Introduzione... 2 Esempio: modulazione FM e PM della rampa... 5 Esempio: modulazione FM e PM del gradino... 6 Semplice circuito per la modulazione di

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1 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo Modulazioe agolare Iroduzioe... Esempio: modulazioe M e M della rampa... 5 Esempio: modulazioe M e M del gradio... 6 emplice circuio per la modulazioe di ase... 7 MODULAZIONE M... 8 aso paricolare: sigolo oo modulae... 8 pero e occupazioe di bada del segale modulao... 9 Esempio umerico: rasmissioe M del segale radiooico... 4 UMOE NELLA TENIA DI MODULAZIONE M... 5 reseza del rumore... 5 apporo segale-rumore... 9 apporo /N i igresso ed i uscia al demodulaore... La codizioe di soglia... La demodulazioe e l'eeo del rumore... 4 Osservazioe... 4 Esempio umerico... 5

2 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo Iroduzioe Abbiamo viso i precedeza che la modulazioe di ampiezza di ua porae siusoidale c( A cos ( π + ϕ (, ad opera di u geerico segale (aalogico modulae s(, cosise odamealmee el rasmeere ale porae acedoe però variare, i ciascu isae, l ampiezza i modo proporzioale al valore assuo dal segale s( i uell isae: il segale modulao risula perciò essere del ipo ( π + ϕ( s ( As(cos modulazioe AM La modulazioe di ase (M, hase Modulaio si eeua sempre rasmeedo la porae, ma acedoe variare, isae per isae ed i modo lieare, la ase. Il segale modulao di ase è duue ella orma seguee: ( π K s( s ( A cos modulazioe M Iie, per uao riguarda la modulazioe di reueza (M, reuecy Modulaio, il coceo è ovviamee uello di ar variare, i ciascu isae, la reueza della porae i modo proporzioale al valore assuo i uell isae dal segale da rasmeere s(. Tuavia, i ueso caso l espressioe del segale modulao è u po' più complicaa da oeere, i uao o è OLO la reueza che subisce variazioi. Vediamo allora i relaivi deagli maemaici. osideriamo iao il geerico segale porae siusoidale: ( π ϕ c( A cos + ( Idichiamo co θ ( π + ϕ( l argomeo del coseo. i deiisce pulsazioe isaaea di c( la variazioe emporale di θ(, ossia la sua derivaa: dθ( ω i ( d Dividedo per π, si oiee chiaramee la reueza isaaea: ( i dθ( π d La modulazioe di reueza cosise allora el ar variare, isae per isae, la reueza isaaea della porae i modo proporzioale al valore assuo, i ciascu isae, dal segale s(. i a cioè i modo che la reueza isaaea risuli legaa al segale modulae dalla seguee relazioe: i ( + k dove è la reueza della porae e k ua cosae da scegliere i modo opporuo. s( Auore: adro erizzelli

3 Modulazioe aalogica agolare: M e M I praica, uidi, l eeo del segale modulae s( è uello di ar variare la reueza isaaea della porae rispeo al valore, cosae el empo, che aveva prima della modulazioe. A ueso proposio, si deiisce deviazioe di reueza ( (la variazioe della reueza isaaea della porae rispeo al valore : ( ( k s( i E evidee che uesa deviazioe di reueza dipede da s(, per cui è uzioe del empo; essa raggiugerà perciò u valore massimo egaivo uado s( raggiuge il suo massimo egaivo ed u valore massimo posiivo uado s( è al suo valore massimo posiivo. La diereza ra uesi valori prede il ome di deviazioe di reueza picco-picco: ( max ( max k ( s( max ( s( [ max ] posi eg posi eg U caso paricolare si oiee uado il segale s( ha escursioe simmerica rispeo al proprio valore medio: ad esempio, se il segale modulae è s( cos ω, allora il valore medio è zero e i valori esremi soo + e -. I casi ( come ueso, la uaià è pari al doppio della cosiddea deviazioe di reueza di picco (simbolo:, iesa come la massima escursioe di i posiivo o i egaivo: ( max k ( s( max Nel caso paricolare i cui s( è siusoidale co valor medio ullo e ampiezza uiaria, allora ( s( max, per cui k. e, ivece, il segale modulae è s( A cos( ω, cioè acora a valor medio ullo ma co ampiezza A o più uiaria, allora risula evideemee k A. Di ueso risulao ci serviremo i seguio. Toriamo adesso ai passaggi di prima e, i paricolare, all espressioe del segale modulao M. Abbiamo viso che ad ogi valore di s( corrispode u preciso valore di i( e uidi ache u preciso valore dell argomeo θ( del coseo della porae. Vediamo allora uale relazioe iercorre ra s( e θ(: i base a come abbiamo deiio i( e i base all ulima relazioe scria, è evidee che dθ( i ( + k π d Quesa è ua euazioe diereziale ella icogia θ(: risolvedo si oiee evideemee s( θ( π + πk s( τ dτ Queso è duue l argomeo del segale modulao, il uale uidi risula avere la seguee espressioe: Auore: adro erizzelli

4 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo s ( A cos k s( d π + π τ τ modulazioe M La cosa imporae da soolieare è la seguee: l argomeo del coseo i ues ulima relazioe dipede evideemee da come è ao il segale s(; è possibile che ueso segale abbia ua sruura ale che, ua vola eeuaa l iegrazioe, vegao modiicae sia la ase sia la reueza della porae. Queso per dire che la modulazioe di reueza NON compora ecessariamee solo la variazioe della reueza della porae, ma può comporare ache la variazioe della ase. La cosa sarà più chiara dagli esempi seguei. Ad ogi modo, riporiamo, ella igura seguee, l adameo di u ipico segale siusoidale modulao i reueza: i raa di ua siusoide alla uale viee aa variare, ad iervalli di empo successivi, la reueza: da u valore iiziale di 500 Hz, si passa ad khz, poi a 50Hz ed iie acora ad khz. Quesa igura evidezia come la modulazioe di reueza sia, odamealmee, ua rasormazioe o lieare che, pur maeedo cosae l iviluppo della porae, produce u segale modulao il cui spero ha ua bada i geerale maggiore del valore corrispodee alla modulazioe di ampiezza. ome vedremo, a uesa espasioe di bada corrispode u migliorameo della proezioe coro i disurbi presei sul caale rasmissivo. Auore: adro erizzelli 4

5 Modulazioe aalogica agolare: M e M Esempio: modulazioe M e M della rampa uppoiamo che il segale aalogico da rasmeere sia la rampa: 0 < 0 s( 0 Usado la classica porae cosiusoidale, le corrispodei espressioi geerali dei segali modulai, rispeivamee, i reueza e i ase soo le seguei: ( π + K s( s ( A cos modulazioe M s ( A cos k s( d π + π τ τ modulazioe M E evidee che, per <0, i erambi i casi il segale modulao corrispode alla porae i uao s( vale zero. Vediamo perciò cosa succede per 0. er la modulazioe di ase abbiamo uao segue: K s ( A cos( π + K A cos( ( π + K A cos π + π iò che si oiee o è duue ua variazioe isaaea della ase rispeo a uella della porae, che è sempre ulla, besì ua variazioe isaaea della K reueza, che risula essere +. π La cosa ieressae è che, i ueso caso, la variazioe della reueza è cosae el empo, el seso che la reueza assume sempre lo sesso valore i ciascu isae: ueso ao è legao alle caraerisiche del segale modulae a rampa. Vediamo ivece cosa succede modulado i reueza: s A k d A ( k A k ( cos + cos + cos + π π τ τ π π π 0 Ache i ueso caso, o ci soo variazioi di ase, mere varia la reueza della porae, che risula essere k +. 5 Auore: adro erizzelli

6 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo La diereza co la modulazioe di ase è però el ao che la reueza varia isae per isae: essa aumea liearmee all aumeare del empo. Esempio: modulazioe M e M del gradio uppoiamo adesso che il segale aalogico da rasmeere sia u gradio di alezza A: s( A ariamo sempre dalle espressioi geerali dei segali modulai, rispeivamee, i reueza e i ase: s ( A cos( π + K s( modulazioe M s ( A cos k s( d π + π τ τ modulazioe M Ache i ueso caso, per <0, il segale modulao coicide co la porae. Vediamo ivece per 0. Modulado i ase, oeiamo ( π s ( A cos + K A per cui, uesa vola, la reueza rimae uella della porae, mere c è uo sasameo rispeo alla porae pari a K A. Tale sasameo è cosae el empo. Modulado ivece i reueza, abbiamo uao segue: s ( A cos π + πk Adτ A cos( π + πak A cos π ( + Ak 0 ( i osserva che o ci soo variazioi di ase, mere cambia la reueza, che divea + Ak. Ache i ueso caso, la uova reueza rimae cosae el empo. i osserva, i paricolare, che la reueza risula aumeaa, così come accadeva ache el caso della rampa: ueso è u risulao geerale, el seso che la reueza della porae, ella modulazioe M, aumea uado s( è posiivo mere dimiuisce uado s( è egaivo. Auore: adro erizzelli 6

7 Modulazioe aalogica agolare: M e M emplice circuio per la modulazioe di ase Ache se e parleremo ampiamee più avai, possiamo acilmee rederci coo di come si possa oeere ua modulazioe di ase di ua porae siusoidale. osideriamo iai il circuio seguee: I i ( Il geeraore di corree orisce ua corree siusoidale I ( I cos( ω i che alimea il parallelo ra ua resiseza ed u codesaore. I ermii sisemisici, abbiamo duue il segale siusoidale che era i igresso ad u sisema lieare empo-ivariae, rappreseabile perciò co ua uzioe di raserimeo H(ω: il modulo e la ase di ale uzioe di raserimeo dipedoo dai parameri e degli elemei resisivi e reaivi che cosiuiscoo il sisema. L uscia del sisema, a regime, è u segale acora siusoidale e isoreueziale co l igresso, daa la liearià, il cui modulo e la cui ase dipedoo dal modulo e dalla ase di H(ω, olre che dal modulo e dalla ase dell igresso: se y( è l uscia (i ueso caso la esioe V (I (, essa ha duue espressioe y( Y( ω si ( ω + ϕ( ω dove ( ϕ ω Y( ω I H( ω i H( ω acedo duue variare o o erambi i base al segale modulae s(, oeiamo u segale modulao la cui ase ϕ(ω varia proporzioalmee ad s(. Gli elemei e dovrao duue essere ua resiseza ed ua capacià variabili erambi eleroicamee (i modo appuo che le variazioi siao auae dal segale modulae ed è possibile oeere ueso usado dei diodi la cui polarizzazioe avvega appuo ramie s(. e la reueza ω della porae è paricolarmee elevaa, è preeribile usare, al poso di uel circuio, u circuio risoae L parallelo, i cui l uico paramero variabile sia la capacià: I i ( Di uesi circuio parleremo ampiamee i seguio. 7 Auore: adro erizzelli

8 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo Modullaziioe M aso paricolare: sigolo oo modulae i coceriamo, i uesi paragrai, sulla modulazioe di reueza. udiamo u caso paricolare, i cui il segale aalogico s( modulae è ua siusoide (il cosiddeo sigolo oo modulae: s( A cos ( π Vediamo ual è il risulao della modulazioe di reueza di ale segale: abbiamo deo che l espressioe geerale del segale modulao M è π + π s ( A cos k s( τ dτ per cui dobbiamo adare a sosiuire l espressioe di s( e are i calcoli. Al ie di sempliicarci ali calcoli (ed i paricolare il calcolo dell iegrale, suppoiamo che s( sia ullo prima di 0 e sia s( A cos( π dopo 0. I al modo, il segale modulao risula essere il seguee: s ( A cos + k s( d A cos k A cos( d π π τ τ + π π π τ τ 0 A cos π + πk A π si A k A ( π cos π + si( π A ueso puo, ci ricordiamo di ua deiizioe già daa i precedeza: i preseza di segale modulae s( A cos( π, abbiamo deo che la uaià k A rappresea la deviazioe di reueza di picco della porae: idicadola co, oeiamo s π + si( π ( A cos i chiama iolre idice di modulazioe la uaià m ossia il rapporo ra la deviazioe di reueza di picco e la reueza del oo modulae. o uesa secoda posizioe, l espressioe del segale modulao divea s ( A cos π + msi π ( ( Auore: adro erizzelli 8

9 Modulazioe aalogica agolare: M e M Quesa è l espressioe più geerale possibile per il segale modulao M el caso di sigolo oo modulae. pero e occupaziioe dii bada dell segalle modullao Ua caraerisica imporae del segale modulao M è, come sappiamo, l occupazioe di bada, ossia l iervallo di reueze da esso copero: iai, è ache i base a uesa caraerisica che è ecessario progeare i mezzi rasmissivi ed i vari ilri usai egli apparai di modulazioe/demodulazioe. Al ie di valuare l occupazioe di bada del segale s (, ci meiamo iizialmee i ua codizioe paricolare: suppoiamo iai di adoare u basso idice di modulazioe, il che vale a dire m<<. Vediamo cosa succede. Iao, a prescidere da uella codizioe paricolare, possiamo usare le ormule di duplicazioe del coseo per scrivere che il segale modulao è s ( A cos ( π + msi ( π A cos( π cos( msi ( π A si( π si( msi ( π A ueso puo, il ao che m<< ci cosee di are le seguei due approssimazioi: cos msi π ( ( ( π ( ( π si msi msi ulla base di uese approssimazioi, il segale modulao divea il seguee: ( π ( π ( π s ( A cos ma si si ruado le opporue ormule rigoomeriche, possiamo iolre sviluppare il secodo ermie a secodo membro, oeedo uao segue: ma ma s ( A cos( π cos π( + + cos π ( ( ( assiamo adesso al domiio della reueza: lo spero di ueso segale è il seguee: ma ma ( A δ δ δ δ δ δ + ( ( ( ( ( ( Abbiamo duue 6 impulsi, posizioai i posizioi (ovviamee simmeriche rispeo all origie delle reueze: 9 Auore: adro erizzelli

10 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo ( A / A / (m/4a (m/4a (m/4a (m/4a i deduce duue che i valori o ulli dello spero si hao ei due iervalli [, + ] e [ +, + ], mere al di uori di ali iervalli si hao solo valori ulli. La bada occupaa dal segale è uidi di ampiezza. Queso ao è ovviamee sreamee legao all ipoesi di pareza di u idice di modulazioe m molo piccolo. i può già iuire che, per m geerico, la bada del segale modulao aumea: il moivo sa el modo i cui varia, al variare di m, il coseo presee ella espressioe ( π ( π s ( A cos + msi Vediamo ad ogi modo che cosa accade dal puo di visa maemaico. icordado, dalla eoria dei umeri complessi, che vale la relazioe ϑ e j cos ϑ + jsi ϑ possiamo riscrivere il segale modulao el modo seguee: s ( A e ( { e } j π e jm si π si ( A ueso puo, è evidee che il segale e jm π è u segale periodico di periodo /, i uao è ale il segale presee all espoee e la uzioe espoeziale è ua uzioe lieare. appiamo allora che u ualsiasi segale periodico è esprimibile mediae uo sviluppo i serie di ourier: se poiamo ~ si e jm π s( ( il suo sviluppo i serie sarà ~ s( + ck k e jπk er deermiare ueso sviluppo, dobbiamo evideemee calcolare i coeiciei: usado la ormale deiizioe, abbiamo che c K T + T / T / s~ (e jπk d T + T / jm si e T / d T + T / + / ( π jπk jm si ( π jπk jm si ( π e e T / d e / jπk d Auore: adro erizzelli 0

11 Modulazioe aalogica agolare: M e M dove T/. acedo iolre il cambio di variabile xπ, abbiamo che c K +π +π jmsi x jkx jmsi x jkx e dx π π e dx π π A ueso puo, la risoluzioe di uell iegrale è possibile ma è u alro che agevole. i veriica comuue che il risulao è u umero reale per ogi k: poiamo allora + jmsi x jkx c K e dx J K,m π π per cui il osro sviluppo i serie risula essere π ~ s( + J K,m k e jπk Torado all espressioe del segale modulao s (, esso divea jπ + s ( A e e J k j e π Il ermie espoeziale o dipede chiaramee da k, per cui lo poriamo dero la sommaoria; iolre, la pare reale è u operaore lieare, per cui possiamo porare uori dalle pareesi grae i ermii cosai: uidi, il segale modulao assume l espressioe s ( A + J K,m k e K,m e jπk { e jπ e jπk} dove abbiamo porao uori ache i ermii J K,m i uao abbiamo deo che risulao essere reali. jϑ Applicado iie la relazioe e cos ϑ + jsiϑ, possiamo cocludere che s ( A + J K,m k cos ( π( + k Quesa è duue l espressioe più geerale possibile, el domiio del empo, i preseza di u sigolo oo modulae M e di u idice di modulazioe geerico. Dao che a oi ieressa l occupazioe di bada di ueso segale, eeuiamo la rasormaa di ourier per passare al domiio della reueza: è immediao veriicare che lo spero di s ( risula essere ( A J + K,m k [ δ( ( + k + δ( + ( + k ] Auore: adro erizzelli

12 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo Abbiamo duue ua successioe di iiii impulsi: ueso sigiica che il segale modulao presea eoricamee bada iiia. è però da osservare u ao: el valuare, co apposii meodi umerici, i valori dei coeiciei J K,m, si rova che essi assumoo valori (reali sempre più piccoli al crescere del valore assoluo di k. Queso sigiica che gli impulsi di cui è composo ( o hao ui la sessa area: al corario, issao l idice di modulazioe m, essi preseao il massimo valore i corrispodeza di k0, cioè i corrispodeza di ±, mere poi preseao valori via via decrescei all aumeare di k i valore assoluo. ossiamo cioè schemaizzare la cosa el modo seguee: ( Queso ao è molo imporae i uao cosee di are il seguee discorso: se l area degli impulsi va via via decrescedo, possiamo rieere che esiserà u valore di k olre il uale l area degli impulsi sarà almee piccola da poerla rieere ulla (cioè praicamee da poer rieere ullo il coeuo eergeico ad essa associao. Deo i alri ermii, esiserà u valore di k olre il uale oi poremo rascurare il coribuo eergeico (o di poeza del segale modulao. Queso valore, per u idice di modulazioe abbasaza miore di, è approssimaivamee k. ossiamo duue rieere che il coeuo eergeico (o di poeza del segale sia cocerao i u cero ioro della reueza della porae: i paricolare, lo sadard ierazioale cosidera la cosiddea approssimazioe di arso, secodo la uale l ampiezza dell ioro, cerao i, ero il uale è coceraa l eergia del segale ha ampiezza B (m + dove ricordiamo acora che m è l idice di modulazioe e la reueza del oo modulae che siamo cosiderado. ( - (m+ (m+ Auore: adro erizzelli

13 Modulazioe aalogica agolare: M e M La uaià B (dove il pedice sa per adioreuecy, ossia radioreueza prede il ome di bada di arso. icordado che l idice di modulazioe è sao deiio come m, la bada di arso assume l espressioe ( B + + I base a uesa espressioe, la bada occupaa dalla porae modulaa di reueza da u sigolo oo è il doppio della somma della reueza del oo modulae e della deviazioe di reueza di picco. Quesa ormula si può i realà geeralizzare per segali modulai ualsiasi, aermado che la bada di arso è ( B + dove max è la massima reueza del segale modulae, mere è sempre la deviazioe di reueza di picco. Quesa ormula è però relaiva al caso i cui la deviazioe di reueza è simmerica rispeo al valor medio, ossia al caso i cui la reueza isaaea della porae modulaa varia, i posiivo e i egaivo, della sessa uaià massima rispeo al valore. Queso è, per esempio, uello che accade el caso del sigolo oo modulae esamiao poco a, dove la legge di modulazioe è siusoidale e uidi la reueza isaaea oscilla ra + e -. Nel caso i cui, ivece, la deviazioe di reueza o sia simmerica rispeo al valor medio, allora la ormula si modiica el modo seguee: B + max max dove max è acora la massima reueza del segale modulae, mere la deviazioe di reueza picco-picco, ossia la diereza ra la massima e la miima reueza isaaea della porae modulaa. E ovvio che, se, ricadiamo ella ormula precedee, per cui possiamo assumere ues ulima come espressioe geerale della bada di arso. Ad ogi modo, uilizzado l approssimazioe di arso, cocludiamo che il segale modulao M ha ua occupazioe di bada limiaa, ma comuue maggiore rispeo a uella del segale modulae di pareza. Il ao che la bada del segale modulao possa essere cosideraa come limiaa sigiica, evideemee, che possiamo rauillamee usare lo sesso mezzo rasmissivo per rasmeere più di u segale modulao i M. Nauralmee, dobbiamo are i modo che gli speri dei vari segali o si sovrappogao: è ua cosa acile da are i uao, oa la reueza di ciascu segale, è suiciee spaziare i modo opporuo la reueza della sua porae rispeo alle alre. Auore: adro erizzelli

14 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo Esempiio umeriico:: rasmiissiioe M dell segalle radiiooiico acciamo subio u esempio cocreo a proposio della bada di arso. uppoiamo di voler rasmeere, su u mezzo rasmissivo passa-bada, il segale radiooico: ale segale è i uo e per uo assimilabile al segale musicale, per cui possiamo assumere che si rai di u segale passa-basso di bada max 5 khz. Essedo il mezzo rasmissivo di ipo passa-bada, la modulazioe si rede ecessaria per allocare il segale ella bada passae del mezzo sesso. Nella rasmissioe del segale radiooico i M, ad ogi caale viee riservaa ua bada passae di 80 khz. iò sigiica che la bada del segale modulao, che sappiamo essere daa da B + max (bada di arso, dovrà essere di 80kHz: uidi abbiamo che B + max 80kHz 80kHz max 80kHz 5kHz 50kHz Abbiamo cioè rovao che la massima deviazioe di reueza pp picco-picco a osra disposizioe è di 50 khz. e suppoiamo che il segale musicale abbia valor medio ullo, possiamo rieere che la deviazioe di reueza sia simmerica rispeo al valor medio (pari alla reueza della porae, il che sigiica che la deviazioe di reueza di picco vale / 75kHz. Adesso modiichiamo leggermee le speciiche del problema, suppoedo che la rasmissioe sia i orma umerica: ciò sigiica che, avedo a disposizioe il segale aalogico da rasmeere, dobbiamo prima campioarlo, poi uaizzarlo ed iie usarlo per modulare di reueza la porae. I calcoli soo abbasaza semplici: i primo luogo, se il segale aalogico ha bada 5 khz, per il campioameo dobbiamo scegliere, i base al eorema del campioameo, ua reueza di campioameo pari almeo a *5kHz0 khz; ella praica, se si vuole ad esempio rasmeere il segale co ualià D, la reueza di campioameo è issaa a 44. khz; ciò sigiica che l uscia del campioaore geera 4400 campioi al secodo; il secodo passo è la uaizzazioe e dobbiamo perciò scegliere il umero di bi da associare a ciascu campioe: o vao bee 8 bi per campioe, i uao ueso è uello che si a per la rasmissioe i orma umerica del segale eleoico, il uale ha ooriamee ua ualià abbasaza scadee; gli sadard della ualià D idicao ivece u uaizzazioe di 6 bi per campioe. Da ciò cosegue che il umero di bi i uscia dal uaizzaore ell uià di empo è campioi N secodo bi campioe bi sec odo ome si vedrà i seguio el capiolo sulla rasmissioe umerica, il segale che cosee la rasmissioe di bi/sec è u segale passa-basso che, ell ipoesi di poer raggiugere i limii ideali di uzioameo, occupa ua bada di N/ Hz, ossia 5.8 khz. Queso è duue il valore che dovremmo sosiuire a max el calcolo di B : Auore: adro erizzelli 4

15 Modulazioe aalogica agolare: M e M 80 khz B + max khz E evidee, allora, che si oerrebbe ua deviazioe di reueza egaiva, il che o ha seso. Queso sigiica che, co la bada assegaa, o possiamo eeuare ua rasmissioe umerica del segale musicale i modulazioe di reueza. I realà, vedremo che o è proprio così, i uao le eciche di modulazioe co segali umerici coseoo di ovviare a ueso osacolo, raggiugedo velocià di rasmissioe (cioè bi/sec molo elevae co occupazioe di bada relaivamee piccola. umore elllla eciica dii modullaziioe M reseza del rumore Il disposiivo classico usao, ella demodulazioe M, per la deermiazioe i ricezioe della reueza isaaea dell'oda modulaa è il cosiddeo discrimiaore. i raa di u circuio che compie odamealmee due operazioi: i primo luogo, rasorma l'oda modulaa i reueza (ad iviluppo cosae i u'oda il cui iviluppo è proporzioale alla reueza isaaea; successivamee, preleva ale iviluppo mediae u classico demodulaore d'iviluppo. Il ucleo del demodulaore è duue cosiuio da u circuio la cui uzioe di raserimeo varia i modulo, ell'ioro della reueza porae, i modo lieare co la reueza. er esempio, si può ricorrere ad u circuio risoae ad ua reueza vicia a uella della porae, usadolo lugo u rao il più possibile lieare della sua caraerisica. Normalmee, il discrimiaore è preceduo da u limiaore. Iai, l'iviluppo del segale all'igresso del demodulaore o sarà i geerale cosae, ma a causa della preseza del rumore preseerà delle luuazioi, ossia sosazialmee ua modulazioe spuria di ampiezza: uesa deve essere rimossa perché o vada ad aggiugersi alla modulazioe prodoa dal segale uile e ciò si realizza appuo co u circuio di limiazioe delle ampiezze. eza scedere, comuue, ei deagli realizzaivi, cosideriamo u demodulaore M, supposo ideale (uidi o rumoroso: s ( Demodulaore i reueza ilro passa-basso ideale di bada s u ( Il segale modulao, ossia il segale rasmesso sul caale (supposo ach esso ideale e che arriva i igresso al demodulaore, ha espressioe aaliica π + π s ( A cos k s( τ dτ dove ovviamee s( è il segale aalogico oggeo della rasmissioe. 5 Auore: adro erizzelli

16 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo Al ie di eer coo della preseza di rumore irodoo dagli apparai di modulazioe, poiamo a moe del demodulaore u sommaore che aggiuge ad s ( il solio rumore ( gaussiao biaco: s ( + Demodulaore i reueza ilro passa-basso ideale di bada s u ( ( Acora ua vola, i accordo a uao ao ei casi precedei di modulazioe, possiamo subio porre u ilro passa-bada subio dopo il sommaore: ueso ilro è ao i modo da lasciar passare ialerao il segale uile s ( e da ilrare ivece le compoei di rumore eere all iervallo di reueza i cui il segale uile è deiio. Il ilro avrà perciò ua uzioe di raserimeo del ipo seguee: H ( B B hiaramee, B è la cosiddea bada di radioreueza che, ella approssimazioe di arso, vale B +, dove è la bada del segale modulae s( (passa-basso mere è la deviazioe di reueza picco-picco. Lo schema di demodulazioe divea duue il seguee: s ( + Demodulaore i reueza ilro passa-basso ideale di bada s u ( ( All uscia dal ilro passa-bada abbiamo il segale x( s ( + (. osiuedo l espressioe del segale modulao, abbiamo x( A cos π + πk s( τ dτ + ( er uao riguarda il rumore ilrao, essedo di ipo passa-bada sappiamo che è esprimibile come somma di due compoei di rumore i uadraura ra loro: Auore: adro erizzelli 6

17 Modulazioe aalogica agolare: M e M ( ( cos I ( π + (si( π e allora poiamo ampiezza : r( ase : ( + ϕ( arcg I I ( ( ( possiamo riscrivere il rumore ilrao ella orma ( π ϕ ( r( cos + ( per cui il segale i uscia dal ilro passa-bada assume l espressioe x( A cos π + πk s( τ dτ + r( cos π + ϕ ( ( e iolre poiamo Φ( πk s( τ dτ possiamo acora ua vola riscrivere x( ella orma ( π Φ ( π ϕ x( A cos + ( + r( cos + ( Quesa espressioe è uile i uao ci cosee di rappreseare le due compoei di x( i ermii di veori roai: x( r( A piao roae L agolo che il veore x( orma co l asse orizzoale (e uidi col veore A è θ(, mere Φ( è l agolo che il veore x( orma co l asse icliao. Il piao cosiderao è u piao roae, che uidi ruoa co pulsazioe π coicidee co uella della porae (che uidi appare erma 7 Auore: adro erizzelli

18 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo La risulae x( ha ua ampiezza che evideemee o dipede dal ermie di segale Φ( che a oi ieressa. Valuiamo allora la ase di x(, ossia l agolo ormao ra l asse orizzoale del piao roae e x( appuo: esso risula essere ( ϕ Φ ( ϕ Φ r( si ( ( θ( Φ( + arcg A + r( cos ( ( i raa i praica dell agolo del segale x( che va i igresso al demodulaore vero e proprio. Il demodulaore, che deve irar uori s(, o deve ar alro che eseguire la derivaa di θ(, i modo da oeere la pulsazioe isaaea, e successivamee dividere per π, i modo da oeere la reueza isaaea: essedo u po' complessa la derivaa dell espressioe appea rovaa per θ(, acciamo ualche ipoesi sempliicaiva: i primo luogo, suppoiamo che la poeza di rumore sia molo miore della poeza del segale uile: uesa ipoesi corrispode a dire che, al deomiaore dell argomeo della arcg, possiamo rascurare il secodo ermie rispeo ad A, per cui r(si θ ( Φ( + arcg ( ϕ( Φ( i secodo luogo, suppoiamo di poer rascurare il ermie Φ( rispeo al ermie ϕ( ell argomeo del seo, per cui l espressioe di θ( divea ( ϕ( r(si ( ( θ ( Φ( + arcg Φ( + arcg Φ( + A A A Adado allora a calcolare la derivaa, divisa per π, si rova uao segue: A dθ( x( π d π d d ( dφ( Φ( + + A π d πa d d ( Il segale x ( è duue ciò che viee uori da uello che ello schema abbiamo idicao come demodulaore di reueza. icordado che Φ( πk s( τ dτ è evidee che ale segale ha ache ues alra espressioe: x( k s( + π A d d ( Abbiamo duue acora ua vola la somma del segale uile k s( e di ua compoee di rumore. Auore: adro erizzelli 8

19 Modulazioe aalogica agolare: M e M L ulimo passo è il ilraggio di ueso segale: l eeo è u segale s u( corrispodee ad x ( privao delle compoei i reueza esere all iervallo, +. [ ] apporo segale-rumore ossiamo allora adarci a calcolare il rapporo segale rumore. er uao riguarda la poeza del segale, essa vale [( k s( ] k E er uao riguarda la poeza del rumore, abbiamo che N E A π d ( d A E d d ( π er calcolare uesa poeza, dobbiamo are ualche osservazioe prelimiare. d ( Iao, possiamo cosiderare il segale come l uscia di u paricolare π d derivaore al uale arriva i igresso il segale (: ( Derivaore π d ( d La uzioe di raserimeo del derivaore è H ( deriv jπ j π dove jπ è la uzioe di raserimeo del derivaore ideale. ulla base di ciò, possiamo deermiare lo spero di poeza del segale d ( kt sapedo che lo spero di poeza del segale ( è X π d ( (spero bilaero: abbiamo iai che kt kt Y ( X ( H deriv ( kt L espressioe Y ( è di imporaza odameale per capire i pregi della modulazioe/demodulazioe di reueza: essa iai mosra che u demodulaore di reueza ha l eeo per cui il rumore i uscia o è più biaco (come el caso della demodulazioe di ampiezza, ma ha ua desià sperale di poeza che cresce proporzioalmee co il uadrao della reueza. 9 Auore: adro erizzelli

20 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo I alre parole, u demodulaore M, ricevedo i igresso u rumore co coeuo eergeico cosae su ue le reueze, eeua ua sagomaura del rumore i modo ale che il suo coeuo eergeico sia maggiore alle ale reueze. Queso può essere u vaaggio uado il segale a cui ale rumore è sovrapposo ha u coeuo iormaivo cocerao sulle basse reueze, ossia laddove il rumore è meo rilevae: ipico sarà il caso del segale elevisivo, che sarà esamiao i seguio. d ( Noo duue lo spero di poeza Y( del segale, possiamo calcolarci π d la sua poeza, ricordado che essa è pari all area soesa, ra - e + (viso che siamo cosiderado le rasormae bilaere di Y(: riprededo le ormule ricavae prima, abbiamo duue che la poeza di rumore i uscia dal demodulaore vale N A kt A d ( E d π A + Y ( d A + kt d A kt + d A kt + ossiamo duue cocludere che il rapporo /N i uscia dal demodulaore è N OUT A k kt Quesa espressioe può ache essere scria i ua orma più sigiicaiva: N OUT k kt A I uesa ormula, kt/ rappresea la desià sperale di poeza bilaera del rumore ermico, che idichiamo ormalmee co h ; k rappresea la deviazioe di reueza picco-picco, che possiamo idicare co ; iolre, idicaa co la poeza media del segale modulao M, ossia la poeza media ricevua dal caale, si ricava acilmee che essa vale E[ s (] E A cos k s( d A E cos k s( d π + π τ τ π + π τ τ dove abbiamo euo coo che il segale modulao è u segale siusoidale, di ampiezza cosae (pari ad A e di valor medio ullo, per cui il suo uadrao è a sua vola ua siusoide di ampiezza A e valor medio /. Di cosegueza, possiamo riscrivere l espressioe del rapporo /N i uscia da u demodulaore M come N OUT h A Auore: adro erizzelli 0

21 Modulazioe aalogica agolare: M e M Auore: adro erizzelli apporo /N ii iigresso ed ii usciia all demodullaore ossiamo adesso coroare il rapporo /N ra l uscia e l igresso del demodulaore M: ( h B h N h N rumore IN OUT + (dove abbiamo cosiderao la desià sperale bilaera h del rumore i igresso. acciamo il rapporo al ie di eeuare u coroo: ( ( OUT IN h h N N + + Quesa ormula o è per la verià molo sigiicaiva. Al corario, possiamo ricavare u alra più imporae. oservado la deiizioe sul rapporo /N i uscia del demodulaore, cambiamo la deiizioe di rapporo /N a moe, scegliedo uesa vola di misurare la poeza di rumore o più ella bada di arso, ma ella bada del segale modulae (passa-basso: h N h N rumore IN OUT acedo il rapporo ra le due uaià, oeiamo allora OUT IN h h N N Quello che si oa, da uesa espressioe, è che il rapporo /N subisce u aumeo o ua dimiuzioe, a parià di bada del segale modulae s(, a secoda del valore di : evideemee, se risula <, il rapporo /N subisce u migliorameo i uscia rispeo al valore che aveva i igresso. Di cosegueza, si dovrà procedere a scegliere i modo ale che

22 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo > Quao maggiore è la deviazioe di reueza (ossia l idice di modulazioe, ao maggiore è l aumeo del valore del rapporo /N, ossia ao migliori soo le presazioi del demodulaore. Queso è i accordo ache all espressioe rovaa prima per, che dimiuisce all aumeare di. Quese cosiderazioi mosrao duue come la modulazioe agolare, e i paricolare uella di reueza, sia ua modulazioe eiciee, el seso che essa può coseire, a parià di rumore h i ricezioe ed a parià di rapporo /N i uscia, di operare co miore poeza rispeo alla rasmissioe direa (cioè seza modulazioe o alla modulazioe d ampiezza (. Ovviamee, lo svaaggio è uello di richiedere u allargameo dello spero da rasmeere, ossia ua maggiore occupazioe di bada. i si può esprimere, uidi, dicedo che la maggiore eicieza della modulazioe M, rispeo alla modulazioe AM oppure alla rasmissioe i bada base, si oiee al prezzo di ua maggiore occupazioe di bada. Il vaaggio della modulazioe agolare, rispeo alla modulazioe d'ampiezza, è duue la maggiore proezioe coro il rumore, pagaa appuo co più bada occupaa. U uleriore vaaggio, i mole applicazioi, è dao ache dal ao che il segale modulao ha iviluppo cosae, il che rede la modulazioe robusa ei coroi di eveuali o liearià circuiali. La codizioe di soglia I base alle cosiderazioi coclusive del paragrao precedee, si porebbe pesare che sia coveiee elevare il più possibile il valore di, ossia l idice di modulazioe. Queso o è assoluamee vero, i uao bisoga eer coo che ua gradezza sreamee legaa al valore di è proprio la bada di radioreueza B occupaa dal segale modulao: aumeado, si oiee u aumeo di B. Queso aumeo di B presea due coroidicazioi odameali: la prima è ella maggiore occupazioe di reueza sul mezzo rasmissivo: se ci viee assegaa ua cera bada B sul mezzo, poremo scegliere u valore massimo di, imposo appuo dal valore isso di B (lo si vedrà meglio ell esempio che seguirà; la secoda, acora più imporae, è che, all aumeare di B, o acciamo alro che ar passare ua maggiore uaià di rumore el demodulaore, il che può ivalidare l ipoesi, aa i precedeza, per cui la poeza del rumore sesso è molo miore di uella del segale. oceriamoci su ues ulimo aspeo: l espressioe icordiamo, iai, che, i u sisema di rasmissioe co modulazioe di ampiezza DB-, il rapporo /N all uscia del demodulaore rimae ivariao rispeo all igresso, per cui il sisema è del uo euivalee ad u sisema di rasmissioe direa i bada base. Auore: adro erizzelli

23 Modulazioe aalogica agolare: M e M N OUT h per il rapporo /N i uscia dal demodulaore di reueza vale, come si è deo, i uado il rumore igurgiao dal demodulaore è piccolo: iai, i ueso caso, ella ormula r(si( ϕ( Φ( θ ( Φ( + arcg A + r(cos ϕ( Φ( ( è possibile rascurare il ermie di rumore r(cos( ( Φ( ermie di segale Φ ( a umeraore. ϕ a deomiaore e il iché uese approssimazioi soo valide, allora l espressioe di è N OUT uella ricavaa e uidi essa idica che possiamo garairci le sesse presazioi riducedo la poeza i ricezioe (e uidi uella i rasmissioe e aumeado. Tuavia, ma mao che dimiuiamo e aumeiamo, il rumore divea sempre più coroabile co il segale, io a uado si raggiuge ua codizioe di soglia, per ua paricolare coppia di valori di e, i corrispodeza della uale il demodulaore subisce u rapido deeriorameo di presazioi. Esise ua relazioe maemaica che, uado veriicaa, garaisce la correezza dell ipoesi per cui la poeza del rumore è molo miore di uella del segale: si raa della cosiddea codizioe di soglia, secodo la uale deve risulare h B > db 0(dB dove è la poeza ricevua, ossia la poeza che arriva i igresso all apparao di demodulazioe (ossia, ache, la poeza i uscia dal caale: ale poeza, ell ipoesi di caale ideale, coicide co la poeza rasmessa, ossia la poeza del segale modulao i uscia dal modulaore, mere h B è la poeza di rumore igurgiaa dal demodulaore e calcolaa i ueso caso ramie la desià sperale moolaera h kt di rumore (. Quella codizioe impoe i praica u limie miimo alla diereza ra la poeza del segale ricevuo e la poeza di rumore ad esso sovrapposo. iché ueso limie miimo è garaio, il demodulaore garaisce buoe presazioi; el momeo i cui la codizioe viee meo, le presazioi calao oevolmee. iuscire uidi a migliorare le presazioi coro il rumore ricorredo ad u aumeo dell'idice di modulazioe rova u limie ieludibile i uesi eomei di soglia. Queso ao evidezia ua uleriore diereza ra u sisema di modulazioe M ed u sisema di modulazioe d ampiezza: i uado viee soddisaa la codizioe di soglia, il sisema co modulazioe M è sicuramee uello che garaisce, a parià di poeza rasmessa, le migliori presazioi possibili; el Il moivo per cui cosideriamo ua desià sperale di rumore moolaera (solo reueze posiive, mere ei coi precedei abbiamo cosiderao uella bilaera, è che la codizioe di soglia viee da u discorso preamee isico sul uzioameo del demodulaore e uidi o ha seso cosiderare le reueze egaive, che ella realà o esisoo ma solo u ariicio maemaico irodoo dall aalisi di ourier. Auore: adro erizzelli

24 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo momeo i cui, ivece, la codizioe di soglia viee a macare, per esempio a causa di ua eccessiva riduzioe della poeza rasmessa T, il demodulaore M è praicamee o adoabile, mere il demodulaore AM dà presazioi ao peggiori uao miore è T. I alre parole, mere le presazioi di u demodulaore AM decrescoo liearmee al dimiuire di T, uelle di u demodulaore M hao u adameo diverso, i uao soo oime al di sopra della soglia, mere soo pessime al di soo della soglia. La demodullaziioe e ll' 'eeo dell rumore Abbiamo viso che il rumore all uscia del demodulaore M ha uo spero di poeza di ipo parabolico, il che sigiica che soo le compoei a reueza più elevaa che coribuiscoo maggiormee al rumore oale d'uscia. i può allora pesare di ridurre ali compoei di rumore mediae u opporuo ilraggio (deo deeasi all'uscia del discrimiaore. Tuavia, così acedo però si riducoo ache le compoei di segale alle reueze ale, disorcedo il segale sesso. i può però rimediare a ale disorsioe co u preilraggio del segale modulae i rasmissioe (easi, che sia ovviamee del uo complemeare al ilraggio di deeasi i ricezioe (deve cioè risulare che la cascaa dei due ilri di easi e deeasi o disorca il segale: si può oeere ueso acedo i modo che il ilro i rasmissioe abbia uzioe di raserimeo iversa rispeo a uella del ilro di deeasi. Osservaziioe er cocludere, acciamo ua osservazioe a proposio del coceo di poeza del segale uile. E iai imporae richiamare l aezioe sulle diereze esisei ra il caso i cui l ampliicaore iale i rasmissioe è limiao i poeza media e uello i cui esso è limiao i poeza di picco: se la limiazioe è sulla poeza di picco, come spesso accade, il vaaggio della modulazioe agolare sugli alri ipi di rasmissioe è paricolarmee cosisee, i uao eveuali o liearià dell ampliicaore i rasmissioe o hao alcu eeo sul segale rasmesso. iò sigiica, come rioreremo a dire i seguio, che è possibile usare ampliicaori i rasmissioe spii io alla saurazioe, i uao, così acedo, si oiee il massimo del redimeo, ossia si riesce a raserire al carico (sarebbe l aea rasmiee uasi ua la poeza prelevaa dalle alimeazioi. Quesa cosiderazioe spiega perché, molo spesso, sia coveiee usare la modulazioe agolare ache co deviazioe eicace miore di. Auore: adro erizzelli 4

25 Modulazioe aalogica agolare: M e M Esempio umerico I u sisema di rasmissioe M, il caale di rasmissioe ha ua aeuazioe di 90dB i ua bada passae di MHz ceraa ioro alla reueza della porae. Nelle ipoesi che il segale modulae abbia ua bada di 00 khz; il aore di rumore delle apparecchiaure di ricezioe sia di 0dB; la poeza i uscia dal modulaore sia di 0mW, calcolare la deviazioe di reueza uilizzabile, compaibile co la bada a disposizioe, aiché il sisema lavori sopra soglia. isoluzioe icordado che la bada occupaa dal segale modulao M vale B + max ( + max, deduciamo che la deviazioe di reueza di picco vale B max Il valore massimo di si oiee impoedo che la bada a radioreueza occupaa sia esaamee pari a uella messa a disposizioe sul caale, ossia MHz: ( B max MHz ( max 00 khz 400 khz max La codizioe aiché il sisema cosiderao lavori sopra-soglia è rappreseaa, i uià aurali, da 0 h B dove è la poeza di segale ricevua dal demodulaore, h la desià sperale moolaera di poeza del rumore sovrapposo al segale i igresso al demodulaore e B la bada (ceraa sulla porae occupaa dal segale modulao (il ermie h B rappresea iai la poeza media del rumore sovrapposo al segale uile. E immediao calcolarsi la poeza media ricevua, che è pari a uella rasmessa (0 mw dimiuia della aeuazioe (90 db irodoa dal mezzo rasmissivo: [db] [db] α[db] T ( 0mW 90[dB] 80[dBm] 0 W dbm La desià sperale (moolaera di rumore è valuabile come h kt 0, dove possiamo rieere che T 0 sia la emperaura ambiee (9 K e dove abbiamo irodoo il aore di rumore (0dB per ipoesi per eere coo della rumorosià iriseca del demodulaore ( : soo uesa ipoesi, abbiamo che icordiamo che, se il demodulaore o osse rumoroso, il ermie di rumore i igresso sarebbe semplicemee uello che è accompagao al segale e che uidi si modella co la classica h kt 0. Voledo ivece cosiderare la rumorosià del demodulaore, si cosidera u ermie aggiuivo di rumore, che è uaiicabile, per deiizioe, o ramie il aore 5 Auore: adro erizzelli

26 Appui di omuicazioi Eleriche apiolo kt0 0log dbm / Hz 0 mw 64[dBm / Hz] h ( h 0log 0 4*0 kt0 + 0log mw W/Hz [dBm] + 0[dB] ossiamo duue riscrivere la codizioe di soglia, i uià aurali, come h B 0 5*0 B 7 da cui uidi oeiamo che B 5MHz La codizioe di soglia è duue sempre soddisaa, viso che il valore massimo di B è MHz per le speciiche impose dalla raccia. ossiamo duue usare il massimo valore della deviazioe di reueza di picco, ossia 400 khz. Auore: adro erizzelli sadry@iol.i sio persoale: hp://users.iol.i/sadry di rumore (che va a moliplicare kt 0 oppure ramie la emperaura euivalee di rumore (el ual caso si cosidera i igresso kt 0 +kt e Auore: adro erizzelli 6