Lezione XVI 17/04/2003 ora 8:30 10:30 Generalità e definizioni Originale di Coronella Pierre ACUSTICA

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1 Lezioe XVI 17/04/2003 ora 8:30 10:30 Geeralità e defiizioi Origiale di Coroella Pierre Geeralità ACUSTICA L'acustica è ua scieza ata quado acora o esistevao i sistemi di gestioe elettrica del suoo e ha avuto u impulso icredibile ell'ultimo deceio, a partire dal 1991, grazie a due fattori fodametali: il primo è lo sviluppo delle tecologie a lei coesse che hao permesso mezzi più affidabili, metre il secodo è la teoria dell'elaborazioe umerica del segale. Quest'ultima, di riflesso, si è sviluppata fortemete grazie allo studio dell'acustica, poiché è possibile avere u riscotro semplice e veloce dell'elaborazioe tramite il ostro proprio udito. Dietro lo studio dei segali acustici c'è ua teoria formale molto pesate ma, per cotroparte, abbiamo u buo passaggio dal modello alla realtà. L'acustica è la scieza che studia il suoo, u feomeo meccaico che si sviluppa i u mezzo ( gas, liquidi e solidi ) e il cui studio ha alcui stadi sigificativi, oguo dei quali co particolari accorgimeti. Iazitutto avremo lo studio della propagazioe del segale el mezzo ( pricipalmete l'aria ), poi dopo il passaggio i u trasduttore ( otteedoe la traduzioe ) avremo la relativa gestioe di ua gradezza elettrica. Il segale elettrico passerà per u covertitore dove verrà covertito i umeri ed ifie elaborato da u algoritmo. L'elaborazioe ha iumerevoli fuzioi, ad esempio modificare alcui parametri quali l'ampiezza, la frequeza e l'affidabilità.( fig.1 ). Il disego mostra il diagramma a blocchi di u sistema digitale, ho ua catea che percorsa i u seso mi darà dei umeri metre ell'altro mi darà u segale acustico. Questa "catea" o deve essere obbligatoriamete completa ma, se realizzata solo co i primi due stadi ( mezzo e trasduttore ) darà luogo ad u sistema aalogico e di u sistema acustico se ridotta al solo primo stadio, cioè se il segale sooro viee modificato meccaicamete. La scelta del sistema più appropiato sarà determiata i prima aalisi dalla tolleraza ai disturbi del sistema e successivamete dal costo. Icomiciamo a studiare questi sistemi partedo co la defiizioe di suoo. Suoo Il suoo è u feomeo di trasporto eergetico ( quidi dove si ha u movimeto di eergia meccaica da u puto ad u altro ) ma o di materia, e i geerale diremo che si tratta di eergia acustica, sarà così possibile parlare di poteza del segale, di redimeto, ecc. Per la propagazioe di questa eergia sarà ecessario u mezzo, che dovrà essere elastico e massivo ( cioè dotati di massa ed elasticità i distribuiti co cotiuità ). U esempio esemplificativo di queste due ipotesi è l'esperimeto della sveglia sotto la campaa ua campaa di vetro.( fig. 2 )

2 Fig. 2 - Sveglia Metre la sveglia è udibile all'itero della campaa ella prima fase dell'esperimeto, ella secoda, i cui viee tolta l'aria all'itero di questa ( viee cioè tolto il mezzo che prima era l'aria ), la sveglia o sarà più udibile. Precisiamo che questa o è ua trasmissioe di ode elettromagetiche che o richiedoo u mezzo ( ua teoria dice che soo esse stesse il mezzo, essedo fasci di ode di particelle ). Il mezzo può allora essere idealmete rappresetato come u susseguirsi di masse ifiitesime collegate da delle molle. (fig. 3 ). Fig. 3 Mezzo elastico e massivo Spostado ua molla dalla sua posizioe di quiete questa icomicia ad oscillare adado avati e idietro itoro alla sua posizioe di equilibrio, cosi facedo carica e scarica le molle a lei adiaceti e quidi il moto della prima massa si trasmette lugo il mezzo. Visto che l'oscillazioe itoro al puto di equilibrio potrà avveire lugo le due dimesioi, potremo distiguere tra due specie: le ode logitudiali i cui il moto delle particelle itoro ad ua posizioe di equilibrio avviee parallelamete alla direzioe dell oda e le ode trasversali i cui il moto delle particelle è perpedicolare alla stessa. U esempio della prima può essere u pistoe che comprime dell'aria ( fig. 5 ), metre u esempio della secoda può essere il movimeto delle ode del mare ( fig. 4 ).

3 Fig.4 Esempio di oda maria trasversale Attezioe, però: o solamete le ode soore trasmettoo il suoo! Se per esempio cosidero il caso i cui ua persoa parla i ua staza, sappiamo che la sua voce potrà essere udita ( se il locale o è eccessivamete isoorizzato ) ache i ua staza adiacete; i questo caso però le ode soore si propagao elle ifrastrutture sotto forma di altre ode di tipo trasversale ( di taglio, o di riflessioe, ad esempio ), le quali poi irradiao ode soore ell'ambiete ricevete. Velocità del suoo Chiaramete il feomeo si sviluppa i u certo tempo, per cui esiste ua velocità di propagazioe, che chiameremo c. Nei mezzi o dispersivi vedremo che questa velocità sarà la stessa per tutti i tipi di suoo, idipedete dall'ampiezza dello spostameto e dalla frequeza co cui varia l'oscillazioe. Allora la velocità sarà dipedete esclusivamete dal materiale attraversato quidi, dato u mezzo elastico e massivo, all'itero dello stesso le ode si propagao co ua velocità caratteristica del mezzo stesso. La velocità c ell'aria è praticamete costate ( ache se varia debolmete co la temperatura ) e corrispode a circa 343 m/s. Per cosiderare l'origie fisica del suoo cosideriamo u sistema fisicamete semplice, costituito da u pistoe che oscilla periodicamete grazie ad u albero rotate ( fig. 5 ). Fig. 5 Pistoe co albero rotate

4 Questo pistoe fluttua avati e idietro spigedo le particelle di aria che soo all'itero del cilidro. Dalla fluidodiamica sappiamo che la prima molecola d'aria segue la stessa legge del moto del pistoe. Questo sistema geera ode meccaiche di tipo logitudiale (cioè simili alle ode soore), e ci permette di capire la diamica co la quale tali ode si propagao. Se l'albero rotate si muove co velocità agolare ω, il moto del pistoe sarà di tipo armoico co oscillazioi di ampiezza siusoidale date dalla seguete legge ( A idica il raggio dell'albero rotate, e X(τ) la posizioe del pistoe rispetto alla posizioe iiziale): X ( τ ) = A cos( ωτ ) (1) La legge del moto è altrettato valida utilizzado il coseo ella formula ( 1 ) e la scelta dell'uo o dell'altro è esclusivamete determiata dalla posizioe iiziale del pistoe. Possiamo rappresetare graficamete questa legge co il seguete grafico ( fig. 6 ) Fig. 6 - Grafico delle oscillazioi i dipedeza dal tempo Per tale tipologia di moto soo defiite tre gradezze, il periodo T e la frequeza f. Il primo ( si misura i secodi, s ) è il tempo impiegato, el ostro caso, dal pistoe ad effettuare u'itera rotazioe; la secoda (si misura i hertz, Hz ) è il reciproco del periodo. Per la frequeza o è possibile utilizzare [ 1/s ] come uità di misura perché per il S.I. la gradezza specifica va utilizzata co il proprio ome. La terza gradezza utilizzata è l'ampiezza A che corrispode al raggio del pistoe e avrà come uità di misura i metri, ache se ituitivamete avrà valori comuque piccoli. La velocità delle particelle u sarà derivabile matematicamete, e o ha ulla a che vedere co c, ifatti el mometo i cui si sposta la particella d'aria l'eergia dell'oda è già passata. Quidi si può dire che la velocità del movimeto è diversa dalla velocità di movimeto. Come già osservato prima l aria immediatamete a cotatto co la parete del pistoe, per l ipotesi di adereza, segue il moto del pistoe, si muove perciò alla stessa velocità che esplicitiamo derivado la ( 1 ) rispetto al tempo e otteedo:

5 v( τ) = Aω se( ωτ) (2) La velocità delle particelle è quidi di tipo siusoidale co valor medio ullo, il che sigifica che le particelle più vicie al pistoe si muovoo avati e idietro el tubo rimaedo adereti al pistoe. Si può osservare che,passado da ua fuzioe seo ad ua fuzioe coseo, quado si ha massimo spostameto la velocità è miima e viceversa quado lo spostameto è miimo la velocità è massima. La (2) è detta legge del moto armoico. Cotiuiamo lo studio su questo adameto, ache se o tutti i moti soo di questo tipo. Derivado la velocità posso otteere l'accelerazioe a, fuzioe sempre siusoidale e coerete co la legge del moto armoico. 2 a( τ ) = Aω cos( ωτ ) (3) L' ω che viee fuori a causa della derivazioe della fuzioe seo è u termie proporzioale alla frequeza..co le cosiderazioi fatte possiamo osservare che a frequeze molto basse lo spostameto tede ad essere molto piccolo e la velocità u sarà sempre molto iferiore rispetto alla velocità della luce c. Adameto spaziale del suoo Cosiderado l'esempio del pistoe e il cocetto di mezzo elastico e massivo, adado a osservare l'adameto del moto da u puto distate x dallo statuffo, oteremo che lo strato di particelle adereti al pistoe agisce elasticamete trasmettedo la spita al secodo strato dopo u certo istate di tempo; quidi l'eergia meccaica, i altre parole ( per aalogia ) l'oda soora, o si propaga a velocità ifiita ma co la velocità c che è stata defiita prima. La velocità della geerica particella ( che, è importate ripeterlo, o è la velocità dell'oda ) presete el tubo i corrispodeza dell'ascissa x è ricavabile tramite ua traslazioe el tempo della legge vista i precedeza: x X( τ, x ) = A si[ ω( τ )] (4) c La traslazioe x /c o è altro che il tempo ecessario per percorrere la distaza x. La formula (4) prede il ome di Oda di propagazioe del suoo. Il ritardo applicato el caso di u segale acustico è u fattore spesso trascurabile, e si può dimostrare attraverso u esempio pratico : Prediamo u aula uiversitaria luga 13 metri ed ua persoa che parla dal fodo della staza matematicamete il ritardo sarà : t = 13/ 343 0,0379s Come si vede beissimo, ache attraverso le ormali esperieze, questo tempo o è tale da far sembrare il suoo ed il movimeto delle labbra fuori sicroia, ma poedoci i u cotesto di distaza molto più alta, e cotado sul fatto che ormalmete u uomo parlado proucia 3 sillabe

6 al secodo, i ua distaza dieci volte più ampia della precedete ( 130 m ) otiamo u ritardo matematico di : t = 130 / 343 0,379s e quidi uo sfasameto di circa ua sillaba. I realtà il valore qui sopra ricavato si riferisce al ritardo della sola oda soora diretta e o a quello degli iumerevoli effetti di riflessioe e riverberazioe preseti egli ambieti chiusi, che i geerale possiedoo u ritardo maggiore rispetto all'oda diretta. La voce della persoa arriverebbe quidi all'orecchio dell'ascoltatore co ua sorta di coda soora derivate dalla somma degli effetti già citati. Riprededo la formula (4) e sviluppado il prodotto all'itero dell'argometo del seo ottego: x X( τ, x ) = A si[ ωτ ω ] ( 5 ) c X( τ, x ) = A si[ ωτ kx ] ( 6 ) Dove è stata itrodotta la uova gradezza k, chiamata umero d'oda e ha come uità di misura [ m 1 ], quidi o è u umero puro. Ovviamete k può assumere ache valori egativi, ed i questo caso parleremo di aticipo el segale. Che legame c'è tra ω e f? La prima è la pulsazioe, cioè il umero di radiati al secodo e poiché per fare u giro completo ci soo 2π radiati : ω=2πf ( 7 ) Lughezza d'oda Suppoiamo ora di fare ua fotografia istataea del pistoe el mometo i cui è ella massima escursioe verso destra, la velocità sarà ulla e ma mao che mi sposto verso destra troverò prima la situazioe co velocità massima e l'escursioe ulla ( x 1 ) e poi uovamete la situazioe iiziale ( x 3 ) e cosi via:

7 Fig. 6 - Fuzioe di tipo siusoidale Si ota subito che essa assume lo stesso valore sia i x 2 che i x 4, e questa distaza viee defiita lughezza d'oda (e viee solitamete idicata co la lettera greca lambda, λ): la miima distaza fra due puti che assumoo lo stesso valore i u determiato istate. Se oi ivece fotografassimo l'oda i u puto x = x 1, avremmo acora ua siusoide, ache se i fuzioe dello spazio. E così come il periodo idica u'oscillazioe completa el tempo, così la lughezza d'oda rappreseta u'oscillazioe completa ello spazio. La relazioe che c'è tra λ e f sarà di tipo iverso: c λ = ( 8 ) f e quidi per frequeze alte avremo lughezze d'oda sempre più piccole. Nella tabella successiva soo illustrate le relazioi tra alcue frequeze e lughezze d'oda i aria: f λ [m] , ,017 Tab 1:valori di frequeza co le rispettive lughezze d'oda E' importate ora defiire il campo d'azioe di queste gradezze, ossia il campo di frequeza e la ormativa italiaa prevede di classificare u suoo i u rage compreso tra le frequeze di 20 e Hz. I realtà l'itervallo è leggermete più alto, perché si cosiderao i cetri delle bade, ioltre questo dato per l'uomo è soggettivo e varia co l'età producedo u calo elle frequeze maggiori. Ua delle osservazioi più iteressate è il rage di valori elevato ( tre decadi ), dado così origie ad u gra umero molto di lughezze d'oda, a differeza per esempio di quelle per la luce che oscillao tra i 0,4 0,7 m. Trattado la luce è quidi possibile defiire u valore itermedio di riferimeto, metre per le ode soore questo o è possibile a causa della bada elevata di frequeza, i quato il comportameto del suoo varia sesibilmete al variare della lughezza d'oda. Prediamo per esempio u cubo di lato 1 m per schermare u'oda soora, sarà sufficiete per qualsiasi tipo di oda? ( fig.7 )

8 Fig.7: Cubo ivestito da u oda soora Utilizzado i valori della tabella 1 vedrò che il segale per basse frequeze passerà ialterato, per alte frequeze sarà bloccato dall'ostacolo e per frequeze itermedio ( che mi dao valori di λ dello stesso ordie di gradezza dell'ostacolo ) avrò vari feomei di disturbo del segale.