SEGNALI, SISTEMI E OPERATORI

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1 SEGNALI, SISEMI E OPERAORI Alla base dell eleroica c è lo sudio dei segal dei sisemi e del modo come i segali si propagao ei sisemi. Per redere più agevole la raazioe è ecessario irodurre dei meodi maemaici... Segali U segale è ua gradezza fisica, geeralmee variabile el empo, cui si aribuisce u sigificao. Idichiamo co f() il segale e co fm ed fm, rispeivamee i limii fiii del segale. f m f() f M. Se aribuiamo sigificao a ui i valori che il segale assume ell'iervallo i cui è defiio diciamo che il segale e aalogico. Se, ivece, aribuiamo seso solo ad u umero limiao di iervall diciamo che il segale è umerico. Quado gli iervalli soo solo due allora il segale viee deo biario o digiale. Ad u segale voluamee prodoo è possibile che si sovrappoga qualche alro segale o desiderao che, a secoda della sua origie, prede il ome di rumore o di disurbo. U rumore è u segale idesiderao che si sovrappoe al segale ed è prodoo dallo sesso sisema che lo maipola. U disurbo è u segale che si sovrappoe all'iero del sisema sesso, ma proviee dal suo esero. Iolre, u segale, araversado u sisema, può veire deformao i modo o voluo. Si parla, i al caso di disorsioe. Le iformazioi coeue i u segale cui è sovrapposo u rumore od u disurbo o che è deformao ell'araversameo di u sisema possoo o essere più ielligibili. Cosideriamo, per esempio, u sisema composo dallo spazio araverso cui viaggia u segale elevisivo, dall aea ricevee e dal elevisore. Il segale, prodoo dal rasmeiore, emesso i modo eoricamee perfeo, el viaggiare araverso lo spazio per raggiugere il riceviore, viee modificao per la preseza di segali elerici di disurbo, come, ad esempio, le scariche amosferiche o quelle prodoe ei moori a scoppio o dalle spazzole di quelli elerici. All'igresso del riceviore è presee sia il segale che il disurbo. Iolre, gli sessi compoei elerici che cosiuiscoo il elevisore producoo correi e esioi casuali che cosiuiscoo il rumore. Per fiire, poiché il riceviore o è ideale, ache i asseza di rumore e disurb la qualià dell'immagie e del suoo o sarebbe mai perfea a causa del fao che i segal ell'araversare il riceviore o vegoo rasmessi idealmee ma soo deformai i modo idesiderao. I queso sa la disorsioe.

2 Segal sisemi ed operaori Fig..- (c) (d) 5 5 La Fig..- mosra due esempi di segali come soo sai rasmessi (sopra) e modificai da disurb rumore e disorsioi (soo). Il segale di siisra è di ipo umerico, quello di desra aalogico. É evidee che, per quesi effei idesidera la perdia di ielligibilià è miore per i segali umerici che per quelli aalogici. Ma ache se queso aspeo farebbe propedere verso la scela dei segali umerici per la rasmissioe dei da vi soo alri faori che, a secoda dei cas fao scegliere u ipo di rasmissioe aziché l'alra. Per il momeo rascuriamo compleamee la preseza del rumore, dei disurbi e delle disorsioi... Segali umerici o discrei 6 5 d Fig I Fig..- soo mosrai due esempi di segali umerici. Il primo si riferisce ad u segale biario. Il secodo ad uo a quaro livelli. Il sigificao dei due segali è deermiao dalle covezioi adoae. I u sisema sicroo, il valore umerico va cosiderao ad iervalli regolari. Se l'iervallo ha duraa d, allora il primo segale assume la successioe di,,,,,,,,,, ec e l'alro,,,,,,,,,,, ec. Nel caso di sisema asicroo il sigificao che si da al primo segale è,,,, ec. Ed al secodo,,,,,,, ec. Nel passaggio di u segale da u livello ad u alro esso prede dei valori che o vegoo defiii. Per esempio si può scegliere, per u segale biario, come livello di la esioe fra e.8 e come livello di u segale di esioe fra. e 5. Quidi o viee aribuio alcu sigificao alla esioe fra.8 e... Segali aalogici Ci occuperemo delle proprieà geerali dei segali emporali. Sudieremo, iolre, alcui e- sempi di segali aalogici che hao paricolari caraerisiche e rivesoo imporaza fodameale ello sudio della eleroica. d

3 Segal sisemi ed operaori... Segali impulsivi Ua defiizioe qualiaiva dice che u impulso è u segale che è diverso da zero solo per u limiao iervallo di empo. La Fig..- mosra alcui esempi di segali impulsivi. I ordie, da siisra a desra e dall'alo i basso, soo mosrai u impulso reagolare, u impulso espoeziale prima crescee e poi decrescee, u impulso siusoidale, u reo d'oscillazioi di ampiezza cosae, u reo d'oscillazioi di ampiezza variabile ed u impulso bipolare.. (c) (d) (e) (f) Defiiamo coeuo c di u impulso f() i u iervallo : c= f () d. Defiiamo eergia e di u impulso f() ello sesso iervallo [.-] e= f ( ) d. [.-] Si iede che l'iervallo può essere uo l'asse dei empi. Cioè - < < +. I al caso si parla semplicemee di coeuo e eergia seza specificare alro. Ua defiizioe più accuraa di impulso dice che la sua eergia deve essere o zero e fiia. Di u impulso è possibile defiire alcui alri parameri. La Fig..- ci cosee di illusrare meglio le relaive defiizioi. Si defiisce ampiezza M il valore assoluo del massimo assoluo, mere la differeza fra massimo e miimo prede il ome di valore picco-picco e si idica co pp. Il empo di salia s è il empo che impiega M Fig..- pp Fig D s 5 5 d

4 Segal sisemi ed operaori il segale a salire dal % al 9% del suo valore fiale. Il empo di discesa d è il empo che impiega il segale a scedere dal 9% al % del suo valore iiziale. La duraa D è il empo i cui il segale si maiee al di sopra del 5% del suo valore pp.... Segali periodici U segale periodico f() si ripee allo sesso modo el empo. Per esso deve essere f() =f(+) per ogi > [.-] co cosae. Il più piccolo valore di prede il ome di periodo. Il suo iverso è la frequeza e rappresea il umero di periodi coeui i u secodo. La Fig..-5 mosra alcui esempi di segali periodic ell'ordie u oda siusoidale, u oda a dee di sega ed u oda quadra (c) Fig..-5 Quesa vola se si facesse il calcolo del coeuo e dell'eergia si roverebbe, i geere, u valore ifiio. Nel caso di segali periodici è meglio parlare di coeuo medio come il coeuo i u periodo diviso lo sesso periodo. Spesso si preferisce usare i ermii valor medio o valore i coiua. Il valor medio di u segale f() viee idicao co <f> oppure fmed. Perao + f med =< f >= fd () = fd (). [.-] Se dal segale f periodico viee sorao il suo valor medio fmed si oiee il suo valore alerao fa il cui valor medio è ovviamee ullo. med a Fig..-6 Cosideriamo solo u periodo. Possiamo defiire empo di salia, empo di discesa. Iolre possiamo parlare, come el caso dei segali impulsiv di ampiezza e del valore picco-picco. I Fig..-6 è illusrao l'esempio di u segale periodico di cui viee mosrao il valor medio med ed il valore alerao a. Dalle defiizioi f() =fmed + fa() [.-5] Ivece di eergia, per i segali periodic ha seso parlare di poeza media:

5 Segal sisemi ed operaori 5 + < f > = = f d f () () d [.-6] Ua defiizioe più accuraa di segale periodico dice che la sua poeza media deve essere o zero e fiia. Cioè < < f > = < f () d Cosideriamo la poeza media di u segale f a parire dal suo valor medio e dal suo valore alerao. Uilizziamo la [.-5]. Si ha <f > = <(fmed+fa) > = <fmed +fmedfa+fa > = fmed +fm<fa>+<fa > = fmed +<fa >, cioè <f > = fmed +<fa >. [.-7] La poeza media di u segale periodico è la somma della poeza della compoee media e della poeza media di quella aleraa. Per fiire defiiamo valore efficace la radice quadraa della poeza media. Cioè: f ef = < f > = f () d. [.-8] Più avai daremo seso alle parole valore efficace. Adoperado le defiizioi precedei e la [.- 7] si ha fef = fmed +faef. [.-9] Il valore efficace di u segale si oiee a parire dal suo valor medio e dal valore efficace della sola compoee aleraiva secodo la [.-7]. Somma di più' segali periodici di periodo diverso Uo dei problemi che si può icorare ello sudio dei segali periodici è la deermiazioe del periodo quado il segale è la somma di più segali periodici di diverso periodo. Siao f() e h() due fuzioi periodiche di periodo rispeivamee f = Nf/Df e h = Nh/Dh, dove Nf, Df, Nh e Dh soo ieri. Sia MD il m.c.m fra Df e Dh. Allora poremo scrivere Nf MD Df f = Nh MD Dh e h =. MD MD Sia MN il m.c.m. ra Nf MD/Df e Nh MD/Dh. Il periodo comue ai due segali è c = MN/MD. [.-] La Fig..-7 mosra u segale periodico di periodo, u segale periodico di periodo e il segale somma di periodo c (c) Fig..-7

6 6 Segal sisemi ed operaori... Segali casuali Ad ua imporae caegoria apparegoo i segali casuali o radom. Essi o soo deermiisici. uavia di essi possoo essere dae delle iformazioi saisiche. p Cosideriamo il segale casuale di Fig..-8a. Si osserva che la sua ampiezza è sosazialmee compresa i ua fascia. Suppoiamo di campioare, cioè misurare, il valore che il segale assume ad iervalli di empo regolari e molo srei. Cosruiamo ua figura, dea spero Fig..-8 d'ampiezza, i cu i fuzioe di meiamo il umero di vole N() che il segale assume il valore ± ( è la precisioe co cui eseguiamo la misura). È meglio ormalizzare al umero di misure complessive N. Si oiee qualcosa di simile alla Fig..-8b. La quaià N()/N rappresea la probabilià p che la esioe assuma u valore di ±. Per essere più precisi la figura ripora la desià di probabilià dell'ampiezza Se il segale è umerico, come quello mosrao ella Fig..-9a, lo spero assume la forma riporaa ella Fig..-9b. Si oa che, quesa vola, sull'asse delle ascisse o si mee la esioe, ma il valore assegao f alla variabile ell'iervallo. Iolre o è deo che gli iervalli siao ui eguali ma essi dipedoo da quale seso si è aribuio alla fuzioe. È chiaro che se del segale di Fig..-9a si facesse lo spero delle ampiezze assumedolo come coiuo si oerrebbe ua figura differee come quella di Fig..-9c. Per u segale umerico si avrà: pi =. [.-] i Si può defiire il valore medio < f = pi f [.-] > i ed l alezza quadraica media < f = pi f P 5 Fig..-9 > i Si possoo esedere le precedei ai segali coiui oeedo: i. [.-] pdv = ; [.-] il valore medio < f > = pfdv; [.-5] f P (c) 5

7 Segal sisemi ed operaori 7 e l alezza quadraica media < f > = pf dv. [.-6] Alcui processi sazioar come, ad esempio il rumore possoo essere descrii da fuzioi probabilisiche. I al caso il suo valore efficace corrispode alla variaza e lo spero d ampiezza del segale è ua gaussiaa.... Segali complessi U segale il cui valore isaaeo è u umero complesso è u segale complesso. Esso può essere scrio come f = Re + jim. [.-7] Il suo complesso coiugao f * è f * = Re - jim. [.-8] La pare reale e l'immagiaria possoo essere ricavae come Re = (f+f * )/. [.-9] j Im = (f-f * )/. [.-] Il segale complesso può ache essere espresso i forma rigoomerica come f= f (cos ϕ + j se ϕ). [.-] Ed il modulo quadro è f = f f * = Re + Im, [.-] e l'argomeo ϕ = arcg(im/re). [.-] L eergia e ell iervallo e la poeza media e= f d, [.-] p f = d = d ( R e + Im ) [.-5]...5 Operazioi sui segali Sui segali si possoo eseguire diversi ipi di operazioi. Comiciamo ad occuparci di quelle che riguardao la variabile idipedee. Facciamo rilevare che quesa può essere ua qualuque gradezza fisica, ache se cosidereremo quasi sempre il empo. Cambio della scala dei empi Il cambio della scala dei empi compora ua sosiuzioe della variabile co il ermie /a. Il faore di scala è, duque, a. I Fig..- soo mosrae le cosegueze del cambio di scala su di = 5 s =. s = s (c) a = / a = Fig

8 8 Segal sisemi ed operaori ua oda a dee di sega. I praica, a secoda che a sia maggiore o miore di si ha ua dilaazioe od ua compressioe della figura el seso dell asse delle ascisse. Nulla cambia, ivece el seso dell alro asse. raslazioe della variabile empo Operazioi sui segali e loro proprieà Ua raslazioe del empo di ua quaià τ di ua f() si oiee sosiuedo alla variabile la variabile -τ. La fuzioe raslaa viee idicaa co v(-τ). I Fig..- è mosrao u esempio di u impulso raslao proprio della quaià τ. U sisema può essere sudiao come ua scaola era, Blocco, che esegue ua deermiaa operazioe sul segale. I geerale defiiamo i() l'igresso del blocco e u() la i() sua uscia. Se siamo i asseza di rumore, disurbi o disorsioi si dice che il sisema ha effeuao ua operazioe o rasformazioe sul segale. Se eiamo coo della preseza di rumore, disurbi e disorsio quello che abbiamo i igresso è il segale, mere all'uscia oerremo il segale modificao dalla preseza di rumore, disurbi e disorsio olre che, evideemee, dall operazioe che il blocco deve eseguire. Il blocco viee rappreseao come u reagolo co frecce erai ed uscei. Le erai si riferiscoo alle variabili d igressi o cause, le uscei a quelle d uscia o effei. I Fig..- è mosrao ua rappreseazioe di u geerico blocco. Moliplicazioe per ua cosae Se u blocco da come uscia ua replica dell'igresso, a pare u faore di scala i() u() k = 8 k k, (posiivo o egaivo), si dice che esso esegue la moli- i() u() plicazioe per ua cosae k. La relazioe fra l igresso e l uscia del blocco moliplicaore viee espressa dalla rela Fig..- zioe u() = k i(). [.-6] La Fig..- mosra u segale d'igresso e l'uscia moliplicaa per. Nella sessa figura è rappreseao il blocco moliplicaore. Liearià' B Fig..- u() Fig..- τ U blocco lieare soddisfa a quese due codizioi: PROPORZIONALIÀ; SORAPPONIBILIÀ. La prima proprieà dice che u blocco lieare, applicado all'igresso u segale k vole superiore, forisce ua uscia k vole più grade. La sovrappoibilià corrispode al fao che, i u blocco o

9 Segal sisemi ed operaori 9 u sisema lieare, l'uscia che si oiee applicado all'igresso la somma di due segali e la somma delle uscie che si oerrebbero applicado separaamee, ua alla vola, i sigoli segali. Formalmee: uk [ i()] = k ui( [ )] ui [ ( ) + i( )] = ui [ ( )] + ui [ ( )]. [.-7] Somma U blocco può ache avere più igressi. U caso ieressae è quello del blocco sommaore. La [.-8] esprime la fuzioe realizzaa dal blocco sommaore mosrao soo. u () = i() + i () [.-8].5 i () i () (c) u() i () i() u() Fig..- La Fig..- mosra l'operazioe eseguia da u sommaore sui due segali i e i. Derivazioe L'operaore che esegue la derivazioe dell'igresso i() e forisce ua uscia u() di() u () =, [.-9] d prede il ome di derivaore. Nella Fig..-5 u segale è mosrao, isieme co la sua derivaa. L'uscia è posiiva o egaiva secodo che la fuzioe cresce o decresce. U blocco può eseguire la derivaa -esima sul segale. I al caso la fuzioe igresso-uscia è Iegrazioe L'operaore che esegue l'iegrale del segale d'igresso i() forisce ua uscia u() ale che u () = i(d ). [.-] o Il blocco corrispodee è u iegraore. Nella Fig i() Fig di() u () =. [.-] d i() 8 6 Fig..-6 i() u() i() di( ) d u() u() u()

10 Segal sisemi ed operaori è mosrao u esempio di iegrazioe di u segale. Riardo U blocco riardaore esegue la fuzioe defiia da u() = i(-τ). [.-] Il risulao dell'operazioe è sao già mosrao ella Fig..-. Smorzameo Molo spesso si icorao segali smorzai. Essi vegoo oeui mediae u operaore deo smorzaore defiio dalla [.-] f() = i() e -α. [.-] (c) 5 i() 8 5 e α i() u() e α u() Fig..-7 Nella Fig..-7 è mosrao u esempio di smorzameo. U'oda siusoidale è applicaa all'igresso del blocco smorzaore che da i uscia ua oscillazioe smorzaa. Covoluzioe La covoluzioe fra due segali f() e h() o fra u segale ed ua fuzioe del empo, viee defiia come fh() = f() h( ) d; [.-] Il sigificao e l'imporaza della covoluzioe sarao evidei più avai. Nella Fig..-8, a siisra è mosrao il blocco che esegue la covoluzioe f() u() f() u() fra due segali. A desra è riporao il h() [h()] blocco che esegue la covoluzioe del segale f() co la fuzioe h(). Fig..-8 Correlazioe Siao f() e h() due segali. Defiiamo fuzioe di correlazioe ψfh(τ) i u iervallo fh( ) = f ( + ) hd ( ) ; E, aalogamee hf( ) = h ( + ) fd ( ) ; [.-5] [.-6] Se l'iervallo è illimiao, allora almeo uo dei due segali deve essere u impulso per eviare che ψ diverga. I al caso

11 Segal sisemi ed operaori fh( ) = f ( + ) hd ( ) ; hf( ) = f( ) h( + ) d. [.-7] Se i segali soo periodici è coveiee scegliere per iervallo il periodo e fh ( ) = f( + ) h( ) d; hf ( ) = f( ) h( + ) d. Nel caso di segali complessi le fuzioi di correlazioe soo defiie come [.-8] * * fh( ) = f( + ) h ( ) d; hf( ) = f ( ) h( + ) d. [.-9] Se i segali complessi soo ache periodici fh ( ) f( ) h * = + ( ) d; * ψ hf( τ) = f ()h( )d. + τ [.-] Quado i segali soo real per calcolare ψfh(τ) si rasla f() a siisra di τ. Si sarebbe oeuo lo sesso risulao raslado a desra h. E dal momeo che f( + ) h( )) d = f( ) h( ) d, allora ψfh(τ) = ψhf(-τ) [.-] Nel caso dei segali complessi * f ( + τ)h ()d = * f ()h ( τ)d, allora ψfh(τ) = ψhf * (-τ) [.-] Auocorrelazioe Se le due fuzioi soo ideiche si defiisce la fuzioe di auocorrelazioe come la correlazioe fra le due fuzioi ideiche e si idica co ψf(τ). Ovviamee: f( ) = f( + ) f( ) d; [.-] f( ) = f( + ) f( ) d; [.-] f ( ) = f( + ) f( ) d; [.-5] * f( ) = f ( + ) f( d ) ; [.-6] f ( ) f( ) f * = + ( ) d. [.-7] valide, i ordie, per segali qualuque, per segali impulsiv per segali periodici real per segali complessi e per segali complessi periodici. Ua osservazioe da fare su ψf(). Da quao deo fiora è chiaro che per le [.-], [.- ], [.-6], rappresea l'eergia del segale, mere per le [.-5] e [.-7] è la poeza media.

12 Segal sisemi ed operaori I coefficiei di correlazioe Sia c u coefficiee umerico per il quale moliplichiamo h(). Soraiamo a f() la quaià c h(). Si oiee u segale f()- c h() la cui eergia ell'iervallo è, secodo la [.-] [f()- c h()]. Il valore cfh di c che miimizza l'eergia di f()- c h() è [MAS] cfh = ψfh()/ψh() [.-8] e prede il ome di coefficiee di correlazioe di h() rispeo ad f() ell'iervallo. Esso dice quae vole si deve sorarre h() da f() per oeere u segale ad eergia miima. I modo aalogo si defiisce il coefficiee di correlazioe chf di f() rispeo ad h(). Aalogamee esso è chf = ψhf()/ψf() [.-9] Le due espressioi precedei soo valide i geerale, idipedeemee dal ipo di segale, se reale o complesso, se periodico o o e se il coefficiee viee calcolao i u iervallo limiao o o. uo va bee, purché per ψ si adoperio, di caso i caso, le opporue espressioe. Nella Fig..-9 soo mosrai due segali impulsivi. Le figure accao mosrao i segali f f-cfh h (f-cfh h) (c) h -.5 h-chf f cfh =.9.. (h-chf f) Efh = (d) (e) (f).6. chf = Fig..-9 differeza e le rispeive eergie miime. I modo più geerale si può defiire il coefficiee di correlazioe fra la f(+τ) e la h(). Cioè si calcola la correlazioe fra la f() raslaa di τ e la h(). Ovviamee il coefficiee di correlazioe o è più cosae ed assume la forma cfh(τ)= ψfh(τ)/ψh(), chf(τ)= ψhf(τ)/ψf(), [.-5] acora ua vola valide i geerale, idipedeemee dal ipo di segale usado la defiizioe che di vola i vola si applica a ψ. Orogoalià U segale f() è orogoale ad u segale h(), i u iervallo, se il coefficiee di correlazioe cfh è ullo. Ciò sigifica, che il eaivo di esrarre da f() u segale cfh h() ed oeere uo di eergia o poeza media miima fallisce. Per essere cfh =, dalla [.-5], deve essere fh ( ) = = f() h() d = h()() f d = hf( ) =

13 Segal sisemi ed operaori Come f o è coeuo i h ache il viceversa vale. No si può esrarre e f() da h() e h() da f(). A secodo che dei cas l'eergia del segale somma è eguale alla somma delle eergie dei sigoli segali. Oppure, per segali o impulsiv la poeza media del segale somma è eguale alla somma delle poeze medie dei sigoli segali. L'efficieza di correlazioe Per i segali reali si defiisce, l'efficieza di correlazioe fh hf fh Efh( ) cfh( ) chf( ( ) ( ) [ ( )] = ) = = f( ) h( ) f( ) h( ), i cui si è fao uso della [.-]. Per i segali compless ivece * fh( ) hf( ) fh( ) fh ( ) fh( ) Efh( ) = cfh( ) chf( ) = = = f( ) h( ) f( ) h( ) f( ) h( ), i cui si è uilizzaa la [.-]. f h 6.5 Il moivo per cui si esegue il prodoo cfh(τ) chf(-τ) sa el fao che sposare a 5.5 desra la f() di τ corrispode a fare alreao a siisra co la h()..5 Le ampiezze dei due segali o.5 hao alcua imporaza, ai fii del calcolo dell'efficieza di correlazioe, solo le loro E fh (τ) forme icidoo su ale efficieza. Efh(τ). corrispode alla somigliaza fra le fuzioi.5. f ed h raslae di τ. Efh(τ) varia co τ. All'isae. τm i cui Efh(τM) è massima, la repli-.5. cfh(τ) chf(τ) ca di h raslaa di τm assomiglia a f al massimo. Fig..- L'efficieza è u umero posiivo f h.5 o superiore ad. Se Efh(τM) è uiaria, sigifica che, a pare ua cosae moliplicaiva, 8 il segale h, raslao di τm è ideico 6.5 a f. Efh(τ) = per ogi τ vuol dire che i due.5 segali o hao proprio iee i comue. I queso caso si dicoo scorrelai..5 Per aiuare a compredere meglio quao fiora è sao deo soo riporai alcui esempi..5 (c).8 E fh(τ) La Fig..- è relaiva a due impuls chf(τ).6 uo reagolare, l'alro siusoidale...5 La Fig.-c mosra i due coefficiei di cfh(τ)..5 correlazioe, mere l'ulima figura fa vedere l'efficieza di correlazioe. Il massimo si ha quado i due impulsi si sovrappogoo Fig..- al meglio ed è del.- %. 5 E = % [.-5] [.-5] E hf (τ) E = % E hf(τ) 5 5 (d)

14 f massima per τ =, ovviamee. Modulazioe di ampiezza Segal sisemi ed operaori cfh(τ) chf(τ) h Fig..- E fh(τ) E = % Ehf(τ) La Fig..- si riferisce alla correlazioe di due impulsi siusoidali di eguale forma ma raslai e di diversa ampiezza. Le due fuzioi di correlazioe soo ideiche ed ache i coefficiei di correlazioe lo soo, a pare u faore di scala. L'efficieza di correlazioe divea uiaria quado τ è proprio il riardo fra i due impulsi e ques a pare u coefficiee, soo proprio sovrappoibili. La sessa cosa è saa faa i Fig..- co due impulsi uipolari simili raslai e di sego corario. Per quao riguarda l'efficieza di auocorrelazioe di qualuque segale essa è Dao u segale vm = Mgm(), [.-5] co ampiezza M, deo segale modulae ed u segale periodico siusoidale di frequeza fp ed ampiezza P vp = Pcos(πfp), [.-5] am Fig..- deo porae. Si dice segale modulao i ampiezza il segale vam = p[+magm()]cos(πfp), [.-55] m ma viee deo idice di modulazioe. u() p AM Nella Fig..-a è mosraa l'oda porae. Nella Fig..-b il segale modulae che è u dee di sega e ella Fig..-c il segale modulao. Si oa bee che l'effeo della modulazioe è di fare Fig..- variare l'ampiezza della porae così come varia il segale modulae. U blocco che esegue la modulazioe d'ampiezza viee rappreseao ella Fig..-. fr Fig..-5 Modulazioe di frequeza Dao u segale vm = Mgm(), [.-5] co ampiezza M, deo segale modulae ed u segale periodico siusoidale di frequeza fp ed ampiezza P vp = Pcos(πfp), [.-5] deo porae. Si dice segale modulao i frequeza il segale vfr = pcos {πfp[+mfgm()]]}, [.-56] mf viee deo idice di modulazioe.

15 Segal sisemi ed operaori 5 U blocco che esegue la modulazioe d'ampiezza viee rappreseao come a lao. La Fig..-5. mosra l'effeo della modulazioe di frequeza sugli sessi segali di Fig..-. La frequeza della porae dimiuisce quado il segale modulae è egaivo, mere cresce quado è posiivo. m p FM Fig..-6 u()...6 Segali fodameali Defiiamo alcui segali fodameali. La loro imporaza è basilare, ache se si raa di pure asrazioe eoriche. Gradio uiario La Fig..-7a rappresea u gradio uiario. Esso viee defiio come per >.. g () =. [.-57] per Nella Fig..-7b c'è la.8.8 rappreseazioe di u gradio.6.6 uiario raslao di τ. Esso è defiio come.... per > 5 5 g ( ) =. [.-58] per Fig..-7 Il gradio uiario è paricolarmee 5 5 imporae per rappreseare i segali discoiui. Sommado ad u segale coiuo u gradio di ampiezza a riardao di τ si produce ua discoiuià al segale coiuo co u salo pari ad a al empo τ. Impulso uiario o δ Prediamo i cosiderazioe u impulso come quello rappreseao i Fig..-8. La sua ampiezza, ell'iervallo d, è /d ed è zero alrimei. L'impulso ha duque ua area uiaria. iee defiio impulso δ (fuzioe dela di Dirac) l'impulso che si oiee al limie quado d ede a zero. Duque + () d= () d=. [.-59] Per covezioe rappreseiamo la fuzioe dela come ua barrea all'isae i cui avviee. Nella sessa Fig..-8 è mosraa ua δ(-τ). Applichiamo ua dela ad u iegraore. Si ha + per > () d= () d= () d= = g (), per che o è alro che il gradio uiario. Poiché, quid il gradio è l'iegrale della dela, segue, baalmee, che la dela è la derivaa del gradio. Espoeziale complesso 5 5 I segali espoeziali soo di esrema imporaza. Sudieremo, per ora, i geerale, i segali espoeziali complessi. Sia ρ u umero complesso ρ = σ + jω. [.-6] d δ(-τ) Fig..-8

16 6 Segal sisemi ed operaori Defiiamo u espoeziale complesso uiario come e ()= e per > [.-6] Usado le formule di Eulero l'espoeziale complesso è esprimibile i u'alra forma: ( ) e e + e j () e e j = = = = e (cos+ jse ). [.-6] L'imporaza del segale espoeziale complesso sa el fao che la derivazioe o l'iegrazioe di u espoeziale complesso compora solao la moliplicazioe o la divisioe per ρ dello sesso espoeziale. Iolre se o σ oppure ω soo ulli si oegoo paricolari segal come vedremo più avai. U alro segale espoeziale complesso molo imporae è il coiugao del precedee che si idica co e * (). * * ( j) j e () = e = e = e e = e (cos jse ). [.-6] Applicado le defiizioi si ha: * e() e () = e (cos+ jse ) e (cos jse ) = e, cioè e = ee *. [.-6] Il prodoo dell'espoeziale complesso e del suo coiugao da il coefficiee espoeziale reale....7 Segali derivai dai fodameali A parire dai re segali fodameali è possibile cosruire ai alri. Descriveremo alcui fra i più imporai D Fig Fig Fig Fig..- Impulso uiario largo D U impulso uiario largo D può essere oeuo per differeza fra due gradii di cui il secodo riardao di D. Perao è f() = g()-g(-d) [.-65] mosrao ella Fig..-9. Rampa uiaria Iegrado u gradio uiario si ha la rampa uiaria defiia come f() = per >[.-66] mosraa ella Fig..-. Espoeziale decrescee U segale che si icora molo spesso è l'espoeziale decrescee. Esso si ha dalla [.-6] per ω = e per σ = -α <. Allora f() = e -α per >, [.-67] o che è lo sesso da f() = g() e -α [.-68] ed è mosrao ella Fig..-. Espoeziale divergee Sempre dalla [.-6] per ω =, ma, al corario, per α >, dalla [.-6] si oiee u espoeziale divergee. Si ha f() = e α per >, [.-69] o che è lo sesso da f() = g() e α [.-7]

17 Segal sisemi ed operaori 7 mosrao ella Fig..-. Siusoide smorzaa La semidiffereza dell'espoeziale complesso e del suo coiugao da il seo smorzao, a pare l uià immagiaria j a dividere. Ifai dalle [.-6] e [.-6] * e e e (cos+ jse ) e (cos jse ).5 = j j e e cioè = e j mosrao ella Fig..-. * se per >. [.-7] Fig..- Cosiusoide smorzaa Se, ivece, si esegue la semisomma dell'espoeziale complesso e del suo coiugao si ha il coseo smorzao. Ifa aalogamee al caso precedee, e uilizzado acora le [.-6] e [.-6] * e+ e e (cos+ jse ) + e (cos jse ) = * e+ e cioè = e cos per >. [.-7] mosrao ella Fig..-. Oscillazioe siusoidale divergee Nel caso i cui σ risulasse posiivo si avrebbero oscillazioi divergei come quelle mosrae i Fig..-5. Seo uiario La [.-7], el caso di smorzameo ullo, da il segale seo mosrao ella figura.-6 f() = se ω per >. [.-7] Coseo uiario Aalogamee la [.-7], el caso di smorzameo ullo, da il segale coseo mosrao ella figura.-7. f() = cos ω per >. [.-7] Fig Fig Fig Fig..-7

18 8 Segal sisemi ed operaori.. Le equazioi differeziali La raazioe delle equazioi differezial pur essedo molo imporae, esula dagli scopi di quesa raazioe. Perao si rimada ai esi specializzai [BO],[SA],[SP] seza erare ei paricolari. egoo solao ricordai i risulai relaivi ad alcui casi semplici di equazioi differeziali che soo più comuemee icorai ello sudio dei sisemi eleroici... Equazioi differeziali lieari omogeee a coefficiei cosai Comiciamo dalle equazioi differeziali lieari omogeee a coefficiei cosai. U sisema descrio dalla seguee equazioe differeziale lieare omogeea a coefficiei cosai a d y i = [.-] dx si dice ache di ordie poiché l'equazioe differeziale relaiva è di ordie. Il calcolo forisce gli srumei per deermiare la soluzioe. Si chiama poliomio caraerisico il poliomio i Pd( ) = as i, [.-] le cui radici si hao per as i i =. Se quesa ha radici p, p,..., p disie allora la soluzioe della [.-] è y = c e p x + c e p x c e p x. [.-] Se ua sua radice pj ha moleplicià r, allora, i corrispodeza, la [.-] avrà sempre ermii di cui r soo e p j x, x e p j x,...+ x r- e p j x. Ad oguo degli ermii è associaa ua cosae arbiraria da deermiare i base alle codizioi al cooro e cioè delle k k d y y =. [.-] k dx.. Equazioi differeziali lieari o omogeee a coefficiei cosai I queso caso l'equazioe da risolvere è del ipo a d y i = zx ( ) [.-5] dx Il sisema è acora di ordie. La soluzioe della [.-5] è acora la [.-] co l'aggiua di u iegrale paricolare che dipede dalla z(x). Si rimada ai ciai esi di calcolo per u approfodimeo di queso argomeo. uavia vale la pea di ricordare che se z(x) è, per es., u poliomio, allora u iegrale paricolare sarà u alro poliomio. Se, per es., z(x) è ua fuzioe del ipo se ωx o cos ωx allora l'iegrale paricolare sarà qualcosa del ipo Ase ωx + Bcos ωx. Nel caso di u seo od u coseo smorzao, si avrà, ivece, u iegrale paricolare del ipo e αx (Ase ω + Bcos ω).

19 Segal sisemi ed operaori 9.. La rasformaa di Seimez Ua rasformazioe di ua fuzioe f(x) i u alra F(y) cosise ell applicare u operaore che fa corrispodere ad ua fuzioe f(x) el domiio della variabile x ua fuzioe F(y) el domiio della variabile y. I eleroica le rasformazioi si usao per faciliare lo sudio dei circuii. Comiciamo a descrivere u operaore che rasforma ua fuzioe periodica siusoidale i u umero complesso. ale operaore prede il ome di rasformaa di Seimez. Cosideriamo u veore roae A co pulsazioe ω, fase iiziale ϕ ed ampiezza AM. Le ciae formule di Eulero ci coseoo di descrivere il veore i forma espoeziale o rigoomerica: A = AM[cos( + ) + jse( + )], A AMe j ( = + ) ]. [.-] Calcoliamo la derivaa di A. da = AM[ se( + ) + jcos( + )] = jam[cos( + ) + jse( + )] = ja.quidi d da = j A. [.-] d La rasformaa di Seimez cosee di calcolare la derivaa di u segale siusoidale periodico di pulsazioe ω semplicemee moliplicado per jω da la sua rappreseazioe complessa. Nella Fig..- è mosraa la rappreseazioe schemaica del veore A e della sua derivaa. La derivaa è = ja d A sfasaa i aicipo di 9 rispeo al veore A. Calcoliamo l'iegrale di A. Fig..- AM Ad AM = [cos( + ) + jse( + )] d = [cos( + ) + jse( + )] d( ) = AM AM A = [se( + ) jcos( + )] = [cos( + ) + jse( + )] = j j A Allora Ad = [.-] j o A La fuzioe iegrale si oiee dividedo per jω. La cosa era prevedibile A Ad = dal momeo che i fodo siamo i preseza di segali espoeziali complessi. Nella Fig..- è mosraa la rappreseazioe schemaica del veo- j re A e del suo iegrale. Quesa vola l iegrale è sfasao i riardo di 9 rispeo al veore A. Fig..- Adoperiamo la rasformazioe di Seimez per il calcolo di esioi e correi applicae a compoei come resisor codesaori ed iduori. I ua ree elerica il rapporo I fra le rasformae di Seimez di esioe e corree viee idicao co il simbolo Z e prede il ome di impedeza. Il suo iverso Y = Zviee chiamao ammeeza. U resisore è defiio dalla legge di Ohm. v è la esioe ai suoi cap i è la corree che l'araversa. Cioè: R = v, [.-] i R è la resiseza del resisore e si misura i Ohm.

20 Segal sisemi ed operaori Perao la esioe ai capi è v = R i [.-5] Se la corree è siusoidale di ampiezza IM e pulsazioe ω co fase iiziale ϕ i= IM[cos( + ) + jse( + )] [.-6] quidi v= Ri= RIM[cos( + ) + jse( + )] = M[cos( + ) + jse( + )] = v Applicado la rasformazioe di Seimez = R I [.-7] che si poeva oeere direamee dalla [.-5]. I U codesaore è defiio dal rapporo fra la carica q accumulaa dalle sue armaure e la differeza di poeziale v che si sabilisce fra le sesse. Duque: C = q [.-8] Fig..- v C è la sua capacià e si misura i Farad. Se applichiamo ua differeza di poeziale variabile ad u codesaore di capacià C scorre ua corree dq d Cv i = C dv d = d = d, cioè i= C dv. [.-9] d Per quao deo prima, applicado la [.-], I = jωc, [.-] o ache = I j. [.-] C L'impedeza del codesaore, che ha le dimesioi di ua resiseza, è = Z = = XC, [.-] I j C e viee chiamaa reaaza del codesaore ed idicaa co XC. Il suo iverso è la susceaza. Il modulo e l'argomeo della reaaza soo, rispeivamee, I XC= XC =, [.-] C = XCI e arg( XC ) =. [.-] Queso sigifica che, aumeado la frequeza o la capacià, la corree Fig..- el codesaore aumea, e che il veore è i riardo di 9 sul veore I, vedi Fig..- I modo aalogo ua iduore è defiio dal fao che ua variazioe di corree al suo iero produce ai suoi capi ua cadua di poeziale daa da v = L di, [.-5] d L è l iduaza dell iduore e si misura i Hery. Applicado la [.-] si ha = j LI. [.-6] L'impedeza dell iduore, che ha le dimesioi di ua resiseza, è

21 Segal sisemi ed operaori = Z = jωl = XL, [.-7] I La reaaza dell iduore ed idicaa co XL. Il modulo e l'argomeo della reaaza soo, rispeivamee, = XLI XL= XL = L, [.-8] e arg( XL ) =, [.-9] I Queso sigifica che, aumeado la frequeza o la capacià, la corree ell iduore dimiuisce, e che il veore è i aicipo di 9 dal veore I, vedi Fig..-5. Fig..-5 Due compoei soo i serie se soo araversai dalla I sessa corree. Ovviamee la esioe ai capi è la somma delle + + esioi sui sigoli compoei. Suppoiamo di meere i serie x R ua resiseza R ed u elemeo reaivo X come i Fig..-6a. R - Sarà: + I = R+ X= RI+ XI= ( R+ XI ). [.-] Per quao riguarda il modulo e la fase, dalla Fig.-6b: X x = R + X = I R + X = I Z. [.-] X X = arcg = arcg. [.-] R R Due compoei soo i parallelo se hao i ermiali i comue e quidi sio sooposi alla sessa esioe. Nauralmee la corree complessiva è la I + somma delle sigole correi. Suppoiamo di meere i parallelo ua coduaza G ed u elemeo reaivo di susceaza S come i Fig..-7a. Sarà: S I = IG + IS = G + S = (G + X) = Y. [.-] - Per quao riguarda il modulo e la fase, dalla Fig.-7b: I = IR + IS = G + S = Y. [.-] S S = arcg = arcg. [.-5] G G I S - G - I G Fig..-6 Fig..-7 I S R I G I

22 Segal sisemi ed operaori.. La rasformaa di Laplace Daa ua fuzioe f(), ulla per, ad u solo valore, si defiisce rasformaa di Lapla- s ce L [f ()] = F(s) = f ()e d, [.-] i cui s è la variabile complessa s = σ + jω, [.-] quado L(σ) è assoluamee covergee. Da ora i poi dicheremo per brevià co la leera miuscola ua fuzioe della variabile idipedee e co la sessa leera, però maiuscola la sua rasformaa di Laplace e viceversa. Quidi el seguio, ad es.: f() F(s); f() F(s); fp() Fp(s); che supporremo ue rasformabili isieme alle loro derivae -esime ed alle loro fuzioi iegrali. Si fa oare che, se si eseguoo rasformae di fuzioi o ulle solo per >, è del uo idifferee meere come limie iferiore zero oppure -. Ifai F() s = f() e d = f() e d+ f() e d= f() e d, s s s s se f() è o ulla solo per x. E allora, dal momeo che cosidereremo solao fuzioi o ulle solo per > poremo sempre dire che s Fs () = f() e d. [.-].. Proprieà fodameali Prima di applicare la rasformaa di Laplace ai circuii eleroici è ecessario mosrare alcue sue proprieà fodameali. La rasformaa di Laplace è u operaore lieare Siao f() e f() due fuzioi che hao come rasformae F(s) e F(s). ogliamo calcolare la rasformaa della loro somma. Applicado la defiizioe [.-], dal momeo che l'iegrale di ua somma è eguale alla somma degli iegrali delle fuzioe compoei la somma, si ha semplicemee L(f+f) = L(f) + L(f) = F+F. [.-] Iolre dalla defiizioe di rasformaa risula evidee che: L(kf) = kl(f) = kf; L(kf) = kl(f) = kf; [.-5] ed ache L(kf+ kf) = kl(f)+ kl(f) = kf+ kf. [.-6] Il che sabilisce che la rasformaa di Laplace è u operaore lieare. rasformaa della derivaa Calcoliamo la rasformaa della derivaa della fuzioe f() che ha come rasformaa F(s). Applichiamo la defiizioe [.-] df df s s s s s ( ) e d = e df = e f (se f )d = f () + s e fd = sf(s) f (), d = d L valida se, s lim e f =. [.-7]

23 Segal sisemi ed operaori df I al caso L = sf(s) f (). [.-8] d La rasformaa della derivaa di ua fuzioe si calcola moliplicado per s la relaiva rasformaa e soraedo il suo valore iiziale. Nel seguio ci ieresserà ricordare che se vale la [.-7] df s L = sf(s) f () = e df. d [.-9] rasformaa della derivaa i-esima Dimosreremo, co il meodo iduivo, che per la derivaa i-esima vale d f k k ( ) s F(s) s f, L = [.-] d dove, i aalogia alla [.-] f k k k, d f =. [.-] k d Abbiamo viso che per = la [.-] è verificaa. Suppoiamo che sia ache vera per -. d f k k Cioè s F(s) s f. L = d k, Applicado a ques'ulima acora la [.-8]: d f d d f k k d f k k L s s F(s) s f s F(s) s f. = = d = L d d k, d k, Che o è alro che la [.-]. rasformaa della fuzioe iegrale Deermiiamo la rasformaa della fuzioe iegrale ( ) = f() ddella fuzioe f() che ha come rasformaa F(s). Ovviamee è () =. Iolre d/d = f. dϕ Dalla [.-8] s ( ) () s f ()d dϕ L = L ϕ ϕ = L ; d e L = L(f ) = F(s). d Eguagliado le due espressioi F(s) L f ()d =. [.-] s La rasformaa dell iegrale di ua fuzioe si calcola dividedo per s la relaiva rasformaa. rasformaa di u segale riardao Si può esprimere la rasformaa di u segale riardao i fuzioe della rasformaa del segale origiario. Cosideriamo la f() e la sessa fuzioe riardaa di. Impieghiamo la defiizioe [.-] per deermiare la rasformaa. L [f ( )] = f ( )e s Poiamo = -. Allora la precedee divea L [f ( τ)] = + f ( τ)e d = s( τ+ ) f ( )e dτ = e s s d + f ( τ)e f ( )e sτ dτ. s d.

24 Segal sisemi ed operaori s Duque L [f ( )] = e F(s) [.-] Quidi la rasformaa del segale riardao di si oiee da quella del segale o riardao semplicemee moliplicado per e -s. U riardo el domiio del empo corrispode ad u faore moliplicaivo e -s i quello di s. eorema del valore iiziale Riprediamo la [.-9]. s sf() s f( ) = e df, e deermiiamo il limie di erambi i ermii per s: s lim[ sf( s) f( )] = lim[ sf( s)] f( ) = lim e df =. s, s, s, Cioè f( ) = lim[ sf( s)], s, [.-] che cosee di ricavare il valore iiziale di ua f() a parire dalla sua F(s). Ricordiamo che, pero, la [.-9], e quidi la [.-], valgoo quado vale la [.-7]. eorema del valore fiale I modo aalogo, ma quesa vola il limie si esegue per s: s s lim[ sf( s) f( )] = lim[ sf( s)] f( ) = lim e df lim( e ) df df lim f ( ) f ( ). s, s, s, = = = s,, Cioè lim f ( ) = lim[ sfs ( )]; [.-5], s, che permee di ricavare il valore fiale di ua f() a parire dalla sua F(s). Si iede che la validià della [.-5] dipede da quella della [.-7]. Cambio della scala dei empi Abbiamo già viso cosa succede quado si scalao i empi. ediamo cosa succede della rasformaa. Riprediamo la defiizioe [.-] Quidi s sa a sax L[ fa ( )] = fae ( ) d= fae ( ) ada ( ) = a fxe ( ) dx ( ) = afas ( ). Per a = - Moliplicazioe per espoeziale complesso L[ f( a)] = af( as). [.-6] L[ f( )] = F( s). [.-7] Molo spesso si icorao segali moliplicai per espoeziali compless perciò è molo comodo cooscere il modo di deermiare la rasformaa di ali segali i modo semplice. Adoperiamo la defiizioe di rasformaa di Laplace: a s a ( s+ a) L[ f() e ] = f() e e d = f() e d() = F( s+ a).

25 Segal sisemi ed operaori 5 a Cioè L[ f( ) e ] = F( s+ a). [.-8] Si fa oare che l'espressioe precedee è valida comuque sia a, posiivo o egaivo, reale o complesso. Discueremo più avai il seso di a egaivo o complesso. I alri ermi il calcolo si esegue semplicemee sosiuedo i F(s), dapperuo a s, s+a... rasformae dei segali fodameali e dei loro derivai A queso puo è uile calcolare le rasformae dei segali fodameali e dei loro derivai. Gradio uiario Riprediamo la defiizioe [.-57] del gradio uiario ed applichiamo la defiizioe di rasformaa [.-] s s d( s) s L [g()] = g()e d = e = e =. s s o s Allora L [ g()] = G(s) = [.-9] s Dela Per calcolare la rasformaa della possiamo eere coo che essa è la derivaa del gradio. Applicado, allora la proprieà della rasformaa della derivaa, espressa dalla [.-9], ad u gradio si ha: dg() L ( δ) = L = s [g()] g() = s =. d L s Duque L ( δ) =. [.-] Espoeziale complesso U segale formalmee molo ieressae è l'espoeziale complesso defiio dalla [.- 6] che, si può ache scrivere i modo solo appareemee diverso come e() = g() e. Ricordiamo che g() è il gradio uiario diverso da zero solao per empi posiivi come defiio dalle [.-57] e [.-59]. Il calcolo della rasformaa è immediao. Applicado la proprieà della moliplicazioe per u espoeziale complesso descria dalla [.-8] e eedo presee che la rasformaa di u gradio è daa dalla [.-9] si ha direamee: ρ L [e()] = L[g()e ] =. [.-] s ρ Espoeziale decrescee Nel caso di espoeziale reale: f() = g() e. α I modo direo usado la [.-] L [g()e ] =. [.-] s + α Impulso largo D La [.-65] è l espressioe di u impulso uiario largo D. Impiegado la [.-9] che si riferisce alla rasformaa di u gradio e la [.-] che da la rasformaa di u segale riardao sd sd e e L [g() g( D)] = =. s s s sd e Cioè L [g() g( D)] =. [.-] s

26 6 Segal sisemi ed operaori Rampa uiaria La rasformaa di ua rampa uiaria può essere calcolaa i moli modi. Per esempio si può eer coo che essa è l'iegrale di u gradio uiario. Perao, applicado la [.-] alla [.- 9] si ha: L[g()] f () = g()d =. [.-] s s Siusoide uiaria Per calcolare la rasformaa del segale siusoidale uiario defiio dalla [.-56] applichiamo la defiizioe. Perao: s s s s L( seω) = seωe d = seωd(e ) = seωe ω cosωe d =. s s = s s s + cos d( e ) = cose + se e d+ = { + L (se ) }. s s s s Quidi s L ( seω) = ω ω L(seω), ed acora ( s + ω ) L ( seω) = ω. Per fiire ( ω) =. Cosiusoide uiaria ω L se [.-5] s + ω d d Poiché (se ) = se cos, segue che cos = (se ). Per il calcolo della d d rasformaa del coseo, coviee uilizzare la proprieà della derivaa daa dalla [.-8]. Allora: d L ( cos ω) = L seω = [s ( seω) se]. ω d L ω ω s Perao L ( cosω) = s =. [.-6] ω s + ω s + ω Siusoide smorzaa Applicado la proprieà [.-8] degli smorzamei alla rasformaa [.-5] del seo si ha α ω direamee L ( seω e ) =. [.-7] (s + α) + ω Cosiusoide smorzaa Aalogamee, a parire dalle [.-6] applicaa alla [.-8]: α s + α L (cos ω e ) =. [.-8] (s + α) + ω.. Operazioi sui segali e rasformaa di Laplace Covoluzioe Abbiamo già defiio co la [.-] la covoluzioe fra due fuzioi f() e h() come

27 Segal sisemi ed operaori 7 fh() = f( )( h ) d. ediamo di deermiare la relazioe ra la rasformaa della covoluzioe e quella delle sigole fuzioi. Sia fh(s) la rasformaa di Laplace di fh(). Per defiizioe è s L[ fh( )] = fh( s) = f( ) h( ) d e d, che si può calcolare scambiado per prima cosa le variabili d'iegrazioe. Allora s s( x+ ) fh() s = h( ) e d f() d = [ h( x) e ] dx f() d, dove si è poso x=- ell iegrale iero. Il ermie espoeziale può essere separao i due par ua delle quali o dipede dalla variabile d'iegrazioe dell'iegrale iero, e può, quid essere posa al di fuori di quesi. Cioè sx s fh() s = h( x) e dx f() e d. L'iegrale iero o dipede da e può essere porao fuori dal sego del primo iegrale e cioè fh sx s () s = h( x) e dx f() e d, che per la defiizioe [.-] della rasformaa di Laplace da: fh() s = F() s H() s [.-9] Il processo di covoluzioe fra due fuzioi el domiio del empo corrispode a quello di moliplicazioe el domiio di s delle relaive rasformae. Si oi che la [.-9] può essere ache scria come: fh() s = F() s H() s = H() s F() s = hf(). s [.-] Correlazioe La correlazioe fra due fuzioi reali f() e h() e daa dalla [.-7] fh( ) = f ( + ) hd ( ). Applicado la defiizioe di rasformaa e idicado co fh(s) la rasformaa della correlazioe fh() fra i due segali f() e h() s s L[ fh( )] = fh( s) = fh e d = f( + ) h( ) d e d. Scambiamo le variabili d'iegrazioe. Allora s fh() s = f( + ) e d h() d Poiamo x = + ell iegrale iero. Si ha dx = d. Allora la precedee divea sx sx s fh( s) f( x) e ( ) = dx h( ) d= f( x) e dx h( ) e d, I ques ulima il ermie espoeziale è sao separao elle due pari e quella idipedee da x è saa poraa al di fuori dall iegrale i dx. Iolre, poiché il ermie i pareesi quadra o dipe-

28 8 Segal sisemi ed operaori de dalla variabile d'iegrazioe τ, può essere porao fuori dall'iegrale i dτ. Allora sx sτ Ψ fh (s) = f (x)e dx h( τ)e dτ, e applicado la defiizioe della rasformaa di Laplace: fh() s = F() s H( s). [.-] Nel caso di segali complessi si sarebbe rovao * fh() s = F() s H ( s). [.-] Auocorrelazioe L'auocorrelazioe del segale f() è saa defiia dalle [.-] [.-7]. Per il calcolo della sua rasformaa coviee applicare le due precedei defiizioi e eere presee che f() = h(). Idicado co f() e f(s), rispeivamee l auocorrelazioe e la sua rasformaa si ha Ψ f( s) = F(s)F( s) [.-] per f() reale. Alrime el caso di f() complessa * f() s = F() s F ( s). [.-].. L'airasformaa di Laplace L'airasformaa di Laplace di ua fuzioe F(s) è quell'operaore che a parire dalla F(s) ci cosee di ricavare la f() di cui la F(s) è la rasformaa secodo Laplace. Si può dare ua defiizioe i ermici aaliici dell'airasformaa. uavia quao già deo è sufficiee. I effei per rovare l'airasformaa di ua F(s) ci si aiua co abelle come quelle propose ell'appedice e le si adopera alla rovescia...5 Le equazioi differeziali lieari o omogeee a coefficiei cosai Le equazioi differeziali lieari a coefficiei cosai di paricolare imporaza si possoo risolvere facilmee usado la rasformaa di Laplace. Discuiamo di due casi. I ipo Comiciamo dalle equazioi differeziali lieari del ipo descrie dalla [.-5] relaiva ad u sisema di ordie. a d y ( x ) i = zx ( ). [.-5] dx cioè Applicado la [.-] e rasformado erambi i membri k k ai s Y() s s y Z(s). k, = Z(s) Ys () = + i as i i k, as i i k i as i y k. [.-5] Abbiamo già chiamao Pd() s = as i i [.-]

29 Segal sisemi ed operaori 9 i k poliomio caraerisico. Poiamo Y'( s) = as i y i k, k [.-6] la [.-5] può essere scria semplicemee come Zs Y s Ys () = () Pd() s + '( ) Pd() s. [.-7] La risposa Y(s) del sisema è daa da due ermi il primo dipede dall'ecciazioe, il secodo dalle codizioi iiziali. Erambi i ermi iolre, dipedoo da come è fao il sisema araverso il poliomio caraerisico Pd(s). Il ermie fuzioe dall'ecciazioe applicaa prede il ome di risposa forzaa mere l'alro, relaivo alle codizioi iiziali si chiama risposa libera. II ipo I queso caso l'equazioe differeziale da risolvere è la a d y x m b d m ( ) z ( x ) i = i. [.-8] dx dx Applicado la [.-], riordiado e riscrivedo opporuamee si ha: m i bs i bs i Ys () = Z(s) + +. i i i as i as i as i m i k, i k z k i k, as i i k y k [.-9] Dove z k ha il sigificao aalogo alla [.-], pero per la z. Cioè k k d y z =. [.-] k dx Poso P() s = bis e defiio il poliomio caraerisico Pd(s) co la [.-] e Y (s) co la [--6]. Poiamo m m i Z' () s = bis z. k, i i k k [.-] [.-] Allora la [.-9] essere scria semplicemee come P s Z' s Y s Ys () = () Zs Pd() s () + () '( ) Pd() s + Pd() s. [.-] Quesa vola la risposa Y(s) del sisema è formao da re ermi il primo due dipedoo dall'ecciazioe applicaa al sisema, il erzo dalle codizioi iiziali del sisema. u d alra pare, dipedoo da come è fao il sisema araverso il poliomio caraerisico Pd(s)...6 Poli e zeri edremo dopo l'imporaza che i due poliomi P e Pd hao ella deermiazioe del comporameo del sisema cui soo applicae le ecciazioi e di cui si vuole sapere la risposa. Iao chiamiamo poli le radici di Pd(s) e zeri le radici di P(s) e li idichiamo rispeivamee co pi e zi. Ricordiamo che u poliomio di grado ha radic o sempre ue disie, o sempre ue reali. Per ogi radice complessa esise la corrispodee coiugaa...7 Sviluppo delle fuzioi razioali frae i frazioi parziali Dalle [.-7] e [.-] si vede che, ei sisemi goverai da equazioi differeziali a coefficiei cosa se la rasformaa dell'ecciazioe è esprimibile soo forma di rapporo fra poliom

30 Segal sisemi ed operaori quesa si può esprimere ache essa soo forma di u rapporo di poliomi. Per moivi che vedremo successivamee è opporuo formalizzare ale rapporo fra poliomi come ua somma di frazioi parziali. Sia R(s) ua fuzioe rapporo fra due poliomi a coefficiei reali co il deomiaore di ordie. Se il grado del umeraore m < allora m bs i Rs () =. i i as i Se il grado q = m + del umeraore di ua F(s) allora q i m i bs i [.-] Fs () = cs i + = Pq- () s + R(). s [.-5] Co R(s) si è idicao geericamee ua frazioe poliomiale co deomiaore di grado e umeraore di grado m <. Il ermie Pq-(s) è u poliomio di grado q- immediaamee airasformabile. Il problema che ci ieressa è quello di ricavare l'airasformaa del ermie R(s). Siao pi le radici del deomiaore, ogua delle quali ha moleplicià per u oale di r radici disie, i modo che sia r i =. [.-6] Allora sarà possibile scrivere l'espressioe di R(s) i modo che siao evidei le radici e cioè che si può riscrivere come m i bs i i as i bs i Rs () = = r i as i a ( s pi) Rs () = r i k, i k m cik ( s pi) i i, i, [.-7] [.-8] d i ella quale cik = ( s pi) F( s). [.-9] i k ( i k)! ds s= pi La dimosrazioe di quesa proprieà è riracciabile i [DI]...8 Sisemi sabili e isabili Suppoiamo di avere u sisema isolao a riposo, co codizioi iiziali ulle. Applichiamo u igresso z() impulsivo, cioè u segale co eergia o illimiaa. Se, ua vola che l'impulso è fiio, passao u rasiorio più o meo lugo, il sisema si rimee elle codizioi iiziali esso si dice sabile. Alrimei il sisema è isabile. Facciamo vedere che la pare reale dei poli di u sisema deermia se il sisema è sabile o o. Per semplicià sudiamo u sisema che ha u solo polo p, cioè co ua F(s)= k/(s-p), che a riposo abbia ua uscia y() =. Applichiamo al suo igresso ua δ (qualuque impulso può essere immagiao come la sommaoria di δ o uiarie e raslae l'ua rispeo all'alra). Per la [.-5]

31 Segal sisemi ed operaori,, l'uscia è y(s)=k/(s-p) cui corrispode ua y() =ke p. Essedo presee solao u polo esso è reale. p Se il polo è egaivo, allora lim y ( ) = lim ke = ed il sisema riora allo sao iiziale. Se, ivece, è posiivo, la soluzioe diverge per ed il sisema o è sabile. Le cose o cambiao se i poli soo più di uo, purché ce e sia almeo uo posiivo ed il sisema o è sabile. Nel caso di poli complessi la sabilià del sisema dipede solao dal sego della pare reale dei poli. Se essa è posiiva l uscia del sisema diverge. La differeza che i queso caso l'uscia diverge oscillado. No è possibile el caso dei sisemi isabili applicare il eorema del valore fiale perché o è soddisfaa la [.-7].

32 Segal sisemi ed operaori.5. La serie di Fourier Abbiamo già uilizzao la rasformaa di Seimez per lo sudio del comporameo di compoei i regime di correi e esioi aleraive siusoidali. La comodià dello srumeo ci spige ad aumeare il campo dello possibili applicazioi. Si può facilmee dimosrare che la rasformaa di Seimez è u operaore lieare. Perao essa è immediaamee applicabile al caso i cui le correi o le esioi siao somme di più compoei comuque siusoidali. edremo che il suo campo d applicazioe è be vaso.5. Serie di Fourier rigoomerica Si può dimosrare [SA] che u segale periodico f() di qualuque aura e di periodo è e- sprimibile co la somma di ua serie di compoei. Lo sviluppo, da chi lo ha proposo, prede il ome di Serie di Fourier. La rappreseazioe fodameale è co k iero posiivo. v() = a + ( akcosk + bkse k ) [.5-] k, Al periodo corrispode la pulsazioe ω = π/ dea ache pulsazioe fodameale. La frequeza f = / = ω/π prede ache essa il ome di frequeza fodameale. Alle compoei di pulsazioi ko frequeza kf co k > si dao il ome di k-esima armoica. Il ermie a è il valor medio e perao a + / = vd v d () = ( ). / + [.5-] I coefficiei ak e bk soo i coefficiei di correlazioe fra la fuzioe v() e le fuzioi f() = cos kω e h = se kω. Calcoliamo ak. Dalla [.-8] ak = cvf = ψvf()/ψf() i cui + / + / vf( ) = v ( )cos( kd ) ; e f( ) = cos ( k) d ; = / / ricavae, per τ =, dalle [.-8] e [.-5] rispeivamee. Perao + / + vf( ) ak = = v k d= v k d f ()cos( ) ( )cos( ). [.5-] ( ) / I modo aalogo, uilizzado h(), ivece di f() si ha che bk = cvh = ψvh()/ψh() i cui + / + / vh( ) = v ( )se( kd ) ; e h( ) = se ( k) d = ; perao / b k + / / + vh( ) = = v k d= v k d h ()se( ) ( )se( ). ( ) / [.5-] Se è limiao la serie è composa da u umero fiio di ermii e si dice fiia. Alrimei la serie si dice ifiia. Alle vole ua serie ifiia viee rocaa ad u umero fiio di ermii commeedo u cero errore. Cosideriamo isieme i due ermii relaivi alla k-esima armoica. La loro somma è sk = akcos kω + bkse kω. [.5-5] Poiamo k = ak + bk, [.5-6] cui viee dao il ome di modulo o ampiezza della k-esima armoica.