Metodi numerici PROCESSI ITERATIVI PER VALORI SCALARI. Ivan Zivko. Metodi numerici. Docente: Ivan Zivko 1

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1 Iva Zivko PROCESSI ITERATIVI PER VALORI SCALARI Docete: Iva Zivko

2 Processi umerici: puti ulli Immagiiamo ua fuzioe y f ( ), a., b Spesso è utile saper determiare tutti i suoi puti ulli, cioè tutti i puti i cui il grafico della fuzioe iterseca l asse. Quidi tutti i puti ell itervallo i cui vale f ( ) 0. Questi puti possiamo idicarli umerado le a pedice:,,... 0, Processi umerici: puti ulli Per esempio il grafico della seguete fuzioe iterseca l asse i tre puti ell itervallo. Docete: Iva Zivko

3 Processi umerici: puti ulli L obiettivo può essere quello di trasformare u problema i ua fuzioe co puti ulli equivaleti a ciò che stiamo cercado. Dopodiché bisoga usare u metodo (algoritmo) per risolverlo. Processi umerici: esempio Per esempio se oi desideriamo calcolare la possiamo creare ua fuzioe i cui essa sia u suo puto ullo, cioè e quidi:, 0 0, 0 Quidi oi per determiare la radice di cercheremo di approssimare il puto ullo positivo della fuzioe f ( ) Docete: Iva Zivko 3

4 Metodo di Newto Il metodo di Newto serve a trovare i puti ulli, e per fare ciò usa la seguete iterazioe: f ( f ( ), ) 0,,,... È u processo iterativo perché l output della -esima operazioe sarà l iput della +-esima operazioe. Metodo di Newto Cosideriamo la fuzioe co puto ullo, cioè f ( ), la cui derivata è f '( ). Scegliamo u puto di parteza, per esempio 0 =3: Docete: Iva Zivko 4

5 Processi umerici: puti fissi Cosideriamo ua fuzioe y F( ), a,, b le soluzioi dell equazioe F() soo detti puti fissi di F. I pratica i puti fissi di F soo le itersezioi delle fuzioi y F() e y. Processi umerici: puti fissi Per esempio il grafico della seguete fuzioe iterseca la retta y= i tre puti. Docete: Iva Zivko 5

6 Processi umerici U equazioe per trovare puti ulli può essere facilmete trasformata i u equazioe per trovare puti fissi e viceversa!! Ifatti: f ( ) 0 f ( ) F( ) f ( ) o il cotrario: F( ) F( ) 0 f ( ) F( ) Processi iterativi per la risoluzioe dei puti fissi Per determiare i puti fissi dobbiamo creare u algoritmo! Algoritmo: Iterazioe per i puti fissi Scegliamo u valore di parteza 0 [ a, b. ] Per =0,,, risolviamo progressivamete: F( Se la successioe coverge verso u valore esso è soluzioe dell equazioe del puto fisso. ) Docete: Iva Zivko 6

7 Processi iterativi per la risoluzioe dei puti fissi Quidi i pratica si sceglie u puto iiziale a cui si applica la fuzioe F, e così di seguito a ogi risultato fio a quado abbiamo u approssimazioe buoa: F( 0), F( ), 3 F( ),..., F( ) Quidi le y che escoo dalla fuzioe divetao le uove da iserire ella stessa. Processi iterativi per la risoluzioe dei puti fissi I processi possoo veire rappresetati ache graficamete, grazie alla retta y=: 0 0. Docete: Iva Zivko 7

8 Processi iterativi per la risoluzioe dei puti fissi U puto fisso è attrattivo se per tutti i valori iiziali abbastaza vicii a esso l iterazioe coverge verso. U puto fisso è repulsivo se per tutti i valori iiziali scelti vicio a la successioe di valori dell iterazioe si allotaa dal puto e o coverge. Processi iterativi per la risoluzioe dei puti fissi Esempio di u puto fisso repulsivo: Docete: Iva Zivko 8

9 Processi iterativi per la risoluzioe dei puti fissi È possibile determiare di che tipo è di puto fisso si tratta tramite la derivata di F: Se F( ) il puto è attrattivo. Se F( ) il puto è repulsivo. Se F( ) il puto può essere attrattivo, repulsivo o essuo dei due. PROCESSO DI JACOBI PER RISOLVERE SISTEMI DI EQUAZIONI Docete: Iva Zivko 9

10 Quado le icogite i u sistema di equazioi divetao molte diveta molto dispedioso risolverlo i modo esatto. Si può perciò usare u metodo iterativo che approssima la soluzioe. Cosideriamo u geerico sistema co icogite: a a a a a a... a... a a b b b Docete: Iva Zivko 0

11 Isoliamo i ogi riga u icogita: ( b a... a a ( b a... a a... ( b a... a a ) ) ) Si assumoo come valori approssimativi iiziali: b (0) a b (0) a... b (0) a Questi poi vegoo sostituiti i tutte le equazioi. Docete: Iva Zivko

12 Dopo la prima iterazioe avremo dei uovi valori: ( ); ();... () Iseredo di uovo al posto delle icogite troveremo dei uovi valori: ( ); ();... () E così via ci avvicieremo sempre di più al risultato cercato. Esempio: Docete: Iva Zivko

13 Esempio: come prima approssimazioe usiamo quidi: 3 7 (0) (0) 3 4 (0) 0 Esempio: 7 0 () () () Docete: Iva Zivko 3

14 Esempio: Codizioe di covergeza: siamo sicuri che il metodo fuzioa se la matrice è fortemete diagoalizzata, cioè se gli elemeti della diagoale soo maggiori o uguali alla somma di tutti gli altri elemeti che stao sulla stessa riga. I caso cotrario il sistema potrebbe covergere oppure o, servoo delle coosceze più approfodite per poterlo dire co certezza. Docete: Iva Zivko 4