(x + 1) α (1 x) 3 α per x ( 1, 1) 0 per x / [ 1, 1]

Transcript

1 Corsi di Probabilià, Saisica e Processi socasici per Ig dell Auomazioe, Iformaica e If Ges Azieda // Esercizio Si osserva l iesià del veo el poro di Maria regisrado uo ogi gioro i cui il veo o supera ua cera soglia di allarme λ, mere segado ogi vola che la supera Per semplicià si suppoga che il veo elle diverse giorae sia idipedee e che le giorae siao saisicamee uguali Si iiziao le osservazioi il gioro dell ao i 3 p Suppoiamo che, su giori di osservazioe, la soglia λ sia saa superaa 5 vole Siamo idoi a dire che la probabilià che la soglia vega superaa i ua geerica gioraa è 5 Saprese spiegare queso legame ra il fao che la soglia è saa superaa 5 vole su ed il fao che la probabilià di superameo i u geerico gioro è 5 ramie u ragioameo maemaico opporui eoremi o calcoli? ii 3 p Esprimere maemaicamee l eveo: ei primi dieci giori ci soo due giori di veo superiore a λ e calcolare la probabilià iii 3 p Esprimere maemaicamee l eveo: il primo gioro di veo superiore a λ è il decimo e calcolare la probabilià Esercizio Si cosideri la fuzioe f x C α { x + α x 3 α per x, per x / [, ] i p Trovare per quali valori di α la fuzioe f è ua desià di probabilià o si chiede di calcolare C α Calcolare C α per α ii p Dea X ua va co ale desià, poso Y X, calcolare la desià di Y esprimedo il risulao fiale complessivo iii 3 p Sabilire per[ quali valori di α la va Y ha media fiia iv 3 p Calcolare E X + ] quado α 3 Esercizio 3 Cosideriamo la caea di Markov su E {,, 3,, 5, 6} associaa alla seguee marice di rasizioe P / / / / /8 /8 5/8 / / / / / / / / i 3 p Disegare il grafo, classificare gli sai, rovare le classi irriducibili, descrivere a priori la sruura geerale di ue le misure ivariai ii 3 p Calcolare ue le probabilià ivariai della caea Se possibile, maeere i risulai i forma di umeri razioali esai frazioi di ieri per maggior racciabilià dei calcoli iii p Idicaa co p la probabilià di rovarsi ello sao j al empo dopo essere parii dallo sao i al empo, calcolare il limie a cui coverge p, per i valori di i, j per cui si riesce

2 x x ++x, S i x i x i x i i x i x, Ĉov i x i x y i y, r x, i x i x y i y!,! k! k! k! k+ k! P A B P A B P B P B A P B P A k P A B k P B k P B A i x iy i xy Ĉov S xìx S Y i x i xy i y i x i x i y i y, P A B P A B P B A, B idipedei: P A B P A P B, P A B P A, P A BP B P A X discrea, valori a j, P X a j p j, allora E [X] j a jp j, E [g X] j g a j p j, E [ X ] j a j p j P X A i:a i A P X a i i:a i A p i X N, P X i p i, P X i p i X coiua, desià f x, allora E [X] xf x dx, E [g X] g x f x dx, i paricolare E [ X ] x f x dx P X A A f x dx V ar [X] σ X : E [X µ X ] dove µ X E [X] V ar [X] E [ X ] µ X Cov X, Y E [X µ X Y µ Y ], Cov X, Y E [XY ] µ X µ Y ρ X, Y CovX,Y σ X σ Y ρ X, Y E [ax + by + c] ae [X]+bE [Y ]+c V ar [X + Y ] V ar [X]+V ar [Y ]+Cov X, Y V ar [ax] a V ar [X] Sadardizzazioe di X: X µ X σ X X, Y idipedei: P X A, Y B P X A P Y B Implica E [XY ] E [X] E [Y ], Cov X, Y, ρ X, Y, V ar [X + Y ] V ar [X] + V ar [Y ] F x P X x F f x dx F f F q α α ϕ E [ e X], ϕ E [X], ϕ E [ X ] ; ϕ ax E [ e ax] ϕ X a X, Y idipedei implica ϕ X+Y ϕ X ϕ Y X B, p : P X k k p k p k, E [X] p, V ar [X] p p, σ p p, ϕ q + pe dove q p X,, X B, p idipedei implica S X + + X B, p X ipergeomerica di parameri N, M e : P X k N M k k co k,,, N+M X P λ: P X k e λ λk k!, E [X] λ, V ar [X] λ, σ λ, ϕ e λe Se p λ allora lim k p k p k e λ λk k! X N µ, σ : f x exp x µ E [X] µ, V ar [X] σ, ϕ e µ e σ X, Y gaussiae πσ σ idipedei, a, b, c R implica ax + by + c gaussiaa X N µ, σ si può scrivere come X σz + µ, co Z N, F µ,σ x Φ x µ σ Φ x Φ x qα q α Soglie µ ± σq α X Exp λ: f x λe λx per x, zero per x < E [X] λ, V ar [X], σ λ λ, ϕ F x e λx per x, zero per x < TLC: Poso S X + + X, si ha P A P Z A, co Z N, Correzioe di coiuià: P S k Φ X X ++X µ X ± σq x µ σ N µ, σ ; µ X ± S > q α x µ S χ α, T k p i p i i p i S µ σ k+,5 µ σ, co k N E [ S ] σ S σ χ > α P Z > k i x µ S X i p i p i > χ α,k λ λ per < λ [, P µ X µ σq, µ + σq ] S > σ y A + Bx, B Ĉov S X r S Y S X, y A + Bx

3 Soluzioi Esercizio Come premessa geerale, iroduciamo va X, X, di Beroulli idipedei che segao la preseza o meo del veo fore ei diversi giori X se il gioro -esimo il veo supera λ i La legge dei gradi umeri dice che X ++X coverge a E [X ] i media quadraica ed i probabilià Il rapporo X ++X è la perceuale di giori di veo fore Se p è il paramero delle Beroulli X, cioè p probabilià che la soglia vega superaa i ua geerica gioraa, vale E [X ] p, quidi X ++X coverge a p E quidi aurale associare la probabilià che la soglia vega superaa i ua geerica gioraa alla perceuale di giori di veo fore Nello specifico, per è sao osservao osservao che vale x ++x 5 5 ii L eveo A ei primi dieci giori ci soo due giori di veo superiore a λ si può scrivere ella forma A {X + + X } La va X : X + + X è ua B, p, p 5, quidi P A P X iii L eveo B il primo gioro di veo superiore a λ è il decimo si può scrivere ella forma Per l idipedeza, B {X, X,, X 9, X } P B P X P X P X 9 P X Esercizio i Per α > la fuzioe x + α è iegrabile su, ; per 3 α > la fuzioe x 3 α è iegrabile su, ; quidi servoo le due codizioi isieme α > e 3 α >, ovvero Per α vale C f x dx < α < x + x dx x + x + x dx x x + x 3 + x + x dx x x + x 3 dx [x x x3 3 + x ] quidi C 3 ii F Y P Y P X Se, P Quidi, se >, Se >,, X Alrimei, se >, P X P X P X < F X + F X f Y f X,, quidi f Y C α + f X [ f X + f X ] [ α + 3 α + α + ] 3 α Ivece, se, ], f X fx i realà il calcolo differeziale precedee adrebbe risreo a Quidi f Y I coclusioe f Y { Cα + α 3 α per > per

4 iii Mai Ifai, f Y d diverge a causa del ermie, osservado che gli alri ermii edoo alla cosae C α, idipedeemee da α iv x+ [ E X + ] x + f x dx C 3 [ C d C 3 Iolre, adrebbe calcolaa C 3 Per α 3 vale 8 ] C C3 f x dx x + 3 dx x+ [ 3 d x + +3 dx quidi C 3 I coclusioe, E [X + ] Esercizio 3 i Lo sao è rasiorio, gli alri ricorrei; {, 5} e {3,, 6} soo irriducibili Le disribuzioi ivariai hao la forma α π,,,, π 5, + α,, π 3, π,, π 6 co α [, ] e π, π 5 ivariae uica della soocaea {, 5}, π 3, π, π 6 ivariae uica della soocaea {3,, 6}, ii La classe {, 5} ha u uica disribuzioe ivariae, uiforme per simmeria: π, π 5, L alra, relaiva alla classe {3,, 6}, va calcolaa col bilacio di flusso o alro modo Vale ovvero π 3 p 3 + p 36 π p 3 + π 6 p 63 π p 3 + p 6 π 3 p 3 + π 6 p 6 π 3 + π + π 6 π 3 7/8 π / + π 6 / π 3/ π 3 /8 + π 6 / π 3 + π + π 6 ] da cui ad esempio π 3 π /7 + π 6 /7 π /7 + π 6 /7 + π + π 6 π 3/ π /7 + π 6 /7 + π 6 / π 3/ /7 π 6 /7 + / π /7 + + π 6 /7 + π 6 [ /7 + /7 + / 3/ /7 π π 6 [ /7 + 3/ /7 π 6 ] + /7 + ] 3/ /7 / / /7 /7 + / /7 + / /7 + 3/ /7 /7 + π 3 π /7 + π 6 /

5 Verifichiamo per sicurezza: Tue le disribuzioi della caea complessiva hao la forma α,,,,, + α,,, 7,, co α [, ] iii Per i e j {, 5} vale mere per j {3,, 6} vale p + p + p 5j p 3j quidi è suffi ciee capire p j Ifie, per l irriducibilià, basa capire p valori umerici di π, cerchiamo di capire p per i Iolre, per j ali probabilià soo ulle, quidi ci resrigiamo ache a per i, j {, 5} e poi separaamee per i, j {3,, 6} A pare i per i, j {, 5} Qui si raa della marice di rasizioe / / P / / che è regolare e quidi essedo lo spazio degli sai fiio vale la covergeza all equilibrio, ovvero p ede alla misura ivariae i j E però facile verificare che P P, quidi p /, quidi ede a / ache seza l uso di eoremi Perao, per ora, p j p per j, 5 per i, j, 5 I ragioamei per la classe {3,, 6} soo aaloghi; qui va usao il eorema di covergeza all equilibrio e la codizioe di regolarià, e vao usai i valori specifici della misura ivariae: p j p j p j 7 per j 3 per j per j 6 p π j per i, j 3,, 6