ELENCO TESTI DELLE PROVE SCRITTE

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1 ELENCO ESI DELLE PROVE SCRIE 1/1/ 1) Descrivere le caraerisiche fodameali che differeziao i dai, segali emporali e le immagii biomediche. Spiegare quali di quese soo i grado di descrivere feomei diamici. ) Dire se il seguee segale: s() = exp[j(ω+ϕ)] è a poeza media fiia e calcolare il valore. 3) Spiegare il sigificao di risposa impulsiva di u sisema di imagig ecografico e dire come la risoluzioe dipede dai parameri geomerici ed elerici del rasduore. 4) Defiizioe a caraerizzazioe di u processo socasico del ordie: defiire le leggi probabilisiche e i momei che lo caraerizzao. 5) Spiegare le fasi fodameali per la progeazioe di u filro FIR. 6) Calcolare e ierpreare ache mediae esempi l eropia per ua sorgee di M simboli biari. 7) Descrivere il sigificao di spazio delle fasi e di dimesioe di embeddig e spiegare u meodo di sima della dimesioe di embeddig. 8) Spiegare le differeze fodameali ra aalisi discrimiae e aalisi delle compoei pricipali i u problema di classificazioe. 18/1/ 1) Calcolare i coefficiei della serie di Fourier del seguee segale pari: ) s ( ) = Acos( ω + ϕ) 3) Dire quali soo le codizioi di simmeria dei relaivi coefficiei di Fourier. 4) Spiegare da cosa asce la covoluzioe circolare e come si possoo eviare le cosegueze egaive. 5) Dire quali forme di eergia sfruao e i quale iervallo di frequeze operao i seguei ipi di bioimmagii: ulrasuoi, risoaza mageica, raggi X, medicia ucleare. 6) Qual è la differeza ra saisica del 1 e ordie i ermii di coeuo iformaivo. 7) Scrivere l equazioe alle differeze per u sisema di ordie N. 8) Come si calcola la desià sperale di poeza paredo da u modello ARMA. 9) Quali iformazioi si possoo esrarre dai meodi di aalisi mulivariaa. 1) Descrivere come si imposa u problema di rivelazioe di evei e spiegare i cosa cosise il meodo di Bayes // 1) Dire se il segale s() = cos(ω + ϕ) e a eergia fiia o a poeza media fiia e calcolare il valore (fiio). ) Esise ua relazioe ra le variabili spaziali x e y el processo di formazioe di u immagie? Spiegare co u esempio. 3) Dao u segale defiio su u umero di pui N = 56, successivamee esedere N co u operazioe di zero paddig fio a 51 campioi: aalizzare i frequeza i risulai ei due casi. 4) Paredo da ua sequeza ifiia di operaori dela di dirac, filraa araverso u sisema che simula u rasduore ulrasoico, spiegare quali soo le iformazioi che si perdoo rispeo a quelle coeue ella sequeza. 5) Defiizioe di u processo sazioario i ermii dei suoi momei; dire come si puo disiguere u processo saisicamee regolare da uo casuale. 6) Qual e la differeza ra risposa impulsiva e fuzioe di rasferimeo per u sisema bidimesioale lieare.

2 7) Descrivere u meodo di sudio di ua serie emporale geeraa da u sisema mulidimesioale icogio. 8) Descrivere il sigificao delle curve ROC dal puo di visa della sesibilia e specificia. 5/9/ 1) Descrivere le differeze fodameali ra dai, segali emporali e immagii biomediche. ) Dire se il seguee segale: s() = exp[jω] è a poeza o eergia fiia ed eveualmee calcolare il valore. 3) Progeare u filro FIR co il meodo del rocameo della risposa impulsiva. 4) Descrivere il sigificao e l iformazioe associaa ad u processo socasico del ordie e calcolare la fuzioe di auocorrelazioe. 5) Descrivere la dipedeza della risposa impulsiva di u sisema di imagig ecografico dai parameri geomerici ed elerici del rasduore. 6) Calcolare e ierpreare l eropia per ua sorgee di M simboli biari i applicazioi di compressioe di immagii. 7) Spiegare il sigificao dei picchi ello spero di poeza per u processo di Erlag di ordie elevao. 8) Spiegare il sigificao dell aalisi delle compoei pricipali e descrivere il legame ra le variabili di igresso e quelle pricipali. 1) Dire quali soo le codizioi di simmeria dei relaivi coefficiei di Fourier. ) Spiegare da cosa asce la covoluzioe circolare e come si possoo eviare le cosegueze egaive. 3) Qual è la differeza ra saisica del 1 e ordie i ermii di coeuo iformaivo. 4) Scrivere l equazioe alle differeze per u sisema di ordie N. 5) Dire quali forme di eergia sfruao e i quale iervallo di frequeze operao i seguei ipi di bioimmagii: ulrasuoi, risoaza mageica, raggi X, medicia ucleare. 6) Come si calcola la desià sperale di poeza paredo da u modello ARMA. 7) Quali iformazioi si possoo esrarre dai meodi di aalisi mulivariaa. 8) Descrivere come si imposa u problema di rivelazioe di evei e spiegare i cosa cosise il meodo di Bayes. 9/1/3 1) Descrivere brevemee le eciche di imagig che sfruao l eergia eleromageica. ) Calcolare l eergia e la poeza del seguee segale espoeziale complesso: s ( ) = Ae j( ω +ϕ ) 3) Scrivere la formula dello spero di u segale reale dispari i fuzioe dei coefficiei R(f) e I(f). 4) Cosa si iede per campioameo di u segale e sudio el domiio della frequeza del segale campioao. 5) Spiegare il coceo di ergodicià e dire se u processo sazioario è ache ergodico (i caso affermaivo giusificare la risposa). 6) Esempi di come si applicao il eorema della probabilia oale e il eorema di Bayes. 7) Spiegare come si calcola il riardo ra due elemei radiai uilizzado il paramero β. 8) Descrivere quali iformazioi si possoo esrarre dai meodi di aalisi mulivariaa. 3/1/3 1) Suddividere le misure biomediche dal puo di visa dimesioale e dire quali possoo essere cosiderai dai, segali moodimesioali o immagii. ) Calcolare l eergia e la poeza del seguee segale: 3) s ( ) = Acos( ω + ϕ)

3 4) Scrivere la formula dello spero di u segale reale pari i fuzioe dei coefficiei R(f) e I(f). 5) Discuere come si può migliorare la risoluzioe i frequeza paredo da u segale campioao co periodo e duraa fissai. 6) Descrivere cosa si iede per processo socasico sazioario i seso lao e spiegare i formule come si calcola ua saisica del secodo ordie. 7) Spiegare il sigificao dell operazioe di correlazioe ra due variabili dipedei e idipedei. 8) Calcolare la risposa impulsiva di u sisema di imagig ecografico. 9) Spiegare quali soo le differeze fodameali ra il meodo delle compoei pricipali e quello basao sulla fuzioe discrimiae i u problema di aalisi mulivariaa. 1/1/4 1) Descrivere i quali iervalli di lughezza d oda viee sfruaa l eergia eleromageica e ulrasoica per geerare le bioimmagii. ) rovare i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier del seguee segale periodico: s () = A( ) τ dove x(). 3) Spiegare quado avviee la covoluzioe circolare e come si possoo eviare le eveuali disorsioi. 4) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y(), sulla base della seguee rasformazioe: y() = x(). Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale / τ 9/1/4 1) Co riferimeo alla seguee figura: 1 x siao dai: frequeza del segale di eccoazioe: f = 1 MHz; velocià di propagazioe el mezzo: v = 15m/s; disaza ra i due bersagli: x = 3 µm Calcolare il umero massimo di cicli del segale di ecciazioe affichè i due bersagli siao visi separaamee dal rasduore. ) Sia daa la seguee forma d oda: Calcolare i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier e graficare i primi quaro coefficiei ell ipoesi i cui τ = /4. 3) Sia dao u segmeo di segale di lughezza = 1s e frequeza massima f M = 5 Hz. ale segmeo sia campioao alla frequeza di Nyquis. Successivamee il segale discreo sia iviao ad u sisema (filro) co risposa impulsiva h(), co = 65; h() sia ale da dimezzare la bada del segale d igresso. Il segale discreo i uscia dal sisema sia rasformao co Fourier. Calcolare la risoluzioe i frequeza f del segale filrao. τ

4 4) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x(- ), essedo il riardo irodoo dal sisema. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 8/1/4 1) Descrivere come si geerao le bioimmagii, la loro dimesioalià e i ipi di eergia impiegaa. x() x() ) rovare i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier di s () = dove x() = cos (πf ), f = alrove 1/ 3) Spiegare cos è la covoluzioe circolare, qual è la causa pricipale della sua esiseza e come si possoo eviare le eveuali disorsioi. 4) Derivare maemaicamee la risposa impulsiva di u sisema e ierpreare i frequeza ale risposa. 1//4 1) rovare i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier del seguee segale periodico: τ ) s () = A(1 ) τ dove x(). 3) Descrivere comparaivamee lo sviluppo i serie di Fourier e la rasformaa coiua di Fourier. 4) Discuere il eorema del campioameo el caso di segali passa basso e segali passa bada e forire la rappreseazioe grafica i frequeza ei due casi. 5) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x(). Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 1/5/4 1) rovare i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier del seguee segale periodico: s () A( ) τ τ dove x(). ) Calcolare la risposa impulsiva bidimesioale di u sisema di imagig e forire u esempio di sisema passa bada e passa basso. 3) Descrivere le fasi che porao a rasformare u segale coiuo i uo discreo, meedo i evideza i crieri alla base della discreizzazioe. 4) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = 1 x(). Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 6/4 1) Spiegare come sia possibile realizzare filri FIR a fase lieare. ) Ua classe è composa da 5 sudei co eà iferiore a 18 ai, 5 co 18 ai di eà e di eà superiore a 18 ai. Nel soreggio di uo sudee dalla classe, calcolare la probabilià che esca: a) uo sudee co eà miore di 18 ai; b) uo sudee co eà superiore a 18 ai; c) si suppoga che dopo l esperimeo (b), l idividuo soreggiao o sia uilizzao per uleriori soreggi: calcolare la probabilià di esrarre uovamee uo sudee co eà superiore a 18 ai. 3) Descrivere come si calcola il momeo di ordie di ua variabile aleaoria e spiegare il sigificao dei momei di ordie =1,, 3, 4.

5 4) Si cosideri u campioe di cavie la cui umerosià sia deermiaa i fuzioe del livello di cofideza α e della larghezza dell iervallo di cofideza, sulla base del seguee ragioameo: si fissi il valore della deviazioe sadard del empo di reazioe di cavie ad u cero simolo, ovvero σ, a.5 e il livello di cofideza α al 95%. Si chiede di deermiare la umerosià del campioe i modo da maeere lo scosameo dal valore medio (errore rispeo alla media) a valori.1. /6/4 1) Spiegare come si modifica la risposa sul piao z el passare da u filro passa basso ad uo passa alo di ipo IIR. ) Nel lacio di u dado per vole, calcolare la probabilià che ei due laci escao: 1) due umeri diversi ra loro; ) due umeri pari; 3) due umeri dispari. 3) Spiegare come si calcola il momeo del secodo ordie di ua variabile aleaoria bidimesioale e ierpreare il coefficiee di correlazioe el caso di ρ =. e ρ =.8. 4) Suppoiamo di simare la fuzioe di correlazioe a due isai i e j la cui disaza emporale sia τ. Suppoiamo di ripeere la sima a due isai emporali h e k sempre a disaza τ. Spiegare i formule i risulai possibili el caso di processo sazioario e o. 16/7/4 1) Spiegare perché u filro FIR può avere la risposa i fase lieare, mere u filro IIR o può avere la risposa i fase lieare. ) Spiegare i formule ed eveualmee co u esempio, i che cosa cosise u esperimeo a due esii co campioameo co reiroduzioe. 3) Spiegare le fasi araverso le quali si realizza u es diagosico quado la variabile aleoria è defiia su ua popolazioe di ormali e ua di paologici. R(τ) 4) Graficare u possibile adameo delle fuzioi campioi di u processo sazioario caraerizzao da u fuzioe di correlazioe del ipo di seguio disegao e commeare la fuzioe di correlazioe. τ 11/1/5 1) Sia daa la seguee forma d oda: τ ) Calcolare i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier e graficare i primi quaro coefficiei ell ipoesi i cui τ = /4. 3) Sia dao u segmeo di segale di lughezza = 1s, campioao, alla frequeza di Nyquis, su N = 14 pui. Suppoiamo che l escursioe massima i ampiezza del segale sia compresa ra e 1 Vol. Allo scopo di migliorare la risoluzioe i frequeza durae l operazioe di DF, si effeui l operazioe di zero-paddig sul segmeo di segale uilizzado 14 zeri. a) Calcolare l errore di quaizzazioe suppoedo di uilizzare u coveriore a 8 bi. B) Calcolare la frequeza massima del segmeo di segale. C) Calcolare la risoluzioe i frequeza.

6 4) Spiegare come si passa dall equazioe alle differeze di ordie N alla descrizioe di u sisema causale dello sesso ordie. 5) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x(). Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 7/1/5 1) Sia daa la seguee fuzioe: y() = si πf1 i cui 1 = e f = f1, essedo 1 il periodo della fuzioe se(.) e il periodo della fuzioe y(). Calcolare i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier di y(). ) U segmeo di segale passa bada, la cui bada B = 1 MHz e frequeza massima fmax = 1 MHz sia campioao su N = 1 pui. Calcolare la lughezza del segmeo di segale. Su quai pui verrebbe campioao lo sesso segmeo di segale ell ipoesi di campioameo alla frequeza di Nyquis? 3) Descrivere, foredo esempi, il sigificao di segale spoaeo e segale idoo. 4) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x()+1. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 15//5 1) Sia daa la seguee fuzioe, i cui τ /: - τ 1 τ ) Calcolare i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier i fuzioe di τ 1 e τ. Graficare i coefficiei per =,1, el caso di τ 1 = /4 e τ = /. 3) Suppoiamo di acquisire, mediae eciche digiali, u segale aalogico per ua duraa ale da permeere, ua vola rasformao co Fourier, di discrimiare due compoei frequeziali a disaza di 1 Hz. La frequeza massima del segale sia di 5 Hz. Quao deve durare il segmeo di segale per oeere la risoluzioe cercaa? Nel caso i cui la duraa del segale acquisio sia di 56 ms, è acora possibile, ed eveualmee i che modo, oeere la risoluzioe i frequeza di 1 Hz? 4) Descrivere il sigificao di modello i bioigegeria e i quale modo è possibile realizzare modelli di sisemi reali. 5) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = y() = x() 1. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 6/6/5 1) Sia dao il seguee segale periodico: s() = e /τ defiio ra / e + /, co periodo. Calcolare i primi quaro coefficiei e graficare per τ =. ) U segmeo di segale passa bada, la cui bada B = 5 MHz e frequeza massima fmax = 1 MHz sia campioao su N = 1 pui, ell ipoesi di campioameo di Nyquis. Calcolare la lughezza emporale del segmeo di segale. Quao sarebbe la lughezza emporale del segmeo di segale ell ipoesi di campioameo per segali passa bada? 3) Spiegare perché è imporae cooscere la risposa impulsiva di u sisema di imagig per valuare il coeuo iformaivo di u immagie e come la risposa impulsiva può essere miglioraa (se ecessario ricorrere ad u esempio).

7 4) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = [x()] +1. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 5) Descrivere le fasi araverso le quali si progea u filro FIR co il meodo delle fiesre, meedo ache i evideza il ruolo del umero di coefficiei e il ipo di fiesra impiegaa. 6) Descrivere la formula (oa come disribuzioe biomiale) che mee i relazioe la probabilià di k successi i prove, cercado ache di dare u ierpreazioe bioigegerisica. 7) Dimosrare che il momeo del primo ordie valore medio può essere spiegao i ermii di predizioe del valore corree del campioe esrao. 8) U campioe di 1 paziei soggeo ad ua erapia farmacologica coro l areriosclerosi ha avuo ell arco di cique ai u aumeo medio di spessore della paree areriosa di. mm e variaza.5. Sapedo che paziei o sooposi a erapia hao avuo u aumeo medio di.3 mm, ci si domada se il miore aumeo di spessore el campioe sooposo a cura sia dovuo al caso oppure alla erapia. 7/6/5 1) Sia dao il seguee segale periodico di periodo π π - π/ π/ π ) Calcolare lo sviluppo i serie di Fourier e racciare il grafico dei primi quaro coefficiei ei seguei casi: = π e = 4π. 3) Sia dao u segmeo di segale di duraa = 1s, il cui spero frequeziale sia compreso ra MHz e 5 MHz. Calcolare il umero di campioi su cui viee digializzao il segale ell ipoesi di applicare sia il eorema di Nyquis, sia la formula valida per segali passa bada. 4) Classificare le bioimmagii sulla base della aura ioizzae e o ioizzae dell eergia impiegaa per la loro formazioe. 5) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = [x()+1]. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 6) Sia daa la seguee rappreseazioe sul piao z di u filro. Disegare il modulo della fuzioe di rasferimeo del filro. Suppoiamo ora di avviciare i due poli all origie degli assi: Im x x a Re 7) discuere comparaivamee come si modifica la fuzioe di rasferimeo del filro. 8) Descrivere come si calcola il umero di raggruppamei di k elemei prelevai da u isieme di elemei (c.s.r.) el caso i cui l ordie ra gli elemei sia discrimiae e el caso i cui l ordie o compori differeza. Calcolare iolre le probabilià di successi ei due casi. 9) Descrivere i formule il eorema di Bayes, avedo cura di spiegare il sigificao delle sigole probabilià che compaioo ella formula.

8 1) Si cosideri u campioe di cavie la cui variaza ra le rispose sia deermiaa i fuzioe del livello di cofideza α e della larghezza dell iervallo di cofideza, sulla base del seguee ragioameo: si fissi il umero delle cavie a e il livello di cofideza α al 95% (c = ± 1.96). Si chiede di deermiare la umerosià del campioe i modo da maeere lo scosameo dal valore medio (errore rispeo alla media) a valori.5. 18/7/5 1) Calcolare lo sviluppo i serie di Fourier, i fuzioe di τ e A, del seguee segale periodico di periodo. s() A A/ -τ -τ τ τ ) Rappreseare i modulo e fase, e pare reale e immagiaria i coefficiei dello sviluppo S per =-3,-,- 1,,1,,3 el caso τ = /4 e A=1. 3) Sia dao u segmeo di segale campioao a frequeza di 1 MHz uilizzado il campioameo valido per segali passa-bada. Discuere quali valori di bada del segale soo ammissibili co ale frequeza di campioameo. Calcolare il umero di pui su cui è campioao il segale ell ipoesi che il segale abbia ua bada compresa ra 4 e 5 KHz e la duraa del segmeo di segale sia di 1 s. 4) Spiegare le aalogie e le differeze ra equazioi differeziali e equazioi alle differeze per u sisema di ordie., foredo ache u esempio. 5) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = [x(-τ)]. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 6) Spiegare il sigificao e l uso della rasformaa di Hilber. Discuere l effeo del rocameo sulla risposa impulsiva del filro di Hilber el domiio della frequeza. 7) Discuere la formula del coefficiee di correlazioe eedo coo dell iervallo dei valori su cui è defiio. Discuere l aalogia eveuale ra coefficiee di correlazioe e covariaza. 8) Spiegare il sigificao di iervallo di cofideza i u problema saisico. 9) Discuere i seguei adamei della fuzioe di correlazioe per u processo sazioario, meedo i evideza possibili adamei emporali delle fuzioi campioe del processo al quale i grafici si riferiscoo. Seembre 5 1) Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier dao dai seguei coefficiei

9 ( ( )) ( ) A π S = j cos π si per e S = per =. π π Dire se il segale s() è: a. Reale b. Complesso c. Presea d. Simmeria Pari e. Simmeria Dispari f. No presea simmerie Moivare le rispose dae. racciare i grafici modulo-fase e pare reale-pare immagiaria dei coefficiei S per =±1,±,±3 Cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier = = + jπ s( ) S e, racciare il grafico, = sul piao complesso, dei fasori relaivi a =±, all isae = ) Idicae ra i seguei segali quale secodo voi possiede lo sviluppo i serie di Fourier descrio dai coefficiei S dell esercizio precedee e moivare la scela faa: s() -τ -τ a) τ τ A s() A b) -τ -τ τ τ s() A c) -τ -τ τ τ s() A d) -τ -τ τ τ s() A e) -τ -τ τ τ 3) Paredo dalla defiizioe di fuzioe impulsiva, derivare maemaicamee la risposa impulsiva di u sisema biomedico. 4) Sia dao u segmeo di segale di duraa = 1s, il cui spero frequeziale sia compreso ra MHz e 5 MHz. Calcolare il umero di campioi su cui viee digializzao il segale ell ipoesi di applicare il eorema di Nyquis. Suppoedo di filrare il segale co u filro ideale passa alo alla frequeza di aglio di 3 MHz, Qual è la uova frequeza di campioameo oimale?

10 5) Spiegare il sigificao di sesibilià e specificià i u problema di messa a puo di u es diagosico. 6) Spiegare il sigificao di fuzioe di auocorrelazioe di u processo sazioario foredo esempi di fuzioi di auocorrelazioe e dei processi che rappreseao. 7) Spiegare il sigificao della marice di covariaza i u problema di aalisi di dai mulivariai. 8) Suppoedo di disporre di u campioe di = cavie di cui si coosce la media della popolazioe dalla quale soo sae esrae. Spiegare quale variabile sadardizzaa si deve usare e perchè i u problema di es delle ipoesi. Novembre 5 Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier dao dai seguei coefficiei A = j π ( cos( π ) 1) S per e S = per =. 1) Dire se il segale s() è Reale Complesso ) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. 3) racciare i grafici modulo-fase e pare reale-pare immagiaria dei coefficiei S per =±1,±,±3,±4 4) Cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier = = + jπ s( ) S e, racciare il grafico, = sul piao complesso, dei fasori relaivi a =±3, all isae = 5) Idicae ra i seguei segali quale secodo voi possiede lo sviluppo i serie di Fourier descrio dai coefficiei dai e perché: a) s() A b) s() A c) d) s() s() A A e) s() A

11 Esercizio Le figure a) e b) mosrao due segali empo coiui co la sessa eergia. Le figure 1) e ) mosrao il modulo della CF dei segali suddei. Associae i segali co le rispeive rasformae e spiegae perché. a) b) 1) ) Esercizio 3 Le figure 1 e mosrao gli speri i modulo e fase di due segali s1() e s(). Dire per oguo di essi se si raa dello spero di u segale reale. Moivare la risposa. Figura 1 S1(f) S1(f) Figura S(f) S(f)

12 1/1/6 1. Descrivere come si geerao le bioimmagii, il ipo di eergia impiegaa e il sigificao di risoluzioe spaziale.. Sia dao u segmeo di segale campioao a frequeza fc = 1 MHz uilizzado il campioameo valido per segali passa-bada. Discuere quali valori di bada del segale soo ammissibili co ale frequeza di campioameo. Iolre, sempre uilizzado il campioameo per segali passa bada, calcolare il umero miimo di pui su cui dovrà essere campioao u segale la cui bada sia compresa ra 3 e 5 MHz e la duraa del segmeo di segale sia di 1 s. 3. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier dao dai seguei coefficiei π π si si A π S = A + ja cos π + π π a) Dire se il segale s() è Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. c) racciare i grafici modulo-fase e pare reale-pare immagiaria dei coefficiei S per =,±1,±,±3 = d) Cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier + jπ s S e, racciare il grafico, sul piao complesso, dei fasori relaivi a =±1, all isae = /8 ( ) = = 4. Le figure a) e b) mosrao due segali empo coiui co la sessa eergia. Le figure 1) e ) mosrao il modulo della CF dei segali suddei. Associae i segali co le rispeive rasformae e spiegae perché. a) b) 1) )

13 5. Spiegare il sigificao e l imporaza delle curve ROC ella messa a puo di u es diagosico. 6. Spiegare come si calcola la fuzioe di covariaza e ierpreare il coefficiee di correlazioe el caso di ρ =. e ρ = Rappreseare i ermii di equazioi alle differeze u sisema di ordie iroducedo le codizioi di causalià del sisema. Rappreseare i formule u filro FIR e u filro IIR. 8. Spiegare come si calcola e come si ierprea la fuzioe di correlazioe di u processo sazioario e di uo o sazioario. 18/1/6 Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier dao dai seguei coefficiei 8 π S = j si per e S = per =. π 8 1) Dire se il segale s() è Reale Complesso ) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. 3) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei S per =±1,± 4) Cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier piao complesso, dei fasori relaivi a =+4 e =-4, all isae = /8 = = + s S j e π ( ) =, racciare il grafico, sul Esercizio Il segale s() i figura 1 possiede modulo e fase della CF rappreseai rispeivamee i figura.a e.b fig 1).a Mod.b Fase s() Si cosideri ora il segale raslao s 1 ()=s(-) di figura 3 Fig. 3 s 1 ( Si idichi quale ra i seguei speri, rappreseai i modulo e fase, corrispode a s 1 (). Moivare la risposa daa A). B).

14 C). D). Esercizio 3. Descrivere, foredo ache esempi, le differeze fodameali ra dao, segale emporale e immagie biomedica. Spiegare quali di quese soo i grado di descrivere feomei diamici. Esercizio 4. U segale aalogico della duraa = sec e la cui frequeza massima f M = MHz viee campioao alla frequeza di Nyquis. Il segale digiale era i u filro la cui risposa impulsiva è descria mediae N = 18 campioi. Calcolare il umero di campioi del segale i uscia dal filro. 5/1/6 1. Descrivere le differeze fodameali ra dao, segale emporale e immagie biomedica. Forire esempi ei re casi.. U segale discreo la cui frequeza è compresa ra e 4 KHz, era i u filro digiale la cui risposa impulsiva è descria da ua fuzioe espoeziale descrescee, la cui duraa emporale è di,5 msec. Sapedo che la duraa di u segale è iversamee proporzioale alla propria bada, spiegare: - quale sarà l effeo del filro sul segale; - quale sarebbe la frequeza di campioameo del segale filrao ell ipoesi di applicare il campioameo per segali passa bada. 3. Calcolare lo sviluppo i serie di Fourier, i fuzioe di e A, del seguee segale periodico di periodo. -τ -τ s() A τ τ Rappreseare i modulo e fase i coefficiei dello sviluppo S per =-,-1,,1, el caso /4 e A = 1 4. Uilizzare il eorema del riardo per rovare il valore dei coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier del seguee segale. -τ A τ 4τ Sapee dire i cosa differisce lo spero del segale precedee rispeo a ques ulimo? 5. Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x(- ) +1, essedo il riardo irodoo dal sisema. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 6. Spiegare cos è e come si ierprea la desià di probabilià di ua variabile aleaoria e se ed eveualmee come possa essere messa i relazioe al momeo di ua variabile aleaoria. 7. Spiegare le fasi araverso le quali si realizza u es diagosico, meedo i evideza il sigificao di sesibilià e specificià del es. 8. Ierpreare l adameo oscillaorio smorzao della fuzioe di auocorrelazioe di u processo sazioario.

15 //6 Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier dao dai seguei coefficiei S = 4 4π j per e 4π S = 3 a) Dire se il segale s() è Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. c) racciare i grafici modulo-fase coefficiei S per =±1,± Esercizio. Cosiderao il fasore s ( ) = e π j π +. Cosiderare la raieoria del fasore sul piao complesso. a) Idicare per quali valori di > avvegoo i primi passaggi del fasore sull asse reale. b) Idicare la posizioe del fasore sul piao complesso per = e =1/4 Esercizio 3. Il segale i figura 1 possiede il modulo della CF rappreseao i figura. Fig 1 Fig Fig 3 Si idichi quale dei seguei speri di ampiezza corrispode al segale di figura 3. Moivare le rispose dae. A) B) C) D) Esercizio 4. U segale discreo la cui bada è di 4 KHz ceraa alla frequeza f = 3 KHz viee covoluo co ua forma d oda (che simula u sisema) la cui bada è compresa ra e 3 KHz. Calcolare la frequeza di campioameo del segale covoluo ell ipoesi di applicare il campioameo per segali passa bada. Esercizio 5. Dire i quali iervalli di lughezza d oda viee sfruaa l eergia eleromageica e ulrasoica per geerare le bioimmagii. 8//6 Esercizio 1. Il segale s(), periodico possiede lo sviluppo i serie di Fourier dao dai seguei coefficiei

16 π π si cos 1 S = + j per e S = per =. π 1) Dire se il segale s() è Reale Complesso ) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. 3) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei S per =±1,± 4)Cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier complesso, dei fasori relaivi a =1 e =, all isae 3 = 4 = = + s S j e π ( ) = Esercizio Le figure 1 e mosrao gli speri i modulo e fase di due segali s1() e s(). Dire per oguo di essi se si raa dello spero di u segale reale. Moivare la risposa. Fig. 1 S1(f) S1(f) Fig. S(f) S(f), racciare il grafico, sul piao Esercizio 3. U segale discreo la cui bada è di 4 KHz ceraa alla frequeza f = 3 KHz era i u filro la cui bada è compresa ra e 3 KHz. Calcolare la frequeza di campioameo del segale i uscia dal filro ell ipoesi di applicare il campioameo per segali passa bada. Esercizio 4. Dire i quali iervalli di lughezza d oda viee sfruaa l eergia eleromageica e ulrasoica per geerare le bioimmagii. Esercizio 5. Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = [x()] Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. Esercizio 6. Descrivere le fasi araverso le quali si progea u filro FIR co il meodo delle fiesre, meedo i evideza come le diverse fiesre ifluezao la risposa del filro. Esercizio 7. Discuere il coceo di sazioarieà ed ergodicià per u processo socasico. Dire cosa compora la perdià di sazioarieà el calcolo del momeo del secodo ordie. Esercizio 8. Descrivere le fasi araverso le quali si realizza u modello i bioigegeria.

17 16//6 Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier dao dai seguei coefficiei ( 1) si( π ) S = j 1 4 π a) Dire se il segale s() è b) Presea Reale Simmeria Pari Complesso Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. c) racciare i grafici modulo-fase coefficiei S per =±1,± = d)cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier + jπ s( ) S e, racciare il grafico, sul piao complesso, del fasore relaivo a =+ agli isai = e = /8 = = Esercizio. Nelle figure 1, e 3 soo rappreseae re sequeze empo discree. Associae ad ogi adameo emporale il corrispeivo modulo della DF ra quelli rappreseai elle figure a,b e c Fig1 Fig Fig3 a) b) c) Moivare le rispose dae. Esercizio 3. U segale discreo la cui bada è di 4 KHz ceraa alla frequeza f = 3 KHz viee covoluo co ua forma d oda (che simula u sisema) la cui bada è a priori icogia. Sappiamo però che il segale dopo l operazioe di covoluzioe ha ua bada compresa ra 4 e 5 KHz. Dire quale delle due rispose è compaibile co la soluzioe del problema e spiegare il moivo: a) il segale che rappresea il sisema ha bada compresa ra 4 e 8 KHz; b) il segale che rappresea il sisema ha bada compresa ra e 5 KHz Esercizio 4. Spiegare il sigificao di lughezza d oda e dire quali eciche per immagie si rovao a lughezza d oda iferiore al visibile.

18 7/4/6 I pare 1) Il segale s(), periodico di periodo, possiede i coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier co pare reale e immagiaria rispeivamee uguali a 8 π R = ( 1), per e R = e I, per e = I = a) Dire se il segale s() è Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. c) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei dello sviluppo per =±1,± d) Cosideraa lo sviluppo i serie di Fourier ( ) + j e π, racciare il grafico, sul piao complesso, dei fasori relaivi a =+4 e =-4, all isae = /16 = = ) Il segale s() i figura 1 possiede CF daa da S(f) fig 1) s() A / Idicare quali ra i seguei segali si oegoo dall airasformaa di: a) ( ) j π Moivare le rispose dae. -/ / S f e b) S ( f / ) s() s() 1) A ) A 3) s() A - / s() A s() 4) 5) A/ 6) s() A -/4 /4 - Sia dao u segmeo di segale di lughezza = 1 ms, campioao su N = 51 pui uilizzado la frequeza di campioameo di Nyquis. Allo scopo di migliorare la risoluzioe i frequeza quado si applica la DF, si effeui l operazioe di zero-paddig sul segmeo di segale uilizzado 51 zeri. a) Calcolare la frequeza massima del segmeo di segale. b) Calcolare il valore di f prima e dopo l operazioe di zero paddig; dire iolre se due segali ideali la cui separazioe i frequeza sia pari a.5* f soo risoli ello spero di ampiezza. Descrivere le fasi che porao a rasformare u segale coiuo i uo discreo per quao riguarda l ampiezza e il empo, meedo i evideza i crieri alla base della discreizzazioe. II pare 1) Descrivere i formule il eorema di Bayes e spiegare il sigificao di sesibilià e specificià di u es diagosico. ) Spiegare i che cose cosise il meodo delle fiesre ella progeazioe di filri FIR e discuere comparaivamee le seguei fiesre: reagolare, blackma 3) Spiegare il sigificao di es delle ipoesi e dire quali soo i dai di cui devo disporre per redere applicabile il es. 4) Discuere i seguei adamei della fuzioe di correlazioe per u processo sazioario, disegado i modo qualiaivo gli adamei emporali delle fuzioi campioe dei processi ai quali i grafici si riferiscoo. -

19 9/5/6 II pare 9) Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = [x()]. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. 1) Sia daa la rappreseazioe sul piao z di u filro come riporao i figura. Disegare i modo qualiaivo il modulo della fuzioe di rasferimeo del filro.

20 Im x x Re Suppoiamo ora di avviciare i due poli al cerchio uiario muovedosi sull asse reale e di sposare gli zeri ell origie degli assi. Rappreseare il uovo modulo e discuere comparaivamee i risulai. 11) Descrivere i formule e spiegare il sigificao di momeo cogiuo cerale per due variabili aleaorie. Spiegare come il calcolo di ale momeo possa essere applicao allo sudio di u processo sazioario del secodo ordie. 1) Spiegare il sigificao di es delle ipoesi e riporare u esempio di come si applica i u coeso sperimeale. I pare Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier co pare reale e immagiaria rispeivamee uguali a S π π cos si = + j, per e S π a) Dire se il segale s() è Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. =.5 c) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei dello sviluppo per =±1,±,,±3 d)cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier complesso, dei fasori relaivi a =+ e =-, all isae = /8 = = + s S j e π ( ) =, racciare il grafico, sul piao Esercizio Associare ciascuo degli adamei emporali elle figure 1, e 3 co i rispeivi speri di ampiezza descrii i a,b e c. L uià di misura emporale è il secodo, quella frequeziale l herz. Moivare le rispose dae. 1) ) 3) a) b) c) Esercizio 3. Suppoiamo di acquisire (campioare) u segale aalogico siusoidale su 1 campioi discrei, alla frequeza di Nyquisi. La frequeza massima del segale sia di 5 Hz. Qual è la duraa del segale emporale?. Suppoedo ora di acquisire u umero doppio di campioi, che cosa eveualmee cambia i: risoluzioe i frequeza, frequeza massima del segale, frequeza di campioameo?

21 Esercizio 4. Spiegare il coeso i cui si parla di covoluzioe circolare e dire quali soo i problemi che geera ed eveuali rimedi. /6/6 I pare Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier co pare reale e immagiaria rispeivamee uguali a S π π 4cos si = j, per e S = a) Dire se il segale s() è Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. c) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei dello sviluppo per =±1,±, ±3 d)cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier piao complesso, dei fasori relaivi a =+3 e =-3, all isae = /6 = = + s S j e π ( ) =, racciare il grafico, sul Esercizio Nelle figure 1, e 3 vegoo mosrai il modulo e la fase dei coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier di u segale periodico. Dire quali soo relaivi ad u segale reale. Moivare le rispose dae. 1). ) - 3). Esercizio 3. Suppoiamo di dover acquisire u segale passa bada la cui bada sia compresa ra 1.5 e MHz. Calcolare la miima frequeza di campioameo valida per segali passa bada. Suppoiamo ora di esedere la bada del segale fio a compredere e MHz: discuere comparaivamee i risulai che si oegoo applicado la formula di Nyquis e quella valida per segali passa bada. Esercizio 4. Spiegare quali soo le differeze fodameali che si riscorao ell uso di sorgei di eergia eleromageica e ulrasoica per geerare immagii mediche.

22 II pare - Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x(). Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. - Siao dae le seguei rappreseazioi sul piao z di alcui filri empo discrei. Dire se e quali ra i filri a, b e c soo filri di ipo Passa Basso. Idicare iolre quali di quesi filri soo di ipo FIR. Im Im Im a) b) c) Re Re Re - Spiegare e rappreseare co formule, il coceo di idipedeza saisica e di icorrelazioe ra due variabili aleaorie. Iolre dire se l idipedeza saisica implica l icorrelazioe o viceversa e perché. - I u problema di aalisi saisica mulivariaa, descrivere il sigificao dello simaore marice di covariaza, e del sigificao dei ermii siuai sulla diagoale pricipale. Spiegare iolre come si passa da uo simaore, per esempio il valore medio, ad ua variabile sadardizzaa (vedi come esempio la variabile ). 1/7/6 I pare Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier co pare reale e immagiaria rispeivamee uguali a π si ( 1) cos( π ) S + j =, per e S a) Dire se il segale s() è Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. = c) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei dello sviluppo per =±1,±,,±3 d)cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier complesso, dei fasori relaivi a =+3 e =-3, all isae = /1 = = + s S j e π ( ) =, racciare il grafico, sul piao Esercizio Dao il segale di figura 1, e i relaivi speri di ampiezza e fase riporai elle figure e 3, racciare gli speri di ampiezza e fase dei segali elle figure a e b. Moivare le rispose dae. 1) ) 3)

23 a) b) Esercizio 3. Sia dao u segmeo di segale di duraa = 1s, il cui spero frequeziale sia compreso ra MHz e 5 MHz. Calcolare il umero di campioi su cui viee digializzao il segale ell ipoesi di uilizzare la frequeza di campioameo più bassa ra quelle ammissibili per segali passa bada. Suppoedo di filrare il segale co u filro ideale passa alo alla frequeza di aglio di 4 MHz; Qual è la uova frequeza di campioameo miima? Esercizio 4. Siao dai due segali di uguale duraa emporale e co la medesima frequeza masssima, di cui uo campioao alla frequeza f1 e l alro alla frequeza doppia di f1. Dire se è possibile effeuare il prodoo ra le rasformae di Fourier dei due segali. Giusificare la risposa ei due casi possibili. II pare Esercizio 1. Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x(). Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. Esercizio Siao dae le seguei rappreseazioi sul piao z di alcui filri empo discrei. Specificare le caraerisiche i frequeza per ogi filro. Dire quale ra i filri a,b e c è più seleivo e perché. Im Im Im a) b) c) Re Re Re Esercizio 3. Spiegare quali soo le differeze ra probabilià a priori, probabilià codizioaa e probabilià a poseriori ed esprimere il loro legame i formule. Esercizio 4. Dire come si defiiscoo la risposa impulsiva e la fuzioe di rasferimeo di u sisema lieare. Porare u esempio di adameo di risposa impulsiva e di corrispodee fuzioe di rasferimeo (per esempio el caso di filro passa bada o passa basso). 18/9/6 I pare Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier co pare reale e immagiaria rispeivamee uguali a cos( ) -1 π S = j, per e S a) Dire se il segale s() è Reale Complesso = b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae.

24 c) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei dello sviluppo per =±1,±, ±3 d)cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier complesso, dei fasori relaivi a =+1 e =-1, all isae = /8 = = + s S j e π ( ) =, racciare il grafico, sul piao Esercizio Dao il segale empo discreo di figura 1, dire quale è lo spero di ampiezza corrispodee oeuo ramie DF, ra quelli rappreseai elle figure a, b e c (le ascisse soo i Hz). Dire iolre quali specifiche dovrebbero essere osservae per oeere i rimaei speri. Moivare le rispose dae. 1) a) b) c) Esercizio 3. Sia dao u veore di 51 campioi la cui duraa sia = 1s. Sappiamo che meà dei pui soo oeui dal campioameo di u segale aalogico, mere l alra meà è composa da zeri a seguio dell operazioe di zero paddig. Dire Qual è il valore della frequeza di campioameo del segale e il valore f di risoluzioe i frequeza. Esercizio. 4. Descrivere quali iformazioi si possoo esrarre da misure moodimesioali (segali) e bidimesioali (immagii). II pare Esercizio 1. Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x(). Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. Esercizio Sia daa la seguee rappreseazioe sul piao z di u filro empo discreo. Specificare le caraerisiche i frequeza del filro. Descrivere come variao le caraerisiche del filro se l argomeo dei poli viee variao di : a) π/ radiai b) π radiai. N.B. la posizioe dei poli deve essere ale da garaire ua risposa impulsiva reale. Im Re Esercizio. 3. Spiegare quali soo le differeze i ermii di coeuo frequeziale ra due processi caraerizzai dalle fuzioi di correlazioe rappreseai elle seguei figure: Dire se i due processi possiedoo u qualche grado di periodicià ed eveualmee giusificare.

25 Esercizio. 4. Suppoiamo di disporre di misure su due variabili aleaorie i cui risulai siao ra loro icorrelai. Dire quao deve valere il coefficiee di correlazioe. Suppoiamo ora che i dai siao ivece ali che quado i valori assui da ua variabile aumeao quelli relaivi alla secoda variabile dimiuiscoo e ciò accada co u grado di correlazioe elevaa. Dire Qual è il sego del coefficiee di correlazioe e riporare u valore assoluo che sia ragioevole. 6/1/6 Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier co pare reale e immagiaria rispeivamee uguali a si 4 a) Dire se il segale s() è π S j =, per e S = Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. c) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei dello sviluppo per =±1,±,,±3 d)cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier complesso, dei fasori relaivi a =+ e =-, all isae = /8 = = + s S j e π ( ) =, racciare il grafico, sul piao Esercizio Associare ciascuo degli adamei emporali elle figure 1, e 3 co i rispeivi speri di ampiezza descrii i a,b e c. L uià di misura emporale è il secodo, quella frequeziale l herz. Moivare le rispose dae. 1) ) 3) a) b) c) Esercizio 3. Sia dao u segale la cui bada è compresa ra e 3 MHz. Calcolare la miima frequeza di campioameo del segale. Calcolare il umero di pui del veore campioao affiché la risoluzioe i frequeza f sia par a 1 KHz. Esercizio. 4. Descrivere la differeza ra segale spoaeo e segale idoo e quali soo le iformazioi che ciascuo e i grado di forire Esercizio5 Sia daa la seguee rappreseazioe sul piao z di u filro empo discreo. Disegare u adameo qualiaivo della risposa i frequeza. Disegare come si modifica la rappreseazioe poli e zeri sul piao di gauss se il modulo dei poli ede a 1. Disegare come varia l adameo della risposa i frequeza. Esercizio. 6 Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = x()-1. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale.

26 Esercizio. 7 Descrivere il sigificao delle sigole probabilià che compaioo ella formula di Bayes. Esercizio. 8 Suppoedo di disporre di u campioe di cavie di cui si coosce la media della popolazioe dalla quale soo sae esrae. Spiegare le moivazioi alla base della scela della variabile sadardizzaa i u problema di es delle ipoesi. 9/1/7 Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier co pare reale e immagiaria rispeivamee uguali a π si cos( π ) S = + j, per e S = a) Dire se il segale s() è Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. c) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei dello sviluppo per =±1,±,,±3 d)cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier complesso, dei fasori relaivi a =+ e =-, all isae = /8 = = + s S j e π ( ) =, racciare il grafico, sul piao Esercizio Il segale s() i figura 1 possiede modulo e fase della CF rappreseai rispeivamee i figura.a e.b fig 1).a Mod.b Fase Si cosideri ora il segale s 1 ()=s(-) di figura 3 Fig. 3 Si idichi quale ra i seguei speri, rappreseai i modulo e fase, corrispode a s 1 (). Moivare la risposa daa A). B). C).

27 Esercizio 3 Sia dao u segale la cui bada è compresa ra 4 e 5 MHz. Uilizzado il eorema del campioameo per segali passa bada, calcolare la miima frequeza di campioameo del segale. Alla frequeza sopra idividuaa, calcolare il umero di pui del veore campioao affiché la risoluzioe i frequeza f sia pari a 1 KHz. Esercizio 4 Spiegare la differeza ra segale spoaeo e segale idoo, riporado per i segali idoi ua breve descrizioe dei pricipali parameri che e deermiao il coeuo iformaivo. Esercizio5 Rappreseare sul piao z u filro i seguei filri - Filro FIR passa basso co 1 polo ed uo zero - Filro FIR passa alo co 1 polo ed uo zero Sia daa la seguee rappreseazioe sul piao z di u filro empo discreo. Disegare u adameo qualiaivo della risposa i frequeza. Esercizio 6 Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = [x()]. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. Esercizio 7 Ierpreare il sigificao della marice di covariaza ormalizzaa (marice di correlazioe). Esercizio 8 Sia dao u processo socasico sazioario i seso lao la cui fuzioe di correlazioe sia periodica co i massimi relaivi decrescei pressoché espoezialmee. Spiegare il sigificao: dell adameo periodico della fuzioe di correlazioe; della disaza ra due massimi della fuzioe di correlazioe; dell adameo decrescee dei massimi della fuzioe di correlazioe. 9/1/7 I - Sia dao u modello di regressioe lieare ra due variabili X e Y. Descrivere: il ipo di legame ra le due variabili (idipedei, dipedei, alro); il sigificao della rea di regressioe; la legge di disribuzioe dell errore e il sigificao del valore medio e della deviazioe sadard. - Sia dao u processo socasico sazioario i seso lao la cui fuzioe di correlazioe sia periodica co i massimi relaivi decrescei pressoché espoezialmee. Spiegare il sigificao: dell adameo periodico della fuzioe di correlazioe; della disaza ra due massimi della fuzioe di correlazioe: dell adameo decrescee dei massimi della fuzioe di correlazioe. - Spiegare la differeza ra segale spoaeo e segale idoo, riporado per i segali idoi ua breve descrizioe dei pricipali parameri che e deermiao il coeuo iformaivo. - Dao u es co sesibilià pari a.98 e specificià.99, si calcoli la probabilià che u soggeo sia malao el caso di es posiivo. L icideza della malaia sulla popolazioe è di 7 malai su 1 persoe. 6/1 7 Esercizio 1. Il segale s(), periodico di periodo, possiede lo sviluppo i serie di Fourier co pare reale e immagiaria rispeivamee uguali a π si cos( π ) S = + j, per e S = a) Dire se il segale s() è Reale Complesso b) Presea Simmeria Pari Simmeria Dispari No presea simmerie Moivare le rispose dae. c) racciare i grafici modulo-fase dei coefficiei dello sviluppo per =±1,±,,±3

28 d)cosideraa la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier π s = = + S j e ( ) =, racciare il grafico, sul piao complesso, dei fasori relaivi a =+3 e =-3, all isae = /1 Esercizio Nelle figure 1,, 3 e 4 vegoo mosrai il modulo e la fase dei coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier di segali periodici. Dire quali soo relaivi ad u segale reale. Idicare i segali che eveualmee preseao simmeria pari o dispari el empo. Idicare il periodo i secodi dei segali. dae. Moivare le rispose 1). ) - 3). 4) - Esercizio 3 Sia dao u segale la cui bada è compresa ra e 1 MHz. Uilizzado il eorema del campioameo per segali passa basso e per segali passa bada, calcolare la miima frequeza di campioameo del segale. Alla frequeza sopra idividuaa, calcolare il umero di pui del veore campioao affiché la risoluzioe i frequeza f sia pari a 1 KHz. Esercizio 4 Suppoedo di uilizzare eergia di ipo meccaico (es. ulrasuoi) o eleromageico per geerare le bioimmagii, spiegare se ed eveualmee cosa si modifica dei seguei parameri elle due diverse ipologie di eergie: lughezza d oda, coraso. Esercizio5 Sia daa la seguee rappreseazioe sul piao z di u filro empo discreo. Dire se raasi di u filro FIR o IIR e moivare la risposa. Disegare u adameo qualiaivo del modulo dell risposa i frequeza. Disegare come si modifica la rappreseazioe poli e zeri sul piao di gauss se la fase si riduce e rappreseare qualiaivamee come varia il modulo risposa i frequeza. Im Re Esercizio 6 Sia dao u sisema che rasforma il segale d igresso x() i u segale y() sulla base della seguee rasformazioe: y() = k[x()]. Dimosrare l eveuale liearià e ivariaza emporale. Esercizio 7 Descrivere come viee realizzao u esperimeo dai cui risulai si calcola la marice di covariaza e spiegare il sigificao dei ermii che cosiuiscoo ale marice. Esercizio 8 Sia dao u processo socasico sazioario i seso lao la cui fuzioe di correlazioe sia decrescee, di forma pressoché gaussiaa. Spiegare il sigificao: dell adameo decrescee della fuzioe di correlazioe, co esempio (qualiaivo) dell adameo dei segali che cosiuiscoo il processo. Discuere cosa accade del processo quado la larghezza della gaussiaa divea molo piccola. 6/1/7 I 1) Descrivere come viee realizzao u esperimeo dai cui risulai si calcola la marice di covariaza e spiegare il sigificao dei ermii che cosiuiscoo ale marice. ) Sia dao u processo socasico sazioario i seso lao la cui fuzioe di correlazioe sia decrescee, di forma pressoché gaussiaa. Spiegare il sigificao dell adameo decrescee della fuzioe di correlazioe, co esempio (qualiaivo) dell adameo dei segali che cosiuiscoo il processo. Discuere cosa accade del processo quado la larghezza della gaussiaa divea molo piccola. 3) Suppoedo di uilizzare eergia di ipo meccaico (es. ulrasuoi) o eleromageico per geerare le bioimmagii, spiegare se ed eveualmee cosa si modifica dei seguei parameri elle due diverse ipologie di eergie: lughezza d oda, coraso. 4) Calcolare i quai modi diversi quaro persoe A, B, C, D possoo occupare 3 posi i ua pachia. Calcolare la probabilià che A e B hao di sedersi vicio