, e dividendo per s, oltre al rapporto incrementale

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1 7. Meodi perurbaivi geeralizzai su base eurisica (HGPT) Nel capiolo 4 è sao irodoo il coceo di imporaza (flusso aggiuo) associaa ad u euroe co deermiae coordiae ello spazio delle fasi, defiia come coribuo alla poeza asioica i u sisema lieare criico, o liearizzao. L'equazioe cui esso soddisfa era saa dedoa araverso cosiderazioi di ipo eurisico. Successivamee, ci siamo avvalsi di queso coceo per dedurre le espressioi perurbaive della reaivià. Riprediamo ale coceo, sempre cosiderado u sisema criico, i relazioe alla poeza media i u iervallo (, ). Se esprimiamo il flusso come prodoo della desià euroica () per la velocià (v), ale poeza media porà essere espressa dall'equazioe P = γ d 4π sis dω de drσ v(r, E, Ω) =<< h >>, (7.) f avedo defiio h = ξγσ f v/( - ), co ξ= ero l iervallo (, ) e zero alrove. La oazioe << >> verrà el seguio uilizzaa ad idicare ua doppia iegrazioe ello spazio delle fasi e del empo. Per empi <, possiamo riscrivere l'espressioe di bilacio (4.33), co l'avvereza di idicare per la fuzioe imporaza ache la dipedeza dal empo, e ricordado che el percorso compiuo dal euroe i u rao s esso darà mediamee u ~ ~ s coribuo a P eguale a ( ~ ( ~ h r, E, Ω, ) [ h r, E, Ω, ) ], v (r, E, Ω, ) = ( Σ s νσ 4π f s) dω' s ( E) 4π (r sω, E, Ω, ) de' Σ s dω' 4π ( E E', Ω Ω') de' χ( E') (r ~, E', Ω', ~ ) (r ~, E', Ω', ~ ) h s (r ~, E,Ω, ~ ) v avedo poso al poso di φ per disiguere quesa imporaza da quella relaiva ~ alla poeza asioica, ed avedo idicao co h ( r~, E, Ω, ) u valore ra il miimo ed il massimo di h el rao s durae l iervallo. Aggiugedo e soraedo al primo membro ( r, E,Ω, ), e dividedo per s, olre al rapporo icremeale

2 ( r sω, E, Ω, ) ( r, E, Ω, ) Ω grad ( r, E, Ω, ) s si ha ache, al primo membro, il rapporo v ( r,e, Ω, ) ( r,e,ω,) v. Facedo edere a zero e moliplicado per v, si oiee così l'equazioe relaiva all'imporaza = v Ω grad νσ f (E) v 4π vσ 4π dω' v 4π dω' de' χ(e' ) de' Σ s (E E', Ω Ω' ) ( r, E', Ω' ) h ( r, E', Ω' ) (7.) Facedo edere la differeza ( - ) a zero, il ermie di sorgee h ede ad ua fuzioe di ipo dela, coeee la fuzioe di Dirac δ(- ). I queso caso la fuzioe corrispode alla poeza del reaore al empo. Per, la derivaa emporale si aulla, e la (7.) ede alla equazioe relaiva al flusso aggiuo. Il coceo di imporaza così defiio può essere eseso a qualuque fuzioale del flusso, per sisemi criici e o. Tale esesioe dà luogo ai cosiddei meodi perurbaivi geeralizzai (o GPT, per geeralized perurbaio heory), oggi largamee usai per l'aalisi di sisemi. Nel seguio descriveremo quesa meodologia, sempre uilizzado cosiderazioi di ipo eurisico. Per ale moivo, la meodologia che descriveremo verrà più propriamee defiia come meodologia HGPT (heurisical GPT). Co il meodo HGPT la fuzioe imporaza è quidi defiia i modo uivoco i relazioe ad ua deermiaa risposa (misura) el sisema lieare cosiderao, per esempio, ua dose euroica, la quaià di pluoio el occiolo alla fie del ciclo, la emperaura del refrigerae i uscia da u caale. Il meodo HGPT è sao derivao iizialmee i relazioe al campo lieare della desià euroica i u mezzo diffodee. Quidi è sao eseso ad alri campi lieari. Per ui quesi campi, l'equazioe che govera l'imporaza è saa oeua direamee impoedo che, i media, il coribuo ad ua deermiaa risposa (misura) fissaa el empo e ello spazio da pare di ua paricella (u euroe, u uclide, u fooe), posa i u cero empo e i u cero puo ello spazio delle fasi

3 del sisema, si coservi fio al momeo della misura sessa. Il coribuo associao alla paricella cosideraa, od alla sua progeie, se si raa di u mezzo moliplicae, viee idicao come "imporaza", e dipederà geeralmee dal empo, posizioe, velocià e direzioe della paricella cui essa è associaa. Si sabilisce quidi il "pricipio di coservazioe dell'imporaza". Cosideriamo la desià di u campo di paricelle rappreseao co il veore f (per esempio, la desià euroica i uo schema a gruppi) ed ua risposa Q defiia dall'iegrale F Q = < s, f > d << s, f >>, (7.) o dove s è ua fuzioe assegaa. Le pareesi < > rappreseao l'iegrazioe ello spazio delle fasi, mere quelle doppie << >> ache el empo. Se si pesao ue le paricelle iserie el sisema co l'imporaza corrispodee (f), sommadole araverso l'iegrazioe su uo il sisema, si oerrà ovviamee la risposa sessa cui l'imporaza è associaa, cioè <<f,s>> = Q = <<s,f>> (7.) dove l'iegrazioe el empo copre l'iervallo i cui la sorgee è presee (i cui quidi geeralmee è s ), e quello i cui viee effeuaa la misura (durae il quale geeralmee è s ). L'equazioe (7.) rappresea ua imporae relazioe di reciprocià. Dai primi casi cosiderai el campo euroico soo sae apprese le regole per deermiare le equazioi che reggoo la fuzioe imporaza f, a parire dall'equazioe relaiva alla desià reale f. Tali regole, come vedremo meglio el seguio, comporao: - il cambiameo di sego delle derivae dispari, - la rasposizioe degli elemei di marice (scambio di righe co coloe), - l'iversioe dell'ordie delle variazioi eergeiche, agolari e spaziali, - la sosiuzioe dei ermii di sorgee s co s. Le prime re operazioi verrao geeralmee chiamae operazioi di "reversioe degli operaori". La meodologia HGPT è saa poi esesa ad ogi campo goverao da operaori lieari per il quale le regole di reversioe fossero oe. I paricolare, è sao eseso ad 3

4 alcui campi di fuzioi derivae, oeui espadedo aoro ad ua soluzioe di pareza delle equazioi relaive a campi o lieari, fra cui: - il campo accoppiao delle desià dei euroi e dei uclidi, che ieressa lo sudio dell'evoluzioe del occiolo, - il campo delle emperaure, che ieressa lo sudio di sisemi ermoidraulici. Formulazioe geerale Cosideriamo u sisema descrio da ua fuzioe veoriale fˆ, rea dall'equazioe m ˆ (ˆ f p) =. (7.3) Il veore f ˆ( q, ) dipede geeralmee dal puo q ello spazio delle fasi e dal empo. Il veore p rappresea u se di parameri idipedei p (=,,...,J) che defiiscoo compleamee il sisema. Essi rappreseao cosai fisiche, codizioi iiziali, ermii di sorgee, ecc. L'equazioe (7.3) può essere visa come ua equazioe i forma veoriale, co operaori lieari e/o o-lieari. Si assume che mˆ sia derivabile secodo Freche () rispeo alle variabili fˆ (=,,...,N). Cosideriamo ora ua risposa, o fuzioale, Q daa dall'espressioe F Q = < L(ˆ f p) > d << L(ˆ f p) >>, (7.4) o dove L è u dao fuzioale di fˆ, mere o e F rappreseao dei limii di empo fissai. Cercheremo el seguio ua espressioe che dia la variazioe δq della risposa Q i ermii delle perurbazioi δp dei parameri del sisema. Verrao i La derivazioe secodo Freche è ua derivazioe formale che, applicaa ad ua espressioe m fuzioe di ua variabile f, dà come risulao u operaore lieare (defiio come m / ). Essa coicide co la derivazioe ormale quado l'espressioe cui è applicaa è ua espressioe algebrica. Se idichiamo co α u operaore che agisce su ua fuzioe f, la derivaa di Freche di αf rispeo ad f risula α. Per esempio, se α grad, si avrà ( αf ) (gradf ) = grad Se, ivece, α=dxk(x)( ), si avrà ( αf ) dxk(x)f (x) = dxk(x)( ). 4

5 paricolare oeue le espressioi della sesiivià della risposa Q a ciascu paramero p. Per ridurre l'espressioe (7.4) i quella, lieare, (7.), irodurremo ua variabile supplemeare y, defiia dalla equazioe y = L(ˆ f p) (7.5) e defiiremo ua fuzioe veoriale di (N) compoei f = ˆf y (7.6) goveraa dall'equazioe m(f p) mˆ (ˆ f p) y L(ˆ f p) =. (7.7) Il fuzioale Q defiio dalla (7.4) può allora essere riscrio ella forma della (7.), cioè, ˆ Q = << s,f >> << f >>, (7.8) y Secodo ua esesioe del meodo HGPT la (7.7), o la sua forma liearizzaa raadosi di u problema o lieare, è ierpreaa eurisicamee come reggee u campo di (pseudo)-desià. Si porà perao irodurre il coceo di imporaza [deoaa come f(q,)], corrispodee al coribuo ad u dao fuzioale da pare di ua (pseudo)-paricella irodoa i q al empo. Differeziado l'eq.(7.7) aoro ad ua soluzioe di riferimeo, si avrà, al primo ordie, = J = J = δp δp dm dp (Hf / s ) = (7.9) dove 5

6 f = / s df dp = m p (7.) (7.) rappreseao le fuzioi derivae e dei ermii di sorgee, rispeivamee, e dove H rappresea l'operaore (lieare) Jacobiao H m = f m m N :::::... :::::... m m N ::::: N N, (7.) avedo idicao co / la derivaa di Freche. Poiché ell'equazioe (7.9) i parameri p, e quidi le loro variazioi δp, soo sae assue idipedei gli ui dagli alri, e segue che deve essere soddisfaa l'equazioe Hf / s = (=,,...,J) (7.3) Quesa equazioe govera le fuzioi derivae f /. Si assume che i ermii di sorgee che appaioo i quese equazioi egao coo ache delle codizioi iiziali, eveualmee co opporue fuzioi di ipo dela. Cosideriamo ora i fuzioali Q = <<s,f / >> (7.4) co s= [v. Eq.(7.8)], lieare rispeo alle fuzioi f/, goverae dalla (7.3). Si verifica facilmee che l'imporaza associaa a quesi fuzioali soddisfa l'equazioe lieare, idipedee dagli idici, Hf s =, (7.5) 6

7 Dove H è oeua mediae reversioe dell'operaore H. Possiamo quidi scrivere, ricordado la relazioe di reciprocià (7.), Q = <<f,s >> (7.6) L'espressioe perurbaiva può essere quidi scria, al primo ordie, δq = J Q p δp J δp = p = m << f, >> (7.7) Il primo ermie al secodo membro corrispode al cosideo ermie direo, mere il secodo ermie al ermie idireo, che iee coo dell'effeo della variazioe della desià f sulla risposa. Può capiare, i cere circosaze, che uo o più compoei (per esempio, f ) del veore f o dipedao da ua daa coordiaa spazio-emporale (per esempio, x). Cosiseemee co l'ierpreazioe delle compoei di f come (pseudo)-desià, e seza alerazioe dei ermii del problema, quesa, o quese variabili possoo essere ierpreae iolre come valori iegrali (per esempio, medie rispeo ad x) e quidi sosiuie co espressioi i cui compaioo operaori del ipo < > V x < > x, (7.8) ~ (o semplicemee < > ), applicai a variabili [per esempio, f (x) ], ali che, ell'esempio cosiderao, ~ < f (x) > f = >, (7.9) < ~ f Vx x ~ (o semplicemee il valore iegrale < f (x) > ). Le variabili così esese sarao quidi fuzioe di ue le coordiae i cui è geeralmee defiio il campo veoriale f. Di esse ieressa solo la quaià iegrale, o essedo di esse richiesa alcu'alra specificazioe. Quesa regola viee chiamaa "complemeazioe della dipedeza dalle coordiae". Il suo uso è alle vole richieso ella meodologia HGPT per oeere gli operaori correi che goverao la fuzioe imporaza. 7

8 Applicazioe dei meodi HGPT el campo euroico I geerale, durae la via del reaore, viee cosiderao u meodo quasisaico i cui i processi di evoluzioe dei uclidi, a breve ermie (ore, o giori) per quao riguarda gli sudi degli effei dovui all'avveleameo da xeo, a lugo ermie (mesi, o ai) per quao riguarda l'evoluzioe del combusibile, soo cosiderai lei rispeo alla via media dei euroi, sicché la derivaa del flusso rispeo al empo è posa eguale a zero. I ui quesi casi è irodoa ua variabile (iesiva, cioè dipedee solo dal empo) di corollo (per esempio, la desià media del boro solubile el refrigerae) i modo da coservare la soria fissaa della poeza complessiva. Ci limieremo quidi a cosiderare sisemi ello sao criico sazioario. Per quesi soo di ieresse rappori di fuzioali del ipo: R = Q Q < h < h, > (=y), > (7.) dove h ( r) e ( r) soo fuzioi dae del poso, mere (r) è la desià euroica goveraa dall'equazioe () h B(ρ p) = (B = A F) (7.) Il veore p rappresea i parameri p (=,,...,J) che defiiscoo il sisema, mere ρ è ua variabile iesiva di corollo, ale da maeere cosae la poeza W. Ciò si raduce ella codizioe <s f,> - W =, (7.) essedo s f il veore delle sezioi d'uro macroscopiche di fissioe moliplicao per il umero di uià di eergia per fissioe. Seguedo la procedura defiia precedeemee, i paricolare la regola della complemeazioe delle coordiae, sicché < ρ ~ > sosiuisce ρ, possiamo cosiderare il campo eseso Normalmee si fa riferimeo all'equazioe Bf= che regge il flusso f, ossia BV=, essedo f=v e V la marice diagoale delle velocià. Per semplicià, ell'equazioe (7.) e el seguio sarà soieso che l'operaore B e i veori che moliplicao icorporerao la marice V. 8

9 f = ρ ~, (7.3) y goverao dall'equazioe Poedo m(f p) = B( ρ ~ ) < s f, > W < h, > y < h, > =. (7.4) g = h h, (7.5) Q Q le fuzioi derivae / f / = ~ρ /, (7.6) y~ / dove < ~ > è posa i luogo di y /, risulao soddisfare l'equazioe y / < s f B R < g, ( ) >, ( ) > B < > < > ~ρ y~ / / / B p =. (7.7) Essedo rea dall'operaore B, cioè dallo sesso operaore che regge la desià, il ermie di sorgee dell'equazioe che govera la fuzioe derivaa /, affichè quesa abbia soluzioi fiie, deve essere vuoo del modo fodameale, vale a dire, deve soddisfare la codizioe:

10 B B, < φ ρ / >=, (7.8) p da cui si ha che ρ / < φ = < φ B, p > B, >. (7.9) La fuzioe imporaza, così come l'abbiamo defiia, è ua fuzioe che dipede geeralmee dal empo, ache se la fuzioe reale può risulare, come el caso cosiderao, sazioaria. Nel derivare la fuzioe relaiva all'imporaza co le regole di reversioe già cosiderae, occorrerà riprisiare l'operaore di derivazioe rispeo al empo ell'equazioe (7.7), per coformià formale co il caso geerale. Iolre, come si è viso, la risposa (7.) si ridurrà poi ella forma (7.) araverso il processo di differeziazioe. Essedo y = < h < h, >, possiamo scrivere, > F Q = yδ( ') d ~ 7.3) o essedo ' u empo arbirario ero l'iervallo ( o, F ) i cui il sisema viee cosiderao. Il fuzioale Q associao alla fuzioe derivae ree dalla (7.7) porà quidi scriversi, complemeado la y /, / F Q = < y~ >δ << δ ~ ρ >> / ( ' )d ( ' ) / o y~ Usado le regole di reversioe degli operaori, la fuzioe imporaza / f = ~ρ y~ (7.3)

11 obbedirà l'equazioe ( B ) s < > Rg < > f B < ( ) > < > ~ρ y~ δ( ' ) =. (7.3) Dalla erza equazioe (relaiva a y ~ ) si ha: < ~ y > = - δ(-') (7.33) sicché la prima equazioe (relaiva a ) può essere scria, poedo ρ i luogo di < ρ ~ >, = B Rg δ(-') s f ρ (7.34) Iegrado rispeo al empo ra o e 'ε, e ricordado che, per la defiizioe di imporaza, ('ε)=, se defiiamo la fuzioe ψ o = ' ε o d si oiee ( o ψ R o ' ε f ρ o ) = B g s d (7.35) Assumedo che o sia asioicamee disae da ', ( o ) ederà a zero. Ifai, il coribuo di ua paricella iseria i empi egaivi molo disai da ' o ifluisce sulla forma del flusso (') e darà quidi u coribuo ullo alla quaià y defiia

12 dalla (7.) (e quidi ache alla corrispodee fuzioe derivaa y / ). Ricordado il sigificao di imporaza si porà porre quidi ( o ) =. Se defiiamo la fuzioe ' lim ε o o ψ = d, (7.36) essa soddisferà l'equazioe ' B ψ Rg s ρ d = ε. (7.37) f o Moliplicado a siisra per, iegrado, ricordado che <,B ψ> =, <,Rg >=, e che s f ed soo quaià posiive, si oiee, ' ε ρ o d =. L'equazioe che regge ψ sarà, i defiiiva, B = ψ Rg (7.38) L'espressioe perurbaiva relaiva ad R si può quidi scrivere [cfr. (7.7)], δr = R<δg,> <ψ,δb>. (7.39) La soluzioe geerale della (7.38) è daa dalla somma della soluzioe della equazioe omogeea corrispodee più ua soluzioe paricolare, cioè

13 ψ = ψ par αφ (7.4) essedo α u coefficiee arbirario, mere φ è il flusso aggiuo covezioale già icorao, che obbedisce all'equazioe Bφ=. La secoda equazioe del sisema (7.3) corrispode ad ua codizioe di orogoalià cui deve soddisfare la fuzioe, e quidi ache la ψ, cioè B < ψ, > =. (7.4) Sosiuedo l'espressioe di ψ daa dalla (7.4), si oiee < ψ α = < φ par B > B >. La soluzioe cercaa della fuzioe imporaza associaa ai euroi sarà quidi B < ψ par > ψ = ψ par φ. (7.4) B < φ > La meodologia perurbaiva HGPT cosee di aalizzare paramericamee quaià defiie come rappori di aivià, i paricolare assi di fissioe, rappori di coversioe, ecc. Daa la simmeria ra flusso euroico e flusso aggiuo, possiamo esedere la meodologia perurbaiva relaiva a rappori di fuzioali lieari rispeo al flusso (o desià) reale, ache a rappori bilieari rispeo ai flussi reale ed aggiuo, quali i coefficiei di reaivià, come illusrao el seguio. Se defiiamo ua quaià 3

14 Z = T T = < φ < φ G G > > (7.43) si oerrà l'espressioe perurbaiva δz = Z<φ δl,> <ψ,δb> < φ,δbψ>, (7.44) dove L = G T G T e le fuzioi ψe ψ soddisfao le equazioi B ψ ZL φ = (7.45) B ψ ZL =, (7.46) Mere la fuzioe ψ soddisfa la codizioe di orogoalià (7.4), la fuzioe ψ risula soddisfare la codizioe B < φ, ψ> =. (7.47) Nel caso i cui il crierio di "rese" della criicià corrispoda ad u coefficiee (λ) della sorgee di fissioe (F), le codizioi di orogoalià (7.4) e (7.47) diveao < ψ,f> =. (7.48) < φ,fψ> =. (7.49) Quese codizioi soo geeralmee usae per i calcoli perurbaivi geeralizzai, ache se i alcui casi i cui il rese reale della criicià va euo i coo, allorchè le quaia i sudio dipedao della variazioe spazio-eergeica del flusso euroico deermiaa dallo sesso rese (come el caso di corolli localizzai, per esempio, co barre di regolazioe). D'alra pare le codizioi di orogoalià (7.48) e (7.49), ecessarie per l'iegrazioe delle fuzioi imporaza, soo di più agevole uilizzo rispeo a quelli, geerali, dae dalle (7.4) e (7.47). Perao, ache per il caso geerale, coviee 4

15 uilizzare i primi, più agevoli crieri, relaivi al cosiddeo λ-rese, già iserii ella maggioraza dei codici predisposi per quese eciche perurbaive, ed alla fie eere coo del rese reale araverso l'espressioe (7.4), i cui si assume il risulao della prima iegrazioe come soluzioe paricolare ψ. par 5