3 VARIABILI DI COMODO E CAMBIAMENTI STRUTTURALI

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1 F. Carlucci Traccia per u corso di Ecoomeria Modulo II Miimi quadrai 3 VARIABILI DI COMODO E CAMBIAMENTI STRUTTURALI Idice del capiolo 3. Esesioi del modello lieare classico e es di malaspecificazioe. 3. Le variabili di comodo.5 Variabili di comodo per l iercea..5 Variabili di comodo per i coefficiei agolari.8 Tedeze segmeae..8 Le osservazioi aomale 9 Il es di ormalià dei residui di Jarque e Bera Variabili di comodo sagioali..6 La depurazioe sagioale co il crierio dei miimi quadrai..7 Sagioalià variabile.. Sagioalià addiiva o moliplicaiva.. La coservazioe dei volumi.3 Desagioalizzazioe i preseza della edeza.6 La serie desagioalizzaa co la correzioe della edeza 7 La sima del modello co le serie desagioalizzae U es di cambiameo sruurale per il modello lieare semplice..3 Tes di cambiameo di sruura co le variabili di comodo U es di cambiameo sruurale per il modello lieare muliplo..4 Il es prelimiare di uguagliaza delle variaze 4 Tes di ivariaza sruurale per u sooisieme di parameri..4 Tes di cambiameo di sruura co le variabili di comodo Bibliografia

2 3. Esesioi del modello lieare classico e es di malaspecificazioe Possiamo riassumere acora ua vola le ipoesi alla base del modello lieare espose all iizio del capiolo, preseadole per semplicià i forma scalare, cioè co riferimeo al modello di regressioe semplice: ) il campioe è omogeeo ed i parameri β e β soo ivariabili el empo; ) i valori di x soo oi, cioè o aleaori; 3) m x xx 4) ~ s E ( u ) =, E( u~ u~ s) =,s σ = s 5) u ~ N (, σ ) (3..) L ipoesi di o correlazioe (4) isieme all ipoesi di ormalià (5) implica che i residui del modello siao socasicamee idipedei. Quese due ipoesi possoo essere codesae el modo seguee u ~ iid (, σ ) (3..) dove l acroimo iid sa per ormall idepedel ad ideicall disribued, cioè ideicamee e idipedeemee disribuie i modo ormale. Le (3..) soo le cosiddee ipoesi socasiche fori sul modello, 3 sulle quali si basa, come abbiamo viso el capiolo precedee, l ifereza saisica el modello lieare classico. Buoa pare dei capioli successivi, a parire da queso, verrà dedicaa ad approfodire il sigificao di quese ipoesi. I paricolare, ci ieressa: La loro espressioe i ermii mariciali è saa foria el capiolo. Talora si impiega l acroimo più sieico id, omeedo la i corrispodee a ideicall (che è ridodae, soprauo se si specifica ). Dall ipoesi di ideica disribuzioe scaurisce quella di cosaza della variaza σ. Dall ipoesi di idipedeza segue la o correlazioe, e quidi la ullià di ue le covariaze secodo la (4) delle (3..) 3 Alcui auori cosiderao come ipoesi socasiche solo le (4) e (5), poiché quese si riferiscoo direamee ai residui, che soo l uica compoee espliciamee socasica del modello. I effei, ache la variabile dipedee è aleaoria (si veda la (.6.)), quidi l ipoesi di omogeeià del campioe può essere ricompresa fra le ipoesi socasiche. Iolre, l ipoesi (), che specifica la aura o aleaoria delle variabili esplicaive, è essa sessa u ipoesi socasica i quao riferia alla aura del processo socasico che geera le x. 3-

3 . compredere se esse si presao a rappreseare adeguaamee la realà ecoomica. verificare co es saisici se esse siao o meo rispeae dai dai 3. ivesigare le proprieà saisiche del modello el caso i cui esse o siao verificae 4. sudiare delle possibili esesioi o correzioi del modello che egao coo della violazioe o dell idebolimeo delle ipoesi (3..). Ricordiamo che sia la osra aalisi delle proprieà della simaore OLS, sia la possibilià di effeuare ifereze saisiche su di esso, si basao sulle ipoesi (3..). Di cosegueza la violazioe di ua o più di esse ci impedisce di formulare giudizi aedibili circa la sigificaivià dei parameri del modello o di loro combiazioi lieari. Più precisamee, le ipoesi (3..) dalla () alla (4) (dee ipoesi deboli o classiche o di Gauss-Markov ) soo alla base della o disorsioe dello simaore OLS (.6.7) e del eorema di Gauss-Markov (.8.), mere ue le (3..) prese cogiuamee (cioè le ipoesi fori) soo alla base dei eoremi disribuzioali visi el capiolo, che ci coseoo di effeuare es, F e χ sui parameri del modello. I es saisici co i quali si verifica se le ipoesi socasiche fori soo o meo rispeae dai dai vao soo il ome colleivo di es di malaspecificazioe o diagosici. 4 I queso capiolo ci occupiamo della prima fra le ipoesi elecae, quella che il campioe sia omogeeo e che quidi i parameri sruurali del modello siao ivariabili el empo. 5 Ora, viceversa, ipoizziamo che uo o più di quesi parameri possao assumere valori diversi el periodo campioario, i cosegueza di o omogeeià del campioe. La o omogeeià può dipedere dal verificarsi, all iero del campioe, di uo o più evei eccezioali che deermiao scosamei della variabile dipedee dal proprio valore eorico. Si parlerà i queso caso di osservazioi 4 I ligua iglese: misspecificaio ess o ache diagosic ess, i quao iedoo diagosicare eveuali paologie del modello, ovvero scosamei dalle ipoesi socasiche soosai ad esso. 5 Più esaamee, i quesa sezioe coceriamo la osra aezio e sui coefficiei di regressioe b. Ache la variaza σ è u paramero del modello, ma l ipoesi della sua cosaza el empo verrà aalizzaa separaamee el successivo capiolo

4 aomale, la cui preseza deermia, i geere, asimmerie e quidi o ormalià ella disribuzioe dei residui. Queso argomeo è affroao el paragrafo 3.. Ua paricolare forma di o cosaza dei parameri si presea el caso di adamei sagioali delle variabili. Le oscillazioi deermiae dal ciclo sagioale si raducoo i sliamei dell iercea del modello, che quidi o è più cosae. I problemi legai alla sagioalià vegoo irodoi el paragrafo 3.3. Ua forma paricolarmee ieressae di o omogeeià è quella del cambiameo di sruura, che si verifica quado il campioe cosiderao abbraccia u periodo sorico all iero del quale si soo maifesai due regimi ell adameo del feomeo oggeo di sudio, caraerizzai da due disii isiemi di parameri sruurali. 6 Ciò può accadere, ad esempio, quado i ale periodo soo presi provvedimei isiuzioali che modificao ormaivamee le fuzioi di comporameo: u equazioe che voglia spiegare u asso di cambio può avere caraeri diversi a secoda che si cosideri il regime di cambi fissi oppure quello di cambi flessibili, per cui occorre iserire ell equazioe sessa u meccaismo che le permea di valuare i maiera differeziaa i due regimi. U alro caso riguarda il deposio previo cui soo cosrei gli imporaori i periodo di fore disavazo della bilacia dei pagamei commerciale, per cui ua equazioe delle imporazioi deve discrimiare ra dai rilevai i empi i cui vige il deposio previo e dai rilevai i empi seza deposio. U erzo esempio può cocerere il movimeo dei capiali, la cui equazioe deve poer eer coo di vicoli posi dall auorià moearia i ceri paricolari periodi di empo. Nel paragrafo 3. vediamo come è possibile rappreseare per mezzo di variabili di comodo la preseza di cambiamei di sruura, mere l aalisi effeuaa ei paragrafi 3.4 e 3.5 forisce u primo isieme di srumei saisici per valuare la loro preseza all iero del campioe. 6 L aalisi può ovviamee esedersi al caso geerale di r cambiamei di sruura. L ieresse per queso ipo di o omogeeià è sao rafforzao dalla oa criica di Lucas, secodo la quale i parameri sruurali dei modelli ecoomici soo i effei ua misura di parameri profodi, rappreseai le prefereze degli agei ecoomici, la ecologia prevalee el sisema ecoomico e il processo di formazioe delle aspeaive, per cui essi soo soggei a muamei ogi vola che gli agei ecoomici soo chiamai ad adaare il proprio comporameo i risposa a muamei del quadro macroecoomico idoi, ad esempio, da misure di poliica ecoomica. 3-4

5 3. Le variabili di comodo I meccaismi che vegoo iserii elle equazioi affiché quese egao coo dei cambiamei di regime fao uso delle cosiddee variabili di comodo e possoo essere ache complessi, i fuzioe dei ipi di iflueza che le diverse sruure ecoomiche fuzioai el periodo campioario producoo sulla specificazioe dei modelli. I queso paragrafo vediamo come usare le variabili di comodo per rappreseare cambiamei di sruura ei parameri del modello (disiguedo fra iercea e coefficiei agolari), segmeazioi ella edeza delle variabili, e preseza di osservazioi aomale. I meccaismi preseai i quesa sezioe possoo essere facilmee esesi e combiai per eer coo di cambiamei di regime più complessi di quelli cosiderai i quese pagie. Variabili di comodo per l iercea Suppoiamo i primo luogo che i regimi diversi possibili siao due e che ifluezio solao l iercea: valgoo allora i due modelli = β x β k x k β k u el regime I (ad esempio ei empi co asso di cambio fisso), e = β x β k x k β k u el regime II (ad esempio ei empi co asso di cambio flessibile), che possoo essere riassui el seguee dove d = = β x β k x k β k d β k d u (3..) el regime el regime I II d = el regime el regime I queso modo le serie soriche {d } e {d } soo compose da zero e da uo a secoda dei empi e o valgoo mai coemporaeamee uo o zero. La marice è allora formaa el modo seguee = [ d d ] dove è la marice delle x i, i =,,, k, =,,,, ed i veori coloa d e d soo cosiuii da zeri e da uo. L equazioe (3..) può essere simaa co il crierio dei miimi quadrai ordiari producedo sime per le β i, i =,,,k, uguali ei due regimi, mere l iercea vale βˆ k el regime I e βˆ k ell alro. I II 3-5

6 Le variabili d e d soo chiamae di comodo 7 i quao o derivao direamee da speculazioi eoriche ma vegoo aggiue ella specificazioe delle equazioi semplicemee per raare periodi campioari co regimi ecoomici diversi. Nell esempio precedee se e usao solao due, ma evideemee il loro umero dipede da quai soo i regimi differei da cosiderare. Il modello (3..) deve essere simao seza l iercea, che è sosiuia dai due valori aleraivi β k e β k ; se si aggiugesse il ermie oo, cui corrispode ella marice il veore di uo i, si avrebbe i = d d cioè ua coloa di sarebbe combiazioe lieare delle alre, la marice sarebbe sigolare per il eorema IV-.4 e o esiserebbe ( ) -. Se si è cosrei a simare l iercea (ad esempio a causa di u programma di calcolo auomaico che la cosidera obbligaoriamee), è coveiee sosiuire all equazioe (3..) la seguee = β x β k x k α d α u (3..) che corrispode alla prima se si poe i essa ma coiee il ermie oo α. α α = β k, α = β k (3..3) Osservazioe 3. La (3..) co le posizioi (3..3) è perfeamee equivalee alla (3..) oosae coega u diverso isieme di parameri. Per queso moivo si dice, i ermii ecici, che la (3..3) è oeua riparamerizzado la (3..), ovvero che è ua riparamerizzazioe (o ua diversa paramerizzazioe) di ques ulima. La possibilià di esprimere la medesima equazioe co paramerizzazioi differei ora molo uile ella eoria della verifica delle ipoesi. Accade ifai spesso che u es di esecuzioe relaivamee complessa divei molo semplice riparamerizzado il modello. Sulle sime dei parameri associai co le variabili di comodo è uile effeuare il es della di Sude per verificare che siao diverse da zero. Se si accea ua sola delle ipoesi ulle H : β k =, H : β k = (3..4) 7 I ligua iglese: dumm. 3-6

7 si coclude che durae uo dei regimi l iercea è ulla e quidi che vi è differeza dall alro, el quale l iercea è sigificaivamee diversa da zero. D alro cao, le due iercee possoo differire l ua dall alra essedo erambe diverse da zero, per cui è uile sooporre a verifica l ipoesi lieare H : β k β k = (3..5) che può essere cosideraa come u caso paricolare della (.4.). Si oi che ella paramerizzazioe (3..) quesa ipoesi si riduce alla seguee H : α = (3..6) Se quesa ipoesi è acceaa o sussise differeza ra i due regimi, subordiaamee alla validià della rappreseazioe (3..). Osservazioe 3. Possiamo ora esemplificare cocreamee il fao che paramerizzazioi diverse redoo più o meo agevole l esecuzioe di deermiai es. Ad esempio, se si uilizza la paramerizzazioe (3..) i due es (3..4) soo di immediaa esecuzioe (le loro saisiche corrispodoo ai rappori dei rispeivi coefficiei), mere co la (3..) solo il secodo dei es (3..4) o presea difficolà. Il primo, ivece, compora che ella di Sude si calcoli l errore sadard dao da σ[ Var( αˆ αˆ )] / = σ[ Var( αˆ ) Var( αˆ = σ( a k k a k k a ) Cov( αˆ k k ) /, αˆ )] / = (3..7) dove le a ij soo gli elemei (i,j) della marice ( ) - e σ è la radice quadraa arimeica della sima (.7.). Nauralmee, ove possibile il ricercaore per eseguire la coppia di es (3..4) preferirà simare il modello (3..). D alro cao, ella paramerizzazioe (3..) il es di uguagliaza dei regimi viee espresso come (3..5) e quidi richiede l uso di ua saisica F, mere ella (3..) esso si riduce alla forma (3..6) per cui può essere effeuao semplicemee leggedo la di α. I al caso quidi il ricercaore preferirà simare il modello (3..). Il paramero α della (3..) misura lo sposameo (i ligua iglese: shif) dell iercea el regime I rispeo al regime II: β k - β k = α. Per queso moivo la d el modello (3..) viee dea shif dumm variable. 3-7

8 Variabili di comodo per i coefficiei agolari I u secodo meccaismo si suppoe che due regimi diversi ifluezio sia l iercea che il coefficiee agolare β k della variabile esplicaiva x k-,. I queso caso si ha = β x β k x k, β k (d x k, ) β k (d x k, ) β k d β k d u (3..8) co le variabili di comodo che hao i sigificai precedei. Co ua procedura aaloga a quella sopra esposa, la (3..8) può essere sosiuia dalla = β x β k x k, b d x k, b x k, α d α u (3..9) che corrispode alla (3..8) se si poe α = β k α, α = β k, b = β k b, b = β k Osservazioe 3.3 Se ella (3..8) l ordiameo emporale delle variabili esplicaive e delle o ha sigificao (ad esempio i dai sezioali), ale equazioe sieizza le due = β x β k x k β k x k β k u = β x β k x k β k x k β k u ciascua delle quali può essere simaa co i dai relaivi ad u solo regime ecoomico. Le iercee ei due regimi soo uguali se è valida l ipoesi ulla H : α = mere soo uguali i coefficiei agolari β k e β k se è valida l alra H : b = ipoesi che possoo veire verificae ella (3..9) co il es della di Sude. Tedeze segmeae Talvola l ispezioe visiva di ua serie sorica { } mosra chiaramee l esiseza di ua edeza che varia i due o più periodi di empo per cui essa o può essere rappreseaa mediae ua sola curva poliomiale del ipo (I-3.3.3). È ecessario, allora, fare uso delle variabili di comodo per disiguere edeze diverse i periodi diversi. Esemplifichiamo queso uso el caso della edeza lieare e di ua coppia di periodi; la geeralizzazioe al poliomio di grado p geerico ed a più di due periodi è immediaa. Suppoiamo, duque, che si debba simare ua equazioe che el periodo I valga 3-8

9 = α α b x u e el periodo II valga = γ γ b x u Se si opera co le differeze prime l equazioe divea semplicemee dove d = = α d γ d b x u el periodo I el periodo II d = el periodo I el periodo II mere se si desidera coiuare ad avere l equazioe specificaa sui livelli occorre far uso di uo schema del ipo (3..6) = α d γ d α (d ) γ (d ) b x u Esempio. Se la edeza è crescee el periodo I e decrescee ella II, si ha α > e γ <. Se la edeza è crescee i ambedue i periodi ma co assi di crescia diversi, α e γ soo ambedue posiivi ma di valore diverso. Le osservazioi aomale U uso molo frequee delle variabili di comodo è fao el raameo dei dai aomali (o eccezioali) 8 che, di uovo, deermiao la o omogeeià del campioe. Quesi dai soo cosiuii dalle osservazioi che el campioe soo localizzae molo loao dalla loro media, geeralmee a causa di disomogeeià repeie el fuzioameo del sisema ecoomico. Dai aomali elle serie dei prezzi possoo, ad esempio, essere prodoi da shock peroliferi; alri elle serie della produzioe idusriale possoo essere idoi da periodi prolugai di scioperi massicci, e così via. Quesi dai possoo provocare oevoli dai ella cosruzioe della pare sisemaica dei modelli ecoomerici. I paricolare, i preseza di osservazioi aomale o sarà geeralmee più valida l ipoesi di ormalià dei residui. Le osservazioi aomale comprese el campioe delle variabili edogee o di quelle esogee, ifai, a meo che o compaiao i modo equivalee elle prime e elle secode, comporao elemei di squilibrio ache fore ella compoee sisemaica delle equazioi e producoo disurbi be ei ella omogeeià dei residui. La loro preseza si raduce quidi all ao della sima i residui aomali, cioè i episodi ei quali il modello soosima o sovrasima oevolmee il 8 I ligua iglese: ouliers. 3-9

10 feomeo che iede rappreseare. Se i residui aomali hao ui lo sesso sego, la disribuzioe dei residui sarà asimmerica (posiivamee o egaivamee) e quidi si alloaerà dalla ormale, che è ua disribuzioe simmerica. Se ivece i residui aomali si ripariscoo i modo approssimaivamee equo fra valori posiivi e egaivi, allora la disribuzioe dei residui sarà plaicurica, avrà cioè le code più ale della ormale e di cosegueza u coefficiee di curosi maggiore di re. 9 Dao che le procedure di ifereza sudiae fi qui si basao sull ipoesi socasica fore di ormalià dei residui, la prima cosegueza della o ormalià è appuo che i es di ipoesi sui parameri del modello o darao più risulai affidabili, almeo i piccoli campioi. Nauralmee la violazioe dell ipoesi di ormalià o ifluisce sulle proprieà dello simaore OLS che o dipedoo da essa. I paricolare, sarà sempre valido il eorema di Gauss-Markov (che richiede solo le ipoesi socasiche deboli) e quidi lo simaore OLS sarà sempre u BLUE. No sarà uavia possibile effeuare ifereze affidabili su di esso. Coviee perao elimiare gli effei di disurbo delle osservazioi aomale facedoli rappreseare da specifiche variabili di comodo che valgoo uo el empo i cui si maifesa l osservazioe aomala e zero egli alri empi. Ovviamee ad ogi dao cosiderao aomalo corrispode ua variabile di comodo, per cui è ecessario essere molo parsimoiosi ella loro valuazioe per o perdere, ella sima delle equazioi, roppi gradi di liberà. No sempre è possibile valuare a priori il caraere aomalo di alcui dai el campioe delle osservazioi, per cui ci si accorge di quesa aomalia solao dopo aver simao le equazioi. Alla luce della discussioe precedee gli srumei diagosici che possoo orare uili a queso scopo soo due: u es di ormalià dei residui e l aalisi del grafico dei residui. Il es di ormalià dei residui di Jarque e Bera Per illusrare il fuzioameo del es di ormalià richiamiamo i coefficiei di asimmeria e di curosi di ua variabile aleaoria. Sia 9 Il ermie curosi viee dal greco κυρτοσ, che sigifica curvo (la. curvus) e idica appuo quao è arcuaa la disribuzioe di probabilià. Il ermie plaicurica è composo co l aggeivo πλατυ σ che sigifica piao e deoa ua disribuzioe più appiaia della ormale (cioè co moda più bassa e code più ale). Il coefficiee di curosi è defiio formalmee el paragrafo I-(.3). Per i deagli si veda Spaos [986, par..]. 3-

11 µ r = E( x-µ ) r il momeo cerale r-esimo della variabile cosideraa, per cui µ = σ variaza della sua disribuzioe. Il coefficiee di asimmeria è allora dao da e quello di curosi da γ = µ µ β = µ µ è la µ 3 = 3 σ (3..) µ 4 = 4 σ (3..) I es di ormalià si basao sul fao che i ua disribuzioe ormale è γ = (come i ogi disribuzioe simmerica) e iolre β = 3 (peculiarià quesa della sola ormale). Per queso moivo il coefficiee di curosi viee ridefiio ceradolo sul valore che assume ella ormale γ = β 3 (3..) Il coefficiee (3..) viee defiio curosi eccedee ed è ovviamee ullo el caso della ormale. Il es sfrua le coropari campioarie delle (3..) e (3..), dae rispeivamee da e ˆγ ˆγ = 3 uˆ = (3..3) 3 = uˆ 4 uˆ = = 3 (3..4) uˆ = Si dimosra che i campioi sufficieemee gradi i due coefficiei campioari soo socasicamee idipedei e si disribuiscoo i modo ormale γˆ γˆ 6 ~ N, 4 ~ N, (3..5) 3-

12 Ne cosegue che, sempre per campioi sufficieemee gradi, la saisica oeua dalla somma delle (3..3) e (3..4) sadardizzae co i rispeivi scari quadraici medi ed elevae al quadrao si disribuisce come u χ co due gradi di liberà (idichiamo quesa saisica co le leere JB, iiziali di Jarque e Bera, i due ecoomerici che hao per primi proposo queso es ) JB = ˆγ 6 ˆ 4 γ ~ χ (3..6) Quado la saisica (3..6) eccede il valore soglia della disribuzioe del χ, pari a 5.99 al livello di sigificaivià α =.5, cocludiamo che i residui soo o ormali, il che geeralmee sarà dovuo alla preseza di ua o più osservazioi aomale. Hisogram of Residuals ad he Normal Desi Frequec LNM Figura 3. L isogramma dei residui del modello (..) cofroao co la disribuzioe ormale. Si oi l asimmeria posiiva dei residui. Nauralmee la (3..6) o ci idica i quale periodo si verificao le aomalie. U aalisi aea del grafico dei residui è perao ecessaria al fie di idividuare i empi delle aomalie e di euralizzare gli effei. Eurisicamee, soo l ipoesi ulla di ormalià dei residui, è possibile rieere aomali i dai che producoo residui al di fuori dell iervallo [ σ, σ], poiché quesi si verificherao co probabilià molo piccola, iferiore al 5%. Ovviamee queso iervallo di acceazioe di osservazioi o aomale può esser ampliao o risreo i fuzioe delle opiioi del ricercaore. Si veda Jarque e Bera [98]. 3-

13 U alro uile srumeo diagosico è dao dall isogramma dei residui, che approssima la forma della disribuzioe di probabilià di quesi e quidi, se cofroao co ua disribuzioe ormale di variaza pari a quella dei residui simai, forisce ua idicazioe sieica delle cause di o ormalià (ad esempio, aiua a sabilire se quesa è deermiaa da asimmeria poche osservazioi aomale dello sesso sego o da eccesso di curosi mole osservazioi aomale di erambi i segi) Q 975Q 98Q 985Q 97Q3 977Q3 98Q3 987Q3 Trimesri Figura 3. I residui OLS del modello Il grafico ripora la bada di ampiezza 4σ ceraa sullo zero. L asimmeria posiiva di essi è rivelaa dalla preseza di re residui aomali posiivi, coro uo solo egaivo (cfr. la figura.5). Applichiamo ora quesi cocei all equazioe delle imporazioi (..), le cui sime soo riporae ella (..). Vale la pea di soolieare che uilizziamo il modello o vicolao (..) perché i es per le ipoesi di uguagliaza delle elasicià e di omogeeià di grado zero ei prezzi, codoi el paragrafo.4, respigoo le rispeive ipoesi ulle, suggeredo quidi che le sime vicolae preseae el paragrafo. soo iappropriae. Nauralmee se i residui risulassero o ormali il risulao di quesi es adrebbe revocao i dubbio. Ua correa prassi vorrebbe quidi che essi veissero reierai dopo aver idividuao e correo la causa della o ormalià. Il es di ormalià (3..6) sui residui della (..) dà ua saisica pari a 6.9, superiore al valore soglia. Cocludiamo che i residui soo o ormali. Il loro isogramma è riporao ella figura 3. che lo cofroa co ua disribuzioe ormale di pari variaza. La disribuzioe dei residui è posiivamee asimmerica. L asimmeria è deermiaa i paricolare da alcue osservazioi 3-3

14 aomale aoro a.8. Per idividuare la daa ella quale si realizzao cosuliamo il grafico dei residui della (..), già viso ella figura.4, che riporiamo ella figura 3. isieme alle relaive bade di cofideza dae da più e meo due scari quadraici medi. Il grafico coferma l asimmeria posiiva dei residui (ci soo re residui maggiori di σ coro uo solo miore di -σ) e idica che l osservazioe aomala più marcaa si verifica el primo rimesre del 973. Simiamo quidi uovamee il modello (..) aggiugedo la variabile d 73, che vale el primo rimesre del 973 e zero alrove. Formalmee, quesa variabile può essere defiia uilizzado la fuzioe idicaore di u eveo, cioè la fuzioe I(.) che vale se l eveo specificao fra pareesi è vero e zero i caso corario. Nel osro caso quidi d 73, = I( =973: ) (3..7) Hisogram of Residuals ad he Normal Desi Frequec LNM Figura 3.3 L isogramma dei residui della (3..9). Aumeado la (..) co la variabile defiia dalla (3..7) oeiamo il modello: l = β β lx β 3 lx β 4 lx 3 β 5 lx 4 δd 73, u (3..8) dove δ è il coefficiee della variabile di comodo. La sima della (3..8) forisce i seguei risulai ^ l = lx.98 lx.56 lx 3.97 lx 4 (-6.6) (7.) (3.9) (-8.6) (3.3) (3..9) 3-4

15 .96 d 73, (3.4) = 8, R =.986, R c =.985, RSS =.54, SEE =.7, JB =.7 Il coefficiee della variabile di comodo è sigificaivo, co ua pari a 3.4, e la saisica del es di ormalià scede ora a.7, all iero della regioe di acceazioe. La correzioe sembra quidi aver avuo successo. Si oi che il coefficiee di deermiazioe correo è aumeao rispeo alla (..). L isogramma dei residui della (3..9) è riporao ella figura 3.3 e appare ora più simmerico. Il grafico dei residui (figura 3.3) mosra il permaere di alcue osservazioi al di fuori della bada di cofideza. Tuavia esse o soo ali da idurre ua sigificaiva asimmeria dei residui (il es JB o rifiua) e quidi si può presumere che o ifluezio le proprieà del modello. Plo of Residuals ad Two Sadard Error Bads Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 989Q4 Quarers Figura 3.4 Il grafico dei residui della (3..9). Possiamo ora ripeere i es per le ipoesi di uguagliaza delle elasicià e di omogeeià di grado zero ei prezzi. Ad esempio, la deviaza dei residui el modello co il vicolo H : β = β 3 e la dumm puuale è pari a.63, per cui applicado la prima delle (.5.4) oeiamo =.3.54 da cofroare co il valore soglia di ua F,74 che al livello.5 è pari a 3.8. Di cosegueza l ipoesi di uguagliaza delle elasicià viee respia ache dopo aver correo le osservazioi aomale e riprisiao la ormalià dei residui. 3-5

16 3.3 Variabili di comodo sagioali Le variabili di comodo possoo essere uilmee adoperae ella cosiddea depurazioe sagioale. Per moivare ed illusrare quesa procedura osserviamo che gra pare dei feomei ecoomici posseggoo u adameo sagioale, cioè ua coformazioe di dimiuzioi ed aumei di valore che si ripeoo i misura simile ogi ao per cause diverse, ad esempio la prefereza o l abiudie dei lavoraori a cocerare le ferie i uo sesso periodo, il widow dressig degli isiui di credio che produce u icremeo dei deposii el mese di dicembre, o ache la coveieza che alcui operaori della disribuzioe sembrao avere ell aumeare i prezzi dei prodoi disribuii i paricolari periodi dell ao. Nel primo esempio si ha ua cofigurazioe sagioale elle serie della produzioe, el secodo ua elle serie dei deposii bacari, el erzo l adameo sagioale ei prezzi. Auocorrelaio fucio of residuals, sample from 97Q o 989Q Order of lags Figura 3.5 Il correlogramma dei residui del modello (3..9). La preseza delle sagioalià elle osservazioi campioarie può disorcere oevolmee la sigificaivià delle equazioi che vegoo simae. Se è sagioale la variabile edogea ma queso caraere o è rappreseao dall isieme delle esogee, accade che la cofigurazioe sagioale vega rasferia sui residui, che quidi preseao ua correlazioe oulla al riardo sagioale: quaro se le serie soriche adoperae soo rimesrali, dodici se le serie soo mesili. I alre parole la ripeizioe auale delle dimiuzioi e degli aumei di valore, che equivale ad ua periodicià di quaro o di dodici uià emporali a secoda della cadeza delle serie soriche campioarie, si raduce i ua covariaza oulla dei 3-6

17 residui iervallai di quaro o di dodici empi. La erza delle ipoesi deboli (.6.) sui residui viee quidi a cadere. A iolo di esempio si osservi ella figura 3.5 il correlogramma dei residui dell equazioe (3..9), rappreseai a loro vola ella figura 3.4. Il correlogramma 3.5 presea u picco a ui i riardi sagioali (cioè ai riardi mulipli ieri della cadeza sagioale, che per dai rimesrali è uguale a quaro) e rede quidi evidee u feomeo che già l osservazioe direa del grafico 3.4 lascia iuire, ovvero l esiseza di cicli sagioali ei residui. Queso feomeo è prevedibile. La figura.3 ifai mosra che le variabili coivole ella sima hao ue ua marcaa sagioalià, ma il profilo di quesa sagioalià differisce dall ua all alra: ad esempio, la serie dei cosumi ha u adameo più livellao di quella delle imporazioi e degli ivesimei. Quese differeze si scaricao sul residuo dell equazioe, deermiadoe la sagioalià. Può, d alro cao, succedere che la coformazioe sagioale dell edogea sia be rappreseaa da u caraere aalogo preseao dalla pare sisemaica dell equazioe. I queso caso i residui posseggoo covariaze ulle ai riardi sagioali ma può sussisere il problema che la sigificaivià dell equazioe sia i gra pare (o oalmee) dovua proprio alle sagioalià simili presei ella variabile edogea e ell isieme delle esogee. La boà della relazioe simaa viee quidi, i quesa siuazioe, a dipedere dalle caraerisiche sagioali e o da ua effeiva associazioe ecoomica. La depurazioe sagioale co il crierio dei miimi quadrai Per ovviare a quesi problemi è ecessario depurare le serie campioarie delle sagioalià prima di uilizzarle ella cosruzioe di equazioi ecoomeriche. Per elimiare le sagioalià ella serie sorica { } si può aggiugere ai suoi elemei ua cosae b che varia da rimesre a rimesre o da mese a mese a secoda della cadeza: a iolo esemplificaivo, el primo caso si ha = b = b = b 3 = b 4 d d d 3 d 4 d 5 = b (3.3.) co le quaro cosai che si ripeoo ogi ao. La variabile co l idice d o presea più sagioalià e forma la serie desagioalizzaa { d } se vale l ipoesi di cofigurazioe sagioale cosae el empo; se la sagioalià è variabile la { d } è desagioalizzaa solao approssimaivamee. 3-7

18 Uilizzado quaro variabili di comodo (sagioali) d, d, d 3, d 4, le (3.3.) possoo essere defiie ramie l equazioe co d = b d b d b d b d (3.3.) d i = = i, i 4, i 8, i, i 4, i 8, La (3.3.) può essere scria ella forma compaa i =,,3,4 (3.3.3) d = Sb (3.3.4) dove d è il veore delle d desagioalizzae, b = [b b b 3 b 4 ] è il veore dei faori di desagioalizzazioe e la marice S di ordie 4 è formaa dalle quaro variabili di comodo S = (3.3.5) Osservazioe A causa della preseza delle variabili di comodo, ella (3.3.) maca l iercea. Se la si volesse iserire, le variabili di comodo sarebbero solao re. Ovviamee, se la cadeza dei dai è mesile, le variabili di comodo ella (3.3.) soo dodici e l ordie della marice S è. La sima di b è facilmee oeua uilizzado il crierio dei miimi quadrai ordiari sull equazioe (3.3.) dove la serie dei residui { d } cosiuisce la variabile desagioalizzaa e dove l iercea è daa dall isieme dei coefficiei delle variabili di comodo; cosiderado la (3.3.4) si ha b ˆ = ( S S) S per cui ˆ d = Sbˆ = S( S S) S = M (3.3.6) dove 3-8

19 M = I S( S S) S (3.3.7) Quese ulime due relazioi idicao che la serie desagioalizzaa è oeua come combiazioe lieare, mediae la marice M, delle serie origiale { }. La marice M è del ipo (.7.4), quidi simmerica ed idempoee; si vede, iolre, immediaamee che MS = (3.3.3) L idempoeza di M è ua caraerisica ieressae della depurazioe sagioale operaa co variabili di comodo, poiché permee di sabilire che ale procedura è iifluee se eseguia su di ua serie già desagioalizzaa; ifai, se quesa è M, si ha ˆ d = M( M) = M (3.3.9) Q 97Q3 975Q 977Q3 98Q 98Q3 985Q 987Q3 M Fied Figura 3.6 La serie sorica o desagioalizzaa delle imporazioi di bei e servizi a prezzi 98 e la sima dei faori di desagioalizzazioe effeuaa co la (3.3.). A iolo di esempio, possiamo desagioalizzare co la (3.3.4) la serie sorica delle imporazioi, che cosiuisce la variabile dipedee della (3..8) ed è già saa rappreseaa ella figura.. Simado la (3.3.) oeiamo ^ = 89.7 d d d d 4 (8.8) (9.) (7.7) (9.9) = 8, R =.3, R c = -.6, RSS =.E9, SEE = 575.8, JB = 6.79 Si oi che ui i faori di desagioalizzazioe soo foremee sigificaivi, ache se la boà complessiva del modello è scarsa, co u coefficiee di 3-9

20 deermiazioe correo addiriura egaivo. Queso è u risulao ovvio e o preoccupae, essedo deermiao dal fao che la (3.3.4) si propoe di caurare solo u aspeo della serie, cioè la sua sagioalià. Di cosegueza, se il coribuo di quesa alla variabilià complessiva della serie è relaivamee piccolo, come accade per serie doae di fore edeza, la deviaza o spiegaa dalla (3.3.4) sarà relaivamee grade e il coefficiee di deermiazioe piccolo. La figura 3.6 propoe il grafico dei valori sorici e di quelli simai, che cosiuiscoo ua sima delle sagioalià della serie. Il residuo simao, che corrispode alla serie desagioalizzaa, è rappreseao ella figura 3.7. Il cofroo co la figura 3.6 rede evidee come l applicazioe della (3.3.4) abbia i effei coribuio a livellare alquao il profilo sagioale della serie Q 97Q3 975Q 977Q3 98Q 98Q3 985Q 987Q3 Figura 3.7 La serie sorica delle imporazioi di bei e servizi a prezzi 98 desagioalizzaa co i faori simai mediae la (3.3.) mosrai ella precedee figura 3.6. Sagioalià variabile I moli casi gli effei della sagioalià, sia pure periodici, o soo cosai el empo ma variao, ad esempio aumeado o dimiuedo il modo lieare. Queso feomeo si presea co grade frequeza el caso di serie soriche espresse i ermii omiali, la cui variabilià, ache sagioale, aumea el empo per effeo dell iflazioe. La figura 3.8 esemplifica queso adameo co riferimeo alla serie dell idice dei salari omiali el seore maifauriero i Ialia (dai rimesrali grezzi dal 979: al 988:4). I queso caso la (3.3.) deve essere sosiuia co l equazioe seguee ( (3.3.) = b α α) d b ( α α) d b3( α α) d3 b4( α α) d4 d 3-

21 ella quale si vede chiaramee come i faori di desagioalizzazioe vario liearmee el empo co lo sesso adameo Q 98Q 98Q3 98Q4 984Q 985Q 986Q3 987Q4 Quarers Figura L idice dei salari omiali el seore maifauriero i Ialia (dai rimesrali grezzi dal 979: al 988:4). Si raa di u ipico caso di serie co ciclo sagioale di ampiezza crescee. La (3.3.) può essere scria el modo 4 4 = βi di i= i= γ q i i d (3.3.) dove le variabili di comodo d i soo acora defiie dalla (3.3.3) e le alre q i dalla q i = d i i =,, 3, 4 (3.3.) Per simare i faori di desagioalizzazioe ella (3.3.) si può uilizzare acora il crierio dei miimi quadrai applicai alla forma (3.3.4) ella quale ora b = β β β β γ γ γ γ ] e la marice S di ordie 8 è daa da [ S = (3.3.3) 4 3-

22 Nel caso della serie dei salari rappreseaa ella figura 3.8 la procedura di desagioalizzazioe co la (3.3.) forisce la serie rappreseaa ella figura 3.9. Plo of Residuals ad Two Sadard Error Bads Q 98Q 98Q3 98Q4 984Q 985Q 986Q3 987Q4 988Q4 Quarers Figura 3.9 L idice dei salari omiali della figura 3.8 desagioalizzao co la (3.3.). Sagioalià addiiva o moliplicaiva Nella (3.3.) i faori di desagioalizzazioe soo addiivi el seso che aggiugoo o soraggoo ad ua quaià variabile a secoda della sua coformazioe sagioale. I alcue circosaze, uavia, è più coveiee rappresearli ella forma moliplicaiva, che riora ad essere del ipo (3.3.) se si predoo i logarimi dei due membri = b b b b (3.3.4) d d d3 d La geeralizzazioe della sagioalià moliplicaiva al caso variabile del puo precedee è lasciaa al leore. È ieressae osservare che il modello moliplicaivo forisce ua rappreseazioe più parsimoiosa, ma spesso ugualmee valida, delle sagioalià variabili. Ciò deriva dal fao che la rasformazioe logarimica, schiacciado i modo più che proporzioale i valori più elevai, coribuisce a sabilizzare la variaza della serie, e quidi ache quella del suo ciclo sagioale. A iolo di esempio si osservi, ella figura 3., il grafico del logarimo dell idice dei salari omiali grezzi rappreseao ella figura 3.8. La serie logarimizzaa ha sagioalià di ampiezza sabile, le quali quidi si presao ad essere rappreseae mediae il modello (3.3.), che ora divea l b d b d b d b d d = d 3-

23 aziché co il più complicao (3.3.). Ma prededo gli ailogarimi dell ulima formula oeiamo appuo il modello moliplicaivo (3.3.4) Q 98Q 98Q3 98Q4 984Q 985Q 986Q3 987Q4 Quarers Figura 3. Il logarimo dell idice dei salari omiali grezzi rappreseao ella figura 3.8. È evidee come la rasformaa logarimica sabilizzi la variaza del ciclo sagioale. Di coverso, ciò sigifica che le sagioalià della variabile i uià aurali possoo essere rappreseae adeguaamee dal modello moliplicaivo (3.3.4). Simado il modello (3.3.) co i logarimi dei salari omiali grezzi oeiamo l ^ = 4.9 d 5.5 d 5.4 d d 4 (39.9) (4.) (4.9) (4.8) = 8, R =.5, R c =.3, RSS = 5.46, SEE = 5.7, JB = 3.3 e i relaivi valori desagioalizzai soo rappreseai ella figura 3., dalla quale si vede che il modello moliplicaivo coribuisce a livellare, ma o elimia del uo, le ciclicià sagioali. La coservazioe dei volumi I effei, o è coveiee uilizzare { ŷ } come serie desagioalizzaa se la sua media è diversa da zero oppure se essa possiede ua edeza. Nel primo caso, d ifai, pur se / =, si ha che ˆ = i virù della (.4.8) e = cosiderado che i coefficiei delle variabili di comodo formao l iercea. Queso azzerameo della somma dei dai desagioalizzai è u difeo della procedura d = 3-3

24 poiché per ragioi di coabilià è geeralmee uile che la somma dei dai desagioalizzai coicida co la somma dei dai origiali (coservazioe dei volumi); si usa porre, allora, c d ˆ = ˆ =,,, (3.3.5) oeedosi ua serie che al empo sesso è desagioalizzaa e coserva i volumi Q 98Q3 984Q 986Q3 Figura 3. La serie sorica dei salari omiali (i logarimi) desagioalizzaa col modello moliplicaivo Q 97Q3 975Q 977Q3 98Q 98Q3 985Q 987Q3 M MDEST Figura 3. La serie delle imporazioi desagioalizzaa co la coservazioe dei volumi. 3-4

25 La figura 3. rappresea la serie sorica delle imporazioi desagioalizzaa e rasformaa co la (3.3.5) Q 97Q3 975Q 977Q3 98Q 98Q3 985Q 987Q3 989Q4 Figura 3.3 Il grafico dei valori sorici e simai delle imporazioi oeui co il modello (3.3.7). I valori simai coicidoo i queso caso co il ciclo sagioale cerao sullo zero, i virù delle proprieà delle variabili di comodo cerae (3.3.6). Soraedo ai valori sorici quesa sima ceraa del ciclo sagioale si oiee ua serie desagioalizzaa che coserva i volumi (si veda la figura 3.4). Lo sesso risulao di coservazioe dei volumi si oiee uilizzado al poso delle variabili di comodo defiie dalla (3.3.3) quelle cerae, defiie come d i.75 =.5 = i, i 4, i 8, i, i 4, i 8, i =,, 3, 4 (3.3.6) Le d i si oegoo soraedo alle d i la loro media, che el caso il campioe compreda u umero iero di ai è pari a.5. Si oi che ogua delle d i è perfeamee collieare alle alre re. Si ha, ad esempio, d = ( d d3 d4 ). Di cosegueza solo re delle d i possoo essere iserie coemporaeamee i ua regressioe e la (3.3.) divea = b ˆ (3.3.7) d bd b3d 3 dove ora il residuo coserva i volumi, dao che le variabili di comodo, essedo cerae, o soraggoo alla la propria media campioaria. Nel caso delle imporazioi la sima del modello co variabili di comodo (3.3.7) cerae forisce i seguei risulai c 3-5

26 ^ = d d d 3 (-.) (-.) (-.3) = 8, R = -8., R c = -8., RSS = 4.E, SEE = , JB = Il grafico dei valori sorici e simai è riporao ella figura 3.3 e da esso risula evidee che la (3.3.7) forisce ua sima del ciclo sagioale ceraa sullo zero. Soraedo quesa sima alla serie origiale oeiamo il residuo della (3.3.7), cioè la serie desagioalizzaa che coserva i volumi (la sessa rappreseaa ella figura 3.). Desagioalizzazioe i preseza della edeza Nel secodo caso ciao all iizio del puo precedee, ovvero quado la variabile possiede ua edeza, sussise il difeo di ua disorsioe delle sime dei faori di desagioalizzazioe idoa dalla preseza della edeza ella serie origiale. Ifai, sempre el caso della cadeza rimesrale dei dai, facilmee esedibile a quello della cadeza mesile, se è muliplo di 4, come accade geeralmee, si ha per cui S = [I 4 I 4 I 4 ] S S = [I 4 I 4 I 4 I 4 I 4 I 4 ] = </4, /4, /4, /4> = (/4) I 4 4 b ˆ = [ I 4 I 4 I 4 ] = [ 3 4] dove i, i =,,3,4, idica la media arimeica delle relaive al solo rimesre i-esimo. I ale maiera, la preseza della edeza ella serie origiale aumea di per sé i valori dei faori sagioali ma mao che si passa dal primo al quaro, se è crescee; li dimiuisce se decrescee. Per depurare correamee ua serie delle sagioalià, allora, è ecessario elimiare ache la edeza; ad esempio, mediae u poliomio del ipo (I-.8.3). Combiado queso e la (3.3.) si oiee p * = a a a p b d bd b3d 3 b4d4 (3.3.8) dove { ˆ * } è la serie depuraa sia della edeza che delle sagioalià. Si osservi che ella (3.3.8) è sao olo il ermie di grado zero i a causa della preseza delle variabili di comodo. Scrivedo la (3.3.8) per ue le si oiee, i forma sieica dove a=[a a a p ] e = Pa Sb * 3-6

27 ed acora = P 3 3 a = [ PS ] b * p p p 3 p (3.3.9) dalla quale si raggoo le sime dei miimi quadrai ordiari sia per i coefficiei a che per gli alri b aˆ = [( PS) ( PS)] b ˆ P ( PS) = ( PS) S P P P = S S P P S S S P S (3.3.) La serie desagioalizzaa co la correzioe della edeza Poiché si può dimosrare i algebra mariciale che daa la marice parizioaa ella seguee maiera A A A = (3.3.) A A dove A ed A soo marici quadrae o sigolari, l iversa della A può essere scria ella forma co B bˆ = B A AAB AA AAB A = (3.3.) BAA B = ( A AAA) ( S P)( P P) = [ S S S P( P P) avedo poso P B P S], il veore bˆ ella (3.3.) vale S = B S Q = [ S QS] S [ I P( P P) Q = I P(P P) - P S Q Allora la serie { } solao desagioalizzaa vale ˆ d = Sbˆ = { I S[ S QS] S Q} acora pari ad ua rasformazioe lieare di. P ] = B S Q = (3.3.3) 3-7

28 Nel caso della serie delle imporazioi, che effeivamee presea ua edeza crescee (come risula dalla figure 3.6 o 3.3) possiamo simare il modello (3.3.8) el quale poiamo iizialmee p = (edeza parabolica) per eer coo del fao che la edeza appare o perfeamee reiliea. La sima forisce i seguei risulai ^ l = 658. d d d d (6.4) (6.5) (3.5) (7.) (.8) (5.9) = 8, R =.93, R c =.97, RSS =.89E8, SEE = 6., JB =.7 dai quali si vede come il ermie di secodo grado i sia sigificaivo, cofermado così l ipoesi che la edeza sia parabolica. Il grafico dei valori sorici e di quelli simai è riporao ella figura 3.4, mere la 3.5 ripora i residui simai, cioè la serie delle imporazioi coemporaeamee deredizzaa e desagioalizzaa Q 97Q3 975Q 977Q3 98Q 98Q3 985Q 987Q3 989Q4 Figura 3.4 Valori sorici e simai del modello (3.3.8) simao co la serie delle imporazioi poedo p = (edeza parabolica). La sima del modello co le serie desagioalizzae Per simare il modello coeee serie soriche ue desagioalizzae * * * * = [ xx xk ] b u (3.3.4) * dove x i è il veore coloa relaivo alla i-esima variabile, o è ecessario elimiare prelimiarmee la sagioalià i ciascua serie e poi effeuare la sima. È più coveiee seguire u alra srada, più immediaa: se ifai le serie desagioalizzae soo 3-8

29 * = Pa Sc * x i = xi Pa i Sci i =,,, k dove la marice P daa dalla (3.3.9) e la S dalla (3.3.5), il modello lieare geerale desagioalizzao (3.3.4) è equivalee all alro cioè b Pa Pa Pa Sc Sc Sc u b = [ k ] [ k ] b = b ( Pa Pa Pa Pa k ) ( Sc Sc Sc Sck ) u (3.3.5) dove si è poso ella forma a = a b i c = c b, per i =,,,k. Ma la (3.3.5) può essere scria i i, i i i = b Pa Sc u (3.3.6) avedo poso k a ai = a, c ci = c, ed è quidi coveiee simare i= k i= coemporaeamee i parameri b del modello lieare, i faori di desagioalizzazioe c ed i parameri a della edeza all iero del modello (3.3.6) Q 97Q3 975Q 977Q3 98Q 98Q3 985Q 987Q3 989Q4 Figura 3.5 La serie delle imporazioi deredizzaa e desagioalizzaa co la (3.3.8). Possiamo ora ripredere la fuzioe delle imporazioi (..), che ella (3..8) è saa aumeaa co ua dumm puuale per eer coo di u osservazioe aomala el primo rimesre del 973. Come abbiamo viso all iizio di queso paragrafo i residui della (3..9) mosrao sagioalià (si veda 3-9

30 la figura 3.5), perché il ciclo sagioale delle imporazioi, esamiao i deaglio i queso paragrafo, o coicide co quello delle variabili esplicaive. Aumeiamo quidi il modello (3..8) co re variabili di comodo (si ricordi che il modello coiee l iercea, per cui vale l osservazioe 3.4) e co ua edeza parabolica l = β β lx β 3 lx β 4 lx 3 β 5 lx 4 δd 73, (3.3.7) a a b d b d b 3 d 3 u La sima della (3.3.7) forisce i seguei risulai l ŷ = lx.785 lx.8 lx lx 4 (-4.) (4.) (3.4) (-.5) (-.).57 d 73, d. d (.4) (.) (.3) (3.) (.) (3.3.8). d 3 (-.7) = 8, R =.99, R c =.99, RSS =.3, SEE =., JB =.95 Nella (3.3.8) i coefficiei della edeza o soo sigificaivi. Queso risulao è plausibile e dipede dal fao che la edeza della variabile dipedee è spiegaa da quella delle esplicaive. Si oi ache che la variabile x 4, che misura i prezzi ieri, ha ora sego egaivo i disaccordo co la eoria (secodo la quale u aumeo dei prezzi ieri deermia u aumeo della domada di bei imporai). Queso risulao può essere dovuo al fao che el modello soo presei due variabili irrilevai (la edeza lieare e quella quadraica) erambe foremee correlae co la serie dei prezzi. Siamo quidi i preseza di ua disorsioe deermiaa da mulicolliearià. Per ovviare a quesi problemi risimiamo la (3.3.7) elimiado la edeza. Oeiamo le sime l ŷ = lx.798 lx.55 lx 3.3 lx 4 (-8.3) (7.) (3.3) (-.) (.4).54 d 73,.47 d. d.6 d 3 (.) (5.) (.3) (-.4) (3.3.9) = 8, R =.99, R c =.99, RSS =.367, SEE =., JB =.46 elle quali ora i prezzi ieri erao co il sego aeso, ache se hao u coefficiee o sigificaivo. La correzioe della sagioalià migliora la boà 3-3

31 della rappreseazioe foria dal modello, che passa da u R c =.985 ella (3..9) a u R c =.99. I valori sorici e quelli simai soo riprodoi ella figura 3.6, che esimoia il buo adaameo ai dai del modello prescelo Q 97Q3 975Q 977Q3 98Q 98Q3 985Q 987Q3 Figura 3.6 I valori sorici delle imporazioi e quelli simai col modello (3.3.9) Auocorrelaio fucio of residuals, sample from 97Q o 989Q Order of lags Figura 3.7 Il correlogramma dei residui della (3.3.9). Dal cofroo co la figura 3.5, che ripora il correlogramma dei residui della (3..9), si oa come la correzioe della sagioalià mediae le variabili di comodo abbia elimiao i picchi sagioali del correlogramma. U alra idicazioe del migliorameo apporao al modello si ricava da correlogramma dei residui, raffigurao ella 3.7, dalla quale risula chiaramee come la correzioe co le variabili di comodo abbia elimiao le auocorrelazioi sagioali dei residui. 3-3

32 U es di cambiameo sruurale per il modello lieare semplice I queso paragrafo e el successivo affroiamo l ipoesi di ivariaza sruurale, cosideradola iaziuo co riferimeo alla semplice equazioe del cosumo (.3.) e verifichiamo che i suoi due parameri β e β rimagao ivariai ell iero campioe, coro l aleraiva che essi cambio passado da ua prima pare del campioe, di ampiezza, ad ua secoda, di ampiezza. Dal puo di visa ecoomico queso cambiameo ha u sigificao rilevae, soprauo per quao riguarda la propesioe margiale al cosumo β, che raramee rimae cosae el medio-lugo periodo. I preseza di cambiameo cambiameo sruurale si ha u x β β = el primo sooperiodo,,, = (3.4.) u x β β = el secodo sooperiodo,, = (3.4.) dove il primo idice di ogi coefficiee idica il regime, e il secodo la variabile cui il coefficiee è riferio. La forma mariciale (.4.4) divea β β β β = u u u u u u x x x x x x cioè, i ermii compai = u u b b (3.4.3) co ovvie defiizioi dei veori e delle marici idicai.

33 3-33 La sima dei miimi quadrai ordiari è facilmee calcolaa = = = = ) ( ) ( ˆ ˆ b b (3.4.4) ed è uguale a quella che si oerrebbe simado separaamee le due equazioi (3.4.) e (3.4.). Le ipoesi soo le quali è valida la sima OLS soo le (.4.9) adaae al caso presee >, r( )= ; >, r( )= Se ivece il cambiameo sruurale o vale, si verifica l ipoesi ulla H : β = β = β, β = β = β (3.4.5) composa da due relazioi lieari che possoo essere scrie ella forma (.4.) = : b b H essedo i queso caso ] [ = b b b. Suppoedo valide le ipoesi fori sui residui i ambedue i sooperiodi si può uilizzare il es della F di Fisher co e 4 gradi di liberà dao dalla (.4.), dove bˆ ed û vegoo calcolae ipoizzado valido il cambiameo di sruura, per cui [ ] = ˆˆ ˆ b b b, bˆ ˆ = u (3.4.6) Se, ivece, si preferisce uilizzare il es della F di Fisher dao i ua delle due forme (.5.4), occorre cosiderare che se è valida H si ha che b = b = b, la (3.4.3) divea u β β = (3.4.7) ed i veori b = [α β ] ed u vicolai dalle resrizioi lieari (3.4.5) soo [ ] [ ] ] [ ] [ = = b (3.4.8)

34 u = b (3.4.9) per cui l applicazioe di ciascua delle (.5.4) è immediaa. I queso caso il umero dei vicoli è acora q=k= e il umero dei gradi di liberà della deviaza uˆ uˆ è acora k = 4 poiché quesa è calcolaa ipoizzado valido il cambiameo di sruura. Osservazioe È coveiee, dal puo di visa didaico, rimarcare che l ipoesi ulla da verificare è relaiva all omogeeià del campioe e o al cambiameo sruurale, el quale cosise, ivece, l ipoesi aleraiva. Iolre, il veore b delle sime dei miimi quadrai vicolai, che è ecessario per deermiare u ed uilizzare il es della F di Fisher i ua delle due forme (.5.4), può auralmee essere calcolao co la formula (..8) che sfrua la marice R ed il veore r, ma più semplicemee è deermiabile ramie la (3.4.8) dao che el caso di validià del vicolo (ipoesi ulla) il campioe (, ) è omogeeo e l equazioe (3.4.3) assume la forma semplice (3.4.7). Tes di cambiameo di sruura co le variabili di comodo Nel paragrafo 3. abbiamo viso che le variabili di comodo possoo essere uilizzae per rappreseare sposamei (shif) ei parameri. No sorprede quidi che esse giochio u ruolo esseziale ache ella verifica dell ipoesi di cambiameo di sruura. I siesi, il es per la (3.4.5) può essere sooposo a verifica accerado che siao ulle le variabili di comodo che misurao lo sposameo dei parameri fra il primo e il secodo sooperiodo. Formalmee, i due modelli (3.4.) e (3.4.) vegoo fusi ell uico modello = β β x γ d γ ( d x ) u (3.4.) dove la d è ua shif dumm defiia come d = I( > ) e i parameri γj misurao lo sposameo dell iercea (per j = ) e della pedeza (per j = ). La (3.4.) i forma mariciale è 3-34

35 3-35 γ γ β β = u u u u u u x x x x x x x x x Il es di cambiameo sruurale viee quidi codoo verificado l ipoesi ulla che i due parameri γ j siao coemporaeamee ulli ella (3.4.). La saisica F co e -4 gradi di liberà che si oiee è ideica a quella oeua applicado le (.5.4) alle gradezze (3.4.8)-(3.4.9). CF9S Y9S Quarers Q 973Q4 977Q3 98Q 985Q 988Q4 99Q3 996Q Figura 3.8 Le serie soriche dei cosumi e del PIL desagioalizzae co le variabili di comodo. Il grafico delle serie grezze è riporao ella I-.. L equivaleza è dimosraa da Gujarai [97] al quale riviamo il leore desideroso di approfodimei. Quesa procedura è uile el caso i cui o si dispoga di u programma di calcolo che effeui auomaicamee il es di cambiameo di sruura. La procedura sadard ifai richiederebbe la sima di re regressioi (quella su uo il campioe la (.3.) e le due sui soocampioi le (3.4.)-(3.4.)), mere la procedura di Gujarai richiede che se e simio due, cioè la (.3.) e la (3.4.).

36 Per esemplificare quesi risulai riprediamo le serie dei cosumi e del reddio rappreseae ella figura I-. e uilizziamole per verificare l ipoesi di cambiameo di sruura fra la (3.4.) e la (3.4.). Dao che quese serie preseao sagioalià, la cui preseza, come sappiamo, può comporare ua violazioe delle ipoesi socasiche deboli, prima di simare il modello (..) rimuoviamo quese sagioalià co la regressioe (3.3.) reiegrado le rispeive medie campioarie co la (3.3.5) per coservare i volumi. 3 Le serie desagioalizzae soo rappreseae ella figura 3.8, che può essere cofroaa co la I-. per apprezzare l efficacia della procedura. L esame della figura 3.8 mosra che soprauo el caso del PIL la procedura lascia qualche residuo di ciclicià sagioale. Queso risulao porebbe dipedere da cambiamei di sruura el ciclo sagioale. I effei la (3.3.) presuppoe che queso ciclo abbia sruura cosae su uo il campioe, ma se così o è ed esisoo, poiamo, due disii regimi di sagioalià el campioe (il primo valido da a, e il secodo da a a ), i faori di desagioalizzazioe simai mediae la (3.3.) vegoo ad essere ua misura di quelli relaivi ai due regimi e quidi soraedoli alla serie o si oiee mai ua serie perfeamee desagioalizzaa. Ricordiamo dal capiolo I- che la eoria ecoomica prevede che il cosumo assorba i qualche misura gli shock reali e abbia quidi u profilo più livellao el empo. Ne cosegue che ache le procedure di desagioalizzazioe applicae ad esso avrao maggiore efficacia, come sembra idicare la figura 3.8. Fae quese riserve, prediamo comuque per buoe le serie desagioalizzae della figura 3.8 e le impieghiamo per applicare il es F di cambiameo di sruura. Per verificare l ipoesi di cambiameo di sruura occorre i primo luogo deermiare la daa ella quale ha ermie il primo sooperiodo. I macaza di iformazioi a priori, idicazioi i al seso possoo essere ricavae dal grafico dei residui soo la ulla (cioè i asseza di cambiameo di sruura), cioè dai residui dell equazioe simaa sull iero campioe. Nel osro caso quesa sima produce i seguei risulai: 3 Come sappiamo, i geerale è idifferee se la sagioalià viee rimossa prima della sima del modello (come ella (3.3.4)) o coesualmee ad essa iseredo le dumm ella regressioe (come ella (3.3.6)). I queso caso però rimuovedo la sagioalià prima di effeuare il es di cambiameo di sruura siamo impliciamee ipoizzado che i faori di desagioalizzazioe o cambio da u sooperiodo all alro. Quesa ipoesi viee faa solo per comodià didaica (cioè per cocerare l aezioe sui soli parameri α e β), ma ei casi cocrei porebbe rivelarsi iappropriaa, per cui ua correa prassi prevede che il es di cambiameo di sruura coivolga ache i faori di desagioalizzazioe e deredizzazioe e vega quidi eseguio sulla regressioe complea (3.3.6). 3-36