Il modello di Black e Scholes come limite del modello binomiale multiperiodale

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1 Capiolo Il modello di Blac e Scholes come limie del modello biomiale muliperiodale. Il Modello Biomiale Muliperiodale Ricordiamo brevemee il Modello Biomiale Muliperiodale o Cox-Ross-Rubisei IPOTESI e NOTAZIONI: u = + b, d = + a d < + r < u o equivaleemee a < r < b. o i alre parole S 0 = s 0 > 0, S + = + ρ + S = Z + S S 0 = s 0 > 0, S = + ρ S 0 = Z S 0... S = + ρ + ρ + ρ S 0 = Z Z Z S 0 Si defiisca ξ i = {ρi=b} = {Zi=u} ovvero la variabile aleaoria che vale se il prezzo dell azioe sale e zero alrimei, i modo che Z i = u ξi d ξi. Sia H ω la v.a. che coa il umero delle vole i cui il prezzo sale ra il passo e il passo, ossia H ω = {ρi=b} = {Zi=u} = Il fao che Z i = u ξ i d ξ i si verifica per ispezioe: Z i = u ξ i = u ξ i d ξ i = u d = u Z i = d ξ i = 0 u ξ i d ξ i = u 0 d 0 = d ξ i

2 versioe 30-maggio-005 i modo che S N = S 0 u H N d N H N = S 0 u d HN d N HN = S 0 + b H N + a N H N + b = S 0 + a N + a per ogi N e per ogi pay-off ermiale f N F N -misurabile il prezzo di esercizio può essere descrio dalla formula [ ] [ ] fn Cf N, P = B 0 Ẽ = Ẽ f N + r N.. B N dove Ẽ è il valore aeso rispeo alla probabilià P rispeo alla quale gli evei {Z i = u} soo idipedei e co probabilià p = + r d + r + a = u d + b + a = r a b a. Allora [ C call K, P = Ẽ SN K + ] = S 0 N h=h 0 B N h N h N + b + a p h p N h h + r + r K + r N N N = S 0 h h=h 0 K + r N N h=h 0 + b + r p N h=h 0. N h p h p N h.3 h N h + a p + r N h p h p N h.. Approssimazioe del Modello Biomiale Muliperiodale Si cosideri ora il caso i cui gli scambi avvegoo sempre più vicii el empo ovvero ai empi = /. Cosidereremo il empo coiuo, ma, per fissao, i processi che ci ieressao soo cosai egli iervalli ra u empo = / e l alro. Coiueremo ad idicare co B ed S il prezzo del iolo o rischioso coo i baca e del iolo rischioso l azioe rispeivamee, ache se, per meere i evideza la dipedeza dal paramero sarebbe più opporuo deoarli co B [] e S []. Ovviamee è ecessario che il asso di ieresse sia proporzioale all ampiezza degli iervalli [ [, +, ossia si abbia B [] = B = B = B0 + r e che rimaga cosae i uo l iervallo [, +, ovvero che B = B = B 0 + r per [, + = [, +.4, + = Si ricorda che siamo raado obbligazioi derivae di ipo europeo, che possoo essere eserciae solo al empo fiale N, o empo si esercizio, al corario di quelle di ipo americao, che ivece possoo essere eserciae i u qualuque isae ra l iizio del corao e il empo di esercizio.

3 versioe 30-maggio o i alre parole che, se N = è il umero di iervalli di ampiezza / che si rovao ell iervallo [0, ], allora B = B 0 + r N o meglio B = B = B 0 + r..5 Iolre è ragioevole pesare che i cambiamei del prezzo si discosio di poco i u iervallo di empo così piccolo. Più precisamee si suppoe che S = Z S = + ρ S dove i valori ammissibili per Z soo solo u = e σ/ d = e σ/. I alri ermii si suppoe che dove e che b = σ + S u = + b d = + a. = S σ + o a = σ + σ + o, per [, + = [, + ovvero, se come prima, N = è il umero di iervalli di ampiezza / che si rovao ell iervallo [0, ], allora S [] u HN = S = S = S0 d N o meglio Teedo presee che si può ache scrivere S d = S u H = S 0 d. d eσ/ = u d e σ/ = eσ/, S = S 0 e σ H e σ = S 0 e σ H..6 Sappiamo che rispeo alla misura marigala equivalee P rispeo alla quale gli evei {Z i idipedei e co probabilià o meglio p = p = + r d u d = σ + r σ + o r a b a = σ + σ σ + o = r σ + σ + o σ + σ + o σ + σ + o, σ + r σ + o σ + o = + r σ σ + o. = u} soo

4 4 versioe 30-maggio-005 Equivaleemee le variabili aleaorie ξ i soo idipedei e di valore aeso Ẽ [ξ i ] = p = + r σ + o σ. Di cosegueza il prezzo di u derivao co maurià empo di esercizio T e co pay-off ermiale coige claim fs T dovrà ecessariamee avere come prezzo i paricolare per l opzioe call C call K, P = Ẽ [ ] C fs f, P = Ẽ T B T [ S T K + B T ] [ ] SNT = Ẽ K + + r NT Abbiamo quidi u espressioe del prezzo, ma il problema a queso puo diviee complesso dal puo di visa umerico, almeo per grade: il deomiaore o compora problemi i quao si può approssimare co e rt, mere lo sesso o si può dire del umeraore. Ci viee i aiuo il Teorema Cerale del Limie. Si oi ifai che, qualuque sia > 0 log S u = log S 0 + H N log d + N log d N = log S 0 + u ξ i log d N log d, e che H N, rispeo alla misura marigala equivalee P, è la somma di variabili aleaorie idipedei ue co la sessa disribuzioe, che per > 0 il umero N = coverge all ifiio. Grazie al Teorema Cerale del Limie si ha che quidi H N ha ua disribuzioe approssimaivamee gaussiaa, di valore aeso Ẽ [H N] = N p e variaza Ṽ ar H N = N p p. Per lo sesso moivo 3, sempre rispeo alla misura marigala equivalee P, ache il logarimo di S approssimaa da ua variabile aleaoria gaussiaa di valore aeso [ Ẽ log S ] u = log S 0 + N p log d + N log d è e variaza Ricordado che si ha Ṽ ar log u d S eσ/ = u log u = N p p log. d e = σ/ eσ/, d = e σ/, d = σ log d = σ, 3 Si ricordi che se Z ha disribuzioe Nα, β, ovvero disribuzioe gaussiaa di valore aeso α e variaza β, allora ache W = a + bz ha disribuzioe gaussiaa, ma di valore aeso E[W ] = E[a + bz] = a + bα, e variaza V arw = V ara + bz = V arbz = b V arz = b β.

5 versioe 30-maggio si oiee che il valore aeso del logarimo di S, vale [ Ẽ log S Aalogamee la variaza vale Ṽ ar log S ] = log S = log S 0 + σ + = log S 0 + = log S 0 + r σ σ u = N p p log = + o σ + σ r σ σ r σ + o σ r σ log S 0 + r σ. d + r σ + o σ 4σ σ σ + o σ σ + r σ σ + o σ Di cosegueza, se W è ua variabile aleaoria gaussiaa di valore aeso 0 e variaza logs disr log S 0 + r σ + σ W. Ricordiamo che il simbolo X disr X sigifica che per ogi fuzioe coiua e limiaa f lim E[fX ] = E[fX], o i alre parole che si può approssimare E[fX ] co E[fX]. A queso puo il prezzo di ua opzioe europea si può calcolare come [ ] C fs f, P = Ẽ T B T [ E e rt fs 0e r σ T +σ W T ].9 ed i paricolare per l opzioe call C call K, P = Ẽ [ ] S T K + + r NT [ E ] e rt S 0e r σ T +σ W T K +,.0 dove l uica variabile aleaoria è W T, i quao S 0 è il valore iiziale del prezzo dell azioe. Abbiamo quidi viso come il prezzo di ua opzioe call europea si possa oeere dalla formula ] C call = CS 0, K, T, r, σ = E [e rt S 0 e r σ T +σ W T K + dove si è messo i evideza la dipedeza dai parameri del modello: S 0 prezzo iiziale della azioe, K prezzo di esercizio i di srie dell opzioe, T empo di maurià o di srie dell opzioe, r asso omiale di ieresse composo i modo coiuo, ed ifie il paramero σ, che è deo volailià. È imporae soolieare che, al corario di ui gli alri parameri, che soo oi e direamee osservabili, il valore della volailià o è direamee osservabile, ma deve essere simao. Uo dei problemi più ieressai riguarda proprio la sima della volailià.

6 6 versioe 30-maggio Il moo Browiao Nella derivazioe precedee del prezzo abbiamo icorao il processo del logarimo dei prezzi, che a pare il coribuo dovuo al prezzo iiziale, si esprime come N u ξ i log d e che si può uleriormee riscrivere come Si defiisca di modo che + N log d = σ N σ N ξ i = σ ξ i. ξ i N σ W := [ ξi Ẽ [ξ i ] ]. log S = log S0 + σw + σ Ẽ [ξ i ] Co calcoli aaloghi a quelli della sezioe precedee, si può vedere che il valore aeso Ẽ [ξ i ] = p = + r σ + o r σ. σ σ Ovviamee il processo W, vale zero all isae iiziale, ovvero ed iolre W 0 = 0, Ẽ [ W ] = 0. Per > 0, co gli sessi calcoli della sezioe precedee, si può vedere che il processo W ede all ifiio alla legge gaussiaa di valore aeso ullo e variaza che ede a. Acora, se si cosiderao i empi 0 <, allora l icremeo W i quao W W W è fuzioe deermiisica delle variabili aleaorie ξ j, per j ale che e la sessa fuzioe deermia ello sesso modo W i = i/ 0, ], e di cosegueza la disribuzioe dell icremeo W coverge per che ha la sessa legge di W, j = j/, ], a parire dalle variabili aleaorie ξ i, per i ale che W coverge ad ua disribuzioe gaussiaa di valore aeso 0 e variaza. Se ivece si cosiderao i empi 0 < <... < m < m allora gli icremei W soo fuzioi deermiisiche delle variabili aleaorie W 0, W W,... W m W m {ξ j : j 0, ]}, {ξ j : j, ]}... {ξ jm : j m m, m ]} che soo idipedei, e di cosegueza ache gli icremei di W soo idipedei. Come uleriore cosegueza quesa proprieà si maiee al edere di all ifiio. Quese osservazioi porao auralmee alla seguee defiizioe del processo di Wieer sadard o moo browiao.

7 versioe 30-maggio Defiizioe. moo browiao. Si chiama moo browiao u processo W per R + u processo ale che W 0 = 0, se 0 < <... < m < m allora gli icremei soo idipedei, 3 se 0 < ed s > 0 allora gli icremei W W 0, W W,... W m W m W W e W +s W +s N0,, ovvero hao la sessa disribuzioe gaussiaa di valore aeso 0 e variaza. I alre parole si dice ache che gli icremei soo omogeei. Di solio olre alle re precedei proprieà si aggiuge ache la proprieà che le raieorie soo coiue, ossia che per ogi ω la fuzioe W ω è ua fuzioe coiua.

8 Capiolo Approssimazioe per variabili aleaorie. Legge dei Gradi Numeri, Teorema Cerale del Limie e Approssimazioe Normale Iiziamo ricordado due defiizioi di idipedeza per variabili aleaorie. Defiizioe. idipedeza di m variabili aleaorie.. Siao X, X,..., X m m variabili aleaorie defiie ue sullo sesso spazio di probabilià Ω, F, P. Esse si dicoo compleamee o globalmee idipedei ra loro se comuque sceli J, J,..., J m, isiemi misurabili boreliai di R, si ha: P X J, X J,..., X m J m = P X J P X J... P X m J m.. Defiizioe. idipedeza di m variabili aleaorie.. Siao X, X,..., X m m variabili aleaorie defiie ue sullo sesso spazio di probabilià Ω, F, P. Esse si dicoo compleamee o globalmee idipedei ra loro se comuque scele m fuzioi misurabili f, f,..., f m, co E [ f i X i ] fiio, si ha: E [ f X f X... f m X m ] = E [ f X ] E [ f X ]... E [ f m X m ].. Tali defiizioi soo equivalei, ache se o e daremo la dimosrazioe. Facciamo solo oare che la. è esaamee la. per f i x = Ji x. Ricordiamo che ua successioe di variabili aleaorie {X i, i } si dice che è ua successioe di variabili aleaorie idipedei a due a due, se comuque presi i e j, le due variabili aleaorie X i ed X j soo idipedei. Ua successioe di variabili aleaorie {X i, i } si dice che è ua successioe di variabili aleaorie compleamee o globalmee idipedei, se per ogi m, e comuque presi i, i,..., i m, le variabili aleaorie X i, X i,..., X im soo compleamee o globalmee idipedei. Proposizioe Legge Debole dei Gradi Numeri Sia {X i, i } ua successioe di v.a. idipedei a due a due ed ideicamee disribuie, per le quali esisao fiii valore aeso e variaza. Poso EX i = µ, V arx i = σ, si ha, qualuque sia ε > 0 S = X i Y = S = X i, lim P S µ > ε = lim P Y µ > ε = 0 A vole il ermie compleamee può essere rascurao, e si può parlare semplicemee di variabili aleaorie idipedei ra loro. Poiché le variabili aleaorie X hao ue la sessa disribuzioe, si ha che se esisoo fiii valore aeso e variaza di X, allora esisoo fiii valore aeso e variaza di X i e coicidoo co quelli di X. 8

9 versioe 30-maggio Dimosrazioe. Basa osservare che EY = E X + + X = EX + + EX = µ = µ e V ary = V ar X + + X = V ar X + + X essedo le X i idipedei a due a due e quidi o correlae, la variaza della somma è la somma delle variaze da cui Quidi, dalla disuguagliaza di Chebyshev, si ha V ar X + + X = V arx + + V arx V ary = V arx + + V arx = σ = σ. 0 P Y µ > ε e basa madare all ifiio ed usare il Teorema del cofroo per le successioi umeriche: σ ε, 0 lim P Y σ µ > ε lim ε = 0. Osservazioe Dalle varie defiizioi di idipedeza, appare immediao che se {X i, i } è ua successioe di variabili aleaorie compleamee idipedei, allora soo ache idipedei a due a due, e allora la Legge Debole dei Gradi Numeri coiua a valere. Soo quesa uleriore ipoesi vale ache il così deo Teorema cerale del limie. Proposizioe Teorema Cerale del Limie Sia {X i, i } ua successioe di v.a. idipedei ed ideicamee disribuie, per le quali esisao fiii valore aeso e variaza. Poso EX i = µ e V arx i = σ, si assuma che σ > 0. Allora idicado co S variabile aleaoria sadardizzaa di S, si ha e, idicado co F S x la fuzioe di disribuzioe di S, si ha S = S ES V ars = S µ σ,.3 lim F S x = lim P S x = Φx,.4 dove Φ è la fuzioe di disribuzioe di ua variabile aleaoria Gaussiaa sadard: i alre parole lim P S µ x x = e y dy..5 σ π Iolre il limie è uiforme per x R, ovvero lim P S µ σ sup x R x x π e y dy = 0..6 No diamo la dimosrazioe di queso risulao, ma oiamo solo che la.3 si dimosra eedo coo che ES = EX i = µ e che per la complea idipedeza dalle variabili aleaorie X i, si ha 3 3 Come già osservao ell Osservazioe V ars = V ar X i = V arx i = σ.

10 0 versioe 30-maggio-005 La precedee relazioe sarebbe valida ache el caso i cui le variabili aleaorie fossero solo idipedei a due a dueo addiriura solo o correlae, ma soolieiamo il fao che, mere la Legge Debole dei Gradi Numeri, vale soo l ipoesi di idipedeza a due a due, e o è ecessario supporre σ > 0, ivece per il Teorema Cerale del Limie, serve la codizioe di complea idipedeza e ovviamee è ecessario supporre σ > 0, alrimei o si porebbe emmeo formulare la esi. Va iolre ricordao che la covergeza delle fuzioi di disribuzioe è equivalee alla proprieà, che per ogi fuzioe f coiua e limiaa, lim E[fS ] = E[fY ] = + fy π dy, dove Y è ua variabile aleaoria gaussiaa sadard. Ache di quesa proprieà o diamo la dimosrazioe, ma osserviamo solo che la covergeza delle fuzioi di disribuzioe corrispode alla covergeza di lim E[hS ] = E[hY ], per ogi fuzioe hy =,x] y, cioè della fuzioe hy che vale per y x e vale 0 alrimei.. Approssimazioe ormale Come abbiamo viso ella dimosrazioe della Legge dei Gradi Numeri, la disuguagliaza di Chebyshev permee di rovare delle limiazioi iferiori alle probabilià del ipo S P µ ε che appuo permeoo di dedurre la legge dei gradi umeri. Tuavia se si cooscesse la fuzioe di disribuzioe F S x della variabile aleaoria S, ale probabilià si porebbe calcolare esaamee come S P µ ε = P µ ε S µ + ε = F S µ ε F S µ ε = F S µ ε F S µ ε + P {S = µ ε} Appare quidi chiaro che calcolare la disribuzioe della somma di variabili aleaorie S = X +X +...+X sia u problema ieressae è, olre che di per sé, ache per le coessioi co la legge dei gradi umeri e delle relazioi ra media arimeica e valore aeso. Alla luce del Teorema Cerale del Limie o ache Teorema del Limie Cerale, si può dimosrare il seguee risulao. Proposizioe approssimazioe ormale Se le variabili aleaorie X i, per i =,,..., soo globalmee o compleamee idipedei, hao la sessa disribuzioe, ammeoo valore aeso fiio µ, variaza fiia σ e o ulla, allora ES = µ, V ars = σ > 0, e F S x = P S x = P S µ σ x µ x µ Φ,.7 σ σ dove Φx è la fuzioe di disribuzioe di ua variabile aleaoria gaussiaa sadard N0,. Dimosrazioe Come aicipao la dimosrazioe della precedee affermazioe si basa sul risulao basilare che svolge u ruolo cerale el Calcolo delle Probabilià il Teorema Cerale del Limie.

11 versioe 30-maggio-005 Fodameale per dimosrare l approssimazioe.7 della fuzioe di disribuzioe della somma S è il fao che la covergeza sia uiforme 4 : ifai, poso E x = F S x Φx, e x = x µ σ, si ha F S x = P S x = P S µ σ x µ σ = F S x = Φ x + E x, per cui F S x Φ x = E x sup E x. x R Basa solo osservare che.5 garaisce che sup x R E x coverge a zero 5 per che ede all ifiio. 4 Si osservi che i geerale le codizioi che o implicao che lim fx = fx lim Basa pesare al seguee coroesempio: { f x = 0 x <, f x = x lim fx = fx. x = x { fx = 0 x 0, fx = x > 0 Chiaramee se x 0 allora f x = 0 e quidi lim f x = fx = 0, aalogamee, se x > 0, allora per > si ha fx =, x e quidi lim f x = fx =. Iolre, poso x =, si ha lim x = 0, uavia ovviamee fx = f = che o coverge ad fx = f0 = 0. 5 Pur essedo assoluamee al di fuori dell ambio di u corso elemeare di probabilià, vale la pea di ricordare che esisoo delle maggiorazioi per sup x R E x, el caso i cui si suppoga che il valore aeso E X 3 esisa e sia fiio. I paricolare è sao dimosrao che sup E x C E X 3 x R σ 3, co C cosae. Il valore di C o è oo esaamee ma è oo che C , i paricolare quidi vale sup E x E X 3 x R σ 3, I primi a forire maggiorazioi i quesa direzioe soo sai Berry ed Eesse all iizio degli ai 40 dello scorso XX secolo.