Tecnica delle misurazioni applicate Esame del 7 gennaio 2008

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1 Tecica delle misurazioi applicae Esame del 7 geaio 008 Problema 1. La Beloiglio rl è u impresa che alleva idusrialmee coigli e da lugo empo uilizza il magime ProRabbi 10% che ha sempre garaio, i u presabilio umero di giori, u aumeo del 10% ella massa corporea degli aimali (valore ipico, di fao coicidee co il valore medio dell aumeo della massa corporea per l iera popolazioe). L Azieda che produce il magime propoe alla Dirigeza di Beloiglio rl u magime di uova composizioe, il ProRabbi 0% che, a sua dea, ello sesso umero di giori garaisce u aumeo del 0% ella massa corporea degli aimali (ache i queso caso si cosidera il valore ipico). Dao che il uovo magime è più cososo del ProRabbi 10% la dirigeza di Beloiglio rl decide di verificare la efficacia allo scopo di eviare u acquiso iuile e, dopo avere acquisao ua idoea quaià di ProRabbi 0%, alimea co queso magime u gruppo di aimali preso come campioe per la coduzioe di u es saisico. Il es sarà codoo co u livello di sigificaivià pari a 0,01. Il campioe è composo da 16 coigli dei quali vegoo misurae la massa corporea all iizio ed alla fie del periodo di igrasso presabilio. Da quesi dai viee poi calcolao il valore perceuale δm% dell aumeo della massa corporea per ciascu coiglio del campioe: coiglio #1 δm% 1% coiglio # δm% 19% coiglio #3 δm% 0% coiglio #4 δm% 18% coiglio #5 δm% % coiglio #6 δm% 18% coiglio #7 δm% 0% coiglio #8 δm% 19% coiglio #9 δm% 19% coiglio #10 δm% 18% coiglio #11 δm% 18% coiglio #1 δm% 0% coiglio #13 δm% 1% coiglio #14 δm% 0% coiglio #15 δm% 0% coiglio #16 δm% 19% A quale coclusioe arriva la dirigeza di Beloiglio rl i base al risulao del es? Risposa: Dal risulao del es o si ha la auorizzazioe ad affermare che l'uso del uovo magime sarà iuile perao la Direzioe di Beloiglio rl procede all acquiso di ua prima foriura. Risoluzioe i defiisce prelimiarmee ua variabile casuale che assume, per ciascu elemeo della popolazioe dei coigli, valore uguale al valore i perceo dell icremeo relaivo della massa corporea al ermie del periodo di igrasso. o quesa premessa il valore della media per l'iera popolazioe che sarebbe garaio dall'uso del uovo magime risula: μ 0 0

2 Dao che si coduce il es co l'iezioe di eviare u acquiso iuile si dovrà cosruire u'ipoesi che, se rifiuaa, implichi che il uovo magime o permee di raggiugere i risulai promessi. H o : μ > μ 0 0 Rifiuare H o implica che si affermi che il valore di μ è iferiore a 0, quidi che il magime ProRabbi 0% o maiee quao reclamizzao e presea ua efficacia iferiore all aesa. Dao che il campioe è di soli 16 elemei il es viee codoo co il livello di sigificaivià richieso, pari a 0,01, e quidi co la fiducia del 99%, uilizzado la saisica campioaria T: T μ0 che presea ua disribuzioe di ipo di ude. Dao che l ipoesi è del ipo μ > μ 0 si esegue u es di ipo uilaerale (o a 1 coda ) Il campioe ha 16 perao si usa la di ude co 15 gradi di liberà: dalle abelle si ricava il valore criico della T per α 0,01 che risula: c if -,60 La regioe di rifiuo della H 0 è perao: T < c if Paredo dai valori della variabile casuale del campioe si ricavao i seguei valori: x 1 1 x 19 x 3 0 x 4 18 x 5 x 6 18 x 7 0 x 8 19 x 9 19 x x x 1 0 x 13 1 x 14 0 x 15 0 x e si deermiao la media campioaria, la variaza campioaria correa e la deviazioe sadard campioaria correa: 19,5 ; 1,47 Dai dai del campioe si ricava quidi: μ 19,5 0 1,1 1,65 0 T > 1,1 16 Dao che NON cade ella regioe di rifiuo T < c if NON posso rifiuare H 0 co la fiducia richiesa: Dao che o è lecio egare che la media della variabile per l iera popolazioe sia maggiore o uguale a 0 o è possibile affermare che il magime ProRabbi 0% o maiee quao reclamizzao e che ha ua resa iferiore all aesa. c if

3 i deve poi oare che il valore della media campioaria risula pari a 19,5 ed è iferiore a μ 0 0: dai risulai del es che è sao codoo si deve cocludere che queso risulao può essere dovuo alla casualià co cui è sao composo il campioe e o a moivi sisemaici. ome cosegueza del o rifiuo di H 0 o si può soseere, co la sigificaivià richiesa (a cui corrispode il 99% di fiducia), che l uso del uovo magime sarà iuile perao la Direzioe di Beloiglio rl procede all acquiso di ua prima foriura. Problema. e el problema 1 si fosse cosideraa ache ua ipoesi aleraiva H 1 basaa sulla asseza di differeze fra gli accrescimei prodoi dai due magimi ProRabbi0% e ProRabbi10% quale sarebbe sao il valore della poeza coro l ipoesi H 1 del es codoo? Risposa: Il valore della poeza del es coro H 1 risula maggiore di 0,995. Risoluzioe L ipoesi fodameale resa immuaa: H o : μ > μ 0 0 mere l ipoesi aleraiva assume la forma: H 1 : μ μ 1 10 Ache i queso caso, dao che il campioe è di soli 16 elemei, il es viee codoo co il livello di sigificaivià richieso, pari a 0,01, e quidi co la fiducia del 99%, uilizzado la saisica campioaria T: T μ0 che presea ua disribuzioe di ipo di ude. Dao che l ipoesi fodameale è del ipo μ > μ 0 si esegue u es di ipo uilaerale (o a 1 coda ) e si idividua il valore criico iferiore. Il campioe ha 16 perao si usa la di ude co 15 gradi di liberà: dalle abelle si ricava il valore criico della T per α 0,01 che risula: c if -,60 La formula da cui si ricava il valore criico della T relaivo alla ipoesi aleraiva H 1 è perao: μ0 μ csup cif + csup, ,46 1,1 16 da cui si ricava u valore della poeza del es coro H 1 (pari al valore di 1-β) che risula maggiore di 0,995.

4 Problema 3. i idividui, sulla base dei valori forii dal campioe del problema 1, l iervallo di cofideza al 95% per la variaza σ della variabile casuale che è saa defiia per svolgere il problema 1. Risposa: L iervallo di cofideza ricercao è: 0,80 σ 3, 5. Risoluzioe Per idividuare l iervallo di cofideza della variaza della relaiva all iera popolazioe si cosruisce ua idoea variabile casuale così defiia: 1 σ ( ) che ha disribuzioe di ipo chi quadro co -1 gradi di liberà. i idividuao quidi i due quaili della chi quadro relaivi alle probabilià 0,05 e 0,975 che, per 15 gradi di liberà, risulao essere: c if 6,6 ; c sup 7,488 Da quesi valori si idividuao gli esremi dell iervallo di cofideza cercao mediae la: ( 1) σ ( 1) c sup c if osiuedo ella espressioe i valori della variaza campioaria correa, dei quaili della chi quadro e dei gradi di liberà si oiee ifie: 1, ,80 σ 7,488 3,5 15 1,47 6,6 Risoluzioe aleraiva Per idividuare l iervallo di cofideza della variaza della relaiva all iera popolazioe si cosruisce ua idoea variabile casuale così defiia: σ che ha disribuzioe di ipo modificaa di chi quadro co -1 gradi di liberà. i idividuao quidi i due quaili della modificaa di chi quadro relaivi alle probabilià 0,05 e 0,975 che, per 15 gradi di liberà, risulao essere: c c if 0,417 ; sup 1,83 Da quesi valori si idividuao gli esremi dell iervallo di cofideza cercao mediae la:

5 c sup σ c if osiuedo ella espressioe sopra riporaa i valori della variaza campioaria correa, dei quaili della modificaa di chi quadro e dei gradi di liberà si oiee ifie: 1,47 1,83 0,80 σ 3,5 1,47 0,417 Approfodimei Il problema 1 poeva essere risolo ache co ua diversa imposazioe dell ipoesi fodameale H o : H o : μ < μ 0 0 Rifiuare H o implica che si affermi che il valore di μ è superiore a 0, quidi ciò sarebbe garazia del fao che il magime ProRabbi 0% cosee effeivamee l accrescimeo reclamizzao. La variabile T che viee usaa per codurre il es co quesa uova ipoesi H o è la sessa: T μ0 ma si deve oare per prima cosa che il cambiameo della forma dell ipoesi deermia la iversioe del sego del valore criico della di ude che risula: c sup +,60 La regioe di rifiuo della H 0 è perao: T > c sup e la ipoesi fodameale porà essere rifiuaa solamee se la media campioaria risula molo al di sopra del valore di ipoesi μ 0 0. o i valori forii dal campioe si ricava: μ 19,5 0 1,65 0 T < 1,1 16 che o permee di rifiuare H 0. Ache i queso caso, quidi, il es o forisce iformazioi sufficiei per esprimere u parere sicuro. c sup e si fosse adoaa la ipoesi fodameale H o sopra ciaa: H o : μ < μ 0 0 o sarebbe però sao possibile svolgere il problema.

6 Il moivo di ale affermazioe risiede el fao che l ipoesi fodameale e quelle aleraive devoo essere muuamee esclusive per o fare cadere il sigificao sesso del rischio di errore di secoda specie β e della poeza coro H 1 il cui valore è dao da 1 - β. Il sigificao del rischio di errore di secoda specie β è quello di esprimere il rischio che, qualora si opi per la validià di H 0, sia ivece vera H 1 : è evidee che β perde di sigificao se H 0 ed H 1 possoo essere vere erambe! e si predessero come ipoesi le seguei: H o : μ < μ 0 0 H 1 : μ μ 1 10 e se lo simaore media campioaria risulasse 10, 0 o sarebbe possibile rifiuare é l ua é l alra delle due ipoesi che si dovrebbero perao rieere erambe plausibili!