Forza dell oscillatore

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1 (lez 6, A) Forza dell oscillaore roduciamo ua uova gradezza. La forza dell oscillaore. Quesa quaià sosazialmee è proprozioale all elemeo di marice del momeo di dipolo ra lo sao iiziale e fiale. Nella descrizioe classica quesa quaià (l elemeo di marice del momeo di dipolo) o compariva. Nella eoria classica di Lorez si parlava di sezioe d uro, i cui comparivao ua frequeza propria del sisema e la frequeza della radiazioe icidee (ecciae). codizioi di risoaza si oiee il profilo loreziao, dovuo all emissioe dell eleroe, schemaizzao come ua carica oscillae armoicamee. La descrizioe quaisica è avveua ivece araverso la probabilià di rasizioe. Abbiamo ricavao che la probabilià di rasizioe è proporzioale all elemeo di marice del modulo quadro del momeo di dipolo (ermie di dipolo elerico)(?o o?). l legame ra queso elemeo di marice ed ua corrispodee qaià classica si può rovare loao dalle codizioi di risoaza, i paricolare qudo la frequeza dell oda icidee è molo miore della frequeza propria (prequeza di Bohr). Per l aomo classico queso coo pora alla susceivià che è ua quaià che descrive il momeo di dipolo idoo i fuzioe del campo elerico. Vediamo duque prima l approccio classico Approccio classico Queso è u approccio classico, che però ricalca ciò che si è fao ella eoria perurbaiva semiclassica, i cui o si permee all eleroe di irraggiare. (il moivo per cui si fa così i eoria quaisica è che se volessimo eere coo per bee dell irraggiameo dovremmo quaizzare il campo eleromageico. Nel complemeo D X del Cohe (lezioe 7) viee usao u ale approccio correo, ma che uilizza comuque u modello semplificao) l modello che uilizziamo per descrivere l eleroe ell aomo è quello di u oscillaore armoico di frequeza w sul quale agisce ua forza oscillae co frequeza w (forza elerica) (oda eleromageica icidee piaa e polarizzaa liearmee. N.B. ripeiamo che vogliamo rascurare, come fao el calcolo quaisico, gli effei di radiazioe dell eleroe. Uilizzeremo il formalismo ewoiao, duque scriviamo il secodo pricipio : m z m ω z q ε cos ω

2 - forza dell oscillaore - z ω z q ε m cos ω. (equazioe del moo i formalismo ewoiao) Duque ripeiamo che, a differeza di quao fao quado abbiamo sviluppao la eoria classica, e seguedo ivece ciò che abbiamo fao ella eoria quisica (semiclassica, perurbaiva) qui o icludiamo la forza riardarice, e cioé rascuriamo l emissioe spoaea (sicuro(?)) dell eleroe (il professore dice moo proprio ). (?) (A56) qui c è qualcosa che o capisco, perché il prof dice che è come se siamo a empi sufficieemee lughi che i processi di emissioe spoaea ammazzao il moo proprio. Allora il moo proprio o è l emissioe spoaea...! Torado all equazioe del moo, si raa di u equazioe differeziale lieare ordiaria a coefficei cosai o omogeea. L iegrale geerale deve essere ullo perché vogliamo che i asseza di forza elerica (ermie oo) la soluzioe sia la quiee, e cioè che la soluzioe dell omogeea associaa sia la soluzioe baale. Duque basa u iegrale paricolare, che è z cos ω poso posso oeere il valore della cosae z : ω z ω z q ε m ω ω z q ε m z q ε m ω ω e duque z q ε m ω ω cos ω (legge oraria) A queso puo, cooscedo la posizioe i fuzioe del empo, possiamo scrivere il momeo di dipolo q z q m ω ω ε cos ω (momeo di dipolo) e duque ache la susceivià, che per defiizioe è il coefficiee di proporzioalià ra il momeo di dipolo idoo e il campo elerico (iducee) applicao :

3 - forza dell oscillaore - χ aomo q m ω ω (susceivià del sigolo aomo) quesa è la susceivià di u sigolo aomo. e cosideriamo u solido, i cui soo presei N aomi (più semplicemee possiamo defiire N come il umero di aomi per uià di volume), avremo che ogi aomo ha ua frequeza propria di oscillazioe ω i liea di pricipio diversa. Chiamiamo co ω le diverse frequeze proprie dei diversi aomi, e co f la frazioe, cioè il umero di aomi che hao ua cera frequeza propria ω. La susceivià globale del mezzo sarà duque la somma pesaa delle susceivià dei sigoli aomi, sommae sulle frequeze, e usado come pesi proprio la forza dell oscillaore alle varie frequeze : χ N q N f m ω ω (susceivià globale) Quesa è essezialmee la descrizioe classica della susceivià che si oiee col modello di Lorez dell aomo. Classicamee il paramero f veiva chiamao forza dell oscillaore. i può migliorare queso modello iroducedo u faore di smorzameo g, che però essezialmee sigifica icludere gli effei [ ] Noiamo che i queso modello essuo ci dice quao valgoo gli f, che devoo essere messi a mao. ia f che ω soo parameri feomeologici. arebbe feomeologico ache l eveuale faore di smorzameo che porei iserire frequeza per frequeza. L uica cosa che so è che la somma deve essere ormalizzaa N f. La cosa ieressae è che ora che svilupperemo u approccio quaisico alla facceda, riusciremo a dare u sigificao alla forza dell oscillaore f : sarà proporzioale all elemeo di marice del momeo di dipolo ra lo sao iiziale e lo sao fiale (quello che abbiamo oeuo co la eoria perurbaiva semiclassica). Ma la cosa imporae è che ella eoria quisica la forza dell oscillaore roverà ua sua defiizioe i ermii delle proprieà degli aomi (elemeo di marice di cui sopra).

4 - forza dell oscillaore - 4 olre verrà rioeua la proprieà di ormalizzazioe, cioè la proprieà N f. U alro aspeo imporae è legao alla relazioe di commuazioe ra gli operaori z e, il fao che il loro commuaore è i fa sì che sia verificaa la proprieà di ormalizzazioe di cui sopra. Quesa è ua riporova delle regole di commuazioe, cioè ua loro maifesazioe i ua proprieà osservabile, e duque ua loro coferma. Riassumedo, riusciamo a defiire ua quaià, che classicamee era irodoa feomeologicamee, i ermii dell elemeo di marice del momeo di dipolo, e a verificare che quesa gradezza verifica la regola di somma, basadosi sulla regola di commuazioe ra z e. Approccio quaisico La eoria quaisica, per vie diverse, perviee alla sessa espressioe della susceivià. Tra l alro riuscire a dare coo della susceivià è imporae, perché essa descrive proprieà della maeria, come la cosae dielerica. l fao che la meccaica quaisica pervega alla sessa espressioe dimosra che la eoria quaisica sussume quella classica (riassume e va olre). Uilizziamo la eoria delle prurbazioi dipedei dal empo. fai quesa eoria, olre a forire la probabilià di rasizioe, è i grado di forire la fuzioe d oda del sisema al empo. realà le probabilià di rasizioe forie dalla eoria delle perurbazioi o soo alro che i moduli quadri delle compoei dello sao del sisema al empo, proieao sull auobase dell Hamiloiaa imperurbaa. fai la probabilià di rasizioe da u cero sao iiziale ψ i ad u cero sao fiale è il modulo quadro della proiezioe dell evoluo dello sao iiziale, proieao sullo sao fiale : P i f U ψ i ψ (dove U() è l operaore di evoluzioe emporale relaivo all Hamiloiaa perurbaa) Duque co la eoria delle perurbazioi possiamo ricosruire la fuzioe d oda dello sao del sisema al empo. La eoria delle perurbazioi dipedei dal empo forisce (mediae uo sviluppo dell operaore di evoluzioe emporale dell Hamiloiaa perurbaa U()) la seguee espressioe (approssimaa al prim ordie) della probabilià di rasizioe : P i 6 f δ i f e i ω f i ' W f i ' d' dove

5 - forza dell oscillaore - 5 W f i W ψ i è l elemeo di marice della perurbazioe. Ma a oi serve la quaià di cui queso è il modulo quadro, e la eoria delle prurbazioi ci dice che quesa quaià è l ampiezza di probabilià : A i 6 f e i E f δ i f i e i ω f i ' V f i ' d' O ε (vedi). Nel osro caso vogliamo cosiderare come perurbazioe il solo ermie di dipolo elerico : W DE q ε i ω m e i ω e i ω (vedi) dove ε e ω soo il campo elerico e la frequeza dell oda icidee. Duque i queso caso l ampiezza di probabilià è A i 6 f e i E f δ i f i e i ω f i ' W DE ' ψ i d' dove W DE ψ i q ε i ω m ψ i e i ω e i ω. D alra pare, uilizzado la relazioe di commuazioe ra gli operaori e z si ha ϕ i ϕ f i ω f i m ϕ i Z ϕ f (vedi quao fao ello sviluppare la eoria perurbaiva semiclassica) da cui W DE ψ i q ε ω f i ω z ψ i e i ω e i ω q ε ω f i ω z ψ i e i ω e i ω e duque

6 - forza dell oscillaore - 6 A i 6 f e i E f δ i f q ε ω f i ω i ϕ i Z ϕ f e i ω f i ' e i ω ' e i ω ' d' A queso puo, come abbiamo deo prima, vogliamo scrivere lo sao del sisema al empo. Tale sao lo scriviamo sviluppao sull auobase dell Hamiloiaa imperurbaa, suppoedo che lo sao iiziale ψ i sia lo sao fodameale, e uilizzado il fao che le ampiezze di probabilià soo proprio i coefficiei di queso sviluppo : ψ A 6 e i E e i E b ( ) ((?)qui c è u problema, perché il prof si rova l argomeo degli espoeziali egaivo) dove b ( ) q ε i ω f i ω ϕ i Z ϕ f e i ω f i ω ' e i ω f i ω ' (l apice () sa a ricordare che usiamo la eoria delle perurbazioi al prim ordie). d' Porado al primo membro l espoeziale che compare el primo ermie dell espressioe di ψ() si ha e i E ψ e i E E b ( ) (coereemee, il prof si rova i segi diversi agli argomei degli espoeziali) q ε ω i ω ei ω Z e i ω ω ' e i ω ω ' d' ma queso iegrale lo abbiamo già calcolao (vedi eoria geerale della perurbazioe armoica, i paricolare quado si iroducoo i ermii risoae e airisoae) : e i ω i f ω ' d' i ω i f ω e i ω i f ω ' i e i ω i f ω ω i f ω e duque e i E ψ q ε ω i ω ei ω Z A

7 - forza dell oscillaore - 7 A i e i ω i f ω ω i f ω e i ω i f ω ω i f ω A queso puo calcoliamo il valore di aspeazioe dell osservabile momeo di dipolo q z D su queso sao. N.B. Affiché queso modo di calcolarlo abbia seso, dobbiamo supporre di sare loao dalle codizioi di risoaza, ifai ricordiamo che abbiamo rascurao l emissioe spoaea, che divea domiae i codizioi di risoaza! Come al solio, per fare u coo correo che valga ache i codizioi di risoaza, dovremmo usare la eoria dei campi quaisici. (uilizziamo il fao che u espoeziale ha sempre modulo uiario) ψ q z ψ ψ e i E / q z e i E / ψ (espliciiamo l espressioe di ψ() rovaa prma) C q C q C z C ϕ C z (si ha z. fai z ϕ z ϕ dz z è sicuramee pari, mere la fuzioe z è dispari, e duque l iegrado è dispari e l iegrale è ullo) dz e la fuzioe ϕ q C z C (espliciado i coefficiei) [ ] (voglio coservare solo i ermii lieari el campo elerico e) ψ q z ψ D q ε ω ω ω cos ω cos ω il ermie i (cos ω ) è espressioe del moo proprio del sisema, e dopo u cero rasiee (che suppoiamo rascurabile, o già rascorso) viee smorzao dal feomeo di emissioe spoaea, di cui o abbiamo dao coo ma che pure esise.

8 - forza dell oscillaore - 8 Duque D q ε ω ω ω cos ω Duque l espressioe della susceivià di sigolo aomo, cioè il faore di proporzioalià ra il campo elerico dell oda icidee ( e cos ω ) è χ aomo q ω ω ω Noiamo che a differeza del caso classico, ache ell espressioe della susceivià per u sigolo aomo compare ua somma sulle frequeze. Nella descrizioe quaisica ogi aomo ha ua serie di sai sazioari, che soo gli sessi per ui gli aomi. L effeo della perurbazioe è quello di idurre rasizioi ra quesi sai, e duque le modalià co cui gli aomi ieragiscoo col campo elerico (oda) dipedoo da queso spero di sai sazioari. Quelle che compaioo ella susceivià o soo le frequeze dei moi propri dell aomo, ma soo le frequeze di Bohr delle rasizioi. La somma che compare ell espressioe della susceivià è duque ua somma sulle frequeze di Bohr relaive a ue le possibili rasizioi ra lo sao fodameale ui gli alri sai sazioari. Per oeere la susceivià globale del mezzo basa moliplicare per il umero di aomi : χ q N ω ω ω. A queso puo possiamo cofroare queso esio della eoria quaisica co l esio della eoria classica : χ N q N f m ω ω avedo così l opporuià di oeere u espressioe per la forza dell oscillaore quaisica, che quesa vola o è ua quaià feomeologica, ma viee fuori dalla eoria : f m ω. leeraura, per descrivere le propriea di u mezzo maeriale vegoo forie le forze dell oscillaore, e o il valore di aspeazioe del momeo di dipolo. Tra l alro ell espressioe della forza dell oscillaore è icluso il modulo quadro di ale valore di aspeazioe.

9 - forza dell oscillaore - 9 Proprieà (di ormalizzazioe) La forza dell oscillaore ello schema classico rappreseava il peso i ua somma pesaa delle susceivià di sigolo aomo, e quidi era aurale richiedere che quesi pesi fossero ormalizzai all uià. Ma i quel caso avevamo a che fare co u paramero feomeologico, e duque quesa era ua proprieà da imporre. Vediamo ivece come l espressioe della forza dell oscillaore ricavaa co la eoria quaisica gode della proprieà di ormalizzazioe (regola di Thomas - Reiche - Kuh) : Σ f dim. : f m ω m ω z m ω z z (uilizzado la relazioe ϕ i z ϕ f di z e (vedi)) i ω f i m ϕ i ϕ f più vole uilizzaa, e ricavaa ramie le regole di commuazioe i z P. Duque sommado e sfruado la proprieà di compleezza dell auobase si ha f i z i z i z z i ϕ P z i i ϕ ϕ. Commei ) ebbee la forza dell oscillaore della eoria classica e quella della eoria quaisica siao due quaià co due sigificai diversi (la prima è la frazioe di aomi che oscillao co ua cera frequeza propria, la secoda è l elemeo di marice di u operaore), godoo erambe della sessa proprieà. ) Da u cero puo di visa il fao che valga quesa proprieà el caso quaisico si può cosiderare come u evideza sperimeale della proprieà di commuazioe di z e.

10 - forza dell oscillaore - ) Poiché abbiamo uilizzao la proprieà di compleezza dell auobase dell Hamiloiaa imperurbaa del sisema (ad es. aomo di idrogeo), essa è composa ache da auoveori impropri (auosai dello spero coiuo). Duque la somma che compare è i realà i pare ua somma, i pare u iegrale. Larghezza di riga Dal erzo dei commei appea fai possimo rarre delle coclusioi sulla probabilià di rasizioe. Affiché la somma (che i pare è discrea e i pare è iegrale) che compare ella proprieà di ormalizzazioe della forza dell oscillaore quisica sia fiia, i ermii devoo adare a zero (i paricolare la pare coiua dello spero). D alra pare l espressioe della forza dell oscillaore coiee i se ache l espressioe dell elemeo di marice del dipolo elerico. E queso a sua vola è legao alla velocià di rasizioe (se si vuole cosiderare solo il ermie di dipolo elerico della perurbazioe, che è quello domiae). Ne cocludiamo che la velocià (probabilià) di rasizioe decresce abbasaza rapidamee a mao a mao che cosideriamo eergie sempre più ale. alre parole, a parià di eergia dell oda icidee, le righe dello spero di emissioe devoo diveare sempre più soili, fio a scomparire, al cresere dell eergia. Vie medie dei livelli ecciai Per ogi livello eergeico dell aomo è possibile defiire ua via media, cioè la probabilià per uià di empo che avvega u emissioe co frequeza pari alla frequza di Bohr della radizioe da quel livello eergeico al livello fodameale. Passado alle formule, prima di uo riscriviamo l espressioe della forza dell oscillaore i ermii o dell elemeo di marice di z, che per alro è ua direzioe arbiraria, ma i ermii del veore di posizioe P r : f m ω P r. A queso puo