LA TRASMISSIONE NUMERICA IN BANDA BASE

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1 Capiolo I LA RASMISSIONE NUMERICA IN BANDA BASE I. - Geeralià. Nella rasmissioe umerica biaria il messaggio iviao alla sorgee è cosiuio a ua sequeza oriaa i cifre:,,,.,, appareei all alfabeo biario i cui elemei si eoao co e. Se le cifre soo emesse alla sorgee co caeza regolare la rasmissioe si ice sicroa, alrimei è chiamaa asicroa. Nel caso i rasmissioi sicroe, el seguio cosierae, eo il perioo i cifra, la quaià: (I..) r cosiuisce il rimo biario (bi rae) e si misura i bi/sec. isurbi a v () r () â ˆ Coificaore Moulaore Caale Demoulaore Decoificaore Fig. I. - Schema i pricipio i u sisema i rasmissioe umerica i baa base. U sisema i rasmissioe umerica può essere schemaizzao come mosra la Fig. I.. I essa si isiguoo i seguei blocchi: a) u coificaore che rasforma la sequeza i cifre biarie el messaggio a, a, a, a, a, a, composo a elemei umerici, appareei a u alfabeo i imesioi fiie; b) u moulaore che, i corrispoeza alla sequeza a prouce u segale v() ; c) u caale i rasmissioe la cui uscia r( ) è, i geerale, ua replica poco feele el segale i igresso v() per effeo elle isorsioi, ei isurbi prooi al caale e elle ierfereze; ) u emoulaore il quale, a parire a r( ), forisce i uscia il messaggio a ˆ,ˆ a,ˆ a,ˆ a,ˆ,ˆ a a, i geere iverso a quello origiario; e) u ecoificaore che opera la rasformazioe iversa el coificaore foreo i uscia la sequeza ˆ, ˆ, ˆ, ˆ. ˆ, ˆ,

2 - - G. Mamola. Foamei i Comuicazioi Eleriche I. - Sruura el segale umerico. Nel caso i rasmissioi umeriche i baa base il segale v() all uscia el moulaore è cosiuio a ua sequeza i forme i segalazioe raslae el empo ella forma: (I..) v () sa ( ; ) ove s( a; ) è la forma i segalazioe, supposa i ipo passa-basso, associaa alla cifra a. Iolre si suppoe che le segalazioi s a siao cofiae ell iervallo [ ) ( ; ),. È ecessario precisare che i geerale la forma i segalazioe olre che alla cifra corree può ipeere a L cifre preceei a, a,, a L (coifica co memoria). I queso coeso si preoo i cosierazioe solo le coifiche prive i memoria. La quaià, i geerale iversa a, cosiuisce il perioo i cifra e il suo iverso: (I..) R rappresea la velocià i moulazioe e iiviua il umero i cifre rasmesse ell uià i empo. Ua paricolare forma i segalazioe è aa alla: (I..3) s( a ; ) a p( ) ove a rappresea u simbolo umerico appareee a u alfabeo i il cosieo impulso i segalazioe, supposo cofiao i M elemei e a p() [, ). U segale i queso ipo è eomiao segale PAM (Pulse Ampliue Moulaio) mulilivello o segale PAM M-ario. L espressioe el segale PAM è quii: (I..4) v () a p ( ) Nel caso i segale PAM biario si ha la seguee corrispoeza: a (I..5) a + meglio oa come coifica bipolare. Nel caso i segalazioe biaria si può aoperare la seguee corrispoeza (coifica uipolare): (I..6) a a U uleriore aleraiva è cosiuia al coice bipolare alerao efiio alla: a (I..7) a ± ove la scela el sego è faa impoeo che ella sequeza a le cifre + e si alerio. I al caso le cifre a apparegoo all alfabeo erario composo agli elemei {,,}. r queso moivo ques ulimo coice è eomiao ache coice pseuo-erario giacché i simboli + e assumoo lo sesso sigificao iformaivo. Si osservi che i queso caso la coifica ella cifra può essere effeuaa solo se si coosce il valore el simbolo corrispoee alla cifra preceee. U ale ipo i coifica cosiuisce u esempio i coifica co memoria a iffereza ei coici bipolare e uipolare che possoo essere classificai come coici privi i memoria o isaaei.

3 Cap. I La rasmissioe umerica i baa base - 3 Coice bipolare Coice uipolare coice bipolare alerao Fig I.3 Sruura el segale moulao per segalazioe PAM biaria. I Fig. I.3 è rappreseao il segale PAM biario v( ) i corrispoeza elle coifiche sopra preseae e el caso i cui l impulso i segalazioe sia u reagolo i uraa. I.3 La rivelazioe el segale umerico PAM. Il segale r () i uscia al caale, supposo ieale e privo i rumore, assume la forma: (I.3.) r () ap ( ) esseo il riaro i propagazioe. Nel geerico iervallo i simbolo [ ( + ) ) [, ), il segale ricevuo vale: (I.3.) r () ap ( ) + () (, + ] e ipee al valore ella cifra ( ) a iviaa al rasmeiore., se l impulso i segalazioe è cofiao i r proceere alla sima ella cifra rasmessa il riceviore campioa il segale ricevuo co ua velocià pari a. Il valore el segale leo al geerico isae + +τ, esseo u opporua quaià appareee all iervallo,, vale: τ [ ) (I.3.3) r ( ) ap( τ+ ) ( ) I quel che segue la preceee si scrive ella forma: (I.3.4) r α a+ ove si è poso r r( ), α p() τ, a a e ( ). È ovvio che i ipeeza ei valori assui al rumore si possoo commeere errori ella rivelazioe ei ai; asce perao spoaeo valuare le presazioi el riceviore i ermii ella probabilià i errore efiia alla: (I.3.5) P ˆ e Pr{ } ˆ che corrispoe alla circosaza che il e cioè alla probabilià che si verifichi l eveo { } simbolo rivelao ˆ risuli iverso a quello iviao alla sorgee.

4 - 4 - G. Mamola. Foamei i Comuicazioi Eleriche Se co a e a si eoao le cifre corrispoei ai simboli e rispeivamee, i asseza i rumore il campioe el segale ricevuo r assume i valori o αa così αa αa come è mosrao i Fig. I.4. I preseza el rumore, il λ r campioe r si ieifica co u geerico puo ell asse D D r. Ua ecisioe può essere presa iiviuao u Fig. I.4 Cosellazioe ei segali. valore i soglia λ e eciere a favore el simbolo ( ) se il valore el campioe ricevuo è iferiore (superiore) al valore ella soglia λ. Co riferimeo alla Fig. I.4 il crierio i ecisioe compora che ee D { r : r < λ} e D r r > λ le cosiee regioi i ecisioe, si pree la ecisioe a favore el simbolo : { } () sicroismo Caale + + r >λ ˆ Campioaore Decisore v () r () r ˆ r <λ Fig. I.5 - Schema i pricipio el riceviore. λ αa ( ) se r è coeuo i D ( D ). È ovvio che si ha D D e D D. Nel caso i rasmissioe PAM biaria, cosieraa i queso paragrafo, lo schema el riceviore si presea come è iicao i Fig. I.5. Il valore campioao el segale all isae, è cofroao co ua soglia λ e, secoo il sego ella quaià r λ, è presa ua ecisioe sul simbolo a rivelare. r efiire compleamee la sruura el riceviore occorre eermiare il valore ella soglia λ. Co riferimeo alla Fig. I.5, è eviee che la ecisioe sulla cifra è oeua secoo lo schema seguee: (I.3.6) se r >λ ˆ se r < λ ˆ I base alla (I.3.4) è facile ricooscere che: ) se è il simbolo rasmesso, si commee errore quao si verifica la coizioe: (I.3.7) r aα+ >λ ovvero quao è: (I.3.8) >λaα ) se è il simbolo rasmesso, si commee errore quao si verifica la coizioe: (I.3.9) r aα+ <λ ovvero quao è: (I.3.) < λaα Poiché gli evei { } e { } soo isgiui, se si suppogoo equiprobabili co Pr{ } Pr{ }, la probabilià i errore vale: (I.3.) P { } e Pr r >λ + Pr { r <λ } che, eeo coo elle (I.3.9) e (I.3.), ivea: (I.3.) P { } e Pr >λa α + Pr{ <λaα }

5 Cap. I La rasmissioe umerica i baa base - 5 Dea p () la esià i probabilià el primo orie associaa alla variabile aleaoria, la preceee può essere riscria come: (I.3.3) P a ( ) e ( ) p λ α + a p λ α ale quaià ipee al valore i soglia λ ; i cosegueza può eermiarsi il valore oimo λ i λ che ree miimo la impoeo la coizioe: (I.3.4) P e λ λλ che i base alla (I.3.3) equivale alla: p ( λaα ) (I.3.5) p ( λaα) Se il rumore () si suppoe sazioario, gaussiao a valor meio ullo e variaza σ, risula: (I.3.6) e la coizioe (I.3.5) à luogo alla: (I.3.7) p ( ) exp σ πσ a λ α eeo coo ella (I.3.7), la (I.3.3) vale: (I.3.8) + a α ( a a) σ σ α α ( a a) ( a a) e + e πσ πσ πσ che, ricorao l espressioe ella fuzioe Qx ( ): (I.3.9) assume la forma: (I.3.) u / Qx ( ) e u x π P α a σ a e Q Dall esame ella (I.3.) si euce che la probabilià i errore ipee al paramero αq(τ). Poiché la fuzioe Qx ( ) è ua fuzioe ecrescee el suo argomeo, si raggiuge ua coizioe oima quao si sceglie τ pari all isae i cui l impulso i segalazioe q() raggiuge il massimo. Nel caso i coifica uipolare, esseo a ; a, la (I.3.) ivea: (I.3.) Q α σ Ne caso i coifica bipolare, esseo a ; a, si oiee: (I.3.) Q α σ e σ I.4 - Il riceviore oimo. Come si euce alla (I.3.) la probabilià i errore i rivelazioe ipee, a parià i forma i segalazioe, alla quaià α araverso la fuzioe Qx ( ) efiia alla (I.3.9). σ Poiché la fuzioe Qx ( ) coclue che la massimizzazioe ella quaià è sreamee ecrescee all aumeare el suo argomeo, si α σ couce a u riceviore che forisce le

6 - 6 - G. Mamola. Foamei i Comuicazioi Eleriche migliori presazioi i ermii i probabilià i errore. Caale v () () + + r () sicroismo H( f ) Campioaore Decisore r λ r >λ ˆ ˆ r <λ Fig. I.6 - Sruura el riceviore oimo. Limiaosi a cosierare la classe ei riceviori la cui sruura è riporaa i Fig. I.6, compreee u filro i igresso, supposo lieare e empo ivariae, caraerizzao a ua risposa i frequeza uguale a H( f), il problema el riceviore oimo cosise el eermiare la forma H o ( f ) ella risposa i frequeza el filro che rea massima la quaià α (o che è lo sesso i α σ ( ) ) che corrispoe al rapporo fra il segale uile e la eviazioe σ saar el rumore all isae i campioameo: + +τ τ,,( + ). (I.4.) [ ) scelo ell iervallo [ ) Se Q( f ) eoa la rasformaa i Fourier ell impulso i segalazioe all igresso el filro è: (I.4.) ( ) Q( f) H( f) e j πτ f α q τ f D alra pare, se il rumore ( ) i igresso è sazioario, biaco (co esià sperale valor meio ullo, la variaza el rumore i uscia al filro vale: N (I.4.3) σ H ( f) f α La quaià ( ) allora iviee: σ (I.4.4) α ( ) γ σ jπfτ ( ) ( ) Q f H f e N H( f) f r eermiare il valore oimo i H( f) basa far riferimeo alla isuguagliaza i Schwarz secoo la quale se U( f) e V( f ) soo ue fuzioi complesse i variabile reale f, a quarao iegrabile i (I.4.5), si ha: ( ) *( ) ( ) ( ) U f V f f U f f V f f ove il sego i uguagliaza vale solo se è (I.4.6) U( f) V( f) e cioè se le ue fuzioi soo proporzioali. Poeo ella (I.4.5): f f (I.4.7) U( f) H( f) V( f) Q*( f) e π τ si oiee: (I.4.8) γ N Q( f) f γ o Ciò sigifica che al variare i H( f) la quaià γ o supera il limie γ o che cosiuisce perao il suo valore massimo. ale massimo si raggiuge quao è verificaa la coizioe (I.4.6) che, eeo coo elle posizioi fae, cosee i eurre l espressioe ella cara- f N ), a

7 Cap. I La rasmissioe umerica i baa base - 7 erisica el filro oimo: (I.4.9) j f Ho ( f) Q*( f) e π τ cui corrispoe la risposa impulsiva: (I.4.) h () Kq( τ ) o ipeee alla forma ell impulso i segalazioe. r queso moivo il filro i quesioe pree il ome i filro aaao. q() q( ) q( τ) τ τ Fig. I.7 Coizioi i causalià per il filro aaao. (I.4.4) La quaià γ o ivea: (I.4.) E γ o Q( f ) f q ( ) N N O N ove E rappresea l eergia ell impulso i segalazioe q(). Si oi ifie che o sempre il filro, efiio alla (I.4.) risula fisicamee realizzabile, giacché la fuzioe h o () può violare la coizioe i causalià espressa alla (I.4.) h () per < o uavia, se q () è u impulso i uraa, h o () risula fisicamee realizzabile solo se (v. Fig. I.7) è τ. I al caso h o () ivea: (I.4.3) h () ( ) o Kq Nel caso paricolare i cui q () sia u impulso reagolare limiao ell iervallo, la risposa o [, ), i alezza uiaria e uraa y( ) el filro aaao a u igresso x( ) è: y( ) x( λ) h ( λ) λ K x( λ) λ che, el geerico isae i campioameo ( + ) vale: (I.4.5) ( + ) y( ) K x( λ) λ sicroismo U ale filro può essere quii realizzao a u iegraore il quale è azzerao egli isai ( + ), proveiei al sicroismo geerao al riceviore, come è mosrao i Fig. I.8. Se q () ha ua forma iversa alla reagolare ma pur sempre limiaa ell iervallo [, ) il segale i uscia R + C RC Fig. I.8 Iegraore - azzeraore. al filro aaao, quao al suo igresso è applicao il segale x( ) e valuao all isae, vale: (I.4.6) o λ y ( ) x( λ) h( λ) λ x( λ) q( λ) Dalla (I.4.5) si euce che lo schema el riceviore oimo può assumere la sruura a correlaore riporaa i Fig. I.9, che compora le operazioi i prooo e successiva iegrazioe. Rispeo alla sruura a filro aaao lo schema a correlaore è più flessibile quao è ecessario variare la forma ell impulso i segalazioe; i al caso basa ifai geerare al

8 - 8 - G. Mamola. Foamei i Comuicazioi Eleriche riceviore la sequeza Σ q( ) seza over sosiuire il filro come el caso i riceviore a filro aaao. q ( ) correlaore () x Campioaore Decisore sicroismo λ r >λ ˆ r ˆ <λ Fig. I.9 Riceviore oimo a correlazioe. Rispeo alla sruura a filro aaao lo schema a correlaore è più flessibile quao è ecessario variare la forma ell impulso i segalazioe; i al caso basa ifai geerare al riceviore la sequeza Σ q( ) seza over sosiuire il filro come el caso i riceviore a filro aaao. eeo coo ella (I.4.) la probabilià i errore, aa alla (I.3.), ivea: E a a (I.4.7) Q N Nel caso i coifica bipolare (a ; a ), la (I.4.7) forisce: (I.4.8) E Q N Nel caso i coifica uipolare, esseo a a, si ha: (I.4.9) E Q N Al fie i paragoare i ue sisemi i segalazioe è opporuo irourre l eergia meia per simbolo E m efiia alla: (I.4.) Em E{ a} q () E{ a} che vale: E (I.4.) Em E E coifica bipolare coifica uipolare e quii la probabilià i errore P e, i ermii el rapporo (I.4.) E m N, ivea: E m Q N Em Q N coifica bipolare coifica uipolare I Fig. I. soo riporai gli aamei ella P e 4 6 Coifica bipolare Coifica uipolare probabilià i errore i fuzioe i E m N per i ue ipi i 8 coifica esamiai. A parià i E m N la probabilià i errore è miore el caso i coifica bipolare rispeo a E m / N [ B] Fig. I. - Probabilià i errore i fuzioe i E m / N.

9 Cap. I La rasmissioe umerica i baa base - 9 quella che si oiee co coifica uipolare; per oeere lo sesso valore i P e, ifai, la coifica bipolare compora ua riuzioe el rapporo ( log B ) e cioè 3 B. E m N i che espresso i B vale circa I.5 - Coifica PAM mulilivello. I.5. - Coifica i Gray. Nel caso i coifica mulilivello i simboli a possoo assumere valori appareei a u alfabeo composo a M elemei isii. Suppoeo che i simboli a siao isribuii simmericamee rispeo allo zero e che la isaza fra u livello e il successivo sia si ha: (I.5.) a ( M ),,, M La coifica mulilivello può essere usaa ella rasmissioe i ai biari. I al caso le cifre el messaggio soo raggruppae i blocchi i m elemei e a ogi cofigurazioe i cifre si fa corrispoere u valore a scelo fra (I.5.) M possibili secoo opporue regole all uopo sabilie. Così a esempio el caso i coifica a M 4 livelli, aoao lo schema i coifica riporao ella ab. I., il segale umerico assume la forma iicaa i Fig. I.. m abe lla I. a () v Fig. I. - Coifica mulilivello. Coici i queso ipo soo ei coici i Gray. Essi soo caraerizzai al fao che sequeze biarie corrispoei a ue livelli coigui ifferiscoo solo per u bi. Si oi che, co m 4 risula. Più i geerale è m e i cosegueza la velocià i moulazioe vale: (I.5.3) e risula iferiore al rimo biario r R log M log M r. È a osservare, però, che se i livelli a soo equiprobabili, l iformazioe meia associaa a ogi simbolo a è log M, cosicché la velocià iformazioe risula pari a I.5. - Probabilià i errore. R log M r come el caso ella rasmissioe biaria. Nel caso i coifica mulilivello è opporuo far isizioe fra la probabilià i errore per P Pr ˆ e la probabilià i errore per simbolo M -ario aa alla bi efiia alla eb { } P Pr{ aˆ a }. I geerale è complicao meere i relazioe le ue probabilià i errore; e

10 - - G. Mamola. Foamei i Comuicazioi Eleriche uavia se si aoa ua coifica i Gray e se si cosiera rascurabile la probabilià che si rilevi u livello o aiacee a quello rasmesso, la probabilià i errore per bi sarà allora aa alla (I.5.4) b m log M r valuare la probabilià i errore per simbolo basa ricorare che, ell ipoesi che il caale i rasmissioe sia ieale, il segale i igresso al emoulaore è: (I.5.5) r α a+ esseo, come prima, r e i valori ei campioi el segale ricevuo e el rumore ell isae i campioameo + +τ. L aeuazioe i caale α, come preceeemee, è pari a q (τ) e a eoa il geerico simbolo M -ario rasmesso. Segueo lo sesso crierio i ecisioe aoao per il caso biario, il riceviore ecie sul simbolo a rasmesso secoo il valore assuo al segale ricevuo α ( a + ) α( a ) α( a α ( a + ) M ) r. Se i livelli rasmessi soo αa r αa αa M equiprobabili le soglie i ecisioe D D D M hao valori iermei ra cifre Fig. I. Regioi i ecisioe. aiacei per cui la ecisioe sul livello a è presa: α( a ), α ( a + ) ; a) per i livelli iermei, se r è coeuo ell iervallo ( ] b) per i livelli ermiali, si ecie a favore el livello a se r cae i (, ( a ) ] el livello a se r è coeuo i [ α( ), + ). (v. Fig. I.). M am α + e a favore Deo allora D (,,, M ) il geerico iervallo i ecisioe è: (I.5.6) M Pr { r D a a} M i cui (I.5.7) Pr{ r D a a} Pr { r <α( a ); r >α ( a + ) a a} Pr{ r <α( a ) a a} + Pr{ r >α ( a + ) a a } Pr{ <α } + Pr{ >α} M r ( a ) a a r >α ( a + ) a a soo ove si è euo coo el fao che gli evei { <α } e { } isgiui. Iolre è: Pr{ r D a a} Pr{ r >α ( a + ) a a} Pr{ >α)} (I.5.8) Pr{ r D a a } Pr{ r <α( a ) a a } Pr{ <α)} M M M M Se il rumore () è u processo sazioario gaussiao a meia ulla e variaza σ si ha: α σ (I.5.9) Pr{ >α } Pr{ <α } e Q α πσ σ ove si è fao uso ella fuzioe Qx ( ) efiia alla (I.3.9). eeo coo elle (I.5.7) e (I.5.8), la (I.5.6) ivea (I.5.) M α Q M σ eeo coo ella (I.5.) la probabilià i errore per bi, aa alla (I.5.4), ivea: M α (I.5.) b Q M log M σ Come el caso biario la P eb ipee al rapporo α / σ cosicché il miimo i ale quai-

11 Cap. I La rasmissioe umerica i baa base - à si oiee i preseza i filro aaao. Suppoeo che il rumore irooo al caale sia biaco e co esià sperale pari a N, il miimo ella P eb è ao alla: P eb 3 4 M 5 5 N [ B] Fig. I.3 - Probabilià i errore per segali PAM mulilivello i fuzioe i / N. EM P eb i fuzioe i 4 8 E M 3 6 (I.5.) P eb M E Q M log M N Irouceo ache i queso caso l eergia meia per simbolo, efiia alla: M M (I.5.3) EM E{ a} E a E M E 3 i cui E eoa l eergia ell impulso i segalazioe i arrivo al caale. E / N per iversi valori i M. M I ermii ell eergia meia per simbolo la probabilià i errore per bi vale: M 6 E (I.5.4) b Q M log M M N I Fig. I.3 soo rappreseai gli aamei ella I.6 rasmissioe su caali reali. Nei casi reali il caale i rasmissioe irouce isorsioi e il segale è corroo a isurbi e ierfereze proveiei a alre rasmissioi; cosicché, suppoeo il caale lieare e empo ivariae e il rumore irooo i ipo aiivo, si può scrivere: (I.6.) r () aq ( ) + () i cui q ( ) eoa la risposa el caale all impulso i segalazioe p() e ( ) il rumore i uscia. Nella (I.6.) eoa il riaro irooo al caale, la velocià i moulazioe e a la sequeza umerica rasmessa i cui le cifre a apparegoo a u alfabeo a M imesioi. Suppoeo che il riceviore si avvalga i u perfeo sicroismo, il valore r i r( ) all isae + +τ si può porre ella forma: (I.6.) r a q() τ + a q[( ) +τ ] + ( ) ( ) Nella (I.6.) si isiguoo re ermii: - la quaià a q(τ) che cosiuisce il segale uile ao che essa è proporzioale al valore a el simbolo che si vuole rivelare; - la quaià aq [( ) +τ] che iee coo ella preseza i ui i simboli a ella se- queza rasmessa, ecceo il -esimo, e che perao cosiuisce la cosiea ierfereza iersimbolo (ISI IerSymbol Ierferece); (I.6.3) i aq [ +τ ] amqm+τ ( ) ( ) ( ) m m - la quaià ( ) che iee coo el rumore irooo al caale. Se l impulso i segalazioe p() si suppoe ullo per <, la coizioe i causalià imposa al caale compora che q() per < cosicché l ierfereza iersimbolo ive-

12 - - G. Mamola. Foamei i Comuicazioi Eleriche a [( ) ] ao che iee coo solao i ui gli elemei ella sequeza che aq +τ a preceoo quello i poso. Poiché il ermie i ( ) può rieersi iipeee al rumore aiivo ( ), il segale uile è allora corroo a u isurbo equivalee i ( ) + ( ) la cui poeza specifica è maggiore i quella el solo rumore ( ) ; ciò compora quii u icremeo ella probabilià i errore P e. I.7 - Coizioe i Nyquis. Allo scopo i migliorare le presazioi i u sisema i rasmissioe umerica i preseza i ISI è opporuo realizzare le coizioi che coseoo i aullare l ierfereza iersimbolo; suppoeo, per semplicià, che sia τ, ale coizioe può essere realizzaa solo se l impulso ricevuo q () sia ale a aversi: α m (I.7.) qm ( ) m Nel omiio ella frequeza le (I.7.) corrispooo alle: jπmf α (I.7.) qm ( ) Q( f) e f ove Q( f ) eoa la rasformaa i Fourier ell impulso q (). Poiché il ermie espoeziale che compare ella (I.7.) è ua fuzioe i f perioica i, m m perioo, coviee segmeare l iervallo i iegrazioe ell isieme umerabile i ier- valli coigui el ipo + i ampiezza. Si ha allora: + ( ) j πmf j π m f + qm ( ) Q( f) e f Q( f ) e f + (I.7.3) ove si è fao uso ella rasformazioe jπmf jπmf ( ) ( ) eq Q f + e f Q f e f f f e si è poso: (I.7.4) Q ( ) eq f Q( f + ) Poiché, come è facile ricooscere, la fuzioe Q eq ( f ) è ua fuzioe perioica i f co perioo (I.7.5) essa perao porà essere espasa ella seguee serie i Fourier: il cui geerico coefficiee C vale: (I.7.6) Qeq ( f) Ce jπf jπf C Q ( ) eq f e f che, eeo coo elle(i.7.) e (I.7.3), si riuce alla α (I.7.7) C Di cosegueza, per la (I.7.5), la Q eq ( f ) ivea, (I.7.8) Q( f ) + α che cosiuisce la cosiea coizioe i Nyquis. Se il caale i rasmissioe si suppoe a baa limiaa, la fuzioe Q( f ) eve essere ale a aversi:

13 Cap. I La rasmissioe umerica i baa base - 3 (I.7.9) Q( f) per f > B esseo B l ampiezza i baa el caale. Di cosegueza, come si rileva alla (I.7.8) la possibilià i aullameo ell ierfereza iersimbolo ipee ai valori ella baa B el caale e alla velocià i moulazioe R. Qf+ ( Q(f ) ) Qf ( ) a) B B f Qf+ ( Q(f ) ) Qf B B f Fig. I.7 - Coizioi per l aullameo ell ierfereza iersimbolo ( ) b) Si euce ifai alla Fig. I.7,a) che se risula o può essere soisfaa. Se è: (I.7.) è possibile reere Q eq ( f ) aversi: > B la coizioe (I.7.8) B cosae a pao i sagomare la forma i Q( f ) i moo ale a ( ) ( ) ( ) ( ) Q f + + Q f α f (I.7.) Q f + Q f α f Poeo f ϕ ella prima elle (I.7.) e f ϕ+ ella secoa, le preceei si riucoo alle (scriveo f al poso i ϕ ): (I.7.) * Q( + f ) + Q ( f ) Q( + f ) + Q ( f ) α ( f ) che cosiuisce la cosiea coizioe i simmeria vesigiale. Deoao co ϑ ( f ) l argomeo ella Q( f ), alla preceee si oiee: ( ) ( ) ( ) ( ) j ϑ + f j ϑ (I.7.3) Q + f e + Q f e f α che è soisfaa quao è: (I.7.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ϑ + f ϑ f π Q + f + Q f α I coclusioe se ra i valori i B e sussise la isuguagliaza (I.7.) è possibile rasmeere su caali a baa limiaa i asseza i ierfereza iersimbolo; occorre i al caso iserire all uscia el caale u filro opporuo eo filro equalizzaore ale che

14 - 4 - G. Mamola. Foamei i Comuicazioi Eleriche l impulso i segalazioe q (), i uscia alla cascaa caale-filro equalizzaore, soisfi le coizioi (I.7.8). Normalmee le coizioi (I.7.8) soo oeue sagomao Q( f ) secoo la forma ea a coseo rialzao: α π β (I.7.5) Q( f) αcos f β Qf ( ) α,8,6,4, 8 4 β,,4,6,8 f Fig. I.9 - Caraerisiche a coseo rialzao a parià i baa. β f β + β f +β f i cui la quaià β che compare ella (I.7.5), oa come coefficiee i roll-off, può assumere valori compresi fra q () α Qf ( ) α 8 4,8,6 β,4,,5,5 f Fig. I.8 - Caraerisiche a coseo rialzao per iversi valori i β. e. Q( f) I Fig. I.8 soo riporai gli aamei i per alcui valori i β. La baa el segale Q( f ) è i al caso pari a B. r β la (I.7.5) si riuce a u reagolo co α +β B mere per β, la baa B vale. Se si riguarao ali caraerisiche maeeo cosae la baa B el segale si oegoo le curve i Fig. I.9 i cui il paramero i roll-off misura lo scosameo i a B. (I.7.6) e soo rappreseai i Fig. I. alla quale si euce ifie che al eere i all ifiio la q () va a zero secoo la legge π. Da ciò β cosegue che u icerezza sul sicroismo iuce u ierfereza che è ao limiaa quao maggiore è il paramero β. r β, l ierfereza Dalla Fig. I.9 si rileva allora che è possibile rasmeere u segale umerico i moo a aullare l ierfereza iersimbolo fiché si ha B. La massima velocià i rasmissioe si oiee co caraerisiche i forma reagolare e risula R B. Nel omiio el empo, gli impulsi a coseo rialzao assumoo la forma: πβ cos q () α sic ( ) β 8 β 3 Fig. I. - Impulsi q() corrispoei a caraerisiche a coseo rialzao. può assumere valori iacceabili. La segalazioe co impulsi q () sagomai secoo la fuzioe sic cosee perao la massima velocià i rasmissioe, ma è paricolarmee criica riguaro a possibili errori ella ricosruzioe el sicroismo.