le scale sui due assi soo diverse. Veiamo ora al primo risulao fodameale sul moo browiao, dimosrao per la prima vola da Norber Wieer el 93. A dispeo delle appareze, si raa di u risulao o baale. Teorema.4 (Wieer). Il moo browiao esise. Soo possibili diverse dimosrazioi di queso eorema. Quella che preseiamo el paragrafo.3, dovua a Paul Lévy, ha il pregio di essere esplicia e relaivamee elemeare. Osservazioe.5. Suppoiamo di rimpiazzare la codizioe (c) ella Defiizioe.3 co la richiesa più debole che gli icremei siao sazioari, cioè che le variabili B +h B s+h e B B s abbiao la sessa legge per ogi s,, h. Sipuòalloramosrarecheil processo risulae è ecessariamee della forma {aβ + b} [,),co{β } [,) moo browiao e a, b R. I alre parole, a meo di faori di scala e addizioe di ua fuzioe lieare, il moo browiao è l uico processo socasico ullo al empo zero, co icremei idipedei e sazioari e raieorie q.c. coiue. Si oi che la legge ormale o è eppure mezioaa i quesa caraerizzazioe! Per ua dimosrazioe di queso risulao (u alro che baale), si veda il Lemma.8 el capiolo IX i [Asmusse, 3].... Prime proprieà del moo browiao. Per comiciare, foriamo u espressioe esplicia delle leggi fiio-dimesioali del moo browiao. Proposizioe.6. Dao u moo browiao B = {B } [,), il veore aleaorio (B,...,B ) avaloriir è ormale, per ogi scela di <...< <. Tale veore è assoluamee coiuo se e solo se se >, el qual caso la sua desià el puo x =(x,...,x ) R è daa da (π) / ( ) ( ) exp dove abbiamo poso := e x := per comodià di oazioe. (x i x i ), (.) i i Dimosrazioe. Fissiamo <...< < epoiamoy i := B i B i per i =,..., (co := ). Il veore Y := (Y,...,Y ) ha compoei idipedei e ormali, per le proprieà (b) e (c) della Defiizioe.3, quidi Y èuveorealeaorioormale. Èimmediaoverificarechelasuamediaèulla elasuamaricedicovariazadiagoale:γ ij = Cov(Y i,y j)=( i i )δ ij, poichéy i N (, i i ) per la proprieà (c). Iparicolare,de(Γ) = (i i ) edaocheperipoesii i > per ogi i =,...,,sihade(γ) = se e solo se >. I queso caso, segue duque dalla formula (.) del capiolo che la legge di Y èassoluameecoiua,codesiàelpuoy =(y,...,y ) R d daa da (π) / ( ) ( exp yi. (.) ) i i Quesa formula si può ache oeere oado che f Y (y,...,y )= fy i (yi), perchélevariabili Y,...,Y soo idipedei, e osservado che f Yi (y i)=(π( i i )) / exp( y i /( i i )), poiché Y i N (, i i ). Dao che (B,...,B ), è ua rasformazioe lieare (iveribile) di Y,piùprecisameeB i = Y Y i,seguecheacheilveorealeaorio(b,...,b ) èormale.se >, ladesià(.) si oiee quidi da (.) applicado la formula di cambiameo di variabili. Se ivece =,sappiamoche B = B =q.c. e duque il veore (B,...,B ) o è assoluamee coiuo. Osservazioe.7. Osserviamo che le proprieà (a), (b) e (c) della Defiizioe.3 soo proprieà delle disribuzioi fiio dimesioali. Di cosegueza, dao u processo X = {X } le cui disribuzioi fiio-dimesioali per empi posiivi soo dae da (.) e ale che X =q.c., è sufficiee mosrare che X ha raieorie q.c. e si oiee che X è u moo browiao. Diamo ora ua caraerizzazioe aleraiva del moo browiao di cruciale imporaza. Teorema.8. U processo socasico reale B = {B } [,) è u moo browiao se e solao se è u processo gaussiao di media ulla e di covariaza Cov(B s,b )= mi{s, }, co raieorie q.c. coiue. Dimosrazioe. Come ella dimosrazioe della Proposizioe.6, per ogi scela di <...< < poiamo Y := B e Y i := B i B i per i =,...,.Ilveore Y := (Y,...,Y ) ha compoei idipedei e ormali, per le proprieà (b) e (c) della Defiizioe.3, quidi è u veore aleaorio ormale; di cosegueza, ache il veore aleaorio (B,...,B ), oeuo da Y mediae ua rasformazioe lieare, è ormale. Queso mosra che B è u processo gaussiao. Dalla proprieà (c) della Defiizioe.3

3 .. IL MOTO BROWNIANO 9 3. MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ segue che B N (,) e duque E(B )=per ogi. Per quao riguarda la covariaza delle variabili B s e B, assumedo seza perdia di geeralià che s<si ha Cov(B s,b ) = Cov(B s, (B B s )+B s ) = Cov(B s,b B s )+Cov(B s,b s ) = s, dove si è usao che le variabili B s e (B B s ) soo idipedei e che B s N (,s), per le proprieà (b) e (c) della Defiizioe.3, da cui segue che Cov(B s,b B s )=e Cov(B s,b s ) = Var(B s )=s. Viceversa, assumiamo che valgao le ipoesi di quesa Proposizioe e mosriamo che valgoo le proprieà della Defiizioe.3. La proprieà (a) è immediaa: B è ua variabile ormale i quao compoee di u processo gaussiao; dao che E(B )=e Var(B )=Cov(B,B )=mi{, } =, segue che B N (, ) e duque B =q.c.. Ache la proprieà (c) è semplice: sempre dal fao che B è u processo gaussiao segue che B B s è ua variabile ormale, per ogi s<, co media E(B B s )=E(B ) E(B s )= e variaza daa da Var(B B s )=Cov(B B s,b B s )=Cov(B,B ) Cov(B s,b )+Cov(B s,b s ) = s + s = s. Ifie, dai < <...< <, dall ipoesi che B è u processo gaussiao segue che il veore degli icremei (B,B B,...,B B ) è ormale (perché?). Per mosrare che le sue compoei soo idipedei, basa duque mosrare che soo a due a due scorrelae. Per i<j si ha Cov(B j B j,b i B i )=Cov(B j,b i )+Cov(B j,b i ) Cov(B j B i ) Cov(B j B i )= i + i i i =, poiché i < i j < j. La dimosrazioe è coclusa. Mosriamo che il moo browiao ha diverse ieressai proprieà di ivariaza. Proposizioe.9. Se B = {B } [,) è u moo browiao, ache i seguei processi X = {X } lo soo: (a) X := B (riflessioe spaziale); (b) X := B + B, per ogi fissao (raslazioe emporale); (c) X := B B, per ogi fissao, limiado l isieme dei empi a [, ] (riflessioe emporale); (d) X := c B c, per ogi c> fissao (scalig diffusivo); (e) X := B / per > e X := (iversioe emporale). Dimosrazioe. Coviee uilizzare la caraerizzazioe daa el Teorema.8. Ifai i ui i casi è immediao verificare che {X } [,) è u processo gaussiao, i quao le sue compoei soo fuzioi lieari delle compoei del processo gaussiao {B } [,). Ache le relazioi E(X )=ecov(x s,x )=mi{s, } si verificao facilmee (esercizio). Per esempio, el caso (e) per s<si ha Cov(sB /s,b / ) = s Cov(B /s,b / ) = s mi s, = s = s. Cosideriamo ora la coiuià delle raieorie. Dao che q.c. le raieorie di {B } [,) soo coiue, ei casi (a), (b), (c), (d) lo sesso vale per il processo {X } [,), le cui raieorie soo oeue compoedo le raieorie di {B } [,) co fuzioi coiue. Resa da verificare la coiuià delle raieorie el caso (e), per il quale solo la coiuià i =o è evidee. I effei, poiché la fuzioe / è coiua per >, q.c. le raieorie di {X } [,) soo coiue i (, ); esise cioè A F, co P(A) =, ale che per ogi ω A la fuzioe X (ω) è coiua i ogi puo >. Iroduciamo ora l eveo D := {ω Ω : lim, Q X (ω) =}. Sioicheω D se e solo se per ogi ε > esise δ > ale che X / (ω) ε per ogi, N co / δ. Di cosegueza, poedo ε l := l e δ m := m, possiamo scrivere D = X/ ε l. (.3) l N m N (,) N N:< δm Da quesa formula segue che la probabilià di D può essere espressa usado esclusivamee le leggi fiio-dimesioali del processo {X } [,) Ifai, dal momeo che l iersezioe i l è decrescee e l uioe i m crescee, possiamo scrivere P(D) = lim l = lim l lim P X / ε l, N, {,...,δ m } m lim m lim P X / ε l, N, {,...,δ m } N avedo usado la moooia della probabilià, e l ulima probabilià si esprime mediae le leggi fiio-dimesioali del processo X. Ma quese coicidoo co le leggi fiiodimesioali del moo browiao {B } [,) (ricavae ella Proposizioe.6), poiché erambi i processi soo gaussiai e hao le sesse media e covariaza. Di cosegueza, la probabilià dell eveo D o cambia se ella sua defiizioe si sosiuisce il processo {X } [,) co il moo browiao {B } [,). Dao che q.c. le raieorie di {B } [,) soo coiue i zero, segue che P(D) =. Cosideriamo ifie l eveo A D, che ha probabilià uo i quao è l iersezioe di due evei quasi ceri. Per cosruzioe, dao ω A D, la fuzioe f() :=B (ω) è coiua i ogi (, ) e iolre lim, Q f() =. Ma è immediao verificare che ogi fuzioe f() co ali proprieà è ecessariamee coiua ache i =. Ifai, per ogi ε > sia δ > ale che f() f() ε per ogi (, δ] Q. Preso (, δ] \ Q, se{ } N è ua successioe i (, δ] Q ale che, siha f() f() = lim f( ) f() (perché f è coiua i ); dao che f( ) f() ε per ogi N (perché (, δ] Q) segue che f() f() ε. I defiiiva, si ha f() f() ε per ogi (, δ], cioè f( ) è coiua (ache) i zero.,

4 .. IL MOTO BROWNIANO 3 3. MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ Come semplice corollario, oeiamo u risulao ieressae. Teorema. (Legge dei gradi umeri per il moo browiao). Se {B } [,) è u moo browiao, q.c. si ha lim B / =. Dimosrazioe. Defiedo X s := sb /s per s> e X :=, il processo {X s } s [,) è u moo browiao per il puo (e) della Proposizioe.9. Per defiizioe di moo browiao, q.c. si ha lim s X s =e poedo s =/ possiamo riscrivere quesa relazioe come lim B =.... Coiuià delle raieorie e compleezza. Dao u processo reale B = {B }, defiio su uo spazio di probabilià (Ω, F, P), poiamo C := {ω Ω : la fuzioe B (ω) è coiua}. (.4) Ricordado la Defiizioe.3 del moo browiao, si porebbe essere eai di riformulare la proprieà (d) come P(C) =. Queso uavia o è correo: ifai l isieme C è defiio i ermii di ua famiglia più che umerabile di variabili aleaorie e di cosegueza i geerale o è deo che C F. Ua riformulazioe correa della proprieà (d) cosise el richiedere che C coega u eveo A F ale che P(A) =. I u cero seso, quesa è ua soigliezza. Basa ifai supporre che lo spazio di probabilià (Ω, F, P) sia compleo (eveualmee provvededo a complearlo, come descrio el paragrafo..3 del capiolo ) e dall iformazioe che C coiee u eveo quasi cero segue auomaicamee che C F, per cui è lecio scrivere P(C) =. La coiuià delle raieorie e la compleezza dello spazio soo collegae ad alre quesioi ieressai legae alla misurabilià. Per fissare le idee, suppoiamo che su uo spazio di probabilià (Ω, F, P) sia defiio u processo socasico reale B = {B } [,). È aurale ieressarsi a fuzioi quali ad esempio sup B (ω), B (ω)d, if{ >: B (ω) =}, (.5) ma i geerale o c è alcua ragioe per cui quese espressioi, defiie i fuzioe di ua quaià più che umerabile di variabili B, siao fuzioi misurabili da Ω i R. L iegrale o è emmeo be defiio, se o si hao iformazioi sulla misurabilià della fuzioe B (ω). È a queso proposio che la coiuià delle raieorie di B assume grade imporaza. Ifai, per ogi ω per cui B (ω) è coiua, cioè per ogi ω C, defiio i (.4), possiamo riscrivere le quaià i (.5) rispeivamee come sup [,] Q lim sup B (ω), lim sup lim sup B / (ω), = if, Q : B (ω), (.6) avedo usao per l iegrale l approssimazioe mediae somme di Riema. Quese uove espressioi soo be defiie per ogi ω Ω e deermiao fuzioi misurabili da Ω i R, duque variabili aleaorie, perché coivolgoo ua quaià umerabile di variabili B. Di cosegueza, se il processo B ha raieorie q.c. coiue, le espressioi i (.5) soo q.c. uguali alle variabili aleaorie i (.6). Se suppoiamo iolre che lo spazio (Ω, F, P) sia compleo, le espressioi i (.5) soo esse sesse variabili aleaorie (ua vola defiio l iegrale per ogi ω Ω, per esempio poedolo uguale a zero per ω C). Quese soo alcue delle ragioi per cui ci ieresseremo sempre alla coiuià delle raieorie per i processi che icoreremo el seguio e, quado risula coveiee, assumeremo che lo spazio di probabilià su cui lavoriamo sia compleo...3. Acora sulla coiuià delle raieorie. Ci si può chiedere se la proprieà (d) ella Defiizioe.3 di moo browiao o sia ua cosegueza delle proprieà precedei. I alre parole, se u processo X = {X } [,) defiio su (Ω, F, P) soddisfa le proprieà (a), (b), (c), esise ecessariamee A F, cop(a) =,alecheperogiω A la raieoria X (ω) sia coiua? La risposa è egaiva. Dao u moo browiao B = {B } [,),defiiamouuovoprocessoreale Y = {Y } [,] poedo Y (ω) := { B =}(ω) (cioè Y (ω) =se B (ω) = mere Y (ω) =alrimei). Si oi che, per ogi fissao, si ha che Y =q.c., poiché B = q.c. (ifai B N (, ), quidi B ha ua disribuzioe coiua); uavia la raieoria Y (ω) o è coiua per essu ω Ω (più precisamee, è discoiua el puo = B (ω) ). Se ora poiamo X (ω) :=B (ω)+y (ω), èimmediao verificare che la raieoria X (ω) o è coiua per alcu ω Ω. Seperòfissiamo,..., [, ), è facile vedere che i veori (X,...,X ) e (B,...,B ) soo q.c. uguali, i paricolare hao la sessa legge. Il processo X = {X } [,) ha duque le sesse leggi fiio-dimesioali di u moo browiao, da cui segue che X soddisfa le proprieà (a), (b), (c) della Defiizioe.3, ma o soddisfa la proprieà (d). La coiuià delle raieorie o è duque ua proprieà delle leggi fiio dimesioali. Rioreremo su queso geere di problemi el prossimo capiolo..3. Esiseza del moo browiao «[The cosrucio of Browia moio], lie he birh of a child, is messy ad paiful, bu afer a while we will be able o have fu wih our ew arrival.» Richard Durre Dimosriamo ora il Teorema.4 per mezzo di ua cosruzioe proposa da Paul Lévy. Seguiremo da vicio la raazioe i [Karazas e Shreve, 998,.3]. Per semplicià, ci limieremo a cosruire u moo browiao {B } [,] i cui l isieme dei empi è risreo all iervallo [, ]. Per oeere u moo browiao co isieme dei empi [, ), è sufficiee cosiderare ua successioe idipedee di moi browiai co isieme dei empi [, ] e icollarli uo dopo l alro usado la proprieà (b) della Proposizioe.9. Sia {ξ () } N, N ua famiglia (umerabile) di variabili aleaorie reali idipedei ormali sadard, defiie su u opporuo spazio di probabilià (Ω, F, P). Cosruiremo il moo browiao su queso spazio di probabilià. Per N, idichiamo co I() l isieme degli ieri dispari compresi ra e : I() = I() = {}, I() = {, 3}, ecc. Defiiamo iolre τ := { : }.Sioicheτ τ : più precisamee, Per esempio, è possibile scegliere come spazio di probabilià l iervallo [, ] muio della misura di Lebesgue, come spiegao el sooparagrafo.8.3 del capiolo.

5 .3. ESISTENZA DEL MOTO BROWNIANO MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ /4 / 3/4 Figura.. U esempio di raieoria di B () (liea puaa), B () (liea raeggiaa) e B () (liea piea). τ \ τ = { : I()}. L isieme τ := τ è cosiuio dai razioali diadici, cioè quei razioali il cui deomiaore (ua vola ridoa la frazioe ai miimi ermii) è ua poeza di. Si osservi che τ è deso i [, ]. L idea è di cosruire ua successioe di processi B () = {B () } [,] che coverge per verso u processo limie {B } [,], che sarà il moo browiao cercao. Fissai N e ω Ω, la raieoria {B () (ω)} [,] sarà lieare a rai: più precisamee, sarà iaziuo defiia sui pui del reicolo τ e verrà poi prolugaa su uo l iervallo [, ] mediae ierpolazioe lieare. Iolre, i valori di B () per τ esederao i valori di B ( ) : porremo cioè B () (ω) :=B ( ) (ω) per τ ( τ ), per cui reserà solo da defiire B () (ω) per τ \ τ (si veda la Figura.). Comiciamo a defiire B () per τ = {, }, poedo B () :=, B () := ξ () (cioè B () (ω) :=ξ() (ω)), (.7) Possiamo ora procedere i modo ricorsivo: ua vola che B ( ) è sao cosruio, defiiamo B () poedo B () := B ( ) per τ, e resa da defiire B () per τ \ τ = { : I()}. Esederemo quidi B () per [, ] mediae ierpolazioe lieare. Seguedo quado deo sopra, porremo duque per I() B () / := µ + σξ (), dove µ := B( ) ( )/ + B ( ) (+)/, σ := Queso complea la defiizioe di {B () } [,].. (.9) (+)/ È coveiee dare ua rappreseazioe aleraiva di B (), el modo seguee. Defiiamo H () () := [,]() e poiamo per N e I() H () () := ( )/ [, ) () ( )/ [, + )(). (.) Le fuzioi {H () ( )}, I() soo oe come fuzioi di Haar. È facile verificare che cosiuiscoo u se oroormale i L ([, ], d), cioè H() () ) H( ()d = δ, δ,, e si può mosrare che soo ache u se compleo. Iroduciamo le primiive di quese fuzioi, dee fuzioi di Schauder, defiie da S () () := H () (s)ds, per, I(), [, ]. (.) Si oi che S () () =, mere per il grafico della fuzioe S() () è u riagolo isoscele di alezza / (+)/ e di base [, + ] (cf. Figura.3). I paricolare, per fissao, i grafici di S () ( ) al variare di I() o si sovrappogoo. ed esediamo poi B () per ogi [, ] mediae ierpolazioe lieare. Defiiamo quidi B () per τ = {,, }. Esederemo poi B() per ogi [, ] mediae ierpolazioe lieare. Dao che o vogliamo modificare i valori già assegai per τ = {, }, poiamob () := B () e B () := B (). Resa solo da defiire B() / : /4 /4 / B () / := µ + σξ(), dove µ := B() + B (), σ :=. (.8) Per capire la ragioe di quesa defiizioe, poiamoci la seguee domada: se B è u moo browiao, assegai i valori B s e B (per s<), come sarà disribuio B (s+)/?usado la formula (.) per la desià delle leggi fiio-dimesioali, o è difficile mosrare che, codizioaamee ai valori B s = x e B = z, lavariabileb (s+)/ ha effeivamee legge N (µ, σ ) co µ =(x + y)/ e σ =( s)/4, i accordo co (.8). Figura.3. Grafico delle fuzioi H (3) 3 () (liea puaa) e S(3) 3 () (liea piea). Le uià di misura sui due assi soo diverse. Si verifica facilmee da (.7) e (.8) che valgoo le relazioi B () = ξ () S () (), B() = ξ () S () () +ξ() S () ().

6 .3. ESISTENZA DEL MOTO BROWNIANO MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ Si mosra quidi per iduzioe che per ogi e I() B () (ω) = ξ (m) (ω) S (m) (). (.) m= I(m) Quesa è la formula chiave. I effei, si porebbe irodurre B () (ω) direamee i queso modo, seza alcu riferimeo alla cosruzioe sopra descria. Siamo giui al cuore della dimosrazioe. Mosriamo ora che q.c. il processo B () coverge per verso u processo limie B, che sarà il moo browiao cercao. Lemma.. Esise u eveo A F co P(A) =ale che, per ogi ω A, la successioe di fuzioi { B () (ω)} N coverge per verso ua fuzioe coiua, che idicheremo co { B (ω)}. Prima di passare alla dimosrazioe, ricordiamo che lo spazio C([, ], R) delle fuzioi coiue defiie su [, ] avaloriir, muio della orma uiforme f := sup [,] f(), èuospazio di Baach. Ciò sigifica che, daa ua successioe {f } N i C([, ], R) che sia di Cauchy (per ogi ε > esise < ale che f f < ε per ogi, ), la successioe coverge, cioè esise f C([, ], R) ale che f f per. Soolieiamo che la fuzioe limie f è coiua. Ci ieresseremo i paricolare a successioi {f } N della forma f () = m= g (), dove g C([, ], R) per ogi N. Usado la disuguagliaza riagolare, oeiamo la semplice sima f f m=+ g m, valida per ogi >. Da ciò segue che, se la serie delle orme m= g m è covergee, la successioe {f } N è di Cauchy i C([, ], R) e duque, per quao deo sopra, ha limie i C([, ], R). Dimosrazioe del Lemma.. Se Z N (, ), per a si ha la sima P( Z >a) = a e x / π dx a xe x / π dx = π e a / e a /, poiché a x el domiio di iegrazioe. Poiamo ora Ξ (ω) :=max I() ξ () (ω). Per N possiamo scrivere P(Ξ >) = P { ξ () >} P( ξ () >) / e, m= I() I() quidi P(Ξ >) <. Iroducedo l eveo A := (lim sup {Ξ >}) c, per il lemma di Borel-Caelli si ha P(A) =; iolre, per defiizioe di A, per ogi ω A si ha Ξ (ω) >solo per u umero fiio di N, cioè esise (ω) < ale che Ξ (ω) per ogi (ω). D ora i avai fissiamo ω A. La relazioe (.) si può riscrivere come B () (ω) = g (m) (ω,), dove g (m) (ω,) := ξ (m) (ω) S (m) (), I() e osserviamo che g (m) (ω,) è ua fuzioe coiua, per ogi m N.Mosriamo ora la covergeza della serie m= g(m) (ω, ). Si verifica facilmee dalle defiizioi (.) e (.) che, per ogi m N fissao, le fuzioi {S (m) ( )} I(m) hao suppori disgiui, cioè per ogi [, ] esise al più u solo I(m) ale che S (m) che S (m) = (m+)/, come si verifica direamee, segue che I(m) S(m) () =.Dao ( ) = (m+)/. Ricordado che Ξ m (ω) m per m (ω), possiamoduquesimare m= (ω) g (m) (ω, ) = m= (ω) m= (ω) Ξ m (ω) I(m) S (m) I(m) () ξ (m) (ω) S (m) () m= (ω) m (m+)/ <, da cui discede che ache l iera serie delle orme m= g(m) (ω, ) coverge (abbiamo ralasciao u umero fiio (ω) di ermii). Per quao deo sopra segue allora che, per ogi ω A, la successioe di fuzioi coiue { B () (ω)} N coverge uiformemee per verso ua fuzioe limie coiua, che idicheremo co B (ω), daada B (ω) = lim B() (ω) = m= I(m) ξ (m) (ω) S (m) (). Defiedo per compleezza B (ω) :=quado ω A, la dimosrazioe è coclusa. Resa ifie da dimosrare che il processo oeuo {B } [,] è u moo browiao. Grazie al Teorema.8, basa mosrare che {B } [,] è u processo gaussiao co E(B )= e Cov(B s,b )=mi{s, }. Si oi che, per cosruzioe, già sappiamo che {B } [,] ha raieorie coiue. Per verificare che B = {B } [,] è u processo gaussiao, basa mosrare che ogi combiazioe lieare fiia Z := ϑ B ϑ B di compoei di B è ormale. Sappiamo che B () B q.c. per, per ogi [, ], quidiz = lim Z () q.c., dove Z () := ϑ B () ϑ B (). Dall equazioe (.) è chiaro che B (),e duque ache Z (), è ua combiazioe lieare fiia delle variabili ormali idipedei {ξ (m) } m, I(m),quidiZ () è ormale. Segue allora dalla Proposizioe. che ache Z è ormale, come limie quasi cero di variabili ormali. Resa solo da mosrare che Sempre dall equazioe (.) è chiaro che B () è ormale e E(B () )=per ogi [, ] e N, poichée(ξ (m) )=.DaocheB () B q.c., deduciamo dalla Proposizioe. che E(B )=lim E(B () )=per ogi [, ]. Ci resa ifie da mosrare che Cov(B s,b )=mi{s, }. Cosideriamo iaziuo il caso i cui s, τ = N τ. Seza perdia di geeralià, sia N ale che s, τ e assumiamo che s <.SioicheallorasihaB s = B s () e B = B (), perché per cosruzioe, per ogi u τ,ilvaloredib u () (ω) è cosae per.

7 .3. ESISTENZA DEL MOTO BROWNIANO MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ Iroduciamo le variabili Y () i che Cov(Y () i B () s,y () j = Y () i Cov(B s,b )= := B () i/ B () (i )/ per i. Mosreremo ra poco )= δ ij. Scrivedo s = / e = m/, co <m,sihaallora e B () j= = m m j= Y () j, da cui Cov(Y () i,y () j )= m j= δ ij = = s =mi{s, }. Mosriamo per iduzioe su che effeivamee Cov(Y () i,y () j )= δ ij, perogi i, j. Per =l affermazioe è vera, poiché Y () = ξ () N (, ). Se, per I() si ha dalla (.9) Y () = ( ) B (+)/ B( ) ( )/ + ξ() (+)/ = Y ( ) (+)/ + ξ() (+)/, Y () + = ( ) B (+)/ (.3) B( ) ( )/ ξ() (+)/ = Y ( ) (+)/ ξ() (+)/. Si oi che le variabili {Y ( ) (+)/ } I() soo idipedei dalle variabili {ξ () } N, perchécosruieusado solo le {ξ (m) } N per m ; iolre,peripoesiiduiva,cov(y ( ) (+)/,Y( ) ( +)/ )= ( ) δ, per ogi, I(). Usadoqueseproprieà,dallarelazioe(.3) si oiee Cov(Y () i,y () j )= δ ij. Avedo mosrao che Cov(B s,b )=mi{s, } per ogi s, τ, è facile esedere queso risulao a s, [, ]. Siao ifai {s } N e { } N successioi i τ che covergoo verso s e rispeivamee. Per la coiuià delle raieorie, si ha la covergeza q.c. del veore aleaorio ormale (B s,b ) verso (B s,b ). Grazie alla Proposizioe. si ha duque Cov(B s,b )=lim Cov(B s,b )=lim mi{s, } =mi{s, }. Osservazioe.. Ua dimosrazioe aleraiva della relazioe Cov(B s,b )=mi{s, } si può oeere sfruado la compleezza del se di fuzioi {H (m) } m N, I(m) i L ([, ]). Noiamo ifai che, poiché Cov(ξ (m), ξ (m ) )=δ, δ m,m,dallarelazioe(.)siha Cov(B s (),B () )= S (m) (s) S (m ) () δ, δ m,m. (.4) m,m = I(m), I(m ) Idicado per comodià co f,g := f(u)g(u)du il prodoo scalare i L ([, ]), ricordadoladefiizioe (.) possiamo scrivere S (m) (s) = [,s],h (m) eaalogamees (m ) () = [,],H (m ). Abbiamo già ricordao che il se di fuzioi {H (m) } m N, I(m) è ororormale i L ([, ]), cioè H (m) = δ, δ m,m,percuioeiamoda(.4),h (m ) Cov(B s (),B () )= = m,m = I(m), I(m ) Dao che il se di fuzioi {H (m) m= I(m) successioe delle proiezioi m= cosegueza oeiamo lim Cov(B() s,b () [,s],h (m) [,],H (m ) [,s],h (m) H (m), m = I(m ) H(m),H (m ) [,],H (m ) ) H(m } m N, I(m) èachecompleoil ([, ]), perogif L ([, ]) la I(m) f,h(m) H (m) coverge per verso f i L ([, ]). Di )= [,s], [,] = da cui segue che Cov(B s,b )=mi{s, }, grazieallaproposizioe.. [,s] (u) [,] (u)du =mi{s, },..4. (Ir)regolarià delle raieorie I queso paragrafo vedremo che le raieorie del moo browiao, sebbee coiue, soo piuoso irregolari. Ricordiamo che ua fuzioe ϕ :[, ) R crescee e coiua a desra deermia ua misura µ su (, ), defiia da µ((a, b]) := ϕ(b) ϕ(a) per <a<b<epoiesesa a ui i boreliai. Scriveremo spesso µ =dϕ e idicheremo l iegrale co h(s)dϕ(s) i luogo di h(s) µ(ds), per h : R R misurabile (e iegrabile rispeo a µ). U esempio imporae si ha quado ϕ(x) = x g(s)ds per u opporua fuzioe g L loc ([, )): si dice che ϕ ammee derivaa debole e, co u piccolo abuso di oazioe, si scrive g = ϕ. Chiaramee, se g è coiua, per il eorema fodameale del calcolo g è proprio la derivaa ordiaria di ϕ. È facile vedere che i queso caso h(s)dϕ(s) = h(s) ϕ (s)ds, cioèµ =dϕ è assoluamee coiua co desià ϕ..4.. Fuzioi a variazioe fiia. Daa ua fuzioe f : [a, b] R, si defiisce variazioe di f (sull iervallo [a, b]) la quaià V [a,b] (f) := sup N, a=: < <...< :=b f( i ) f( i ). (.5) Se V [a,b] (f) <, la fuzioe f è dea a variazioe fiia (sull iervallo [a, b]). Il caso più semplice è cosiuio dalle fuzioi moooe, per le quali V [a,b] (f) = f(b) f(a). U alro caso imporae di fuzioe a variazioe fiia si ha quado f ammee derivaa debole f L ([a, b]): ifai è facile vedere che V [a,b] (f) b a f (s) ds <. Sosiuedo f( i ) f( i ) co (f( i ) f( i )) + o (f( i ) f( i )) ella relazioe (.5), si defiiscoo rispeivamee le quaià V + [a,b] (f) e V [a,b] che V [a,b] (f) < se e solo se V + [a,b] (f) < e V [a,b] (f). È immediao verificare (f) <, el qual caso si ha V [a,b] (f) = V + + [a,b](f) +V[a,b] (f), f(b) f(a) = V [a,b] (f) V [a,b] (f). Ovviamee quese relazioi valgoo ache i ogi soo-iervallo di [a, b]. Di cosegueza, se defiiamo v ± (x) :=V ± [a,x](f), possiamo scrivere f(x) = f(a) +v + (x) v (x), x [a, b]. (.6) È immediao vedere che v + e v soo fuzioi crescei (o meglio o decrescei) da [a, b] i R. Duque, se V [a,b] (f) <, possiamo esprimere f come differeza di due fuzioi crescei. Viceversa, è immediao verificare che la differeza di due arbirarie fuzioi crescei defiisce ua fuzioe a variazioe fiia. Abbiamo duque oeuo ua caraerizzazioe imporae: ua fuzioe è a variazioe fiia se e solao se si può scrivere come differeza di due fuzioi crescei. Uaale scriura è u alro che uica: si può ifai aggiugere a v + e v u arbiraria fuzioe crescee e la relazioe (.6) resa valida. Tuavia, le fuzioi v + e v defiie sopra soo miimali, el seso che se f(x) =f(a) +w (x) w (x) co w e w crescei,

8 .4. (IR)REGOLARITÀ DELLE TRAIETTORIE MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ allora ecessariamee v + (x) w (x) e v (x) w (x), per ogi x [a, b] (si veda la Proposizioe.3 i [Baldi, ] per ua dimosrazioe). U alra proprieà imporae è che ua fuzioe f a variazioe fiia è coiua (risp. coiua a desra) se e solao se lo soo sia v + sia v (si veda la Proposizioe.4 i [Baldi, ]). Queso risulao permee, daa f :[a, b] R coiua a desra e a variazioe fiia, di defiire l iegrale rispeo a df: più precisamee, per ogi fuzioe Φ :[a, b] R misurabile e limiaa si defiisce l iegrale di Sieljes Φ(s)df(s) := Φ(s)dv + (s) Φ(s)dv (s), [a,b] [a,b] dove i due iegrali el secodo membro soo ordiari iegrali rispeo alle misure dv + e dv, come ricordao all iizio del paragrafo..4.. Variazioe quadraica del moo browiao. Sia {B } [,) u moo browiao. Daa ua parizioe π = {s = < <...< = } dell iervallo [s, ], chiameremo passo π = max i ( i i ) l ampiezza massima degli iervalli che la compogoo. Iroduciamo la variazioe quadraica di B relaiva alla parizioe π, poedo S π := (B i B i ). (.7) Si oi che S π è ua variabile aleaoria reale, defiia sullo sesso spazio di probabilià su cui è defiio il moo browiao. Il comporameo di S π quado il passo π ede a zero, cioè quado π divea desa i [s, ], è descrio dalla seguee basilare Proposizioe.3. Per ogi s<< si ha che Dimosrazioe. Possiamo scrivere S π ( s) = [a,b] lim S π = s i L (Ω, F, P). π Y i, dove Y i := (B i B i ) ( i i ). Dao che le variabili Y,...,Y soo idipedei e a media ulla, segue facilmee che S π ( s) = E[(S π ( s)) ] = dove abbiamo poso c i := E Bi B i i i E[(Y i ) ] = ( i i ) c i, = E Z, co Z N (, ). La secoda uguagliaza segue dal fao che B i B i N (, i i ) e mosra che i realà c i = c (, ) o dipede da i. Di cosegueza, essedo π = max i ( i i ), oeiamo la sima E[(S π ( s)) ] = c da cui segue il risulao. ( i i ) = c π ( i i ) = c π ( s), Si oi che ella defiizioe di S π compare la somma dei quadrai degli icremei di B calcolai sulla parizioe, ivece dei valori assolui che appaioo ella defiizioe (.5) di variazioe di ua fuzioe. Quado π è piccolo, ache gli icremei B i B i soo piccoli (perché le raieorie di B soo coiue) e di cosegueza B i B i (B i B i ). Alla luce di quese cosiderazioi, avedo appea dimosrao che per il moo browiao la somma dei quadrai degli icremei coverge verso u limie posiivo quado π, o è sorpredee che la variazioe delle raieorie sia q.c. ifiia, come mosra il seguee risulao. Corollario.4. Quasi ceramee, le raieorie del moo browiao hao variazioe ifiia su ogi iervallo. Esise cioè A F co P(A) =ale che per ogi ω A si ha V [s,] (B (ω)) = +, per ogi s<<. Dimosrazioe. Per defiizioe di moo browiao, esise u eveo C F co P(C) = ale che, per ogi ω C, la fuzioe B (ω) è coiua. Fissiamo ora a<b<. Daa ua parizioe π = {a = < <...< = b} di [a, b], poiamo π := max i B i B i. Se {π () } N è ua arbiraria successioe di parizioi di [s, ] co passo π () che ede a zero, per ogi ω C si ha che lim π ()(ω) =, perché la fuzioe u B u (ω), essedo coiua sull iervallo chiuso e limiao [a, b], è ivi uiformemee coiua. Per la Proposizioe.3, quado π si ha S π (b a) i L,quidiiprobabilià, quidi q.c. lugo u opporua successioe. Esisoo duque u eveo D a,b F co P(D a,b )=e ua successioe di parizioi {π () } N di [a, b], co passo π () che ede a zero, ali che lim S π ()(ω) =(b a) per ogi ω D a,b. Daa ua parizioe π di [a, b], per defiizioe di S π e π possiamo scrivere S π = (B i B i ) π B i B i π V [a,b] (B ). I paricolare, per ω C D a,b oeiamo che V [a,b] (B (ω)) S π ()(ω) π ()(ω) + per,

9 .4. (IR)REGOLARITÀ DELLE TRAIETTORIE 4 4. MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ poiché S π ()(ω) ( s) > e π ()(ω). QuidiV [a,b] (B (ω)) = + per ω C D a,b. Defiiamo ifie A := C D a,b. a<b<,a,b Q Chiaramee P(A) =, perché A è iersezioe umerabile di evei quasi ceri. Iolre se ω A si ha V [s,] (B (ω)) = + per ogi s<<: basa ifai cosiderare a, b Q co s a<b e di cosegueza V [s,] (B (ω)) V [a,b] (B (ω)) = +. Essedo le raieorie del moo browiao q.c. a variazioe ifiia, o è possibile defiire iegrali del ipo h(s, ω)db s (ω) el seso di Seljes, come descrio i.4.. Vedremo el seguio del corso che, impoedo alcue resrizioi sulla classe di iegradi h(s, ω), è effeivamee possibile defiire iegrali di queso ipo. Osservazioe.5. Ci si può chiedere se il limie S π ( s) per π, dimosraoella Proposizioe.3, valga q.c. e o solo i L. La risposa è egaiva: è ifai possibile cosruire ua successioe {π } N di parizioi di [s, ], co π, alecheq.c.siabbialim sup S π + (si veda l esercizio.5 i [Mörers e Peres, 9]); i paricolare, segue che q.c. sup π S π =+. Ècomuque possibile dare codizioi sufficiei per la covergeza quasi cera: per esempio, se le parizioi π soo crescei, elsesocheπ π + (a ogi passo vegoo aggiui pui alla parizioe precedee), oppure se N π <, allorasπ ( s) q.c. per Risulai fii per le raieorie. Esisoo diversi risulai che descrivoo precisamee il comporameo locale delle raieorie del moo browiao. Comiciamo euciado la celebre legge del logarimo ierao. Teorema.6 (Legge del logarimo ierao). Sia B = {B } [,) u moo browiao reale. Per ogi isae fissao si ha q.c. lim sup h B +h B h log log h = e lim if h B +h B h log log h =. (.8) La dimosrazioe o è difficile, ma la omeiamo per brevià (si veda il Teorema. i [Baldi, ]). Noiamo che, grazie alla Proposizioe.9, è sufficiee cosiderare il caso =, perché {B +h B } h è u moo browiao; aalogamee, dao che { B } è u moo browiao, è sufficiee dimosrare ua sola delle due relazioi i (.8). Sempre grazie alla Proposizioe.9, dao che {hb /h } h è u moo browiao, dalle relazioi i (.8) per =oeiamo iformazioi ieressai sul comporameo del moo browiao all ifiio: q.c. lim sup B log log = e lim if B log log =. (.9) Da quese relazioi segue che, per ogi ε > fissao, q.c. esisoo due successioi { = (ω)} N e {s = s (ω)} N, erambe edei all ifiio, ali che B (ω) ( ε) log log, B s (ω) ( ε) s log log s. Dao che q.c. la fuzioe B (ω) è coiua, quese disuguagliaze implicao che, per quasi ogi ω Ω, B (ω) visia ogi umero reale ifiie vole (i paricolare cambia sego ifiie vole) i ogi ioro [M,) di ifiio. Aalogamee, dalle relazioi i (.8) per =segue che, per ogi ε > fissao, q.c. esisoo due successioi { = (ω)} N e {s = s (ω)} N, erambe edei a zero, ali che B (ω) ( ε) log log, B s (ω) ( ε) s log log s. I paricolare, q.c. B cambia sego ifiie vole i ogi ioro desro [, δ) di zero. Cocludiamo il paragrafo co u ieressae corollario del Teorema.6. Corollario.7. Sia B = {B } [,) u moo browiao e sia u qualuque puo fissao. Allora q.c. B o è derivabile i =. Dimosrazioe. Sfruado le relazioi i (.8), è immediao verificare che si ha q.c. lim sup h (B +h B )/h =+ e lim if h (B +h B )/h =. Osservazioe.8. Si può rafforzare il Corollario.7, mosrado che q.c. la fuzioe B o è derivabile i essu puo [, ) (si veda per esempio il Teorema.3 i [Mörers e Peres, 9]). Èieressaeoarecheuipoeicoaalogorafforzameo del Teorema.6, cioè che q.c. valga la relazioe (.8) per ogi, èivecefalso. Si può ifai mosrare che, per quasi ogi ω Ω, esisoo pui eccezioali = (ω) per cui la relazioe (.8) o vale. Per maggiori iformazioi, si veda il Teorema 9.5 del capiolo i [Karazas e Shreve, 998]..5. Processi e σ-algebre I queso paragrafo l isieme di idici I è arbirario, ma ei casi cocrei sarà quasi sempre u sooisieme di R; aalogamee, lo spazio misurabile (E,E) è ipicamee R d. Ricordiamo che, daa ua arbiraria famiglia J di sooisiemi di u isieme Ω, si idica co σ(j) la più piccola σ-algebra su Ω che coiee gli elemei di J. Aalogamee, daa ua fuzioe Y : Ω (E,E), si idica co σ(y ) la σ-algebra geeraa da Y,defiia come la più piccola σ-algebra su Ω che reda misurabile l applicazioe Y. Essa cosise di ui e soli gli evei della forma {Y A}, alvariaredia E. È imporae esedere quesa ozioe ai processi socasici. Defiizioe.9. Sia X = {X } I u processo socasico defiio su uo spazio di probabilià (Ω, F, P) avalorii(e,e). Laσ-algebra geeraa da (o associaa a) X è defiia da σ(x) =σ({x } I ):=σ( I σ(x )). Noiamo che σ(x) è per cosruzioe la più piccola σ-algebra che coiee σ(x ) per ogi I. Ciò sigifica che σ(x) èlapiùpiccolaσ-algebra su Ω che rede misurabili ue le compoei X del processo X. Uabasediσ(X) è daa dalla famiglia J X defiia da J X := {X s A,...,X s A }, N,s i I, A i E. (.)

10 .5. PROCESSI E σ-algebre MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ La σ-algebra σ(x) cosise duque di ui e soli gli evei che possoo essere espressi i ermii di X (più precisamee, i ermii di ua quaià umerabile di sue compoei). Iuiivamee, σ(x) coiee le iformazioi sul processo X: essa cosise ifai degli evei per i quali si può sabilire se si siao verificai o o cooscedo il processo X. La ozioe di σ-algebra geeraa da u processo è molo uile per defiire l idipedeza di processi socasici, aalogamee al caso di variabili aleaorie. Defiizioe.. I processi socasici X () = {X () } I,...,X () = {X () } I defiii sullo sesso spazio di probabilià (Ω, F, P) si dicoo idipedei se lo soo le σ-algebre da loro geerae σ(x () ),...,σ(x () ) Quesa defiizioe piuoso asraa ha ua raduzioe molo esplicia per i processi gaussiai, aaloga al Lemma.4. Dai i processi socasici (gaussiai) X () = {X () } I,..., X () = {X () } I, essi si dicoo cogiuamee gaussiai se il processo cogiuo {X (i) } i {,...,}, Ii è gaussiao. Si ha allora la seguee Proposizioe.. Se i processi X () = {X () } I,...,X () = {X () } I soo cogiuamee gaussiai, essi soo idipedei se e solo se soo scorrelai, el seso seguee: Cov(X s (i),x (j) )=per ogi i = j e per ogi s,. Dimosrazioe. L idipedeza delle σ-algebre σ(x () ),...,σ(x () ) può essere verificaa su ua base: basa duque mosrare che, esrao qualuque veore fiio-dimesioale (X (),(),...,X () ) da,() X(), qualuque (X (),(),...,X () ) da,() X(),ecc.,quesiveorialeaorisooraloroidipedei.Essedo cogiuamee ormali per ipoesi, sappiamo che l idipedeza è equivalee alla scorrelazioe delle rispeive compoei, cioè Cov(X (i) s,x (j) )= per i = j eperogis, (si veda l Osservazioe.5). Quesa codizioe è duque sufficiee, olre che ovviamee ecessaria, per l idipedeza dei processi X (),...,X ()..5.. Filrazioe aurale di u processo. Cosideriamo ora il caso di u processo X = {X } [,) idicizzao dalla semirea reale posiiva, defiio su uo spazio di probabilià (Ω, F, P) avalorii(e,e). Ricordado la Defiizioe.9, per ogi s idichiamo co Fs X la σ-algebra geeraa dal processo co isieme dei empi risreo a [,s], ossiafs X := σ({x u } u [,s] ). I alri emrii, Fs X è la più piccola σ-algebra che reda misurabili ue le applicazioi X u, per u s. Iuiivamee, la σ-algebra Fs X = σ({x u } u s ) coiee le iformazioi sul processo X ell iervallo di empo [,s]: ieffei, essa cosise di evei per i quali si può sabilire se si siao verificai o o osservado il processo X ell iervallo di empo [,s]. La famiglia {Fs X } s [,) è dea filrazioe aurale del processo X. Siraadiuafamiglia crescee di σ-algebre: Fs X F X F per ogi s<<. I effei l aalogia è molo srea: guardado u processo X = {X } I come ua variabile aleaoria avaloriie I = IE,coE = E per ogi I, laozioediidipedezaespressaella Defiizioe. è u caso paricolare della defiizioe di idipedeza per variabili aleaorie. Rioreremo i deaglio su quesi cocei el prossimo capiolo. Per il momeo, foriamo u uleriore uile caraerizzazioe aleraiva del moo browiao, modificado l ipoesi di idipedeza degli icremei i u modo che sarà molo rilevae el seguio. Proposizioe.. U processo socasico reale B = {B } [,) è u moo browiao se e solao se soddisfa le proprieà (a), (c), (d) della Defiizioe.3 e vale iolre la seguee (b ) per ogi s<, la variabile aleaoria (B B s ) è idipedee dalla σ-algebra F B s = σ({b u } u s ). Dimosrazioe. Mosriamo iaziuo che (b) (b ). Ricordiamo che è sufficiee verificare l idipedeza su ua base e che ua base di Fs B è del ipo J X, defiia i (.) (sosiuedo X co B e resrigedo gli idici s i all isieme [,s]). Basa duque mosrare che per ogi scela di s <...<s s e C, A,...,A B(R) si ha P {B s A,...,B s A } {B B s C} = P B s A,...,B s A P B B s C. (.) Iroducedo il veore W := (B s,...,b s ) e il sooisieme A := A A R, possiamo scrivere {B s A,...,B s A } = {W A}. Se iroduciamo il veore Y =(B s,b s B s,...,b s B s ), oeuo mediae ua rasformazioe lieare Y = LW, co L iveribile, possiamo scrivere W A = Y LA = (Bs,B s B s,...,b s B s ) LA. Ricordiamo il fao che, daa ua famiglia di variabili idipedei, due soofamiglie disgiue soo ra loro idipedei. Segue allora che la variabile B B s è idipedee da Y, grazie alla proprieà (b), e duque P({Y LA} {B B s C}) = P(Y LA) P(B B s C). Meedo isieme le precedei relazioi, segue che (.) è verificaa. Mosriamo ora che (b ) (b). Dobbiamo mosrare che, per ogi, fissai comuque < <...< < e A,...,A B(R), vale la relazioe P {B i B i A i } = P B i B i A i. Si oi che {B i B i A i } G. Ifai le variabili B i co i soo G misurabili, per cui lo soo ache B i B i (differeza di fuzioi misurabili). Scrivedo {B i B i A i } = {B i B i A i } {B B A } e oado che B B è per ipoesi idipedee da G,sihache P {B i B i A i } = P {B i B i A i } P(B B A ). U facile argomeo iduivo coclude la dimosrazioe.

11 .6. MOTO BROWNIANO MULTIDIMENSIONALE MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ.6. Moo browiao mulidimesioale Geeralizziamo ora la defiizioe di moo browiao al caso mulidimesioale. Defiizioe.3. U processo socasico B = {B =(B (),...,B (d) )} [,) a valori i R d è deo moo browiao d-dimesioale se soddisfa le seguei proprieà: (a) B =q.c.; (b) B ha icremei idipedei, cioè per ogi scela di e < <...< < i veori aleaori {B i B i } i soo idipedei; (c) B ha icremei gaussiai: più precisamee, B B s N (, ( s)i d ) per ogi s<,dovei d idica la marice ideica d d, cioè (I d ) ij = δ ij ; (d) q.c. B ha raieorie coiue, cioè q.c. la fuzioe B è coiua. Mole proprieà del moo browiao mulidimesioale soo aaloghe al caso reale. Ad esempio, valgoo le seguei geeralizzazioi delle Proposizioi.8 e.. Proposizioe.4. U processo socasico B = {B } [,) avaloriir d è u moo browiao d-dimesioale se e solao se è u processo gaussiao di media ulla e di covariaza Cov(B s (i),b (j) )=δ ij mi{s, }, co raieorie q.c. coiue. Proposizioe.6. U processo socasico B = {B } [,) avaloriir d è u moo browiao d-dimesioale se e solao se le sue compoei B () = {B () } [,),..., B (d) = {B (d) } [,) soo moi browiai reali idipedei. Dimosrazioe. Se B è u moo browiao d-dimesioale, per la Proposizioe.4 ogi compoee B (i) è u processo gaussiao co media ulla, covariaza Cov(B s (i),b (i) )= mi{s, } e raieorie q.c. coiue. Segue che B (i) è u moo browiao reale, per la Proposizioe.8. Sempre per la Proposizioe.4, le compoei B (),...,B (d) soo processi cogiuamee gaussiai e scorrelai, poiché Cov(B s (i),b (j) )=per i = j; soo duque idipedei, grazie alla Proposizioe.. Viceversa, se le compoei B (),...,B (d) soo moi browiai reali, essi soo processi gaussiai co raieorie q.c. coiue, per la Proposizioe.8. Se iolre i processi B (),...,B (d) soo idipedei, è immediao verificare che il processo cogiuo B = {B (i) } i d, è gaussiao (ogi combiazioe lieare di sue compoei è ormale) co raieorie q.c. coiue. Sempre grazie alla Proposizioe.8, ciascua compoee B (i) ha media ulla e Cov(B s (i),b (i) )=mi{s, }, mere per i = j si ha Cov(B s (i),b (j) )= per ogi s,, poiché i processi B (i) e B (j) soo idipedei. I defiiiva, per ogi i, j d e s, si ha Cov(B s (i),b (j) )=δ ij mi{s, }: possiamo duque cocludere che B è u moo browiao -dimesioale grazie alla Proposizioe.4. Proposizioe.5. U processo socasico B = {B } [,) avaloriir d è u moo browiao d-dimesioale se e solao se valgoo le proprieà (a), (c), (d) della Defiizioe.3 e vale iolre la seguee proprieà: (b ) per ogi s<, il veore aleaorio (B B s ) è idipedee dalla σ-algebra = σ({b u } u s )=σ({b u (i) } u s, i d ). F B s Ache la Proposizioe.9 si esede al moo browiao mulidimesioale, seza bisogo di alcua modifica ell euciao. Omeiamo per brevià le dimosrazioi, aaloghe al caso uidimesioale. Mosriamo solo come calcolare Cov(B s (i),b (j) ) a parire dalla Defiizioe.3: per s si ha Cov B (i) s,b (j) = Cov B (i) s,b (j) B (j) s + Cov B (i) s,b s (j) = s δij, (.) grazie all idipedeza dei veori aleaori B B s e B s (proprieà (b)), da cui segue quella delle compoei B (j) B s (j) e B s (i), e grazie al fao che B s N (,si ) (proprieà (c)). Cocludiamo la sezioe co ua proprieà imporae, che forisce ua cosruzioe esplicia del moo browiao d-dimesioale a parire da d moi browiai reali idipedei..7. La misura di Wieer Idichiamo co C := C([, ), R d ) lo spazio delle fuzioi coiue defiie su [, ) a valori i R d.rediamoc uo spazio misurabile, muedolo della σ-algebra B geeraa dagli isiemi della forma {f C : f A,...,f A },alvariaredi N,,..., [, ) e A,...,A B(R d ). Essedo chiusa per iersezioi fiie, quesa classe di isiemi è ua base di B. Se iroduciamo le proiezioi coordiae {π }, cioè le applicazioi da C i R d defiie da π (f) :=f, si verifica facilmee che B è la σ-algebra geeraa dalle fuzioi π, cioè B = σ({π } ). Dao u moo browiao d-dimesioale B = {B s } s, defiio su uo spazio di probabilià (Ω, F, P), sappiamo che esise A F co P(A) =ale che la fuzioe B (ω) è coiua per ogi ω A. Se ridefiiamo B (ω) per ω A, oeiamo u moo browiao le cui raieorie soo coiue per ogi ω Ω e o solo q.c.. Possiamo allora vedere B come ua applicazioe da Ω i C: ω B(ω) :={B s (ω)} s [,) C. Usado la base della σ-algebra B descria sopra, è immediao vedere che quesa applicazioe è misurabile: si ha ifai per D := {f C : f A,...,f A } {B D} = {B A,...,B A } F.

12 .7. LA MISURA DI WIENER MOTO BROWNIANO: PRIME PROPRIETÀ I alre parole, il moo browiao B può essere viso come ua variabile aleaoria a valori i C. È duque be defiia la legge di B: si raa di ua probabilià sullo spazio (C, B), oa come misura di Wieer e idicaa co W. Più espliciamee, per ogi sooisieme A C misurabile (cioè per ogi A B) sihaw(a) :=P(B A). La misura di Wieer permee ua cosruzioe caoica del moo browiao. Ifai, prededo come spazio di probabilià (C, B, W), è facile vedere che il processo socasico delle proiezioi coordiae {π } è u moo browiao d-dimesioale. Osservazioe.7. Sullo spazio C c è ua opologia aurale, quella della covergeza uiforme sui compai, che è merizzabile. Defiedo h [a,b] := sup x [a,b] h(x), ua disaza che iduce quesa opologia è daa per esempio da d(f,g) := f(x) g(x) [,] +f(x) g(x). [,] = Su C è quidi defiia la corrispodee σ-algebra boreliaa B(C), geeraa dagli isiemi aperi. No è difficile mosrare che quesa σ-algebra coicide co la σ-algebra B geeraa dalle proiezioi, che abbiamo defiio sopra (si veda l esercizio.4 i [Baldi, ]). I paricolare, ogi fuzioe defiia su C che sia coiua rispeo a d(, ) è B-misurabile..7.. Il pricipio di ivariaza di Doser. Sia {X } N ua successioe di variabili reali i.i.d. i L, defiie su uo spazio di probabilià (Ω, F, P), aliche E(X )=e Var(X )=σ <. Defiiamo la passeggiaa aleaoria {S } N poedo S :=, S := X i. Il celebre eorema limie cerale afferma che per ogi x R vale la seguee relazioe: lim P S σ x =P(Z x), dove Z idica ua variabile aleaoria reale ormale sadard. Si può mosrare che ciò è equivalee al fao che S /(σ ) W i legge per. Èpossibilerafforzare oevolmee queso risulao. Defiiamo la variabile S per [, ) come l ierpolazioe lieare della raieoria {S } N : poiamo cioè Si oi che per =riroviamo Y () = S /(σ ). Dao che per cosruzioe il processo Y () ha raieorie coiue, per ogi N, possiamo vedere Y () come ua applicazioe da Ω i C = C([, ), R). Noèdifficile mosrare che ale applicazioe è misurabile, cioè Y () è ua variabile aleaoria a valori i (C, B). È duque be defiia la sua legge: si raa di ua probabilià sullo spazio (C, B), che idichiamo co Y (). Ricordiamo che C è uo spazio merico (rispeo alla covergeza uiforme sui compai) e che B è la corrispodee σ-algebra boreliaa (si veda l Osservazioe.7). Vale allora il seguee risulao fodameale. Teorema.8 (Pricipio di ivariaza di Doser). Per la successioe di processi Y () coverge i legge verso il moo browiao. Equivaleemee, la successioe di leggi Y () coverge debolmee verso la misura di Wieer W. Queso risulao si può formulare grossolaamee dicedo che, su larga scala, le raieorie di ua passeggiaa aleaoria di media ulla e variaza fiia, riscalae diffusivamee, assomigliao alle raieorie del moo browiao. Per esempio, le raieorie simulae del moo browiao illusrae ella Figura. a pagia 7 soo sae oeue a parire da ua passeggiaa aleaoria co icremei gaussiai. Uo degli aspei più imporai del Teorema.8 è la sua uiversalià: qualuque sia la legge degli icremei X i, purché di media zero e variaza fiia, la disribuzioe Y () delle raieorie riscalae della passeggiaa aleaoria coverge per verso lo sesso limie, cioè la legge W del moo browiao. I queso seso, i deagli microscopici della passeggiaa aleaoria diveao irrilevai el limie di larga scala. Queso risulao mosra ache come il moo browiao sia u oggeo molo aurale. Ifie, il Teorema.8 è molo imporae ache come srumeo di calcolo. Ifai, per defiizioe di covergeza debole di misure di probabilià (si veda il paragrafo.5), possiamo riformulare il Teorema.8 el modo seguee: per ogi fuzioale Φ : C R coiuo e limiao si ha lim C Φ(ζ) Y() (dζ) = Φ(ζ) W(dζ), ovvero, usado la formula del cambio di variabili (Teorema.6), C lim E(Φ(Y () )) = E(Φ(B)). Queso sigifica che, se si coosce il valore di E(Φ(B)), sicoosceacheillimiedellasuccessioe E(Φ(Y () )) per ogi passeggiaa aleaoria di media zero e variaza fiia. Viceversa,sesiriesceacalcolare lim E(Φ(Y () )) per ua passeggiaa aleaoria qualuque (co icremei di media ulla e variaza fiia), si è deermiao il valore di E(Φ(B)). S := ( + )S +( )S +, dove x := max{ Z : x} idica la pare iera di u umero reale x. Iroduciamo quidi, per ogi N, u processo socasico Y () = {Y () } [,) defiio come il riscalameo diffusivo di { S } di faore : Y () := S σ,.