Lezione 6 Modelli di Regressione Non Lineare In questo capitolo si considerano modelli econometrici non lineari del tipo. y t

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1 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare Lezioe 6 Moelli i Regressioe No Lieare I queso caiolo si cosierao moelli ecoomerici o lieari el io y = f( x, ) + u co E( u x ) = ; quii si sa assumeo che la variabile ecoomica y abbia ua ieeza causale alla variabile k esogea (veoriale), ua ieeza o lieare al aramero o oo R e che l`errore x sia aiivo. Per alleggerire le oazioi si referisce o evieziare esliciamee el moello la ieeza a x, e allora esso si scrive ella forma y = x( ) + u, co E( u Ω ) = er =,, e x Ω, ove Ω eoa il comlesso i iformazioi isoibili all`isae che ifluezao (o solo al uo i visa fuzioale). Si osservi ifie che qui o sussise come ei moelli lieari, ove si ha f ( x, ) = x, l uguagliaza ra la imesioe el veore x (che come si uo` oare o e` saa esliciaa) e la imesioe k i. ( ) Alcui esemi: y Moello o lieare ricoucibile a uo lieare: Si cosiera il moello ecoomico y = α x x (eomiao moello i Cobb-Douglas, uilizzao er meere i relazioe la rouzioe co i faori rouivi caiale e lavoro). Osservao che le variabili assumoo valori osiivi, o è resriivo assumere che ache α e` osiivo e allora il moello si uò scrivere ella forma log( ) = log( ) + log( ) + log( ), y α x x che è evieemee lieare ei arameri log( α ),,. Se soo isoibili osservazioi sulle variabili, l irouzioe i u errore aiivo u ell ulimo moello, à origie a u moello ecoomerico i regressioe lieare. Si oi che la reseza ell errore aiivo u ell ulimo moello, equivale alla reseza i u errore molilicaivo v u = e el moello origiario. Semlici cosierazioi i caraere ecoomico reoo ragioevole la reseza i u ale io i errore. Moello roriamee o lieare: Si cosiera u moello lieare y = x +, u Forme iu geerali i moelli o lieari si reseao ella forma my (, x, ) = u. Per ua semlice irouzioe al meoo i sima GMM (Meoo geeralizzao ei momei) uilizzabile er quesi (e alri) moelli, vei il aragrafo 6 el caiolo 5 el volume A Guie o Moer Ecoomerics i Verbeek, ove è resee ache ua ieressae alicazioe.

2 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare co gli errori auocorrelai; iù recisamee si assume che essi hao la seguee semlice sruura = ρ + ε co { ε } ii...(, σ ) e ρ <. ( ) u u Ora ricavao u alla rima equazioe e sosiueo ella secoa si ha: = ρ + ρ + x x ε, co { } y y ε ii...(, σ ) e ρ <, che è u moello o lieare. Si oi che ques ulimo è u moello iamico (er la reseza i ra le variabili iieei) co gli errori che soo iovazioi (cioe` ii...(, σ )). y Osservazioe sul meoo i sima ei momei: Si ralascia i escrivere il meoo er i moelli o lieari qui cosierai; si segala solao che er avviare la roceura i sima soo ecessarie (almeo) k variabili o correlae co u. Per varie ragioi, qui o iicae, o è ooruo uilizzare le variabili x (e o er la ossibile isarià ra il loro umero e quello ei arameri, che i realà` o cosiuisce u roblema). Ache x ( ) X ( ) =, che o e` correlao co u (i ( k ) quao fuzioe i x co E( u x ) = ), o è ireamee uilizzabile er avviare la roceura i sima, i quao er esso, esseo o oo, o soo isoibili le osservazioi; ero` ques`ulimo osacolo uo` essere rimosso co qualche semlice accorgimeo. Si oi che el caso lieare si ha [ x ] X ( ) = = x e allora l icoveiee ora segalao o si resea. Il meoo (i sima) ei Miimi Quarai er i moelli o lieari Si cosiera la fuzioe obieivo Q ( ) = ( y x ( )) =. Defiizioe: Il uo i miimo ella fuzioe Q ( ), se esise, icesi simaore ei miimi quarai o lieare () i e si eoa co il simbolo (o ache se o c è ossibilià i equivoco). Osservazioe: i) Se le variabili soo sreamee esogee (el seso che il loro valore all isae è eermiao all esero el x moello) allora il meoo ei miimi quarai oriari forisce ua buoa sima (cioè cosisee e si uò rovare ache asioicamee ormale) i sebbee o efficiee; se ivece ra le x c è qualche riaro ella variabile ieee, allora evieemee la sima OLS i o è cosisee. ii) L ioesi qui faa sugli errori è abbasaza realisica. Per esemio el caso i cui l errore all isae ha ue comoei: l iovazioe ε e ρu (l effeo resiuale ell errore all isae ) co < ρ < o equivaleemee quao gli effei elle iovazioi si segoo geomericamee e quii er l errore si ha u = ε + ρε + ρ ε +, rareseazioe che si imosra essere equivalee a u = ρu + ε u

3 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare Osservazioe: Lo simaore (se esise) è soluzioe ell equazioe o lieare Q ( ) = ( )( y x( )) = X ; = ( k ) ( k ) Per geeralmee o e` isoibile ua rareseazioe aaliica eslicia, ma er le alicazioi servoo solao le sue rorieà e il suo valore el camioe a isosizioe; Le coizioi che assicurao l esiseza i (er sufficieemee grae) si icoo coizioi i ieificabilià (fiie). Prorieà ello simaore : Proosizioe (Cosiseza i ): Si eoa co il valore vero (ma o oo) el aramero e si assume che: i) esise (er sufficieemee grae) (e uque che il moello e` ieificabile al fiio). ii) Per (alue) fuzioi i ( y, x ) vale la legge ei grai umeri (er esemio se il rocesso {, } y x è sazioario e ergoico oure è cosiuio a v.a. iieei co oorue resrizioi sui momei); iii) Il moello e` asioicamee ieificabile, cioe` oso α( ) = lim X ( )( y x( )) = (il limie esise er la receee ioesi) è l uica soluzioe ell`equazioe α ( ) =. ( 3) Allora lo simaore e` cosisee (cioe` ). U ceo ella imosrazioe (che uo` essere omessa): Si rova arima che (la rova qui o e` rioraa). D`alra are, esseo ( )( ( X y x )) =, assao al = limie er, si ha α ( ) =, oe er l`ioesi i asioica ieificabilia` el moello segue che = e quii l`assero. 3 Nel caso i moelli lieari l asioica ieificabilià imlica l ieificabilià (fiia), imlicazioe o vera el caso i moelli o lieari. 3

4 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare Proosizioe (Asioica ormalià e sima ella variaza asioica): I aggiua alle receei ioesi i), ii), iii) si assume che iv) quao ecessario valga qualche versioe el eorema el limie cerale (er esemio se il rocesso {, } y x olre a essere sazioario e ergoico si ha E( u x, x,, u, ) oure è cosiuio a v.a. iieei co oorue resrizioi sui momei); = Σ = lim X ( ) X( ) v) la marice ( ) x = è iveribile (si oi che quao i rocessi soo sazioari si ha Σ = E X ( ) ( X ) x ). Dimosrazioe: Dalla formula i Taylor i uo iiziale aareee al segmeo cogiugee e ) er la fuzioe Q ( ), si ha (er u Q Q Q = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k ) ; ora Q ( ) ( /) = X ( ) u (, u ) N Σ x co = Σ u lim u X x = ( ) X( ) = ; (el caso i rocessi sazioari è Σu = E ux ( ) X( ) x ); Q ( ) = = (/ ) [ X ( )( y x( )) ] e quii si ha: Osservazioe: = = X ( ) = + + Σ - Avar( ) Σx ΣuxΣx ; ( y x ( )) X ( ) X( ) = = x Q ( ) ( ) Q ( ) = N(,Avar( )) co = - Avar( ) X ( ) ( ) ( ) ( ) ( X u X X X ) X( = ). = = = Avar( ) coverge i robabilià verso Avar( ) e icesi simaore i Whie ella variaza (i reseza i eeroscheasicia`). Per la rova ella covergeza si usao gli sessi argomei 4

5 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare uilizzai er rovare la cosiseza ello simaore i Whie er la variaza ello simaore OLS. Sima i Avar( ) quao gli errori soo omoscheasici ( E( Ω ) = σ ): I queso caso si u ha Σ ux = σ Σ x, e allora co s = u (o ache s = Avar( ) Σ e = σ x Avar( ) s X ( ) X( = ) = = u che sesso è referio). k = Ci soo casi i cui ache i reseza i auocorrelazioe egli errori si uo` uilizzare il eorema el limie cerale, i al caso Newey e Wes hao cosruio lo simaore cosisee ella variaza asioica ello simaore (iicao i eviews co la sigla HAC). E` imorae oare che la reseza i auocorrelazioe egli errori esclue la ossibilia` che ra le variabili iieei ci ossa essere qualche riaro i esseziale er la rova ella cosiseza ello simaore). y (ifai si ererebbe l`ioesi che E( u x ) = La Regressioe i Gauss-Newo Le roceure umeriche uilizzae er miimizzare la fuzioe obieivo Q( ) = y x ( ) = ( ) hao, come si ora` cosaare, ieressai cosegueze su quesioi iù roriamee saisiche. Nell aeice si escrive brevemee il be oo Meoo i Newo (accomagao a qualche commeo) al solo fie i irourre le oazioi che soo uilizzae qui i seguio. Si oe Q( ) g( ) = = X( )( y x( )), ( k ) = Q( ) X ( ) ( ) = = ( y x( )) ( ) ( ) ( k k) X X = H Imorai cosierazioi (a i a vii):. i) Al fie i cosruire la sequeza miimizzae i (e uque ua successioe ( ) che coverge a ), si osserva che è ossibile uilizzare il meoo Quasi-Newo uilizzao la marice D( ) = X ( ) X( ) (che è ceramee efiia osiiva se è o sigolare), i quao = 5

6 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare l alro aeo i H( ) er = coverge i robabilià a er. ii) Cosruzioe ella sequeza miimizzae: Fissao, che erò o è oo) si ha (er ogi ): (se ossibile o molo isae a ( ) ( + = D g = X ( ) X( ) ( )( y x( )) X = = = + X ( ) X( ) ( )( y x( )) X = = = + b co b = ( ) ( ) ( )( y x( )) = X X X =, iii) Imorae: Dall esame ella rareseazioe i b (l aeo che aggiora la roceura er ricorreza) si vee immeiaamee che esso o è alro che la sima OLS el aramero b el moello i regressioe lieare () ( y x ( )) = X ( ) b + resi, er =,, e uque b = b el receee moello. OLS iv) Defiizioe: Il moello i regressioe () icesi Moello (ausiliario) i regressioe i Gauss-Newo. (I esso y x ( ) è la variabile ieee e X ( ) è il veore riga elle k variabili iieei; er ali variabili soo isoibili ). osservazioi quao e` oo il valore i v) La sima el moello i regressioe lieare i Gauss-Newo er = ( = ): Esseo er efiizioe ( )( ( X y x )) =, = cosierao il moello i regressioe lieare i Gauss-Newo i meoo OLS forisce le sime b =... = e Avar( b ) = = Avar( ). ( y x ( )) = X ( ) b + resi, il Osservazioe (uo` essere omessa): Se si sima il moello i Gauss-Newo uilizzao u alro simaore cosisee i allora, esseo lim X ( )( y x( )) = segue il receee = 6

7 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare risulao co la seguee oco sigificaiva moifica: b e Avar( b ) = = Avar( ). vi) Quao si ierrome la roceura ieraiva (iciamo al asso ), si ha ( + = + b ), allora se si effeua u alro asso, al receee uo v) segue che la sima ella variaza asioica i + b è la sima ella variaza asioica i. vii) Se gli errori soo omoscheasici si rova che lo simaore è asioicamee efficiee (el seso che ha la miore variaza asioica) i ua classe i simaori cosruii co il meoo ei momei. Si rova iolre che se si avvia la roceura ieraiva co uo simaore cosisee (o efficiee), al rimo asso si oiee uo simaore asioicamee efficiee eomiao simaore efficiee a u asso (o lo simaore ). Ques ulimo risulao ha solao u ieresse eorico; er iiviuare i valori umerici elle sime si uilizzao semre iu` ierazioi. E assegao il moello o lieare co le usuali ioesi sui rocessi { y, x } e { u } Tes sulle ioesi i moelli o lieari y = x(, ) + u,, che assicurio l`esiseza ello simaore e la sua asioica ormalia`, e si cosieri l ioesi H : = (o c è alcua ifficolà aggiuiva el cosierare ioesi iù geerali) che ora` essere scria el moo seguee H : y = x(, ) + u (Moello R) H: y = x(, ) + u (Moello U ). Si escrivoo re es i quali ur o esseo ieici er camioi fiii soo asioicamee equivalei (i u seso che erò arebbe recisao e che comuque coivolge la robabilià i errore i secoo io). Tes i Wal (i queso caso iervegoo solao le iformazioi riguarai il moello o-risreo U): Sia la sima i el moello U e var( ) la sima ella sua variaza. La saisica i Wal er l ioesi H è ( ) ( W var( ) Avar( ) ) = = e co gli usuali argomei si rova che (semre ell ioesi ) si ha H 7

8 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare. W χ k Ques`ulima rorieà cosee i cosruire u es co valiià asioica sull ioesi assegaa. Tes LR (el raoro ella verosimigliaza) ( 4 ) : I queso caso er eviare comlicazioi si assume che gli errori soo omoscheasici ( E( x ) = σ ) o iù semlicemee { u} ii σ.. (, )). Si cosiera la saisica u F ( ) ( ( RSSR USSR)/ k Q Q ) / k = = USSR /( k) USSR /( k) R U e si rova che ell ioesi H si ha kf χ k, risulao che cosee i cosruire u es (asioico) sull ioesi. Tes LM (uilizza il moello i regressioe i Gauss-Newo e solao le iformazioi riguarai il moello rioo): Ache i queso caso si assume che gli errori soo omoscheasici ( E( x ) = σ ), Il moello i regressioe i Gauss Newo er il moello U ha la u seguee rareseazioe y x (, ) = X (, ) b + X (, ) b + resi. Per cosruire la sima efficiee a u asso è richiesa ua sima cosisee (i quao ell ioesi si ha (, )= ) e quesa uò essere cosruia co il moello U oure co il moello R (quesa secoa ozioe sesso è iù coveiee). Il moello i Gauss- Newo ivea allora H e iolre e` eviee la seguee equivaleza: y x (, ) = X (, b ) + X (, b ) + resi H : = H : b =. Per ques ulima ioesi u es si cosruisce immeiaamee esseo il moello lieare. 4 La ermiologia qui uilizzaa eriva al fao che, el caso i cui gli errori soo i...(, σ ), il es cosruio co la saisca raoro elle fuzioi i verosimigliaza e` equivalee all` F -es. Ifai si ha: / LR RSSR RSSR RSSR k log = log log( ( )) L USSR = + USSR USSR = F. U E` er quesa ragioe che ell`ouu i eviews aare il aramero Log likelihoo. 8

9 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare Esercizio ) Sima i u moello lieare co errori auocorrelai: E assegao il moello lieare Moello : y = x + u = ρ + ε u u co ε ii...(, σ ), < ρ < e =,,,. co errori auocorrelai e co le usuali ioesi sul rocesso { y, x } ergoico) ( 5 ). Esso ha le seguei rareseazioi equivalei: Moello : = + x x + co ε y ρ y ρ ε ii...(, σ ), (er esemio sazioario e < ρ < e =,,, ; ) ) Si uilizza la rima equazioe el moello er rareseare (e quii sosiuisce ella secoa equazioe. ) ) Si oe u = y x e allora.. u u ) e si Moello 3 (risreo): y = ρ y + x + x γ + γ = ρ La sua equivaleza co il moello è eviee. ε co ε ii...(, σ ), < ρ < e =,,,. Noa: Il moelli 3 o risreo cosee i cosruire simaori asioicamee ormali er i arameri ρ e, ma ale simaori o soo correi i quao le variabili iieei o soo sreamee esogee ( y come variabile iieee è correlaa co ε soo eure asioicamee efficiei. ) e reveibilmee o Ua roceura er la cosruzioe i ua sima asioicamee efficiee ei arameri: Sima el moello co il meoo - Il moello è u moello o lieare, che er comoia` e` scrio ella forma: y = x( ρ, ) + ε x( ρ, ) = ρy + x ρx. Il corrisoee moello (ausiliario) i regressioe i Gauss-Newo co arameri ( r, b) è x( ρ, ) x( ρ, ) y x( ρ, ) = r+ b + resi ρ x( ρ, ) x( ρ, ) che, o aea si osserva che = x e = x ρx ρ y,, ivea ( ) 5 Se ra le variabili iieei o ci soo variabili ieei riarae, elle usuali ioesi su {, } OLS i è evieemee cosisee e asioicamee ormale ma reveibilmee o efficiee. 9 y x la sima

10 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare y x ρ y + ρx = ( y x ) r + ( x ρx ) b + resi. La roceura ricorsiva er la cosruzioe i ρ e : La sequeza miimizzae (ella sima ) è cosruia fissao arbirariamee ρ e ρ (ma come è be oo, la roceura è ao iù veloce quao iù i valori iiziali fissai soo vicii ai valori veri) e cosierao la roceura ieraiva ρ = ρ + + r e = + b. + Osservazioe: Se ella receee roceura si cosiera ρ = OLS ρ e =, oeue al moello 3 o risreo allora ρ = ρ + e = + b soo le sime efficiei a u asso. Come r receeemee segalao quese sime hao ricialmee u ieresse eorico. La sima ella variaza asioica si oiee uilizzao acora ua vola la regressioe i Gauss- Newo (vei il uo (v) ella receee roosizioe). OLS ) Cosruzioe i u es er l`asseza i auocorrelazioe egli errori i u moello lieare coro la reseza i auocorrelazioe el rim`orie (ell ioesi i omoscheasicià coizioaa er gli errori). ε Si uo` rovare che o e` resriivo assumere che er gli errori si ha u = ρu + ε e ii...(, σ ) e esare l`ioesi : H ρ =. Si uilizza il es LM (er ua iu` eagliaa escrizioe vei a ag.8 sora). Iao si osserva che ell ioesi H ua sima cosisee i (, ρ) è (,), esseo la sima OLS el moello lieare y = x + u, allora il moello GNR i (,) e` e l ioesi aa e` equivalee a ( y x ) = xb + ( y x ) r + resi( u = xb + u r + resi) H : r = er ques`ulimo moello lieare, er la cui verifica soo uilizzabili le roceure saar (er esemio il es i Wal isoibile i qualuque sofware). Osservazioe: Sulla cosruzioe el es. Iao, esseo û orogoale a X, ella regressioe el moello risreo u = xb + resi si ha RESS = e quii TSS = RSSR. Allora er la saisica LR (che coverge i isribuzioe verso ua χ ) si ha: ( F ) [ RSSR USSR] [ TSSR USSR] LR = = = USSR / k USSR / k.

11 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare D`alra are ella receee rareseazioe USSR / k e` ua sima cosisee ella variaza cosruia co i resiui el moello o risreo. La variaza e` simaa i moo cosisee ache a = u TSS = e allora ache la saisica [ TSSR USSR] R isribuzioe verso ua χ (e` asioicamee equivalee alla saisica cosruire u es sull`ioesi aa. = coverge i TSS / LR ) e cosee i Per cocluere e` uile oare che R e` il coefficiee i eermiazioe o cerao el moello o risreo, ma el caso i cui ra le variabili iieei = u = oe R c x e` resee allora R che e` resee ell`ouu ella regressioe el moello o risreo. Il es i Breusch-Gofrey: Le receei cosierazioi si geeralizzao facilmee er cosruire u es sull`asseza i auocorrelazioe egli errori (i u moello lieare co errori omoscheasici) coro l`ioesi che ci sia (almeo) u coefficiee i auocorrelazioe ullo er i =,,, co fissao. ρ i o Iaziuo si segala che (si uo imosrare che) o e` resriivo assumere che gli errori abbiao ua sruura el io u = αu + + αu + ε co ε ii...(, σ ) e allora l`ioesi ivea Cosruzioe el es: { H : α = = α =, H :( α,, α ). Passo Si sima co il meoo OLS il moello y = x + u e si cosiera il rocesso ei resiui { u } ; Passo Si cosiera il moello ausiliario u = x + α u + + α u + resi e si cosiera la saisica R ( R coicie co R c se il moello ha l`iercea e i al caso e` resee ell`ouu ella regressioe el moello ausiliario); Passo 3 Si rifiua l`ioesi H a livello i sigificaivià α se R > χ., α Aeice Il meoo i Newo k Sia Q( ) ua fuzioe a valori reali efiia i u soisieme i e u uo (el uo R arbirario) el suo omiio i efiizioe. ) Il oliomio i Taylor el seco orie i Q( ) i uo iiziale :

12 6-Ecoomeria, a.a. -. Regressioe o lieare ove si è oso g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q = Q + g + H Q( ) = (veore riga; eomiao ache veore graiee i Q( ) i ); H Q( ) = (marice quaraa i orie k ; eomiaa ache marice hessiaa i Q( ) i ). ) Se la marice è efiia osiiva, la fuzioe Q ( ) ha u uico uo i miimo che H soisfa la coizioe el rim orie la cui (uica) soluzioe è evieemee = g + H ( ), = H g. 3) Cosruzioe er ricorreza ella successioe esremae (ui i miimo i fuzioi ausiliarie e caiai a covergere verso l eveuale uo i miimo) er la fuzioe Q( ) : {, = H g er. I quese lezioi sarà uilizzao il uo iv) ella seguee roosizioe, i cui soo segalae alcue rorieà, seza imosrazioe,ella successioe esremae ora cosruia. Proosizioe: i) Se la fuzioe Q( ) è quaraica (e auralmee ha u solo miimo) allora al rimo asso si oiee il uo i miimo (e quii è il uo i miimo); ii) Se la fuzioe Q( ) è arossimaivamee quaraica (er esemio somma i fuzioi quaraiche) allora la covergeza ella roceura ricorsiva verso il uo i miimo (esisee) è raia. iii) Se la fuzioe Q( ) è (globalmee) covessa esise u uico uo i miimo e la successioe esremae coverge verso esso (e quii è ua successioe miimizzae). iv) Se la fuzioe Q( ) o è globalmee covessa, ur avviao la roceura co vicio al uo i miimo (suoso esisee), uò accaere che qualcua elle marici Hessiae H sia o efiia osiiva e allora la roceura er ricorreza si uò bloccare oure la successioe uò alloaarsi al uo i miimo. Per orre rimeio a ale icoveiee, si sosiuisce, ella cosruzioe ella sequeza, la marice H co ua sua buoa arossimazioe D che erò sia efiia osiiva. Tale roceura è eomiaa meoo quasi-newo.

13 6-Ecoomeria, a.a. - Comlemei La saisica i Box-Pierce e i Lug-Box e il es i Durbi-Waso U roblema i aricolare ieresse i ecoomeria è quello i esare l ioesi i iieeza (o iù i geerale l asseza i auocorrelazioe) i u rocesso sazioario o ache quello i rilevare la reseza i auocorrelazioe egli errori i u moello i regressioe che sesso e` u segale i o correa secificazioe ( ). Ua risosa a queso secoo roblema e` saa già aa al ermie el caiolo 6 co la cosruzioe el es i Breusch-Gofrey rooso searaamee ai ue auori el 978, il quale è valio i coesi sufficieemee geerali. Alcue serie ecoomiche sulle quali sesso si fa l ioesi i asseza i auoccorrelazioe: ) Per molo emo (e acora oggi i varie quesioi eoriche) si è assuo che i reimei (i u iolo, i u mercao, ) soo iieei (ioesi che er la verià si è rivelaa er ulla ragioevole). ) Hall formulò l ioesi che il rocesso ei cosumi aggregai { c } è ua marigala (cioè che la migliore revisioe sui cosumi all isae siao i cosumi all isae c } rocesso { c sia ua iffereza marigala. ) e uque che il Qui si cosruisce u es sull ioesi (ulla) che u rocesso sazioario (co qualche rorieà che sara` recisaa i seguio) sia o auocorrelao. A al fie si remee la seguee: ε Proosizioe Sia { } ua iffereza marigala sreamee sazioaria, ergoica e ale che e E( ε ε, ε,, ε) = σ (ioesi i omoscheasicià coizioaa). Allora fissao oso γ = ( γ,, γ ) e ρ = ( ρ,, ρ ), (co γ s = εε s e = s γ s ρs = er s ) si ha: γ 4 (; ) γ N σ I e ρ N(; I ). Dimosrazioe: Per semlicià si esamia solao il caso = ; o ci soo ifficolà aggiuive se e` >. Poso g = εε, si ha: { g } è u rocesso sazioario e ergoico (è eviee); { g } è ua iffereza marigala. Ifai E( g ) E( g ε, ε, ) = E( ε ε ε, ε, ) = E( ε ε, ε, ) ε = 4 = σ. Ifai si ha Per esemio e` saa omessa al moello qualche variabile iieee oure gli errori hao ua effeiva auocorrelazioe che arebbe moellaa. Nel rimo caso le sime OLS o soo cosisei el secoo caso, ei moelli iamici si ere la cosiseza, mere i quelli saici le sime OLS rimagoo cosisei ma o soo efficiei 3

14 6-Ecoomeria, a.a. - Comlemei E(,, ) E(,, ) E(,, ) g ε ε = ε ε ε ε = ε ε ε ε = σ ε e quii l assero o aea si cosiera l aseazioe el rimo e ell ulimo ermie. 4 γ = ( εε ) N(; σ ). E cosegueza el eorema el limie cerale er = ua iffereza marigala sazioaria e ergoica. ρ N(;). Segue alla receee e alla rareseazioe ρ osservao che il eomiaore coverge i robabilià a σ. Corollario: Nelle ioesi ella receee roosizioe, si ha = γ, oo aver γ e ache Q = = ρ ( ρ) = = χ ρ + ρ χ = = Q = ( + ) = ( ). Le saisiche e Q soo eomiae riseivamee saisica i Box-Pierce e saisica i Lug-Box. Q Osservazioe: Su eviews e` isoibile la saisica Q i Lug-Box (er ifferei valori i ) e il corrisoee -value el camioe quao si richiee il correlogramma i ua ime-series (cioe` il lo ell`auocorrelazioe emirica). Essa e` uilizzaa er rilevare la reseza i auocorrelazioe el rocesso che si riiee sazioario o ache egli errori i u moello i regressioe, uilizzao i al caso come osservazioi i resiui. No e` ivece uilizzaa er esare l`ioesi i asseza i auocorrelazioe i u rocesso, i quao er ale uso e` richiesa o solo la valiia` (o quaomeo la ragioevolezza) elle ioesi (abbasaza resriive) ella receee roosizioe ma ache la scela ell`orie ell`auocorrelazioe olre il quale ue le alre (auocorrelazioi) soo ceramee ulle. No esise alcuo srumeo che cosea ua buoa scela el valore i. I receei ue es soo asioicamee equivalei al es sull ioesi H: α = = α = el moello i regressioe lieare x = α + αx + + αx + error. E sao mosrao co eciche i simulazioe che, er camioi fiii, è referibile uilizzzare la saisica i Lug-Box iuoso che la saisica i Box-Pierce. 4

15 6-Ecoomeria, a.a. - Comlemei Il es i Durbi-Waso Uo ei rimi es sulla reseza i auocorrelazioe egli errori i u moello i regressioe lieare, che ora si assa a escrivere, fu rooso ioro al 95 a Durbi e Waso; i realà esso è solao u es sulla reseza i auocorrelazioe el rim orie, è valio i ioesi molo resriive e ifie le sue risose (cosigli) o soo come soliamee accae er u es si accea o si rifiua l ioesi ulla, ma coemla ache l uleriore risosa o si è i grao i forire suggerimei. Aualmee esso (es) o e mai uilizzao, ma il valore ella saisica i Durbi-Waso è riorao ell ouu ei sofware ecoomerici aa la sua semlicià i calcolo e forisce u rimo segale i reseza i auocorrelazioe egli errori quao (come si verà) il suo valore è vicio a oure a 4. E assegao il moello y = x + u ale che E( u ) = e ergoico. x e {, } y x è u rocesso sazioario Defiizioe: La saisica D = = icesi saisica i Durbi-Waso. ( u u ) = u, ove { u } e` il rocesso ei resiui ella sima OLS, Osservazioe: ) Si ha u uu + u = = = u = D= (al umeraore si somma e si sorae u + u ) u uu = = u + u u u = = ( [ ]) = ( ρ ), 4 (si oi che ( u + u u + u )/ = ). E quii l asseza i auocorrelazioe el rim orie u u = = egli errori ( ρ = ) ovrebbe rourre u valore ella saisica D o molo isae a, mere u valore i D vicio a 4 suggerirebbe la reseza i auocorrelazioe egaiva e u valore vicio a la reseza i auocorrelazioe osiiva. ) Al fie i uilizzare la saisica D er cosruire u es sulla reseza i auocorrelazioe el rim orie egli errori, è esseziale iiviuare la sua isribuzioe (fiia o asioica). 5

16 6-Ecoomeria, a.a. - Comlemei Il risulao i Durbi e Waso Cosierao il moello y = + x co {, } u y x rocesso sazioario e ergoico, ale che i) Le variabili x soo sreamee esogee, ii) u = ρu + ε co è ε i...(, σ ), gli auori iiviuaroo (al variare el umero i variabili iieei, er gli saar livelli i sigificaivià e er ifferei lughezze el camioe) ua coia i quaili (sesso o resei ei sofware ecoomerici, ma isoibili su iere) co < < <, iieei alla marice l ioesi è: Si accea H se D> u, si rifiua H se X ( l, u) elle osservazioi elle variabili iieei, ali che u es er H H : ρ = : ρ > D< l, mere se l < D< u o si uò ire ulla. l u U es er l ioesi H H : ρ = : ρ < è uguale al receee co 4 D al oso i D. Osservazioe: Se ε ii...(, σ ) allora il receee es ha valiià asioica. 6