Modelli attuariali per la previdenza complementare

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1 Modelli auariali per la prevideza complemeare Fabio Grasso Diparimeo di Scieze Saisiche Uiversià degli Sudi di Roma La Sapieza Riassuo Il presee lavoro esamia i profili auariali della prevideza complemeare ella quale, come coferma la recee esperieza della riforma della prevideza complemeare auaa i Ialia dal decreo legislaivo 5 dicembre 2005, 252, si collocao forme di prevideza ra loro molo diversificae Soo preseai e cofroai, ache co esempi, i pricipi di equilibrio (di ipo colleivo o idividuale, auariale o fiaziario) ra le erae (per coribui) e le uscie (per presazioi) che possoo essere adoai per la gesioe di uo schema di prevideza complemeare e, iolre, soo propose alcue misure per valuare la solidarieà ra assicurai geeraa dall applicazioe del pricipio di equilibrio colleivo Key Words: Pesio scheme, Acuarial models, Coribuios ad beefis, Reservig, Solidariy 1 Iroduzioe I ambio prevideziale, la locuzioe sisema a re pilasri idica u sisema aricolao su varie forme di prevideza, raggruppabili i re caegorie fodameali, vole el complesso a garaire agli idividui i sao di aivià lavoraiva u adeguaa coperura dei diversi rischi coessi alla via umaa: la sopravviveza a ua daa eà (ipicamee corrispodee alla cessazioe dell aivià lavoraiva), l ivalidià, la more, ecc I paricolare: a) il primo pilasro desiga la prevideza pubblica di base; b) il secodo pilasro desiga la prevideza complemeare; c) il erzo pilasro desiga la libera prevideza idividuale Da alcui decei il primo pilasro ha sesibilmee ridoo la poraa del proprio ierveo, ache a seguio del crescee divario ra le presazioi promesse e le risorse dispoibili Co riferimeo alle sole presazioi i caso di via del ipo redia vializia (o, ache, pesioi di vecchiaia), si osserva che i sisemi prevideziali pubblici dei pricipali Paesi idusrializzai aualmee erogao raamei pesioisici di eià be iferiore rispeo al passao I paricolare, la pesioe può essere: idiffereziaa (vale a dire, o legaa alla reribuzioe del lavoraore) e i grado di coprire solamee le primarie esigeze di sopravviveza dei pesioai, i accordo co l imposazioe briaica della prevideza pubblica di base; legaa alla reribuzioe del lavoraore e, comuque, limiaa da u presabilio imporo massimo, i accordo co l imposazioe germaica della prevideza pubblica di base 1

2 Affiché u idividuo che era i quiesceza possa beeficiare di u soddisfacee asso di sosiuzioe, defiio come il rapporo ra la prima pesioe e l ulima reribuzioe, è quidi ecessario che egli preda i cosiderazioe: la libera prevideza idividuale, cosiuia da varie forme di risparmio fiaziario e, i paricolare, dall assicurazioe privaa idividuale; la prevideza complemeare, cosiuia da varie forme di prevideza defiie a livello colleivo, su base obbligaoria o voloaria, e i grado di offrire all idividuo coperure a codizioi più vaaggiose rispeo a quelle radizioalmee offere dall assicurazioe privaa idividuale Il presee lavoro esamia i profili auariali della prevideza complemeare ella quale, come coferma la recee esperieza della riforma della prevideza complemeare auaa i Ialia dal decreo legislaivo 5 dicembre 2005, 252, si collocao forme di prevideza ra loro molo diversificae Il lavoro è così orgaizzao Nel paragrafo 2 soo richiamai alcui cocei di base della prevideza complemeare (soggei, gesori, modalià operaive, ecc) e soo esamiae le pricipali caraerisiche eciche di uo schema di prevideza complemeare (modelli di fiaziameo, misura delle presazioi, schema a coribuo defiio e schema a presazioe defiia, ecc) che eroghi solamee presazioi i caso di via del ipo redia vializia Nel paragrafo 3 soo preseai e cofroai, ache co esempi, i pricipi di equilibrio (di ipo colleivo o idividuale, auariale o fiaziario) ra i coribui e le presazioi che possoo essere adoai per la gesioe di uo schema di prevideza complemeare e, iolre, soo propose alcue misure per valuare la solidarieà ra assicurai geeraa dall applicazioe del pricipio di equilibrio colleivo 2 Prevideza complemeare e fodi pesioe 21 Premesse Uo schema di prevideza complemeare è lo srumeo mediae il quale è auaa la prevideza complemeare Esso si prefigge di erogare presazioi ai membri di ua daa colleivià, deomiai assicurai, che si rovao iizialmee i sao di aivià (lavoraiva) L adesioe dei lavoraori allo schema di prevideza complemeare può essere previsa su base obbligaoria o voloaria Nel presee lavoro si farà prevalee riferimeo ai seguei due esempi di colleivià: a) i lavoraori dipedei di u azieda (privaa o pubblica); b) i lavoraori auoomi appareei a u associazioe professioale Il soggeo che ideifica il rapporo di lavoro o la professioe dell assicurao è chiamao ee (ei suddei esempi, rispeivamee, l azieda e l associazioe professioale), mere i soggei preposi alla gesioe (ammiisraiva, fiaziaria, ecc) dello schema di prevideza complemeare soo chiamai gesori 2

3 Co riferimeo agli aspei ecici della gesioe prevideziale (vale a dire, i seso ampio, quelli che riguardao il fiaziameo e l erogazioe delle presazioi), si osserva che ella realà della prevideza complemeare, ache i Ialia, è frequee il caso di ua pluralià di gesori A ale riguardo u ipico esempio è quello di ua gesioe misa baca impresa di assicurazioe, dove la prima gesisce la fase di accumulo dei coribui e la secoda gesisce la fase di erogazioe delle presazioi 22 Coribui e presazioi Si cosideri u assicurao, vale a dire u idividuo che appariee a ua daa colleivià e che si rova iizialmee i sao di aivià Co riferimeo al dao assicurao, le presazioi (o, ache, beefici), del ipo capiale e/o redia vializia, che possoo essere erogae da uo schema di prevideza complemeare soo ipicamee le seguei: a) presazioi i caso di via dell assicurao all eà di pesioameo per vecchiaia fissaa dalla prevideza pubblica di base; 1 b) presazioi i caso di ivalidià (permaee, oale o parziale) dell assicurao durae il periodo di aivià; c) presazioi i caso di more dell assicurao durae il periodo di aivià o durae il periodo di quiesceza 2 Nel lavoro, salvo vi sia ua diversa idicazioe, è ipoizzao che lo schema di prevideza complemeare eroghi solamee presazioi i caso di via del ipo redia vializia: esse soo oe come pesioi (complemeari) di vecchiaia I ale ipoesi l assicurao i sao di quiesceza (pesioao) è l uico possibile beeficiario della presazioe pesioisica 3 Le presazioi, erogae el caso siao soddisfai deermiai requisii (riguardai il umero di ai di assicurazioe, ecc) soo fiaziae dai coribui (o, ache, premi) L oere della corresposioe dei coribui, aualmee deermiai i perceuale della reribuzioe (o del reddio) dell assicurao o i misura fissa, può gravare (ache coemporaeamee) su diversi soggei: l assicurao, il daore di lavoro e (ache ella forma di sgravi fiscali) lo Sao Si disiguoo le seguei ipologie di schemi di prevideza complemeare: a) schemi coribuori, ei quali gli assicurai parecipao (i misura oale o parziale) al fiaziameo delle presazioi; b) schemi o coribuori, ei quali o è previsa la parecipazioe degli assicurai al fiaziameo delle presazioi 1 La ormaiva può prevedere che l eà di pesioameo per vecchiaia sia deermiaa i modo assoluo o, per ciascu idividuo, i relazioe ache all aziaià di servizio (ad esempio, è queso il caso dell Ialia) 2 Mere ei casi (a) e (b) il beeficiario delle presazioi è l assicurao medesimo, el caso (c) soo beeficiari delle presazioi gli eveuali supersii dell assicurao che e abbiao dirio 3 Gli schemi di prevideza complemeare geeralmee garaiscoo all assicurao ache alcue presazioi i caso di via erogabili durae il periodo di aivià (ad esempio, le aicipazioi) 3

4 23 Modelli di fiaziameo I uo schema di prevideza complemeare che eroghi presazioi i caso di via del ipo redia vializia, la corresposioe dei coribui per il fiaziameo delle presazioi può avveire i base a ua delle seguei modalià: a) modello co fiaziameo corree; b) modello co fiaziameo fiale; c) modello co fiaziameo progressivo I base al modello co fiaziameo corree (ache oo come modello pay as you go ) le presazioi vegoo fiaziae coesualmee alla loro erogazioe e o vi è alcu prefiaziameo delle medesime I al caso o si deermia quidi u accaoameo di riserve, geericamee iese come risorse da desiare al fiaziameo delle presazioi Queso modello, diffusamee adoao ella prevideza pubblica di base, o è applicabile se il fiaziameo della presazioe, per ciascu assicurao (i quiesceza), avviee ramie ua sequeza di coribui versai (ache solo i misura parziale) dal medesimo assicurao durae il periodo di aivià 4 I base al modello co fiaziameo fiale (ache oo come modello ermial fudig ) le presazioi vegoo fiaziae mediae la corresposioe dei relaivi capiali di coperura (vale a dire, i valori auali aesi delle pesioi al momeo i cui iizia l erogazioe delle medesime) Secodo queso modello, ach esso frequeemee adoao ella prevideza pubblica di base, si ha perao la formazioe di ua riserva a parire dall epoca di avvio dell erogazioe del raameo pesioisico 5 I base al modello co fiaziameo progressivo, radizioalmee i uso ella prevideza complemeare, per ciascu assicurao (i quiesceza) la presazioe è fiaziaa mediae ua sequeza di coribui versai (i misura oale o parziale o ulla da pare dell assicurao) durae il periodo di aivià del medesimo I al caso si ha perao la formazioe di ua riserva già el periodo di aivià dell assicurao Il lavoro cosidererà el seguio solamee il modello co fiaziameo progressivo e, per semplicià, ipoizzerà ache u fiaziameo delle presazioi a oale carico degli assicurai (è queso il caso, i Ialia, dei lavoraori auoomi e dei liberi professioisi) 24 Misura delle presazioi Ai fii della deermiazioe delle pesioi di vecchiaia erogae da uo schema di prevideza complemeare occorre iaziuo disiguere ra: 4 Segue queso modello il sisema fiaziario di gesioe della riparizioe pura, i Ialia e all esero adoao ell assicurazioe obbligaoria per l ivalidià, la vecchiaia e i supersii 5 Segue queso modello il sisema fiaziario di gesioe della riparizioe dei capiali di coperura, i Ialia adoao ell assicurazioe obbligaoria coro gli iforui sul lavoro e le malaie professioali 4

5 a) presazioe coribuiva: i relazioe a ciascu assicurao, la pesioe di vecchiaia è legaa, secodo u assegaa formula, ai coribui versai el periodo di aivià; b) presazioe reribuiva: i relazioe a ciascu assicurao, la pesioe di vecchiaia è legaa, secodo u assegaa formula, alle reribuzioi percepie egli ulimi ai di aivià (ad esempio, gli ulimi re o cique ai) o ell iera via lavoraiva; i al caso la pesioe è quidi idipedee dai coribui versai el periodo di aivià Erambe le ipologie di presazioi hao applicazioe ella prevideza pubblica di base, mere ella prevideza complemeare le presazioi soo di orma coribuive Il lavoro farà riferimeo el seguio solamee a quese ulime Si cosideri ua pesioe di vecchiaia di ipo coribuivo, relaiva a u assicurao di sesso maschile (deoao co m) ed eà x all epoca 0 di igresso i aivià che, per semplicià, si assume coicidee co l epoca di avvio della gesioe prevideziale I ali ipoesi, siao: c, c, 2, c 1 (co c 0 per = 1,2,,) i coribui versai dall assicurao all iizio, rispeivamee, del primo, secodo,, -esimo ao di aivià; i, i,, i 1 2 (co i 0 per = 1,2,,) i corrispodei assi aui di redimeo relaivi all ivesimeo dei coribui All epoca,, di igresso dell assicurao i quiesceza, il moae fiaziario dei coribui versai, idicao co M, è perao (1) M 1 c ( 1 i ) (1 i ) L imporo M è poi rasformao i ua redia vializia (pesioe di vecchiaia) e si oiee la raa aua,, della redia (elle dae ipoesi, o reversibile) mediae la Rx (2) M R a, x x dove a x è il valore auale aeso, all epoca, di ua redia vializia immediaa e aicipaa, di raa uiaria, per u idividuo di sesso maschile ed eà iiziale x+ Il descrio procedimeo per la deermiazioe di ua presazioe (pesioe di vecchiaia) coribuiva è applicao, i Ialia, ell assicurazioe obbligaoria per l ivalidià, la vecchiaia e i supersii (i forza della legge 8 agoso 1995, 335) Tuavia, i al caso i coribui aui 6 o soo capializzai i seso fiaziario besì soo rivaluai mediae il asso di crescia medio del Prodoo Iero Lordo omiale relaivo agli ulimi cique ai 7 Iolre, la rasformazioe del moae fiaziario dei coribui i redia vializia avviee ramie u coefficiee, deo coefficiee di rasformazioe, idiffereziao per maschi e femmie 6 Aualmee i coribui soo fissai ella misura del 33% (rispeivamee, 20%) della reribuzioe aua per i lavoraori dipedei (rispeivamee, lavoraori auoomi) 7 Si ha perao ua capializzazioe figuraiva (e o effeiva) dei coribui 5

6 25 Relazioi ra coribui e presazioi Negli schemi di prevideza complemeare il legame ra i coribui e le presazioi può realizzarsi secodo due differei modalià Ifai, si disiguoo: a) schemi a coribuo defiio; b) schemi a presazioe defiia I uo schema a coribuo defiio è iizialmee fissaa la sequeza dei coribui e la presazioe viee successivamee deermiaa, secodo u assegaa formula, i fuzioe di ali coribui I paricolare, uo schema a coribuo defiio può essere: co garazia di redimeo miimo (e, quidi, di presazioe miima), dove la garazia, per l assicurao, cosise ell applicazioe, ai coribui, di u asso auo di redimeo o iferiore a u livello miimo garaio i * (co i * 0 ); 8 seza garazia di redimeo miimo I uo schema a presazioe defiia è iizialmee fissaa la presazioe e i coribui soo successivamee deermiai, secodo u assegaa formula, i fuzioe di ale presazioe I paricolare, la presazioe può essere: aggiuiva, se è fissao solamee l ammoare della presazioe erogaa dallo schema di prevideza complemeare; iegraiva, se è fissao l ammoare complessivo delle presazioi erogae dallo schema di prevideza complemeare e dalla prevideza pubblica di base I uo schema a coribuo defiio, il valore delle aivià e il valore delle passivià si eguagliao i qualsiasi isae (e lo schema è deo fully fuded ), mere ale eguagliaza o vale, i geerale, i uo schema a presazioe defiia (i paricolare, esso è deo overfuded se il valore del parimoio è superiore a quello della riserva accaoaa e, ivece, uderfuded el caso corario) Nella prevideza complemeare soo adoai sia schemi a coribuo defiio (ei quali la presazioe è aggiuiva) sia schemi a presazioe defiia Il legislaore può uavia imporre alcue resrizioi al loro uilizzo 9 26 Classificazioe degli schemi di prevideza complemeare Si cosideri, ad esempio, ua colleivià cosiuia dai lavoraori dipedei di u azieda I ale ipoesi la prevideza complemeare può auarsi secodo ua delle seguei modalià: 8 I paricolare, per i*=0 si ha la garazia del capiale versao 9 I Ialia, ad esempio, possoo essere isiuie forme pesioisiche complemeari a presazioe defiia solamee i relazioe ai lavoraori auoomi e ai liberi professioisi (i forza del decreo legislaivo 21 aprile 1993, 124) La presazioe defiia (i prevaleza, aggiuiva) può essere deermiaa i fuzioe del reddio percepio dal lavoraore o del raameo pesioisico erogao dalla prevideza pubblica di base Per approfodimei si vedao Cesari (2007) e Vallacqua (2008) 6

7 a) schemi auoassicurai; b) schemi assicurai I uo schema auoassicurao il daore di lavoro si impega a corrispodere ai dipedei i quiesceza ua pesioe di vecchiaia e, a ale fie, può decidere: di accaoare adeguae riserve (i al caso si ha uo schema auoassicurao co accaoameo di riserve iero all azieda); di cosiuire u uià operaiva, esera all azieda, preposa all accumulo dei coribui, all accaoameo delle riserve e all erogazioe della presazioe pesioisica (i al caso si ha uo schema auoassicurao co accaoameo di riserve esero all azieda o, ache, fodo pesioe auogesio) I uo schema assicurao (o, ache, fodo pesioe assicurao) il daore di lavoro si impega a corrispodere ai dipedei i quiesceza ua pesioe di vecchiaia e, a ale fie, sipula u corao co uo o più iermediari fiaziari (baca, impresa di assicurazioe, ecc) per la gesioe (oale o parziale) dello schema prevideziale 10 La suddea classificazioe è valida per qualsiasi schema di prevideza complemeare e per ogi colleivià di riferimeo 11 Essa evidezia alresì come i uo schema auoassicurao o si aui alcu rasferimeo di rischi della gesioe prevideziale dall ee (ell esempio i esame, l azieda) ad alri soggei (vale a dire, gli iermediari fiaziari) Fodi pesioe I fodi pesioe rappreseao, i Ialia e all esero, la modalià operaiva più ieressae della prevideza complemeare Sulla base della classificazioe degli schemi di prevideza complemeare ora descria, si disiguoo: a) fodi pesioe auogesii; b) fodi pesioe assicurai Erambi possoo essere del ipo a coribuo defiio o a presazioe defiia (i prevaleza, aggiuiva) Nei fodi pesioe assicurai a coribuo defiio è usualmee previsa ua garazia di redimeo miimo Le forme pesioisiche complemeari presei i Ialia, co la sola (parziale) eccezioe dei fodi pesioe preesisei (vale a dire, i fodi pesioe già isiuii alla daa di eraa i vigore della legge 23 oobre 1992, 421) soo fodi assicurai i quao prevedoo la parecipazioe di almeo u iermediario fiaziario ella gesioe prevideziale: ifai, il decreo legislaivo 5 dicembre 2005, 252 dispoe che la gesioe fiaziaria delle risorse dei fodi pesioe deve essere affidaa ai seguei soggei specializzai ella gesioe di parimoi: bache, imprese di assicurazioe, socieà di gesioe del risparmio e socieà di iermediazioe mobiliare Per approfodimei si vedao Cesari (2007) e Vallacqua (2008) 11 Tra le modalià auaive della prevideza complemeare si ha iolre il caso di uo schema auoassicurao seza accaoameo di riserve, il quale presuppoe uavia che le presazioi siao fiaziae (ell esempio i esame, dal daore di lavoro) mediae il modello co fiaziameo corree 12 Per ua sieica aalisi dei rischi coessi alla gesioe prevideziale si veda il paragrafo I Ialia, il decreo legislaivo 5 dicembre 2005, 252 sabilisce che i fodi pesioe prevedoo, i caso di coferimeo acio del TFR, l impiego dei coribui ella liea di ivesimeo (ipicamee obbligazioario) 7

8 Co riferimeo ai fodi pesioe assicurai, iolre, si disiguoo: a) fodi chiusi, i quali si riferiscoo ai lavoraori (dipedei, auoomi, ecc) appareei a ua be defiia colleivià; b) fodi aperi, i quali soo cosiuii uilaeralmee da u iermediario fiaziario e ad essi u lavoraore può aderire idividualmee, i modo del uo idipedee da uo specifico rapporo di lavoro, al fie di cosiuire per sé ua pesioe complemeare Assicurazioi colleive Nell ambio dei fodi pesioe assicurai si collocao le assicurazioi colleive: i al caso la gesioe prevideziale è ieramee affidaa a u impresa di assicurazioe Per quel che cocere i rischi oggeo della coperura assicuraiva (e le relaive presazioi erogae), si possoo disiguere le seguei forme di prevideza: a) assicurazioi colleive prevideziali, le quali prevedoo l erogazioe di presazioi i caso di via del ipo redia vializia; b) assicurazioi colleive di puro rischio, le quali prevedoo l erogazioe di presazioi i caso di more (e alvola i caso di ivalidià permaee) del ipo capiale Soo il profilo auariale, l assicurazioe colleiva è la forma di prevideza complemeare più vicia all assicurazioe privaa idividuale Essa si differezia uavia da u isieme di assicurazioi privae idividuali a causa dell uicià di coraeza (el caso della prevideza complemeare defiia a livello di azieda, ad esempio, coraee è l azieda) L uicià di coraeza ha cosegueze imporai (e posiive per gli assicurai) i ermii di coso della coperura assicuraiva: ifai, la miore icideza di alcue caegorie di spese (iaziuo, le spese di acquisizioe) cosee all impresa di assicurazioe di applicare caricamei per spese (geeralmee deermiai i via forfearia) iferiori rispeo a quelli, ceeris paribus, applicai ell assicurazioe privaa idividuale 15 Si osserva iolre che: le assicurazioi colleive prevideziali possoo essere del ipo a coribuo defiio o a presazioe defiia (i prevaleza, aggiuiva); le assicurazioi colleive di puro rischio, allo scopo di eviare feomei di aiselezioe derivai dall asseza di u iiziale visia medica, frequeemee prevedoo l adesioe obbligaoria da pare dei membri della colleivià (ell esempio i esame, i lavoraori dipedei dell azieda) più prudeziale al fie di garaire la resiuzioe del capiale versao e di oeere redimei comparabili al asso di rivaluazioe del TFR 14 I fodi aperi operao perao come colleori di posizioi prevideziali idividuali (i paricolare, el caso di lavoraori privi di u fodo chiuso di riferimeo) 15 Nelle assicurazioi colleive di puro rischio soo iolre frequeemee irodoe clausole corauali che deermiao riduzioi di premio legae alla umerosià della colleivià degli assicurai e/o alla siisrosià (moralià) osservaa 8

9 3 Pricipi di equilibrio ra coribui e presazioi 31 Premesse I uo schema di prevideza complemeare l equilibrio ra le erae (per coribui) e le uscie (per presazioi) può essere variamee defiio I paricolare, si può cosiderare: a) u equilibrio colleivo; b) u equilibrio idividuale L equilibrio colleivo è di ipo auariale i quao cosidera sia la compoee demografica sia la compoee fiaziaria, mere l equilibrio idividuale può essere: di ipo auariale; (i pare) di ipo fiaziario Di seguio soo defiii e cofroai i diversi possibili pricipi di equilibrio ra i coribui e le presazioi di uo schema di prevideza complemeare che eroghi presazioi i caso di via del ipo redia vializia I pricipi di equilibrio soo defiii o prededo i esame le spese, di aura ammiisraiva e fiaziaria, che gravao sulla gesioe prevideziale 32 Pricipio di equilibrio colleivo 321 Defiizioi L adozioe del pricipio di equilibrio colleivo ra i coribui e le presazioi di uo schema di prevideza complemeare richiede iaziuo: a) la scela di ua colleivià di riferimeo; b) la scela di u periodo di gesioe Tipici esempi di colleivià di riferimeo soo i seguei: gli aivi e i pesioai presei all epoca iiziale di valuazioe (i al caso si ha ua colleivià chiusa); gli aivi e i pesioai presei all epoca iiziale di valuazioe ai quali si aggiugoo i uovi igressi (aivi) el periodo di gesioe (i al caso si ha ua colleivià apera) Il periodo di gesioe è idividuao da u umero, N, di ai a parire dall epoca iiziale di valuazioe (sia essa l epoca 0) che, per semplicià, si assume coicidee co l epoca di avvio della gesioe prevideziale I paricolare: per ua colleivià chiusa, esso può essere idividuao dall eà esrema dell aivo, di sesso femmiile, più giovae della colleivià (caso di ua duraa fiia della gesioe); per ua colleivià apera, esso può essere più ampio ed è possibile porre, i paricolare, N=+ (caso di ua duraa illimiaa della gesioe) 9

10 Si osserva che la colleivià di riferimeo è cosiuia da assicurai eerogeei rispeo alle pricipali caraerisiche rilevai per la quaificazioe del rischio assicurao (vale a dire, la duraa di via): ifai, si hao idividui i aivià lavoraiva e i quiesceza, di sesso maschile e femmiile, avei diverse eà all igresso i aivià lavoraiva, ecc Il pricipio di equilibrio colleivo, fodao sul crierio della speraza maemaica, sabilisce che, i relazioe alla daa colleivià i u qualuque isae k del prefissao periodo di gesioe (quidi, 0 k N ), la somma del valore auale aeso dei coribui fuuri (vale a dire, relaivi al residuo periodo di gesioe [k,n]), idicao co C [k, N], e dell eveuale riserva ivi accaoaa, deomiaa riserva colleiva e idicaa co auale aeso delle presazioi fuure, idicao co O [ k, N ] I simboli, si ha (3) C[ k, N ] Gk O[ k, N ], co G 0 0 e G 0 k per k 0 G k, eguagli il valore Per l applicazioe del pricipio di equilibrio colleivo è ecessaria la fissazioe di alcue basi eciche I paricolare: a) le basi demografiche: iaziuo, le probabilià di elimiazioe (defiiiva) degli aivi dalla colleivià per le cause di more, ivalidià, ecc; b) la base fiaziaria: adoado (come è usuale ella ecica auariale dei fodi pesioe) u imposazioe deermiisica della sruura fiaziaria, essa è cosiuia dal asso auo di ieresse (cero), i, i base al quale aualizzare le presazioi; c) le basi ecoomiche: iaziuo, l adameo delle reribuzioi rispeo all aziaià lavoraiva e le variazioi delle reribuzioi (e delle pesioi) i ermii reali Se ache per le basi ecoomiche viee adoaa u imposazioe deermiisica, l aleaorieà presa i esame ai fii dei calcoli auariali è solamee quella coessa alla duraa residua di permaeza di u assicurao ello sao di aivo Nel caso di ua colleivià apera occorre iolre formulare opporue ipoesi sui uovi igressi (aivi) ella colleivià Adoao il meodo degli ai di gesioe (o, ache, meodo delle sime auali) ai fii della valuazioe dei coribui e delle presazioi, siao: C (=1,2,,N) il valore aeso dei coribui relaivi alla daa colleivià ell ao di gesioe ; O (=1,2,,N) il valore aeso degli oeri per presazioi pesioisiche relaivi alla daa colleivià ell ao di gesioe ; ad esempio: le rae di pesioe erogae ai pesioai presei ell ao; i capiali di coperura delle redie speai ai uovi pesioai dell ao 10

11 Formulaa, per semplicià, l ipoesi che i coribui e gli oeri per pesioi siao corrisposi all iizio di ciascu ao (quidi, alle epoche 0,1,,N-1), idicao co v = (1+i) -1 il faore auo di aualizzazioe fiaziaria, all epoca 0 l equilibrio colleivo è così espresso: (4) N 1 N 1 1 C v O v 1 Co riferimeo a uo schema di prevideza complemeare a presazioe defiia, fissai i valori aesi degli oeri per pesioe (i breve, presazioi) O 1, O 2,, O N, vi soo ifiie possibilià di scela dei valori aesi dei coribui (i breve, coribui) C 1, C 2,, C N i modo da verificare la (4) Aalogamee avviee, a ruoli iverii ra coribui e presazioi, i uo schema di prevideza complemeare a coribuo defiio 322 Capializzazioe colleiva Co riferimeo a uo schema prevideziale a presazioe defiia, u qualuque crierio di calcolo dei coribui C 1, C 2,, C N ale che, fissae le presazioi O 1, O 2,, O N, sia soddisfao l equilibrio colleivo (4) è defiio sisema fiaziario di gesioe 16 Nell ipoesi che, per ciascu aivo, il coribuo, c, ell ao sia dao da u aliquoa, della relaiva reribuzioe, z, si ha (5) c z e l aliquoa è deomiaa aliquoa di coribuzioe (o, ache, premio medio) Idicao co Z l ammoare complessivo delle reribuzioi percepie, ell ao, dagli aivi che apparegoo alla daa colleivià, si ha (6) C Z La codizioe di equilibrio colleivo (4) può perao essere così riscria:, (7) N N 1 1 Z v O v 1 1 La (7) evidezia come, fissae le reribuzioi Z 1, Z 2,, Z N e le presazioi O 1, O 2,, O N, u sisema fiaziario di gesioe risuli idividuao da ua paricolare sequeza di aliquoe di coribuzioe,, 1 2, N 16 Nella leeraura auariale la locuzioe sisema fiaziario di gesioe è uilizzaa idipedeemee dal pricipio adoao per la realizzazioe dell equilibrio ra coribui e presazioi Nel caso di equilibrio di ipo auariale (colleivo o idividuale) sarebbe uavia più opporua la locuzioe sisema auariale (o ecicofiaziario) di gesioe 11

12 Il problema ammee ifiie soluzioi e ciascua di esse deermia, el periodo di gesioe, ua differee disribuzioe del carico relaivo al fiaziameo dello schema di prevideza complemeare A ale proposio, si disiguoo: a) sisemi a capializzazioe colleiva; b) sisemi a riparizioe I geerale, u sisema fiaziario di gesioe è deomiao sisema a capializzazioe se la coribuzioe relaiva a u assicurao (aivo) cocorre al fiaziameo della presazioe (pesioisica) che porà essere percepia i fuuro dal medesimo assicurao Lo sfasameo emporale esisee ra la corresposioe dei coribui e l erogazioe della presazioe deermia quidi la formazioe di ua riserva Nel caso i esame, poiché ra i coribui e le presazioi vige u equilibrio colleivo (vale a dire, riferio a ua pluralià di assicurai eerogeei rispeo alle pricipali caraerisiche rilevai per la quaificazioe del rischio assicurao), si ha ua capializzazioe colleiva (di ipo auariale) e la riserva colleiva così cosiuia è uleriormee scompoibile i riserva degli aivi (o, ache, riserva degli oeri laei) e riserva dei pesioai (o, ache, riserva degli oeri maurai) I u sisema a riparizioe la coribuzioe relaiva a u assicurao (aivo) o fiazia la presazioe pesioisica che porà essere percepia i fuuro dal medesimo assicurao, poiché ale fiaziameo è ieramee affidao, mediae il modello co fiaziameo corree o il modello co fiaziameo fiale, ad alri soggei (ad esempio, alle fuure geerazioi di aivi) E perao possibile che o si deermii la formazioe di ua riserva I sisemi fiaziari di gesioe adoai ella prevideza complemeare i base al pricipio di equilibrio colleivo, per quao osservao sulle modalià di fiaziameo delle presazioi, soo sisemi a capializzazioe colleiva 323 Esempi Nei seguei esempi 1 e 2 è preseaa l applicazioe alla prevideza complemeare di u sisema fiaziario di gesioe di oevole ieresse ella prevideza pubblica di base Esempio 1 Si cosideri uo schema di prevideza complemeare a presazioe defiia e ua colleivià apera, cosiuia dagli aivi e dai pesioai presei all epoca 0 e, iolre, dai uovi igressi (aivi) el periodo di gesioe (N ai, eveualmee N=+ ) Si ipoizzi iolre che gli oeri per presazioi pesioisiche cosisao el pagameo delle rae di pesioe ai pesioai presei all iizio di ciascu ao di gesioe ( R) Idicao co O l oere i quesioe per l ao, la codizioe di equilibrio colleivo (7) assume la seguee espressioe: (8) N 1 N ( R) 1 ( R) 1 Z v O v 1 12

13 Nell ipoesi che l equilibrio ra i coribui e le presazioi vega realizzao, i paricolare, mediae u aliquoa di coribuzioe cosae el periodo di gesioe, vale a dire (9), = 1,2,,N, ( R) ( R) si oiee il sisema fiaziario di gesioe deomiao sisema del premio medio geerale, diffusamee adoao ella prevideza pubblica di base 17 Esso è idividuao dall aliquoa di coribuzioe 18 (10) N ( R) 1 O v ( R) 1 N 1 Z v 1 ( R) I paricolare, sia ( N ) il premio medio geerale el caso di duraa fiia della gesioe ( R) e, ivece, ( ) il premio medio geerale el caso di duraa illimiaa della gesioe Esempio 2 Si cosiderio la colleivià di riferimeo e il periodo di gesioe dell esempio 1 Tuavia, si ipoizzi ora che gli oeri per presazioi pesioisiche cosisao el pagameo dei capiali di coperura delle redie ai uovi pesioai di ciascu ao di gesioe (C ) Idicao co O l oere i quesioe per l ao, la codizioe di equilibrio colleivo (7) assume ora la seguee espressioe: (11) N 1 N ( C ) 1 ( C) 1 Z v O v 1 Nell ipoesi che l equilibrio ra i coribui e le presazioi vega realizzao, i paricolare, mediae u aliquoa di coribuzioe cosae el periodo di gesioe (vale a dire, ( C) ( C) per = 1,2,,N), si oiee acora il sisema del premio medio geerale Esso è ora idividuao dall aliquoa di coribuzioe 17 I Ialia, il sisema del premio medio geerale è sao adoao ell assicurazioe obbligaoria per l ivalidià, la vecchiaia e i supersii dalla sua iroduzioe su base obbligaoria (decreo legislaivo 21 aprile 1919, 603) fio al 1 maggio 1970 (i auazioe della legge 30 aprile 1969, 903), ache se el periodo esso ha covissuo co il sisema del premio medio di riparizioe pura (si veda Coppii e Micocci, 2002) 18 Va uavia osservao che se le basi eciche effeive (demografiche, ec) si discosao, el empo, i misura sigificaiva dalle basi eciche adoae ai fii dei calcoli auariali, deermiado il veir meo dell equilibrio colleivo iizialmee (all epoca 0) soddisfao, allora il sisema del premio medio geerale è caraerizzao, el empo, da u adeguameo dell aliquoa di coribuzioe iizialmee calcolaa (si veda Grasso, 2001) 13

14 (12) N ( C) 1 O v ( C ) 1 N 1 Z v 1 ( C) I paricolare, sia ( N ) il premio medio geerale el caso di duraa fiia della gesioe ( C) e, ivece, ( ) il premio medio geerale el caso di duraa illimiaa della gesioe E immediao rilevare come il sisema del premio medio geerale, defiio dall aliquoa di (R) (C) coribuzioe o, sia u sisema a capializzazioe colleiva (caraerizzao, i u qualuque isae k 0 del periodo di gesioe, dalla formazioe di ua riserva colleiva) Per quel che cocere, ifie, le relazioi ra i premi medi geerali seguei: ( R) ( C) ( N ) ( N ) ; (R) e (C), valgoo le ( R) ( C) ( ) ( ) a codizioe che le serie presei elle espressioi (10) e (12), ivi poso N=+, siao covergei Pricipio di equilibrio idividuale auariale 331 Defiizioi L adozioe del pricipio di equilibrio idividuale auariale ra i coribui e le presazioi di uo schema di prevideza complemeare richiede iaziuo la scela di ua colleivià di riferimeo cosiuia da u gruppo di assicurai per i quali è ragioevole assumere, all epoca iiziale di valuazioe (sia essa l epoca 0), codizioi di idiffereza rispeo al rischio 20 Si cosideri perao uo schema di prevideza complemeare a presazioe defiia e ua colleivià cosiuia da assicurai di sesso maschile e avei eà x all epoca 0 di igresso i aivià che, per semplicià, si assume coicidee co l epoca di avvio della gesioe prevideziale I relazioe a ciascu assicurao, sia l epoca di igresso i quiesceza e R la prefissaa raa aua della redia vializia (pesioe di vecchiaia) 21 I ali ipoesi il pricipio di equilibrio idividuale auariale, fodao sul crierio della speraza maemaica, sabilisce che, i relazioe a ciascu assicurao della daa colleivià i 19 Per approfodimei sulle codizioi ecessarie per l uicià del premio medio geerale, el caso di duraa illimiaa della gesioe, si vedao Coppii (1979) e Tomassei (1986) 20 La siuazioe i esame può essere ierpreaa come u caso paricolare di equilibrio colleivo riferio a ua colleivià chiusa e a ua duraa fiia della gesioe 21 Nelle dae ipoesi (schema a presazioe defiia, presazioe coribuiva, ec) la raa R corrispode a quella oeua mediae la (2) a parire dal prefissao moae fiaziario, all epoca, dei coribui versai 14

15 u qualuque isae k del periodo di aivià (quidi, 0 k ), la somma del valore auale [ ] aeso dei coribui fuuri, idicao co C m [ k, ], e della riserva ivi accaoaa, deomiaa riserva maemaica e idicaa co V k, eguagli il valore auale aeso delle [ ] corrispodei presazioi fuure, idicao co O m [ k, ] I simboli, si ha (13) C [ k, ] V O [ k, ], co V 0, V 0 per k 0 ed essedo 0 k k (14) O [ k, ] R E ä, k x k x dove a x k Ex k è il faore di scoo auariale (all eà x+k, per ua duraa di -k ai) e R è il capiale di coperura della redia I u qualsiasi isae k del periodo di quiesceza di ciascu assicurao (quidi, k ), l equilibrio idividuale auariale viee ivece garaio dall accaoameo di ua riserva maemaica di imporo eguale a R a x k Ache ai fii dell applicazioe del pricipio di equilibrio idividuale auariale è ecessaria la fissazioe di opporue basi eciche (di aura demografica, fiaziaria ed ecoomica) Poiché l equilibrio è riferio a ua colleivià chiusa, è ivece irrilevae la formulazioe di ipoesi su eveuali fuuri igressi (aivi) ella colleivià I caso di more di u assicurao all isae k, sia ello sao di aivo ( 0 k ) sia ello sao di pesioao ( k ), la riserva maemaica accaoaa è aribuia agli assicurai (della colleivià di riferimeo) supersii, coribuedo così a fiaziare le presazioi che porao essere erogae i fuuro a loro favore 332 Capializzazioe idividuale Il valore auale aeso, all isae k ( 0 k ), dei coribui fuuri può essere specificao mediae la defiizioe di u sisema fiaziario di gesioe Nel caso i esame u sisema fiaziario di gesioe è u qualuque crierio di calcolo dei coribui (aui) c1, c2,, cs (co 1 s ) ale che, prefissaa la raa aua, R, della redia vializia, all epoca 0 sia soddisfaa la codizioe di equilibrio idividuale auariale (13) A ale fie si possoo impiegare alcue leggi di ariffazioe delle redie vializie adoae ell assicurazioe privaa idividuale Tra le alre, si segalao: a) la legge di ariffazioe a premi aui cosai; b) la legge di ariffazioe a premi uici ricorrei 15

16 U qualuque sisema fiaziario di gesioe defiio i base alla (13) è u sisema a capializzazioe Nel caso i esame, poiché ra i coribui e le presazioi vige u equilibrio idividuale auariale (vale a dire, riferio a ua pluralià di assicurai omogeei rispeo alle pricipali caraerisiche rilevai per la quaificazioe del rischio assicurao), si ha ua capializzazioe idividuale (di ipo auariale) 333 Esempi Nei seguei esempi 3 e 4 vegoo preseae, rispeivamee, le applicazioi delle leggi di ariffazioe a premi aui cosai e a premi uici ricorrei ai fii della gesioe di uo schema di prevideza complemeare Esempio 3 Si cosideri uo schema di prevideza complemeare a presazioe defiia e ua colleivià cosiuia da assicurai di sesso maschile ed erai i aivià, i eà x, all epoca 0 Sia l epoca di igresso i quiesceza e R la prefissaa raa aua della redia vializia Si ipoizzi iolre che la redia vializia vega fiaziaa mediae il pagameo di premi aui (equi) cosai, idicai co P, per l iera duraa del differimeo della redia A parire dalla codizioe di equilibrio (13), per k = 0, si oiee il premio R / ä x (15) P, ä dove ä / x (rispeivamee, / x / ä x ) è il valore auale aeso, all epoca 0, di ua redia vializia differia (rispeivamee, emporaea) ai e aicipaa, di raa uiaria, per u idividuo di sesso maschile ed eà iiziale x Il premio P dipede ache dall eà iiziale (x) degli assicurai e dalla duraa ( ai) del differimeo della redia Per semplicià di oazioe, ciò è omesso ella (15) I ali ipoesi la riserva maemaica pura, V k, valuaa prospeivamee all epoca k (per semplicià, iera: k = 0,1,2, ), assume la seguee espressioe: (16) V k R -k/ ä xk P R ä xk /-k ä xk se se k k, co V

17 Esempio 4 Si cosiderio la colleivià di riferimeo e le ipoesi dell esempio 3 Tuavia, si ipoizzi ora che la redia vializia vega fiaziaa mediae il pagameo di premi uici (equi) ricorrei, idicai co U, U, U Vale, all epoca 0, la relazioe di equilibrio , (17) 1 U E R ä 1 x / x Cosiderado iolre ua scomposizioe di R i assegae rae R, ciascu ao di differimeo, e richiededo che il premio uico ricorree raa R, si oiee m (18) U R ä [ ] 1/ x-1, 1,2,, I paricolare, sia R R I ale ipoesi si ha 1, R2, R, ua per U fiazi la (19) U 1 U 2 U La riserva maemaica pura, V k seguee espressioe (co V 0 0 ):, valuaa prospeivamee all epoca (iera) k, assume la (20) V k -k/ ä k xk 1 R ä xk R se se k k Poiché ciascua raa R è fiaziaa dal corrispodee premio uico ricorree U, le rae R 1,, Rk soo liberae, all epoca k di valuazioe, dal pagameo di uleriori premi ell orizzoe emporale [k,) E ieressae segalare come la legge di ariffazioe a premi aui cosai possa essere ierpreaa ell ambio della legge di ariffazioe a premi uici ricorrei Ifai, poso (21) U P, 1,2,,, 22 Per semplicià di oazioe, ei premi uici ricorrei è omesso il riferimeo all eà iiziale degli assicurai e alla duraa del differimeo della redia 17

18 la deermiazioe della raa, idicaa co uico ricorree P è oeua dalla * R, fiaziaa mediae il pagameo del premio * P (22) R, 1, 2,, m ä [ ] 1/ x-1 Ovviamee si ha (23) 1 * R R, co (24) R * * * 1 R2 R 34 Pricipio di equilibrio idividuale fiaziario 341 Defiizioi A differeza di u pricipio di equilibrio auariale (di ipo idividuale o colleivo), il quale richiede iizialmee la scela di ua colleivià di riferimeo, il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario fa riferimeo al sigolo assicurao Si cosideri perao uo schema di prevideza complemeare a presazioe defiia e u assicurao (ad esempio, u lavoraore dipedee di u azieda) di sesso maschile e avee eà x all epoca 0 di igresso i aivià che, per semplicià, si assume coicidee co l epoca di avvio della gesioe prevideziale Sia l epoca di igresso i quiesceza e R la prefissaa raa aua della redia vializia I ali ipoesi il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario sabilisce che, all epoca, il moae fiaziario dei coribui versai el periodo di aivià [0,] (o, ache, moae accumulao) eguagli il capiale di coperura della redia Idicao co moae accumulao, all epoca, vale quidi la M il suddeo (25) M R ä x 342 Capializzazioe fiaziaria Ua qualuque sequeza di coribui che oega, all epoca, u moae accumulao eguale a R a x è, elle fissae ipoesi, ua modalià di fiaziameo della redia vializia 18

19 coeree co il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario: perao, essa idividua u sisema fiaziario di gesioe per il dao schema di prevideza complemeare Nel caso i esame si ha la cosiuzioe fiaziaria del capiale di coperura della redia I simboli, siao c1, c2,, c i coribui versai dall assicurao all iizio degli ai di aivià ed i1, i2,, i i corrispodei assi aui di redimeo relaivi all ivesimeo dei coribui Si ha (26) M c (1 i ) (1 i ) R a x 1 U sisema fiaziario di gesioe defiio i base alla (26) è u sisema a capializzazioe: i paricolare, la coribuzioe relaiva all assicurao fiazia i misura oale la presazioe che porà essere percepia i fuuro dal medesimo assicurao Nel caso i esame, poiché ra i coribui e le presazioi vige u equilibrio idividuale fiaziario (vale a dire, riferio al sigolo assicurao), si ha ua capializzazioe fiaziaria (e o auariale) La (26) poe iolre i evideza come il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario abbia sigificao solamee el periodo di aivià dell assicurao, durae il quale soo versai i coribui Nel successivo (eveuale) periodo di quiesceza dell assicurao, l equilibrio ra i coribui e le presazioi: a) è di ipo idividuale auariale; b) è defiio i relazioe a ua colleivià di riferimeo cosiuia da ua pluralià di assicurai (ell esempio i esame, i lavoraori dipedei dell azieda) omogeei rispeo alle pricipali caraerisiche rilevai per la quaificazioe del rischio assicurao; c) è garaio dalla riserva maemaica geeraa dal capiale di coperura della redia I caso di more dell assicurao all isae k compreso el periodo di quiesceza ( k ) la riserva maemaica accaoaa è aribuia agli assicurai (della colleivià di riferimeo) supersii, coribuedo così a fiaziare le presazioi che porao essere erogae i fuuro a loro favore Se si cosidera, perao, l iera duraa di via dell assicurao (iizialmee i aivià, i seguio eveualmee i quiesceza) l equilibrio ra i coribui e le presazioi è di ipo miso (i pare fiaziario, i pare auariale) I caso di more dell assicurao all isae k compreso el periodo di aivià ( 0 k ) il moae fiaziario dei coribui versai, ivi accumulao, è ivece accrediao, i forma di capiale e/o redia vializia, agli eveuali supersii dell aivo che e abbiao dirio La presazioe aggiuiva (rispeo alla presazioe base i caso di via), erogaa i caso di more dell assicurao el periodo di aivià, fa sì che il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario sia per l assicurao, a parià di presazioe base, più oeroso rispeo al pricipio di equilibrio idividuale auariale 19

20 I simboli, siao: ( F ) ( F ) ( F ) c1, c2,, c ua qualuque sequeza di coribui soddisfacee la codizioe di equilibrio idividuale fiaziario (26); ( A) ( A) ( A) c1, c2, c ua qualuque sequeza di coribui soddisfacee la codizioe di equilibrio idividuale auariale (13) Si ipoizzi iolre, per semplicià, che il asso auo di redimeo dei coribui sia cosae el empo ed eguale, i paricolare, al asso auo di ieresse, i, i base al quale viee aualizzaa la presazioe pesioisica I ali ipoesi si ha la seguee relazioe riguardae i valori auali aesi, all epoca 0, delle suddee due sequeze di coribui: ( F ) (27) c 1E x 1 1 c ( A) 1 E x U caso paricolare della (27) verrà esamiao e commeao el successivo esempio U esempio Nel seguee esempio 5 viee preseaa l applicazioe alla prevideza complemeare di u sisema fiaziario di gesioe di oevole ieresse, ella maemaica fiaziaria, ai fii dell operazioe di cosiuzioe di u capiale Esempio 5 Si cosideri uo schema di prevideza complemeare a presazioe defiia e u assicurao (ad esempio, u lavoraore dipedee di u azieda) di sesso maschile ed erao i aivià, i eà x, all epoca 0 Sia l epoca di igresso i quiesceza e R la prefissaa raa aua della redia vializia Si ipoizzi iolre che: a) la redia vializia vega fiaziaa mediae il pagameo di coribui aui aicipai cosai, idicai co W, per l iera duraa del differimeo della redia; b) sia i i i i 1 2 Nelle dae ipoesi la codizioe di equilibrio idividuale fiaziario (26) assume la seguee espressioe: (28) 1 W (1 i) R ä x 1 Si oiee quidi il coribuo auo (29) W R ä x, s 20

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