INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Modellazione ed identificazione. Modellazione ed identificazione. Modelli e modellistica

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1 IGEGEIA E TECOLOGIE DEI SISTEMI DI COTOLLO Prof. Carlo ossi DEIS - Uiversià di Bologa Tel: crossi@deis.uibo.i Modelli e modellisica Moivazioi per uilizzo di modelli rappreseazioe compaa della coosceza isruzioe più facile e meo cososo che lavorare sul sisema reale a vole il sisema o esise acora modellazioe per il progeo modellazioe per il corollo Avvereze il modello descrive solamee alcui aspei del sisema il modello diviee sempre più complesso e pesae aumeado il livello di deaglio: modellare solo il ecessario esise sempre u rage di validià del modello: aezioe al suo uilizzo al di fuori di ale rage Modelli e modellisica ella cosruzioe di u modello soo sempre presei approssimazioi semplificazioi fisiche approssimazioi sulla srra di modello approssimazioi ella ideificazioe del modello corrispodeza co i parameri fisici ormalmee si uilizza ua famiglia di modelli co diversi gradi di approssimazioe La modellazioe per defiizioe è u aivià mulidiscipliare che copre ua grade varieà di aspei

2 Modelli e modellisica Sisemi meccaici Sisemi elerici Fluidi ed idraulica fluidi comprimibili e o Sisemi ermici coduzioe di calore scambiaori di calore boiler Moori Pompe Sisemi di poeza Veicoli biciclee auoveore avi aeroplai Processi chimici reaori coloe di disillazioe Sisemi ecoomici Ecosisemi Gesioe della complessià Da cosa deriva la complessià Faori dipedei dal sisema domii fisici differei - diversià comporamei complessi dimesioi fisiche umero di compoei ierazioe srea ra sisemi Faori dipedei dallo sviluppo del progeo progeo parallelo dei vari compoei/soosisemi soosisemi eerogeei ra di loro preseza di compoei empo coiue, empo discree e ad evei La modellazioe è esseziale Gesioe della diversià Asrazioe Forme sadard di modello Parameri adimesioali e variabili ormalizzae Uilizzo di librerie Uilizzo di ool sofware Lavoro i eam

3 Modellazioe e simulazioe La modellazioe si è sviluppaa i parallelo alla simulazioe; queso ha avuo u grade impao sullo sviluppo dei ool di modellazioe Teciche di simulazioe aalogica: cosruzioe di sisemi elerici o meccaici di simulazioe digiale: uilizzo di meodi di simulazioe approssimai co soluzioe umerica delle equazioi differeziali Ambiei di simulazioe odieri simulaori aalogici viruali facili da uilizzare graularià e srrazioe ierfaccia grafica e uilizzo di schemi a blocchi iegrazioe co ambiei di corollo ed ideificazioe esempi: Simulik, VisSim,... Schemi a blocchi L uilizzo di schemi a blocchi rappresea ua forma di asrazioe che è ache u esempio di icapsulameo dell iformazioe appresea ua maiera elegae per srrare u sisema E i relazioe direa co le fuzioi di rasferimeo Presea comuque delle limiazioi molo lavoro di preparazioe per passare dal modello fisico allo schema a blocchi modello orieao co igressi ed uscie Esisoo alri paradigmi, o acoa sufficieemee mauri equazioi algerico-differeziali Modelica Limiazioi degli schemi a blocchi Gli sai possoo scomparire u codesaore si descrive co ua variabile di sao due codesaori coessi i parallelo? è possibile oeere il modello del parallelo ramie composizioe dei modelli elemeari dei due codesaori? Il modello dipede dal coeso modellazioe di ua resiseza: dipede da cosa viee defiio come igresso V I? I V / la sessa equazioe appare i mole forme facile commeere errori difficile da cambiare difficile cosruire delle librerie di compoei

4 Meodologia di modellazioe Dividere u sisema i soosisemi Equazioi di bilacio di massa, momei ed eergia Cosruire e/o uilizzare librerie di compoei (orieai) Aivià capire il pla rappresearlo derivare il modello maemaico aalisi delle prorpieà sazioarie liearizzazioe delle diamiche o lieari approssimazioe e semplificazioe validazioe defiire compoee di libreria Aivià di modellazioe Capire il pla meccaismi e fuzioameo ordii di gradezza sadard limiazioi appreseare il pla schizzi schemi a blocchi diagrammi di flusso Modelli maemaici scopo assuzioi e ipoesi scriura delle equazioi ormalizzazioe delle variabili rage di validià Aivià di modellazioe Modelli maemaici defiizioe di igressi, sai ed uscie parameri e parameri adimesioali valori umerici di progeo e/o ideificazioe paramerica Aalisi dei modelli proprieà sazioarie oliearià simulazioe liearizzazioe Tipi di modello relazioi saiche equazioi differeziali ordiari equazioi differeziali alle derivae parziali macchie a sai, rei di Peri, Saechars e SFC ibridi

5 Aivià di modellazioe Aalisi del modello liearizzao equazioi ormalizzaizoe e parameri adimesioali relazioe co i parameri fisici rage di validià fuzioe di rasferimeo risposa frequeziale cosai di empo e guadagi poli e zeri isabili, riardi Il processo di modellazioe Scopi e ambiee Possibili modelli Leggi fisiche Progeo esperim. Modellazioe Isieme di modelli Dai misurai Srra/ordie secodo se Sima parameri Validazioe si o Coosceza Esperieza Check cosiseza si o Modello fiale Scela dell isieme di modelli E ua scela imporae che codizioa l aivià successiva I modelli possibili soo divisi i classi, uilizzado crieri diversi Modelli paramerici o o paramerici u modello paramerico è quello i cui il sisema è descrio da u umero limiao di quaià caraerisiche i modelli fisici soo paramerici, la srra è daa dall equazioi dela fisica ua FdT è u modello paramerico, i cui parameri soo i coefficiei o i poli e gli zeri u modello o paramerico è caraerizzao dalla misura della fuzioe del sisema i u umero molo grade (ifiio) di pui u modello o paramerico di u sisema lieare è dao dalla sua risposa impulsiva

6 Scela dell isieme di modelli Modelli paramerici o o paramerici E più semplice creare u modello o paramerico dao che richiede miore coosceza sul sisema. D alra pare u modello paramerico è più compao e maiee ua relazioe co il modello fisico Modelli lieari e o lieari praicamee ui i sisemi soo o-lieari la eoria dei sisemi o lieari è complessa e o be sviluppaa, si cerca quado possibile di uilizzare ua approssimazioe lieare la scela ra u modello lieare ed uo o lieare si riduce i sosaza e decidere quado ua approssimazioe lieare può essere sufficiee dipede pesaemeee dall obieivo per cui si vuole sviluppare il modello Scela dell isieme di modelli Modelli lieari e o lieari aezioe: u modello lieare può essere quao o più complesso di u modello o lieare; ipicamee l ordie ecessario per il modello lieare sarà elevao la eoria dei sisemi lieari permee di affroare facilmee problemi i cui il modello è di ordie basso la scela reale cosise el defiire se uilizzare u modello o lieare sperado di oeere u modello comuque semplice od u modello lieare di ordie più elevao si possoo eere i via erambe le aleraive e scegliere a poseriori Modelli a scaola biaca o a scaola era si cosideri che spesso è possibile defiire ua srra paramerica del modello a parire da leggi fisiche e deermiare i parameri ramie eciche di ideificazioe paramerica: ale approccio è defiio a scaola grigia Teciche di modellazioe Complessià Predizioe Dai Velocià Modelli fisici Modelli feomeologici Modelli Black Box Il paradigma: Complessià vs. Dai Predizioe vs Velocià

7 Il superameo del paradigma Dai di progeo Modelli fisici Dai viruali Dai sperimeali Dai sperimeali Modelli feomeologici Dai viruali Modelli black box Il processo di modellazioe Scopi e ambiee Possibili modelli Leggi fisiche Progeo esperim. Modellazioe Isieme di modelli Dai misurai Srra/ordie secodo se Sima parameri Validazioe si o Coosceza Esperieza Check cosiseza si o Modello fiale Scaola biaca Modellazioe su base fisica Uo dei meodi più semplici per oeere u modello di u sisema diamico è ricavare le relazioi che esisoo ra igressi ed uscie a parire dalle leggi fodameali della fisica ell ambio del corollo e della diagosi si è i geere ieressai a modelli semplici. Uilizzo di modelli a parameri cocerai L uilizzo delle leggi fodameali è uile ache quado o si è i grado di predire il valore umerico dei parameri, per defiire almeo la srra del modello E facile ricavare modelli complessi come iercoessioe di modelli elemeari I vari ambii applicaivi porao a modelli elemeari co la sessa srra maemaica Equazioi differeziali del primo o secodo ordie

8 Modelli di sisemi elemeari I compoei elemeari possoo essere classificai i base al loro comporameo rispeo all eergia dissipaori accumulaori (di due ipi) coveriori Il processo di modellazioe Scopi e ambiee Possibili modelli Leggi fisiche Progeo esperim. Modellazioe Isieme di modelli Dai misurai Srra/ordie secodo se Sima parameri Validazioe si o Coosceza Esperieza Check cosiseza si o Scaola era Modello fiale Scopo della modellazioe black-box Si vuole realizzare u modello di u sisema a parire dalla sola regisrazioe dei dai di igresso-uscia Ciò che si oiee è esclusivamee ua modalià per rappreseare ed uilizzare l iformazioe coeua ei dai sessi L obieivo iiziale o è realizzabile: ella modellazioe blackbox è sempre ecessario iserire della iformazioe a priori sul sisema aezioe: se le ipoesi o vegoo fae espliciamee, sigifica che e esisoo di implicie Esisoo sempre ifiii modelli che rappreseao i dai dispoibili: il problema è quello di scegliere il migliore

9 Limiazioi dell approccio black-box ecessia di ua mole oevole di dai sperimeali o permee esrapolazioe il modello o può essere uilizzao i codizioi diverse da quelle i cui soo sai regisrai i dai rage delle variabili frequeze codizioi operaive Le assuzioi ecessarie alla modellazioe soo iserie all iizio e codizioao ua la cosruzioe del modello E ecessaria ua oevole esperieza per gesire il processo di modellazioe Il pla deve esisere o è geeralizzabile è limiao al sigolo esemplare, o si esede alla famiglia Vaaggi dell approccio black-box Può essere molo semplice faori o rilevai vegoo rascurai auomaicamee o richiede coosceza specifica del campo ecico relaivo al paricolare processo o sempre vero Si può forzare la srra di modello secodo l uilizzo che e verrà fao i seguio siesi di corollori lieari richiede u modello lieare E l uico approccio praicabile quado il processo è scoosciuo o roppo complesso Il processo di modellazioe Scopi e ambiee Possibili modelli Leggi fisiche Progeo esperim. Dai misurai Isieme di modelli Srra/ordie Sima parameri Modellazioe Coosceza Esperieza Scaola grigia secodo se Validazioe si Check cosiseza si Modello fiale o o

10 Ideificazioe della srra Cosise ello scegliere u modello specifico all iero di ua classe esempio ipico la decisioe dell ordie di ua FdT u alro esempio è la decisioe di u modello ra vari cadidai possibili ui co presazioi equivalei Può già sfuare la dispoibilià dei dai sperimeali la scela sarà codizioaa dalla qualià dei dai uilizzai rumore di misura codizioi degli esperimei il progeo dell esperimeo di misura è u passo chiave per la miimizzazioe dell icerezza relaiva alla srra ed ai parameri ua srra di modello fissaa ha ua capacià descriiva limiaa la scela dell esperimeo di misura e dell algorimo di sima sfruao ale capacià descriiva per privilegiare alcui aspei a scapio di alri Sima dei parameri Ua vola defiia la srra, è ecessario simare i parameri per caraerizzare compleamee il modello La misura sperimeale è fodameale i quesa fase Tui i meodi di sima edoo a miimizzare l effeo del rumore di misura sul risulao della sima Moli meodi di sima combiao isieme la defiizioe della srra e dei parameri è impossibile verificare la qualià di u modello seza avere simao i parameri bisoga decidere la srra prima che i parameri possao essere simai Aezioe: la qualià (icerezza) della sima sarà comuque ifluezaa dalla qualià (rumorosià) delle misure Corollo dei residui Cosiuisce ua primo passo della validazioe Esiserao sempre differeze ra la misura (delle uscie) e le corrispodei sime basae sul modello ideificao Le differeze, chiamae residui, possoo possedere proprieà saisiche coosciue o ipoizzae il corollo di ali proprieà saisiche (valor medio, deviazioe sadard) può essere uilizzao se esisoo acora errori sisemaici di modello, ed i queso caso ierare co le uove iformazioi el processo di cosruzioe

11 Cross-validazioe e corollo di cosiseza Cosiuiscoo la validazioe effeiva del modello La cross-validazioe cosise el valuare i residui o rispeo ai dai uilizzai per la sima, ma rispeo ad u alro se di dai ella scela del secodo se di dai si dovrebbero rispeare le limiazioi impose sul modello per esempio, o si dovrebbero ecciare saurazioi el sisema se si è uilizzao u sisema lieare Il corollo di cosiseza cosise el cofroare i valori dei parameri co valori oeui co alre eciche di misura o per via eorica u valore che si discosa oevolmee da u valore aeso è idice di problema sarebbe opporuo avere almeo iua sima dell ordie di gradezza del paramero che si vuole simare Cosiderazioi geerali L ideificazioe o sosiuisce, ma affiaca le eciche di misura radizioali L uso di iformazioe a priori è fodameale el processo di derivazioe di u modello L ideificazioe va combiaa co la coosceza specialisica del pla L icerezza della sima cresce al crescere del umero di parameri da simare per ua daa quaià di iformazioe (dai sperimeali) si dovrebbero preferire modelli semplici quado descrivoo i dai sperimeali co precisioe acceabile L icerezza della sima è proporzioale alla deviazioe sadard del rumore di misura: la qualià dei dai sperimeali è imporae U esempio di sima paramerica Si vuole simare il valore di ua resiseza elerica a parire da misure di esioe e corree I preseza di rumore si ha Vm, k V + vk k,, K, Im, k I + ik La srra del modello è derivaa dalla legge di Ohm V I V I 0 La preseza dei rumori di misura da V m, k Im, k ek Per defiire uo simaore, si può miimizzare l errore di equazioe e k Può essere fao defiedo ua fuzioe di coso quadraica

12 U esempio di sima paramerica Scela, o uivoca K e k ( Vm k I ), m, k k k Il valore di che miimizza il fuzioale di coso è deo sima ai miimi quadrai LS arg mi K Si può calcolare espliciamee poedo a zero la derivaa di K rispeo ad LS Vm, k I ( ) k I m, k m, k k U esempio di sima paramerica All aumeare del umero di campioi Il valore simao sembra covergere ad u valore o vero la variaza della sima sembra covergere a zero Cosa succede se il umero di campioi ede all ifiio? valore vero evoluzioe sima U esempio di sima paramerica Si aalizzao le proprieà saisiche dello simaore Valore asioico: si assumoo rumori a media ulla, o correlai p lim LS ( ) p lim Vm k Im k I,, m, k k k V I V ik vk I vk ik p lim k k k + + I I ik i k k k k p lim LS ( ) + σi I errore sisemaico dipedee dal rapporo segale rumore delle misure

13 U esempio di sima paramerica Icerezza della sima: dao che la sima è ua variabile aleaoria, è imporae deermiare la variaza associaa e la sua dipedeza dal umero di campioi iprededo l espressioe della sima Vm, k Im, k + k LS ( + )( d + d +K) + d Im, k k rascurado i ermii di ordie superiore la secodo si oiee σ σ LS σ v + i V I Valido per quasi ui gli simaori. E imporae avere delle buoe misure Lo simaore ideale Si è viso che uo simaore può ache forire risulai o corrispodei ai valori reali (o è deo che sia u problema) Vediamo quali soo le proprieà che si vorrebbero per uo simaore ideale Sima seza bias i eoria si vorrebbe che la probabilià di avere ua sima uguale al valore vero fosse uo o è perseguibile per i rumori di misura uo simaore si dice seza bias se il valore medio della variabile di sima è uguale al valore vero del paramero E[ θ s ] θ è più facile oeere simaori asioicamee seza bias lim E[ θ s ( )] θ Lo simaore ideale Simaori efficiei o è solo imporae avere simaori co errori sisemaici piccoli, ma ache avere ua bassa icerezza sul risulao oeuo; a vole si preferisce uo simaore co bias se presea ua icerezza miore la variaza delle sime dovua ai rumori è daa dalla marice di covariaza; T C ˆ θ E[ ( θs θ )( θs θ ) θ ] i ermii sulla diagoale si riferiscoo al sigolo paramero, mere quelli fuori dalla diagoale descrivoo dipedeze ra coppie di parameri Uo simaore seza bias si dice efficiee se la sua marice di covariaza è miore o uguale di quella di qualsiasi alro simaore seza bias

14 Lo simaore ideale Simaori efficiei è baale rovare uo simaore co covariaza ulla se si ammee il bias; ciò è però impossibile per uo simaore seza bias poichè i queso caso esise u limie iferiore alla marice di covariaza Simaori robusi moli simaori soo derivai co delle assuzioi riguardai il rumore, per esempio ua disribuzioe ormale del rumore uo simaore è deo robuso se le sue proprieà si coservao ache quado le assuzioi fae ella sua derivazioe o soo verificae proprieà imporae elle applicazioi praiche, dove ciò accade molo spesso Iformazioe a priori sui parameri Ache el caso di sima paramerica, si deve sfruare al massimo l iformazioe dispoibile a priori sui parameri. Simaori di Bayes Massima verosimigl. Simaori di Markov Coosceza a priori Proprieà dello simaore Miimi quadrai Simaori di Bayes ichiedoo la coosceza della desià di probabilià dei rumori di misura e dei parameri da simare Si basa sulla probabilià codizioale P [ parameri misure] P[ θ y m ] Si cerca il valore del paramero che massimizza la probabilià di avere esaamee quel valore a parire dalle misure dae [ ] θ B max P θ y m θ Si uilizza la regola di Bayes P [ ] [ ym θ ] P[ θ ] P θ ym P[ ym ] E sufficiee massimizzare il umeraore, il deomiaore o dipede dai parameri

15 Simaori di Bayes - esempio Simare il valore g ramie ua misura y affea da rumore y g + Si assume la disribuzioe del rumore di misura coosciua P ( 0, σ ) Si assume la disribuzioe del paramero coosciua Si oiee Pg e P[ g y] C ( µ σ ) g, g + σ yg ( g µ g ) P[ y] σ g Simaori di Bayes - esempio Per oeere la sima di Bayes è sufficiee massimizzare il logarimo del umeraore, oeedo y σ + µ g σ g gb σ + σ g Si possoo disiguere due coribui y: l iformazioe derivaa dalla misura µ g : l iformazioe a priori sul paramero le due vegoo pesae co l iverso delle variaze se la qualià dell iformazioe a priori è ala rispeo a quella della misura, il risulao è piloao dall iformazioe a priori se la qualià dell iformazioe a priori è bassa rispeo a quella della misura, il risulao è piloao dalla misura Simaori di Bayes - esempio Aumeado il umero delle misure (ripeizioe) si oiee yi σ + µ g σ g g i B σ + σ g i cui si vede che l iflueza delle misure aumea all aumeare del umero delle misure sesse Quado il umero di misure ede all ifiio, l iformazioe a priori o viee più uilizzaa La sima di Bayes viee raramee uilizzaa ella praica poichè richiede mola iformazioe a priori; alri simaori possoo garaire le sesse presazioi a pao di avere u umero di misure crescei

16 Simaori a massima verosimigliaza Se la desià di probabilià dei parameri o è dispoibile, si può assumere come disribuzioe uiforme ed i queso caso diviee ua cosae el umeraore della formula di Bayes I queso caso la sima di Bayes si riduce alla massimizzazioe della fuzioe di verosimigliaza (likelihood) L( ym θ ) P( y ym P) Aalogamee al caso precedee, ormalmee si massimizza il logarimo della fuzioe di verosimigliaza La sima a massima verosimigliaza richiede acora l iformazioe sulla desià di probabilià del rumore di misura Come viso i precedeza, la sima di Bayes e quella a massima verosimigliaza cocidoo per campioi umerosi Sima di massima verosimigliaza - esempio Applicado la sima di massima verosimigliaza all esempio precedee si ha ( y ) i g σ L( y g) e m π σ l L C ( y g) i σ Il valore simao risula gmv y i i Esso cocide co il limie della sima di Bayes Proprieà della sima MV La sima MV è asioicamee seza bias La marice di covariaza della sima MV coverge asioicamee all iverso della marice di iformazioe di Fisher Cθ Fi T l L Fi E l L l L θ E θ θ θ T θ θ La marice di Fisher misura la quaià di iformazioe sui parameri presee elle misure. E impossibile avere uo simaore seza bias co ua marice di covariaza più piccola dell iverso della marice di Fisher, il valore miimo è deo limie di Cramer-ao la sima MV è asioicamee efficiee

17 Iflueza del umero di parameri Si cosideri il seguee esempio dove y e x soo le variabili misurae legae araverso y i a xi + b + i dove rappresea il rumore di misura che si assume idipedee e co disribuzioe ormale Caso : a e b da deermiare l L C ( y ) i a xi b σ i Fi Sx µ x µ ; x xi Sx xi σ µ x i i σ x C Fi µ Iversamee proporzioale ( S ) µ x µ x x Sx al umero di campioi Iflueza del umero di parameri Caso : b coosciuo, a da deermiare Cofroo l L C yi a xi b σ S Fi x ; σ i σ C Sx Aumeado il umero di parameri da simare, l icerezza sulla sima aumea σ ( a) σ σ a σ a ( a, b) S S µ x x x Sima di Markov Se il rumore di misura si assume addiivo a caraerizzao da ua disribuzioe ormale co valor medio e variaza assegaa ym G( θ, x) + T E 0 E [ ] [ ] la sima MV si riduce alla miimizzazioe della fuzioe di coso quadraica T K ( ym G( θ, x) ) ( ym G( θ, x) ) Tale sima è dea sima di Markov è seza bias ache se la disribuzioe del rumore o è ormale, se il valor medio è ullo e se il modello è lieare ei parameri el caso la marice di peso sia ua marice diversa da quella di covariaza del rumore, si parla di sima ai miimi quadrai pesai

18 Sima ai miimi quadrai Se il rumore di misura è biaco, la marice di covariaza è proporzioale all ideià e la fuzioe di coso divea la somma quadraica dell errore T K ( y G( θ, x) ) ( y G( θ x) ) m m, Si ricade el caso di sima ai miimi quadrai Le proprieà della sima ai miimi quadrai soo quelle della sima MV solamee elle ipoesi fae egli alri casi la sima ai miimi quadrai può essere co bias ed iefficiee, va aalizzao caso per caso Processi casuali sazioari U processo casuale è u esperimeo che produce ua fuzioe del empo Ua serie di dai rilevaa da u esperimeo è almeo i pare casuale per la preseza di errori di misura Si può pesare come u veore ifiio di variabili casuali Se si fissa l isae, y( ) risula ua variabile casuale U processo casuale è sazioario se per u qualsiasi, sceli comuque isai il veore delle variabili casuali [y(,...,y()] ha la sessa diribuzioe di probabilià di [y(+),...,y(+)] per ogi possibile valore di le caraerisiche probabilisiche del processo soo ivariai rispeo a raslazioi emporali Medie del PC sazioario Valor medio: I geerale m y () E[ y ] è ua fuzioe del empo; se il processo è sazioario, il suo valor medio è cosae Per simare il valore medio di u processo sazioario basa calcolare la media campioaria. Fuzioe di auocovariaza: γ yy (, ) Cov[ y( ) y( )] γ yy ( ) Si oi che γ yy ( 0) Var[ y ] γ yy ( τ ) γ yy ( 0) τ

19 umore biaco Defiizioe: y() è u rumore biaco se sceli isai,..., le variabili casuali y( ),..., y( ) soo mamee idipedei. Ierpreazioe: è come se y() fosse il risulao di u esperimeo casuale, il cui esio è del uo idipedee dai valori precedei e fri del processo casuale u rumore biaco è compleamee imprevedibile Esempio: la sequeza dei umeri uscii alla roulee La fuzioe di auocovariaza del rumore biaco è daa da σ γ ( τ ) y yy 0 τ 0 τ 0 Spero Lo spero, o desià sperale di poeza, di u processo casuale sazioario è la rasformaa di Fourier della fuzioe di auocovariaza τ [ ] + jωτ Γyy ω F γ yy τ γ yy τ e τ Esempio: rumore biaco w() [ ] Γww ω F γ ww τ σ Spero Esempio: y() w() w(-) γ yy ( τ ) E y( τ ) my y 0 my E[ y τ y 0 ] E[ ( w( τ ) w( τ ) )( w( 0) w )] Γ ( ω ) γ jω + γ ( 0) + γ jω yy yy e yy yy e [( )] γ yy 0.5σ τ.5σ 0.5σ τ τ 0 τ [ ( e jω + e jω )] σ.5 + cos( ω ) [ ] σ

20 Proprieà dello spero è reale e posiivo è ua fuzioe pari di ω è periodico co periodo π è sufficiee cooscerlo ella bada [0,π] Φ yy [ ] jω Γ ω Φ ( e ) ( z) Z γ ( τ ) yy π Γ yy π yy ( ω ) dω π Var[ y ] yy ω Γ yy ω ( ω ) dω π Var[ y ] proporzioale all eergia del processo ella bada [ω,ω ] Faorizzazioe sperale caoica Spero all uscia di u processo sazioario u() G(z) Se u() è u PC sazioario e G(z) è sabile, allora y() coverge ad u PC sazioario ale che E[ y() ] G() E[ u() ] Φ yy Γyy y() ( z) G( z) G( z ) Φ ( z) jω ( ω ) G( e ) Γ ( ω ) Filrado u PC mediae ua fd, si cambia la riparizioe dell eergia elle varie bade di frequeza Faorizzazioe sperale caoica Dao u PC y() co spero assegao, se si riesce a rovare ua fd ale che Φ yy ( z) σ G( z) G( z ) si può immagiare y() come l uscia di G(z) alimeaa da u rumore biaco Si dice i queso caso che y() è a spero razioale e G(z) è u faore sperale Se y() è a spero razioale esisoo sempre ifiii faori sperali: e esise uo pericolare, deo caoico, ale che il grado relaivo è zero umeraore e deomiaore soo moici zeri e poli soo sabili (modulo miore dell uià) Il faore sperale caoico può essere uilizzao per caraerizzare il PC sazioario

21 Famiglie di modelli diamici Le famiglie di modelli uilizzai ella ideificazioe lieare soo casi paricolari del modello, co il rumore e() assuo biaco y G( z) u + H ( z) e u() G(z) e() H(z) v() y() v() H(z) e() rappresea sia disurbi che feomei o modellai H(z) è il faore sperale caoico Si ipoizza che G(z) sia a grado relaivo maggiore di zero Specializzado a casi paricolari le srre di G(z) e di H(z) si oegoo diverse famiglie di modelli, chiamai el complesso black-box Predizioe Tui i meodi di ideificazioe cercao di miimizzare l errore ra l uscia misuraa e quella predea Il ipo di predizioe uilizzaa deermia la ipologia del meodo miimizzazioe errore di equazioe: si basa sulla predizioe ad u passo, cioè il valore dell uscia predea all isae sfrua le uscie misurae fio all isae - miimizzazioe errore di uscia: si basa su ua predizioe su orizzoe ifiio, cioè la predizioe dell uscia o sfrua la misura dell uscia sessa Per oeere il prediore, si cerca ua forma i cui il disurbo biaco compaia direamee: i queso caso il prediore oimo è semplicemee quello che si oiee poedo il disurbo a zero Predizioe Moliplicado per l iverso del faore sperale e sommado y() ad erambi i membri si oiee H ( z) y H ( z) G( z) u + e y() H ( z) y + H z G z u + e () () () Si oi che il secodo membro dipede dai valori dell igresso e dell uscia fio all isae - per le proprieà del faore sperale caoico. Si prede quidi come prediore ad u passo ( ) y + H ( z) G( z) u ( / ) H ( z) y p Co diverse scele di H(z)) si possoo cacellare ache le dipedeze dai valori passai di y(), fio al caso limie di H(z), i cui il prediore dipede solo dall igresso

22 Miimizzazioe dell errore di predizioe La sima dei parameri avviee cercado di miimizzare l errore di predizioe precedeemee viso Θ ( () p arg mi y y ( / ) ) Ciò cosiuisce a ui gli effei u problema ai miimi quadrai, che può essere risolo i forma chiusa se la dipedeza di y p dai parameri è lieare o co meodi ieraivi se la dipedeza è o lieare Modelli AX Si poe ello schema precedee B ( z) b z + + b z G z K H ( z) A( z) z + a z + + a A( z) K e() u() y() B(z) /A(z) Il disurbo agisce sullo sao Modello y a y( ) K a y( ) + b u( ) + K+ b u( ) + e Prediore p A ( z) B () ( z) y / y + u() y() e() z z Modelli AX Si defiiscoo veore dei parameri e regressore come Θ [ a a a b b b ] T K K Φ [ y( ) y( ) K y( ) u( ) u( ) Ku( ) ] Il modello risula lieare ei parameri y p ( / ) ΦΘ Il problema di sima ammee soluzioe i forma chiusa Θ arg mi ( y() Φ() Θ) Φ() Φ T () Φ() y() dove si è ipoizzaa la o sigolarià di S () Φ () Φ T

23 Modelli AX Il prediore dipede dalle misure passae dell uscia vera e o dall uscia predea agli isai precedei Il modello oeuo può preseare oime capacià prediive, ma risulare molo scadee come modello di simulazioe Se la srra del modello vero corrispode a quello uilizzao si ha che La sima è o polarizzaa La sima della variaza dell errore è daa da p σ ( y() y ) Θ / + La sima della variaza dei parameri è daa da Var Θ σ S [ ] Modelli AMAX Si assume C( z) H ( z) A( z) Il modello risula più flessibile, si paga co il dover simare u umero maggiore di parameri y a y( ) K a y( ) + b u( ) + K+ b u( ) + + e() + c e( ) + K+ c e( ) Il prediore risula C ( z) A( z) B () ( z) y p / y + u() C z C z Il prediore è o lieare ei parameri o si può ricavare uo forma chiusa per la soluzioe Modelli AMAX Se si assume la coosceza di C(z), si può calcolare ad ogi isae z z yc () y() uc () u() C z C z Il prediore risula p C ( z) A( z) B () ( z) y / yc + u z z e si recupera la liearià ei parameri; si riora al caso AX Idea: è possibile scegliere opporuamee il poliomio C(z)? Iroduzioe al filraggio dei segali misurai ed ideificazioe i bada c ()

24 Modelli ad errore di uscia OE Si assume H(z) e risula lo schema u() B(z)/A(z) e() y() I queso caso il prediore o dipede dai valori misurai dell uscia B ( z) y p / () A z u y p ( / ) a y p ( / ) K a y( / ) + + b u( ) + K+ b u( ) + e o lieare ei parameri U buo modello di predizioe è ache u buo simulaore Famiglie di modelli coclusioi La ecica di miimizzazioe dell errore di predizioe è usaa per la sima i ui i modelli cosiderai Esisoo umerosi esesioi cambiado le assuzioi sulle fd La sima dei modelli AX è semplice Si oegoo modelli affidabili come prediori, meo come simulaori I modelli armax risulao o lieari ei parameri Per semplificare il problema si può ipoizzare coosciuo il poliomio C(z) Offroo comuque ua flessibilià maggiore Per ideificare modelli da uilizzare come simulaori del sisema è opporuo uilizzare modelli OE isulao comuque o lieari ei parameri Filraggio ed ideificazioe i bada E opporuo fare u aalisi el domiio delle frequeze dei meodi di ideificazioe Si possoo irodurre modifiche per oeere risulai migliori i ua bada di frequeza fissaa a priori per il corollo è imporae avere ua buoa coosceza della risposa frequeziale ell ioro della pulsazioe di aglio Il fuzioale di coso da miimizzare può essere modificao come [ ( p Θ arg mi L z y y ( / ) )] [ L( z) ε ] che equivale a modificare il modello del rumore * H ( z) e H ( z) e L ( z) H ( z) e

25 Filraggio ed ideificazioe i bada Dal puo di visa praico, l iroduzioe del filro L(z) o compora problemi; è sufficiee applicare gli algorimi di ideificazioe su segali filrai secodo lo schema u () y sisema L(z) ideificaore L(z) u f () y f u f () L( z) u() y f () L( z) y() Se i segali filrai o hao coribuo iformaivo a cere frequeze, quese o ifluezerao il risulao della sima il modello simao cercherà di redere coo dei dai i u iervallo di frequeze i cui il coeuo armoico è sigificaivo Aalisi i frequeza Si suppoga il sisema vero descrio da y() Go ( z) u() + Ho( z) eo Go ( z) u + v Il rumore ha spero dao da isula ε() H ( z) Φv ( jω ω σ H e ) o [ ] π () lim ε E ε () Φε ω dω 4π π * [ () ()] * y G z u ( H ( z) ) Go ( z) G( z) ( jω ) ( jω Go e G e ) Φu ( ω ) + Φv ( ω ) Φε ( ω ) * jω H ( e ) [ u() + v() ] Aalisi i frequeza La miimizzazioe dell errore di predizioe equivale asioicamee alla miimizzazioe rispeo alle icogie G(z) e H*(z) del fuzioale π Go J 4π π ( jω ) ( jω e G e ) Φu ( ω ) + Φv( ω ) * jω H ( e ) dω Da quesa formula si possoo derivare le caraerisiche frequeziali dei vari casi paricolari, ochè i crieri di scela del filro L(z)

26 Modello del rumore fissao Se H*(z) è fissao a priori, gli simaori porao a miimizzare il fuzioale π jω jω Φ ( ω ) J ( ω ) ω ( ω ) u 4π Go e G e Q d Q π * jω H e cioè il modulo al quadrao dell errore sulla fd ra igresso ed uscia pesao i frequeza ramie il peso Q(ω). Il peso può essere ierpreao ache come u rapporo segale rumore alle diverse frequeze Per modelli OE co H(z), se ache L(z) l errore viee pesao i frequeza solao dallo spero del segale di igresso Modelli AX I queso caso G(z)B(z)/A(z) e H(z)z /A(z), e quidi asioicamee viee miimizzao π J Go 4π π ( jω ) ( jω ) Φ + Φ ( jω e G e ω ω A e ) dao che A(z)/z ha i geere ua caraerisica passa-alo, i asseza di rumore la miimizzaioe pora ad aribuire u peso maggiore alle ale frequeze Ciò è cogruee co il fao che u modello AX è u buo prediore ma uo scadee simaore i cofroo ad u modello OE u v dω Scela dell esperimeo Quado è possibile, si deve scegliere il segale di igresso al sisema per oeeredai co u adeguao coribuo iformaivo Ovviamee, u requisio di base è quello di uilizzare u segale di igresso che cosea l ideificazioe del modello Si cosideri u modello AX y a y( ) K a y( ) + b u( ) + K+ b u( ) + e per il quale esise la forma esplicia di soluzioe Θ S ( ) Φ y E ecessario scegliere l igresso i maiera che la marice S() sia o sigolare

27 Esempio Si cosideri il modello Si oiee () () e u b y a y + + () () Φ Φ T u y u u y y S u y u u y y lim uy yu yy Segali persiseemee ecciai I geerale, () è ua media campioaria che quado il umero di campioi ede all ifiio coverge a Codizioe ecessaria e sufficiee per l uicià della sima co u umero elevao di dai è l iveribilià di Codizioe ecessaria è l iveribilià di uy yu yy () K M O M M K K Segali persiseemee ecciai U segale si dice persiseemee ecciae di ordie se è iveribile (defiia posiiva) Impulso risula 0 e quidi l impulso o è persiseemee ecciae di alcu ordie Gradio il gradio è persiseemee ecciae di ordie e cosee di simare i maiera adeguaa u solo paramero () τ τ + 0 lim u u () + lim K M O M M K K u u τ τ

28 Segali periseemee ecciai umore biaco: σ I il rumore biaco è persiseemee ecciae per ogi ordie: caso ideale da queso puo di visa U segale oeuo filrado u rumore biaco è persiseemee ecciae di ogi ordie U segale periodico di periodo M può essere al più persiseemee ecciae di ordie M (aezioe alle ode quadre) Può essere coveiee ecciare il sisema co u segale persiseemee ecciae di ordie opporuo il cui spero abbia compoei sigificaive ella bada di frequeze di ieresse IGEGEIA E TECOLOGIE DEI SISTEMI DI COTOLLO Prof. Carlo ossi DEIS - Uiversià di Bologa Tel: crossi@deis.uibo.i