NATURA DELLE VIBRAZIONI

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1 NAURA DELLE VIBRAZIONI de. le vibrazioi soo perurbazioi idoe da ua sorgee i u dao mezzo isico (erreo, acqua, aria, ecc.) e a secoda del ipo di sorgee possoo essere di aura meccaica, eleromageica, ecc. Secodo la prospeiva della Diamica dei errei ieressao pricipalmee le vibrazioi meccaiche che si propagao el erreo, geerae da sorgei iere al erreo o supericiali. Sorgei: i erremoi il moo odoso e il veo il raico sradale e erroviario le odazioi di macchie ed impiai idusriali le esplosioi accideali e deliberaamee provocae e i erremoi Eei: le vibrazioi propagadosi all iero del erreo modiicao la loro aura, iesa come eergia (aeuazioe e ampliicazioe) e direzioe di propagazioe (rirazioe e rilessioe), ma ieragedo col erreo modiicao ache la aura del erreo, iducedo solleciazioi e deormazioi che si aggiugoo a quelle saiche (co eei egaivi, degradazioe della resiseza, o posiivi, compaazioe diamica). Le vibrazioi possoo ieragire co le sruure presei (eeo di risoaza) iluezadoe la sabilià e uzioalià. Proprieà: cosiderado il erreo come cosiuio da paricelle legae da vicoli elasici, la vibrazioe è ua orma di eergia che si propaga secodo ua cera direzioe (direzioe di propagazioe), dipedee dal ipo di sorgee, e co ua cera velocià (velocià di propagazioe), dipedee dal mezzo araversao, imprimedo a ali paricelle delle oscillazioi, ioro ad ua posizioe di equilibrio. Si geerao così ode di sorzo e di deormazioe (logiudiale e/o di aglio rispeo alla direzioe di propagazioe), che si aeuao i ampiezza co la disaza dalla sorgee e i uo sesso puo el empo, se la sorgee o rasmee al mezzo eergia i maiera coiua.

2 IPI DI VIBRAZIONI Le vibrazioi possoo essere rappreseae: el domiio del empo (descrivedo i uo sesso puo P come varia lo sposameo el empo); el domiio dello spazio (descrivedo come varia lo sposameo, i uo sesso isae lugo la direzioe di propagazioe) Aaliicamee soo descrie da u equazioe (equazioe d oda), che esprime, i ogi isae e per ogi puo P la disaza ra la posizioe perurbaa e quella iiziale d equilibrio: Y = Y(z,)

3 Le vibrazioi possoo essere: periodiche (cioè issao u puo la vibrazioe si ripee uguale a se sessa ad iervalli regolari), come ad esempio le vibrazioi geerae da macchie idusriali (periodo) : Y(+ ) = Y() possoo essere ella loro orma più semplice di ipo armoico o ella orma più geerale co ua compoee aleaoria basao pochi parameri per descriverle o periodiche o irregolari possoo essere di ipo impulsivo (geerae ad es. da esplosioi, cadua di gravi) o rasiorio (geerae da erremoi o dal raico) si possoo ricodurre ad ua sommaoria di iiii moi periodici ciascuo rappreseabile co pochi parameri (eorema di Fourier), dalla cui aalisi (aalisi sperale) si può dedurre il moo risulae. y() a) y() b) c) y() d)

4 VIBRAZIONI ARMONICHE Rappreseao la orma più elemeare di vibrazioe periodica, dove il proilo d oda è ua siusoide o ua cosiusoide. Rappreseazioe el domiio del empo. Il moo, i u deermiao puo P lugo la direzioe di propagazioe, può essere rappreseao i uzioe del empo i orma rigoomerica, veoriale e complessa i uzioe di re soli parameri: l ampiezza A (cioè la massima oscillazioe) la requeza circolare ω (cioè la velocià di oscillazioe i rad/s) legaa al periodo (cioè il empo ecessario a compiere u oscillazioe complea) o alla requeza = 1/ (cioè il umero di cicli al secodo i Herz) dalla relazioe: ω = 2π / = 2π la ase iiziale ϕ (che permee di idividuare l isae = -ϕ/ω i cui la paricella ora ella posizioe d equilibrio) Secodo la oazioe rigoomerica il moo è descrio dalle seguei equazioi i ermii di sposameo, velocià e accelerazioe: y() = A si(ω + ϕ) v() = Aω si (ω + ϕ + π/2) a() = ω 2 A si (ω + ϕ + π) = - ω 2 y() y y =2 π / ω 1 ciclo Q O P ω+ ϕ A x -ϕ/ω

5 Secodo la oazioe veoriale il moo armoico può essere rappreseao: i ermii di sposameo da u veore di modulo A, che ruoa co velocià agolare cosae ω e paredo da ua posizioe iiziale caraerizzaa da u agolo ϕ i ermii di velocià e accelerazioe da veori, rispeivamee di modulo A ω e A ω 2 che ruoao ello sesso verso e co la sessa velocià ma sasai rispeivamee di π/2 e π. ωa y A Q O ω 2 ω A P Secodo la oazioe complessa il moo armoico, uilizzado la legge di Eulero e iα = cosα + i siα è espresso dall equazioe: Y() = A (e iω + e -iω )/2 OSS. L ampiezza dello sposameo, della velocià e dell accelerazioe soo correlae ra loro e alla requeza e uilizzado apposii diagrammi (diagrammi riparii) è possibile deermiare ali valori co ua cera acilià (ad esempio per descrivere il moo sismico).

6 Rappreseazioe el domiio del empo e dello spazio Se il moo armoico viee rappreseao olre che al variare del empo i uo sesso puo P, ache al variare della posizioe del puo P, lugo la direzioe di propagazioe (asse z), l equazioe del moo divea: y(z,) = A si[2π(/ - z/λ)] e ai parameri rappreseaivi del moo si aggiuge: la lughezza d oda λ (equivalee del periodo ella rappreseazioe emporale) la velocià di propagazioe dell oda v legae al periodo, o alla requeza, dalla relazioe: v = λ/ = λ N.B. La gradezza caraerisica e ivariabile dell oda è il periodo, o la requeza, mere la lughezza d oda, e quidi la velocià, dipedoo dal mezzo araversao.

7 VIBRAZIONI IRREGOLARI OSS. Le vibrazioi rasmesse da ua sorgee al erreo soo i geere irregolari, ache quado la sorgee è classiicaa ra le sorgei di vibrazioi periodiche (odazioi di macchie idusriali), a causa dell ierazioe col erreo. eorema di Fourier de. ua uzioe periodica x() di periodo può essere scomposa i ua sommaoria (serie di Fourier) di iiie uzioi armoiche elemeari, ciascua delle quali caraerizzaa da u valore dell ampiezza A della requeza ω e della ase iiziale ϕ. () = 0 + ( cos ω + ω ) x a a b si co a a b 0 = 1 = = 0 = 1 xd () 2 ( ω) = x ( ) cos = = 0 = ( ω ) d 2 ( ω) = x si( d ) ( ) ω = 0 uil.: è uile perché: 1. cosee mediae l aalisi sperale di ricodurre l aalisi di u segale irregolare all aalisi di uzioi armoiche elemeari e ai rispeivi parameri; 2. sempliica oevolmee moli problemi igegerisici coseedo di scomporre il segale i ai segali elemeari (pricipio di sovrapposizioe degli eei).

8 I maiera equivalee si può scrivere: () = 0 + ( ω + ϕ ) x c c si dove: ( ) = 1 c ω = a + b 2 2 ( ) ; ϕ ω = a a 1 ; b c = a 0 0 de. i valori di c ploai i uzioe della requeza dao lo spero di Fourier i ermii di ampiezza; i valori di ϕ ploai i uzioe della requeza dao lo spero di Fourier i ermii di ase; Iie si può ache scrivere: co: () i * ω = 1 x = c e c * 1 = iω = x () e d = 0 rasormaa di Fourier Discrea (DF): I geerale i segali di cui si dispoe soo di ipo digiale (uzioi discree del empo ad iervalli eveualmee regolari di ampiezza del ipo x = x( k ) co k = k e k = 1,2,.. N) o, se di ipo aalogico (uzioi coiue del empo), raadosi di uzioi irregolari o esise ua uzioe che li rappresei aaliicamee, per cui vao comuque discreizzai. I coeiciei di Fourier si oegoo i al caso o più per iegrazioe, ma come sommaoria: N iω k X( ω ) = x( k) e co = 1,..,N e ω 2π = k= 1 N e coseoo, mediae lo spero di Fourier di rappreseare ua uzioe del empo, el domiio delle requeze (rasormaa di Fourier discrea) o viceversa (airasormaa di Fourier discrea): ( k) ω ( ω ) x = X e N = 1 iω k

9 ANALISI SPERALE Lo spero di Fourier orisce ua descrizioe del coeuo i requeza di u segale (cioè le requeze corrispodei alle compoei di ampiezza più sigiicaiva) e paricolarmee uili a queso scopo soo alcui parameri che si possoo desumere dallo spero: l ampiezza massima la requeza odameale (corrispodee all ampiezza massima) la orma dello spero (che può essere a bada larga, a bada srea, co u solo picco o co più picchi coroabili) A a) =1/ b) c) d) N.B. ali parameri o basao da soli a descrivere compleamee ua vibrazioe irregolare per la quale è ecessario disporre dell iero spero.

10 Esempio di vibrazioe irregolare dovua a sorgee di ipo rasioria Accelerogramma (accelerazioe i 0.1 g e empo i s) Spero (ampiezza i 0.1 g s e requeza i rad/s)

11 ONDE SISMICHE L applicazioe di ua solleciazioe diamica ad u mezzo coiuo produce vibrazioi che si rasmeoo soo orma di ode sismiche. La disizioe ra i vari ipi di ode viee eeuaa i base: al ao che la propagazioe avvega all iero del mezzo (ode di volume) o i supericie (ode di supericie) alla direzioe di propagazioe dell oda al moo degli elemei di erreo rispeo a ale direzioe I paricolare le ode sismiche si classiicao pricipalmee i: ode di volume logiudiali (Ode P) e di aglio (Ode S) ode di supericie: di Rayleigh e di Love Ode P: Ode S: soo ode di volume soo ode di volume si propagao secodo roi si propagao secodo roi d oda serici (ache ell acqua) d oda serici (o ell acqua) producoo polarizzae ella direz. di propagazioe iducoo deormazioi di corazioe o esesioe hao velocià più elevae delle alre ode soo ode di supericie si propagao secodo roi d oda cilidrici producoo vibr. polarizzae su piai vericali ella direzioe di propagazioe e i quella perpedicolare vibrazioi producoo vibrazioi polarizzae ella direz. perpedicolare alla direz. di propagazioe (ode SH o SV se coeue rispeivamee i u piao orizzoale o vericale) iducoo el mezzo deormazioi di aglio Ode di Rayleigh si aeuao meo rapidamee delle ode di volume co la proodià la compoee vericale del moo predomiae su quella orizzoale e sigiicaiva io a proodià pari alla lughezza d oda λ Ode di Love soo ode di supericie iducoo vibr. orizzoali perpedicolari alla direz. di prop.

12 No bisoga dimeicare che: la velocià di propagazioe delle ode sismiche dipede dalle proprieà meccaiche del erreo, dalla sraigraia e dalla morologia e dalle caraerisiche e l iesià della sorgee; la velocià delle ode di compressioe (V P ) è sempre maggiore di quella delle ode di aglio (V S ) e comuque i erambi i casi aumea geeralmee co la proodià i uo sesso srao. il rapporo V P /V S, ell ipoesi di comporameo elasico lieare, dipede solo dal coeiciee di Poisso ν, varia ra 2 e, per ν variabile ra 0 e 0.5. le ode di Love hao velocià geeralmee comprese ra quelle delle ode S misurae alla base e i supericie dello srao La velocià V R delle ode di Rayleigh risula sperimealmee assai prossima a quella delle ode di aglio V S (variado i uzioe del coeiciee di Poisso ra 0.86 e 0.95). il grado di saurazioe ilueza la velocià delle ode P: per S r < 99%, le vibrazioi si propagao esclusivamee ramie lo schelero solido e la V P è rappreseaiva solo delle proprieà meccaiche dello schelero solido, per S r > 99% era i gioco la compressibilià dell acqua iersiziale e per errei compleamee sauri la propagazioe avviee esclusivamee araverso l acqua e la V P o è più rappreseaiva delle proprieà meccaiche del erreo. la velocià delle ode di aglio e di supericie è ivece scarsamee iluezaa dalla preseza del luido iersiziale, o poedo esso assorbire sorzi di aglio. 4 Ev = ρ VP V Relazioi ra proprieà meccaiche dei errei e velocià delle ode sismiche S E = 2 2 ( 1+ ) V S V V ρ ν V V R S S p = = ν 1 + ν 1 2υ 2 2υ ν = 05. V V V V P P S 2 V R ν = Eed = ρv 2 S P VS 1 + ν G = ρv 2 S co ρ = desià del mezzo; ν = coeiciee di Poisso; G = modulo di aglio

13 Propagazioe delle ode sismiche p.c. Velocià caraerisiche di alcui ipi di erreo e di rocce ipo di erreo Vp [m/s] Vs [m/s] Argilla saura Sabbia ie e media Sabbia desa Ghiaia Arearia Mara