4 I MINIMI QUADRATI GENERALIZZATI

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1 F. Carlucci Traccia per u corso di Ecoomeria Modulo II Miimi quadrai 4 I MINIMI QUADRATI GENERALIZZATI Idice del capiolo 4. L ipoesi di sfericià dei residui Lo simaore dei miimi quadrai geeralizzai... 4 roprieà dello simaore OLS i preseza di disurbi o sferici... 4 Derivazioe dello simaore geeralizzao Eeroschedasicià dei residui... 7 La sima dei miimi quadrai poderai WLS... 7 Tes di omoschedasicià... 8 Lo simaore WLS come simaore dei miimi quadrai geeralizzai Bibliografia /7/4;6. II edizioe

2 Modulo II Miimi quadrai 4. L ipoesi di sfericià dei residui Nel capiolo precedee abbiamo aalizzao la violazioe della prima fra le ipoesi socasiche alla base del modello lieare, quella di omogeeià del campioe. Nel corso della raazioe siamo sai codoi ad occuparci ache della violazioe di u alra ipoesi, quella di ormalià dei residui, che è coessa alla prima el caso i cui si maifesio osservazioi aomale. Ci occupiamo ora di u alra ipoesi socasica, quella relaiva ai momei secodi della disribuzioe dei residui s E u~ u~ s,s 4.. s dea di sfericià dei residui, alludedo al fao che soo l ipoesi 4.. le regioi dello spazio a dimesioi ei quali il residuo assume valori co ua prefissaa probabilià soo delle ipersfere. Osservazioe 4. Nei modelli specificai su serie soriche, i cui i residui u soo ua successioe emporale di variabili aleaorie, la 4.. viee ache dea ipoesi di biachezza dei residui, poiché ella eoria dei processi socasici ua successioe di variabili aleaorie icorrelae a media ulla e variaza cosae viee defiia rumore biaco. Come si è deo el paragrafo.6, l ipoesi di sfericià o, a secoda del ipo di modelli, di biachezza è raramee verificaa ella realà, poiché frequeemee i residui soo correlai ra di loro e posseggoo variaze diverse. Sia l auocorrelazioe che la o cosaza delle variaze soo feomei coessi i qualche modo alla crescia ecoomica, che deermia la preseza di ua fore compoee ierziale elle serie soriche da cui l auocorrelazioe e il fao che le loro fluuazioi aoro alla edeza aumeio di ampiezza col passare del empo da cui la o cosaza delle variaze. Si oi che la 4.. o prevede alcua specifica ipoesi disribuzioale. Siamo quidi el coeso delle ipoesi deboli o di Gauss-Markov. La violazioe delle 4.. quidi deermierà sia la perdia delle proprieà BLU dello simaore OLS, sia l impossibilià di effeuare ifereze saisiche valide. Quesi pui vegoo affroai i deaglio el paragrafo 4., dove si presea uo simaore geeralizzao, deo appuo simaore dei miimi quadrai geeralizzai, o di I paricolare, sfere a dimesioi. iù che di sfericià dei residui bisogerebbe i effei parlare di sfericià della disribuzioe di forma o specificaa dei residui. Si veda il paragrafo.6. 4-

3 Modulo II Miimi quadrai Aike, o GLS, 3 che maiee le proprieà BLU e permee ifereze valide ache i preseza di violazioi della 4... I praica, l applicazioe di queso simaore è limiaa dalla ecessià di cooscere la marice di covariaze vera dei residui. Soo quidi sai proposi diversi simaori cosiddei GLS faibili, 4 dei ache simaori di Aike a due sadi, i quali uilizzao, a froe di violazioi specifiche della 4.., specifici simaori della marice di covariaze o specifiche ipoesi sulla sua sruura per perveire alla cosruzioe delle sime geeralizzae. I diversi simaori faibili soo quidi deermiai dalla aura della violazioe ipoizzaa. I queso capiolo cosidereremo i paricolare quelli proposi per ovviare alla preseza di eeroschedasicià dei residui. Il più diffuso è lo simaore dei miimi quadrai poderai, o WLS, 5 preseao el paragrafo 4.3. Gli simaori GLS faibili proposi a froe di violazioi dell ipoesi di o auocorrelazioe dei residui verrao preseai el modulo V, dopo aver irodoo i cocei di diamica ecoomerica ecessari per rappreseare l auocorrelazioe sessa. 3 Dall iglese Geeralized Leas Squares. 4 I iglese feasible GLS. 5 Dall iglese Weighed Leas Squares. 4-3

4 Modulo II Miimi quadrai 4. Lo simaore dei miimi quadrai geeralizzai Come si è viso el precedee paragrafo, spesso, per raare siuazioi più aderei alla realà, è ecessario idebolire uleriormee l ipoesi socasica 4.., o, se si vuole, esedere il modello di base, ipoizzado che la marice di dispersioe di u ~ sia del ipo più geerale ~ ~~ Cov u E uu = = V 4.. dove e V soo marici simmeriche defiie posiive. La scela della oazioe o dell alra V dipede dal coeso di aalisi ecoomeriche i cui ci si rova, essedo la secoda moivaa dall avere coformazioe aaloga all ipoesi I di residui sferici. Osservazioe 4. La marice di dispersioe di u veore aleaorio ~ è sempre defiia posiiva i quao è: < Var ~ = Cov ~ = dove è u qualsiasi veore di cosai o ue ulle e ~, essedo ua variabile aleaoria scalare o degeere, ha variaza ecessariamee oulla. roprieà dello simaore OLS i preseza di disurbi o sferici rima di procedere mosriamo i che modo l ipoesi 4.. modifica le proprieà dello simaore OLS. Quesa aalisi è esseziale allo scopo di farci capire quali soo i rischi che corriamo ell applicare lo simaore OLS i coesi ei quali ua delle ipoesi alla base di esso, la 4.., o è verificaa. Ricordiamo dal capiolo che soo le ipoesi sadard lo simaore OLS è BLU. Soo la 4.. queso simaore maiee la proprieà di o disorsioe, ma o è più oimo el seso di Gauss-Markov. Avremo ifai E ˆ E[ u~ ] E[ u ~ ] Viceversa, la sua marice di variaze e covariaze ora divea Covˆ E[ˆ ˆ ] E[ V uu ~~ ]

5 Modulo II Miimi quadrai cioè diversa dalla.6.8 derivaa el caso di validià delle ipoesi classiche. Ma ques ulima marice di dispersioe è quella sulla quale si basa la dimosrazioe del eorema di Gauss-Markov si veda il paragrafo.8. Ne cosegue che quado la marice di dispersioe dei residui è la 4.. lo simaore OLS o è più quello di variaza miima fra ui gli simaori lieari o disori. L iuizioe soosae a queso risulao è semplice: lo simaore OLS o è più efficiee i quao o sfrua ua l iformazioe eoricamee dispoibile. I paricolare, esso igora la coformazioe della marice di covariaze 4.., e risulerà quidi più disperso di uo simaore che ivece e ega coo. La 4.. idica ache che lo simaore campioario della marice di covariaze dei residui o è più appropriao, perché o riflee la sruura della marice di covariaze vera 4... Come abbiamo viso el capiolo, ua l ifereza saisica sui parameri del modello uilizza ua sima della loro marice di dispersioe e di cosegueza i preseza di residui o sferici le ifereze effeuae uilizzado la marice di variaze e covariaze sadard o soo valide. I alre parole, le saisiche e F calcolae dai sofware ecoomerici porebbero forire risulai fuorviai cioè, a secoda delle circosaze, spigerci a o rifiuare u ipoesi ulla falsa o a rifiuare ua ulla vera. Le cosegueze dell ipoesi 4.. sullo simaore OLS soo quidi piuoso gravi. Vediamo ora come cosruire uo simaore geeralizzao che, eedo coo della 4.., ci cosea di superare quesi problemi. Derivazioe dello simaore geeralizzao Se valgoo le ipoesi 4.., le prime due delle.6. e la.4.9 è possibile deermiare u uovo simaore che segue il crierio dei miimi quadrai, deo simaore dei miimi quadrai geeralizzai 6. er oeerlo è sufficiee far ricorso al eorema I-., che cosee di faorizzare la marice V secodo la forma V 4..3 dove la marice è u appropriaa marice quadraa, ach essa di ordie ; dalla 4..3 si rae, co due iversioi, 6 O di Aike; i ligua iglese: Geeralized Leas Squares, GLS. Riporiamo per comodià del leore le quaro ipoesi alla base dello simaore GLS: marice di cosai Eu = 3 Covu = V 4 de 4-5

6 Modulo II Miimi quadrai V - I l iveribilià di essedo assicuraa dallo sesso eorema I-.. Se premoliplichiamo il modello.4.4 per - oeiamo u cioè +u 4..4 avedo poso -, -, - u u 4..5 Il vaaggio delle 4..5 è che i seguio alla loro applicazioe i residui del modello 4..4, specificao i ermii di variabili rasformae, rispeao le ipoesi sadard: E Cov E E I V uu u u u ] ~~ [ ~ ~ ~ dove si è fao uso della Lo simaore dei miimi quadrai ordiari dei parameri della 4..4 è V V ~ ~ ] [ ~ ~ 4..6 per oeere il quale abbiamo iverio i due membri della Il veore aleaorio 4..6 è lo simaore dei miimi quadrai geeralizzai; esso è BLU perché oeuo ramie il crierio dei miimi quadrai ordiari operado su u modello, il 4..4, che rispea le ipoesi sadard. La marice di dispersioe di ale simaore è ~ V Cov 4..7 mere la sima o disora di ha l espressioe / / / ˆ ˆ k k k k V V V u u 4..8 che si oiee sfruado la Nelle applicazioi l uilià dello simaore dei miimi quadrai geeralizzai è oevolmee limiaa dalla ecessià di cooscere V. Nel paragrafo successivo vedremo come viee risolo il problema el caso paricolare di eeroschedasicià dei residui.

7 Modulo II Miimi quadrai 4.3 Eeroschedasicià dei residui Nel modello lieare geerale x x k x k u 4.3. soo sae fae siora le ipoesi deboli sadard E u~, s E u~ u~ s, s 4.3. s Nelle variabili ecoomiche, uavia, accade spesso che la variabilià o sia cosae el empo, ma crescee o più raramee decrescee, oppure acora crescee e poi decrescee a rai. Se ua ale siuazioe vale per la 4.3. e se la compoee sisemaica la combiazioe lieare delle x o rappresea sufficieemee quesa variabilià o cosae, ale ipo di variabilià si rasferisce sui residui u per cui la secoda della 4.3. si rasforma ella caraerizzadoe la eeroschedasicià. s E u~ u~ s s I ale caso l aalisi svola el paragrafo precedee mosra come o possao essere più uilizzai gli simaori dei miimi quadrai ordiari, per i quali è ecessario che valgao le Nel reso del paragrafo mosriamo come cosruire simaori GLS el caso di eeroschedasicià e poi richiamiamo alcui es comuemee uilizzai per verificare l ipoesi di omoschedasicià. La sima dei miimi quadrai poderai WLS Viee aurale ipoizzare che l eeroschedasicià dei residui sia causaa da alcue variabili oe che idichiamo co z, z,, z s. Quese possoo essere, ue o i pare, ache variabili esplicaive del modello Soo l uleriore ipoesi che sia fuzioe crescee l adaameo al caso decrescee è baale di quese variabili, possiamo porre exp z exp z... exp s zs dove la cresceza è rappreseaa mediae l espoeziale per comodià di sviluppo aaliico. Sempre per comodià è coveiee specializzare uleriormee la seza che le ipoesi addizioali codizioio roppo le siuazioi reali. oiamo, duque, i primo luogo s, z, per cui la divea exp exp z w avedo poso 4-7

8 Modulo II Miimi quadrai exp z lw I secodo luogo poiamo, per cui i coclusioe si ha w Se w,, si riora all ipoesi sadard di omoschedasicià. Soo l ipoesi 4.3.6, per elimiare l eeroschedasicià basa dividere il modello 4.3. per w w x x b b... b x u k k w w w w che si può simare co gli OLS; ifai u~ E w u~ s w u~ E w w w w avedo fao uso della s s E u ~ ~ ~ E u us w s s La sima effeuaa i queso modo è dea dei miimi quadrai poderai o WLS, poiché ogi elemeo -esimo del campioe viee pesao co il faore /w. Tes di omoschedasicià Illusriamo ora, seza la dimosrazioe che può essere rovaa egli aricoli origiali, due es che soo comuemee usai per verificare l eeroschedasicià dei residui. Nel primo, dovuo a Goldfeld e Quad [965], l ipoesi ulla è quella di omoschedasicià H : e il es viee sviluppao secodo i seguei passi si riiee per ipoesi che ua sola variabile z sia resposabile dell eeroschedasicià; si ordiao le osservazioi di secodo la dimesioe dei valori di z ; 7 7 I modelli simai su serie soriche la ecessià di riordiare i dai secodo i valori della variabile rieua resposabile dell eeroschedasicià può scovolgere il aurale ordiameo croologico delle osservazioi e quidi alerare la diamica espressa dai dai. 4-8

9 Modulo II Miimi quadrai 3 si omeoo c osservazioi cerali; 4 si simao ua regressioe sui primi c/ dai ed u alra sugli c/ ulimi dai, co c/>k; 5 si calcolao le deviaze S e S dei residui elle due regressioi, per le quali, soo H, è S S c / k ; e si cosruisce la saisica c / k S F c / k, c / k S co la quale si esegue u ormale es della F di Fisher. Il secodo es è dovuo a Breusch e aga [979] e presuppoe che soo l aleraiva H : valga ua relazioe del ipo di h z z s z s dove h è ua fuzioe ideermiaa poiché il es e è idipedee. Se z, l ipoesi ulla H : 3 s suggerisce omoschedasicià poiché i queso caso h cosae I passi da percorrere i queso secodo es soo i seguei: si sima il modello 4.3. co gli OLS e si calcolao i residui simai û ; si calcolao le quaià u ˆ uˆ ˆ ˆ 3 si uilizza la uˆ / ˆ come variabile prox di e quidi si simao i parameri della regressioe 8 er queso moivo i al caso al es di Goldfeld e Quad se e preferiscoo alri, quali quello di Breusch e aga [979], esposo più avai. 8 La divisioe per la cosae ˆ serve uicamee a semplificare le elaborazioi meodologiche coeue el lavoro origiale di Breusch e aga. 4-9

10 Modulo II Miimi quadrai uˆ z s z s v 4.3. ˆ v 4 si calcola la deviaza residua ˆ 5 soo H la SSE, differeza ra deviaza oale e deviaza residua della 4.3.9, è ale che ~ SSE s 4.3. per cui si può effeuare u comue es del chi quadrao per la verifica dell omoschedasicià. Il sigificao iuiivo del es è queso: se sussise l eeroschedasicià, e se quesa è effeivamee spiegaa dalle s- variabili z,, z s prescele, allora quese sesse variabili forirao ua buoa spiegazioe dell adameo della u ˆ / ˆ ella 4.3., per cui la deviaza spiegaa della 4.3. è abbasaza elevaa e la saisica 4.3. è maggiore del valore soglia, cadedo quidi ella zoa di rifiuo del es del. Queso fodameo iuiivo è alla base di ua formulazioe aleraiva del es, proposa da Koeker [98], che risula di più rapida implemeazioe i quao prescide dal calcolo di ˆ. er effeuare il es basa ifai simare co i miimi quadrai il modello uˆ z s z s v Si dimosra che la 4.3. può i al caso essere espressa come: 4.3. R s dove R è il coefficiee di deermiazioe o cerao.5.8 della L ipoesi di omoschedasicià viee quidi respia se le variabili z j prescele j =,..., s spiegao bee l adameo del quadrao dei residui. Osservazioe 4.3 La 4.3. è u esempio di regressioe ausiliaria, iededosi co queso ermie ua regressioe priva di direo sigificao ecoomico, che viee simaa geeralmee usado gradezze derivae dalla sima di u modello ecoomerico ad esempio, i residui OLS per permeere o semplicemee per faciliare il calcolo delle saisiche di deermiai es. La eoria modera della verifica delle ipoesi uilizza largamee le regressioi ausiliarie. 4-

11 Modulo II Miimi quadrai Rimae da spiegare come vegao scele quese z j. I macaza di ipoesi a priori specifiche sulla aura dell eveuale eeroschedasicià, il es viee effeuao poedo s = e z = ˆ. Si cosidera quidi come variabile esplicaiva dell omoschedasicià il quadrao dei valori simai, che è, a sua vola, ua combiazioe lieare di ue le esplicaive che erao el modello. I queso caso la saisica si disribuisce come u co u grado di liberà Q 97Q3 975Q 977Q3 98Q 98Q3 985Q 987Q3 Quarers Figura 4. Il grafico del quadrao dei residui OLS dell equazioe Il grafico mosra il quadrao dei residui rappreseai ella figura 3., cosiderao come prox della variaza dei residui della La figura 4. rappresea il quadrao del residuo OLS dell equazioe Come abbiamo già oao aalizzado il grafico dei residui 3., ache ella figura 4. si disiguoo re episodi: uo iermedio, caraerizzao da bassa variabilià, e due quello iiziale e quello fiale co variabilià più elevaa. er effeuare il es di Breusch e aga ella formulazioe simiamo la 4.3. prededo come uica esplicaiva olre all iercea il quadrao dei valori simai. La sima forisce queso risulao uˆ l ŷ = 8, R.8 dao che la è ua regressioe ausiliaria, o riporiamo per essa la diagosica complea, ma solo le due gradezze che servoo a calcolare la saisica del es che qui ieressa, cioè il Come si vede, il quadrao dei valori simai o spiega sigificaivamee l adameo del quadrao dei residui e di 4-

12 Modulo II Miimi quadrai cosegueza la saisica R è pari a.6, molo iferiore al valore soglia di u, che al livello.5 è pari a 3.8. Di cosegueza l ipoesi ulla di omoschedasicià dei residui della o viee respia dai dai. Queso risulao coferma i qualche misura quello del es di uguagliaza delle variaze codoo co la Si oi però che la figura 3.6 mosra come i valori simai l ŷ della abbiao ua fore edeza posiiva. Quesa edeza sarà acor più acceuaa ella serie l ŷ. D alra pare, la figura 4. mosra che il quadrao dei residui della o ha ua edeza defiia, il che è i u cero seso prevedibile, dao che, come è oo dalla.4.8, i residui sommao a zero, per cui le osservazioi posiive devoo essere ecessariamee compesae da alre egaive. Ne cosegue che quado la variabile dipedee è caraerizzaa da ua fore edeza, la regressioe ausiliaria è malspecificaa, perché poe i relazioe due serie delle quali ua sola è caraerizzaa da edeza. I queso caso le due serie el lugo periodo soo icorrelae e quidi il es è disoro verso l acceazioe dell ipoesi ulla. I praica, quidi, il risulao oeuo co la è solo appareemee rassicurae, perché porebbe essere viziao dalla edeza della serie delle imporazioi. Lo simaore WLS come simaore dei miimi quadrai geeralizzai Come abbiamo aicipao, è possibile dimosrare che lo simaore dei miimi quadrai poderai deriva dall applicazioe del pricipio dei miimi quadrai geeralizzai. Ifai, i ermii mariciali l ipoesi geerale divea E u ~~ u = e iseredovi l ipoesi più paricolare si oiee = w w w avedo fao uso della 4... La V può essere faorizzaa secodo la 4..3, co V 4-

13 Modulo II Miimi quadrai w w w come facilmee si verifica, e l uso dei miimi quadrai geeralizzai impoe cioè la = u I miimi quadrai poderai soo perao u esempio di simaore dei miimi quadrai geeralizzai compuabile o faibile, dove quese qualificazioi alludoo al fao che el caso della la marice V può essere calcolaa, cosa o sempre possibile el caso geerale cosiderao dal paragrafo

14 Modulo II Miimi quadrai 4.4 Bibliografia Breusch, T.S., aga, A.R. [979], A Simple Tes for Heeroskedasici ad Radom Coefficie Variaio, Ecoomerica, 47, pp Goldfeld, S.M., Quad, R.E. [965], Some Tess for Heeroscedasici, Joural of he America Saisical Associaio, 6, pp Johso, J. [984], Ecoomeric Mehods, III edizioe, Sigapore: McGraw-Hill. Koeker, R. [98], A Noe o Sudeizig a Tes for Heeroscedasici, Joural of Ecoomerics, 7, pp