TRASFORMATA DI FOURIER. A.1 Segnali analogici, deterministici ed aleatori. A p p e n d i c e A

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1 A p p e d i c e A RASFORMAA DI FOURIER Uo degli aspei più imporai di uo il seore dell igegeria è sicuramee l aalisi di segali el domiio del empo e della frequeza. I segali aalogici si disiguoo i segali deermiisici ed aleaori. A. Segali aalogici, deermiisici ed aleaori I segali aalogici, idicai co s(, rappreseao l adameo el empo di ua gradezza elerica. Come ad esempio può essere il segale vocale, i cui u oda rasversale di pressioe-velocià è coveria i ua esioe da u microfoo.oppure u segale immagie, che è bidimesioale, e defiio su di u piao aziché el empo, rappreseao da ua gradezza S(,y) che e idividua la lumiaza, e scadio per liee geerado u segale emporale. U segale può ache assumere valori complessi, i queso caso il segale assume coemporaeamee due diversi valori (pare reale e pare immagiaria, oppure modulo e fase). Esise ua sosaziale differeza ra segali deermiisici e aleaori. U esempio di segale cero può essere ua cosiusoide di cui sia oa sia l ampiezza che la fase, mere u segale aleaorio o è oo co esaezza prima che queso vega prodoo (ad esempio il rumore di u ruscello, o le oizie presei i u elegiorale). L isieme di ui i segali aleaori appareei ad ua medesima classe viee idicao el suo complesso processo aleaorio, ed u segale paricolare di queso isieme come ua sua realizzazioe.

2 A.. Rappreseazioe di segali aalogici Lo sudio delle proprieà dei segali si aricola prededo i cosiderazioe per gli sessi rappreseazioi aleraive, scele i modo da poer valuare più agevolmee le alerazioi subie dai segali el passaggio araverso sisemi fisici. I paricolare, sarà defiio lo sviluppo i serie di Fourier per la rappreseazioe dei segali periodici, e quidi lo rasformaa di Fourier che descrive ua classe più ampia di segali. L aalisi di Fourier cosee di defiire il coceo di bada occupaa da u segale, o ché di come la sua poeza e/o eergia si disribuisce i frequeza; ques ulimo adameo viee idicao co il ermie di Spero di Desià di Poeza (o di Eergia). A.. Rappreseazioe di processi aleaori Ache el caso i cui il segale o è oo a priori, e duque è impossibile calcolare la rasformaa di Fourier i forma chiusa, si può ugualmee giugere ad ua rappreseazioe che caraerizzi le realizzazioi del processo ei ermii della disribuzioe (saisica) i frequeza della poeza di segale. Ciò è possibile cosiderado la fuzioe di auocorrelazioe, che esprime il grado di ierdipedeza saisica ra i valori assui i isai diversi dalle realizzazioe del processo, e che cosiuisce u elemeo uificae ai fii della sima sperale dei segali. Esisoo processi molo correlai che soo caraerizzai da ua desià di poeza di ipo colorao, mere esisoo processi scarsamee correlai che soo ideificai da ua desià di poeza di ipo biaco 5. I ermii colorao e biaco hao origie da ua similiudie co l eergia lumiosa, per cui se la luce è biaca idica l idiscrimiaa preseza i egual misura di ue le frequeza; viceversa, come ua luce coloraa dipede dal prevalere di deermiae frequeze ella radiazioe eleromageica, così uo spero colorao idica la prevaleza di alcue frequeze su alre.

3 A..3 Caraerisiche dei segali Da u puo di visa aaliico, u segale è ua fuzioe del empo del ipo descrio ei paragrafi precedei, e per il quale si possoo operare le classificazioi; Segale di poeza U segale aalogico può avere u esesioe emporale limiaa, oppure si può immagiare che si eseda da meo ifiio a ifiio. Nel secodo caso il segale si dice di poeza se e esise (ed è diversa da zero) la media quadraica < Ps lim < s( U segale di poeza è iolre deo Segale periodico di periodo, el caso i cui si verifichi che s(s(+) per qualsiasi valore di, mere si dice Segale di eergia ue di duraa limiaa o illimiaa, se esise il valore < ε s s( <

4 Perché ciò avvega, occorre che s( eda a zero (per che ede ad ) più velocemee (od i modo uguale ) ad (e quidi s( eda a zero come ). I paricolare, se u segale ha duraa limiaa, ovvero è ullo per al di fuori di u iervallo [, ] (vedi figure i basso ), allora è ache di eergia. I fie, viee deo Segale impulsivo u segale di eergia, che ede a zero come (o più velocemee) : < s ( < E il caso delle fuzioi sommabili, per le quali s( ede a zero come (o più di) e duque di eergia., Come si è viso, u segale impulsivo è di eergia, u segale a duraa limiaa è impulsivo, e di eergia, u segale periodico o è di eergia, ma di poeza. Ecco alcui esempi di segali:

5 A. Serie di Fourier I queso paragrafo si defiisce lo sviluppo i serie di Fourier come rappreseazioe di segali periodici. U segale periodico ( è u segale di poeza, che assume ripeuamee gli sesi valori a disaza mulipla di u iervallo emporale deomiao periodo, ovvero ale che ( (+). L iverso di è deo frequeza fodameale F o prima armoica di (, espressa i Herz, dimesioalmee pari all iverso di u empo [sec - ]. Per i segali periodici esise ua forma di rappreseazioe basaa sulla coosceza di ua serie ifiia di coefficiei complessi { } deomiai coefficiei di Fourier, calcolabili a parire da u periodo del segale come

6 ( e jπf (A.) e che permeoo la ricosruzioe di (, soo forma di combiazioe lieare di ifiie fuzioi espoeziali complesse di Fourier : j F e π oa come serie jπf ( e (A.) L equazioe. è dea eq. di aalisi e permee di sabilire il coeuo i ermii di oscillazioe armoiche del segale (aalizzare il segale). L equazioe., viceversa, è ua equazioe di siesi che, oe le ampiezze e fasi delle varie armoiche (cioè oi i coefficiei di Fourier) permee di ricosruire, cioè sieizzare, il segale dao a parire dalle proprie compoei frequeziali (armoiche). Le equazioi di aalisi e di siesi permeoo duque di sabilire ua corrispodeza ra il segale ( e la sequeza cosiuia dai coefficiei delle serie (coefficiei di Fourier o di Eulero). Quesa corrispodeza idicaa: ( implica che la coosceza dell adameo del segale ( i ambio emporale è di fao equivalee alla coosceza della successioe dei coefficiei di Fourier i ambio frequeziale, el seso che il passaggio da u domiio all alro è immediao araverso le relazioi di aalisi (..) e di siesi (.). Le fuzioi della base di rappreseazioe j F e π soo fuzioi rigoomeriche a frequeza mulipla (-esima) della fodameale, dee ache armoiche -esime. I ermii e j πf soo chiamai compoei armoiche di ( a frequeza ff. Il coefficiee (

7 rappresea la compoee coiua (o valor medio) di (. La serie di Fourier dà valori esai i ui i pui i cui ( è coiuo, mere i corrispodeza di discoiuià di prima specie forisce u valore pari alla media dei valori agli esremi, cosicché il valore dell eergia di u periodo è preservao. I coefficiei di Fourier possoo essere calcolai ache per u segale di esesioe fiia. Airasformado il segale divea periodico. Se si poe Ff (co f variabile coiua)9, si possoo ierpreare le compoei armoiche come i valori campioai di ua fizioe (complessa) della frequeza: (F). (f) si chiama iviluppo dello spero di ampiezza di (, che si oiee esededo la defiizioe dei coefficiei di Fourier: ( f ) ( e jπf. Dao che i coefficiei soo valori complessi per rappresearli è coveiee racciare due grafici che predoo il ome di spero di ampiezza e spero di fase. Il primo illusra l adameo dell ampiezza (modulo) dei coefficiei, il secodo e illusra l adameo della fase, erambi i fuzioe dell ordie del coefficiee o del valore della -esima frequeza armoica F: M I ϕ arca R { } { } Spero di ampiezza Spero di fase jϕ essedo e R{ } + ji{ }

8 A.. Segali reali A... Simmeria Coiugaa I coefficiei della serie di Fourier possoo essere calcolai ache per segali complessi; el caso paricolare di ( reale i coefficiei di Fourier risulao godere delle proprieà di simmeria coiugaa, espressa come e che esprime la circosaza che i coefficiei co idice egaivo possiedoo ua pare reale uguale a quella dei coefficiei co (uguale ) idice posiivo, e pare immagiaria cambiaa di sego 6. Ciò compora ua proprieà aaloga per il modulo e la fase di { }, e duque si può scrivere: R { } { } R ( Reale ; I{ } I{ } arg{ } arg{ } ali relazioi evideziao che se ( è reale i coefficiei pari e fase dispari, ovvero pare reale pari e pare immagiari dispari.. risulao avere modulo La dimosrazioe di quesa proprieà si basa sul fao che, compoedo l espoeziale complesso che compare ella formula per il calcolo degli come e -jπf cos(πf-jsi(πf ed essedo ( reale, l iegrale sesso si suddivide i due, oguo relaivo al calcolo idipedee delle pare reale e quella immagiaria : ( cos(π F ) ( si(πf ). Essedo il coseo ua fuzioe pari, il primo iegrale forisce gli sessi risulai per cambiao di sego; il secodo iegrale ivece cambia di sego co, essedo il seo ua fuzioe dispari.

9 U corollario di queso risulao è che 7 se ( è reale pari, i coefficiei (pari), mere se ( è reale dispari, gli soo immagiari (dispari). soo reali A... Serie rigoomerica Nel caso i cui gli scriversi abbiao simmeria coiugaa, la formula di ricosruzioe può ( jπf jπf + { e + e } M + M cos(πf + ϕ ) 7 Co riferimeo alla scomposizioe del calcolo di alla oa precedee, oiamo che se ( è (reale) pari, allora I{ }, i quao ( si (πf è dispari, ed il suo iegrale eseso ad u R iervallo simmerico rispeo all origie è ullo. Se ivece ( è (reale) dispari, si oiee { }, per lo sesso moivo applicao al ermie (cos(πf.

10 ovvero i forma di serie di cosei; si oi che è ecessariamee reale, i quao la fase deve risulare ua uzioe dispari della frequeza. di scrivere: I modo simile, le proprieà relaive alle pari reale e immagiaria permeoo jπf jπf { ( R + ji ) e + ( R ji ) e } R + ( + {R cos(πf I si(πf )} i cui R M ( e R I ( cos(πf ( si(πf ) Perao, el caso i cui ( sia u segale reale, la serie di Fourier si riduce ad uo sviluppo i ermii di fuzioi rigoomeriche, ed i paricolare ad ua serie di soli cosei el caso i cui ( sia pari, oppure ua serie di soli sei, el caso i cui sia dispari. A.3 eorema di Parseval Sabilisce l equivaleza di due rappreseazioi del segale dal puo di visa eergeico. La poeza, ifai, è calcolabile i modo simile i erambi i domii del empo e ella frequeza, risulado

11 P ) ( lim Dimosrazioe: P ) ( ) ( ) ( ) ( lim F m j m m m mf j m F j e e e ) ( π π π + I R M ) ( A.3. Desià sperale di poeza per segali periodici Per u segale si defiisce la quaià eergia come: E ) ( (A.3.) I accordo a ale defiizioe, qualuque segale periodico ha eergia ifiia. Si defiisce iolre la quaià poeza media come: ) ( lim P (A.3.)

12 Nel caso di u segale periodico, la (.3.) viee riscria come: P ( (A.3.3) dove è acora il periodo del segale. A.4 rasformaa di Fourier per segali aperiodici empo coiuo Nei paragrafi precedei si è viso che lo sviluppo i serie di Fourier può essere applicao ad u segale limiao el empo, e che l uso della formula di ricosruzioe rede periodico il segale origiario. Se però facciamo edere all ifio il periodo fiizio su cui soo calcolai i coefficiei, le armoiche della serie di Fourier edoo ad ifiirsi, fio ad arrivare ad ua disaza ifiiesima; allo sesso empo, la periodicizzazioe del segale ricosruio ede via via a scomparire. La rasformaa di Fourier serve a rappreseare quei segali per i quali o sussise ua sruura periodica, ed è u operaore fuzioale che, applicao ad u segale defiio el domiio del empo, e idividua u alro el domiio della variabile

13 coiua frequeza (a differeza della serie discrea di Fourier, idoea el caso i cui siao presei solo armoiche della fodameale). L operazioe di rasformazioe è spesso idicaa co la simbologia (f) F{(}. La sua defiizioe dal puo di visa aaliico è: ( f ) ( e jπf la cui esiseza è garaia per segali ( impulsivi (ovvero per i quali ( < ), cioè assoluamee sommabili).u segale impulsivo è ache di eergia, mere o è sempre vero il viceversa. Spesso però, (f) esise ache per segali di eergia e può essere defiia ache per segali di poeza periodici. L airasformaa di Fourier F {} è l operaore aaliico che svolge l associazioe iversa. L operazioe di airasformazioe è defiia come ( ( f ) e j πf df e vale ovuque ( sia coiuo, mere elle discoiuià di prima specie forisce il valor medio di (. Il risulao della rasformaa ( f ) jϕ ( f ) M ( f ) e è ache deo spero di ampiezza complessa, mere M(f) ed ϕ(f) soo dei speri di modulo e fase. La formula di ricosruzioe se messa a cofroo co la serie di Fourier, può essere pesaa come ua somma iegrale di ifiie compoei j πf ( f ) e df di ampiezza

14 (complessa) ifiiesima, evideziado come ora siao presei ue le frequeze e o solo le armoiche. Ua secoda aalogia co al serie di Fourier deriva dal cosiderare u segale ( di duraa limiaa, e calcolare (f) F{(}. per f F. I al caso, è facile verificare che risula ( f F) co coefficiee di Fourier calcolao per ( su quello sesso periodo. pari all -esimo A.4. Desià di eergia Similmee al caso dei segali periodici, esise ua relazioe ra l eergia di u segale, e la disribuzioe della sessa el domiio della frequeza. Si defiisce prodoo scalare ra i segali di eergia ( e y( (deo ache eergia icrociaa) il valore ε y (, y) ( y ( che, el caso i cui (y(, coicide co l eergia ε di (. Se erambi ( e y( possiedoo rasformaa di Fourier possiamo scrivere : ε y jπf jπf [ ( f ) e df ] ( f )[ y ( e ] y ( df ℵ ( f ) Y ( f ) df

15 Il risulao ( y ( ℵ ( f ) Y ( f ) df cosiuisce il eorema di Parseval per segali di eergia, ed implica che le rasformae di segali orogoali, soo ach esse orogoali. Poedo ora (y(, si oiee : ε (, ) ( ( f ) df quidi ε ( f ) ( f ) è lo spero di desià di eergia di (. Ifai, l iegrale ( f f f ) df ε di (, limiaamee alla beda di frequeze comprese ra f ed f. A.5 rasformaa di Fourier per segali periodici empo discreo Nella eoria dei sisemi a empo discreo occorre elaborare segali che soo rappreseai da sequeze. Ua sequeza di umeri, i cui l -esimo umero della sequeza è idicao co (), è scria formalmee come {()}, -< < (A.5.)

16 ache se le sequeze o sempre provegoo dal campioameo di forme d oda aalogiche, si defiirà () il campioe -esimo della sequeza. I segali a empo discreo (sequeze) soo spesso rappreseai graficamee come i figura.5.. Figura.5. Rappreseazioe grafica di u segale a empo discreo La sequeza () è defiia solo per valori ieri di. Suppoiamo di avere ua sequeza periodica di periodo N, ossia () (+N) per ogi. La rappreseazioe i serie di Fourier per () è

17 ( ) N k k e jπk / N (A.5.) dove i coefficiei k soo calcolai come k N N k ( ) e jπk / N (A.5.3) L espressioe (.5.) viee coosciua come equazioe di siesi, la (A.5.3) come equazioe di aalisi (ovviamee savola el caso di segali periodici empo discreo). La differeza sosaziale ra u segale empo coiuo ed uo empo discreo sa elle compoei i frequeza: mere il primo può avere u iervallo illimiao di frequeze, il secodo possiede al massimo N compoei frequeziali, co N periodo del segale. Come per l aalogo empo coiuo, ache per u segale empo discreo è possibile defiire la poeza: N N P ( ) (A.5.4) E come el caso coiuo, la poeza può essere messa direamee i relazioe co i coefficiei di Fourier:

18 N N P ( ) k (A.5.5) N A.6 La rasformaa di Fourier per segali aperiodici empo discreo Come per il caso dei segali aperiodici empo coiuo, ache el caso dei segali aperiodici empo discreo l aalisi frequeziale passa dalla rasformaa del segale el domiio del empo. Per u segale empo discreo ad eergia fiia la rasformaa di Fourier è defiia come ( ) ω ] jω [ e (A.6.) Fisicamee ( ω ) rappresea la decomposizioe del segale di pareza [] elle sue compoei frequeziali. Ache i queso caso l equazioe che defiisce la rasformaa del segale emporale viee chiamaa equazioe di aalisi. L equazioe di siesi, derivaa dalla (A.6.), è: jω [ ] ( ω) e (A.6.) π π

19 Successivamee vedremo come l iroduzioe della rasformaa di Fourier per segali empo discreo risuli idispesabile per formulare alcui algorimi di aalisi frequeziale, oi come FF (Fas Fourier rasform).