ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITA

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1 ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITA Nozioi base Spazio S S è l isieme di ui i possibili esii di u esperimeo. Esempio 1. Nel lacio di u dado abbiamo S{1,2,3,4,5,6}. Esempio 2. La duraa di ua lampadia S{x R x > 0}. Ua sigola esecuzioe di u esperimeo sarà chiamaa prova. Eveo U eveo è u sooisieme di S. Se l esio di u esperimeo è Membro dell eveo A, si dice che A si è verificao. Esempio 1. L esio del lacio di u dado è u umero pari: A {2,4,6} Esempio 2. La duraa di ua lampadia è di almeo 3000 h: A { x R x > 3000} Eveo cero: L iero spazio S Eveo impossibile: Il sooisieme di S vuoo

2 Combiazioi di evei Uioe A A or B B A B { e S e A or e B } Iersezioe eveo cogiuo A A ad B B A B { e S e A ad e B } Due evei A e B soo muuamee esclusivi se A B è vuoa. Complemeo o A Ā { e S e A } Parizioe dello spazio S U isieme di evei A 1, A 2, è ua parizioe dello spazio S se: 1. Gli evei soo muuamee esclusivi, A i A j è vuoa co i j 2. La loro uioe copre l iero spazio S

3 La classe degli evei Evei soo sooisiemi di S, ma ello specifico o si cosiderao come evei ui i sooisiemi di S, ma solo la classe Ξ dei sooisiemi. Tale classe NON è u arbiraria collezioe di sooisiemi di S, ma essa deve cosiuire u campo. Campo: U campo Ξ è ua classe o vuoa di isiemi ali che: Se A Ξallora Ā Ξ Se A Ξe B Ξallora A+B Ξ Se A Ξe B Ξ allora AB Ξ Codizioi miime per la defiizioe di u campo U campo coiee l eveo cero S e l eveo impossibile, il sooisieme vuoo. PoichéΞèo vuoo, esse coiee almeo u elemeo A, quidi esso coiee Ā e quidi A+ Ā S Ξe AĀ {0} Ξ. Quidi ui gli isiemi che possoo essere scrii come uioi o iersezioi di ua moleplicià fiia di isiemi di Ξ soo ache i Ξ. Queso o è vero el caso di ua moleplicià ifiia di isiemi. Campo di Borel: : Se A 1, A 2,, A, è ua sequeza ifiia di isiemi i Ξ e se le uioi ed iersezioi di quesi isiemi ache soo i Ξ, allora Ξ è u campo di Borel.,

4 La classe degli evei I eoria delle probabilià gli evei soo sooisiemi di S che formao u campo di Borel. Agli evei soo associae probabilià. Il fao che la classe degli evei sia u campo di Borel permee di assegare probabilià o solo agli evei ma ache ai loro limii. Probabilià gli assiomi Si assega ad ogi eveo A u umero PA, che è chiamao la probabilià dell eveo A. Queso umero è scelo per soddisfare le seguei re codizioi: 1. PA 0 2. PS1 3. Se AB {0} allora PA BPA+PB

5 Probabilià proprieà Le proprieà seguei soo semplici cosegueze degli assiomi. 1. P{0}0; 2. PA1-PĀ 3. PA BPA+PB+PA B Per provare quesa proprieà scriviamo: A B A ĀB e B AB ĀB Quidi: PA BPA+ PĀB e PBPAB+PĀB 4. Se B A allora PA PB+PA Ierpreazioe ramie frequeza Empiricamee, la probabilià PA rappresea il valore limie della frequeza relaiva NA/N a cui A si verifica ella ripeizioe dell esperimeo. B PAlim N NA/N N umero degli esperimei NA umero delle occorreze di A

6 Probabilià codizioaa La probabilià codizioaa di u eveo A assumedo B, deoaa co PA B, è per defiizioe daa dal rapporo: PA B PA B / PB Legge delle probabilià oali Se { B 1,, B } è ua parizioe dello spazio S: 1. i B i S eveo cero P i B i 1 2. B i B j {0} per i j PB i B j 0 Allora A A S A i B i i A B i e PA i 1 P A B i i 1 P A B P B i i

7 Teorema di Bayes Se { B 1,, B } è ua parizioe dello spazio S, il problema è ora quello di calcolare le probabilià degli evei B i dao che A si è verificao: La formula di Bayes ci permee di calcolare ua probabilià codizioaa quado coosciamo le probabilià codizioae iverse. Esempio. Si hao 3 care co differei colori sui due lai: Erambi i lai soo rossi; Erambi i lai soo blu U lao è rosso, u lao è blu; Se il lao superiore di ua cara scela a caso è rosso, quale è la probabilià che l alro lao sia blu? P rosso blu rosso P B 1 3 i P A Bi A P A j P A Bi P Bi P A B P B P rosso rosso blu P rosso blu P rosso rosso rosso P rosso rosso + P rosso blu blu P blu blu + P rosso rosso blu P rosso blu j j

8 Idipedeza Due evei A e B soo idipedei se e solo se PA B PAPB. Quidi per evei idipedei vale: P A B P A P B P A B P A P B P B B o iflueza l occorreza di A. Esempio. Se vegoo laciai due dadi: A { 6 }, B { m1 } A B { 6,1 } PA B1/36, ue le combiazioi soo equi-probabili PA{ 6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6 } 6/36 1/6 allo sesso modo PB PAPB1/36 PA B I due evei soo idipedei.

9 TEORIA DELLE PROBABILITA :SUMMARY E imporae per modellare feomei el modo reale sisemi di comuicazioe, sisemi di produzioe, sisemi di iveario, ec La eoria delle probabilià ha u ierpreazioe aurale, iuiiva ed è basaa su semplici assiomi maemaici La legge delle probabilià oali porebbe permeere di decomporre i problemi i sooproblemi La probabilià dell eveo eveo cogiuo di evei idipedei è il prodoo delle probabilià di evei idividuali

10 VARIABILI ALEATORIE E DISTRIBUZIONI Variabile aleaoria Si è spesso ieressai a qualche umero associao co l esperimeo piuoso che all esperimeo sesso. Esempio. Il umero di ese el lacio di ua moea piuoso che l esaa sequeza ese-croci. Ua variabile aleaoria a valori reali X è u mappig che associa il umero reale Xe ad ogi esio e ello spazio S: X: S R. Nello specifico si ha u esperimeo specificao ramie lo spazio S, il campo dei sooisiemi di S chiamai evei e le probabilià assegae a quesi evei. Ad ogi esio e di queso esperimeo assegiamo u umero Xe. Abbiamo creao ua fuzioe X avee per domiio l isieme S e per codomiio u isieme di umeri. Quesa fuzioe è chiamaa variabile aleaoria.

11 Variabile aleaoria Nello sudio delle variabili aleaorie, le seguei domade vegoo soliamee pose: quale è la probabilià che ua variabile aleaoria X sia miore di u dao umero x, oppure quale è la probabilià che X sia compresa ra due umeri reali a e b? Esempio. Se la variabile aleaoria è l alezza di ua persoa oi siamo ieressai alla probabilià che essa o ecceda ceri boud. Come è oo, le probabilià soo assegae agli evei, quidi allo scopo di rispodere a ali domade, si deve essere i grado di esprimere le varie codizioi impose su X come evei. Aalizziamo il sigificao di {X x}. Quesa oazioe rappresea u sooisieme di S che cosise i ui gli esii dell esperimeo e ali che Xe x. Così {X x} NON è u isieme di umeri, ma u isieme di esii sperimeali. Nella defiizioe di variabili aleaorie si assumerà che l isieme {X x} sia u eveo. Quesa è ua resrizioe mie che è più che alro di ieresse maemaico.

12 Variabile aleaoria defiizioe formale Ua variabile aleaoria è ua fuzioe che assega u umero Xe ad ogi esio sperimeale e. La fuzioe risulae deve soddisfare le seguei due codizioi: 1. L isieme {X x} è u eveo per ogi x 2. Le probabilià degli evei {X } e {X - } soo ulle. La secoda codizioe sabilisce che ache se si ammee che X sia o - per qualche esio sperimeale, si vuole che quesi esii formio u isieme a probabilià ulla. Codomiio di ua variabile aleaoria S X { x R Xe x, e S } è l isieme compleo dei valori che X può assumere. Tale isieme può essere fiio o ifiio umerabile, i al caso si parla di Variabile aleaoria discrea, oppure ifiio o umerabile, i al caso si parla di variabile aleaoria coiua.

13 Fuzioe di disribuzioe Gli elemei dello spazio S che soo coeui ell eveo {X x} cambiao al cambiare di x. La probabilià PX x dell eveo {X x} è quidi u umero che dipede da x. Queso umero è deoao da F X x ed è deo fuzioe di disribuzioe della variabile aleaoria X. Nel seguio sarà ache idicaa come Fx. Defiizioe La fuzioe di disribuzioe della variabile aleaoria x è la fuzioe F X x PX x, defiia per ogi x da - a. Esempio. Nell esperimeo del lacio della moea, la probabilià di avere esa è pari a p e la probabilià delle croci è pari a q. Viee defiia ua variabile aleaoria X ale che Xesa1 e Xcroce0. Si vuole defiire la sua fuzioe di disribuzioe F X x per ogi x da - a. Se x 1, allora Xesa 1 x e Xcroce 0 1. Quidi F X x 1. Se 0 x < 1 allora Xesa 1 > x e Xcroce 0 x. Quidi F X x q. Se x < 0 allora Xesa 1 > x e Xcroce 0 > x. Quidi F X x 0.

14 Esempio. Si ha u esperimeo i cui S {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }. La variabile aleaoria X è ale che Xf i 10i. La fuzioe di disribuzioe di X è quidi ua Fuzioe a gradii. Si oi i paricolare che: F100 PX 100 PS 1 F35 PX 35 Pf 1, f 2, f 3 3/6 F30.01 PX Pf 1, f 2, f 3 3/6 F30 PX 30 Pf 1, f 2, f 3 3/6 F29.99 PX Pf 1, f 2 2/6 Esempio. Ua elefoaa avviee i maiera aleaoria ell iervallo 0,1. I queso esperimeo gli esii soo isai emporali ra 0 ed 1 e la probabilià che sia ra 1 e 2 è daa da P Si defiisce la variabile aleaoria X ale che: X co 0 1. Così la variabile ha u doppio sigificao. Essa è l esio dell esperimeo ed il corrispodee valore assuo dalla variabile aleaoria X della variabile aleaoria X. La fuzioe di disribuzioe associaa è ua rampa. Se x > 1, allora X x per ogi esio. Quidi Fx 1 Se 0 x 1, allora X x per ogi ell iervallo 0,x. Quidi Fx P 0 x x Se x < 0 allora l eveo {X x} è u eveo impossibile e Fx 0.

15 Perceili Il perceile u di ua variabile aleaoria X è il più piccolo x ale che u PX xu Fxu. Così x è l iverso della fuzioe u Fxu. Il suo domiio è l iervallo [0,1] ed il suo codomiio è l asse x. Per rovare il grafico della fuzioe xu, si devoo scambiare gli assi della curva Fx. La mediaa di x è il più piccolo umero m ale che Fm0.5. Così la mediaa è il perceile 0.5 di X. Ierpreazioe co la frequeza di Fx Ierpreazioe co la frequeza di Fx Si effeua l esperimeo vole e si osservao valori x 1, x 2,, x della variabile aleaoria X. Si posizioao quesi umeri sull asse x e si forma ua fuzioe a gradii Fex. Ogi gradio è posizioao i corrispodeza dei pui x i e ha u alezza pari a 1/. Fex 0 per ogi x miore del più piccolo x i. La fuzioe di disribuzioe così cosruia è dea disribuzioe empirica della variabile aleaoria X. Dao uo specifico x i il umero di gradii di Fex che precede x i eguaglia il umero i di x i che soo più piccole di x i. Si ha auralmee che Fex x /. Poiché x / è circa uguale a PX x per gradi si può cocludere che Fex ede a Fx come ede a.

16 Proprieà della fuzioe di disribuzioe Nel seguio Fx + e Fx - idicherao i seguei limii: Fx + lim ε 0 Fx+ε e Fx - lim ε 0 Fx-ε. 1. F 1 e F- 0 F PX PS 1 e F- PX E ua fuzioe crescee di x: se a<b allora Fa Fb L eveo {X a} è u sooisieme dell eveo {X b} perché se Xe a per qualche e, allora Xe b. Quidi P{X a} PX b ed abbiamo la esi, da cui segue ache che Fx cresce da 0 ad 1 come x cresce da - a. 3. Se Fa0 allora Fx0 per ogi x a 4. PX>x 1 Fx Gli evei {X x} e {X>x} soo muuamee esclusivi e la loro uioe da uo lo spazio S. Quidi PX x + PX>x PS 1 5. Pa < X b Fb Fa Gli evei {X a} e {a<x b} soo muuamee esclusivi. Iolre {X b} {X a} {a<x b}, quidi PX b PX a + Pa<X b 6. PXx Fx Fx - Px-ε < X x Fx Fx- ε e co ε Pa X b Fb Fa - {a X b} {a < X b} {Xa}

17 Saisiche Si dice che le saisiche di ua variabile aleaoria soo oe se si possoo deermiare le probabilià PX R, che X sia i u isieme R preso dall asse x e cosisee di iervalli umerabili di uioi e iersezioi. Quidi le saisiche di X soo deermiae i ermii della sua fuzioe di disribuzioe. Variabile aleaoria coiua, discrea e misa Si dice che ua variabile aleaoria X è di ipo coiuo se la sua fuzioe di disribuzioe Fx è coiua, Fx Fx - Fx +, quidi PXx 0 per ogi x. Si dice che la variabile aleaoria X è di ipo discreo se Fx è ua fuzioe a gradii. Se a è u puo di discoiuià di Fx si ha Fa - Fa - PXa p a. Se i pui a soo equidisai allora la variabile aleaoria X è di ipo laice. Si dice che ua variabile aleaoria X è di ipo miso se la sua fuzioe di disribuzioe è discoiua ma o a gradii.

18 La fuzioe desià di probabilià La derivaa fxdfx/dx di Fx è dea fuzioe di desià di probabilià della variabile aleaoria X. Se la variabile aleaoria è di ipo discreo e assume i valori x i co probabilià p i allora fx i p i δx - x i co p i PX x i Dove δx è la fuzioe impulso. Il ermie p i δx - x i è oo come ua freccia vericale i x i di lughezza pari a p i. Proprieà della fuzioe desià di probabilià 1. Dalla moooicià di Fx segue che fx 0 2. Iegrado fx da - a x e usado il fao che F- 0 si ha che 3. Poiché F 1 si che 4. Cosiderado la relazioe co la fuzioe di disribuzioe b si ha ache che F b F a f x dx P a < X b F x f ξ dξ f x dx 1 x a

19 Noa Prededo i cosiderazioe l ulima proprieà segue che se ax e b x+ x e se X è ua variabile aleaoria coiua allora fx può essere defiia direaee come limie f x P x X x + x lim x 0 x Ierpreazioe come frequeza Si deoa co il umero di prove ali che x Xe x+ x, segue che fx x è circa / Parameri delle disribuzioi Valore aeso E deoao da E[X]. Per le disribuzioi coiue si defiisce come Per quelle discree come E [ X ] i x i p i E [ X ] xf x dx

20 Valore aeso proprieà Ache se il valore aeso può o coicidere co essuo dei valori assui dalla variabile aleaoria è u paramero molo imporae perché aiua a capire il comporameo della fuzioe disribuzioe di probabilià 1. E[ cx ] c E[X] co c cosae 2. E[A+B+C+ ] E[A]+E[B]+E[C]+ sempre 3. E[AB] E[A]E[B] solo se A e B soo idipedei Variaza E deoaa da V[X]. V[X] E[X E[X] 2 ] E[X 2 ] E[X] 2 2 σ 2 x η f x dx, η E[ X ] La variaza, dea ache idice di dispersioe, offre u idice dell addesameo de valori della variabile aleaoria aoro al valor medio Variaza proprieà 1. V[ cx ] c 2 V[X] co c cosae 2. V[A+B+C+ ] V[A]+V[B]+V[C]+ solo se A, B, C, soo idipedei

21 Momei di ua disribuzioe I momei di ua disribuzioe descrivoo la aura della disribuzioe. Ogi disribuzioe può essere caraerizzaa da u cero umero di caraerisiche così come la media, la variaza, l asimmeria, l essere ala e fia o bassa e piaa, ec I momei ordiari soo defiii come I momei cerali soo defiii come m E[ X ] x f x dx E[ X η ] x η f x µ dx I momei o soo ecessariamee appareei all isieme dei valori assui dalla variabile aleaoria. Tale defiizioe può essere facilmee adaaa al caso di ua variabile aleaoria discrea, usado la sommaoria i luogo dell iegrale e i valori esai di probabilià i luogo della fuzioe di desià di probabilià.

22 Si può dimosrare come ramie semplici espressioi lieari si possoo calcolare i momei cerali da quelli ordiari e viceversa. Ifai si ha: La defiizioe di momeo di ua disribuzioe è assai geerale e iclude come casi oevoli alcui simaori saisici già oi. Ad esempio se 0, si oiee la codizioe di ormalizzazioe per la fuzioe desià di probabilià fx. Se 1 e si cosiderao i momei ordiari si oiee u espressioe che coicide co quella di valor medio della variabile aleaoria X. Co 2 eηe[x] si oiee la variaza. + k k k k k k k k k k k k k x k E x E m m k x k E x E ] [ ] [ ] [ ] [ η µ η η η η η η η µ , 2 3 0, 1 η ησ µ η η µ σ µ µ η µ m m m m m

23 I defiiiva per ordii superiori a quello co 1 soo più ieressai i momei cerali che quelli ordiari. Noa Il momeo cerale di ordie ormalizzao o sadardized mome è il momeo cerale di ordie diviso per la deviazioe sadard alla. Quese quaià soo prive di dimesioe e rappreseao la disribuzioe idipedeemee da qualsiasi cambiameo di scala. Skewess asimmeria Il erzo momeo cerale co ηe[x] è ua misura della asimmeria della fuzioe di desià di probabilià. Ogi disribuzioe simmerica avrà queso elemeo pari a zero. Se egaivo la fuzioe di desià di probabilià è sbilaciaa verso valori ali, viceversa se posiivo verso valori bassi. Kurosis Il quaro momeo cerale co ηe[x] idica se la disribuzioe è ala e fia o bassa e ozza.

24 DISTRIBUZIONI DISCRETE Fuzioe geerarice rasformaa Z Defiizioe Se X è ua variabile aleaoria discrea, che assume valori ieri o egaivi, X {1,2,3, } e se p i PXi, la fuzioe geerarice di X, deoaa co Gz, è defiia come i 0 i G z p z i E[ z E u modo comodo di memorizzare ui i valori p i, z è ua variabile segalibro Spesso Gz può essere calcolaa espliciamee essedo cosiuia da ua semplice espressioe aaliica Quado Gz è daa si possoo dedurre i valori delle probabilià p i, Alcue operazioi sulle disribuzioi corrispodoo ad operazioi più semplici sulla fuzioe geerarice X ]

25 Trasformazioe iversa Il problema è di dedurre le probabilià p i, quado Gz è dao Esisoo diversi meodi, ciiamo: 1. Sviluppare Gz i serie di poeze così che p i, possoo essere ideificai come coefficiei delle z i. I coefficiei possoo ache essere calcolai ramie derivazioe i 1 d G z 1 i p i G 0 i i! dz z 0 i! Esempio. Gz 1/1-z z 2 + z 4 + allora p i 1 per i pari 0 alrimei 2. Per ispezioe: Gz viee decomposa i pari le cui rasformae iverse soo oe meodo delle fuzioi parziali Esempio. Gz 2/ [1-z2-z] 2/1-z 2/2-z 2/1-z 1/1- z/2 Poiché A/1-az corrispode alla sequeza Aa i si deduce che p i 2 1 i 1 1/2 i 2-1/2 i

26 Calcolare i momei di ua disribuzioe co l aiuo l di Gz Poiché le probabilià p i rappreseao ua disribuzioe di probabilià la loro somma deve eguagliare 1 e G1 G Tramie derivazioe si ha: G 1 z de[z X ]/dz E[X z X-1 ] G 1 1 E[X] Coiuado allo sesso modo si ha: G i 1 E[X X-1 X-i+1] F i, che rappresea il momeo faoriale di ordie i. I momei faoriali soo comuque i relazioe co i momei ordiari ramie semplici espressioi lieari o viee qui dimosraa l equivaleza F 1 m 1 e m 1 F 1 F 2 m 2 m 1 e m 2 F 2 + F 1 F 3 m 3 3m 2 + 2m 2 e m 3 F 3 + 3F 2 + F 1 Ad esempio F 2 G 2 1 E[X X-1] E[X 2 ] E[X]

27 Fuzioe geerarice della somma di variabili aleaorie idipedei ei Se A e B soo due variabili aleaorie idipedei. Allora G A+B z E[z A+B ] E[z A z B ] E[z A ]E[z B ] G A z G B z per l idipedeza di A e B. I ermii delle disribuzioi origiali discree, la disribuzioe della somma è oeua ramie la covoluzioe. Così la fuzioe geerarice di ua disribuzioe oeua covolvedo due disribuzioi idipedei è il prodoo delle fuzioi geerarici delle due fuzioi origiarie. P X + Y k p q k k i 0 p i q k i

28 Disribuzioe di Poisso X Poissoa X è ua variabile aleaoria a valori ieri co probabilià puuali dae da: p i P X i i a i! e a G z za i a piz e i 0 i 0 i! i e a e za e z 1 a X Poissoλ rappresea il umero di occorreze di evei arrivi i u iervallo di lughezza da u processo di Poisso co iesià λ: La probabilià di u eveo successo i u iervallo piccolo d è λd; La probabilià di due evei simulaei è ulla; Il umero di evei i iervalli disgiui soo idipedei E[ X ] G E[ X 2 1 ] G z de 1 dz G 1 1 a z 1 1 a a 2 + a, V[ X ] a 2 + a a 2 a

29 Proprieà della disribuzioe di Poisso 1. La somma di variabili aleaorie disribuie secodo Poisso è acora disribuia secodo Poisso: XA+B co A Poissoa e B Poissob, allora X Poissoa+b La esi si ha dalle proprieà dell espoeziale sfruado il fao che la fuzioe geerarice di ua variabile aleaoria somma di due variabili idipedei è daa dal prodoo della fuzioe geerarice delle disribuzioi origiarie 2. Se il umero N di elemei i u isieme è disribuio secodo Poisso Poissoa e viee effeuaa ua selezioe casuale co paramero p ogi elemeo è idipedeemee selezioao co quesa probabilià allora la dimesioe dell isieme degli elemei selezioai è acora disribuia secodo Poisso Poissopa. La dimosrazioe è omessa. 3. Se gli elemei di u isieme la cui dimesioe è disribuia secodo Poisso Poissoa vegoo spliai i alri due coeiori, rispeivamee co probabilià p1 soo messi el coeiore 1 e i maiera aaloga co orobabilià p2 el coeiore 2, allora le dimesioi degli isiemi ei due coeiori soo disribuie secodo Poisso, rispeivamee come Poissop1a e Poissop2a

30 DISTRIBUZIONI CONTINUE Trasformaa di Laplace Defiizioe La rasformaa di Laplace di ua variabile aleaoria o egaiva co fuzioe di desià di probabilià fx è defiia come: f * s 0 e s f d E[ e sx ] Maemaicamee è la rasformaa di Laplace della fuzioe di desià di probabilià; ha lo sesso ruolo della fuzioe geerarice per le variabili discree. Di uovo la rasformaa di Laplace di ua somma di variabili aleaorie idipedei è oeua dal prodoo delle rasformae di Laplace delle sigole fuzioi di desià di probabilià.

31 Calcolo dei momei co l aiuo l della rasformaa di Laplace Tramie derivazioe si ha: *1 de[ e f s ds * d E[ e f s d s s 0 *1 E[ X ] f 0 E[ X... E[ X 2 ] + f ] 1 *2 sx 0 f * ] sx ] 0 E[ Xe sx E[ X ] e sx ]

32 Disribuzioe uiforme La fuzioe di desià di probabilià è ua cosae ell iervallo a,b fx1/b-a se a < x < b, 0 alrimei. E[ X ] V[ X ] Disribuzioe espoeziale a + b xf x dx 2 a + b b x f x dx a 2

33 Trasformaa di Laplace e momei della disribuzioe espoeziale La rasformaa di Laplace di ua disribuzioe co disribuzioe espoeziale Expλ è: f * E[ X s 2 V[ X ] 0 e E[ X ] f s ] + f *1 E[ X λe *2 2 λ 0 0 d λ λ ] E[ X ] λ λ + s + s 2λ λ + s 2 2 s λ 3 s 0 1 λ La proprieà di seza memoria della disribuzioe espoeziale Assumiamo come esempio che X, disribuia espoezialmee Expλ, rappresei la duraa di ua elefoaa. Ci si chiede: quale è la probabilià che la elefoaa duri acora x dao che è già duraa u empo? 2 2 λ

34 La proprie La proprieà di di seza memoria seza memoria della disribuzioe espoeziale della disribuzioe espoeziale, x X P e e e X P x X P X P X x X P X x X P x x > > + > > > + > > + > + λ λ λ La disribuzioe della duraa residua di ua elefoaa o dipede da quao è già duraa la elefoaa sessa: essa è la sessa disribuzioe Expλ per la duraa complessiva delle chiamae.

35 Esempio di uilizzo della proprieà di seza memoria Abbiamo u sisema di servizio i cui ci soo due servei. I empi di servizio soo assui disribuii espoezialmee co lo sesso paramero λ. Erambi i servei soo occupai, o ci soo persoe i aesa e sopraggiuge u uovo cliee. Ci si chiede? Quale è la probabilià che il uovo cliee sia ache l ulimo a lasciare il cero di servizio? Il successivo eveo a verificarsi è quello per cui uo dei due servei occupai si libera ed il uovo cliee che è arrivao per ulimo iizia ad essere servio. Per la proprieà di seza memoria i empi di servizio residui di erambi i cliei Soo ideicamee ed espoezialmee disribuii. Per cui, essedo la siuazioe perfeamee simmerica, la probabilià che l ulimo cliee arrivao sia ache l ulimo a lasciare il sisema è ½.

36 La probabilià di edig di u iervallo disribuio espoezialmee Si assume che ua elefoaa la cui duraa è disribuia espoezialmee Expλ sia duraa già u empo. Quale è la probabilià che essa ermierà i u iervallo ifiiesimo di lughezza h? PX + h X > PX h 1-e -λh λh + ½λh 2 - λh + oh Per cui la probabilià di edig ell uià di empo è cosae e pari a λ.

37 Nozioi base PROCESSI STOCASTICI Spesso il sisema che viee cosiderao evolve el empo, per cui si è ieressai al suo comporameo diamico, di solio eedo i cosiderazioe alcui elemei aleaori La lughezza di ua fila d aesa; Il umero di sudei che ogi ao passa l esame di La emperaura esera Il umero di pacchei di dai i ua ree di elecomuicazioi U processo socasico X è ua famiglia di variabili aleaorie idicizzae dal paramero usualmee il empo. Formalmee, u processo socasico è u mappig da uo spazio S a fuzioi di. Ad ogi elemeo e di S è associaa ua fuzioe X e: Per u dao valore di e, X e è ua fuzioe, dea realizzazioe del processo aleaorio oppure raieoria o sample pah; Per u dao valore di, X e è ua variabile aleaoria Per u dao valore di e e, X e è u umero fisso

38 A secoda se il paramero può assumere valori discrei o coiui, si parla di processo socasico a empo discreo o a empo coiuo. Nel cosiderare i processi socasici siamo spesso ieressai a quaià come: La disribuzioe dipedee dal empo: defiisce la probabilià che X assuma valori i u paricolare sooisieme di S ad u dao isae ; La disribuzioe sazioaria: defiisce la probabilià che X preda valori i u paricolare sooisieme di S come assumedo che il limie esisa La relazioe ra Xs e X per empi differei s e correlazioe di Xs e X Il Firs passage ime: l isae a cui il processo socasico era per la prima vola i u dao sao o i u isieme di sai paredo da uo sao iiziale dao.

39 La saisica di ordie di u processo socasico X è defiia dalla disribuzioe cogiua F X1, X x 1,, x PX1 x 1,, X x per ui i possibili isiemi { 1,, }. Ua complea caraerizzazioe di u processo socasico richiederebbe la Coosceza della saisica del processo per ui gli ordii. Saisica del primo ordie Disribuzioe sazioaria: Fx lim Valore aeso al empo : E[X] PX x Saisica del secodo ordie Saisica del secodo ordie Covariaza

40 Processo sazioario La saisica di ui gli ordii o viee affea da uo shif ell asse dei empi Sazioarieà i seso ampio La saisica del primo e secodo ordie soo ivariai a raslazioi el empo. Processo ergodico L iera saisica del processo può essere deermiaa da ua sigola realizzazioe ifiiamee luga

41 IL PROCESSO DI POISSON Geerale Il processo di Poisso è uo dei più imporai modelli usai ella eoria delle code: Spesso il processo di arrivo dei cliei può essere descrio da u processo di Poisso; Gli arrivi possoo essere cliei, pezzi da lavorare, pezzi da immagazziare, elefoae, pacchei, ec. U processo di Poisso è u modello adao quado gli arrivi hao origie da ua popolazioe ampia di eià idipedei. Nel prosieguo è isruivo pesare che il processo di Poisso sia rappreseao da arrivi discrei.

42 Maemaicamee Il processo di Poisso è descrio dal cosiddeo processo di coeggio N. Il coeggio è effeuao sul umero di arrivi che si verificao i u iervallo 0,, o più i geerale i u iervallo 1, 2. Processi di coeggio cei I u processo di coeggio si deve essere i grado di disiguere due arrivi l uo dall alro. La eoria maemaica dei processi di coeggio fu sviluppaa dallo svedese Palm egli ai 40. Nel prosieguo cosidereremo processi di coeggio semplici, i cui soo esclusi arrivi mulipli. Spesso quesa codizioe riesce ad essere soddisfaa scegliedo opporuamee la scala emporale. Se T i è il empo i cui l i-esimo arrivo arriva. La prima osservazioe ha luogo a T 0 0. Il umero di arrivi ell iervallo [0, [ è deoao da N. N è ua variabile aleaoria, i cui può essere coiuo o discreo. Al crescere di N NON decresce mai.

43 Processo di coeggio cei La disaza emporale ra due arrivi successivi è I i T i T i-1, co i1,2, Quesa gradezza è dea empo di ier-arrivo e la disribuzioe di queso Processo è chiamaa disribuzioe del empo di ier-arrivo. Facedo riferimeo alle due variabili aleaorie N e I i, u processo di coeggio può essere caraerizzao i due modi: 1. Number represeaio N: l iervallo di empo è euo cosae e si osserva la variabile aleaororia N rispeo al umero di arrivi i ; 2. Ierval represeaio T i : il umero di arrivi è euo cosae a e si osserva la variabile aleaoria T i e si iee oa dell iervallo di empo ecessario affichè ci siao arrivi. La relazioe fodameale ra le due rappreseazioi è daa da: N < T XI i P N < i 1 P T Ideià di Feller-Jese

44 Proprieà base della Number Represeaio Ci soo due proprieà che soo di ieresse eoreico: 1. Il umero oale degli arrivi ell iervallo [ 1, 2 [ è uguale a N 2 - N 1. Il umero medio di arrivi ello sesso iervallo è deo reewal fucio H 1,, 2 E[N 2 - N 1 ] 2. La desià degli arrivi al empo ime average è λ lim N 0 N + N 1 Si assume che λ esisa e sia fiio: ale gradezza può essere ierpreaa come l iesià a cui gli arrivi arrivao al empo. Per problemi di coeggio semplici si ha: P N + N 2 o P N + N 1 λ + o P N + N 0 1 λ + o va a 0 più velocemee di

45 Caraerisiche di u processo di coeggio Si è descria ua sruura geerale per i processi di coeggio. Per specifiche applicazioi devoo essere irodoe uleriori proprieà. Sazioarieà Per u arbirario 2 > 0 ed ogi k 0, la probabilià che ci siao k arrivi i [ 1, [ è idipedee da 1 per ogi, quidi si ha: PN N 1 k PN N 1 + k Idipedeza Quesa proprieà può essere espressa come il requisio che l evoluzioe fuura del processo dipeda solo dallo sao presee. Defiizioe. La probabilià che k evei k iero e o egaivo si verifichio ell iervallo [ 1, [ è idipedee dagli evei occorsi prima di 1 PN 2 N 1 k N 1 N 0 PN 2 N 1 k Se queso vale per ogi, allora il processo è u processo di Markov: l evoluzioe fuura solo dipede dallo sao presee, ma è idipedee da come si è arrivai i queso sao.

46 Quesa è di uovo la proprieà di seza memoria. Se quesa proprieà solo vale per alcui isai emporali empi di arrivo, quesi pui soo dei di equilibrio o di rigeerazioe. Semplicià già euciaa U processo di coeggio è chiamao semplice, se la probabilià che ci sia più di u eveo coemporaeamee è ulla: PN + N 2 o

47 Il processo di Poisso Il processo di Poisso è il processo di coeggio più imporae. Esso riprede ue le proprieà già elecae per u geerico processo di Coeggio sazioarieà,idipedeza, semplicià. Da quese proprieà si possoo derivare alre proprieà che soo sufficiei per defiire u processo di Poisso. Le due più imporai soo: 1. Number represeaio: Il umero di evei i u iervallo emporale di lughezza fissaa è disribuio secodo Poisso. Da qui il ome del processo. 2. Ierval represeaio: La disaza emporale ra due evei cosecuivi è espoezialmee disribuia. Disribuzioi del processo di Poisso Il modello fisico del processo di Poisso è il seguee: Gli evei arrivi soo posizioai a caso sull asse reale, i modo ale che ogi eveo è posizioao i maiera idipedee dagli alri gli evei soo posi uiformemee ed Idipedeemee sull asse reale.

48 Disribuzioi del processo di Poisso La desià media è scela come λ arrivi per uià di empo. Se PNk è la probabilià che k evei occorrao all iero di u iervallo di duraa, la formulazioe maemaica del processo appea descrio è: 1. Idipedeza: Se 1 e 2 soo due iervalli che o si sovrappogoo, si ha per l ipoesi di idipedeza PN 1 0 PN 2 0PN Il valor medio dell iervallo di empo ra due arrivi successivi è 1/λ: 0 P N 0 d PN0 è la probabilià che o ci siao arrivi ell iervallo 0,, che è uguale alla probabilià che il primo arrivo si verifichi i u isae successivo a. 1 λ

49 Disribuzioi del processo di Poisso 3. L eveo o si verificao arrivi ell iervallo di lughezza 0 ha probabilià pari ad uo 4. L eveo o si verificao arrivi i u iervallo di lughezza ha probabilià associaa ulla. Disribuzioe espoeziale Il passo fodameale ella derivazioe della disribuzioe di Poisso è la derivazioe di PN0, che è la probabilià che o ci siao arrivi dero u iervallo di lughezza. E possibile mosrare che 1-PN0 segue ua disribuzioe espoeziale. Per l idipedeza si ha l PN l PN 2 0lPN Poedo lpn0 f si ha f 1 + f 2 f Differeziado rispeo a 2 si ha f 1 2 f f 1 deve essere ua cosae e quidi f a + b, si ha a0. Quidi PN0e b. Poiché il valor medio dell iervallo di empo ra due arrivi successivi è 1/λ, si ha 0 1 P N 0 d λ e 0 b 1 d, b λ b

50 Si è dimosrao che La probabilià che il successivo arrivo appaia ell iervallo,+d può essere scria come fd λ e -λ d PN0 λ d. La probabilià che u arrivo appaia ell iervallo,+d + pari a λ d, idipedee da e proporzioale a d. Di uovo si evidezia il fao che poiché λ è idipedee dall isae auale, la disribuzioe espoeziale o ha memoria. Il processo o ha eà. La disribuzioe espoeziale è i geerale u modello molo buoo per modellare ier-arrivi, se gli arrivi soo deermiai da azioi umae. Disribuzioe Erlag-k Si può oare come il empo ecessario affichè k arrivi appaiao sia ua somma di k variabili aleaorie espoezialmee disribuie e idipedei.

51 Disribuzioe Erlag-K La disribuzioe di quesa somma è ua disribuzioe Erlag-k: g g k d k + 1 k + 1 λ e k 1! k 1 λ λ e k 1! g k λ λ x g x k 1 d, m x dx dx Disribuzioe di Poisso 0 1 k 2, σ λ λ λ k! [ λ x] λ k 1! k e λ k 2 λ k 1 e λ x Si mosrerà come il umero degli arrivi i u iervallo di lughezza fissa è disribuio secodo Poisso co valor medio λ. Cooscedo la disribuzioe espoeziale e quella di Erlag, la derivazioe della disribuzioe di Poisso è semplice. La prova può essere effeuaa per iduzioe. λe λx d Dimosrazioe per iduzioe: si assume vero per k per k1 si oiee ovviamee la disribuzioe espoeziale Si vuole derivare PNi, cioè la probabilià di avere i arrivi ell iervallo.

52 Si assume che: P N i 1 i 1 λ e i 1! λ, λ > 0, i 1,2,... Queso è sicuramee vero per i0. L iervallo 0, viee diviso i 3 iervalli disgiui 0, 1, 1, 1 +d 1 e 1 +d 1,. Per la precedee ipoesi di idipedeza è oo che gli evei i u iervallo soo idipedei da quelli egli alri iervalli. Scegliedo 1 i modo che l ulimo arrivo i 0, capii i 1, 1 +d 1 allora la probabilià PNi è oeua iegrado su ui i possibili valori di 1 prededo i cosiderazioe: 1. La probabilià che i-1 arrivi si verifichio ell iervallo 0, 1 : PN 1 i-1 2. La probabilià che ci sia almeo u arrivo ell iervallo 1, 1 +d 1 è λd 1 3. La probabilià che essu arrivo appaia da 1 +d 1 a : e -λ-1 Il prodoo delle prime due probabilià è la disribuzioe di Erlag. Iegrado abbiamo: P N λ i! i e i 1 i 1 λ1 λ 1 λ i e λd1e e 0 0 λ λ i 1! λ i 1! i 1 1 d 1

53 Proprieà PASTA Poisso Arrivals See Time Averages Cliei co arrivi Poissoiai vedoo il sisema come se vi erassero i u momeo casuale ache se essi sessi iducoo l evoluzioe del sisema. Si cosideri u sisema arbirario che passa uo il proprio empo i svariai sai E j. Gli arrivi al sisema cosiuiscoo u processo di Poisso co iesià λ. Quesi arrivi producoo rasizioi di sao el sisema. All equilibrio, è possibile associare ad ogi sao E j due diverse probabilià: 1. La probabilià π j dello sao così come è visa da u osservaore esero casuale 2. La probabilià π* j dello sao così come è visa percepia da u cliee i arrivo dero il sisema. I geerale quese due probabilià o soo uguali.

54 Esempio. Il proprio PC u cliee, ua risorsa codivisa Si hao due sai: PC libero sao 0 e PC occupao sao 1. π* 0 1 il proprio PC è sempre libero quado serve π* 1 0 π 0 proporzioe di empo i cui il PC è libero <1 π 1 proporzioe di empo i cui il PC è occupao >0 Si oi che i queso caso il processo o è Poissoiao. Quado si è verificao u arrivo si è comiciao a lavorare col proprio PC per qualche isae o arriverà u alro arrivo esempio: si ierrompe ua sessioe precedee e se e iizia u alra. Così gli arrivi o soo idipedei.

55 PASTA dimosrazioe Nel caso di arrivi Poissoiai si ha π* j π j Dimosrazioe. La soria degli arrivi prima dell isae cosiderao, seza cosiderare se si sa i u isae casuale o i u isae di arrivo, è rappreseaa da ua sequeza di arrivi co empi di ier-arrivo espoezialmee disribuii. Queso segue dalla proprieà di seza memoria della disribuzioe Espoeziale: il empo residuo fio al successivo arrivo ha la sessa disribuzioe espoeziale e o cambia a secoda del empo già rascorso dal precedee arrivo. Poiché la caraerizzazioe socasica del processo degli arrivi prima dell isae i cosiderazioe è la sessa, seza essere ifluezaa dal ipo di isae emporale scelo, le disribuzioi di sao del sisema idoe dai processi di arrivo passai ell isae i cosiderazioe devoo essere le sesse i erambi i casi.

56 PROCESSO DI POISSON: SUMMARY I defiiiva da quao viso il processo di Poisso ha re defiizioi equivalei: 1. Esso è u processo di pura ascia, i cui i u iervallo ifiiesimo di empo d può verificarsi u uico arrivo co probabilià λd, idipedee dagli arrivi eseri a queso iervallo. 2. Il umero di arrivi N i u iervallo fiio di lughezza segue ua disribuzioe Poissoiaa co paramero λ 3. I empi di ierarrivo soo idipedei e seguoo ua disribuzioe espoeziale

57 Giuso per compleezza, ache se è sao già dimosrao uo, si mosra come la defiizioe del processo come processo di pura ascia implichi quella che si basa sulla disribuzioe Poissoiaa del umero di arrivi. Queso viee mosrao ache per rimeere i gioco le fuzioi geerarici. Si assume che gli arrivi i iervalli differei siao idipedei e che la probabilià di u arrivo ell iervallo,+d sia pari a λd. Si cosidera la fuzioe geerarice del processo di coeggio G z: z d d N N d N N d N d N e z G z z G z G z d z G d z G z d z dg z G z d z G z G z G z d z G dz z d z G z E z E z E z E z G z E z G λ λ λ λ λ λ λ λ , 0,, 0, 0, 0, 1 l l 1 l ] [1 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [