Equazione vettoriale del moto: traiettoria legge oraria. rappresentazione intrinseca della traiettoria

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1 Equazioe veoriale del moo: raieoria e legge oraria. Si dice che u corpo è i moo rispeo a u dao sisema di riferimeo S, quado la sua posizioe i S cambia co il empo. Nello schema del puo maeriale, le caraerisiche del movimeo i S soo forie dalla coosceza del veore posizioe r del puo i fuzioe del empo. Nel osro coceo di empo è implicia l'ipoesi che esso vari co coiuià (sia quidi rappreseabile co ua variabile coiua. A ques'ipoesi e corrispode u'alra sulle caraerisiche del moo: la osra iuizioe ifai ci suggerisce che, se cosideriamo le posizioi di u puo maeriale P ai empi e + Δ, la loro disaza sia ao più piccola quao più è piccolo Δ. I ermii più formali assumiamo che, per ogi fissao, risuli r ( r( + Δ 0 per Δ 0. Ciò equivale all'ipoesi di coiuià del moo; i liea di pricipio, quidi, esso può essere descrio i maiera complea mediae l'equazioe veoriale del moo: r = r(, (3.1) dove r( è espresso mediae fuzioi coiue del empo (per variabile ero l'iervallo di empo cui si riferiscoo le osservazioi sperimeali). La validià di quesa ipoesi o è coraddea dalle idicazioi sperimeali; d'alro cao, essa o può essere provaa sperimealmee i modo direo, sai le ovvie limiazioi ell'effeiva realizzazioe praica del procedimeo di limie per Δ che ede a zero (quesa siuazioe si icora spesso ella Fisica, ove procedimei rigorosi della Maemaica vao ierpreai i modo opporuo). La fuzioe veoriale r( può essere rappreseaa per mezzo delle re fuzioi scalari x = x( y = y( (3.) z = z( che dao l'adameo el empo delle coordiae caresiae del puo P el riferimeo S. Rappreseazioi equivalei possoo essere forie dalle aaloghe equazioi corrispodei ad alri sisemi di coordiae (per esempio polari). Le equazioi (3-) coegoo la oalià delle iformazioi ciemaiche sul moo del corpo, el sisema di riferimeo scelo. Tali iformazioi soo sia di ipo essezialmee geomerico sia più propriamee fisiche: ifai, come risulerà chiaro dalla successiva aalisi, le prime permeoo di idividuare ua curva geomerica, la raieoria, cioè l isieme delle posizioi occupae dal puo el suo moo; le secode caraerizzao le modalià co cui il corpo percorre el empo la raieoria. I effei, dal puo di visa geomerico, il sisema di equazioi (3-) è u caso paricolare di rappreseazioe i forma paramerica di ua curva ello spazio, i cui il paramero uilizzao ha uavia u sigificao fisico speciale, essedo cosiuio dalla variabile empo. Per separare i modo più direo, ella descrizioe del moo, l'aspeo geomerico da quello più propriamee ciemaico, è coveiee u alro approccio, basao sulla cosiddea rappreseazioe iriseca della raieoria. Suppoiamo di cooscere la raieoria γ del puo maeriale (i forma esplicia o paramerica). Ogi posizioe su ale curva può essere idividuaa uilizzado u'opporua esesioe del meodo, che uilizza assi di riferimeo caresiai e le corrispodei coordiae. A ale scopo suppoiamo di reificare la curva, rasformadola i ua successioe di segmei (ifiiesimi); defiiamo su di essa u'origie Ω, u verso e scegliamo u'uià di misura per le lughezze (fig. 3-).

2 A ogi puo P sulla raieoria poremo allora fare corrispodere u umero reale s, deo ascissa curviliea, il cui modulo forisce, ell'uià scela, la lughezza dell'arco di curva (reificao) ΩP; il sego sarà posiivo o egaivo a secoda che P si rovi, rispeo a Ω, dalla pare del verso posiivo o dalla pare opposa. Si osservi ad esempio la figura 3-: il puo P ha ascissa s > 0, mere P 1 ha ascissa s 1 < 0. Co l'iroduzioe della variabile s, la descrizioe del moo di P si può effeuare cooscedo le due fuzioi: r = r( s) (3.3) s = s( I u sisema di coordiae caresiae, l'equazioe veoriale r = r(s) è equivalee alle re equazioi scalari x = x( s); y = y(s) ; z = z(s) ; (3.4) che cosiuiscoo l'equazioe della raieoria i forma paramerica, i ermii del paramero iriseco s. L'equazioe s = s( (3.5) rappresea ivece l'equazioe oraria (o legge oraria). Il moo è quidi compleamee descrio dalle quaro equazioi scalari (3-4) e (3-5). La coosceza dell'equazioe oraria permee di esrarre mole iformazioi sulle caraerisiche del moo. Iroduzioe al coceo di velocià I dai di base per la descrizioe e lo sudio dei moi soo cosiuii dall'isieme dei risulai di misurazioi associae di posizioe e di empo. Esse possoo essere orgaizzae i vari modi (soo forma di abelle, grafici e così via) e l'aalisi delle loro correlazioi pora agli aspei caraerisici del moo i esame. Per lo sudio quaiaivo dell'evoluzioe del moo soo fodameali i cocei di velocià e di accelerazioe. Le gradezze fisiche corrispodei soo gradezze veoriali, le cui caraerisiche sarao qui irodoe co l'ausilio di u esempio paricolare ma isruivo: il moo piao di ua pallia, laciaa i direzioe orizzoale da ua cera quoa. La discussioe si basa sui risulai di u esperimeo, codoo i codizioi ali da poer rascurare gli effei della resiseza dell'aria sul moo della pallia. La ecica adoaa per l'osservazioe e le misurazioi delle posizioi della pallia uilizza u flash ed ua macchia foografica. I ua successioe di isai egualmee iervallai (Δτ), il flash illumia la scea i cui avviee il moo, e la macchia foografica (che ha l ouraore sempre apero) regisra ue le corrispodei immagii della pallia su u solo foogramma. I risulai di quese osservazioi soo sieicamee rappreseai ella figura 3-6; essa

3 permee ache ua prima aalisi quaiaiva, uilizzado uo sfodo graduao di riferimeo parallelo al piao vericale del moo. La successioe el empo delle posizioi della pallia appare doaa di ua regolarià che, ripreseadosi i maiera acora più evidee ei casi i cui si ripea la misurazioe riducedo Δτ, cosiuisce u idicazioe della validià dell'ipoesi di coiuià del moo. I ques ipoesi, e ello schema del puo maeriale, possiamo quidi aspearci che la curva che rappresea la raieoria della pallia goda di defiie proprieà di regolarià. Nel caso i esame, la figura 3-6 suggerisce per la raieoria ua forma parabolica, co verice el puo di lacio e asse vericale. Ciò è cofermao da u'aalisi più deagliaa delle iformazioi coeue ella figura, uilizzado u sisema di coordiae caresiae coesso co il reicolo di sfodo (asse x orizzoale e asse y vericale). Esraedo da ogi posizioe regisraa i figura 3-6 le coordiae x ed y del cero della pallia ai vari isai successivi, si possoo cosruire i due grafici riporai i figura 3-7. Da essi si deduce che le equazioi parameriche della raieoria (piaa) x = x( e y=y( soo di ipo rispeivamee lieare e quaaico i, e quidi la raieoria è effeivamee ua parabola. Riorado ad u esame sieico della figura 3-6, possiamo esamiare gli sposamei P i P i+1 della pallia fra le posizioi geeriche agli isai i e i+1. Noiamo che ali veori cambiao al variare di i, cioè cambiao co il empo: precisamee, il loro modulo (che dà la disaza fra i pui P i, e P i+1 ) aumea da u iervallo al successivo, e ache la loro direzioe cambia, icliadosi sempre più verso la vericale al crescere di i. La prima variazioe suggerisce che il moo della pallia avviee co ua rapidià variabile el empo e la secoda idica che la direzioe del moo cambia co il empo. Possiamo quidi pesare di dare u'espressioe quaiaiva all'evoluzioe el empo del moo araverso l'iroduzioe di opporue gradezze veoriali collegae ai suddei veori sposameo. Il veore velocià. Co riferimeo all'esperimeo descrio el paragrafo precedee, cosideriamo due isai, e ' = + Δ, ove è uo degli isai i e Δ coiee alcui Δτ. Siao P e P' le posizioi occupae dalla pallia i ali isai e r( e r(') i corrispodei veori posizioe rispeo all'origie O del sisema di riferimeo (fig. 3-8). Ua prima iformazioe sul moo (i Δ è rappreseaa dal rapporo fra lo sposameo Δr = r(') - r( effeuao i ale iervallo di empo e la duraa Δ di queso. Nauralmee essa è solo u'iformazioe di ipo medio su quao è accao alla pallia fra e '; i effei, la sola coosceza delle posizioi i ali isai o permee di sabilire, per esempio, se la pallia si sia effeivamee mossa i liea rea lugo la direzioe di Δr oppure su ua raieoria curva, e emmeo di sapere se il moo è avveuo co rapidià uiforme o variabile i ale iervallo, o di cooscere la lughezza del percorso compiuo. Il veore r( + Δ r( v m = (3.7) Δ viee quidi chiamao velocià media ell'iervallo Δ. Essa o dipede dal percorso effeivamee compiuo ell'iervallo fra e ', ma solo dalle posizioi iiziali e fiali, e dal empo di percorreza. Ua descrizioe più fedele e puuale delle caraerisiche del moo può essere oeua quado, come el caso i esame, si hao uleriori iformazioi sperimeali su ciò che accade fra e '; se cioè possiamo sudiare come si compora il veore v m al ridursi della duraa dell'iervallo emporale Δ. I alri

4 ermii, ci aspeiamo che ale descrizioe possa essere daa dal valore limie della velocià media per Δ che ede a zero. Defiiamo quidi come velocià (isaaea) al empo il veore. r( + Δ r( v = lim vm = lim (3.8) Δ 0 Δ 0 Δ Teedo coo della defiizioe di derivaa di u veore, possiamo cocludere che v è la derivaa del veore posizioe rispeo al empo e usare per esso la scriura d r( v = (3.9) Le caraerisiche geerali di queso veore possoo essere oeue dall'esame della figura 3-8, ove soo evideziai i passi di queso procedimeo di limie (coseii dai dai sperimeali a disposizioe el osro esempio paricolare). Nella figura è disegaa ache la raieoria γ che, come si è discusso i precedeza, può essere oeua co uleriori dai sperimeali e co opporue ierpolazioi. Osserviamo che, per sua defiizioe, la velocià media fra e ' è u veore parallelo allo sposameo PP, e ha quidi la direzioe della rea (secae) che ierseca γ i P e P. Al ridursi di Δ, P' ede a P e la direzioe della secae PP' ede (per defiizioe) a quella della rea agee i P alla raieoria; di cosegueza, la velocià isaaea al empo ha la direzioe della rea agee alla raieoria el puo P D'alra pare, al ridursi di Δ, lo sposameo PP ede ad avviciarsi alla raieoria e il suo modulo, che rappresea la lughezza della corda corrispodee, è sempre meglio approssimao dalla lughezza dell'arco di raieoria ( Δ s ) da esso soeso (fig. 3-9). Si ha duque. PP' lim = 1 Δs 0 Δs (3.10) I ermii più sieici, per ' che ede a la direzioe della secae ede a diveare quella della agee e la corda ede a cofodersi co l'arco elemeare. Possiamo quidi dire che il modulo della velocià isaaea è il limie per Δ che ede a zero del rapporo fra la lughezza dell'arco di raieoria e il empo Δ i cui l'arco è sao percorso; queso rapporo dà quidi effeivamee ua misura della rapidià co cui viee via via percorsa la raieoria. Rappreseazioe iriseca della velocià U'espressioe formale, che esplicia le ciae caraerisiche del veore v, può essere facilmee oeua ricorredo alla rappreseazioe iriseca della raieoria. La ozioe che ora iroduciamo a ale scopo è quella di versore agee a ua curva su cui siao sai defiii u'origie e u verso posiivo per le ascisse curviliee. Le precedei cosiderazioi, relaive a secae e agee a ua curva, ci permeoo di procedere rapidamee. Dai due pui P e P' della curva, idividuai dalle ascisse curvi liee s e s' = s + Δs, e deo Δr il veore PP', cosideriamo il rapporo Δr / Δs e il suo limie per Δs che ede a zero (fig. 3-9). Queso veore ha la direzioe della secae e il verso cocorde co quello degli archi crescei, cioè co quello scelo come posiivo sulla curva (si osservio ella figura 3-9 le due siuazioi co s' > s e s' < s). Nel limie cosiderao esso ede ad assumere la direzioe agee alla curva i P e ad avere modulo uiario vedi la relazioe (3-10), maeedo il verso cocorde co quello dell'orieameo della curva. Esso è quidi il versore agee alla curva orieaa (el puo P) e può essere espresso ella forma

5 Δr u = lim = (3.11) Δ s 0 Δs La coosceza delle equazioi parameriche della curva permee quidi di deermiare u i ogi suo puo. Teedo coo del ruolo di variabile iermedia fra r e giocao da s, e delle relazioi (3-9) e (3-11 ), possiamo sabilire il legame della velocià co le equazioi della raieoria e co la legge oraria (uilizzado le regole per la derivazioe delle fuzioi compose). v = = (3.1) La (3-1) mosra espliciamee che la velocià è agee alla raieoria, e che il suo modulo è dao da. Il verso di v coicide co quello di u (a sua vola deermiao dalla scela faa per l'orieameo della raieoria) o co quello opposo, a secoda che il moo avvega isaaeamee el verso scelo come posiivo per le ascisse curviliee > 0 o el verso opposo (fig.3.10). La gradezza v s = (3.13) è la pare scalare della velocià rispeo al versore u ; essa viee chiamaa ache velocià scalare. È possibile quidi scrivere la velocià ella sua rappreseazioe iriseca. v = vsu = u = s& u (3.14) La coosceza dell'equazioe oraria del moo permee di deermiare la velocià scalare ad ogi isae, mediae l'operazioe di derivazioe rispeo al empo. Da quao precede dovrebbe essere chiaro che la gradezza veoriale velocià forisce le iformazioi ecessarie per seguire gli sposamei elemeari di u corpo i movimeo. Il moo può essere cosiderao ifai come ua successioe di sposamei (reiliei) ifiiesimi = v, avveui i iervalli emporali. Tali sposamei hao, i ogi isae, la direzioe e il verso (i geerale variabili) della corrispodee velocià isaaea; hao iolre iesià proporzioale a, ramie il modulo della velocià sessa. Secodo ale descrizioe, è evidee che lo spazio percorso è la somma delle 1ughezze degli archi ifiiesimi percorsi sulla raieoria e quidi è dao dalla somma delle gradezze elemeari = v v. Come è oo dall'aalisi maemaica quesa somma può essere calcolaa ramie l'iegrale s Δs = s s1 = = v ( = v( (spazio percorso) (3-15) s1 1 1 Espressioe iriseca dell'accelerazioe Il veore accelerazioe riflee le diverse possibili variazioi elemeari del veore velocià (variazioi del suo modulo, cambiamei ella sua direzioe orieaa) ed è quidi imporae riuscire a esprimerlo i ua forma che mea i evideza i sigoli coribui di quesi due faori. Ciò si può fare paredo dalla sua defiizioe e dall'espressioe iriseca della velocià. È facile dimosrare che a si può esprimere come

6 somma di due veori compoei, uo parallelo alla velocià, e collegao alla rapidià di variazioe della pare scalare di quesa; e u alro perpedicolare alla velocià, dipedee dalla rapidià di variazioe della sua direzioe. Ifai, applicado la regola di derivazioe del prodoo alla (3-14), si ha. dv d dvs a = = ( vsu ) = u + vs (3.3) Essedo v s = il 1 primo ermie si può scrivere ella forma d s a = u = & s u (3.4) Tale compoee ha lo sesso verso di u se la velocià scalare cresce o verso opposo se la velocià scalare dimiuisce. Esso è il compoee di a che riflee le variazioi del modulo e/o del verso di v, e viee ache deo compoee ageziale di a o brevemee accelerazioe ageziale, i quao ha la direzioe (agee alla raieoria) di v. Per oeere u'espressioe più sigificaiva del secodo compoee di a (perpedicolare a u,) bisoga espliciare la derivaa del versore u rispeo al empo. A ale scopo ricordiamo che il versore agee u = dipede dalla scela del verso posiivo per le ascisse curviliee s sulla raieoria, e o dalle effeive caraerisiche isaaee del moo. È quidi coveiee esprimere la dipedeza di u dal empo araverso la variazioe di u al cambiare di s ( che dipede dalla forma della raieoria) e di quella di s al cambiare di (che è più direamee collegaa al moo del puo ). Si ha quidi. = = s& (3.5) La derivaa del versore u rispeo a s rappresea ua caraerisica iriseca della raieoria, dipedee dalle sue proprieà locali i P, e può essere espressa ramie la (-8): dϕ = u ella quale u è perpedicolare a u. È oo dalla geomeria che u elemeo di curva aoro a u geerico puo P può essere approssimao co u elemeo di arco di ua circofereza, il cui cerchio associao è deo cerchio osculaore; esso ha il cero el cosiddeo cero di curvaura C(P) della curva i P, e ha raggio (raggio di curvaura; 1/ viee ivece chiamao curvaura). La rea perpedicolare alla agee i P alla curva, giacee el piao (del cerchio) osculaore è chiamaa ormale pricipale e il versore della sua direzioe, orieaa da P verso il cero di curvaura, è proprio u (versore ormale). Tui quesi elemei soo mosrai i figura 3-15, el caso di ua curva piaa, per la quale il piao osculaore coicide co il piao della curva. Sia che u, così come u dipedoo dal puo P, e soo quidi proprieà locali della curva. L'esesioe al caso di ua raieoria sghemba (per la quale ache il piao osculaore è ua proprieà locale) è argomeo geomerico o approfodio i quesa sede.

7 Poiché dϕ è uguale all'agolo soo il quale viee viso l elemeo di arco di curva dal cero di curvaura (fig e 3-16), si ha ifie 1 = u (3.6) Sosiuedo ella (3-5) e ella (3-3) roviamo: s& a = a + a = au + au = & s u + u (3.7) Il compoee a viee ache deo compoee ormale dell'accelerazioe (o accelerazioe ormale). È imporae osservare che la corrispodee pare scalare è sempre o egaiva, per cui a pua sempre al cero di curvaura; essa è quidi chiamaa accelerazioe ceripea ed è esprimibile ache come a vs = u v = u Quidi a è presee i ogi moo su raieoria o reiliea e, di cosegueza, ogi moo co raieoria curva è accelerao. Poiché il cero di curvaura si rova dalla pare della cocavià della curva, ache a puerà i geerale verso quella pare. La rappreseazioe di v daa dalla (3-14) e la decomposizioe di a ei compoei a e a espressi dalla(3-7) vegoo dee ache rappreseazioi iriseche di ali veori. Per le applicazioi è uile ricordare i vari modi i cui può essere espresso il modulo dell'accelerazioe, a secoda della rappreseazioe usaa per il veore a. Così, olre che ramie la familiare formula, i ermii delle compoei caresiae, a = a + a + a, si porà scrivere il modulo di a, i ermii delle compoei iriseche, x y a a + a =. Nella raazioe maemaica poremmo ierare il processo di derivazioe e sudiare la variazioe dell accelerazioe, si porebbe defiire u veore b = da/ = (d 3 r/ 3 ) e chiamarlo srappo (dalla sesazioe che si prova quado si cambia l accelerazioe, per esempio i u auomobile). E via di seguio. Ma veemo co la Diamica che è l accelerazioe sreamee legaa all ierazioe di u corpo co l ambiee circosae. z