Il logaritmo e l esponenziale

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1 Il logarimo e l espoeziale 2 geaio 202 La defiizioe di logarimo che si impara ella scuola secodaria è la seguee: Defiizioe Il logarimo i base b di x è l espoee cui si deve elevare b per oeere x. I formule: b log b x = x Co quesa defiizioe si può sabilire, ad esempio, che log 0 00 = 2 e log = 3 o che log 2 6 = 4 e log 2 32 = 5. Ma si raa di ua defiizioe che cessa di essere aurale quado si parla di logarimi di umeri che o soo poeze iere della base. Per rovare (o meglio approssimare) il logarimo di u umero qualsiasi x, sarà ecessario predere i esame u bel po di umeri del ipo b /m per cercarvi quello che meglio approssima x, e dichiarare che il corrispodee espoee /m è ua buoa approssimazioe di log b x. Dal puo di visa praico, olre che coceuale, o si raa di operazioi semplici. Eppure ui sao che da alcui secoli soo sae accuraamee compilae avole dei logarimi i base 0 o di logarimi aurali cioè i base e, e che quese avole, assieme al regolo calcolaore (u arezzo meccaico che le sosiuiva) risulavao idispesabili, prima dell avveo dei calcolaori eleromeccaici e poi eleroici, per fare calcoli appea u pò complicai. Quel che redeva i logarimi così uili era il fao che è più semplice sommare due umeri che moliplicarli. Il logarimo ha la proprieà di rasformare u prodoo i ua somma, semplicemee perché la moliplicazioe di due poeze co la sessa base dà luogo ad ua poeza della sessa base co espoee che è somma degli espoei. Queso sigifica che se si è i grado di calcolare i logarimi di due umeri (ad esempio araverso le avole) si possoo sommare i logarimi e poi adare alla ricerca (sempre araverso le avole) del umero il cui logarimo forisce la somma rovaa. Queso umero sarà il prodoo dei due umeri dai. I formule, dai due umeri x e y, si rovao i valori log x e log y, si cosidera la somma log x + log y, e si

2 va alla ricerca del umero z ale che log z = log x + log y. Si avrà allora che z = xy. Il coceo di logarimo era probabilmee oo ache ai maemaici dell aica Grecia (i epoca elleisica), ma per applicare il procedimeo descrio ella semplificazioe dei calcoli era ecessario disporre di avole co i valori della fuzioe logarimo (rispeo ad ua base opporuamee scela). La redazioe di quese avole era possibile ache prima dell ivezioe della sampa, ma risulava poco ecoomica. No solo la copiaura era u processo cososissimo, ma ache u processo soggeo a moli errori. E saa quidi l ivezioe della sampa a redere possibile la redazioe delle avole dei logarimi, come srumeo per semplificare i calcoli. I cosi (o idifferei) della compilazioe di avole accurae poevao essere riparii ra migliaia di uei, sampado le avole i migliaia di copie. No bisoga soovaluare l imporaza che queso srumeo ha avuo per lo sviluppo della scieza e della ecologia modera. Come si è deo, almeo fio all avveo delle prime calcolarici eleromeccaiche, che credo siao sae irodoe el mercao egli ai rea del secolo scorso (cioè o più di due geerazioi fa), le avole dei logarimi ed il regolo calcolaore cosiuivao uo srumeo idispesabile per la progeazioe. Seza di esse i calcoli ecessari per la progeazioe di macchie, di avi, di aeromobili, di armi, o di maufai edilizi sarebbero sai roppo complicai se o impossibili. Ache sul piao del cosume, il regolo calcolaore el aschio di u ecico o di u igegere, fio a 40 ai fa, aveva lo sesso valore simbolico che ha, acora oggi, lo seoscopio che pezola dalla asca del camice di u medico. Tuavia, al gioro d oggi le avole dei logarimi ed il regolo calcolaore soo pezzi da museo. A che scopo quidi parlare? Quesa piccola iroduzioe sorica mi serve per meere l acceo sul fao che l imporaza del logarimo o della fuzioe logarimo o è ao legaa alla sua defiizioe come espoee. Essa è piuoso legaa alla proprieà algebrica che come vedremo, soo cere codizioi, caraerizza il logarimo. E cioè la proprieà di rasformare i prodoi i somme. I effei possiamo arrivare al logarimo adado semplicemee alla ricerca di ua fuzioe coiua, L, defiia sui umeri reali che, per x ed y el domiio della fuzioe, soddisfa alla codizioe: L(xy) = L(x) + L(y). () I queso modo riusciremo ad eviare di defiire subio che cosa si ieda per ua poeza irrazioale di u umero reale. No saremo cosrei, i alri ermii, a defiire espressioi come b π o ache semplicemee b 2. 2

3 Osserviamo subio che la codizioe () è soddisfaa dalla fuzioe defiia su uo R che vale sempre zero. Vogliamo, auralmee, escludere quesa fuzioe. Osserviamo ache che se 0 appariee al domiio della fuzioe L la codizioe () implica che L è ideicamee ulla. Ifai poiché 0 0 = 0 si avrebbel(0) = 2L(0), che forisce L(0) = 0. Iolre per ogi x 0, appareee al domiio, 0 = L(x 0) = L(x) + L(0) = L(x). Dobbiamo quidi supporre che il domiio di L o coega 0. La codizioe () implica ache che L() = L() + L() = 2L(). Perao L() = 0. Troveremo iao ua fuzioe che che soddisfa () ed è defiia per ui i umeri reali posiivi. Eccola: L(x) = x d. (2) Si raa evideemee di ua fuzioe defiia per ogi x > 0, poiché è ua fuzioe coiua e decrescee ell iervallo che ha esremi e x, quado x > 0. Osserviamo che L(x) > 0 se x >, e che L(x) < 0 se 0 < x <. Ovviamee L() = 0. Dimosriamo ora che L soddisfa la (). La proprieà addiiva dell iegrale ci dice che: Dimosreremo ora che d = x x d = d + y x d. d. (3) Suppoiamo per semplcià che sia y >. L iegrale a primo membro della (3) può essere approssimao, ad esempio, dalle somme, che secodo la defiizioe, approssimao l iegrale dal di soo. (Quese somme si chiamao alvola somme iferiori di Darboux, alre vole somme iferiori di Riema, il ome usao dalle dispese è somma iegrale per difeo ). Approfiiamo del fao che la fuzioe è decrescee per > 0. Ci coviee allora, come sappiamo, uilizzare parizioi dell iervallo [x, xy] i sooiervalli ui della sessa lughezza. La lughezza di [x, xy] è x(y ), ed i pui di ua parizioe che divida l iervallo i pari uguali soo: {x, x + x(y ), x + 2 x(y ),... x + k x(y ),..., xy}. I alre parole la parizioe cosideraa è formaa dai pui x k = x + k 3 x(y ),

4 per k = 0,...,. La comue lughezza degli iervalli della parizioe è, come si è deo x(y ), mere il miimo della fuzioe su oguo degli iervalli della parizioe è raggiuo all esremo desro dell iervallo. Perao la somma iferiore di Darboux relaivamee a quesa parizioe sarà: x(y ) k= x + kx (y ) = (y ) k= + k (y ). (4) Il secodo membro di quesa uguagliaza o è alro che la somma iferiore di Darboux relaiva alla parizioe dell iervallo [, y] i iervalli di uguale lughezza, relaivamee alla fuzioe /. Al crescere di la somma (4) approssima quidi il comue valore: x d = y d. Abbiamo così dimosrao la (). Vediamo qualche uleriore proprieà della fuzioe L. Prima di uo osserviamo che la fuzioe L(x) è coiua. Ifai se [a.b] è u iervallo di umeri posiivi (cioè a > 0), ell iervallo [a, b] la fuzioe L(x) è ache lipschiziaa. Ifai, per ui gli x, x 2 [a, b], risula: L(x ) L(x 2 ) = x2 x d a x x 2. Euciamo le alre proprieà araverso esercizi. Esercizio La fuzioe L(x) è sreamee crescee el suo domiio di defiizioe. Esercizio 2 La fuzioe L(x) è illimiaa superiomee ed iferiormee. Perao lim L(x) = +, x + e lim L(x) = x 0 (Suggerimeo: osservare che L(2 ) = L(2) e L(2 ) = L(2).) L esercizio immediaamee precedee ci assicura che la fuzioe L assume ui i valori reali. Poiché L è sreamee crescee e possiamo defiire la fuzioe iversa che chiameremo E(x). Cioè E(x) è l uica fuzioe defiia su ui i umeri reali che soddisfa E(L(x)) = x. A queso 4

5 puo possiamo defiire E() come il umero ale che L(E()) =. Dimosreremo che E() = lim( + ) = e. (5) Ifai L(( + + ) ) = Il eorema del valore medio per gli iegrali ci dice che per ogi iero posiivo, esise u puo c co < c < +, ale che d. Queso sigifica che + d =. c L(( + ) ) = c. Osserivamo a queso puo che lim c =. Perao dalla coiuià di L, segue che = lim = lim L(( + c ) ) = L(e). I coclusioe L(e) =. Possiamo allora osservare che se x è u umero razioale L(e x ) = xl(e) = x. Poiché L è ua fuzioe iieiva e risula sempre L(E(x)) = x, e segue che E(x) = e x, quado il secodo membro è defiio (cioè, per ora, per x razioale). D alra pare E(x) è ua fuzioe coiua, i quao iversa di ua fuzioe coiua e crescee (cfr l esercizio che segue). Possiamo quidi porre e x = E(x) ache per i umeri irrazioali, oeedo i al modo ua esesioe di e x a ui i umeri reali. La fuzioe x e x, è allora coiua e crescee. A queso puo, possiamo ricooscere che L(x) corrispode alla usuale defiizioe dei logarimi i base e. I alre parole L(x) = log e x. Abbiamo deo che la fuzioe E(x) è coiua, i quao fuzioe iversa di ua fuzioe coiua sreamee decrescee, defiia i u iervallo. A quesa osservazioe dovrebbe corrispodere ua dimosrazioe che lasceremo per esercizio (o facile, e quidi o obbligaorio). Esercizio 3 Dimosrare (compleado quao acceao el suggerimeo) che se f è ua fuzioe coiua sreamee crescee o sreamee decrescee defiia per ui i pui di u iervallo I, e g è la fuzioe iversa di f defiia sull iervallo f(i), i modo da soddisfare la codizioe 5

6 g(f(x)) = x, allora g è coiua su uo l iervallo f(i). Suggerimeo: suppoiamo f crescee; sia a = f(b) f(i), suppoiamo che a o sia u esremo dell iervallo f(i) (e se ivece fosse u esremo?), allora dao ε > 0, possiamo supporre che a ε e a+ε apparegao ad f(i) (perché quesa ipoesi o ci fa perdere geeralià?) perao esisoo pui x < x 2 I, ali che f(x ) = a ε < a < a + ε = f(x 2 ). Sia 0 < δ < mi(b x, x 2 b). Allora se a δ < y < a + δ, risula g(y) (a ε, a + ε). Esercizio 4 Dimosrare che se x > 0 allora lim ( + x ) = E(x). Osserviamo che mole alre fuzioi soddisfao alla codizioe (). Ifai se c 0 la fuzioe cl(x) soddisfa la (). U risulao imporae, che o dimosreremo qui, è che queso è l uico modo di defiire fuzioi coiue che soddisfao la (). I alre parole se f è coiua, è defiia sui umeri reali posiivi, e soddifa f(xy) = f(x) + f(y), allora esise u umero reale c, ale che f(x) = cl(x). Osserviamo però che se b è u umero posiivo diverso da uo, la fuzioe log b x può essere defiia come u opporuo muliplo reale di L(x). I al modo la fuzioe log b x risula coiua e defiia per ogi umero reale posiivo. Esercizio 5 Dao u umero reale b > 0 diverso da uo, rovare c ale che log b x = cl(x). Sudiare la fuzioe log b x disiguedo i casi 0 < b < e < b. Riserviamo all ulimo esercizio il compio di defiire per u umero posiivo b diverso da uo e qualsiasi x reale la poeza b x. Esercizio 6 Sia c = L(b) 0. Dimosrare che la fuzioe e cx è u esesioe coiua della fuzioe b x, defiia sui umeri razioali. Riassumiamo ora la procedura seguia per arrivare a defiire, prima di uo, il logarimo aurale log e x e l espoeziale e x, ed i secodo luogo le fuzioi log b x e b x, dove b è u umero posiivo diverso da zero. ) Abbiamo rovao ua fuzioe L(x) defiia su ui i umeri reali posiivi, che soddisfa L(xy) = L(x) + L(y), per ogi x, y > 0. La fuzioe L è defiia come: L(x) = x 2) Abbiamo osservao che L(x) è sreamee crescee e che lim x + L(x) = + e lim x 0+ L(x) =. Perao l immagie L(R + ) = R. 6 d.

7 3) Abbiamo irodoo la fuzioe iversa E(x) come la fuzioe, ecessariamee coiua e crescee che soddisfa E(L(x)) = x. 4) Abbiamo dimosrao che E(e) =, dove e = lim ( + ). 5) Abbiamo dedoo dal fao che E(e) =, la formula E(x) = e x, per ogi umero x razioale. A queso puo la sessa formula, uilizzaa come defiizioe, per qualsiasi umero reale, dà luogo ad ua esesioe della fuzioe x e x a uo il campo reale. Quesa defiizioe della fuzioe espoeziale la rede auomaicamee ua fuzioe coiua e crescee defiia su ui i umeri reali. 6) Se b > 0 è u umero diverso da uo, si possoo allora defiire le fuzioi b x, e log b x defiie rispeivamee su ua la rea reale, e sui umeri reali posiivi, come b x = e L(b)x = e x log e b, e log b x = L(b) L(x) = L(b) log e x. 7