TEORIA DEI SEGNALI FACOLTÀ DI INGEGNERIA. Corso di. Materiale a cura dei Proff. Patrizio Campisi e Alessandro Neri

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1 FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSI DI STUDIO IN INGEGNERIA ELETTRONICA Corso di TEORIA DEI SEGNALI Maeriale a cura dei Pro. Parizio Campisi e Alessadro Neri WEB: hp://biomedia46.uiroma3.i/eachig/eoria_dei_segali.hml

2 SERVIZI DI TELECOMUNICAZIONE Nodo di commuazioe ree di elecomuicazioe Obieivo primario di u servizio di elecomuicazioe è il raserimeo dell'iormazioe emessa da ua sorgee agli uilizzaori a cui essa è rivola, ell'ambio di ua paricolare applicazioe. Il raserimeo richiede l'accesso da pare degli uei ad ua ree di elecomuicazioe iesa come il complesso di mezzi che, araverso le risorse eciche ed operaive ecessarie, cosee ai suoi uei il raserimeo dell'iormazioe.

3 LA COMUNICAZIONE Nello sudio dei sisemi di elecomuicazioe si è solii are rierimeo a re eià odameali:. il MESSAGGIO, che rappresea l oggeo della comuicazioe. la SORGENTE del messaggio 3. il DESTINATARIO del messaggio SORGENTE geeraore di messaggi coveriore messaggio messaggio/segale DESTINATARIO desiaario di messaggi coveriore messaggio segale/messaggio segale Caale di comuicazioe I geerale el modellare il comporameo della sorgee si possoo idividuare due momei coceualmee disii:. La ormulazioe del messaggio da rasmeere e l idividuazioe del desiaario.. La cocreizzazioe del messaggio asrao i ua orma isica adeguaa aiché possa perveire al desiaario: il SEGNALE.

4 FORMA D'ONDA La descrizioe più aurale di u segale è cosiuia dalla uzioe maemaica che descrive l'adameo della gradezza isica che a da supporo al messaggio i uzioe del empo, dello spazio o dello spazio-empo. Tale uzioe prede il ome di orma d'oda. Sebbee il rierimeo a gradezze isiche accia presupporre che il codomiio della orma d'oda debba essere cosiuio dall'isieme R dei umeri reali, è coveiee predere i cosiderazioe uzioi complesse. De.: Preso u soisieme T m R dello spazio euclideo a m dimesioi, che deoa l'iervallo d'ieresse, si deiisce orma d'oda del segale la uzioe complessa X : T C Nel seguio, laddove o sia espliciamee speciicao, si supporrà m e.

5 SEGNALI TEMPO DISCRETO E TEMPO CONTINUO De.: Si deiisce segale empo discreo u segale ale che T sia ua sequeza umerabile di isai di empo {,,, N, } Noazioe per segali empo discreo: [k] k Gli isai di empo o devoo essere ecessariamee equispaziai. Iolre o si a rierimeo alla duraa degli iervalli ra gli isai di empo, cosicché o si può are rierimeo all'aspeo diamico del segale e.g. velocià di variazioe di u segale. De.: Si deiisce segale empo coiuo u segale ale che T sia u iervallo di R

6 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI SEGNALI Scopo: idividuare u modello maemaico che cosea di esprimere i modo semplice ed eiciee le rasormazioi che i segali subiscoo el rasio araverso i sisemi isici. L'isieme di ue le orme d'oda, doao delle operazioi di somma e prodoo per ua cosae complessa gode di ue le proprieà che caraerizzao uo spazio veoriale X. Iai i., X, + X ii. l'operazioe di addizioe + ra orme d'oda è associaiva, commuaiva e iveribile iii. α C, X, α X iv. α [ + ] α + α v. [α + β ] α + β vi. α [ β ] α β vii.. vaaggio della rappreseazioe geomerica dei segali: possibilià di impiegare il vocabolario ed i risulai della geomeria ello sudio dei problemi di comuicazioe.

7 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI SEGNALI Esempio Si cosideri u segale empo discreo [k] il cui domiio sia cosiuio da u isieme iio di isai di empo {,,, N }. Idipedeemee da ciò che essi rappreseao, gli N umeri complessi [], [],, [k],, [N] possoo essere sempre pesai come le coordiae di u puo ello spazio N- dimesioale. I esseza, si sosiuisce u'eià complessa, il segale, i u ambiee semplice co u'eià semplice, il veore, i u ambiee complesso.

8 TRANSITO ATTRAVERSO UN SISTEMA FISICO S Siao: : segale d'igresso rappreseae l'ecciazioe del sisema, S : blocco uzioale relaivo al sisema i esame, : segale d'uscia o risposa all'ecciazioe, X : spazio veoriale a cui appariee, Y : spazio veoriale a cui appariee. L'azioe del sisema S può essere modellaa come ua rasormazioe H : X Y ovvero come ua regola che associa ad ogi elemeo di X u uico elemeo dello spazio Y.

9 TRASFORMAZIONI LINEARI De.: Ua rasormazioe H si dice lieare se e esolo se H[a + a ] a H[ ]+ a H[ ] a + a comuque si predao e ed i due umeri complessi a e a ; e rappreseao il risulao della rasormazioe applicaa rispeivamee a e. I geerale, l'applicazioe successiva della proprieà espressa dalla deiizioe precedee cosee di scrivere, per N iio, H N i a i i N ai H [ i ]. i I geerale o è deo che la precedee proprieà sussisa qualora si cosideri la somma di u'iiià umerabile o o umerabile di elemei, i quao la proprieà di liearià o implica di per sé la commuaivià delle operazioi di rasormazioe e di serie, ovvero di somma iegrale. Quado ciò accade si dice che la rasormazioe è lieare i seso eseso.

10 SISTEMI LINEARI De.: Ua rasormazioe H si dice lieare i seso eseso se e e solo se H i a i i i a i H [ ] i ovvero H a σ, σ dσ a σ H [, σ ] dσ. De.: U sisema S si dice lieare se la rasormazioe H ad esso associaa è lieare i seso eseso. Poiché i uo spazio veoriale è sempre possibile rovare ua base ale che ciascu elemeo dello spazio possa essere espresso come combiazioe lieare degli elemei che cosiuiscoo la base, la proprieà di liearià cosee di scrivere i modo rapido il legame che esise ra l'igresso e l'uscia ua vola oo ovvero misurao il comporameo del sisema quado al suo igresso vegao applicai i segali che cosiuiscoo la base.

11 SISTEMI LINEARI E PERMANENTI La descrizioe del comporameo di u sisema lieare si sempliica uleriormee se il suo comporameo è ivariae rispeo alle raslazioi emporali. De.: U sisema S si dice permaee, o ivariae rispeo alle raslazioi emporali, o ivariae el empo, se ad ua raslazioe emporale dell'ecciazioe corrispode u'uguale raslazioe della risposa, ovvero H [ ], T, X avedo poso H [ ] I al caso l'adozioe di paricolari basi di rappreseazioe i cui elemei siao oeibili per raslazioe di ua uzioe elemeare w cosee di scrivere il geerico segale come: τ a τ w τ τ dτ Di cosegueza l'uscia corrispodee sarà pari a τ a τ h τ τ dτ essedo h l'uscia corrispodee alla uzioe elemeare w.

12 SISTEMI LINEARI E PERMANENTI A TEMPO DISCRETO Dao u segale reale empo discreo co T cosiuio da N isai di empo {,,, N- }, siao [], [], [],, [],, [N-] i valori assui dal segale ei corrispodei isai di empo e sia [] [] [] [] [N-] T il veore dello spazio N-dimesioale associao al segale. Cosideriamo la base dello spazio R N cosiuia dalle N-uple ε ε. ε ε N- Ogi elemeo di ale spazio può essere espresso come combiazioe lieare dei veori cosiuei la base: [] ε +[] ε + +[] ε + +[N-] ε N- N [ ] ε

13 SISTEMI LINEARI A TEMPO DISCRETO I ermii di segali al veore ε corrispode il segale empo discreo, idicao el seguio co u [k], e oo i leeraura co il ermie di impulso a empo discreo, che assume il valore per k e alrove.5 u [ k ] per k alrove Ogi alro elemeo della base può essere oeuo per raslazioe emporale di u [k]. Ad esempio l'elemeo corrispodee a ε è pari a u [k-]

14 SISTEMI LINEARI A TEMPO DISCRETO [k] []u [k] + + []u [k-] + + []u [k-] + + [3]u [k-3]

15 RISPOSTA IMPULSIVA Dao u segale a empo discreo per esso vale la seguee rappreseazioe i ermii di impulsi a empo discreo [ k ] [ ] u [ k ] dao u sisema lieare e permaee a empo discreo, sia h[k] la risposa del sisema quado vega applicao i igresso u [k]: S u [ k ] h[ k ] che prede il ome di risposa impulsiva. Per l'ivariaza el empo del sisema, la risposa all'impulso u [k-] raslao i, sarà pari a h[k] raslaa della sessa quaià, ovvero a h[k-]: S u [ k ] h[ k ] perao per la liearià del sisema, dalle e e cosegue che l'uscia [k] corrispodee all'igresso [k] varrà: [ k ] [ ] h[ k ]

16 CONVOLUZIONE DISCRETA L'operaore che lega l'uscia del sisema all'igresso e alla risposa impulsiva prede il ome di somma di covoluzioe del sisema, ovvero di covoluzioe discrea e sarà idicao el seguio co il simbolo * [ k ] [ k ] h[ k ] [ ] h[ k ] Si osservi che per calcolare la risposa di u sisema lieare e permaee a empo discreo ad ua qualsiasi ecciazioe, è suiciee cooscere u'uica uzioe del empo che può essere misuraa applicado i igresso u impulso. Ciò è essezialmee dovuo al ao che gli elemei della base uilizzaa per rappreseare il segale possoo essere oeui per semplice raslazioe di u segale elemeare.

17 IMPULSO MATEMATICO L'esesioe al empo coiuo delle relazioi igresso-uscia relaive ai sisemi empo discreo richiede come primo passo l'idividuazioe dell'ee maemaico corrispodee all'impulso a empo discreo. Tale ee è l'impulso maemaico o disribuzioe di Dirac. L'impulso maemaico idicao el seguio co u é caraerizzao i modo esausivo o da ua regola di assegazioe che deermia i valori assui dall'impulso i ui i pui dell'isieme di deiizioe, come per le uzioi ordiarie, ma dai valori dei prodoi scalari < u, > co ue le uzioi coiue [Coura & Hilber, Mehods o Mahemaical Phsics, Vol. II, pa. 774 e seguei]. De: per ogi uzioe coiua i u dao iervallo [a,b] limiao o illimiao, deo u isae arbirario, si deiisce l'iegrale eseso a [a,b] del prodoo della uzioe per l'impulso maemaico u -, cerao i, i modo ale che esso risuli uzioe coiua di i [a,b] e che per ogi risuli b o [ a, b] u d a [ a, b]

18 IMPULSO MATEMATICO Commeo: A causa della risoluzioe limiaa degli srumei, u qualsivoglia procedimeo di misura o cosee di rilevare direamee il valore assuo da u segale i u dao isae ma piuoso il valor medio del segale m i u iervallo di duraa cerao aoro a, che, per il eorema della media, è pari al valore che la uzioe assume i puo opporuo ' dell'iervallo di duraa cerao aoro a : m τ τ τ τ τ + τ / τ dτ τ / τ, τ τ τ, τ + τ τ τ + τ / τ dτ τ / - / + /

19 IMPULSO MATEMATICO Commeo: Di cosegueza, dal puo di visa operaivo il valore assuo dal segale i può essere viso come il limie a cui ede il valor medio quado l'iervallo di osservazioe diviee iiiesimo: τ τ τ τ τ τ τ τ + d τ recτ τ d τ recτ τ d τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ m τ τ lim lim lim lim / / [ si oi che elle precedei espressioi le operazioi di limie e di iegrazioe o possoo essere scambiae]. d rec

20 IMPULSO MATEMATICO Proprieà odameali: i. proprieà di campioameo τ τ u τ τ dτ è cosegueza direa della deiizioe e della simmeria dell'impulso maemaico rispeo all'origie ii. iegrale dell'impulso u τ dτ deriva dalla proprieà precedee poedo iii. simmeria iv. cambiameo di scala u u u a u, a a v. moliplicazioe per l'impulso maemaico u u

21 RISPOSTA IMPULSIVA Dao u segale a empo coiuo per esso vale la seguee rappreseazioe i ermii di impulsi maemaici τ τ u τ τ dτ dao u sisema lieare e permaee a empo discreo, sia h la risposa del sisema quado vega applicao i igresso u k: S u h che prede il ome di risposa impulsiva. Per l'ivariaza el empo del sisema, la risposa all'impulso u -τ raslao i τ, sarà pari a h raslaa della sessa quaià, ovvero a h-τ: S u τ τ h τ τ perao per la liearià del sisema, dalle e e cosegue che l'uscia corrispodee all'igresso varrà: τ τ h τ τ dτ

22 INTEGRALE DI CONVOLUZIONE L'operaore che lega l'uscia del sisema all'igresso e alla risposa impulsiva prede il ome di iegrale di covoluzioe del sisema, ovvero di covoluzioe e sarà idicao el seguio co il simbolo * τ τ h τ τ h τ τ dτ Nel seguio si idicherà co il ermie di ilro ua ree due-pore che operi ua rasormazioe lieare dei segali di igresso u ilro viee deo idealmee realizzabile se la sua risposa impulsiva è u segale reale u ilro viee deo causale o isicamee realizzabile se è idealmee realizzabile e se risula: h per <

23 CONVOLUZIONE: PROPRIETÀ commuaivià * h h * Prova: dalla deiizioe, eeuado il cambiameo di variabile τ si ha: h d h d h d h h c.d.d. h h

24 CONVOLUZIONE: PROPRIETÀ associaivià [ ] [ ] h z h z Prova: dalla deiizioe, si ha: [ ] [ ] [ ] ] [ h z d h z d d z h d h d z h z c.d.d. z*h z h

25 CONVOLUZIONE: PROPRIETÀ disribuivià rispeo alla somma [ ] h h h h + + Prova: dalla deiizioe, si ha: [ ] [ ] h h d h d h d h h h h c.d.d. h +h h h +

26 CONVOLUZIONE: PROPRIETÀ. u. u 3. poso z si ha ] [ b a b a z + Iai: ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ b a b a b a b a u u u u u +

27 STABILITÀ De.:U ilro si dice sabile se il segale di uscia risula limiao ovuque quado i igresso è applicao u segale limiao ovuque. Teorema: Codizioe ecessaria e suiciee aiché u ilro sia sabile è che la sua risposa impulsiva sia assoluamee iegrabile: h τ dτ < Prova: Per dimosrare la suicieza, si osservi che, poiché per u igresso limiao ovuque, per deiizioe, si ha che <M, se la risposa impulsiva è assoluamee iegrabile per l'iegrale della risposa impulsiva vale la seguee maggiorazioe τ τ h τ τ τ dτ h τ τ dτ τ h τ M h τ τ τ Per dimosrare la ecessià si osservi che se il ilro è sabile, l'uscia i deve essere limiaa ovuque, ovvero dτ dτ < <N comuque si scelga u igresso limiao ovuque. Tale codizioe deve quidi essere valida ache per l'igresso - sig[h-] e quidi: sig{ h[ τ] } h τ dτ h τ dτ < N.

28 CONVOLUZIONE: INTERPRETAZIONE GRAFICA h τ.5 τ τ h - τ.5 τ ribala hτ τ h - τ τ rasla l'origie i τ h - τ τ

29 PRODOTTO SCALARE De.:U'applicazioe da X X su S é u prodoo scalare e si idica co <,> se veriica le seguei codizioi: i. è disribuiva rispeo al primo elemeo <+z, > <, > + <z, > ii. è omogeea rispeo al primo elemeo, cioè per ogi scalare λ si ha < λ, > λ <, > iii. è hermiiaa <, > [<, >]* dove co * si iede il complesso coiugao iv. è sreamee posiiva: <, >, co <, > se e solo se. Proprieà: Diseguagliaza di SCHWARZ <, > <, > <, >

30 NORMA De.:U'applicazioe da X X su R é ua orma e si idica co se veriica le seguei codizioi: i. è sreamee posiiva, co se e solo se. ii. è assoluamee omogeea, cioè per ogi scalare λ si ha λ λ iii. è subaddiiva + + Proprieà: orma hilberiaa [<, >] / disaza ra elemei di uo spazio merico d, -

31 SPAZI DI HILBERT Uo spazio veoriale X è uo spazio di Hilber se i. è doao di prodoo scalare <,> ii. è ormao mediae la orma hilberiaa [<, >] / iii. è compleo, ossia ogi successioe pricipale è covergee ovvero la codizioe di CAUCHY è ecessaria e suiciee per la covergeza di ua successioe.

32 SEGNALI DI ENERGIA De.: Dao u segale, si deiisce eergia oale E del segale la seguee gradezza reale se esise E lim T T T / / * d Sigiicao isico: se è reale E coicide co l'eergia oale dissipaa da u resisore da Ω quado ai suoi capi si applica la esioe [Vol] oppure quado esso è araversao da ua corree [Ampère] U segale si dice di eergia se la sua eergia oale E è iia ed iolre E >.

33 SEGNALI DI ENERGIA Esercizio: Si calcoli l eergia del segale A rec essedo A rec per alrove - / / I base alla deiizioe si oiee direamee E T / lim A T T / rec d A.

34 SEGNALI DI ENERGIA L'isieme dei segali di eergia cosiuisce uo spazio veoriale. A ale scopo è suiciee veriicare che se e soo segali di eergia, la loro somma è u segale di eergia. lim T T + T / / lim T T T d / / lim T d < T T / / d + si ricorda che e quidi a b a + b ab i. ab a + b ii. a + b a + b

35 SEGNALI DI POTENZA De.: Dao u segale, si deiisce poeza oale P del segale la seguee gradezza reale se esise P lim T T T T / / * d Sigiicao isico: se è reale coicide co la poeza oale dissipaa da u resisore da Ω quado ai suoi capi si applica la esioe [Vol], oppure quado esso è araversao da ua corree [Ampère] U segale si dice di poeza se la sua eergia oale E è iiia ed iolre la sua poeza oale P è iia e P >.

36 SEGNALI DI POTENZA Esercizio: Si calcoli la poeza del segale A A I base alla deiizioe si oiee P lim T T A. T T / / A d lim T T A T

37 SEGNALI DI POTENZA Esercizio: Si calcoli la poeza del segale Acosπ +ϕ A -T -T T T 3T -A P lim T T lim T T A T T T T / / Acosπ / / A d + + ϕ lim T T d T T / / A cos4π + ϕ d

38 SEGNALI DI POTENZA L'isieme dei segali di poeza cosiuisce uo spazio veoriale. A ale scopo è suiciee veriicare che se e soo segali di poeza, la loro somma è u segale di poeza. lim T T T T lim T / + / T T T d / / lim T d < T T T / / d + si ricorda che e quidi a b a + b ab iii. ab a + b iv. a + b a + b

39 PRODOTTO SCALARE PER SEGNALI DI ENERGIA Nello spazio veoriale dei segali di eergia può deiirsi il seguee prodoo scalare <, > lim T T / T / * d ale iegrale ha valore iio poichè lim T T / * d lim T / T T / lim d < T T / T / T / d + iolre i. è disribuivo rispeo al primo elemeo < + z, > T lim lim T T / T / T / z * d T / * d +

40 PRODOTTO SCALARE PER SEGNALI DI ENERGIA CONT. ii. è omogeeo rispeo al primo elemeo, cioè scalare λ si ha λim T T / λ * d T / λ λim T T / * d T / iii. è hermiiao lim T T / * T / d * lim T lim T T / [ * ]* d T / T / * d T / iv. è sreamee posiivo: iai per deiizioe di segale di eergia si ha <, > E > per ogi segale di eergia o ideicamee ullo. Proprieà: Diseguagliaza di SCHWARZ lim T T / T / * d E E

41 PRODOTTO SCALARE PER SEGNALI DI POTENZA Nello spazio veoriale dei segali di poeza può deiirsi il seguee prodoo scalare <, > lim T T T T / * d / ale iegrale ha valore iio poiché lim T T lim T T T / * d / T T T / / lim T d < T T T / / d + iolre v. è disribuivo rispeo al primo elemeo < + z, > T lim lim T T T T / T T / T / * d / z * d +

42 PRODOTTO SCALARE PER SEGNALI DI POTENZA CONT. vi. è omogeeo rispeo al primo elemeo, cioè scalare λ si ha λim T T T / λ * d T / λ λim T T T / * d T / vii. è hermiiao lim T T T / * T / d * lim T lim T T T T / [ * ]* d T / T / * d T / viii. è sreamee posiivo: iai per deiizioe di segale di poeza si ha <, > P > per ogi segale di poeza o ideicamee ullo. Proprieà: Diseguagliaza di SCHWARZ lim T T T T / * d / P P

43 ORTOGONALITÀ De.: due elemei di uo spazio veoriale si dicoo orogoali se il loro prodoo scalare è ullo: <, > De.: Ua base {e, e,, e N }.si dice orogoale se gli elemei che la cosiuiscoo soo muuamee orogoali: De.: si dice iolre che {e, e,, e N } cosiuisce u sisema oroormale se < eh, ek > δ h, k h h k k Proprieà: daa ua base orogoale {e, e,, e N } i coeiciei c k dello sviluppo di soo dai dai coeiciei di Fourier geeralizzai: <, ek > ck. < ek, ek > Dim.: Si osservi che moliplicado scalarmee per e k, per l'orogoalià si ha: <, e >< k ch eh, ek > ch h h ck < ek, ek >. < eh, ek >

44 INTERCORRELAZIONE De.: dai due segali e, di cui almeo uo impulsivo, prede il ome di iegrale di iercorrelazioe ra essi la seguee espressioe: e τ lim T T / * τ τ T / + τ dτ Si oi che per quesa classe di segali vale la seguee relazioe ra iercorrelazioe e covoluzioe e *. * De.: dai due segali e di poeza, prede il ome di iegrale di iercorrelazioe ra essi la seguee espressioe: p τ lim T T T / * τ τ T / + τ dτ

45 CORRELAZIONE per la uzioe di correlazioe prede il ome di AUTOCORRELAZIONE Auocorrelazioe per segali di eergia e τ lim T T / * τ τ T / + τ dτ Auocorrelazioe per segali di poeza p τ lim T T T / * τ τ T / + τ dτ

46 PROPRIETÀ DELLA CORRELAZIONE Valgoo le seguei proprieà Segali di eergia Segali di poeza T / e τ lim * τ τ + τ dτ T / p τ lim * τ τ + τ dτ T T T T / T / e τ < τ + τ, τ > p τ < τ + τ, τ > e E p P e e p p e E E p P P e E p P

47 TRASFORMAZIONI LINEARI ED INTERCORRELAZIONE Teorema: Dai due ilri sabili co rispose impulsive h e h a cui vegao applicai i igresso due segali di eergia e, sussise la seguee relazioe ra le uzioi di correlazioe: h h e e e Corollario: Dai due ilri sabili co rispose impulsive h e h a cui vegao applicai i igresso due segali di eergia e, sussisoo le seguei relazioi ra le uzioi di correlazioe: h h e e e h h e e e h e e h e e h e e h e e h h

48 TRASFORMAZIONI LINEARI ED INTERCORRELAZIONE Prova: Poiché e soo due segali di eergia, per la loro uzioe di iercorrelazioe si ha e e quidi cosiderado che e soo dai dalle covoluzioi ra e e le rispeive rispose impulsive, si oiee [ ] [ ] [ ] [ ] h h h h h h e e e c.d.d. Per le uzioi di iercorrelazioe igresso-uscia aalogamee si ha [ ] [ ] h h h e e Dalla precedee, poedo e h h si oegoo i casi paricolari relaivi ad u solo ilro.

49 TRASFORMAZIONI LINEARI ED INTERCORRELAZIONE Teorema: Dai due ilri sabili co rispose impulsive h e h a cui vegao applicai i igresso due segali di poeza e, sussise la seguee relazioe ra le uzioi di correlazioe: h h e p p Corollario: Dai due ilri sabili co rispose impulsive h e h a cui vegao applicai i igresso due segali di poeza e, sussisoo le seguei relazioi ra le uzioi di correlazioe: h h e p p h h e p p h p p h p p h p p h p p h h

50 TRASFORMAZIONI LINEARI ED INTERCORRELAZIONE Prova: Poiché e soo due segali di poeza, cosiderao che essi dai dalle covoluzioi ra e e le rispeive rispose impulsive, per la loro uzioe di iercorrelazioe si ha τ + τ τ / / lim T T T d τ T τ p τ θ θ + τ θ λ λ τ λ d d h τ d h T T T T λim / / Scambiado l'ordie di iegrazioe e l'operazioe di limie co l'operazioe di iegrazioe rispeo a θ si ha θ λ τ θ τ λ τ θ λ d d d τ T h h τ T T T + + / / λim p quidi poiché il ermie ra pareesi quadre è pari all'iercorrelazioe ra gli igressi segue che

51 TRASFORMAZIONI LINEARI ED INTERCORRELAZIONE p h λ h θ p [ θ λ] dλ dθ eeuado il cambiameo di variabile µ θ, ν θ λ ϑ µ λ µ + ν poiché per il deermiae jacobiao della rasormazioe si ha: θ µ θ ν λ µ λ ν per la uzioe di iercorrelazioe si oiee p h µ + ν h µ dµ p ν dν e h h ν p p e h h ν dν c.d.d.

52 TRASFORMAZIONI LINEARI ED INTERCORRELAZIONE h h h Per il calcolo della uzioe di iercorrelazioe ra igressi ed uscie si osservi che co rierimeo allo schema di igura, poso h u si ha, e h h u h u h h e quidi dalla precedee relazioe si ha: p p p e p h h h Dalle precedei relazioi, poedo e h h si oegoo, poi, i casi paricolari relaivi ad u solo ilro. c.d.d.

53 SEGNALI PERIODICI De.: Dao u segale, esso si dice periodico di periodo T se, per ogi isae risula + T La orma d oda di u segale periodico risula compleamee deiia se l adameo di è oo i u qualsiasi iervallo di duraa T. Nel seguio si assumerà che ale iervallo sia pari a [ T /, T /. L iverso di T F/T si dice requeza odameale e rappresea il umero di periodi coeui ell uià di empo. -, -T -T/ T/ T

54 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI Teorema di Fourier.: Dao u segale periodico di periodo T che risuli i. geeralmee coiuo i [ T /, T / ii. assoluamee iegrabile i [ T /, T / T / τ T /, dτ < + esso può essere rappreseao come segue + e j π co e dove i valori F T T / j π T T / e d < + predoo il ome di Coeiciei di Fourier del segale.

55 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. L uguagliaza + e j π va iesa come segue: i. i ui i pui i cui la uzioe è coiua il primo e il secodo membro coicidoo ii. ei pui di discoiuià di prima specie la serie a secodo membro coverge alla semisomma dei limii da desra e da siisra di lim + lim +

56 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Commeo: odamealmee il eorema aerma che la amiglia di uzioi s e j π, ±, ±, cosiuisce ua base per i segali periodici di periodo T. Tale base risula oroormale, cioè < s m, s > m m Prova: Si osservi che, dai due segali di poeza e periodici di periodo T il loro prodoo * è periodico di periodo T e il loro prodoo scalare si può calcolare come segue / * <, > lim d / NT / T / * * lim d lim N d N NT NT / N NT T / T / * d T T /

57 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Perao, per due elemei j e π, j m e π della base si ha π π π > < π π π π π π m m m si m j e m d T d e T d e e T e e T T m T j T T T T m T j T T j j j j m m, / / / / / / / / C.D.D.

58 SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI Proprieà odameali: i. liearià ii. raslazioe el empo iii. raslazioe i requeza iv. diereziazioe v. iegrazioe A + B AX + B Y τ j πf τ X e j πf e d d k X k j π F X dao u segale periodico è a valor medio ullo, ovvero ale che si ha: T / d T T / d X jπf. τ

59 SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI Proprieà odameali segue: i. Iercorrelazioe p / lim + d P X Y / * * Prova: Dai due segali periodici e, l iercorrelazioe è acora u segale periodico ed è pari a π τ lim τ τ + τ lim τ + m + c.d.d. X τ τ + * + τ / τ τ / Y X e * Y + τ / τ / + m e j πf τ * X * e j πmf τ j πf lim τ dτ τ τ + m + τ / e τ / Y m e j πf j πf m m τ τ + τ dτ dτ

60 TEOREMA DI PARSEVAL PER SEGNALI PERIODICI. Teorema di Parseval per segali periodici. Dao u segale periodico di poeza, ed idicai co X i coeiciei della serie di Fourier relaiva, la sua poeza P è pari a: + P X Prova: Poiché la poeza è pari alla uzioe di auocorrelazioe del segale calcolaa ell'origie si ha P π + X e j π F + X

61 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Esempio Serie di Fourier del segale A che risula periodico di periodo T qualuque sia T. π π π π π + π π π π / / / / / / A si A j e e A T j e d Ae T d e T j j T T T j T T T j T T T j Il segale pari a cosae possiede quidi u solo coeiciee dello sviluppo A, come d alrode era evidee coroado il segale sesso co lo sviluppo i serie. A

62 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Esempio Serie di Fourier del segale A cosπ +j che risula periodico di periodo T / / / / / / / / / / / cos T T T j T j j T T T j T j j T T T j T j j T j j T T T j T T T j d e e T e A d e e T e A d e e e e e A T d e A T d e T π π j π π j π π j π j π π j π -A A -T -T T T 3T

63 Per l oroormalià della amiglia di uzioi, il primo iegrale risula diverso da zero e pari a solo per, e il secodo iegrale è diverso da zero solo per -. Di cosegueza si ha ϕ ϕ, e A e A ϕ ϕ

64 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Esempio 3 Serie di Fourier del reo di impulsi Π T Σ k u -kt che risula periodico di periodo T /. X T T T / u T / T / T / e e j π T j π T d d T T T / + u T / k kt e j π T d I coiciei di Fourier soo cosai.

65 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Esempio 5 Serie di Fourier del reo di impulsi reagolari Σ k rec -kt che risula periodico di periodo T /. Si ricorre alla proprieà della derivazioe. + + d u kt + / u d k k j π j π Y π T T j X e e T T T kt / X /T / da cui segue: X T si π T π T

66 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Esempio 5 co. I Approssimazioe: II Approssimazioe:

67 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Esempio 5 co. III Approssimazioe: 3 IV Approssimazioe: 4

68 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI CONT. Esempio 4 Auocorrelazioe del reo di impulsi Π T Σ k u -kt L auocorrelazioe del reo di impulsi è u segale periodico di periodo T /. I coeiciei dello sviluppo i serie di Fourier soo pari al modulo quadrao dei coeiciei del reo di impulsi proprieà dell iercorrelazioe. P X T I coiciei di Fourier soo cosai, e la serie coverge ad u reo di impulsi di area /T. π + T k k jπ τ + τ e T u τ kt T k

69 SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER PER SEGNALI PERIODICI L auocorrelazioe di u segale periodico di periodo T risula dalla sovrapposizioe di iiie repliche, disaziae di iervalli mulipli del periodo T e scalae di u aore /T, della uzioe di auocorrelazioe della uzioe geerarice g deiia come T T g alrove Prova: Poiché g Π, dove Π T è il reo di impulsi a disaza T ΠT T + k u kt l auocorrelazioe di è daa da regole del rasio c.d.d. + π gg ππ gg T k + ε gg τ kt T k τ ε τ π τ ε τ u τ kt

70 SEGNALI IMPULSIVI De.: Dao u segale, esso si dice impulsivo se è assoluamee sommabile i, + cioè τ dτ < + U segale impulsivo ha duraa iia o ede a zero co u ordie superiore a. U segale di eergia ede a zero co u ordie superiore a /. Perao, u segale impulsivo, limiao ovuque, è ceramee di eergia, mere o è vero il corario.

71 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Dao u segale impulsivo, esso ammee la seguee rappreseazioe dove la uzioe jπ X e d X jπ e d prede il ome di Trasormaa di Fourier del segale, e si idica co F{ } X.

72 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI L uguagliaza jπ X e d va iesa come segue i. i ui i pui i cui la uzioe è coiua il primo e il secodo membro coicidoo ii. ei pui di discoiuià di prima specie l iegrale a secodo membro coverge alla semisomma dei limii da desra e da siisra di lim + lim +

73 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Commeo: la amiglia di uzioi paramerizzae dalla requeza s ; e jπ cosiuisce ua base per i segali impulsivi. Tale base risula orogoale, iai + j < s ;, s ; > π e d u X rappresea il coeiciee di rispeo alla uzioe jπ s ; e.

74 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio Trasormaa del segale rec rec - / / X F{ } rec + / jπ + / j e π e d jπ / / Ca π + jπ e d π si π -/ /

75 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio Trasormaa del segale A A X F{ A} F lim A rec A lim F{ rec } A lim Ca π Au A u

76 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio Trasormaa del segale A u o A u X + F{ Au } A u e d A jπ A Commeo: la rasormaa qui derivaa i base alla rappreseazioe iegrale dell impulso maemaico, può ricavarsi ache come limie di ua successioe di rec di area uiaria e base, ovvero dalla rasormaa di ua cosae per la proprieà di dualià.

77 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali: i. liearià A + B AX + BY ii. area soesa ad ua uzioe + + d X, X d iii. raslazioe el empo τ τ jπ τ X e Prova: F + jπ jπ { } e d e e + jπ + jπ jπ e d e X e jπ d La raslazioe del segale el empo cambia la ase ma o l ampiezza della rasormaa di Fourier. Si oi che per τ egaivo il segale è aicipao e la pedeza è posiiva.

78 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali co.: iv. raslazioe i requeza j π e X Prova: F { jπ } j j j e e e d e π π π X + + d La moliplicazioe modulazioe del segale per u espoeziale complesso corrispode ad ua raslazioe lugo l asse delle requeze

79 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio: Modulazioe cosπ La moliplicazioe modulazioe del segale per u coseo a requeza requeza porae produce i requeza due repliche alle requeze, - { } cos X X e e F F Y j j π π π

80 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio: Modulazioe e Demodulazioe X Y + X + X / Y / - Z X + X + X / Z /4 /4 -

81 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio: Demodulazioe coeree z cosπ La moliplicazioe del segale modulao a requeza per u coseo alla sessa requeza e ase riproduce, alerao per u aore di scala, lo spero del segale origiario, sommao a due repliche alle requeze, - Z F{ cos π } X + X + X

82 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Trasormaa di Fourier di u segale periodico è u reo di impulsi alle requeze, di ampiezza pari ai coeiciei della serie di Fourier del segale. Prova: + e jπ X + + { } { jπ } F F e u U segale periodico o è impulsivo, uavia la deiizioe i seso limie- della rasormaa di Fourier di ua cosae, e cosee la rappreseazioe mediae rasormaa di Fourier. La rappreseazioe mediae rasormaa di Fourier cosee la raazioe uiicaa el domiio della requeza della elaborazioe di u segale periodico e di u segale di eergia.

83 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Trasormaa di Fourier di u segale periodico Esprimiamo il segale ramie la uzioe geerarice g di duraa limiaa al periodo T. + k g kt I coeiciei di Fourier del segale soo proporzioali ai valori assui dalla rasormaa di Fourier G della uzioe geerarice alle requeze muliple della odameale /T. Prova: T / T / j j X π e d π g e d T T T / T / + j π g e d G T T La rasormaa di Fourier della uzioe geerarice soede lo spero di Fourier di ogi segale periodico che la ammee come geerarice. I valori dei coeiciei, e il loro aore di scala, dipedoo dal periodo T.

84 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali segue: v. Diereziazioe Dao u segale rasormabile secodo Fourier, supposo derivabile rispeo al empo, co derivaa acora rasormabile secodo Fourier, vale la seguee relazioe: Prova: Sia d jπ X d jπ X e d Derivado il primo e il secodo membro dell equazioe rispeo al empo si ha d d d jπ e d [ j X ] jπ X π e d d Iolre, essedo il segale derivaa Fourier rasormabile si ha d d d jπ F e d d Dal coroo ra le ulime due relazioi segue la esi. c.d.d.

85 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali segue: vi. Iegrazioe prima versioe Sia u segale iegrabile rasormabile secodo Fourier, co iegrale acora rasormabile secodo Fourier. Allora: X j d π Prova: Sia X j d j e d j e d d d j e d j e d d d e d d F j j j j j π π π π π π π π π π dove si è sruaa la seguee relazioe lim lim j j e d e d π π

86 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali segue: Commeo: L iegrazioe abbae le compoei ad ala requeza del segale. La diereziazioe esala le compoei ad ala requeza del segale. Ciò coerma, dal puo di visa sperale, l eeo emporale per cui l iegrazioe smorza le variazioi emporali del segale, mere la diereziazioe le acceua.

87 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio Trasormaa del gradio maemaico u - < > / u Il gradio u - può cosiderarsi come limie per α della amiglia di uzioi impulsive < > / e α α avei la seguee rasormaa di Fourier j j d e e d e X j j π α π α π α π α π α α

88 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio Trasormaa del gradio maemaico segue La rasormaa di Fourier del gradio u - è ua uzioe complessa la cui pare reale immagiaria è oeua come limie della pare reale immagiaria di α. X α π α lim + j lim α α α + + lim X π α α π La pare reale di X α ede ad u impulso maemaico di area /; la pare immagiaria vale uiormemee per e ede a /jπ per : X + u jπ

89 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali segue: vii. Iegrazioe secoda versioe Sia u segale iegrabile. L iegrale può pesarsi oeuo come l uscia di u ilro avee come d risposa impulsiva il gradio maemaico u -, cioè Ne segue che Y u jπ jπ X u + X u X + La proprieà di iegrazioe è così esesa a segali a valor medio o ullo X. Commeo: Segali che dieriscoo per ua cosae addiiva, pur ammeedo la sessa derivaa, hao rasormae dierei.

90 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali segue: viii. Iercorrelazioe + e * * + d E X Y Prova: Dai due segali impulsivi e, l iercorrelazioe è acora u segale impulsivo ed è pari a e * * jπ X e d * X Y + d * jπζ X Y ζ e d jπ e d + jπζ + Y ζ e dζ d + * jπζ jπ ζ X Y ζ e e d dζ d ζ dζ d

91 TEOREMA DI PARSEVAL PER SEGNALI IMPULSIVI. Teorema di Parseval per segali impulsivi. Dao u segale impulsivo, ed idicaa co X la rasormaa di Fourier relaiva, la sua eergia E è pari a: + E X d Prova: Poiché l eergia è pari alla uzioe di auocorrelazioe del segale calcolaa ell'origie si ha E + + e X d * jπ X X e d c.d.d.

92 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali segue: i. Cambiameo di scala Prova: F F α α { α } X jπ { ξ α } ξ α e d ξ α + + ξ jπ ξ α + ξ e α dξ X α jπ e α α α d Commeo: Il cambiameo di scala è u operazioe geomerica i cui l asse dei empi è espaso, compresso o ribalao. Ad ua compressioe espasioe dell asse dei empi corrispode ua espasioe compressioe dell asse elle requeze.

93 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali segue:. Covoluzioe + d X Y Prova: Dai due segali impulsivi e, la covoluzioe è acora u segale impulsivo la cui rasormaa di Fourier è F { } + + X Y + + jπ d e d + jπ jπ e d d Y e d

94 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio: Relazioe igresso-uscia di u ilro H Y h H X Prova: La relazioe segue direamee dalla proprieà di covoluzioe el empo. La rasormaa di Fourier della risposa impulsiva di u ilro prede il ome di uzioe di raserimeo del ilro sesso. La uzioe di raserimeo H del ilro può essere valuaa impoedo u u segale di igresso oo X o ullo ell iervallo di requeza di ieresse e misurado l uscia H delilro: Y X H /

95 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio: Misura della uzioe di raserimeo di u ilro H Y H X Sia h reale ilro idealmee realizzabile. La uzioe di raserimeo del ilro jj * simmeria coiugaa, cioè H H H M e è duque a. I preseza di u igresso cosiusoidale A cos π +ψ l uscia è acora u segale cosiusoidale alla requeza M A cos π + + ϕ scalao di M e sasao di j riardao di j /π. Prova: Y + jψ jψ H A/ e u + e u + H A/ + jψ e u jψ + H A/ e u +

96 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio: La misura della aeuazioe irodoa da ua liea eleoica avviee mediae rasmissioe di u oo di prova, cioè u segale cosiusoidale a requeza 8 Hz -sadard europeo- o a requeza Hz sadard USA-, ovvero ad ua successioe di oi di prova all iero della bada uile 3 34 Hz. H DTE MODEM MODEM DTE X Y - - H

97 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Proprieà odameali segue: i. Prodoo ξ + X Y X ξ Y ξ dξ Prova: Dai due segali impulsivi e, il loro prodoo è acora u segale impulsivo la cui rasormaa di Fourier è F { ξ } ξ + + X + + X + X + ζ Y ξ ζ Y ξ δ ξ + ζ ζ Y ζ δζ jπ e δ + j π ξ ζ e δ + + δζ δξ δζ δξ

98 TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI IMPULSIVI Esempio: Relazioe igresso-uscia di u ilro H Y h H X Prova: La relazioe segue direamee dalla proprieà di covoluzioe el empo. La rasormaa di Fourier della risposa impulsiva di u ilro prede il ome di uzioe di raserimeo del ilro sesso. La uzioe di raserimeo H del ilro può essere valuaa impoedo u u segale di igresso oo X o ullo ell iervallo di requeza di ieresse e misurado l uscia H delilro: Y X H /

99 TEOREMA DI WIENER H H Si dice Poeza di u segale di poeza, coeua ra e la poeza oale del segale oeuo applicado i igresso ad u ilro co uzioe di raserimeo H pari a ra e e zero alrove: P de., P Si dice Eergia di u segale impulsivo, coeua ra e l eergia oale del segale oeuo applicado i igresso ad u ilro co uzioe di raserimeo H pari a ra e e zero alrove: E de. E,

100 TEOREMA DI WIENER Teorema di Wieer per segali di poeza: Dao u segale di poeza, lo spero di desià di poeza di è uguale alla rasormaa di Fourier della uzioe di auocorrelazioe F{ τ } P p Corollario: La poeza del segale è uguale all iegrale da - a + dello spero di desià di poeza di P + P

101 TEOREMA DI WIENER Teorema di Wieer per segali di poeza segue Prova: Co rierimeo allo schema i igura: H H la poeza del segale coeua ra e è pari all auocorrelazioe del segale calcolaa ell origie, ovvero all iegrale della relaiva rasormaa di Fourier. Dalle regole del rasio, segue: P, P p F p τ + de. F c.d.d. + + { } d F p τ e τ { p τ } H d F{ p τ } d P { } d hh d

102 TEOREMA DI WIENER Teorema di Wieer per segali di eergia: Dao u segale di eergia, lo spero di desià di eergia di è uguale alla rasormaa di Fourier della uzioe di auocorrelazioe, ovvero al modulo quadrao della rasormaa di Fourier di. F{ ε τ } X E Corollario: L eergia del segale è uguale all iegrale da - a + dello spero di desià di eergia di E + E

103 TEOREMA DI WIENER Teorema di Wieer per segali di eergia segue Prova: Co rierimeo allo schema i igura: H H l eergia del segale coeua ra e è pari all auocorrelazioe del segale calcolaa ell origie, ovvero all iegrale della relaiva rasormaa di Fourier. Dalle regole del rasio, segue: Ε, Ε e F e τ + Iolre de. F + + { } d F e τ e τ { e τ } H d F{ e τ } d Ε { ε τ } F τ * τ { } { } F * τ F { } d hh d { } X * X X F * τ c.d.d.

104 TRASFORMATA DI HILBERT De. Dao u segale si dice Trasormaa di Hilber di il segale H { } ˆ oeuo dal rasio araverso il ilro co uzioe di raserimeo: H H j j < > ovvero co risposa impulsiva h H /π. Proprieà:. H { c}. due segali che dieriscoo per ua cosae hao la sessa rasormaa di Hilber. Teorema: Dao u segale a valor medio ullo, la sua rasormaa di Hilber H { } ˆ cosiuisce ua rappreseazioe di el domiio del empo. Dim. Poichè H H H H e è a valor medio ullo, H { ˆ }.

105 TRASFORMATA DI HILBERT Teorema: dao u segale reale a valor medio ullo, il segale e la sua rasormaa di Hilber soo orogoali, ovvero < ˆ, > Dim. Si osservi che, i virù delle proprieà delle rasormazioi lieari dei segali, il prodoo scalare ra il segale e la sua rasormaa di Hilber può essere scrio come segue a segali di eergia ˆ, > e ˆ [ e hh ] < τ τ e d, π τ a segali di poeza ˆ, > p ˆ [ p h H ] < π τ dτ. π τ Essedo il segale reale la sua uzioe di auocorrelazioe è u segale pari, e quidi l'iegrado è ua uzioe dispari. Di cosegueza, il prodoo scalare è ullo, c.d.d.

106 TRASFORMATA DI HILBERT Esempio. Trasormaa di Hilber di u segale cosiusoidale cos π X A / A / - ja / X ^ - -ja / H{}si π

107 SEGNALE ANALITICO De. Dao u segale reale, si dice Segale aaliico ad esso associao il segale + oeuo dal rasio araverso u ilro co uzioe di raserimeo: H a / H, Poichè H + jh a > < + + jˆ. Teorema: Dao u segale reale a valor medio ullo, il segale aaliico + ad esso associao cosiuisce ua rappreseazioe di el domiio del empo, essedo { + } Re. Dim. Dalla segue che se è reale, ache ˆ è reale, e quidi il segale aaliico + è u segale complesso la cui pare reale è proporzioale a, che perao può essere ricosruio ramie la. Tale proprieà o sussie se è complesso.

108 SEGNALE ANALITICO Oss. Il ilro aaliico rimuove meà dello spero del segale, il coeuo per requeze egaive X. X - X Se u segale, Fourier-rasormabile, è reale, la sua Trasormaa di Fourier X gode della proprieà: X- X*, ovvero X + X, < Di cosegueza il coeuo per requeze egaive X può essere ricosruio a parire dalla coosceza del coeuo per requeze posiive X +

109 INVILUPPO COMPLESSO De. Dao u segale reale, si dice iviluppo complesso ad esso associao rispeo alla requeza il segale deiio da: ovvero + jπ e + X + X Poichè, i geerale, X o gode di proprieà di simmeria rispeo all origie, è complesso Poso i segali c e j c + s s predoo il ome di compoei aalogiche di bassa requeza del segale rispeo alla requeza. I paricolare, si deiisce c : compoee aalogica di bassa requeza i ase s : compoee aalogica di bassa requeza i quadraura.

110 SEGNALE ANALITICO E INVILUPPO COMPLESSO: INTERPRETAZIONE SPETTRALE X - o o X + o X -

111 INVILUPPO COMPLESSO SEGUE Teorema. Dao u segale reale, esso è legao alle sue compoei aalogiche di bassa requeza dalla relazioe π se cos π c s Iolre per la sua Trasormaa di Hilber si ha ˆ se π + cos π c s ovvero ˆ cos se π se π c π cos π s.

112 INVILUPPO COMPLESSO SEGUE Esempio. Iviluppo complesso di u segale cosiusoidale cos π rispeo alla requeza. Risula: cos π cos π + π cos π cos π si π se π da cui c s cos π si π Commeo: Lo sviluppo di u segale i compoei aalogiche di bassa requeza equivale alla rappreseazioe dello sesso i ua base emporalmee variae, rispeo a cui il segale varia più leamee.

113 INVILUPPO COMPLESSO SEGUE Teorema: Se il segale è reale e limiao i bada [ w, +w], le sue compoei aalogiche di bassa requeza rispeo alla requeza risulao limiae ella bada [ w, +w]. Commeo: Per >>w, la rappreseazioe del segale i uzioe dei campioi delle compoei aalogiche di bassa requeza è esremamee eiciee. La rappreseazioe di i uzioe dei suoi campioi richiede u periodo di campioameo T c T / + w. ma La rappreseazioe di i uzioe dei campioi delle compoei aalogiche di bassa requeza c, s richiede il campioameo di due segali co periodo T ' c T ' ma /w. Il rapporo ra il umero di campioi ell uià di empo ecessari ei due casi è + w / w.

114 TRANSITO IN UN SISTEMA LINEARE Sia u segale reale a valor medio ullo che rasia i u ilro lieare idealmee realizzabile h reale. H Valgoo le seguei relazioi: a h b h Dim. propr. a I relazioe al segale aaliico si ha: h h h h h h h h a a a a a c.d.d.

115 MODULAZIONE D AMPIEZZA A PORTANTE SINUSOIDALE Modulazioe a Bada Laerale Doppia Double Side Bad-DSB Sia m u segale reale, a valor medio ullo, limiao ella bada [ w,+w] che rappresea il messaggio da rasmeere, il segale rasmesso segale modulao è sieizzao i modo ale che c sia proporzioale al messaggio da rasmee segale modulae. ovvero c s a p + k a m [ ] cos p a + k m p a p c

116 MODULAZIONE D AMPIEZZA BLD Poiché X a p u p + k a M p + a p u + p + k a M + p il segale modulao occupa ua bada di ampiezza w ceraa ioro a p e a p. M -w w X a p/ a p/ p BLI p BLS [ p, p +w]: Bada Laerale Superiore [ p -w, p ] : Bada Laerale Ieriore La modulazioe è dea a Bada Laerale Doppia.

117 MODULAZIONE D AMPIEZZA BLD A secoda dell ampiezza della porae la modulazioe BLD viee classiicaa come A porae iera BLD-PI ovvero a k Ma[ m ] a p + k m p > a a > L ampiezza del segale modulao è sempre posiiva: ciò ore la possibilià di uilizzare uo schema di demodulazioe recupero del segale modulae piuoso semplice. A porae ridoa BLD-PR a p < k a Ma [ m ] La compoee cosiusoidale residua sempliica l operazioe di esrazioe della porae requeza e ase i ricezioe. A porae soppressa BLD-PS, Suppressed Carrier SC a p La poeza oale del segale modulao è oalmee impiegaa per covogliare il messaggio m.

118 MODULAZIONE D AMPIEZZA BLU O SSB Sia m u segale reale, a valor medio ullo, limiao ella bada [ w,+w], il segale rasmesso è sieizzao i modo ale che l'iviluppo complesso sia proporzioale al segale aaliico associao al messaggio da rasmee + m ovvero m + j mˆ M + w c s k m a k mˆ a { k m cos p k mˆ se p } a p a p

119 MODULAZIONE D AMPIEZZA BLU O SSB Poichè X + a p a [ + k M + k M ] Il segale modulao occupa la sola Bada Laerale Superiore [ p, p +w] p X - p p BLS La modulazioe è dea a Bada Laerale Uica.

120 MODULAZIONE D AMPIEZZA BLU O SSB Aalogamee può essere rasmesso il coeuo a requeze egaive di m, m m jmˆ. M - -w I al caso risula k m, k mˆ c a s { k m cos p + k mˆ se p } a p [ + X k M + k M + ] a p a a X a p p - p BLI p

121 DEMODULAZIONE SINCRONA O COERENTE, O OMODINA I ui i casi cosiderai la demodulazioe cosise ella esrazioe della compoee aalogica i ase c del segale rasmesso. La requeza e la ase della porae soo esrae dal circuio "esraore di porae" i ricezioe. H c -w w cosπ π Esraore di πorae

122 DEMODULAZIONE ETERODINA La Demodulazioe eerodia è eeuaa i due passi. Il primo sadio del demodulaore eerodia usa ua porae di demodulazioe a requeza e diversa da quella di modulazioe requeza di eerodia. poichè cos p se p c p s p M cosπ e M c + s [ cos p p e + cos p p + e ] [ se p se p + ] p e p e Il segale M risula dalla sovrapposizioe di due segali modulai, uo a requeza p + e, che è rimosso mediae u ilraggio passa-bada, e uo a requeza m p - e, dea media requeza. Il segale c si oiee ramie la successiva demodulazioe del segale modulao a media requeza.

123 DEMODULAZIONE ETERODINA Le operazioi di ampliicazioe, ilraggio, demodulazioe soo eeuae a media requeza realizzazioe circuiale più semplice. Al variare di e lo schema cosee di sioizzare diverse requeze porai, maeedo issaa la media requeza M riceviore a supereerodia. Se il segale ricevuo è la somma del segale desiderao e di alri segali allocai i diverse bade di requeza, la moliplicazioe per cosp e ripora ioro alla requeza M o solo il segale modulao alla requeza p, ma ache eveuali segali modulai alla requeza I e - M, requeza immagie: - p - - I I e e p - M Dei segali vao perciò rimossi mediae ilraggio passabada prima del mier eerodia. M

124 DEMODULATORE D'INVILUPPO O INCOERENTE Il riceviore ad iviluppo esrae il modulo dell iviluppo complesso di. E' perciò uilizzao solo el caso di rasmissioe BLD-PI, i cui il modulo dell iviluppo complesso coicide co c. Circuio reiicaore a semioda -w H w - -

125 INVILUPPO COMPLESSO Dao l'iviluppo complesso di u segale reale, j c + esso può essere riscrio ella orma essedo a e a: ampiezza isaaea a a: ase isaaea α s ja c + s g s c Per il segale si ha quidi la seguee rappreseazioe Si deiiscoo iolre π se cos π c s [ π + a ] a cos deviazioe di requeza: requeza isaaea: dα d π d π d dα [ π + α ] + i + d d π d

126 MODULAZIONE ANGOLARE Le compoei aalogiche di bassa requeza soo scele i modo ale che o la ase isaaea α, o la deviazioe di requeza d siao proporzioali al messaggio. m MODULAZIONE DI FASE α k m MODULAZIONE DI FREQUENZA α k m d α π k m d

127 DEMODULATORE A DISCRIMINATORE H p demodulaore di iviluppo πk d d limiaore ideale Il limiaore ideale ed successivo ilro passa bada cerao ioro ad p hao il compio di elimiare ogi eveuale modulazioe di ampiezza residua presee su. Ovvero se il segale ricevuo vale r π [ π + α ], α α cos > allora l'uscia del ilro z vale [ p + ] z cos p α quidi l'uscia del derivaore è u segale modulao i ampiezza di ipo BLD-PI: w pk p k p dz d p + p pk pk d si d cos [ p + α ] p d [ p + α ] + m si p p [ p + α ]

128 DEMODULATORE A DISCRIMINATORE l'uscia del limiaore ideale vale { r } sig{ a cos[ p + ]} sig p a { α } sig{ cos[ p + ]} sig p α { cos[ p + ]} sig p α essa è quidi del ipo g ϕ sig { cos[ ϕ] } + rec π k k ϕ π gϕ risula periodica di periodo p e quidi sviluppabile i serie di Fourier: g ϕ co G e ϕϕ G π Ca quidi p Ca cos [ p + a ] p

129 MODULAZIONE DI FREQUENZA sia m cosπw + ϕ quidi el caso della modulazioe di requeza si ha. k cosπw + ϕ d. a πk cosπw + ϕ d k w k d si si πw w πw + ϕ + ϕ k 3. cos π π + seπw + ϕ w e k ϕ π π+ w si πw+ϕ + e k ϕ π π+ w si πw+ϕ Per il calcolo di X si osservi che il segale s e ϕ k w si πw+ϕ è del ipo θ e jbsi θ

130 MODULAZIONE DI FREQUENZA Poiché θ e jbsi θ è periodica co periodo π essa può essere sviluppaa i serie di Fourier come segue: θ + C e jθ essedo j[ b si ] C e dθ π π θ θ π J b.5 J J J J 3 J 4 J quidi s + J k w e ϕ [ πw+ϕ]

131 MODULAZIONE DI FREQUENZA X S * p + S p co S p + J k w e j [ j] u w o p k /w k /w k /w3 k /w4 si osservi che J per > + quidi l'occupazioe complessiva i bada è B ma w k + w BANDA DI CARSON

132 MODULAZIONE DI FREQUENZA L'iviluppo del segale AM varia el empo co il messaggio modulae, mere l'iviluppo del segale FM è cosae. Ciò ore ua maggiore resiseza ai disurbi e alle variazioi dell aeuazioe irodoa dal mezzo rasmissivo. La bada occupaa da segali modulai AM co modulae siusoidale di requeza è, la bada occupaa dai segali FM è iiia. La compoee di requeza p del segale AM ha ampiezza cosae al variare di k a, mere l'ampiezza della compoee di requeza p del segale FM varia al variare di k come la uzioe di Bessel di ordie zero J z Il segale AM ha bade laerali che obbediscoo al pricipio di sovrapposizioe degli eei rispeo al messaggio modulae, mere le bade laerali del segale FM o rispeao ale codizioe. I circuii di demodulazioe FM soo più complessi dei circuii i uso per la demodulazioe AM.

133 TEOREMA DI SHANNON: ENUNCIATO De. U segale si dice limiao ella bada [-W,W] se o è alerao dal rasio araverso u ilro co uzioe di raserimeo pari a per [-W,W] e zero alrove. Teorema di Shao U segale limiao i bada [-W,W] ammee la seguee rappreseazioe: + W Ca π W W ovvero h W -/W /W Π /W

134 TEOREMA DI SHANNON: DIMOSTRAZIONE Sia X la uzioe periodica che ammee X come uzioe geerarice. X ammee il seguee sviluppo i serie di Fourier: { } W W X F W e X W W j π Moliplicado ambedue i membri dello sviluppo per rec W rec e W W X rec X W W j W π e airasormado W WCa W u W W π segue la esi c c T W Ca T W W Ca W π π cdd.

135 TEOREMA DI SHANNON Commeo: Il eorema aerma che u segale limiao i bada è ricosruibile a parire da u iiià umerabile di campioi, esrai co ua requeza di campioameo suicieemee grade. Commeo: La amiglia delle uzioi di campioameo W W Ca π. cosuisce ua base orogoale dei segali limiai i bada. Prova: m m W d e W e rec W e rec W W m W Ca W W Ca W W m W j W m j W W j W > < > < + /,, π π π π π

136 TEOREMA DI SHANNON: CAMPIONAMENTO Σ /Wu -/W Π /W Σ u -/W Domiio del Tempo: Tc Tc Tc Tc 3Tc

137 TEOREMA DI SHANNON: CAMPIONAMENTO Σ /Wu -/W Domiio della Frequeza: Π /W Σ u -/W X -W W X -W W

138 TEOREMA DI SHANNON: SOTTOCAMPIONAMENTO Commeo: Il eorema idica la requeza di campioameo miima cmi W Tc ma aichè u segale limiao i bada sia ricosruibile a parire dai suoi campioi. Se la requeza di campioameo uilizzaa è c <W soocampioameo, le repliche dello spero X risulao sovrappose eomeo di aliasig, e il segale origiario o è ricosruibile a parire dai suoi campioi. X -/T c /T c

139 TEOREMA DI SHANNON: SOVRACAMPIONAMENTO Se la requeza di campioameo uilizzaa è c >W sovracampioameo, le repliche dello spero X risulao disaziae i requeza. Il segale origiario è ricosruibile a parire da X mediae il rasio i ilri passabasso o ideali. Il progeo di ilri caraerizzai da uzioi di raserimeo smussae risula più semplice, e la loro realizzazioe meo cososa, rispeo a ilri co brusche rasizioi della uzioe di raserimeo. X H LP -W W

140 TEOREMA DI SHANNON: SOVRACAMPIONAMENTO Ua amiglia di ilri di uso comue ella coversioe digiale aalogico è quella dei ilri a coseo rialzao, deiia come H LP π se γ dove il paramero γ è deo roll-o del ilro. γ γ + γ + γ γ H LP -

141 TEOREMA DI SHANNON: TRANSITO IN UN FILTRO H Sia u segale limiao i bada che rasia i u ilro h. Allora: il segale di uscia h è limiao i bada i campioi di soo legai a quelli di da: W + k k W h W k W dove h W h Ca[πW], ovvero H W H per [-W,W] e zero alrove. La sommaoria prede il ome di prodoo di covoluzioe. Commeo: La relazioe ra i campioi dell igresso e dell uscia di u ilro lieare orisce u crierio per il progeo di ilri umerici, ovvero ilri che operado uicamee sui campioi della orma d oda d igresso, calcolio i campioi della orma d oda d uscia corrispodee al ilro desiderao.

142 TEOREMA DI SHANNON: TRANSITO IN UN FILTRO Prova: Per ipoesi h LP, dove H LP è pari a per [- W,W] e zero alrove. Allora il segale è limiao i bada poichè h LP h h LP h LP h h. Iolre [ ] [ ] k W W k k k k k W W k h W k W Ca h W k d W k h W Ca W k d W h W k W Ca W k d W h W k W Ca W k d W h h W π π π π c.d.d.

143 TEOREMA DI SHANNON: APPLICAZIONI Il eorema di Shao rova applicazioe i ue le aree i cui si richieda la rappreseazioe di u segale aalogico i ormao digiale e viceversa ai ii di: Trasmissioe di u segale aalogico su ree umerica Segale i bada vocale su caale eleoico isso a 64 Kb/s o su caale radiomobile a 9.6 Kb/s Ieraccia aalogica di u sisema di elaborazioe umerico Corollo di Processi Idusriali Telerilevameo Sisemi Ecograici, Soar, Radar Cacellazioe d eco, resauro digiale di segale audio o video Elaborazioe del segale vocale PDA Voice Over Daa Memorizzazioe Segale musicale per riproduzioe ad ala qualià CD Audio

144 TEOREMA DI SHANNON: APPLICAZIONI Trasmissioe di u segale i bada vocale su caale radiomobile a 3.5 Kb/s: Schema di Apparao Radiomobile Hadse: Percorso dei dai Daa Pah: Audio Ierace: riceve l igresso aalogico dal microoo, ilra via le requeze o vocali, campioa e quaizza il segale, e iolra i campioi oeui al DSP, ovvero riceve i campioi dal DSP, li covere i orme d oda aalogiche eli ilra passabasso, li iolra allo speaker.

145 TEOREMA DI SHANNON: APPLICAZIONI Trasmissioe di u segale i bada vocale su caale radiomobile a 3.5 Kb/s segue Digial Sigal Processor DSP: elaborazioe del segale vocale digializzao, proezioe dagli errori di rasmissioe, recupero delle disorsioi irodoe dal caale sui segali ricevui. Radiorequec Ierace: legge il segale i bada-base all uscia del soosisema a radio requeza ilradolo passabasso e campioadolo per la successiva elaborazioe da pare del DSP. Iolre covere la sriga dai digiale i uscia dal DSP ella orma d oda di bada base richiesa dallo sadard di rasmissioe GSM i Europa, AMPS i USA. Soosisema a Radiorequeza: rasla dalla bada base alla requeza porae dalla requeza porae alla bada base il segale aalogico ricevuo da direo verso l ieraccia RF moliplicazioe per la cosiusoide geeraa dall oscillaore locale.

146 TEOREMA DI SHANNON: APPLICAZIONI Sisema di ieraccia aalogico digiale Aalog Ierace Circui U circuio di ieraccia aalogico AIC cosise di uo o più percorsi di dai daa pahs e uo o più ieraccie di igresso uscia I/Os co appropriaa circuieria. Il percorso aalogico/digiale ilra, campioa e quaizza il segale e lo iolra alla pora di I/O seriale. Il percorso digiale/aalogico riceve i dai elaborai dalla pora seriale del DSP, li covere i orma aalogica, aeua il rumore di coversioe ad ala requeza, e presea il segale aalogico alle uscie aalogiche.

147 TEOREMA DI SHANNON: APPLICAZIONI Sisema di ieraccia aalogico digiale segue Caraerisiche eciche di sisemi di ieraccia aalogico digiale i commercio hp:\\ Device Bis/ Sample TLC3 4 TLC3 4 TLC3 44 TLC3 45 TLC3 46 TLC3 47 TLC3 AC TLC3 AC Badwidh khz Sample Rae khz S/D mi db ADC/ DAC Power Suppl Vols Power Dissip ma mw /58 ± /58 ± /58 ± /55 ± /58 ± /58 ± / /68 +5

148 TEORIA DELLA PROBABILITÀ Sudio dei eomei aleaori, ovvero eomei che preseao elemei di icerezza a priori. L aleaorieà di u eomeo è legaa alla coosceza che l osservaore ha riguardo al eomeo sesso. Esempi di eomei aleaori di ieresse elle elecomuicazioi e ell elaborazioe del segale Numero e ipo di chiamae preseae alla cerale di commuazioe, Errori irodoi dal caale di comuicazioe sul messaggio rasmesso, Aeuazioe del segale rasmesso lugo u cammio radio i caso di perurbazioe amoserica, Echi radar, soar, acusici ei sisemi di elerilevameo aivi o passivi, Asseo saelliare Errori di misura egli srumei di acquisizioe Guasi di u sisema...

149 TEORIA DELLA PROBABILITÀ Imposazioe dello sudio di eomei aleaori: Osservazioe Sperimeale: Nell osservazioe di eomei di massa come quelli ciai, all aumeare del umero delle osservazioi alcui valori medi edoo a valori cosai. Obieivo: Predire ali valori medi i ermii di Probabilià di evei Si disiguoo diversi approcci, che muovoo da dierei Deiizioi di Probabilià: Approccio Classico: Si deiisce probabilià PA di u eveo A il rapporo: A P N A N dove N A è il umero di risulai avorevoli all eveo A e N è il umero oale dei risulai possibili, a pao che essi siao equiprobabili.

150 TEORIA DELLA PROBABILITÀ Approccio Frequeisico: Si deiisce probabilià PA di u eveo A il rapporo ra il umero A di occorreze dell eveo e il umero oale degli esperimei: A P lim Approccio Assiomaico Kolmogoro, 933: descrizioe degli evei aleaori i ermii di isiemi deiizioe della loro probabilià mediae u umero risreo di assiomi La eoria assiomaica della probabilià è ricodoa alla eoria della misura secodo Lebesgue su isiemi di pui di uo spazio asrao. Il legame ra il coceo di probabilià secodo l approccio assiomaico e il coceo di probabilià ell approccio requeisico è sabilio, all iero della eoria assiomaica, da alcui Teoremi Legge dei gradi umeri. La Legge dei gradi umeri suggerisce u crierio di assegazioe di misura di probabilià a eomei isici co caraerisiche di aleaorieà. A

151 DEFINIZIONI Esperimeo Prova Deermiazioe Descrizioe delle modalià di auazioe di u eomeo aleaorio Auazioe di u esperimeo Valore che può essere assuo da ua gradezza isica o aribuo qualiaivo a seguio di ua prova Risulao N-upla ordiaa delle deermiazioi assue dalle gradezze isiche o degli aribui qualiaivi descrivei il eomeo a seguio di ua prova Serie Complea Risulai icompaibili Eveo Isieme di ui i possibili diversi risulai R. ali che il veriicarsi dell uo esclude il veriicarsi dell alro Aribuo logico di u risulao l eveo si veriica se il risulao soddisa l aribuo

152 DEFINIZIONI SEGUE Risulai avorevoli ad u eveo Isieme dei risulai per cui l eveo si veriica Evei Semplici Evei Composi Evei Compaibili Evei Icompaibili Eveo Cero Eveo Impossibile E. cui è avorevole u solo risulao E. cui soo avorevoli più risulai E. che hao i comue almeo u risulao E. che o hao i comue esu risulao E. cui soo avorevoli ui i risulai, ovvero che si veriica sempre E. cui o è avorevole alcu risulao, ovvero che o si veriica mai

153 TEORIA ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ Ad oguo dei risulai si associa co ua corrispodeza biuivoca u puo di uo spazio asrao Ω. Lo spazio Ω prede il ome di spazio base, o spazio dei risulai. Dao u eveo E ad esso corrispode l isieme E dei pui di Ω corrispodei ai risulai avorevoli all eveo E. All eveo cero, cui soo avorevoli ui i risulai possibili, corrispode l isieme Ω. Relazioe ra le operazioi elemeari sugli isiemi di Ω e le operazioi elemeari che coseoo di deiire evei a parire da alri evei: A Operazioe d Isieme Complemeazioe: { ω ω Ω, A} ω Operazioe sugli evei Eveo o-a, che si veriica quado o si veriica A A B ω A ω Uioe { ω ω Ω, A " o" ω Iersezioe B A " e" ω B} { ω ω Ω, B} Eveo A o B, che si veriica quado si veriica almeo uo dei due evei A o B. Eveo A e B, che si veriica quado si veriicao ambedue gli evei A o B.

154 TEORIA ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ Dao uo spazio base Ω cosiuio da u umero iio di pui, ed idicaa co F la classe dei sooisiemi cosiuii dai pui di Ω, si ha che essa è rappreseaiva di ui i possibili evei. La probabilià P può essere deiia come ua uzioe d isieme avee come domiio la classe F. Alla uzioe di probabilià si richiede che possa essere messa i relazioe co la requeza relaiva di u eveo, che abbia cioè codomiio i [,] che la probabilià dell eveo cero sia uguale a che risulio issae le modalià co cui si calcolao le probabilià di evei a parire dalla probabilià di evei semplici, ad esempio che la probabilià sia addiiva su evei icompaibili. Nel caso che Ω sia cosiuio da u umero iiio di pui, risulai della eoria della misura dimosrao che o è possibile deiire ua uzioe reale co le proprieà sopra espose sulla classe di ui i sooisiemi possibili di Ω. Si ricorre perciò al coceo di σ- algebra.

155 TEORIA ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ Deiizioe di σ-algebra Sia F ua classe su cui siao deiie le re operazioi di complemeazioe, uioe, e iersezioe. Sia iolre: 3 4 Ω F se A F, A F se A, B F, A B F se A, B F, A B F se A F, A F, 5 Allora F cosiuisce ua σ-algebra. Deiizioe di probabilià P:F [,] Su ua σ-algebra F, è possibile deiire ua uzioe di isieme, reale, o-egaiva, compleamee addiiva, che goda delle seguei proprieà assiomi: P P 3 P 4 P E E F E E P E + P E E Ω P E E E, E, E A F, E F, E La uzioe prede il ome di Misura di probabilià. i F E E j

156 TEORIA ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ Nella Teoria assiomaica della Probabilià, u eomeo aleaorio è descrio per mezzo dei seguei cocei: Uo spazio dei risulai Ω Ua classe di evei F cosiuei ua σ-algebra Ua misura di probabilià P che soddisi gli assiomi sopra esposi. Ad u eomeo aleaorio è associao duque uo Spazio di Probabilià rappreseao dalla era Ω, F, P. Si dirà misurabile ogi elemeo di F e ammissibile ogi eveo corrispodee. Esempio: Ua σ-algebra di grade ieresse ella descrizioe di u eomeo aleaorio co spazio dei risulai Ω R è il CAMPO di BOREL. Esso è la più piccola σ-algebra che coiee la classe degli iervalli illimiai ieriormee, ovvero è la classe di isiemi geeraa a parire dagli iervalli illimiai ieriormee mediae le operazioi di complemeazioe, uioe iia o iiia, e iersezioe iia o iiia.

157 TEOREMI FONDAMENTALI Teorema della probabilià dell eveo complemeare: Dao u eveo ammissibile co Probabilia Pr{E}, la probabilià dell eveo complemeare Pr{o-E} è pari a Pr{o-E} -Pr{E} Dim.: Poichè, l isieme E E è misurabile, lo è ache l isieme E o E. Iolre, poichè gli isiemi E e E soo disgiui e vale la E E P Ω, si ha E E P E + P E P Ω da cui segue la esi. Corollario La probabilià dell eveo impossibile è ulla. Dim. All eveo impossibile corrispode l isieme vuoo, che è il complemeo di Ω i Ω. Dall assioma 4 e dal Teorema dell eveo complemeare segue la esi.

158 TEOREMI FONDAMENTALI SEGUE Teorema delle probabilià oali: Dai due evei ammissibili A, B, o ecessariamee muuamee escludeesi, co Probabilia Pr{A}, Pr{B}, l eveo A o B è ammissibile, e la sua probabilià vale: Pr{A o B} Pr{A}+ Pr{B}- Pr{A e B} ovvero i ermii di isiemi P{A B} P{A}+ P{B}- P{A B} Dim.: L isieme A B può essere espresso come uioe di re isiemi disgiui: B A B A B A B A, per cui B A P B A P B A P B A P + + Poiché A B A B B B A B A A,, si ha B A P B A P A P + B A P A B P B P + ovvero B A P A P B A P, B A P B P A B P Sosiuedo le precedei espressioi i B A P segue la esi.

159 EVENTO CONDIZIONATO Feomeo aleaorio codizioao Dao u eomeo aleaorio descrio dallo spazio di probabilià associao Ω F, F F, P F, ed u eveo ammissibile Γ corrispodee ad u isieme C F F, si dice eomeo aleaorio codizioao all eveo Γ il eomeo aleaorio oeuo da quello di pareza scarado i casi i cui l eveo Γ o si veriica. Rispeo al eomeo aleaorio codizioao, il geerico eveo E è rappreseao dall isieme E Γ. Spazio di probabilià associao al eomeo aleaorio codizioao Si assume come spazio base del eomeo aleaorio codizioao l isieme Ω C C. Si assume come σ-algebra del eomeo aleaorio codizioao la σ-algebra oeua da F F per iersezioe co l isieme C. Si deve iie deiire la misura di probabilià del eomeo aleaorio codizioao P F Γ, o misura di probabilià codizioaa a Γ

160 PROBABILITÀ CONDIZIONATA La misura di probabilià di u eveo E codizioaa a Γ è scela proporzioale a P F E: P F Γ EPr{E C} P F Γ Ek P F E C così da soddisare gli assiomi -3. La cosae k è scela i modo da soddisare l assioma 4, co P F Γ Ω c P F Γ C: k/p F C Si procede perciò alla seguee deiizioe ormale De.: Dao u eveo ammissibile Γ co misura di probabilià Pr{Γ}>, si deiisce misura di probabilià codizioaa di u eveo E rispeo a Γ il rapporo: Pr { E Γ} Pr { E eγ} { Γ} Pr ovvero i ermii di isiemi P F Γ E P F E C C P F

161 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Secodo l approccio requeisico la probabilià dell eveo E e Γ è pari al rapporo ra il umero di vole i cui occorre l eveo N E e Γ e il umero di prove oali rispeo al eomeo aleaorio codizioao, cioè N Γ : N E e Γ / N Γ Idicado co N il umero di prove oali, la probabilià del eomeo aleaorio codizioao si può scrivere: N E e Γ / N/N Γ / N Per la legge dei gradi umeri, all aumeare del umero N di prove oali, i rappori di requeza a umeraore e a deomiaore edoo rispeivamee a PrE e Γ e a Pr Γ. La deiizioe irodoa è quidi i accordo co l evideza sperimeale.

162 INDIPENDENZA STATISTICA I geerale il sapere che si è veriicao l eveo Γ modiica la coosceza circa il coemporaeo veriicarsi dell eveo E. Iai: Pr { E Γ } Pr{ E} Se la coosceza che si sia veriicao Γ o pora alcua coosceza riguardo ad E, i due evei si dicoo saisicamee idipedei. De. U eveo E si dice saisicamee idipedee dall eveo Γ se e solo se { E Γ } Pr{ E} Pr Poichè se l eveo E è saisicamee idipedee dall eveo Γ risula Pr { E e Γ } Pr{ Γ} Pr{ E} l idipedeza saisica è ua proprieà reciproca: Pr { Γ E } Pr { E eγ} { E} Pr Pr { Γ} De. Due evei E e Γ si dicoo saisicamee idipedei se e solo se { E Γ } Pr{ E} { Γ } Pr{ Γ} Pr, ovvero Pr E ovvero, Pr { E e } Pr{ Γ} Pr{ E} Γ.

163 TEOREMA DI BAYES Si cosideri u eomeo aleaorio complesso, cui siao associai due eomei aleaori semplici iercoessi ra loro, di cui solo uo direamee osservabile. Esempio Si cosideri u sisema di rasmissioe i cui il caale iroduce u errore di rasmissioe. U primo eomeo aleaorio è cosiuio dalla S a k {,} Caale di Trasmissioe b k {,} emissioe da pare della sorgee S di ua sequeza {a k } di N simboli di u alabeo che si può supporre, seza perdia di geeralià, biario. Il secodo eomeo aleaorio è cosiuio dalla ricezioe da pare del desiaario D di ua sequeza di simboli {b k } che, a causa degli errori irodoi dal caale, o coicide ecessariamee co {a k }. Ai due eomei semplici possiamo D associare due spazi base Ω, Ω e al eomeo aleaorio complessivo lo spazio base: ΩΩ Ω spazio cogiuo. Ad es., per N, Ω {,}, Ω {,}, Ω{,,,,,,,}.

164 TEOREMA DI BAYES Esempio segue Le coosceze a priori sulla sorgee si raducoo sulla coosceza delle probabilià co cui la sorgee emee i simboli {a k }, ovvero soo oe le: p Pr{a k }, p Pr{a k }- p Le coosceze a priori sui meccaismi isici di rasmissioe si raducoo sulla coosceza delle probabilià dei simboli ricevui {b k } codizioae ai simboli emessi {a k }, ovvero soo oe le: Pr{ b k a k }, Pr{ b k a k }, Pr{ b k a k }, Pr{ b k a k },

165 TEOREMA DI BAYES Esempio segue Il Teorema di Baes rispode alla domada: se il simbolo ricevuo b k, qual è la probabilià che il simbolo emesso sia a k ovvero, se il caale è iveree, a k? ovvero, come si calcolao le probabilià a parire da quelle oe? Pr{ a k b k }, Pr{ a k b k }, Pr{ a k b k }, Pr{ a k b k }, I alre parole, dao u eomeo complesso, cui siao associai due eomei semplici, il Teorema di Baes cosee di calcolare le probabilià codizioae del primo eomeo rispeo al secodo a parire dalle probabilià codizioae del secodo eomeo rispeo al primo e alle probabilià semplici del primo.

166 TEOREMA DI BAYES Teorema di Baes Si cosideri u eomeo aleaorio co spazio base Ω, e due parizioi {E,...E,}, {C,...C m } di Ω, ovvero j.e j co.e i.e j, i j, j.c j co.c i.c j, i j, corrispodei rispeivamee alla serie complea di evei muuamee escludeesi {E,...E,}, e alla serie complea di evei muuamee escludeesi {Γ,... Γ m }. Noe le probabilià PΓ i, i,..m, e le probabilià codizioae PE i Γ j, i,., j,..m, la probabilià codizioaa dell eveo Γ h h,..m rispeo all eveo E i, è daa da Pr Γ E h i Pr m j E Γ Pr Γ Pr i E Γ Pr Γ i h j h j

167 TEOREMA DI BAYES Teorema di Baes segue Dim. Dalla deiizioe di probabilià codizioaa applicaa prima all eveo Γ h e poi all eveo E i si ha Pr Γ E h i Pr Ei e Γh Pr E i Pr Ei Γh Pr Γh Pr E i Iolre, poichè è possibile esprimere l isieme E i i uzioe degli parizioe rappreseaa dagli isiemi disgiui C j come: Essedo gli isiemi P E i i E C m j E P E C m j m i j P Pr m j E C i j j disgiui, per il erzo assioma si ha E Γ i C j P Ei C j Pr Ei e j j E Γ Pr Γ i j i j m j m j Sosiuedo il risulao ella prima equazioe segue la esi.

168 TEOREMA DI BAYES Poichè ella dimosrazioe del eorema ricorre la sola parizioe {C,...C m }, il Teorema di Baes ammee la seguee ormulazioe aleraiva Teorema di Baes Dao u eomeo aleaorio co spazio base Ω, si cosideri ua parizioe {C,...C m } di Ω, ovvero j.c j co.c i.c j, i j, corrispodee rispeivamee alla serie complea di evei muuamee escludeesi Γ i. ed u eveo ammissibile E. Noe le probabilià PΓ i, i,..m, e le probabilià codizioae PE Γ i, i,..m, la probabilià codizioaa dell eveo Γ h h,..m rispeo all eveo E, è daa da Pr Γ E h Pr m j E Γ Pr Γ Pr h E Γ Pr Γ j h j

169 VARIABILI ALEATORIE Obieivo: Esprimere le Probabilià di Evei o solo ramie uzioi di isieme ma ache ramie uzioi di puo. Ua variabile aleaoria X è ua rasormazioe dallo spazio Ω ello spazio euclideo -dimesioale R X : Ω R che soddisa alcue paricolari codizioi, soo cui è possibile idividuare ua uzioe di puo D X : R [,] che cosea di calcolare la probabilià di ogi eveo ammissibile del eomeo aleaorio di pareza. I paricolare, le codizioi impose alla X soo ali che sia possibile associare ad ogi puo di R u isieme di Ω che rappresei u eveo ammissibile.

170 VARIABILI ALEATORIE Esempio: Sia dao u eomeo aleaorio rappreseao da uo spazio di probabilià Ω, F, P, dove Lo spazio dei risulai Ω coicide co lo spazio euclideo uidimesioale R La σ-algebra F è il Campo di Borel F B geerao a parire dagli iervalli illimiai ieriormee del ipo Ora si osservi che < X ξ La misura di probabilià di iervalli di ale ipo è uzioe del solo esremo superiore, e può essere idicaa co D X ξ: X ξ P < X ξ Poiché ogi elemeo E di F B è oeibile come complemeazioe, iersezioe, uioe iia o iiioumerabile di iervalli di ale ipo, la misura di probabilià di E è oeibile a parire da D X ξ mediae l iegrale di Lebesgue Sieljes P E dd X ξ E

171 VARIABILI ALEATORIE Esempio: Il caso precedee può essere geeralizzao immediaamee al caso di spazio dei risulai Ω coicidee co lo spazio euclideo - dimesioale R. La σ-algebra F è il Campo di Borel F B geerao a parire dagli iervalli illimiai ieriormee del ipo < X ξ, i, i La misura di probabilià di iervalli di ale ipo è uzioe del solo esremo superiore ξ: i D X ξ, ξ, ξ D P < X ξ, i, i i Per ogi elemeo E di F B la misura di probabilià di E è oeibile a parire da D X ξ mediae l iegrale di Lebesgue Sieljes P E dd X ξ, ξ E

172 VARIABILI ALEATORIE Uo spazio di probabilià R, F B, D X, ale cioè che lo spazio dei risulai Ω sia lo spazio euclideo -dimesioale R e la σ-algebra F sia il Campo di Borel F B, cosee di rappreseare la Probabilià di u Eveo mediae ua uzioe di puo D X. Si è perciò ieressai a deiire variabile aleaoria Xω ua rasormazioe ale che ad uo spazio di probabilià Ω, F, P associ lo spazio di probabilià R, F B, D X. Si richiede duque che comuque si preda u isieme E appareee a F B l isieme A cosiuio dai pui ω Ω che si rasormao i pui di E immagie iversa di E rappresei u eveo ammissibile, ovvero apparega a F. Poiché ogi isieme di F B è oeibile a parire dagli iervalli illimiai ieriormee, è suiciee richiedere che l immagie iversa di ogi iervallo illimiao ieriormee sia u eveo ammissibile.

173 VARIABILI ALEATORIE De. Dao uo spazio di probabilià Ω, F, P, si deiisce variabile aleaoria Xω ua qualsiasi uzioe X: X : Ω R ale che per ogi puo ξ di R l isieme A corrispodee i Ω: A { ω Ω, ω < X ω, i, } ξ i apparega ad F, ovvero rappresei u eveo ammissibile. I alre parole la uzioe sia F-misurabile. i Commeo: Se il umero di pui dello spazio base Ω è iio o iiio umerabile, e la rasormazioe da Ω i R è biuivoca, l isieme S dei pui i Xω i è acora iio o iiio umerabile e risula: P X ω i S ω i. De: Ua v.a. Xω si dice discrea se esise u isieme S{ i } iio o iiio umerabile ale che P X ω i S ω i.

174 FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE La uzioe di disribuzioe D X è ua uzioe di puo che può essere ierpreaa come la probabilià che le compoei X i, i,.. della variabile aleaoria X siao miori o uguali di i, i,..:,.. Pr{ X, i } DX i i,.. La uzioe di disribuzioe D X è No-egaiva No decrescee D X D i Coiua da desra D D,.. X + D,. D,.,.,. i i X >, i,..,. + D,. D,.,. lim DX i i X D i D >, i,.. i Tede a al edere a - di almeo ua delle compoei,. + D,. i,.. lim D X i i D i Tede a al edere a + di ue le compoei.., lim,. i,.. + X + +,. + i i i i

175 FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE La probabilià di u eveo ammissibile E, cui corrispode u isieme E di R, può essere calcolaa come l iegrale di Lebesgue- Sieljes E dd X, Pr E Si è ieressai a sabilire le codizioi soo cui il precedee iegrale può essere sosiuio da u iegrale di Lebesgue. De. Daa ua misura di probabilià P deiia sul Campo di Borel F B, essa è dea sigolare rispeo alla misura di Lebesgue se esise u isieme S R ale che la sua misura di Lebesgue sia ulla e risuli P S De. Daa ua misura di probabilià P deiia sul Campo di Borel F B, essa è dea assoluamee coiua rispeo alla misura di Lebesgue se per ogi isieme S R Lebesgue sia ulla risuli P S ale che la sua misura di

176 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ E possibile dimosrare che se la misura di probabilià P è assoluamee coiua rispeo alla misura di Lebesgue, allora esise ed è uica ua uzioe o egaiva p, che P E Pr E E E dd p X X,, d d X ale dove il secodo iegrale è u iegrale di Lebesgue. d La uzioe p, desià di probabilià. X prede il ome di uzioe di

177 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Commeo: Si osservi che, dao u iervallo T { X R < X +, i, } esise Teorema della media u puo iero P i T p, T p X X i i d i ' T ale che d d ', ' Al edere a zero della misura di Lesbegue dell iervallo risula { i< X i i+ di, i,.. } p X d d Pr La uzioe p, probabilià. X rappresea quidi ua desià di Si osservi uovamee che la misura di probabilià associaa al sigolo puo di R è ulla ciò che garaisce l assolua coiuià della misura di probabilià rispeo alla misura di Lebesgue.,

178 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Per la uzioe di desià di probabilià valgoo le seguei relazioi: D X, p X, d d ovvero p X, D, X laddove la derivaa a secodo membro esisa. Iolre, essedo la D, X o egaiva risula: p e, poichè la D, compoei, si ha acora, X X ede a al edere a + di ue le + + p X ξ ξ dξ dξ,

179 FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ Se la misura di probabilià P è sigolare rispeo alla misura di Lebesgue, ovvero esisoo isiemi dell asse reale di misura di Lebesgue ulla cui compee misura di probabilià o ulla, allora, ricorredo all impulso maemaico, si può acora deiire ua uzioe p, D X X ale che valga la relazioe iegrale, p X, d d I geerale vale la seguee Decomposizioe di Lebesgue: Ua misura di probabilià P può essere decomposa ella orma P E α P E + α P E E FB dove P E è ua misura di probabilià assoluamee coiua e P E è ua misura di probabilià sigolare α.

180 VARIABILI ALEATORIE MARGINALI R Si cosideri u eomeo aleaorio F, cui sia associaa la v.a. bidimesioale XX, X, caraerizzaa da uzioe di disribuzioe D X X, probabilià p uzioe di probabilià, ovvero da uzioe di desià di X X, caso di v.a. coiua, ovvero da ua p ik caso di v.a. discrea. Si cosideri quidi il eomeo aleaorio oeuo cosiderado come risulao o la coppia di deermiazioi X, X, ma la sola deermiazioe X. La uzioe X :Ω R è ua variabile aleaoria, che prede il ome di variabile aleaoria margiale, caraerizzaa dalla uzioe di disribuzioe margiale D X D, XX e dalla uzioe di desià di probabilià margiale p X + ξ dξ ξ px ξ, X ovvero dalla uzioe di probabilià i p p k ik

181 VARIABILI ALEATORIE MARGINALI R Dim.: La variabile aleaoria margiale X :Ω R è caraerizzaa dalla uzioe di disribuzioe D X Pr D Pr{ X } { X, X + }, La uzioe di desià di probabilià della v.a. margiale è D e dal coroo co la X X px X d + DX X X XX, segue la esi. D, + p d d

182 VARIABILI ALEATORIE MARGINALI R Si cosideri u eomeo aleaorio F, cui sia associaa la v.a. - dimesioale XX,... X, caraerizzaa da uzioe di disribuzioe DX X,, ovvero da uzioe di desià di probabilià p X X, caso di v.a. coiua, ovvero da ua uzioe di probabilià pi i caso di v.a. discrea. Si cosideri quidi il eomeo aleaorio oeuo cosiderado come risulao le deermiazioi relaive al soospazio di dimesioe m X,... X m, co m<. L isieme di uzioi X m X,... X m da Ω i R m, è ua variabile aleaoria m-dimesioale, che prede il ome di variabile aleaoria margiale, caraerizzaa dalla uzioe di disribuzioe margiale DX, m DX,,,,, X m m m e dalla uzioe di desià di probabilià margiale px m, m + + p X,, d X m m+ m+ d ovvero dalla uzioe di probabilià p i i pi i j j m j m+ j m m+

183 VARIABILI ALEATORIE CONDIZIONATE AD UN EVENTO R Si cosideri u eomeo aleaorio rappreseao dallo spazio di probabilià Ω, F, P, cui sia associaa la v.a. uidimesioale X, caraerizzaa da uzioe di disribuzioe D X, ovvero da uzioe di desià di probabilià p X caso di v.a. coiua. Si cosideri u eveo Γ C, ed il eomeo aleaorio codizioao all eveo Γ, rappreseao dallo spazio Ω Γ, F Γ, P Γ. La uzioe X C : Ω Γ R è ua variabile aleaoria, che prede il ome di variabile aleaoria codizioaa a C, caraerizzaa dalla uzioe di desià di probabilià codizioaa a C Si ha iai Pr { E Γ} p p X p d C X X C Pr { E " e" Γ} Pr{ Γ} E C C p p X X C alrove γ ξ dγ dξ

184 VARIABILI ALEATORIE CONDIZIONATE AD UN EVENTO R Si cosideri u eomeo aleaorio rappreseao dallo spazio di probabilià Ω, F, P, cui sia associaa la v.a. bidimesioale XX, X, caraerizzaa da uzioe di disribuzioe D X X,, ovvero da uzioe di desià di probabilià p, X X caso di v.a. coiua. Si cosideri u eveo Γ C, ed il eomeo aleaorio codizioao all eveo Γ, rappreseao dallo spazio Ω Γ, F Γ, P Γ. La uzioe X C : Ω Γ R è ua variabile aleaoria p bidimesioale, che prede il ome di variabile aleaoria codizioaa a C, caraerizzaa dalla. di desià di probabilià codizioaa a C X C Iai:, p X, p d d C X,, alrove C

185 Pr { E Γ} Pr { E " e" Γ} Pr{ Γ} γ, γ p X dγdγ E C p C X ξ, ξ dξdξ VARIABILI ALEATORIE CONDIZIONATE AD UN EVENTO R Si cosideri u eomeo aleaorio rappreseao dallo spazio di probabilià Ω, F, P, cui sia associaa la v.a. -dimesioale XX,... X, caraerizzaa da uzioe di disribuzioe D X X, probabilià p X, ovvero da uzioe di desià di X, caso di v.a. coiua. Si cosideri u eveo Γ C, ed il eomeo aleaorio codizioao all eveo Γ, rappreseao dallo spazio Ω Γ, F Γ, P Γ. La uzioe X C : Ω Γ R è ua variabile aleaoria - dimesioale, che prede il ome di variabile aleaoria codizioaa a C, caraerizzaa dalla. di desià di probabilià codizioaa a C

186 p X C C p, p, X X, d d,, alrove C VARIABILI ALEATORIE MARGINALI CONDIZIONATE R Si cosideri u eomeo aleaorio rappreseao dallo spazio di probabilià Ω, F, P, cui sia associaa la v.a. bidimesioale XX, X, caraerizzaa da uzioe di disribuzioe D, X X, ovvero da uzioe di desià di probabilià p, X X caso di v.a. coiua. Si cosideri il eomeo aleaorio margiale codizioao a X, oeuo Scarado i risulai per i quali X Cosiderado come risulao la sola deermiazioe X La uzioe X : Ω R è ua variabile aleaoria uidimesioale, che prede il ome di variabile aleaoria

187 margiale codizioaa a X, caraerizzaa dalla uzioe di desià di probabilià codizioaa a X p X X p X p X X, daa dalla desià di probabilià cogiua p, X X rao la desià di probabilià margiale codizioae p X.

188 VARIABILI ALEATORIE MARGINALI CONDIZIONATE R Dao u eomeo aleaorio rappreseao dallo spazio di probabilià Ω, F, P, cui sia associaa la v.a. -dimesioale XX,... X, caraerizzaa da D p X X, X X,, ovvero da caso di v.a. coiua, si cosideri il eomeo aleaorio margiale codizioao a X m+..x m+.., oeuo Scarado i risulai per i quali X m+..x m+.. Cosiderado come risulao le sole deermiazioi X..X m.. m La uzioe X..X m m+.. : Ω m+.. R m è ua variabile aleaoria m-dimesioale, che prede il ome di variabile aleaoria margiale codizioaa a X m+..x m+.., caraerizzaa dalla uzioe di desià di probabilià codizioaa a X m+..x m+.. p X p, X X m+ m p X X, X X m m m,, +, +,, m+ daa dalla desià di probabilià cogiua rao la desià di probabilià margiale codizioae.

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190 VARIABILI ALEATORIE STATISTICAMENTE INDIPENDENTI De.:Daa ua v.a. bidimesioale XX, X, le variabili aleaorie margiali ad essa associae X, X, si dicoo saisicamee idipedei se qualuque eveo margiale E deiio per X è saisicamee idipedee qualuque eveo margiale E deiio per X. C.N.E.S. aiché le variabili aleaorie X, X, siao saisicamee idipedei è che sia veriicaa la: p X X, p p X X cioè la desià di probabilià cogiua aorizzi el prodoo delle desià di probabilià margiali, ovvero che ovvero che D X X p p, D D X ovvero p X X X X p X X X

191 VARIABILI ALEATORIE STATISTICAMENTE INDIPENDENTI De.:Daa ua v.a. -dimesioale XX,.. X, le variabili aleaorie margiali uidimesioali ad essa associae X... X, si dicoo saisicamee idipedei se qualuque eveo margiale E k deiio per la geerica variabile aleaoria margiale X k è saisicamee idipedee da qualuque eveo margiale E c deiio per la variabile aleaoria complemeare a X k. C.N.E.S. aiché le variabili aleaorie X... X, siao saisicamee idipedei è che sia veriicaa la: p X, p p p X X cioè la desià di probabilià cogiua aorizzi el prodoo delle desià di probabilià margiali, ovvero la uzioe di disribuzioe cogiua aorizzi el prodoo delle disribuzioi margiali. D X, D D D X X X X

192 VALORI ATTESI CONDIZIONATI Sia X ua variabile aleaoria -dimesioale, e Y ua variabile aleaoria q-dimesioale. Sia iolre :R R m ua geerica uzioe m-dimesioale della variabile aleaoria -dimesioale X. Si deiisce valore aeso di codizioao a Y il valore aeso di rispeo alla variabile aleaoria X Y: { } q X Y q d d p E,,,,, Tale valore aeso è i geerale uzioe della deermiazioe q, della variabile aleaoria Y. Aalogamee si deiiscoo i momei misi codizioai di X rispeo a Y { } q X Y k k k q k k k d d p E,,, Daa ua v.a. bidimesioale XX, X, il valore medio della v.a. margiale X codizioao alla v.a. X { } + d p E X X ϕ prede il ome di curva di regressioe di X rispeo a X

193 FUNZIONI MISURABILI DI V. A.: CAMBIAMENTO DI VARIABILE Sia X ua variabile aleaoria uidimesioale, e sia :R R ua uzioe uidimesioale della variabile aleaoria X: ale che allora l immagie iversa di ogi iervallo illimiao ieriormee è misurabile secodo la misura di probabilià D X la misura di probabilià dell immagie iversa di u iervallo illimiao ieriormee -, ] ede a al edere di a - la misura di probabilià dell immagie iversa di u iervallo illimiao ieriormee -, ] ede a al edere di a + YX cosiuisce ua variabile aleaoria uidimesioale deiia sullo sesso spazio base della variabile X

194 FUNZIONI MISURABILI DI V. A.: CAMBIAMENTO DI VARIABILE Sia Allora la è iveribile, co g moooa crescee o decrescee, co ' i u isieme di pui iio o iiio umerabile. p, e risula: D D g dg p g d ' per > p p D D g dg d p g per < dg p g d ' ovvero

195 FUNZIONI MISURABILI DI V. A.: CAMBIAMENTO DI VARIABILE Sia co Allora la è localmee iveribile, co g ' i u isieme di pui iio. k, e risula: D + D g + D g3 D g g D g + D g D ovvero 5 p 4 p g k k dg k d 6

196 FUNZIONI MISURABILI DI V. A.: CAMBIAMENTO DI VARIABILE Sia X ua variabile aleaoria -dimesioale coiua, e sia :R R m ua uzioe m-dimesioale misurabile della variabile aleaoria -dimesioale X. ale che allora m m,,, l immagie iversa di ogi iervallo illimiao ieriormee è misurabile secodo la misura di probabilià D X la misura di probabilià dell immagie iversa di u iervallo illimiao ieriormee ede a al edere di almeo uo degli esremi a - la misura di probabilià dell immagie iversa di u iervallo illimiao ieriormee ede a al edere di ui gli esremi a + YX cosiuisce ua variabile aleaoria m-dimesioale deiia sullo sesso spazio base della variabile X

197 FUNZIONI MISURABILI DI V. A.: CAMBIAMENTO DI VARIABILE Sia m, e sia iveribile, ovvero: m m g g g,,, Allora sussise la relazioe X Y J g g p p,,, dove g g g g J de, è il deermiae dello Jacobiao della rasormazioe iversa g. Se m<, è possibile aggiugere alla rasormazioe -m uzioi i modo da redere la risulae iveribile. Se m>, la misura di probabilià è coceraa i u sooisieme di R di misura di Lebesgue ulla.

198 FUNZIONE CARATTERISTICA De. Daa ua variabile aleaoria uidimesioale X, si deiisce uzioe caraerisica della v.a. X il valore aeso P X + j p E { e } p j p X X e d ovvero la uzioe caraerisica è la Trasormaa di Fourier della uzioe desià di probabilià, che è assoluamee sommabile. Proprieà: I momei di ordie della v.a. X soo legai alla uzioe caraerisica dalla: ξ d PX m X jπ dξ ξ Iai per la propriea' della derivazioe della rasormaa di Fourier F jπ d dξ { ξ π ξ } P ξ X ed iolre poiche' il valore i zero i u domiio corrispode all'iegrale el domiio rasormao, si ha jp d + PX p X d X d.

199 GAUSSIANA N-DIMENSIONALE De.- Ua variabile aleaoria X N-dimesioale si dice a disribuzioe Gaussiaa, o ormale, e si idica co m K ~ N, se la sua uzioe di desià di probabilià cogiua e' del ipo: p X N p de[ K ] e T m K m i cui K e' ua marice NN deiia posiiva. La codizioe che K X sia deiia posiiva, assicura l'esiseza della sua iversa K X e la covergeza dell'iegrale della.d.p.. Il veore m e la marice K rappreseao rispeivamee il valore aeso e la marice di covariaza della variabile aleaoria.

200 GAUSSIANA N-DIMENSIONALE Sia X ua v.a. a disribuzioe ormale, co N, Allora m rappresea il valore aeso e covariaza della variabile X. ~. m K K la marice di Dim. Per ua variabile aleaoria ceraa e ormalizzaa Y Y ~ N,I la uzioe desia' di probabilia' p Y è: p Y p Poiché le v.a. margiali T e N N i e π i soo muuamee saisicamee i idipedei co.d.p. gaussiaa a valor aeso ullo e variaza uiaria, il valor aeso di m e' ullo { } E e la sua marice di covariaza e' pari alla marice di ideia' I : K { m m T } I EY

201 GAUSSIANA N-DIMENSIONALE Valore aeso e marice di covariaza, segue Daa ua v.a. X: X N, ~ m K, essedo K e quidi K deiia posiiva, essa e' legaa alla variabile aleaoria ~,I N Y ramie la rasormazioe lieare: Y B m dove B è deermiaa dalla decomposizioe di Cholesk della K : K B T B Per le proprieà della rasormazioe lieare si ha iai: K B K B T B T K B B T T B B B BB I B T B T

202 PROPRIETÀ La rasormazioe lieare iversa è B + m Ricordado le proprieà delle rasormazioi lieari, si ha: E { } E { B - } + m m E Y { T } { T } T m m B E B Y, B - I - T - - T B B B B T B K K c.v.d.

203 PROPRIETÀ Ua rasormazioe lieare iveribile A di ua v.a. gaussiaa e' acora gaussiaa co T A AK K A m m Dim. Per la regola del cambiameo di variabile, poiché il deermiae jacobiao e' proprio pari a [ ] de A, si ha: [ ] [ ] [ ] Am A K A Am N m A K m A N e A K e A K A A p p T T T ] de[ de ] de[ de de p p

204 PROPRIETÀ Trasormazioe lieare iveribile, segue Si poga m Am, K AK A T. Risula: K T AK A A T K A de [ K ] de[ K ] de[ A] da cui p N p de[ K ] e T m K m c.v.d.

205 DECOMPOSIZIONE DI CHOLESKY Teorema: Daa ua marice A deiia o egaiva, esise ed e' uica ua marice B riagolare i basso co elemei posiivi o ulli sulla diagoale pricipale ale che: A B Commeo: quesa rasormazioe ha la proprieà di rasormare ua variabile aleaoria gaussiaa Xco valore aeso di covariaza T B m e marice K i ua variabile aleaoria gaussiaa co compoei cerae, ormalizzae ed icorrelae. Per ale moivo l'operaore B e' oo i leeraura co il ermie di ilro o marice sbiacae.

206 PROPRIETÀ Teorema: Variabili aleaorie cogiuamee gaussiae icorrelae risulao ache saisicamee idipedei. Dimosrazioe: Se le v. a. margiali soo icorrelae la marice di covariaza diagoale: K, cosegueemee ache la sua iversa K, è K σ σ N, K / σ / σ N La.d.p. cogiua si riduce a c.v.d. p X N i p σ i e m i σ i i

207 IPERELLISSOIDE DI CONCENTRAZIONE Il luogo dei pui dello spazio per cui la desia' di probabilia' risula cosae p X N p de[ K ] e T m K m e' cosiuio dai pui per i quali risula cosae l'espoee della p.d.. : T m K m c > Nello spazio R il luogo dei pui per cui la desia' di probabilia' è cosae è u Iperellissoide. Esso prede il ome di Iperellissoide di cocerazioe.

208 IPERELLISSOIDE DI CONCENTRAZIONE

209 IPERELLISSOIDE DI CONCENTRAZIONE Commeo: ale equazioe rappresea u iperellissoide co cero el puo m i cui semiassi pricipali soo proporzioali alla radice quadraa degli auovalori della marice K che coicidoo co gli iversi degli auovalori della marice di covariaza K. La marice di covariaza deermia la gradezza e l'orieameo di ali iperellissoidi che soo oi come "iperellissoidi di cocerazioe". Se le variabili aleaorie margiali soo icorrelae, K e' diagoale e quidi gli assi pricipali degli iperellissoidi soo paralleli agli assi coordiai ed i semiassi soo proporzioali ai valori σ i K ij

210 GAUSSIANA BIDIMENSIONALE Sia Y X Z, ua variabile aleaoria bidimesioale a disribuzioe Gaussiaa, o ormale. La sua uzioe di desià di probabilià è [ ] z z z m z K m z z Z e K z p T de p co z m m m K z σ σ σ ρ σ σ ρ σ dove { } { } { } { } { } m m E m E E m m E E m σ σ ρ σ σ,,

211 GAUSSIANA BIDIMENSIONALE La uzioe di desià di probabilià può scriversi più espliciamee + ep, XY m m m m p σ σ σ ρ σ ρ ρ σ pσ La uzioe caraerisica è { } { } ep ep, η σ η σ σ ρ σ p η p η XY m m j P + + +

212 ELLISSI DI CONCENTRAZIONE Equazioe dell ellisse di cocerazioe: m m m m σ ρ + σ σ σ c' Proprieà Cero el puo m, m Assi pricipali rispeivamee ruoai di α e g ρ { α } σ σ σ σ π α +, co Lughezze dei semiassi proporzioali alla radice quadraa degli auovalori della marice K Variabili aleaorie margiali di uguale variaza σ σ σ : m ρ m m + m c'

213 PROPRIETÀ ASINTOTICHE DI SEQUENZE DI VARIABILI ALEATORIE Sia X, X,..., X ua sequeza di variabili aleaorie -dimesioali deiie su uo spazio base Ω. Per ua deermiaa sequeza di risulai ω, ω,...,ω Ω, ovvero per u issao risulao ζ Ω, la sequeza X ζ, X ζ,, X ζ può eveualmee covergere ad ua cosae c secodo uo dei crieri seguei. Covergeza ovuque il limie è veriicao per ue le sequeze X : lim X ζ c ζ Ω Covergeza quasi ovuque o co probabilià il limie è veriicao per ue le sequeze X a meo di u isieme di Pr. ulla: X ζ c lim co Pr. { } c ovvero ζ Ω lim ζ Pr X Covergeza i probabilià il limie opera sulla probabilià, ulla può dirsi sul comporameo asioico della sigola sequeza X : per ogi >, co su. grade, solo ua piccola perceuale delle sequeze X si discosa da c per più di γ: lim Pr{ c < γ } X ζ

214 PROPRIETÀ ASINTOTICHE DI SEQUENZE DI VARIABILI ALEATORIE Sia X,X,..X ua sequeza di variabili aleaorie -dimesioali deiie su uo spazio base Ω. Per ua deermiaa sequeza di risulai ω, ω,.. ω Ω, ovvero per u issao risulao ζ Ω, la sequeza X ζ,x ζ,..x ζ può o meo covergere ad ua variabile aleaoria X. I paricolare si deiisce Covergeza i disribuzioe: lim D X D X

215 TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE La somma di variabili aleaorie idipedei, ideicamee disribuie di valore medio m, e variaza σ è asioicamee ormale, ovvero la variabile aleaoria: i m i σ /σ coverge i disribuzioe ad ua variabile aleaoria gaussiaa di valor medio ullo e variaza σ. Commeo: Il eorema del limie cerale CLT è di grade imporaza applicaiva, perché suggerisce ua descrizioe, acorché asioica, di variabili aleaorie risulai dalla sovrapposizioe di u elevao umero di coribui elemeari saisicamee idipedei.

216 TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE SEGUE Dim. Per la somma di variabili aleaorie idipedei cerae e ormalizzae vale la relazioe seguee { } [ ] ξ + ξ ξ + + ξ ξ X X X X Y Y o P P P P P p lim lim F F F dove k X k k X m j P π, co X m, m X / / / σ σ σ σ. Risula quidi lim e e o p Y σ ξ ξ σ p pσ ξ + ξ σ p F F

217 PROPRIETÀ ASINTOTICHE DI SEQUENZE DI VARIABILI ALEATORIE L approccio assiomaico della eoria della probabilià poe il problema della misura sperimeale della probabilià di u eveo aleaorio. I paricolare, la probabilià di u eveo calcolaa i base alla eoria assiomaica deve rovare riscoro ella probabilià di u eveo deiia ell approccio requeisico. Legge debole dei gradi umeri Teorema di Beroulli Sia dao u eomeo aleaorio F ed u eveo ammissibile E, di misura di probabilià P E. La requeza di ricorreza E / di E i prove idipedei coverge i probabilià a P E Legge ore dei gradi umeri Teorema di Borel Sia dao u eomeo aleaorio F ed u eveo ammissibile E, di misura di probabilià P E. La requeza di ricorreza E E / di E i prove idipedei coverge co probabilià a P E

218 LEGGE DEBOLE DEI GRANDI NUMERI Dim. Sia dao u eomeo aleaorio F ed u eveo ammissibile E, di misura di probabilià P E. Si cosideri la variabile aleaoria biaria X i la cui deermiazioe vale se ella i-esima prova l'eveo si veriica e alrimei. La requeza di ricorreza E E / di E i prove idipedei è esprimibile come E i i b essedo B ua v.a. di Beroulli co parameri e P E. Perao Iolre p k [ ] P P k u F E E E E k k m E m / P / F B E E F E σ B / P P σ quidi [ PE P PE ]/ lim σ E Iolre, la probabilià che per >, E si discosi da P E per più di u quaià assegaa può essere resa arbirariamee piccola prededo opporuo. F E E E / k

219 PROCESSI STAZIONARI De. U processo aleaorio si dice sazioario i seso sreo se le sue proprieà saisiche soo ivariai rispeo a ua raslazioe emporale. Fissai iervalli di empo,...,, la.d.p. cogiua,,.., ;, + + p,,.., +,.., relaiva alle v.a. esrae egli isai di empo i i o + i dipede da, ma solo dalla allocazioe relaiva degli isai di empo,,..,, compleamee idividuaa dai co i>. i I aleraiva agli iervalli cosiderare gli iervalli. i e' usuale ella leeraura i i + i

220 PROCESSI STAZIONARI - PROPRIETÀ La gerarchia del primo ordie o dipede dall'isae di empo cosiderao: p p ; T; m Le medie d'isieme di ordie k soo idipedei da empo. I paricolare si ha: m m m m La gerarchia del secodo ordie dipede solo dalla diereza ra gli isai di empo cosiderai: ; τ, τ p, ;τ p, T;, m Le medie d'isieme del secodo ordie o dipedoo che dalla diereza ra gli isai di empo cosiderai. I paricolare si ha: m k τ ; τ d d, p, τ m m p, ; τ d d

221 PROCESSI STAZIONARI - PROCESSO ARMONICO Per illusrare i cocei precedei cosideriamo il processo armoico: acos π + ϕ dove a e' ua cosae oa, e ϕ ua deermiazioe di ua variabile aleaoria. Teorema. Il processo armoico { cos π + ϕ } a risula sazioario i seso sreo se e solo se la v.a. φ e' uiormemee disribuia ell' iervallo [,π. Dim. Allo scopo di idividuare per quale ipo di disribuzioi di φ ale processo risuli sazioario deriviamo la gerarchia di ordie del processo.

222 PROCESSI STAZIONARI La.d.p. p puo' essere calcolaa a parire da quella di ; φ osservado che, issao, ad ua deermiazioe di X corrispodoo due valori di φ dai da π ± ar cos mod. π a Applicado la regola per le uzioi di v.a. e osservado che per ambedue le uzioi iverse si ha : dϕ d a [ a a], segue che: ; πφ πφ + ar cos a πφ ar cos a, a modπ π a + π [ ] φ a mod.π +

223 PROCESSI STAZIONARI Dalla precedee relazioe si ha immediaamee che aiche' p o dipeda da la p φ ϕ deve risulare cosae su ; uo l'iervallo [,π ovvero la v.a. φ deve risulare a disribuzioe uiorme su ale iervallo, oeedo p p a < a a o a > a codizioe ecessaria

224 PROCESSI STAZIONARI Per dimosrare la suicieza occorre cosiderare le gerarchie di ordie, co qualsiasi. Si osservi che Per a cos π + ϕ [ τ + ϕ + π ] a cos τ π τ a si π τ cos π e quidi la.d.p. codizioaa p / ; e di cosegueza la.d.p. cogiua p dipede solo da τ.,, ;, p / ; p dipede solo da τ Per > iolre le v.a. biuivoco a e,..,, soo legae i modo 3 4 τ, τ,.., τ. ua vola issai

225 PROCESSI STAZIONARI I eei essedo il processo deermiisico, si puo' procedere i aleraiva come segue. Cosiderado ua raslazioe arbiraria si ha: + a cos π + π + ϕ a cos π + ϕ ' co ϕ ' ϕ + π mod π perao il processo puo' essere pesao come dipedee dalla uova v.a. φ '. Aiche' le sue propriea' saisiche risulio ialerae rispeo ad ua raslazioe arbiraria, le due variabili aleaorie φ e φ ' devoo avere la sessa.d.p., ma poiche' si ha: π [ ] π ϕ ' π φ ' φ φ mod. π ' ed iolre l'eguagliaza deve valere per ogi, e cosegue che ali codizioi soo veriicae se e solo se p φ ϕ risula essere cosae i [,π.

226 PROCESSI STAZIONARI Poiche' la propriea' di sazioariea' i seso sreo risula molo resriiva oche' diicile da veriicare,e' uile irodurrre ua secoda orma di sazioariea' piu' debole della precedee. De. U processo aleaorio X ;ω si dice sazioario i seso lao se: a m < + b il valore aeso e' idipedee dal empo m m cos. c la uzioe di covariaza dipede solo dall'iervallo : τ τ k τ τ k τ k, Ovviamee u processo aleaorio sazioario i seso sreo lo e' ache i seso lao mere i geerale o e' vero il viceversa.

227 PROCESSI ERGODICI Obieivo: derivare su base sperimeale le proprieà saisiche di u processo aleaorio, deiio come amiglia di variabili aleaorie idicizzae da u paramero. I geerale, occorre are ricorso ad u umero suicieemee elevao di realizzazioi oeue da sorgei di cosiuzioe e codizioi di uzioameo ideiche. Esisoo classi di processi, dei ergodici, per cui ali iormazioi possao essere dedoe a parire da ua sigola realizzazioe del processo, perché le medie emporali e le medie d'isieme coicidoo. I alre parole, i processi ergodici preseoo regolarià di comporameo aaloghe a quelle descrie dalla legge ore dei gradi umeri.

228 PROCESSI ERGODICI Dao u eomeo aleaorio ed u eveo ammissibile E co probabilià Pr { E}, la legge ore dei gradi umeri assicura che, i N prove oali, saisicamee idipedei, l eveo E occorre N E vole, co requeza di ricorreza crescere di N, alla probabilià dell'eveo Pr { E} isieme di esperimei di misura ulla. N E N che ede, al, a meo di u Dao u processo aleaorio, le variabili aleaorie esrae ei sigoli isai di empo o soo, i geerale, saisicamee idipedei. Soo quali codizioi vale la legge ore dei gradi umeri, ovvero l occorreza di u eveo el corso di u iera realizzazioe è rappreseaiva della probabilià dell eveo sesso? I eei, come mosrao i [Doob, 954, pagg. 465 e seg.] aiché la legge dei gradi umeri possa essere applicaa occorre che preso l'isieme di ue le realizzazioi del processo, o appea si oglie da ale isieme u sooisieme di realizzazioi di misura di probabilià o ulla e ovviamee diversa da il processo che così oeuo o sia sazioario.

229 PROCESSI ERGODICI De: U processo si dice ergodico se la media emporale di ordie di ua uzioe di ua realizzazioe è uguale per ue le realizzazioi a meo di u sooisieme di probabilià ulla e coicide co la media d'isieme della sessa uzioe. CNES U processo è ergodico sse: è sazioario i seso sreo o coiee sooisiemi sazioari i seso sreo co probabilià diversa da o. Commeo: I esseza il eorema implica che ogi realizzazioe di u processo ergodico coiee i sé ua l iormazioe possibile sul processo, i quao ua sorgee ergodica produce, el corso di ua realizzazioe, ue le siuazioi ed i casi possibili per il processo co ua requeza pari alla probabilià di dei evei. Prese M sorgei aleaorie ideiche, all iero di ogi realizzazioe si roverao, ovviamee co isai di preseazioe dierei, ui i casi possibili.

230 PROCESSI ERGODICI Sia, X, X ua uzioe delle variabili aleaorie relaive agli isai daa da E +, {,,, } +. La media di isieme della uzioe è,,, p,,, X, X,, X d d d Per ua geerica realizzazioe del processo, ha seso cosiderare la + +,, τ, τ come uzioe delle disaze emporali. I al seso, la media emporale della uzioe è daa da, + + lim + / /, + + d d Per u processo ergodico, la media emporale, calcolaa su ua sigola realizzazioe, coicide co la media di isieme

231 PROCESSI ERGODICI Esempio: Processo armoico X ;ω acos π + ϕ Sia a ua cosae oa, e ϕ ua deermiazioe di ua variabile aleaoria Φ a disribuzioe uiorme. Tale processo e' ergodico. Dim. Il processo e' sazioario i seso sreo. Iolre, si cosideri il sooisieme delle realizzazioi per cui ϕ [, c [, π Ad esso compee ua misura di probabilia' pari a: b. c b p Φ ϕ dϕ c b p Tale sooisieme di realizzazioi o è sazioario i seso sreo. Iai la v.a. ' Φ presea ua.d.p. uiorme e diversa da zero i [b,c, che, a seguio di ua raslazioe emporale, si modiica i π Φ ' ' [ ' π ] ϕ π ϕ Φ mod. π che è diversa da zero i [b+π,c+π. Cosegueemee il processo e' ergodico.

232 PROCESSI ERGODICI Sia a la deermiazioe di ua variabile aleaoria A, e ϕ ua deermiazioe di ua variabile aleaoria Φ a disribuzioe uiorme. Il processo o è ergodico. Dim. Il processo dipede dalla coppia di parameri aleaori A,Φ. Ogi sooisieme di realizzazioi per cui a [ a,a ] e ϕ [, π risula sazioario i seso sreo. Iai la.d.p. cogiua ad esso relaiva può essere posa ella orma p X p, X X,, X, X,, X,,, ;,,,,,, ;,,, A p A A Poiché per [ ] probabilià pari a a a,a il relaivo sooisieme ha ua misura di a a a dd A a i geerale diversa da e ; ale processo o e' ergodico.

233 PROCESSI ERGODICI Teorema di Wieer-Khichie I u processo ergodico, lo spero di desià di poeza è uguale per ue le realizzazioi ed è pari alla Trasormaa di Fourier del momeo miso di ordie, del processo sesso: P, F τ m { } Dim. Per il Teorema di Wieer, applicao alla sigola realizzazioe del processo, si ha F τ P { }. D alra R pare, essedo il processo ergodico, la uzioe di auocorrelazioe p + / lim + / coicide co il momeo miso di ordie, del processo c.v.d. m, d + + dd px, X, ;, +

234 PROCESSI ERGODICI Ogi processo sazioario o è ergodico, o è riducibile, ovvero l isieme delle realizzazioi del processo può essere suddiviso i u umero λ di sooisiemi co λ iio, iiio umerabile o iiio o umerabile, ciascuo dei quali, pur preseado caraerisiche saisiche diverse, è ergodico. La sorgee che geera il segale aleaorio che cosiuisce la sigola realizzazioe del processo può pesarsi decomposa i λ sorgei ergodiche. Il meccaismo aleaorio di geerazioe può idealmee suddividersi i due asi: l esrazioe della sorgee i-esima co probabilià p i la geerazioe della realizzazioe da pare della sorgee i-esima

235 PROCESSI GAUSSIANI Processi Gaussiai: processi per cui la variabile aleaoria - dimesioale X, X esraa ei geerici isai, realizzazioe è a disribuzioe gaussiaa -dimesioale: p X, ;, ep T m K m X p / de[ K ] / X Il geerico elemeo K ij della marice di covariaza K X è compleamee idividuaa dalla Fuzioe di covariaza: K { } m, E m che el caso sazioario diviee K i j i j i j E{ m + m }

236 PROCESSI GAUSSIANI m Commeo: Due processi Gaussiai che abbiao lo sesso valor medio e la sessa uzioe di covariaza soo caraerizzai dalle sesse gerarchie di ordie. C.N.E.S di Ergodicià: Codizioe ecessaria e suiciee aiché u processo Gaussiao sazioario sia ergodico è che la uzioe di covariaza sia assoluamee sommabile: + K X τ dτ < +

237 PROCESSI GAUSSIANI X Y H Sia X u processo gaussiao i igresso ad u ilro co uzioe di raserimeo H. Il processo di uscia Y è acora Gaussiao. Il processo è compleamee caraerizzao dalle relazioi di K validià geerale m Y τ m τ h τ τ dτ τ, τ K X τ, τ h τ τ h τ τ dτ dτ Y che, come oo, el caso sazioario si paricolarizzao i m K Y + m h τ τ dτ τ τ E τ Y K X hh

238 PROCESSI GAUSSIANI Processi Gaussiai ergodici limiai i bada co bada o coigua all origie. De. Si deiisce processo ergodico limiao i bada co occupazioe di bada W ceraa ioro a, u processo la cui geerica realizzazioe o vega aleraa el rasio araverso u ilro passa-bada ideale, co uzioe di raserimeo H w alrove + w Si cosideri u processo Gaussiao X ergodico, a valore aeso ullo, limiao i bada co bada w ceraa ioro a. ˆ Il processo X oeuo dal rasio araverso il ilro di Hilber: h H / π, H j sig è acora Gaussiao, ergodico, a valor medio ullo, co uzioe di covariaza: ˆ ˆ H τ K τ K

239 PROCESSI GAUSSIANI Processi Gaussiai ergodici limiai i bada co bada o coigua all origie segue. Dim. Essedo il processo X ergodico a valor medio ullo, valgoo le regole del rasio: K ˆˆ p τ p τ m p τ p τ E τ ˆˆ ˆ τ u τ p τ p τ m K τ i requeza P P H P ˆˆ ˆ ˆ H. h H h H m Commeo: I processi X, X ˆ avedo la sessa uzioe di covariaza, hao le sesse gerarchie di ordie. m Commeo: Le variabili aleaorie orogoali: π, ˆ esrae ello sesso isae soo πξ + ξ ξˆ ξξ H ξξ ξ π τ h τ π ξ d τ poiché p τ è ua uzioe pari e τ h ua uzioe dispari di τ. Essedo Gaussiae, esse soo ache saisicamee idipedei. H

240 PROCESSI GAUSSIANI Processi Gaussiai ergodici limiai i bada co bada o coigua all origie segue. La sigola realizzazioe del processo può essere rappreseaa i ermii delle sue compoei aalogiche di bassa requeza come s c se cos π π Per ogi isae, le variabili aleaorie c, s esrae soo legae alle variabili aleaorie, ˆ dalla rasormazioe lieare: ˆ ˆ cos se se cos A s c π π π π I paricolare, le variabili aleaorie c, s esrae ello sesso isae soo acora cogiuamee Gaussiae, a valor medio ullo, icorrelae, e variaza s c s s s. ˆ m m A m m s c T A A s s c s c c s s s s s s s s

241 PROCESSI GAUSSIANI Processi Gaussiai ergodici limiai i bada co bada o coigua all origie segue. E possibile dimosrare che le amiglie delle compoei aalogiche di bassa requeza delle realizzazioi di u processo Gaussiao soo due processi X c e X s, cogiuamee Gaussiai, ergodici, a valore aeso ullo e uzioe di covariaza K K X X c c X X C S dove K τ e τ XX S c C τ K τ K τ X S X S XX S τ K τ K τ X S X C XX K XX soo le compoei aalogiche di bassa K XX : requeza della uzioe di covariaza τ K XX C S K τ cos π τ K τ se π τ τ XX XX Commeo: si oi che la uzioe di auocorrelazioe di u processo ergodico limiao i bada è limiaa i bada iai la sua Trasormaa di Fourier, che cosiuisce lo spero di desià di poeza di ua realizzazioe ipica, o è aleraa da u ilro passabada.

242 PROCESSI GAUSSIANI: INVILUPPO E FASE Processi Gaussiai ergodici limiai i bada co bada o coigua all origie segue. Si cosideri u processo Gaussiao X ergodico, a valore aeso ullo, limiao i bada co bada w ceraa ioro a : π se cos π c s Si deiiscoo iviluppo v e ase ϕ rispeo alla requeza v c + s ϕ g s La sigola realizzazioe ammee la seguee rappreseazioe: c v cos π + ϕ

243 PROCESSI GAUSSIANI: INVILUPPO E FASE Le Gerarchie di ordie dell iviluppo v e della ase ϕ di u processo Gaussiao soo dae rispeivamee dalla desià di probabilià di Raileigh < v v e v v p v V σ σ e dalla desià di probabilià uiorme π ϕ Φ π

244 PROCESSI GAUSSIANI: INVILUPPO E FASE Dim. Le variabili v, ϕ soo legae alle c, rasormazioe v c + s la cui iversa ha per Jacobiao J co deermiae v, ϕ ϕ c s g v v cos se c / v c / ϕ cos v se s c ϕ ϕ s s / v / ϕ ϕ se ϕ ϕ v cos ϕ v, ϕ v J s dalla

245 PROCESSI GAUSSIANI: INVILUPPO E FASE Dim segue: Le variabili c, s soo cogiuamee Gaussiae, a valore aeso ullo, saisicamee idipedei, co desià di probabilià cogiua ha quidi la orma s s s c. La s p X c X S, c s s p s s + ep c da cui segue la orma della desià di probabilià cogiua di π V, Φ v, ϕ π v coσϕ, v σeϕ J v, ϕ v X π c σ X S eπ. v σ v >, ϕ [,π Le Gerarchie di ordie dell iviluppo v e della ase ϕ si calcolao per saurazioe a parire dalla d.d.p. cogiua p V, Φ v,ϕ.

246 PROCESSI GAUSSIANI: INVILUPPO E FASE Dim segue: > v e v d e v v p v v V p σ σ σ ϕ pσ ep > + Φ v v dv e v p v σ p pσ ϕ σ Si ha iolre, v v m m σ π σ

247 ONDA PAM Oda PAM: processo la cui geerica realizzazioe è del ipo dove + k a g kt ϑ a k è ua sequeza di v.a., e ϑ è ua v.a. a disribuzioe [ T /, T / uiorme i ], idipedee da a k. Modello di geerazioe dell oda PAM k a : Realizzazioe di u processo sazioario ergodico A π + T k ϑ u kt ϑ g : Trasormazioe lieare permaee Soo quese ipoesi l oda PAM è sazioaria ed ergodica.