SMSMW#300#130#1#220#210W#300#130#1#140#130W#220#13

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1 Marice icideza La marice d'icideza complea A c di u grafo orieao G co N odi ed R rami, è ua marice reagolare di N righe ed R coloe che si cosruisce come segue: si umerao co =1,2,...,N ui i odi e co r=1,2,...,r ui i rami. Gli elemei geerici ar ( = 1,2,..., N),( r = 1,2,..., R) della marice A c hao valore +1 se il ramo r ha verso uscee dal odo, -1 se il ramo r ha verso erae el ramo r, 0 se il ramo r o ieressa il odo. Esempio SMSMW#300#130#1#220#210W#300#130#1#140#130W#220# A c odi rami = La marice di icideza complea defiisce maemaicamee la sruura del grafo orieao ad esso associaa. I A c ciascua coloa coiee solo due elemei o ulli: u +1 e u -1. Ogi riga di A c può essere oeua come somma, cambiaa di sego, delle alre righe. Quidi rak( A ) N 1. Se si sceglie u odo di riferimeo e si elimia la corrispodee riga da A c si oiee la Marice icideza. Per esempio, scegliedo come odo di riferimeo il odo 4, si ha la marice icideza: Si può dimosrare che: A = u albero del grafo ha marice icideza (quadraa co N-1 righe ed N-1 coloe) co deermiae pari a +1 o -1. Di cosegueza: rak( A ) = N 1. il umero di alberi possibili del grafo è uguale a: a = de ( ) AA. c 1

2 Iroduciamo ella ree di bipoli che vogliamo sudiare i veori di esioe v e di corree i come veori coloa di R righe, avei come elemei le esioi v k (k = 1, 2,..., R) e le correi i k (k = 1,2,...,R) dei rami assue co il loro verso: v i 1 1 v 2 i 2 v =, i = vl il La KCL fa sì che il prodoo della marice d'icideza A per il veore delle correi i è ullo: Ai = 0 Quesa relazioe mariciale corrispode ad (N - 1) equazioi scalari e sieizza le equazioi di Kirchhoff delle correi agli N - 1 odi idipedei del grafo. Nell' esempio cosiderao: corrispode alle re equazioi: i1 i i = i i 5 i 6 i1+ i4 + i6 = 0 i2 i4 + i5 = 0 i3 i5 i6 = 0 Quese equazioi o soo alro che le equazioi di Kirchhoff delle correi ei odi idipedei 1, 2 e 3. La marice di icideza A cosee quidi di scrivere i forma mariciale ue le equazioi di Kirchhoff idipedei delle correi. La marice d'icideza permee di scrivere ache le equazioi di Kirchhoff idipedei delle esioi. Per far queso iroduciamo u uovo veore v che chiameremo veore delle esioi ai odi. Tale veore è ua marice coloa co u umero di righe pari al umero dei odi idipedei N - 1 ed avee come elemei le N - 1 esioi ai odi v k 0 ra il odo k (k = 1, 2,..., N - 1) ed il odo di riferimeo: v v10 v 20 = vn 1,0 Iroducedo la marice rasposa A oeua dalla marice di icideza A scambiado le righe co le coloe, si ha che il prodoo di ale marice per il veore v delle esioi ai odi deermia il veore v delle esioi sui rami della ree: 2

3 Av = v Tale relazioe mariciale corrispode ad R equazioi scalari. Elimiado da quese equazioi le N - 1 esioi ai odi, si oegoo le R - N + 1 equazioi di Kirchhoff idipedei delle esioi. Nell'esempio cosiderao, si ha: v v 2 v v3 v = v 4 v v v6 a cui corrispodoo le sei equazioi: v10 = v1 v20 = v2 v30 = v3 v10 v20 = v4 v20 v30 = v5 v10 v30 = v6 Elimiado da quese equazioi le 3 esioi ai odi, si oegoo le 3 equazioi di Kirchhoff idipedei per le esioi: Teorema di Tellege Cosideriamo uovamee l equazioe: Il rasposo di quesa equazioe è uguale a: v + v = v v + v = v v + v = v Av = v v = ( v ) A moliplichiamo per il veore i delle correi di ramo i due membri dell equazioe: Ricordado che: Ai = 0, si oiee: vi= ( v ) Ai vi = 0 Ques ulima equazioe esprime il Teorema di Tellege che ha rovao oevoli applicazioi ella eoria delle rei. I paricolare, secodo la covezioe di sego uilizzaa, i ua deermiaa ree la quaià: 3

4 vi = vi + vi + + vi esprime la poeza isaaea erae i ui i bipoli della ree. Il Teorema di Tellege assicura l'aullarsi di quesa quaià ed esprime il pricipio di coservazioe delle poeze isaaee. l l Relazioi cosiuive Ciascu compoee bipolare impoe ua relazioe ra la esioe v k e la corree i k del suo ramo. La forma più geerale di quesa relazioe è: che dipede dalle re cosai yk, zk, w k. Esempi: Resisore: ykvk + zkik = wk v R i = 0 quidi : y = 1, z = R, w = 0 Coduore: k k k k k k k G v i = 0 quidi : y = G, z = 1, w = 0 k k k k k k k Geeraore idipedee di esioe: v = E quidi : y = 1, z = 0, w = E k k k k Geeraore idipedee di corree: i = I quidi : y = 0, z = 1, w = I k k k k Iduore (el domiio dei fasori): V jωl I = 0 quidi : y = 1, z = jωl, w = 0 k k k k k k k Codesaore (el domiio dei fasori): jωc V I = 0 quidi : y = jωc, z = 1, w = 0 k k k k k k k Nel caso di compoei mulipolari la relazioe cosiuiva è ua relazioe mariciale del ipo: Esempi: YV + ZI = W Trascoduaza (geeraore di corree corollao i esioe): 4

5 SMSMJ#280#110#1#2W#210#110#1#180#110W#210#170#1#180#170W#320#110#1#280 v j + - i j i k + i j = 0 v k i k = g v vj 1 0 ij 0 g 0 v + k 0 1 i = k 0 cioè : Y = g 0 Z = = 0 1 W 0 Geeraore di esioe corollao i esioe: SMSMW#210#110#1#180#110W#210#170#1#180#170W#320#110#1#280#110W#320#17 v j + - i j i k + i j = 0 v k v k = k v vj 1 0 ij 0 k 1 v + k 0 0 i = k 0 cioè : Y = = = k 1 Z 0 0 W 0 Nella abella seguee, alri esempi: 5

6 Cosiderado ui i compoei di u circuio co R rami, le relazioi cosiuive porao all equazioe mariciale (corrispodee ad R equazioi scalari): YV + ZI = W dove V e I soo i veori delle esioi e delle correi di ramo. Meodo del Tableau Poedo i u uico sisema le relazioi che esprimoo le KCL, le KVL e le relazioi cosiuive: KVL RC.. KCL si ha : V A V = 0 YV + ZI = W AI = A V 0 = Y Z 0 I W 0 A 0 V 0 Il sisema è cosiuio da 2R+N-1 equazioi i 2R+N-1 icogie. A quesa formulazioe delle equazioi di u circuio si dà il ome di Tableau. Esempio: 6

7 Esempio: 7

8 Meodo ai odi Se si fa l ipoesi di avere ui compoei co rappreseazioe ammeeza e solo ge. idipedei di corree, le relazioi cosiuive possoo essere espresse ella forma: e, poiché V = A V, si ha: I = YV+ J I = YA V + J sosiuedo i AI = 0, si ha: ( ) A YA V + J = 0 cioè : AYA V = -AJ e quidi: YV =J quesa è la classica rappreseazioe ai odi valida per compoei co rappreseazioe ammeeza e ge. id. di corree. I paricolare Y è la marice delle ammeeze della ree (di dimesioi N-1 x N-1) e J è il veore dei geeraori idipedei di corree. Meodo ai odi modificao (MNA) Per eer coo dei compoei che o hao rappreseazioe ammeeza (es. geeraori di esioe, resisori, iduori, ge. corollai, ecc.) si aumea l ordie del sisema aggiugedo equazioi e icogie. I siesi: A parire da ua elis, cioè da u eleco dei compoei presei co idicazioe dei odi a cui soo collegai, si vuol rappreseare il circuio co u sisema lieare del ipo: Tx = w el domiio dei fasori si vuole che T sia esprimibile ella forma: T = G + jωb Si coao i odi idipedei (=N-1) e si dimesioa T ad x e w ad Si esamia la elis compoee per compoee: I compoei co rapp. Ammeeza vegoo iserii i T co le regole oe (marice ammeeza ai odi). Per i compoei co rapp. Impedeza, si aumea l ordie di T e w (si aggiuge a T ua riga ed ua coloa) e si aggiuge u icogia I. Vedi abella seguee. 8

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11 Esempio: NETLIST J G G G G G OP OP Rif. Bibl. Jiri Vlach, K. Sighal, Compuer Mehods for Circui Aalysis ad Desig, Va Nosrad Reihold, New York,