INTEGRAZIONE INDEFINITA DI ALCUNE CLASSI DI FUNZIONI

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1 Adolfo Scimoe FORMULE INTEGRAZIONE Pag INTEGRAZIONE INDEFINITA DI ALCUNE CLASSI DI FUNZIONI Iegrazioe delle fuzioi razioali frae Se la frazioe è impropria, cioè il grado del umeraore è maggiore o uguale a quello del deomiaore, allora si può effeuare la divisioe secodo le regole dell'algebra, si ha: A( = Q( + R( e quidi: A( R( = Q ( ) + B ( ) B ( ) per cui avremo: A( = R( Q( + Si preseao i seguei casi ) - Radici reali e disie Cosideriamo la frazioe propria A( B ( ) e suppoiamo che l'equazioe di grado = 0 abbia ue le radici reali e disie, siao esse,,..., E' possibile deermiare cosai K, K,..., K i modo che si abbia A ( ) K K K = Per cui l'iegrale A( risula dao dalla somma di iegrali facilmee calcolabili. ) Radici reali e muliple Suppoiamo che l'equazioe = 0 o possieda ue le radici disie, ache se reali. Suppoiamo che ammea, per semplicià re radici disie,, 3, la prima di muliplicià r (coaa r vole), la secoda s, la erza dove r + s + =.

2 Adolfo Scimoe FORMULE INTEGRAZIONE Pag I queso caso avremo la scomposizioe: A( A A Ar B B = r B ( ) ( ( ( ( C C C ( ) ( ) ( ) I queso caso l'iegrale della fuzioe A( si scompoe ella somma di più iegrali. 3) - Radici complesse Calcoliamo i seguei iegrali I = a + b + c dove si suppoe che l'equazioe a + b + c = 0 Bs ( ) s + abbia radici complesse coiugae. m± i Possiamo scrivere: m a + b + c = a( m i)( m + i) = a[ ( m) + ] = a + si oiee quidi: I = = = = a + b + c a m a m + + = + a arc m c Nel caso i cui il umeraore sia u poliomio di primo grado e o sia la derivaa del deomiaore, esso si può rasformare ella somma di ua cosae opporua e della derivaa del deomiaore. INTEGRAZIONE DI FUNZIONI IRRAZIONALI. Cosideriamo i seguei casi: r s a b a b p q ) f + +,,,... c + d c + d Queso iegrale si riduce a u iegrale di fuzioe razioale mediae la seguee posizioe:

3 Adolfo Scimoe FORMULE INTEGRAZIONE Pag 3 a + b = dove è il m.c.m.(p,q) c + d Casi paricolari dell'iegrale cosiderao soo gli iegrali del ipo p r q s f, ( a b), ( a b), (,,,...) p r q s f ).- f (, a + b + c ) ( ) Disiguiamo due casi a > 0 ed a < 0. caso - Sia a > 0. L'iegrale ( ) diviee u iegrale di fuzioe razioale effeuado la sosiuzioe: a + b + c = ± a + dove si può predere idiffereemee il sego + o -. Caso - Sia a < 0 Idichiamo co e le radici dell'equazioe a + b + c = 0 Se quese radici soo complesse coiugae allora il poliomio a + b + c risula egaivo per qualuque valore della e quidi la fuzioe che si deve iegrare o risula reale, lo sesso accade se =. Escludedo quesi casi, suppoedo perciò che le radici siao reali, suppoiamo che <. I queso caso il riomio a + b + c risula posiivo per < < e l'iegrale f (, a + b + c ) si rasforma i u iegrale di fuzioe razioale poedo: = cioè: = ( per cui si ha : + ( = = d + ( + ) Sosiuedo l'iegrale si rasforma i u iegrale di fuzioe razioale. Iegrazioe dei differeziali biomi

4 Adolfo Scimoe FORMULE INTEGRAZIONE Pag 4 Si chiamao differeziali biomi i differeziali della forma p ( a + b ) dove a e b soo cosai ed m,, p soo umeri razioali. L'iegrale p ( a + b ) diviea razioale ei seguei re casi: ) Se p è u umero iero, si poe: = k dove k è il miimo comue muliplo dei deomiaori di m ed. ) Se m + poiamo h a+ b = dove h è il deomiaore di p 3 ) Se m + + p è u umero iero, poiamo: a+ b = h INTEGRAZIONE DI FUNZIONI TRASCENDENTI Cosideriamo i casi a) Se f( è ua è ua fuzioe razioale delle variabili e y cosideriamo i seguei iegrali: f ( si,cos cos, f ( si, cos che si possoo rasformare ella forma f si ( si, si cos, f ( cos, cos si si raformao eseguedo la sosiuzioe si = el primo iegrale e la sosiuzioe cos = el secodo iegrale. b) Sia dao l'iegrale

5 Adolfo Scimoe FORMULE INTEGRAZIONE Pag 5 f ( si,cos, si cos Si rasorma i u iegrale di fuzioe razioale co la sosiuzioe: g = che implica = arcg per cui = d Iolre si ha: + si = si cos = + + cos = + Iolre l'iegrale f ( g è u caso paricolare del precedee se si poe si g = si cos c) Se l'iegrale è della forma f ( si,cos dove f è ua fuzioe razioale di si e cos si poe: g = si ha = arcg = + essedo d g si = + g g = + si = + g = + d) Iegrali del ipo I = si m cos ( ) dove m ed soo umeri ieri. a) Se m = k + è u umero posiivo dispari, si poe: k k I si cos ( si = ( cos ) cos ( si = Si procede i modo aalogo se è u umero posiivo dispari

6 Adolfo Scimoe FORMULE INTEGRAZIONE Pag 6 b) Se m ed soo umeri posiivi pari, l'espressioe ( ) si rasforma co l'ausilio delle formule: si = cos = + cos cos si cos = si c) Se m= µ ed = νsoo umeri egaivi ieri di sessa parià allora = = ν = I cos ec sec + µ ν si cos cos g µ + ν ( + g = µ g cos Si può se ecessario porre g = per cui cos = d η ( + g ν cos = I paricolare, a queso caso si riducoo gli iegrali: = µ µ si µ si cos π d + = ν cos ν π si + d) Gli iegrali del ipo m oppure g g m dove m è u umero iero posiivosi calcolao co l'ausilio della formula g = sec 0 rispeivamee cg = cosec Iegrali del ipo simcos simsi cos mcos I quesi casi si usao le formule: ) sim cos = si( m + ) + si( m ) ) sim si = cos( m ) cos( m + ) 3) cosm cos = cos( m ) + cos( m + )

7 Adolfo Scimoe FORMULE INTEGRAZIONE Pag 7 Iegrali del ipo f ( e ) Co la sosiuzioe e = = l = d si ha f ( ) f ( e ) = d