ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Corso Sperimentale P.N.I. Tema di MATEMATICA - 23 giugno 2005

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO -5 Corso Sperimeale PNI Tema di MATEMATICA - giugo 5 Svolgimeo a cura della profssa Sadra Berecoli e del prof Luigi Tomasi (luigiomasi@liberoi) RISPOSTE AI QUESITI DEL QUESTIONARIO Quesio Sia AB il lao del decagoo regolare iscrio i ua circofereza di cero O Vogliamo dimosrare che AB è la sezioe aurea del raggio OA (vedi figura seguee) Ifai, uio O co i pui A e B, si ha che l agolo AOB è la decima pare di u agolo giro, ossia è u agolo di 6 Poiché il riagolo AOB è isoscele, essedo il suo agolo al verice di 6, gli agoli alla base OAB, OBA soo di 7 Nel riagolo ABO si racci ora la biserice dell agolo OBA e sia C la sua iersezioe co il lao OA Si cosideri il riagolo ABC; esso è simile al riagolo AOC Si dimosra iolre facilmee che il riagolo OBC è isoscele; gli agoli CBO e COB soo uguali (a 6 ) Si ha quidi che AB=BC=CO Dalla similiudie ra i riagoli OAB e BAC, si oiee la seguee proporzioe OA : AB = AB : AC da cui si ricava, dao che AB=OC: OA : OC = OC : AC Quidi OC è medio proporzioale ra il segmeo OA e il segmeo AC (che è la differeza ra il segmeo OA e OC), ossia OC è la sezioe aurea di OA Chiamaa x la misura del segmeo OC, si oiee: r : x = x : ( r x) da cui si ricava la seguee equazioe: x = r( r x) Risolvedo l equazioe e scarado la soluzioe egaiva, possiamo cocludere che: 5 x = OC = l = r

2 Cosideriamo la circofereza goiomerica i cui AB è il lao del decagoo regolare i essa iscrio Si ha si8 = HA = Da quesa si ricava che cos8 = si ( 8 ) = Quidi, 5 si oiee: si 6 = si8 cos8 = Quesio Defiizioe di rea agee ad ua curva i u suo puo: se la fuzioe y = f ( x) è derivabile i u puo x si defiisce rea agee alla curva che rappresea il grafico di f ( x) i x, la rea passae per il puo ( x, f ( x )) e avee come coefficiee agolare f '( x ) Tale rea avrà per equazioe: y f ( x ) = f '( x )( x x ) Sia f ( x) x si x =, avremo f '( x) si x + x cos x = Se si x = allora cos x = e π π π π x = + kπ, co k Z iolre f + kπ = + kπ e f ' + kπ = ; la rea agee al π π grafico di f i quesi puii sarà y + kπ = x + kπ, co k Z e quidi y = x sarà la rea agee Si procede aalogamee per i pui i cui si x =, rovado che la rea agee i ali pui ha equazioe y = x Quesio x' = x + 5 La raslazioe può essere cosideraa come la composizioe di due simmerie assiali y' = y 5 rispeo a due ree parallele e perpedicolari al veore della raslazioe avee per compoei ( ) 5, 5 Le ree porebbero essere, ad esempio, y=x e y=x+q, co q da deermiarsi

3 x ' = y x ' = y q Si ha ϕ :, σ : y ' = x y ' = x + q x ' x q I queso caso σ = ϕ : y ' = y + q ; dovrà allora essere q = 5 x ' x q Se si cosidera ivece ϕ = + σ : y ' = y q ; i queso caso si oiee q = 5 Quesio Il volume del cilidro è dao da V = πr h Poiché il volume è dao, possiamo ricavare l alezza h i V fuzioe di r Si oiee h = πr V V La superficie oale è daa dalla fuzioe S o ( r) = π r + πr = πr + πr r V πr V La derivaa prima della fuzioe è: S' o ( r) = π r = r r Dallo sudio del sego della derivaa prima si ricava che la miima superficie oale si ha per V V r = e h = π π Sosiuedo V=, liri= cm, si oiee che r 99 cm e h 7986 cm Quesio 5 Il umero di Nepero viee defiio come limie della successioe e = lim + + x a = + : Si dimosra che la successioe a = +, co N, è moooa crescee e limiaa, co ui i ermii compresi ra e Si può vedere che la covergeza ad e è piuoso lea Si ha iolre + = + + < + La successioe b è ivece decrescee e ede ach essa ad e per eccesso Queso umero è fodameale i maemaica e i molissime applicazioi Si dimosra, ma ciò o è per ulla elemeare, che e è u umero irrazioale e rascedee Il umero e viee assuo come base di u sisema di logarimi dei eperiai o aurali La x fuzioe f ( x) = e è la fuzioe espoeziale più imporae e possiede mole proprieà Ad esempio, la sua derivaa è la fuzioe sessa, la sooagee al grafico è cosae, La fuzioe è iveribile e la sua fuzioe iversa è y = l x La derivaa di ques ulima fuzioe è y'= x Si rivia ad u buo libro di eso di maemaica per la scuola superiore o per il primo ao di uiversià Cosigliamo il seguee: +

4 -M Impedovo, Maemaica geerale co il calcolaore, Spriger, Milao 5 Descriviamo ua possibile procedura per calcolare il umero e co ua precisioe volua Occorre defiire iizialmee ua fuzioe poeza che riceve i igresso ua base reale posiiva e u espoee iero: poeza (base, ) Nella procedura si icremea u umero aurale e si fissa u umero di cifre k Ciclo calcola la poeza po=poeza(+/, ), la poeza po=poeza(+/, +) e la loro differeza diff = po po Il ciclo ermia se (po po) < poeza(, k) Alla fie si comuica i uscia il valore di po (come valore approssimao di e) Quesio 6 Le due ree soo parallele (come deve essere per u omoeia) e le ree r ed s si corrispodoo secodo u omoeia di cero O di equazioi: x' = x σ y' = y o viceversa ramie l omoeia iversa: x = x σ ' y = y' Quesio 7 Dao u umero aurale o ullo, si defiisce faoriale di e si idica co!, il seguee umero aurale! = ( )( ), ovvero il prodoo di ui i umeri aurali o ulli miori od uguali a

5 Per defiizioe si poe!= Il faoriale di u umero si può defiire ache i modo ricorsivo: se =, si poe! =, alrimei! = ( )! I faoriali soo umeri che crescoo molo i frea Nel calcolo combiaorio il faoriale di u umero rappresea il umero delle permuazioi di oggei Ua permuazioe è ua disposizioe semplice di oggei di classe Il legame ra il faoriale e i coefficiei biomiali è sreissimo, perché la prima proprieà che si dimosra sui coefficiei biomiali, e dalla quale si ricavao ue le alre, si chiama legge dei re faoriali:! = k k!( k )! che si dimosra facilmee ricordado la formula che forisce il umero delle combiazioi semplici a parire da oggei, di classe k, co k Quesio 8 x = e Le equazioi parameriche della curva soo y = e + Ricavado + e dalla prima equazioe e sosiuedo ella secoda, si oiee (eedo coo che e > per ogi ) l equazioe x 5 seguee y = Si raa perao di u iperbole equilaera di asioi le ree di equazioi x = x e y = La derivaa è f '( x) = Quidi la rea agee el puo (, ), avrà per equazioe ( x ) y = x + 7 Quesio 9 Idichiamo co E = { oeere u laciado due dadi} E = { oeere due i 6 laci di due dadi} E oeere almeo due i 6 laci di due dadi = { } Nel lacio di due dadi le possibilià soo 6 le coppie favorevoli soo (6, ), (, 6) e (5, 5) Quidi: p ( E ) = = 6 Il modo più rapido per deermiare la probabilià del secodo eveo è quello di uilizzare la variabile aleaoria beroulliaa: 6 75 p ( E ) = = 75 = 7,5% 9958 Per deermiare la probabilià del erzo eveo, coviee usare il eorema della probabilià coraria e calcolare prima la p( E ) = q = + = Quidi 5

6 ( E ) = q = 8 8,% p = Quesio Idichiamo co m l eà media degli idividui co meo di 6 ai e co m l eà media degli idividui co eà superiore o uguale a 6 ai Ci si chiede se l eà media della popolazioe può essere di ai Queso sigifica che:,6m +,m = I vicoli sulle eà medie soo < m < 6 m 6, m Dalla prima equazioe si oiee m = Sosiuedo el vicolo su m si oiee,6 5 < m < 75 Tale vicolo è compaibile co la codizioe m > 6 Duque è possibile che l eà media della popolazioe sia ai e che il % degli idividui abbiao 6 o più e ciò si verifica se l eà media degli idividui co 6 ai o più è o superiore a 75 ai e l eà media degli idividui co meo di sessaa ai è m = 5 m Ad esempio, se m = 6 ai, allora m = 5 = 8 ai Queso è compaibile maemaicamee, ma difficile da realizzare i ua popolazioe reale! 6