Modelli'di'Variabili'Aleatorie'

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1 ModellidiVariabiliAleaorie! VariabilialeaoriediBeroulli: " X èdiberoullidiparamero p (,) se P( X ) p e P( X ) p. " Proprieà: # E X # Var X : p X ( ) + p X ( ) p. E( X ) E( X) masiccome X X $ E( X) E( X) p p p( p).. Var X " Noazioe: X èdiberoullidiparamero p X B e p " ProvediBeroulli: # esperimeicasuali,idipedei,biari(ossiachehaosoloduepossibiliesiichechiamo successoefallimeo). p P successo.. P( X k). # Faccio provediberoullicoprobabiliàdisuccesso p, # Sia X umerodisuccessiiquese prove. p X k se k-esima prova è successo # X X + X X $ X k. se è fallimeo # E X # Var X E( X X ) E( X ) E( X ) p. Var( X X ) Var( X ) Var( X ) p( p). k # P X k pk ( p) k. p p ( ) se X èbiomialediparameri, p, X B i, p P( X k) k ( pk p) k, k {,,...,}. alrimei Ricordiamocheilcoefficieebiomialesicalcola k :! k! ( k)!. # X B i (, p), Y B i ( m, p) idipedei: X B i, p Y B i m, p X X X, X k B e ( p) idipedei. Y Y Y m,y k B e ( p) idipedei. idipedei ( + m i, p). X + Y X X + Y Y m sommadi + m. B e p X + Y B i " Uilizzo:quado X puòassumeresoloivalori,(successoofallimeo).! DesiàdiPoisso: " Cisooimedia λ impuriàperuiàdilughezza I k. " X umerodiimpuriàsulsegmeo. E( X) λ, X k umerodiimpuriài I k B e ( p).

2 " X X X, E( X) E( X ) E ( X ) p. X B, λ i k " P X k λ ( )... k + k k λ λ k k λ k! λ k k! ( k)! k λ co e λ k! λ λ k k! e λ. λ " Defiizioe: X èuavariabilealeaoriadipoissodiparamero λ > se λ k P( X k) k! e λ, k {,,,... }. alrimei " Leggedelfilo: # LavariabilealeaoriadiPoissopuòessereuilizzaacomeapprossimazioediuabiomiale prove di Beroulli diparameri (, p) quado. p probabilià di successo # Poisso λ B i (, p) Poisso( p). B i, λ " Proprieà: # X Po(λ) E X Var( X) λ. # X Po( λ),y Po ( µ ) X + Y Po( λ + µ ).,quado èmolo gradee p molopiccolopoedo λ p.ialriermii,iloaledei successi iugra umero diripeizioiidipedeidiuesperimeochehauapiccolaprobabiliàdiriuscia p. " Uilizzo:èu oimaapprossimazioediuabiomialediparameri, p,èuavariabilealeaoriacodisribuzioeapprossimaivameedipoisso,comedia λ p.! VariabilealeaoriaGeomerica: " SuccessioediprovediBeroullico p P( successo) e X umerodiproveecessarieper vedereilprimosuccesso. # P( X k) co k {,,... }. P ( I prova "successo") p. P X P P X I prova "isuccesso" II prova "succeso" p p. p( p) k perchéprimadelsuccessodella k Qesimaprovacisoosai P X k k isuccessi. p p " Defiizioe: X Geom( p) se P( X k) k k {,,... }. alrimei " P( X k) p( p) k,sia q : p p q co < q < $ q k q k $ q q. k k k k

3 " m X ( ) E e X < l( p) e k ( p) k p e ( k ) ( p) k p pe e k ( p) e p i " pe e k p ( p) pe e p k " m X. q p e " m X ( ) e p m X # m X ( ) p E( X). " ( ) m X m X # m X ( ) k ( ) e p e p e. p p p + p p p e ( p).perchéèuaseriegeomerica. k e e ( p) m ( ) X e ( p). p E( X ). p # Var( X) E( X ) E( X) p p p p p p p. " X Geom( p), P X > k ( p) k. P X k " Proprieàdiassezadimemoria: # P X > k + h X > h P( le prime k prove soo isuccessi) p P( X > k). # Dimosrazioe: P( X > k + h & X > h) P( X > h) ( p) k P( X > k). P( a h < X b h). P X > k + h X > h # P a < X b X > h P X > k + h P X > h q... p k vole k +h p p h < ( p) k " Uilizzo:èuilequadovogliamosaperelaprobabiliàchela k Qesimaripeizioesiailprimo successo.! Variabilealeaoriaipergeomerica: " Defiizioe:uavariabilealeaoria X sidiceipergeomericadiparameri N, M e sehamassa diprobabilià P( X i) N M i i co i,,...,. N + M " Uilizzo:possiamocapirloramieuesempio.Uascaolacoiee N baerieacceabilie M difeose.siesraggoosezarimessaeimaieracasuale baerie.deoiamoco X il umerodibaerieacceabilicoeueelcampioeesrao. 3

4 ! Variabilialeaoriauiforme: " Seoipredessimousegmeolugoeuiervallochevada a ab ivicoeuo,se x è scelocasualesigificachelaprobabiliàche x a,b [ ] dipedesolaodallalughezzadel segmeoeodallasuaposizioe. " L isiemeu èuiformei[,] selasuadesiàè f U ( u) : # P U u,u + du u [,] alrimei ( [ ]) du co u [,]. b a. b a co < a + h < b + h <. # P a < U b # < a < b < P a + h < U b + h " Defiizioegeerale:uavariabilealeaoriacoiuasidiceuiformesull iervallo [ α,β],seha fuzioedidesiàdaada f ( x) " U U, # E U # E U β α se α x β alrimei [ ].Ipassisuccessiviquidisooriferiiaduiervalloampio. uf u du u du u f u u,. du u du u 3 3, 3 Var U # U U [,], F U ( u) f U ( x)dx x " ( b a)u + a X co b > a. # U $ ( b a)+ a b. # U $( b a) + a a. " X ~ U a,b U + a,u ~ U, " E X " Var X [ ], X b a E b a U + a Var b a " F X ( x) P( X x) P b a " F X ( x) d dx F U " f X ( x) [ ]. x < x < x ( b a)e( U ) + a b a + a a + b. U + a ( b a) Var U b a b a (,U + a x) P U x a b a F U x a x a b a F U b a b a f x a U b a b a. < x a b a < alrimei # < x a b a < < x a < b a a < x < b.. x a b a... 4

5 " F X x b a x a F U x a b a x < a < x a b a < a < x < b x b " Uilizzo:quadolavariabilealeaoriahalesesseprobabiliàdicaderevicioauqualuque puodell iervallo.! Variabilialeaorieormaliogaussiae: " Defiizioe: z èormalesadardselasuadesià f Z z # f Z ( z)dz π e z dz. # z # Φ z π e s ds Φ z " m Z ( ) E e Z : Φ( z) : P( Z z)... : z π e z e Z π e dz e ( z z+ )+ dz π π e sosiuisco u z, du dz $ m( z) e # m Z ( ). # m Z m Z # m Z π e u du e. e m Z ( ).. ( ) m Z ( ) + m Z ( ). m Z ( ) + E( Z ), E( Z ) Var( Z ).,Var( X) X èsadard. m Z " Defiizioe: X variabilealeaoriaco E X. e ( z ) " Defiizioe: X variabilealeaoriaèormalese: X az + b, a >, b, Z èormale sadard.se Z èormalesadard Z èormalesadard. " Def: X èormalecomedia µ evariazaσ X ~ N µ,σ. sadard Z ~ N, " X ~ N ( µ,σ ),Y α X + β N (,)co a. # Dimosrazioe: X ~ N µ,σ Y α X + β α σ Z + µ # E Y X σ Z + µ, Z ~ N, + β ασ E( α X + β) αe( X) + β αµ + β. Var( α X + β) α Var( X). dz ( ) se X σ Z + µ, Z ormale Z + αµ + β. # Var Y " X ~ N ( µ,σ ),calcoliamolafuzioediriparizioeedesià. 5

6 # Co X σ Z + µ, F X ( x) P( X x) P( σ Z + µ x) P Z x µ F X Φ x µ σ. # P a < X < b F X ( b) F X ( a) perlevariabilialeaoriecoiue. Φ b µ P a < X < b # f X x σ ( x) d dx Φ x µ F X ( x µ ) Φ a µ σ. σ Φ x µ σ σ f Z x µ σ σ σ Φ x µ σ $ π e x µ σ πσ e σ. " X ~ N ( µ,σ ), X µ ~ N (,). σ # E X µ σ E( X) µ X µ,var σ σ V σ X µ σ σ Var( X). " Teorema: X, X,..., X ormaliidipedei X X èormale. # Dimosrazioe: X ~ N ( µ,σ ). m X ( ) E( e X )masiccomeèormalesappiamoche X σ Z + µ, Z ~ N, m X. ( ) E e ( σ Z + µ ) E e σ m X e σ +µ. Z e µ eµ E e ( σ ) z eµ m Z ( σ ) e µ e ( σ ) e m X X m X ( )...m X ( ) exp σ + µ...exp σ + µ σ k exp + µ k k exp σ k + µ k exp ( σ ) + µ k k ( σ ) µ X X ~ N µ k, σ k. k k σ σ +µ " Uilizzo:quesoipodivariabilealeaoriaèmoloimporaeeuilizzaagraziealeoremadel limieceralecheraerremopiùavai.! Espoeziali: " Def: X èespoezialediparamero λ > ( X ~ ( λ) ) se f X ( x) λe λx " F X x x < ds x λe λs ds e λs x. e λx x x f X s x >. alrimei $ 6

7 " Fuzioegeeraricedeimomei: m X ( ) E e X λ λ e x f X x dx e x λe λx ds λ e λ x dx co λ > $ ( λ )e ( λ )x dx. # m X ( ) λ λ. # m X ( ) m X # λ ( ) ( λ ) λ λ $ m X ( ) λ E( X). ( ) λ( λ ) ( ) λ $ ( λ ) 4 3 ( λ ) m X ( ) λ # Var( X) λ λ λ. " Assezadimemoria: # X ~ λ 7 ( λ ). λ 3 λ E X P( X > + s X > ) P( X > s). P( X > + s & X > ) P( X > ) ( e λ + s) e F X ( ) λs P( X > s),ricordache e λ e λx F X ( x) e λx. # Dimosrazioe: P X > + s X > F X + s P X > z " cx ~ λ c.! VariabilialeaoriediipoΓ : " Defiizioe: X è Γ( α,λ)se f X ( X) " Noa: Γ α λ α Γ( α ) xα e λx x >. alrimei serveafarsìcheladesiàfacciauoi(,) : f X ( x)dx λα Γ α divariabili y λx, dy λdx $ λ α " Γ α : x α e x dx " GammadiEulero: Γ # Osservazioe: Γ,λ. e x dx ( λ). x α e λx dx Γ α. y λ λ α x α e λx dx α e y dy λ λα λ α P X > + s P X > y α e y dy # Permezzodell iegrazioeperpari: Γ( α ) y α e y dy e y α y + ( α ) y ( α ) e y dy ( a ) y ( α ) e y dy ( α )Γ ( α ) $ Γ( α ) ( α )Γ α # Γ( ) ( )Γ ( ) ( ) ( )Γ( )...Γ ( ) ( )!. facciamoilcambiameo. Γ( α ).

8 " X ~ Γ( a,λ).fuzioegeeraricedeimomei: # E e X λα λ α Γ α ( λ ). α # m X ( ) λ λ λ m X ( ) α λ x α e λx e x dx λα Γ α α. α m X ( ) αλα α + λ # E( X) α λ ; # E X α α + λ ( λ ) λ x α e ( λ )x dx α αλ α + $ λ m X α λ. ( λ ) α ( ) $ m α + X ( ) α ( α + ). λ ; α ( α + ) # Var X α λ λ α λ. " Proprieà: X ~ Γ( α,λ),y ~ Γ β,λ # Dimosrazioe: m X +Y ( ) m X ( )m Y ( ) α Γ( α ) λ α λ ( λ ) α idipedei X + Y ~ Γ( α + β,λ). λ λ X + Y ~ Γ( α + β,λ). # Uilià: Capire X,Y ~ ( λ) idipedei. X ~ ( λ) Γ(,λ ) $ X + Y ~ Γ,λ Y ~ ( λ) Γ(,λ ). Igeerale: X,..., X ~ λ! DisribuzioiChiGquadro: " Z Z ~ Γ, χ # X ~ χ # E[ X] X ~ Γ, # Var( X).. α λ λ β λ λ $ X + X X ~ Γ(,λ). ( ) chigquadroco gradidiliberà.. α +β x α e ( λ ) dx 8

9 # X ~ χ ( ), f X ( x) Γ x e x x >. alrimei # X ~ χ ( ),Y ~ χ ( m) idipedei$ X + Y X X + Y Y m X + Y ~ χ ( + m). " Se X èuachiqquadroco gradidiliberàeα èurealecompresora e,sidefiiscela α. quaià χ α, ramiel equazioeseguee: P X χ α,! Disribuzioi: " Se Z e C soovariabilialeaorieidipedei,laprimaormalesadardelasecodachiq quadroco gradidiliberà,alloralavariabilealeaoriat defiiacomet : Z C sidice averedisribuzioe co gradidiliberà$t ~.Talevariabilealeaorievieedefiia spesso disude. Γ + # f T ( ) Γ π + + # E[ T ] co. # Var( T ) co 3. $ P( T α, ) α. # T èsimmerica$ P( T α, ) α. " SeT ~ α, coα, co a gradidiliberà.! TeoremieTeorie: " Teoriadell affidabilià: # T isaediroura.t > all isae ilsisemafuzioa. # P( T > ) F T ( ) fuzioedisopravviveza. # Def:iesiàdirischiooassodiguaso. λ T ( ) : P T (, + d] & T > # P( T (, + d] T > ) P( T > ) # T > λ T # λ T ( ) : λ T ( s)ds f T ( ) èoa. f T ( ) ( ) d d l F ( ) T f T ( ) F T ( ). P T (, + d] F T ( ) iegradoiluo$ F T d ds l ( F T ( s) )ds l F T ( ) l F T ( ) f ( )d T F T, λ T d 9

10 ( s)ds l( F T ( ) ) l F T λ T F T ( ) exp λ T ( s)ds ( ( ) ) F T # λ T ( ) λ T ~ ( λ) $ F T ( ) exp λ ds # λ T P T > + s T > s e λ T s { }.Ricordache: f T { } e λ. ds.. d d F T ( ) P( T < ),( sigificaodecrescee). P( T > + s & T > s) P( T > + s) F ( + s) T P( T > s) P( T > s) F T ( s) P T > + s T > s { } { } exp + s λ ( u)du s ( T λ T ( u)du ) + s exp λ T ( u)du s exp λ T ( u)du P( T > ) F T ( ) exp{ λ T ( u)du }. Facedoigraficivediamoche P T > + s T > s # T èweibull λ T αβ β. { } exp + s { ( λ ( u)du T s )} P( T < ) effeivameeèvera. " Teoremadellimiecerale: # X, X,... variabilialeaorieidipedei,uecolasessaformuladiriparizioe, # E( X )... µ,var( X ) Var( X )... σ. E X k X k E X X mediacampioaria. µ. Var( X ) σ. P( X µ > ε) (leggedeigradiumeri). Var( X µ ) Var( X ) σ. X µ ± k Var( X ) µ ± σ. # X µ σ. # Teoremalimiecerale: X, X,.. variabilialeaorieidipedeicolasessaformuladi riparizioe E( X ) E( X )... µ,var( X ) Var( X )... σ X µ σ lim P X µ σ # Z X µ σ z Φ z z N (,). X Z σ π e u du. + µ, X N µ, σ..

11 # X X k X k Var k X k k k σ. $ Z σ + µ σ Z + µ $ E X N, k k µ,

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16 V.A. di Beroulli Defiizioe: X è di Beroulli ( X~Be(p) ) di paramero p ϵ(,) se : P(x) p P(x) -p Proprieà: E(X) p Var(X) p(-p) Uilizzo: quado ho UNA prova ella uqale ho a disposizioe solo risulai, p è la probabilià che il risulao oeuo sia posiivo. (es: esrarre ua pallia da u ura e corollare che sia del colore desiderao) V.A. Biomiale Defiizioe: X è biomiale di parameri,p ( X~Bi(,p) ) se: Proprieà: E(X) p Var(X) p(-p) X,Y V.A. idipedei X~Bi(,p), Y~Bi(m,p) > (X+Y)~Bi(+m,p) Uilizzo: serve per calcolare la probabilià di avere k successi i prove beroulliae (es: esraedo pallie da u ura SENZA REIMMISSIONE, calcolare la probabilià di avere k di u cero ipo)

17 Desià di Poisso Defiizioe: si uilizza quado >> e p<< X~P(λ) Proprieà: per passare da Biomiale a Poisso: P(λ) Bi(, ) > Bi(,p) P(p) E(X) λ Var(X) λ X,Y V.A. idipedei X~P(λ), Y~P(μ) > (X+Y) ~P(λ+μ) Uilizzo:. Gli evei soo casuali ello spazio (empo) coiuo. Gli evei hao luogo sigolarmee e soo esclusivi 3. Il umero di evei che ha luogo i u dao iervallo è proporzioale alla lughezza delliervallo ; 4. Gli evei soo idipedei 5. La variabile è il umero di evei avei luogo elliervallo cosiderao. V.A. Geomerica Defiizioe: X~Geom(p) se: Proprieà: Uilizzo:. Cè ua successioe di prove;. Due possibili risulai (successo/isuccesso); 3. Le prove soo idipedei; 4. La probabilià ad ogi prova rimae cosae; 5. La variabile è il umero di prove ecessarie per avere il primo successo

18 V.A. Ipergeomerica Defiizioe: La disribuzioe ipergeomerica I(N,M,) descrive la variabile aleaoria X che coa, per elemei disii esrai a caso (i modo equiprobabile) da u isieme A di cardialià N, quai soo el sooisieme B di cardialià M. I ermii più cocrei descrive, daa uura coeee M pallie biache e N-M pallie ere, il umero di pallie biache che vegoo oeue esraedo seza reiserimeo pallie. Proprieà: Uilizzo: serve per calcolare la probabilià di avere k successi i prove (es: esraedo pallie da u ura CON REIMMISSIONE, calcolare la probabilià di avere k di u cero ipo) DISTRIBUZIONE Defiizioe: La disribuzioe χ (k) descrive la variabile aleaoria, dove X,...,X k soo variabili aleaorie idipedei co disribuzioe ormale sadard paramero k è deo umero di gradi di liberà.. Il Proprieà: Uilizzo: I saisica la disribuzioe χ viee uilizzaa per codurre il es di verifica dipoesi χ e per simare ua variaza